cpitulo 2 geometria vectorial

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1.4. Descomposición de un vector 23 1.4 Descomposición de un vector Sean u y v vectores dados no paralelos. Empezaremos mostrando cómo cualquier vector z puede descomponerse en la forma z = p + q (1.5) con p paralelo a u y q paralelo a v. Consideremos primero el caso en el cual z no es paralelo a u ni a v. Dibujamos u, v y z con punto inicial común y trazamos, pasando por el extremo nal de z, paralelas a u y v, hasta cortar las rectas que contienen estos vectores. Figura 1.32. Si P y Q son los correspondientes puntos de corte y O denota el punto inicial de u y v, como en la gura 1.27, se tiene que z = −−→ OP + −−→ OQ con −−→ OP paralelo a u y −−→ OQ paralelo a v. Ahora, en el caso z paralelo (por ejemplo) a u, podemos escribir z = z + 0 dándose que z es paralelo a u y 0 es paralelo a v. Similarmente, si z es paralelo a v, z = 0+ z donde 0 es paralelo a u y z es paralelo a v. Tenemos así que dado un vector z cualquiera, z se descompone como se dijo inicial- mente, es decir, en la forma (1.5). Consideremos ahora un vector z descompuesto en la forma (1.5). Como p es paralelo a u y q es paralelo a v entonces p = a u y q = b v para ciertos escalares a y b; por tanto, z es expresable en la forma z = a u + b v. A continuación probaremos que los escalares a y b en la escritura anterior de z son únicos: Supongamos que z = a 1 u + b 1 v y también z = a 2 u + b 2 v (Vamos a probar que a 1 = a 2 y b 1 = b 2 ).

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Excelente curso de geometria vectorial

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  • 1.4. Descomposicin de un vector 23

    1.4 Descomposicin de un vector

    Sean u y v vectores dados no paralelos. Empezaremos mostrando cmo cualquier vectorz puede descomponerse en la forma

    z = p +q (1.5)

    con p paralelo a u y q paralelo a v .Consideremos primero el caso en el cual z no es paralelo a u ni a v . Dibujamos u ,v

    y z con punto inicial comn y trazamos, pasando por el extremo final de z , paralelas au y v , hasta cortar las rectas que contienen estos vectores.

    Figura 1.32.

    Si P y Q son los correspondientes puntos de corte y O denota el punto inicial de u yv , como en la figura 1.27, se tiene que

    z = OP +OQ

    conOP paralelo a u y OQ paralelo a v .Ahora, en el caso z paralelo (por ejemplo) a u , podemos escribir

    z = z +0

    dndose que z es paralelo a u y 0 es paralelo a v . Similarmente, si z es paralelo a v ,

    z = 0 +z

    donde0 es paralelo a u y z es paralelo a v .

    Tenemos as que dado un vector z cualquiera, z se descompone como se dijo inicial-mente, es decir, en la forma (1.5).

    Consideremos ahora un vector z descompuesto en la forma (1.5). Como p es paraleloa u y q es paralelo a v entonces p = au y q = bv para ciertos escalares a y b; portanto, z es expresable en la forma

    z = au + bv .

    A continuacin probaremos que los escalares a y b en la escritura anterior de z sonnicos:

    Supongamos que z = a1u + b1v y tambin z = a2u + b2v (Vamos a probar quea1 = a2 y b1 = b2).

  • 24 1. Vectores geomtricos en el plano

    Entonces

    a1u + b1v = a2u + b2v

    a1u a2u = b2v b1v(a1 a2)u = (b2 b1)v . (1.6)

    Si fuese a1 a2 6= 0, podramos escribir u como mltiplo escalar de v y entonces usera paralelo a v , pero sabemos que u no es paralelo a v . Luego a1 a2 = 0, es decir,a1 = a2. Ahora, como a1 a2 = 0 entonces (b2 b1)v =

    0 (ver (1.6)) y como v 6= 0

    entonces b2 b1 = 0 y as b1 = b2.Resumimos la discusin anterior en el siguiente resultado:

    Si u y v son vectores no paralelos entonces para todo vector zexisten nicos escalares a y b tales que

    z = au + bv

    (1.7)

    Nos referiremos a la escritura en (1.7) de un vector z como la descomposicin dez en las direcciones de los vectores u y v .

    Ejemplo 1.11Sean u , v y z los vectores mostrados en la figura 1.33

    Figura 1.33.

    Sabiendo que ku k = 3, kv k = 2 y kz k = 4, hallar la descomposicin de z en lasdirecciones de u y v , determinando los escalares a y b tales que z = au + bv .

    Solucin:Consideremos la figura 1.34 en la cual

    PR es paralelo a v , y RQ es paralelo a u .

    Figura 1.34.

    De acuerdo con la figura tenemos que la descomposicin de z en las direcciones de uy v es

    z = OP +OQ

  • 1.5. Proyeccin de un vector sobre otro vector 25

    dondeOP = au para cierto escalar a < 0 y OQ = bv para cierto escalar b > 0.

    A continuacin determinamos los escalares a y b :Segn la ley del seno aplicada al tringulo OPR tenemos queOP

    sen105o=

    kz ksen45o

    y comoOP = kau k = |a| ku k entonces

    |a| ku ksen105o

    =kz ksen45o

    de donde

    |a| = kz k sen105oku k sen45o =

    4 (0.96)

    31/2 1.81

    y dado que a < 0 entonces a 1.81.Anlogamente, OQ

    sen30o=

    kz ksen45o

    y comoOQ = kbv k = |b| kv k entonces

    |b| = kz k sen30okv k sen45o =

    4 (1/2)

    21/2 = 2 1.41

    y puesto que b > 0 entonces b 1.41.As, la descomposicin del vector z en las direcciones de u y v es

    z = au + bv

    con a 1.81 y b 1.41

    1.5 Proyeccin de un vector sobre otro vector

    Sea u un vector no nulo dado y sea z un vector cualquiera. Como caso particular dedescomposicin de un vector tenemos que z puede descomponerse, de manera nica, enla forma

    z = p +q (1.8)

    con p paralelo a u y q perpendicular a u . El vector p se dice la componente (vecto-rial) de z en la direccin de u , en tanto que q se dice la componente (vectorial)de z perpendicular a u .

    Para obtener grficamente las componentes p y q se dibujan z y u con el mismopunto inicial y se traza una perpendicular desde el extremo final de z hasta cortar larecta que contiene al vector u . Si P es el punto de corte y O es el punto inicial de z y uentonces

    p = OP y q = z p

    Lo anterior se ilustra en la figura 1.35, en la cual z 6= 0 y es el ngulo entre z y u .

  • 26 1. Vectores geomtricos en el plano

    Figura 1.35.

    Ntese que si z = 0 , entonces en (1.8) p = 0 y q = 0 .El vector p en (1.8) tambin se llama proyeccin de z sobre u y se denota

    Proyuz . Obsrvese que:

    Si z es paralelo a u entonces Proyuz = z .

    Si z es perpendicular a u entonces Proyuz =0 .

    Puesto que el vector p = Proyuz es paralelo a u , existe un escalar r tal que

    p = ruku k .

    Tal escalar r se llama componente escalar de z en la direccin de u . Ntese queesa componente escalar puede ser positiva, cero o negativa.

    Si z = 0 ya sabemos que Proyuz =0 . Supongamos entonces que z 6= 0 y

    sea el ngulo entre z y u . A continuacin hallaremos una expresin para el vectorp = Proyuz en trminos de u ,z y .

    Si 0o < < 900 (figura 1.35, caso a) entonces p tiene la misma direccin de u ypor tanto p = kp k

    uku k . Ahora, como

    cos =kp kkz k , es decir, k

    p k = kz k cos

    entonces p = (kz k cos)uku k y as

    Proyuz = (kz k cos)

    uku k .

    Ntese que esta frmula tambin es vlida si = 0o y si = 900. En efecto, si = 0o

    los dos miembros en ella son iguales a z , y si = 900 esos dos miembros son igualesa0 .

  • 1.5. Proyeccin de un vector sobre otro vector 27

    Si 900 < < 1800 (figura 1.35, caso b) entonces p tiene direccin opuesta a la deu y por tanto p = kp k

    uku k

    . Ahora, en este caso

    cos(1800 ) = kp kkz k , es decir, k

    p k = kz k cos(1800 )

    y como cos(1800 ) = cos entonces kp k = kz k cos. Luego

    p = ( kz k cos)uku k

    y as (como en el caso anterior)

    Proyuz = (kz k cos)

    uku k .

    Ntese que esta frmula tambin es vlida si = 1800, pues en tal caso sus dosmiembros son iguales a z .

    A continuacin recogemos lo bsico de la discusin anterior.

    Sea u un vector no nulo y z un vector cualquiera. Si z = 0 , Proyuz =

    0 .

    En este caso la componente escalar de z en la direccin de u es 0. Si z 6= 0 y es el ngulo entre z y u ,

    Proyuz = (kz k cos)

    uku k .

    En este caso la componente escalar de z en la direccin de u eskz k cos.

    Ejemplo 1.12Sean u y z vectores tales que ku k = 3 y kz k = 4. Hallar la componente escalar de zen la direccin de u y la proyeccin de z sobre u , en cada uno de los siguientes casos:

    a) El ngulo entre z y u es de 60o.b) El ngulo entre z y u es de 150o.c) z es perpendicular a u .d) z tiene direccin opuesta a la de u .

    Solucin:Si r es la componente de z en la direccin de u entonces:En el caso a), el cual se ilustra en la figura 1.36a, se tiene

    r = kz k cos 60o = 41

    2

    = 2 y as Proyu

    z = 2uku k =

    2

    3u

  • 28 1. Vectores geomtricos en el plano

    Figura 1.36.

    En el caso b), ilustrado en la figura 1.36b, se tiene

    r = kz k cos 150o = 43

    2

    != 2

    3 y as Proyu

    z =23 uku k =

    23

    3u

    En el caso c), por ser z perpendicular a u , sabemos que Proyuz =0 (figura

    1.36c), es decir, r = 0. Si se emplea la frmula para r igualmente se obtiene r = 0, puesr = kz k cos 90o = 0.

    En el caso d), por ser z paralelo a u , sabemos que Proyuz = z (figura 1.36d).Ahora, como z tiene direccin opuesta a la de u entonces

    z = kz kuku k = 4

    uku k

    y por tanto r = 4. Si se quiere emplear la frmula para r igualmente se obtiene r = 4,pues r = kz k cos 180o = 4.

    Ejemplo 1.13Un cuerpo se desliza sobre un plano inclinado un ngulo , como se muestra en la figura1.37 en la cual u es un vector unitario en la direccin del movimiento y v un vectorunitario perpendicular a u . Halle, para cada posicin del cuerpo en su deslizamiento, lascomponentes de su peso w en las direcciones de los vectores u y v ; exprselas en trminosde w , ,u y v .

  • 1.6. Producto escalar 29

    Figura 1.37.

    Solucin:Para cada posicin del cuerpo, las componentes de su peso w en las direcciones de u

    y v son respectivamenteDF = Proyu

    w y DE = Proyv w

    Ahora, el ngulo EDG entre w y v es igual al ngulo (por qu?), y por tanto elngulo GDF entre w y u es 900 . Luego,

    Proyuw =

    kwk cos 900 u = (kwk sen)uy

    Proyvw = (kwk cos)v

    As, las componentes del peso w en las direcciones de u y v son respectivamente

    Proyuw = (kwk sen)u y Proyv w = (kwk cos)v .

    1.6 Producto escalar

    Hasta el momento hemos sumado dos vectores y multiplicado un escalar por un vector.Ahora consideraremos cierto producto entre dos vectores, el cual es llamado producto es-calar, pues el resultado es un escalar. Como introduccin a dicho producto, nos referiremosa continuacin al concepto de trabajo en la Fsica.

    Consideremos un cuerpo el cual experimenta un desplazamiento u = PQ mientrasacta sobre l una fuerza constante no nula

    F , que forma un ngulo con u , como se

    ilustra en la figura 1.38.

    Figura 1.38.

  • 30 1. Vectores geomtricos en el plano

    Pues bien, el trabajo W realizado por la fuerzaF se define como el producto de la

    componente escalar deF en la direccin del vector desplazamiento u y la magnitud de

    u . Es decir,W =

    F cos ku ko sea

    W =F ku k cos (1.9)

    Observe que el trabajo es una cantidad escalar que puede ser positiva, cero o negativa.Es positiva cuando u 6= 0 y 0 <

    2; es cero cuando u = 0 (el cuerpo no se desplaza)

    o cuando =2(F es perpendicular al desplazamiento u ), y es negativa cuando u 6= 0

    y2< . Por ejemplo, cuando se levanta un objeto, el trabajo realizado por la fuerza

    aplicada es positivo (en este caso, la fuerza aplicada y el desplazamiento tienen la mismadireccin) mientras que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es negativo (lafuerza gravitacional y el desplazamiento tienen direcciones opuestas).

    El escalar W en (1.9), que se ha obtenido a partir de los vectoresF y u , se dice el

    producto escalar deF y u y se denota

    W =F u

    En general, dados dos vectores geomtricos cualesquiera v y u , se define el productoescalar v u as:

    Si u = 0 o v = 0 , v u = 0 Si u 6= 0 , v 6= 0 y es el ngulo entre v y u ,

    v u = kv k ku k cos (1.10)

    Una consecuencia inmediata de la definicin dada es que

    v u = 0 si y slo si v y u son perpendiculares

    Adems, como 1 cos 1, entonces

    kv k ku k kv k ku k cos kv k ku kpor tanto, para u 6= 0 y v 6= 0 , se tiene que

    kv k ku k v u kv k ku ko, equivalentemente,

    |v u | kv k ku k.

    Esta desigualdad, la cual es vlida tambin para u = 0 o v = 0 , se conoce comodesigualdad de Cauchy-Schwarz.

    El producto escalar tiene las siguientes propiedades, vlidas cualesquiera sean los vec-tores u ,v ,w y cualquiera sea el escalar r.

  • 1.6. Producto escalar 31

    1. u v = v u2. u u = ku k23. (ru ) v = r(u v ) = u (rv )4. u (v +w ) = u v +u w y

    (u +v ) w = u w +v w

    Las propiedades 1. y 2. se siguen, en forma inmediata, de la definicin del productoescalar. La prueba de las propiedades 3. y 4. se deja como ejercicio.

    Ejemplo 1.14Un cubo se desliza entre dos puntos A y B distantes 5 metros sobre un plano inclinadoque forma 30o con la horizontal, como en la figura 1.39. Si el cubo pesa 12 Newtons y lafuerza de friccin que se produce por el rozamiento entre el cubo y el plano inclinado es de3 Newtons, calcule el trabajo realizado por el peso w, la fuerza de friccin Ff , la normalN y la fuerza resultante

    F cuando el cubo se desplaza entre los puntos A y B.

    Solucin:Para cualquier posicin del cubo en su desplazamiento entre los puntos A y B, las

    fuerzas que actan sobre l son su peso w , la normal N y la fuerza de friccin Ff . Enla figura 1.39 se muestra el diagrama de dichas fuerzas, como tambin la fuerza resul-tante

    F , el vector desplazamiento r = AB y la descomposicin vectorial del peso w en

    una componente wr en la direccin del movimiento y una componente wn en la direccinperpendicular al movimiento.

    Figura 1.39.

    Sean W1,W2,W3 y WT los trabajos realizados, respectivamente, por el pesow , la

    friccinFf , la normal

    N y la resultante

    F cuando el cubo se desplaza de A a B. Como el

    ngulo entre w y r es de 60o entonces

    W1 =w r = kw k kr k cos 60o = (12)(5)

    1

    2

    = 30 Joules.

    De manera similar, como el ngulo entreFf y

    r es de 180o entonces

    W2 =Ff r =

    Ff kr k cos 180o = (3)(5)(1) = 15 Joules.

  • 32 1. Vectores geomtricos en el plano

    Observe que el trabajo W2 es negativo ya que la fuerza de friccinFf tiene direccin

    contraria a la del vector desplazamiento r .Por otra parte, como el ngulo entre

    N y r es de 90o entonces

    W3 =N r =

    N kr k cos 90o = 0.Obsrvese que el trabajo W3 es nulo porque la fuerza normal

    N es perpendicular al

    vector desplazamiento r . Por ltimo, la fuerza resultante F est dada porF = w +Ff +

    N = wr +wn +

    Ff +

    N

    pero como la normalN tiene la misma magnitud de la componente wn del peso y direccin

    contraria a la de wn, es decir,N = wn entonces

    F = wr +

    Ff .

    Ahora, wr tiene la direccin del movimiento y

    kwrk = kwk sen30o = (12)1

    2

    = 6

    mientras queFf tiene la direccin contraria a la del movimiento y

    Ff = 3. Luego, lafuerza resultante

    F es tal que

    F = 3 y su direccin es la misma que la del movimiento.As que

    WT =F r =

    F kr k cos 0o = (3)(5)(1) = 15 Joules.Observe que

    WT =W1 +W2.

    1.7 Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descom-posicin cannica

    Empecemos por recordar que el conjunto de los puntos sobre una recta L se puede poneren correspondencia biunvoca con el conjunto R de los nmeros reales como se indica acontinuacin:

    Se elige en L un punto O al que se llama origen y una orientacin o direccin,la cual se dice positiva que se indica con una punta de flecha (figura 1.40). En la rectaorientada L se dice que un punto A est a la izquierda de un punto B (o que B est ala derecha de A) si al ir de A a B lo hacemos en sentido positivo. Se escoge una unidadde longitud y luego se hace corresponder un nmero real x a cada punto X de L as: 0corresponde al origen O, 1 corresponde al punto de L que est una unidad a la derechade O y en general un nmero positivo x corresponde al punto X situado x unidades a laderecha de O. Por otra parte, 1 corresponde al punto de L que est una unidad a laizquierda de O y en general un nmero negativo x corresponde al punto X situado xunidades a la izquierda de O. Si a un punto X de L le corresponde el nmero real x, de lamanera antes indicada, se dice que x es la coordenada del punto X.

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 33

    Figura 1.40.

    Establecida dicha correspondencia, la recta L se dice una recta real, una rectanumrica o tambin un eje coordenado.

    Ahora recordemos la gran idea del matemtico y filsofo Francs Rene Descartes (1596- 1650) en relacin con un sistema de referencia para ubicar puntos en el plano. En ella sehace uso del concepto de par ordenado (o pareja ordenada) de nmeros reales, el cualse refiere a una pareja de nmeros para los cuales importa el orden en que los coloquemos.El par ordenado que consiste de los nmeros a y b, siendo a el primero y b el segundo,

    se acostumbra denotarlo en la forma (a, b) o tambin en la formaab

    . En este texto

    optaremos por emplear la segunda de las notaciones anteriores por simple conveniencia.

    Ntese que el par1

    2

    es distinto del par

    2

    1

    pues, aunque los dos estn conformados

    por los mismos nmeros reales 1 y 2, el orden en que estos nmeros aparecen en el primerpar es diferente al orden en que aparecen en el segundo. En general, se tiene que

    ab

    =

    cd

    si y slo si a = c y b = d.

    Denotaremos R2 el conjunto de todos los pares ordenadosab

    de nmeros reales, es

    decir,

    R2 =

    ab

    / a, b R

    .

    La idea de Descartes consisti en considerar en el plano un par de ejes coordenadosperpendiculares, con la misma unidad de longitud y con un mismo origen O, el cual esel punto de corte de dichos ejes. Se acostumbra tomar uno de los ejes horizontal y conorientacin positiva hacia la derecha (ste es llamado eje x), y el otro (llamado eje y) conorientacin positiva hacia arriba (Ver figura 1.41).

    Una vez escogido un tal sistema de ejes coordenados (al cual nos referiremos como unsistema cartesiano xy) se establece, de manera natural, una correspondencia biunvocaentre el conjunto de puntos del plano y el conjunto R2 de todos los pares ordenados de

    nmeros reales. A cada punto P del plano se le hace corresponder un par ordenadoab

    de

    nmeros reales a, b obtenidos de la siguiente manera: desde el punto P se trazan paralelasal eje x y al eje y; el nmero a es la coordenada del punto donde se corte al eje x, y elnmero b la coordenada del punto donde se corte al eje y (Ver figura 1.41).

  • 34 1. Vectores geomtricos en el plano

    Figura 1.41.

    Los nmeros a y b se dicen las coordenadas cartesianas o rectangulares del puntoP ; a se dice la abscisa o tambin coordenada x, y b se dice la ordenada o tambincoordenada y del punto P. De esta manera a cada punto P del plano le corresponde la

    parejaab

    de sus coordenadas. Esta correspondencia es biunvoca, ya que si partimos de

    una pareja ordenadaab

    de nmeros reales e invertimos el proceso antes descrito, vemos

    que existe un nico punto P del plano del cualab

    es su pareja de coordenadas.

    Es necesario tener presente que el plano (cuyos elementos son puntos) es distinto delconjunto R2 (cuyos elementos son pares ordenados de nmeros reales). Sin embargo, unavez se fija un sistema cartesiano en el plano, se usa la correspondencia antes mencionada

    entre el plano y R2 para identificar cada punto P del plano con su parab

    de coordenadas.

    As, diremos el punto P =ab

    en vez de el punto P cuyo par de coordenadas es

    ab

    .

    En adelante asumiremos que el plano est dotado de un sistema cartesiano y nos referire-mos a l como plano cartesiano. A continuacin consideraremos los vectores geomtricosen el plano cartesiano.

    Es costumbre denotari al vector unitario que apunta en la direccin positiva del eje

    x, yj al vector unitario que apunta en la direccin positiva del eje y. En la figura 1.42 se

    muestran dichos vectoresi ,j con su punto inicial en el origen.

    Figura 1.42.

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 35

    Puesto quei y

    j no son paralelos se tiene que:

    Para todo vector u , existen nicos escalares a y b tales que u = ai + bj . (1.11)

    La descomposicin

    u = ai + bj

    de un vector u se llama descomposicin cannica de u . Los nmeros a y b (los cualesson las componentes escalares de u en las direcciones de i y j respectivamente) se dicenlas componentes escalares de u o simplemente las componentes de u ; a se dice lacomponente x y b la componente y.

    Dado quei y

    j son unitarios y apuntan en las direcciones positivas de los ejes x y y,

    respectivamente, la descomposicin cannica de cualquier vector u es bastante sencilla deobtener. Por ejemplo, el vector u que va del origen al punto

    4

    2

    se expresa claramente

    en la forma

    u = 4i + 2j

    como se aprecia en la figura 1.43.

    Figura 1.43.

    Recprocamente, si el vector u = 4i +2j tiene su punto inicial en el origen entoncessu punto final es P =

    4

    2

    . En general, se tiene que

    OP = a

    i + b

    j si y slo si P =

    ab

    En la figura 1.44 se ilustra lo anterior en el caso a < 0 y b > 0.

  • 36 1. Vectores geomtricos en el plano

    Figura 1.44.

    Para cada punto P , el vectoOP se dir el vector de posicin del punto P.

    Hallemos ahora la descomposicin cannica de un vector cualquieraPQ con punto

    inicial P =ab

    y punto final Q =

    cd

    (figura 1.45).

    Figura 1.45.

    ComoPQ =

    OQOP y dado que

    OQ = c

    i + d

    j y

    OP = a

    i + b

    j

    entoncesPQ = (c

    i + d

    j ) (ai + bj ) = (c a)i + (d b)j .

    Ntese que si R =c ad b

    entonces

    OR = (c a)i + (d b)j

    y por tantoPQ es igual al vector de posicin

    OR (ver figura 1.45).

    Tenemos as que:

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 37

    Si P =ab

    y Q =

    cd

    entonces la descomposicin cannica de

    PQ es

    PQ = (c a)i + (d b)j

    y asPQ =

    OR donde R =

    c ad b

    .

    Dada la unicidad de la descomposicin cannica de cualquier vector u se tiene que:

    Si u = ai + bj y v = a0i + b0j entoncesu = v si y slo si a = a0 y b = b0.

    En particular, como0 = 0

    i + 0

    j ,

    Si u = ai + bj entoncesu = 0 si y slo si a = 0 y b = 0.

    Ejemplo 1.15

    Sean P =2

    3

    y Q =

    14

    .

    a) Halle la descomposicin cannica del vectorPQ.

    b) Halle el punto R tal quePQ =

    OR.

    Solucin:a) La descomposicin cannica del vector

    PQ es

    PQ = (1 2)i + (4 3)j = 3i +j

    b) Puesto quePQ = 3i +j se tiene que PQ = OR donde R =

    31

    . (Figura

    1.46).

    Figura 1.46.

  • 38 1. Vectores geomtricos en el plano

    Tenemos ahora dos maneras de describir cualquier vector no nulo u : una dando lamagnitud ku k y la direccin , y otra expresndolo en la forma u = ai + bj , es decir,dando su descomposicin cannica. Podemos pasar de cualquiera de las dos a la otra, comose muestra a continuacin:

    Digamos que partimos de u = ai + bj . (Ver figura 1.47.)

    Figura 1.47.

    En primer lugar, segn Teorema de Pitgoras, es claro que

    ku k =pa2 + b2.

    En cuanto a la direccin de u se tiene lo siguiente:

    Si a = 0 entonces = 90o cuando b > 0, y = 270o cuando b < 0. Si a 6= 0 entonces

    tan =ba.

    As, si es agudo entonces = tan1ba

    . Ahora, si no es agudo, entonces 6=

    tan1ba

    ; sin embargo, a partir de tan1

    ba

    siempre podremos obtener la direccin .

    (Vea ejemplo 1.16).

    Digamos ahora que partimos de u descrito dando su magnitud ku k y su direccin ,y supongamos que u = ai + bj (ver figura 1.47).

    Como cos =aku k y sen =

    bku k entonces

    a = ku k cos y b = ku k sen

    y por tanto, la descomposicin cannica de u es

    u = (ku k cos )i + (ku k sen)j

    que podemos escribir tambin como

    u = ku k ((cos )i + (sen)j ).

    Ntese que (cos )i + (sen)

    j es un vector unitario (pues cos2 +sen2 = 1) con la

    misma direccin de u .

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 39

    Ejemplo 1.16Hallar la magnitud y la direccin de cada uno de los vectoresz1 = 3

    i +5

    j , z2 =

    i +2

    j

    y z3 = 6i 2j .

    Solucin:En la figura 1.48 se muestran los vectores z1 ,z2 ,z3 con punto inicial en el origen y sus

    respectivas direcciones 1, 2 y 3.

    Figura 1.48.

    Como z1 = 3i + 5

    j entonces kz1k =

    32 + 52 =

    34. De manera similar,

    kz2k =p(1)2 + 22 =

    5 y kz3k =

    p62 + (2)2 =

    40.

    A continuacin determinamos 1, 2 y 3 :

    tan 1 = 53 y como 0 < 1 < 90o entonces 1 = tan1(53) = 59.04o (vea figura 1.48a.)

    tan 2 = 21 , pero como 90o < 2 < 180o entonces 2 6= tan1(21). Sin embargo (veafigura 1.48b.), 2 = tan1(21) + 180o = 63.43o + 180o = 116.57o.

    De manera similar al caso anterior, tan 3 = 26 = 13 , pero como 270o < 3 < 360oentonces 3 6= tan1(13). En este caso 3 = tan1(13) + 360o = 18.43o + 360o =341.57o. (Vea figura 1.48c.)

    Ejemplo 1.17Halle la descomposicin cannica del vector

    OP tal que

    OP = 52 y dir(OP ) = 34 rad.(Figura 1.49).

    Solucin:

  • 40 1. Vectores geomtricos en el plano

    Figura 1.49.

    La descomposicin cannica deOP est dado porOP = a

    i + b

    j

    donde

    a =OP cos 3

    4=5

    2

    1

    2

    = 5

    22y b =

    OP sen34=5

    2

    12

    =

    5

    22.

    As, la descomposicin cannica deOP es

    OP = 5

    22

    i +

    5

    22

    j .

    Si se conoce la decomposicin cannica de vectores u y v es muy sencillo hallar u +vy tambin ru , para cualquier r R, dado que:

    Si u = ai + bj y v = ci + dj entonces u +v = (a+ c)i + (b+ d)j . ru = (ra)i + (rb)j .

    La comprobacin de lo anterior se deja como ejercicio para el lector.

    Ejemplo 1.18Si u = 2i + j , v = i + 3j y w = 4j , hallar la descomposcin cannica de losvectores 2u +v , u + 3v 2w y 6v + 4w.

    Solucin:

    2u +v = 2(2i +j ) + (i + 3j )= (4

    i + 2

    j ) + (i + 3j )

    = (4 1)i + (2 + 3)j= 3

    i + 5

    j.

    u + 3v 2w = (2i +j ) + 3(i + 3j ) 2(4j )= 2

    i +

    j 3i + 9j 8j

    = (2 3)i + (1 + 9 8)j= i + 2j

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 41

    6v + 4w = 6(i + 3j ) + 4(4j )= 6

    i 18j + 16j

    = 6i 2j .

    Ejemplo 1.19Sean u y v los vectores mostrados en la figura 1.50, tales que ku k = 2 y kv k = 1. Hallela magnitud y direccin del vector z = 2u + 4v .

    Figura 1.50.

    Solucin:Hallemos la descomposicin cannica de u y v , para luego hallar la del vector z .

    u = (ku k cos 60o)i + (ku k sen60o)j

    = 2

    1

    2

    i + 2

    3

    2

    !j

    =i +

    3j .

    v = (kv k cos 150o)i + (kv k sen150o)j= (cos 150o)

    i + (sen150o)

    j

    = ( cos 30o)i + (sen30o)j

    = 3

    2

    i +

    1

    2

    j .

    Por tanto,

    z = 2i +

    3j+ 4

    3

    2

    i +

    1

    2

    j

    != (2 2

    3)i + (2

    3 + 2)

    j .

    Ahora s hallemos kz k y dir(z ) :kz k =

    q(2 2

    3)2 + (2

    3 + 2)2 = 2

    q(1

    3)2 + (

    3 + 1)2 = 2

    8 = 4

    2.

    Sea = dir(z ). Entonces tan = 23 + 2

    2 23y como 90o < < 180o, pues 2 2

    3 < 0

    y 23 + 2 > 0, entonces

    = tan123 + 2

    2 23

    !+ 180o = tan1

    3 + 1

    13

    !+ 180o = 75o + 180o = 105o.

  • 42 1. Vectores geomtricos en el plano

    Hemos visto cmo a partir de la descomposicin cannica podemos hallar la magnitudy la direccin de un vector. Tambin hemos visto cmo se realizan de manera sencillala suma de vectores y la multiplicacin de un escalar por un vector cuando se conoce ladescomposicin cannica de los vectores. Ahora obtendremos una expresin muy simplepara el producto escalar u v de dos vectores u y v , en trminos de las componentes(escalares) de dichos vectores.

    Sean u = ai + bj y v = ci + dj . Supongamos que u 6= 0 , v 6= 0 y que elngulo entre u y v no es de 0o, ni de 180o, es decir, 0o < < 180o (Vea figura 1.51).

    Figura 1.51.

    De la ley del coseno, aplicada al tringulo de la figura 1.51 se obtiene que

    ku v k2 = ku k2 + kv k2 2 ku k kv k cos (1.12)

    Ahora, como el lector puede comprobar sin mucha dificultad, esta igualdad tambin esvlida si = 0o o si = 180o, casos en los cuales no tendramos un tringulo como el dela figura 1.51. De manera que la igualdad (1.12) es vlida para 0o 180o. Escribamosdicha igualdad en la forma

    ku k kv k cos = 12

    ku k2 + kv k2 ku v k2

    y sustituyamos en su lado derecho

    ku k2 = a2 + b2, kv k2 = c2 + d2 y ku v k2 = (a c)2 + (b d)2.

    Luego de desarrollar los cuadrados (a c)2, (b d)2 y de simplificar, se obtiene laimportante igualdad

    ku k kv k cos = ac+ bd. (1.13)Ntese que el lado izquierdo de (1.13) es justamente u v ; ntese, adems, que el lado

    derecho de (1.13) tambin es igual a u v cuando u = 0 o v = 0 . Tenemos as que

    Si u = ai + bj y v = ci + dj entonces u v = ac+ bd (1.14)

    Ahora, ya que el producto u v es fcil de calcular a partir de las descomposicionescannicas de u y v , resulta de gran utilidad expresar, en trminos de u v , el ngulo

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 43

    entre u y v , la componente escalar de v en la direccin de u y la proyeccin de v sobreu . Tales expresiones se derivan de la igualdad

    ku k kv k cos = u v

    Por ejemplo, despejando cos en dicha la igualdad se tiene que

    Si u 6= 0 y v 6= 0 , el ngulo entre u y v es tal quecos =

    u vku k kv k

    (1.15)

    Tambin podemos despejar kv k cos, que es la componente escalar de v en la direc-cin de u cuando v 6= 0 . Se obtiene

    kv k cos =u vku k .

    Ntese que el lado derecho, el cual es 0 cuando v = 0 , tambin nos da la componenteescalar de v en la direccin de u si v = 0 . As que,

    Si u 6= 0 , la componente escalar de v en la direccin de u esu vku k

    y as, Proyuv =

    u vku k

    uku k =

    u vku k2

    !u =

    u vu u

    u

    (1.16)

    Empleando (1.14) se puede probar rpidamente las propiedades 3. y 4. del productoescalar, que fueron enunciadas luego de la definicin de dicho producto. Como ejemplo,probaremos la propiedad 3.:

    Digamos que u = ai + bj y v = ci + dj . Entonces

    (ru ) v =(ra)

    i + (rb)

    jci + d

    j

    = (ra)c+ (rb)d

    = r(ac+ bd)

    = r(u v ).

    De manera similar se prueba que u (rv ) = r(u v ).

    Ejemplo 1.20Considere los vectores u = 3i +j y v = i + 2j . Hallar:a) u vb) El ngulo entre u y vc) La componente escalar de v en la direccin de u y el vector Proyuv .

  • 44 1. Vectores geomtricos en el plano

    Solucin:En la figura 1.52 se muestran los vectores u ,v , el ngulo entre ellos y el vector

    Proyuv , el cual es OP.

    Figura 1.52.

    a) De acuerdo con (1.14), u v = (3)(1) + (1)(2) = 5b) Para hallar emplearemos (1.15). Como u v = 5, ku k = 32 + 12 = 10 ykv k = 12 + 22 = 5 entonces

    cos =5105=

    12

    y como 0o < < 180o, = cos112

    = 45o.

    c) La componente escalar de v en la direccin de u esu vku k =

    510, y por tanto

    Proyuv = 5

    10

    uku k =

    510

    u10=1

    2u = 1

    2

    3i +

    j

    Ejemplo 1.21Hallar el rea A del paralelogramo cuyos vrtices son los puntos A =

    0

    1

    , B =

    4

    0

    ,

    C =2

    2

    y D =

    21

    .

    Solucin:En la figura 1.53 se muestra el paralelogramo en consideracin, su altura h relativa a

    la base AB y el ngulo entre los vectoresBA y

    BC.

    Figura 1.53.

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 45

    El rea del paralelogramo esA =

    ABhy como h =

    BCsen, entoncesA =

    ABBC seno tambin

    A =BABC sen (1.17)

    Procedemos entonces a hallarBA ,BC y sen :

    BA = (0 4)i + (1 0)j = 4i j ,

    BA =p(4)2 + (1)2 = 17BC = (2 4)i + (2 0)j = 2i + 2j ,

    BC =p(2)2 + 22 = 8.Como es el ngulo entre

    BA y

    BC entonces

    cos =BA BCBABC = (4)(2) + (1)(2)178 = 6178 = 3172 = 334

    Ahora, sen = 1 cos2 , pero como es gudo entonces sen = 1 cos2 =r1 9

    34=

    534.

    Luego, sustituyendo en (1.17)BA = 17, BC = 8 y sen = 5

    34, tenemos que

    el rea del paralelogramo es

    A =178

    534

    = 10 (unidades cuadradas).

    Ejemplo 1.22Considere el tringulo cuyos vrtices son los puntos A =

    2

    1

    , B =

    32

    y C =

    5

    4

    .

    a) Es el tringulo ABC un tringulo rectngulo?b) Halle los tres ngulos del tringulo ABCc) Calcule el rea del tringulo ABC

    Solucin:En la figura 1.54 se muestra el tringulo ABC.

    Figura 1.54.

  • 46 1. Vectores geomtricos en el plano

    a) El tringulo ABC ser un tringulo rectngulo si y slo si dos de sus lados son per-pendiculares, es decir, si y slo si alguno de los productos escalares

    AB BC, AB AC y

    BC AC es cero. Calculemos, entonces, estos productos:Como

    AB = (3 2)i +(2 1)j = 5i 3j , AC = (5 2)i +(4 1)j =

    3i 5j y BC = (5 (3))i + (4 (2))j = 8i 2j entonces

    AB BC = (5)(8) + (3)(5) = 34 (as AB BC 6= 0)AB AC = (5)(3) + (3)(5) = 0.

    ComoAB AC = 0 entonces los vectores AB y AC son perpendiculares y por tanto el

    tringulo ABC es rectngulo.b) Por el literal a) sabemos que el ngulo\BAC es recto. Sean y , respectivamente, losngulos\ABC y\BCA. Puesto que es el ngulo entre los vectores

    BA y

    BC tenemos que

    cos =BA BCBABC .

    Ahora, como

    BA BC =

    AB

    BC

    =

    AB BC

    = 34 y

    BA = ABse tiene que

    cos =34p

    (5)2 + (3)2p82 + (2)2

    =343468=

    12

    y as = cos112

    = 45o. Se sigue que = 45o.

    c) Como el ngulo\BAC es recto entonces el rea A del tringulo ABC es

    A = 12

    ABAC = 12

    3434 = 17 (unidades cuadradas).

    Ejemplo 1.23Probar que las diagonales de un rombo son bisectrices de sus correspondientes ngulos.

    Prueba:En la figura 1.55 se muestra un rombo OPQR.

    Figura 1.55.

    Recordemos que un rombo es un paralelogramo con sus lados de igual longitud.Veamos que la diagonal OQ es bisectriz del ngulo\POR, es decir, que los ngulos y

    que se muestran en la figura 1.55 son iguales.

  • 1.7. Vectores geomtricos en el plano cartesiano. Descomposicin cannica 47

    Como y son, respectivamente, los ngulos entreOP y

    OQ y entre

    OQ y

    OR entonces

    cos =OP OQOPOQ =

    OP

    OP +

    OR

    OPOQ =

    OP2 +OP OROPOQcos =

    OR OQOROQ =

    OR

    OP +

    OR

    OROQ =

    OR OP +

    OR2OROQAhora, como el paralelogramo OPQR es un rombo entonces

    OP = OR y puestoque

    OP OR = OROP, al comparar los miembros derechos de las dos igualdades anteriores,

    se concluye que cos = cos . Se sigue que = , como se quera probar, pues y seencuentran entre 0o y 180o.

    En forma anloga el lector puede mostrar que la diagonal PR es bisectriz del ngulo\OPQ. Ejemplo 1.24Probar que las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares si y slo si el paralelo-gramo es un rombo.

    Prueba:En la figura 1.56 se muestra un paralelogramo OPQR y sus diagonales OQ y PR.

    Figura 1.56.

    En primer lugar,

    OQ y PR son perpendiculares OQ y PR son perpendiculares OQ PR = 0

    OP +

    OR

    OROP

    = 0

    OP OROP2 + OR2 OR OP = 0

    OR2 = OP2

    OR = OP .

    Ahora, como el cuadriltero OPQR es un paralelogramo entoncesOR = OP OR = OP = PQ = RQ el paralelogramo OPQR es un rombo

    As, las diagonales OQ y PR son perpendiculares si y slo si el paralelogramo OPQRes un rombo.

  • 48 1. Vectores geomtricos en el plano

    1.8 Ejercicios

    1. Para cada literal dibujar el vector con las caractersticas descritas.

    a)AB = 5 y dir AB = 20o.

    b) kv k = 2 y dir (v ) = 180o.c) kw k = 12 y dir (w ) = 240o.

    2. Sean u ,v y w vectores del plano. Probar que u +v = u +w si y slo si v = w.

    3. Sean A,B,C y D puntos del plano tales que D est sobre el segmento AB y sudistancia al punto A es 23 de la distancia entre A y B. Si E es el punto medio del

    segmento de recta AC, expresar el vectorDE en trminos de

    AB y

    AC.

    4. Suponiendo queAD = 14

    AB y

    BE = 12

    BC, expresar

    DE en trminos de

    AB y

    BC.

    5. Dos remolcadores A y B llevan un barco a un puerto. El remolcador A ejerce unafuerza de 7000 lbf sobre su cable con direccin de 80o. El remolcador B ejerce unafuerza de 5000 lbf con direccin de 20o. Hacer un grfico que muestre la fuerzaresultante y hallar la magnitud y direccin de dicha fuerza.

    6. Un avin viaja a una velocidad de 100 millas por hora (respecto al viento) hacia elsureste y el viento tiene una velocidad de 30 millas por hora (respecto a la tierra)hacia el nordeste. Cul es la velocidad resultante del avin con respecto a la tierra?.

    7. Dos autos parten al mismo tiempo de un punto O. El primero se desplaza a unavelocidad de 40 km/h en direccin S 60o O y el segundo con una velocidad de 30km/h hacia el sureste. Representar grficamente esta situacin y calcular la distanciaentre los dos autos cuando han transcurrido dos horas.

    8. Un nadador, con una velocidad de nado de 1.5 km/h con respecto al agua, parte dela rivera de un ro y nada hacia el norte a travs del ro. Si la corriente del ro fluyehacia el este a 0.8 km/h, hallar:

    a) La velocidad del nadador con respecto a la tierra.

    b) Suponga que el ancho del ro es 1 km. Qu tan lejos, ro abajo, el nadador alcanzala otra orilla?.

    9. Sea ABCD un cuadriltero y sean P,Q,R y S los puntos medios de sus ladosAB,BC,CD yDA respectivamente. Demostrar, utilizando vectores geomtricos, queP,Q,R y S son los vrtices de un paralelogramo. (Ayuda: Vea ejemplo 1.9.)

    10. Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en supunto medio.

    11. Tres vectores del plano tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El ngulo entre el primeroy el segundo es de 50o, mientras que ngulo entre el segundo y el tercero es de 75o.Encontrar la magnitud del vector suma y el ngulo entre dicho vector suma y elvector dado de mayor longitud.

    12. Sea v un vector tal que kv k = 4 y dir (v ) = 45o.a) Dibujar un vector x tal que kx k = 9 y dir (x ) = dir (v ) .

  • 1.8. Ejercicios 49

    b) Dibujar un vector y tal que ky k = 5 y la direccin de y es la opuesta a ladireccin de v .c) Expresar los vectores x y y como mltiplos escalares del vector v .

    13. Considerar los vectores u ,v ,w que se muestran en la figura, donde ku k = 2,kv k = 3 y kw k = 4.

    Encontrar la descomposicin de w en las direcciones de u y v , determinando losescalares a, b tales que w = au + bv . Hacerlo de dos formas: primero sin recurrir ala descomposicin cannica y luego empleando dicha descomposicin.

    14. Dados los vectores geomtricos v ,u y w tales que kv k = 5, ku k = 8, kwk = 10,dir (v ) = 60o, dir (u ) = 120o y dir (w ) = 180o,a) Dibujar los vectores v ,u y w.b) Encontrar la descomposicin de w en las direcciones de u y v (es decir, hallarescalares a y b tales que w = au + bv ). Hacerlo de dos formas: primero sin recurrira la descomposicin cannica y luego empleando dicha descomposicin.

    15. Hallar la descomposicin cannica de cada uno de los siguientes vectores:

    a) v tal que kv k = 6 y dir (v ) = 225o.b) u tal que ku k = 5 y dir (u ) = 270o.c) w tal que kwk = 3 y dir (w ) = 6 radianes.

    16. Sean u = 2i 5j , v = 3i + j , w = 2i + 3j . Hallar la descomposicincannica, la magnitud y la direccin de los siguientes vectores:

    a) 2u v . b) u v +w . c) 3u + 2v w .

    17. Si u = 3i 4j , hallar:a) La magnitud y direccin de u .b) La descomposicin cannica del vector w de magnitud 7 y direccin opuesta a lade u .c) La descomposicin cannica de cada uno de los vectores de longitud 4

    2 que forma

    ngulo de 45o con el vector u .

  • 50 1. Vectores geomtricos en el plano

    18. Sean P =1

    2

    , Q =

    0

    1

    y R =

    2

    3

    .

    a) Hallar la descomposicin cannica de cada uno de los vectoresQP,

    QR y

    PR.

    b) Mostrar que los puntos P,Q y R no son colineales.

    c) Si M es el punto medio de segmento PR, hallar la descomposicin cannica y lamagnitud de

    QM.

    d) Si B es el baricentro del tringulo PQR, hallar la descomposicin cannica y lamagnitud del vector

    QB.

    e) Encontrar el ngulo entreQP y

    QR.

    f) Sea S el punto de interseccin de la bisectriz del ngulo entreQP y

    QR con el

    segmento PR. Hallar la descomposicin cannica deQS.

    19. Considerar el diagrama de fuerzas de la siguiente figura.

    La fuerzaF tiene una magnitud de 20Newtons y el sistema se encuentra en equilibrio,

    es decir,F +

    T1 +

    T2 =

    0 . Hallar la descomposicin cannica de

    F ,T1 y

    T2.

    20. Para cada par de puntos dados, encontrar el punto R tal que el cuadriltero OPRQ esun paralelogramo.

    a) P =35

    , Q =

    44

    . b) P =

    4

    0

    , Q =

    2

    6

    .

    21. Sean u1 =22

    i +

    22

    j , u2 =

    22

    i +

    22

    j .

    a) Probar que u1 y u2 son perpendiculares.

    b) Hallar la descomposicin de cada unos de los los vectoresi ,j y 2i + 3j en

    las direcciones de u1 y u2.

    22. Sea w = 7i 5j . Para cada par de vectores u y v dados a continuacini) Determinar si existen escalares a y b tales que w = au + bv .ii) Si su respuesta en i) es afirmativa, halle los valores de a y b.

    a) u = i j , v = 2i 3j .

    b) u = i 2j , v = 2i + 4j .

  • 1.8. Ejercicios 51

    23. Calcular v wa) Si kv k = 2, kwk = 3 y el ngulo entre v y w es 3 radianes.b) Si v = 2i 3j y w = 2i .

    24. Sean u = 3i + 4j y v = i + j . Encontrar los valores de para los cuales sesatisface la condicin dada en cada caso.

    a) u es perpendicular a v . b) El ngulo entre u y v es 4 radianes.

    25. Sean u = 3i + 4j , v = 5i j y w = 7i +j . Calcular:a) u (2v w ) . b) ku k (v w ) . c) k(u v )wk .

    26. Para cada par de vectores u y v dados a continuacin, determinar si ellos sonperpendiculares, si el ngulo entre ellos es agudo o si el ngulo entre ellos es obtuso.Calcular la proyeccin de u sobre v .a) u = 6i +j , v = 2i 3j .b) u = 6i + 4j , v = 4i + 6j .c) u = 3i j , v = i + 4j .

    27. Sean v y w vectores. Probar que:a) kv w k2 = kv k2 2 (v w ) + kwk2 .b) (v +w ) (v w ) = kv k2 kwk2 .

    28. Calcular u v sabiendo que u +v +w = 0 , ku k = 5, kv k = 6 y kwk = 7.29. Sean v y w vectores. Probar:

    a) Teorema de Pitgoras: v y w son perpendiculares si y slo si kv +wk2 =kv k2 + kw k2b) Ley del paralelogramo: kv +w k2+kv wk2 = 2 kv k2+2 kw k2 . (Es decir,la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelogramo esigual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus cuatro lados.)

    c) Identidad de polarizacin: kv +wk2 kv wk2 = 4 (v w ) .30. Demostrar, empleando la identidad de polarizacin, que las diagonales de un parale-

    logramo tienen igual longitud si y slo si el paralelogramo es un rectngulo.

    31. Sean u , v y w vectores geomtricos tales que kv k = 4, kwk = 13y u es unitario.

    Si ku v +wk = ku +v +wk y el ngulo entre u y v es 3 radianes,a) Calcular el ngulo entre v y w.b) Calcular la magnitud de la proyeccin de v sobre w.

    32. Para el par de vectores v y w dados en cada literal, calcular el producto escalar, elcoseno del ngulo entre ellos, determinar si son perpendiculares, verificar la desigual-dad de Cauchy-Schwarz y hallar Proyw

    v y Proyv w.a) v = 4i , w = i +jb) v = 4i + 3j , w = 12

    i 23

    j

    c) v = 2i + 18j , w = 32i 16

    j

  • 52 1. Vectores geomtricos en el plano

    33. Sean u y v vectores geomtricos no nulos. Mostrar que u y v son paralelos si yslo si Proyv

    u = u .

    34. Sean u = ai + bj y v = ci + dj , v 6= 0. Encontrar una condicin necesaria ysuficiente sobre a, b, c y d para que v y Proyv u tengana) La misma direccin.

    b) Direccin contraria.

    35. Sea u un vector no nulo y se z un vector cualquiera. Probar que para cualquierescalar no nulo r se tiene que Proyru

    z = Proyuz .

    36. Un tringulo tiene como vrtices los puntos A =1

    3

    , B =

    4

    2

    y C =

    36

    .

    Hallar:

    a) Cada uno de sus ngulos interiores

    b) El rea del tringulo ABC

    37. Sean P =2

    3

    , Q =

    5

    7

    , R =

    2

    3

    y S =

    1

    2

    puntos de R2. Calcular Proy

    PQ

    RS

    y ProyRS

    PQ.

    38. Sean u , v , w vectores tales que ku k = 3, kv k = 4 y kwk = 2 y sea z =2u v + 3w. Calcular z v sabiendo que el ngulo entre u y v es de 60o y elngulo entre v y w es de 120o.