geometria 4° 2 b

33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria

DEFINICIÓNEs el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro

ELEMENTOS- Arco : AB- Cuerda: AB- Radio : OE- Diámetro : CD- Tangente: T- Secante : L- Flecha o Sagita : MN

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

1. Circunferencias Exteriores

2. Circunferencias Tangentes Exteriores :

3. Circunferencias Secantes :

4. Circunferencias Tangentes Interiores :

5. Circunferencias Interiores :

6. Circunferencias Concéntricas :

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1.Angulo Central 2. Angulo Inscrito

3. Angulo Semi – Inscrito

4 Angulo Interior

5.Angulo Exterior

6. Angulo Ex - Interior

S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

II

CIRCUNF


PROPIEDADES FUNDAMENTALES :

1.

2.

3.

4.

05.

06.

07.

Si: = r, es el radio de la circunferencia inscrita

08.

09.

10.

PRACTICA DE CLASE

01. Calcular en la figura el arco siendo “O” centro de la circunferencia

a) 160° b) 40° c) 80°d) 70° e) N.a.

02. Hallar x.

a) 100º b) 90º c) 50º d) 80º e) N.a.

03. Hallar x en la figura

a) 75º b) 105º c) 130ºd) 20º e) N.a.

04. En la figura, hallar “x”

a) 5 b) 6 c) 4d) 7 e) 4

05. Hallar “x” si = 30º y = 140º

a) 110º b) 55º c) 100ºd) 100º e) N.a.

06. Hallar , si = 105°

a) 105º b) 40º c) 65ºd) 20º e) 110º

07. Hallar el ángulo BOA si “O” es el centro.



a) 56º b) 34º c) 130ºd) 28º e) N.a.

08. Hallar el ángulo AOC si “O” es el centro.

a) 100º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º

09. En la figura = 100º, =

120º, hallar si AB CD/ /

a) 140º b) 70º c) 80ºd) 90º e) N.a.

10. Hallar “R”. Si AB BC3 4,

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) N.a.

11. En la figura. Hallar PQSi PR r QR 9 2 3, ,

a) 11 b) 9 c) 13d) 10 e) 5

12. Hallar x si AB DC 18

a) 5 b) 4 c) 6d) 9 e) 3

13. Si = 50º. Hallar x y z

a) 150º b) 50º c) 100ºd) 200º e) 75º

14. Hallar x y

a) 40º b) 20º c) 60ºd) 10º e) 30º

15. Si es diámetro y = 60º

Hallar x

a) 120º b) 60º c) 30ºd) 80º e) N.a

16. Si PQ es diámetro, hallar x

a) 30º b) 60º c) 120ºd) 15º e) 90º

17. Si O es el centro de la semicircunferencia, además AO BC . Hallar x

a) 45º b) 50º c) 60ºd) 30º e) 90º

18. Hallar x , si AOB es 100º

a) 40º b) 100º c) 80ºd) 50º e) N.a.

19. En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar x

a b c) d) e)

PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1

01. En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar xSi BAO = 20º y BCO = 30º

a) 70º b) 100º c) 90ºd) 110º e) 80º

02. Desde un punto E, exterior a una circunferencia se trazan las secantes EBA y EDC . Hallar el

ángulo AEC , si = 123º y AD

es perpendicular a BC

a) 33º b) 28º c) 123ºd) 38º e) 66º

03. En la figura = 70º.Calcular +



a) 40º b) 50º c) 60ºd) 70º e) 80º

04. Hallar x , si 4 =

a) 72º b) 144º c) 36ºd) 88º e) 164º

05. ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por dos tangentes trazadas a una circunferencia desde un punto exterior; si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual al radio de la circunferencia ?

a) 300º b) 60º c) 150º

d) 120º e) 30º

06. Calcular el ángulo ABC, siendo B el centro de la circunferencia, además AC AP AP y PC ; son tangentes.

a) 40º b) 60º c) 120ºd) 30º e) 150º

07. En la figura, hallar x , si “O” es el centro de la circunferencia.

a) 20º b) 70º c) 40ºd) 30º e) 60º

08. Hallar el arco

a) 120º b) 40º c) 60ºd) 80º e) 100º

09. En la figura, hallar x

a) 100º b) 50º c) 80ºd) 130º e) N.a.

10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia inscrita, tangente

AB en P, a AC en Q y a BC en R. Si la suma del ángulo A con el ángulo C es 70°. Hallar el ángulo PQR.

a) 35º b) 70º c) 110ºd) 55º e) N.a.

11. Calcular “” P y Q son puntos de tangencia.

a) 40 b) 50 c) 60d) 70 e) 80

12. En la figura hallar el ángulo X,

si: + = 130º

a) 25° b) 20° c) 50°d) 30° e) 35°

13. En la figura “O” es centro y la

m = 130° . Calcular “x”

a) 50 b) 40 c) 30d) 25 e) 20

14. Si + = 100°. hallar m

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) 75

15. En el gráfico es tangente a la circunferencia de diámetro

siendo la medida del arco igual a 62°. Hallar m∡C.



a) 7 b) 14 c) 28d) 31 e) 62

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar “ X ”. Si son tangentes:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 2,5

02. Hallar el suplemento de “ X “

a) 25° b) 20° c) 100°d) 155° e) 50°

03. Hallar el radio de la circunferencia:

a) 2 b) 6 c) 5d) 3 e) 1

04. ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos tangentes trazadas desde el mismo punto, si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual a el radio?

a) 90° b) 120° c) 150°d) 180° e) N.a.

05.Calcular X Si : = 90° ; = 80° y es tangente

a) 30 b) 45 c) 50d) 55 e) 65

06. Calcular lam Si: m = 4m

a) 50 b) 70 c) 90d) 110 e) 115

07. Calcular “ X ” .Si P, Q y T son puntos de tangencia.

a) 15 b) 18 c) 20d) 30 e) 36

08. Desde un punto “ E “ exterior a una circunferencia se trazan la tangencias si “ M “ es un punto del menor arco PQ y m∡PMQ = 3m∡E. Calcular m∡E.

a) 20 b) 30 c) 36d) 35 e) 45

09. Si m = 200: Calcular “ X ”.

a) 30 b) 40 c) 45d) 50 e) 60

10. En la figura “A” y “B” son puntos de tangencia. Calcular

a) 150 b) 135 c) 165d) 120 e) 115

CONGRUENCIAS, PROPORCIONAL YSEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

A. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. Casos de Congruencia de Triángulos.

A. Caso (ALA) :

B. caso (LAL) :

C. Caso (LLL) :

2. PROPIEDADES :

A. Propiedades de la bisectriz de un ángulo

..........................................................

........

..........................................................

........

..........................................................

........



B. Propiedad de la mediatriz de un segmento

..........................................................

........

..........................................................

........

..........................................................

........

PM: mediatriz de

C. Propiedad de triángulo Isósceles

.....................................................

..... ...............................................

............ ........................................

...................

ABC es isósceles, AB = BC

E. Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa

.....................................................

......

.....................................................

......

.....................................................

......

D. Propiedad de los puntos medios

.....................................................

......

.....................................................

......

.....................................................

......

a) Si “M” es punto medio de y

// . Entonces: “N” es punto medio de

b) Si “M” y “N” son puntos medios de y respectivamente.

: Mediana relativa a

Entonces: BM =

TRIÁNGULO RECTÁNGULOS NOTABLES

Algunos triángulos Rectángulos cuyos lados son números enteros

Observación

B. PROPORCIONALIDAD

Definición.- Se dice que dos números (a y b) son proporcionales a otros dos números (c y d) cuando la razón geométrica de los primeros sea igual a la razón geométrica de los segundos:

Es decir:

1. Teorema de Thales :

Tres o más rectas paralelas determinan sobre otros dos secantes a ellas segmentos cuyas longitudes serán proporcionales entre si.

Si L1 // L2 // L3

Ejm: Si L1 // L2 // L3. Hallar x



...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

Aplicación del Teorema de Thales a un triangulo

Ejm: Si . Hallar:

2.Teorema de la Bisectriz Exterior

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

Ejm: Hallar x

..........................................................

......

..........................................................

......

..........................................................

......

..........................................................

......

..........................................................

......

..........................................................

......

3. Teorema de la bisectriz Exterior :

Ejm: Hallar x

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

PROPIEDAD

Si bisectriz interior y bisectriz exterior

Regla Practica

Ejm: Hallar x

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

4. Teorema de Menelao :


33 34

ABC - MNB

ABC - MNB

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria

Ejm: Hallar x :

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

...........................................................

.....

5. Teorema de Ceva

C. SEMEJANZA :

Definición: Dos triángulos serán semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean iguales a los ángulos del otro; como consecuencia. Sus lados respectivos serán proporcionales entre si:

Si:

K: razón de semejanza

Ejm: Los lados de un triangulo miden 2, 8 y 12. Hallar el mayor

lado de otro triángulo semejante al primero cuyo perímetro es 182.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. Primer Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulo iguales.

2. Segundo Caso:Dos triángulos serán semejantes si tienen un mismo ángulo y los lados que lo forman son proporcionales.

Si :

3. Tercer Caso:Dos triángulos serán semejantes si sus lados son proporcionales entre si.

Si:

PROPIEDADES

1.

Si:

2.

Si:

3. Si:

4.


ABC MNP

MN=

a2 = m . n


PRACTICA DE CLASE

01. En la figura mostrada. Si m // n // t

Hallar x:

a) 1,75 b) 1,5 c) 1,42d) 2,5 e) 1,25

02. En la figura mostrada. Si m // n // l // r

Hallar x.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03. En la figura mostrada. Si m // n // l. y . Hallar x.

a) 3 b) 4 c) 6d) 7 e) 5

04. . Hallar . Si G es baricentro y GN = 4

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

05. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC

a) 5 b) 10 c) 15d) 7/5 e) 8

06. En la figura, calcular los valores de

“a” , “b” y “c” y Halle : E=

Si: L1 // L2 // L3 // L4 // L5

a) 10 b) 6,4 c) 3,2d) 4,8 e) 7,2

07. De la figura mostrada, hallar

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08. De la figura:

= x – 3 .¿Qué valor puede tomar “x” para que

?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

09. En la figura hallar = 10.

= 6,

a) 2,8 b) 0,8 c) 4, 4d) 3, 2 e) N.a.

10. En un triángulo ABC, AB = 15, BC =13y AC = 14. Se traza la bisectriz

.

Hallar:

a) 2,5 b) 5,5 c) 6,5d) 7,5 e) 8

11. Hallar AB. Si BN = 4 y NC = 5

a) 9 b) 6 c) 7d) 6 e) 5

12. En el siguiente gráfico, Hallar EF.

a) 2,2 b) 1,5 c) 3,5d) 6,2 e) 3,1

13. En la figura, ADEF es un cuadrado. AB= 6 m; BC = 10 m. Hallar el lado del cuadrado.

a) 3 b) 4 c) 24/7



d) 12/7 e) 6

14. En el triángulo ABC ,AB= 60BN = 28 y NC = 17. Hallar

a) 11,3 b) 23 c) 24d) 22,6 e) 21,2

15. Hallar AB:

a) 12 b) 15 c) 17d) 16 e) 20

16. Hallar BH:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

17. Hallar BH:

a) 2,2 b) 2,4 c) 6,8d) 4,8 e) 9,6

18. Hallar R, Si: OP = 6; ON = 8

a) 14 b) 12 c) 10d) 11 e) 15

19. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz y luego por F, una

paralela a de modo que

intersecta a en Q.

Hallar BQ. Si: BC = 5 m y AC = 6 m.

a) 13/7 b) 25/11 c) 15/4d) 49/5 e) 2,4

20. En un triángulo ABC. Si ∡B = 120°, AB = 15, se traza la bisectriz .

Hallar la longitud de .

a) 11/4 b) 17.8 c) 15/4d) 19/6 e) 19/6

PROBLEMAS PROPUESTOS N°02

01. En la figura. Si m // n // t. Calcular: “x”:

a) 4 b) 4,5 c) 5d) 6 e) 8

02. Para que el valor de “x” en .

a) 6 b) 9 c) 8d) 9 e) 10

03. En la figura. Si AN = 4 y AC = 18.

Hallar: AH

a) 6 b) 3 c) 2

d) 6 e) 3

04. Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD = 2CD. Por B se traza

perpendicular a . Si E está en

= 9m. Hallar : AD

a) 10m b) 11 c) 12d) 13 e) 14

05. En la figura mostrada

. Si AB= 3m, BC= 4m, MN= 2x –

2, Np = 2x + 2, PQ = 3x – 1, CD = y. Hallar : (x + y)



a) 12m b) 13 c) 14d) 15 e) 16

06. En la figura mostrada

. Si: EF – AB = 3m, AC = 16m y

DF= 24m.

Hallar EF.

a) 6m b) 7 c) 8d) 9 e) 10

07. En la figura mostrada. Si AB= 12m, AC= 9m y BN= 4m.

Hallar: MN.

a) 2m b) 3 c) 4d) 5 e) 6

08. En un triángulo ABC se trazan, la bisectriz , la mediana y

la ceviana , concurrntes. Hallar EB. Si AB = 4m; BC = 5m y AC = 6m.

a) 2m b) 1,8 c) 3d) 2,5 e) 1,6

09. En la figura mostrada: Si AB = 2m yCD = 3m. Hallar: MN.

a) 2m b) 1,.8 c) 1,5d) 1,2 e) 3

10. En la figura mostrada. Si: AB= 9m , BC= 7m, AC= 8m y MN // AC.

Hallar: MN.

a) 8m b) 3 c) 8/3d) 6 e) 6/5

11. En la figura los lados de los cuadrados de menor a mayor miden 4, xy 9. Calcular: x.

a) 5 b) 6 c) 7d) 4 e) 8

12. En la figura TB = 7, AT = 15, AK = KC y GC = 4. Calcular TG.

a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4

13. En un triángulo isoceles PQR (PQ= QR), se traza la ceviana que

corta a la altura en “E”. Si FQ = 7dm, EQ = 8dm y EH = 2dm. Calcular

a) 10,5dm b) 12,5 c) 15d) 10,7 e) N.a

14. En un triángulo ABC, se tiene que AB= 6, BC= 8 y AC= 10. La altura

y la bisectriz interior , se cortan en Q. Hallar QB.

a) 2,8 b) 3,6 c) 4d) 3 e) N.a

15. En un triángulo ABC, la bisectriz interior y la mediana se cortan en “F”. Calcular la longitud de , si: = a, = 3b y

= 4b.

a) 2/7 a b) 3/5 a c) 3/7 ad) 4/5 a e) a/3



Una proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la porción comprendida entre los pies de las perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento a dicha recta.

PROYECCIÓN ORTOGONAL EN EL TRIANGULO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL, TRIANGULO RECTÁNGULO

m n

a b

c

h

1.

2.

3.

APÉNDICE DE RELACIONES MÉTRICAS

a) Primer teorema de Euclides :( Acutángulo) Si < 90

b) Segundo Teorema de Euclides( Obtusángulo) Si > 90

c) Teorema de la MedianaSi mc mediana

d) Teorema de la bisectriz

interior :

e) Teorema de bisectriz exterior

:

PRACTICA DE CLASE

01. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza BH altura relativa a la hipotenusa . Si BH = 2 cm. Calcular AH.HC.

a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 2 2

cm

02. Calcular la longitud de los catetos del triángulo mostrado

a) 2 , 2 b) 2 ,

c) 3, 2 d) 2 , 6e) 3, 6

03. En un triángulo rectángulo, se traza la altura relativa a la hipotenusa. Esta altura determina en la hipotenusa dos segmentos (proyecciones) de longitudes 6 cm

y 8 cm respectivamente . Hallar la longitud de ambos catetos del triángulo.

a) 2 7 , 2 14 b) 2 7 , 3

7

c) 7, 14 d) 2 21 ,

4 7

e) 7 , 2104. La altura relativa a la hipotenusa y

la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 2 cm y 4 cm respectivamente. Hallar el producto de los catetos.

a) 6 cm2 b) 8 cm2

c) 10 cm2

d) 12 cm2 e) N.A05. Si AB = 15. BH = 12. Hallar :

BC/AC

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3d) 4/5 e) N.a

06. Según la figura, marcar la relación correcta.

a) ab = ch b) h2 =nmc) a2 = nc d) a2 + b2 = c2

e) Todas se cumplen

07. Del problema anterior: Hallar la distancia del punto “H” al lado AC. (Recomendación: aplicar la


RELACIONES


primera relación anterior en el triángulo AHC)

a) nm/b b) nm/a c) hbd) mh/b e) N.A

08. En el problema 06, hallar la distancia del punto “H” al lado BC

a) nh b) mh c) mn d) mh/b e) nh/ a

09. Las diagonales del rectángulo mostrado miden 9 cm. Si

AH cm4 , el lado CD mide :

A

H

B C

D

a) 6 cm b) 2 5 cm c) 3 5 cmd) 5 cm e) N.A

10. En el problema anterior BH AD es :

a) 2 5 cm b) 3 5

cm c) 5 5 cmd) 5 cm e) 10

cm

11. En un triángulo de lados 5, 6, 7 cm. hallar la longitud de la proyección del lado menor sobre el mayor.

a) 17/7 b) 17/9 c) 2d) 19/7 e) 3

12. En un triángulo de lados 5, 9 y 10, hallar los segmentos que determina la altura sobre el lado mayor.

a) 25/7 y 45/7 b)3,6 y 6,4 c)2,2 y 7,8 d) 2,85 y 7,15 e) N.A

13. En un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. Calcular la altura relativa al lado mayor

a) 4,6 cm b) 3,2 cm c) 5,1 cm

d) 5,8 cm e) N.A

14. En un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm. Calcular la altura relativa al lado de 6 cm

a) 2 3 cm b) 2 2 cm c) 2 6cm

d) 6 cm ) N.A

15. Hallar la mediana relativa al lado mayor mide :

a) 5 b) 6 c) 6, 5d) 4, 3 e) 7, 2

16. En un triángulo de lados 7 cm, 9 cm y 14 cm, hallar la longitud de la mediana relativa al lado mayor.

a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cmd) 6 cm e) 7 cm

17. Hallar BT , si AT TC. 20 .

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

18. En un triángulo ABC recto en B, hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A,

sabiendo que AB cm3 y

AC cm5 .

a) 3 5 /2cm b) 2 5 /3cm c) 3

5 cm

d) 5 cm e) 5 5 /2 cm

19. En un triángulo ABC, de lados

AB cm5 , BC cm6 AC cm4.Si la bisectriz interior AP P enBC( ) es igual al PC ,

entonces AP mide :

a) 10/3 cm b) 2 cm c) 5/3 cmd) 3 cm e) 8/3

20. En la figura, AB DE cm y AE cm 7 25

Hallar BD

a) 21m b) 24m c) 18md) 16m e) 14m

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. En el cuadrilátero, calcular el lado AD

a) 4 b) 4 c) 6d) 15 e) 19

02. En el triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo ß.

a) 15° b) 30° c) 45°d) 60° e) 75°

03. Se da un triángulo ABC, cuyos lados AB AC, y BC miden 8 cm, 6 cm y 10 cm respectivamente. Hallar la proyección de AB sobre la bisectriz interior del ángulo A

a) 6 2 cm b) 8 2 cm c) 3 cm

d) 4 2 cm e) 5 cm

04. En un triángulo acutángulo ABC, el lado AB cm17 y el lado BC =

16 cm. Hallar la medida de AC si

su proyección sobre BC es 6 cm

a) 10 cm b) 12 cm c) 15 cm

d) 12,5 cm e) 13 cm



05. En un triángulo rectángulo la distancia del incentro a los extremos de la hipotenusa miden

13 y 2 26 . Calcular la medida de la hipotenusa.

a) 17 b) 150 c) 15 d) 19 e) 13

06. En el dibujo, hallar la proyección de OC , sobre

AO , si OC cm17 .

a) 17 /2 b) 17/2 c) 34 / 3

d) 34 / 3 e) F.D

07. Dos autos parten del mismo punto recorriendo calles distintas a diferentes velocidades . ¿ Cuántos kilómetros han recorrido cada auto si encontrándose a 80 Km de distancia uno del otro, uno de ellos avanzó 16 km más que el otro?

a) 32 Km, 48 Km b) 40 Km, 56 Kmc) 48 Km, 64 Km d) 56 Km, 72 Kme) N.a

08. Juan y Carlos parten del punto “P” con la misma velocidad. Juan va por la pista “A” y Carlos por la “C”. Cuando Carlos termina de recorrer la pista “C”, Juan a recorrido la

pista “A” y la mitad de la pista “B”. La menor pista es :

a) A b) B c) A y Bd) B y A e) N.a

09. La base mayor de un trapecio mide 8 m; sus diagonales son ortogonales y miden 6 m y 8 m. Hallar la base menor.

a) 1 m b) 1,5 m c) 2 m d) 3 m e) 4 m

10. En el trapecio ABCD ( BC AD/ / ) las diagonales se cortan perpendicularmente y luego se traza la altura BH . Hallar dicha

altura si : BC6 , AD9 y

AH1

a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 7 e) 2 14

11. La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el otro cateto es igual a la mitad del cateto mayor restado en 10 m, hallar la longitud de la hipotenusa.

a) 25 m b) 17 m c) 13 md) 10 m e) N.A

12. La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el otro cateto es igual a la mitad del cateto mayor disminuido en 2

m, hallar la longitud de la hipotenusa.

a) 25 m b) 17 m c) 13 md) 10 m e) N.A

13. Un “pisapapeles” está sobre una mesa rectangular a 4 cm de un borde de esta y 3 cm de otro consecutivo al primero. La distancia del objeto a una esquina de la mesa será :

a) 3 cm b) 4 cm c) 3,5 cmd) 5 cm e) N.A

14. Internamente a un cuadrado de lado 5 cm ubicamos el punto “P”. Si las distancias de este punto “P” a dos lados consecutivos del cuadrado son de 2 cm y 1 cm, calcular la suma de las distancias del punto “P” a los vértices del cuadrado.

a) 7 5 b) 3 5 +2 10

c) 5 + 3 5 + 10 d) 10 2

e) 5 + 5 5 + 10

15. los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión de razón igual a 4. Hallar la altura relativa a la hipotenusa.

a) 10 b) 9,8 c) 9,6d) 9,4 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide 15m y la altura 6m. Hallar la longitud del cateto menor.

a) 5 b) c) d) 3 e) N.A.

02. En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza la altura . Si AH

= 9, = 16; calcular la longitud

del cateto .

a) 15 b) 30 c) 45d) 5 e) N.A.

03. Según el gráfico. Hallar BC:



a) 2 b) 3 c) 6

d) 5 e) 4 04. Un arco de circunferencia tiene

una cuerda de 2 dm y una flecha e 2 cm. El radio medirá.

a) 18 cm b) 9 cm c) 26 cmd) 20 cm e) 13 cm

05. Hallar la hipotenusa:

a) 12 b) 10 c) 8d) 9 e) 13

06. Hallar

a) 22 b) 23 c) 21d) 18 e) 19

07. En la figura, hallar BM

a) 6 b) 7 c) 5d) 8 e) 4

08. Hallar la longitud de la bisectriz. en la figura.

a) b) c)

d) e) N.a.

09. En el gráfico hallar: “m”

a) 4,12 b) 3,16 c) 3,24d) 3,05 e) 2,96

10. Los lados de un triángulo son 8, 10 y 14 metros, respectivamente.

Hallar la longitud de la mediana respecto al lado mayor.

a) m b) m c) 4 m

d) m e) 2 m

a) Teorema de cuerdas :

b) Teorema de Secantes :

c) Teorema de la Tangente :

APENDICE :

a)


RELACIONES MÉTRICAS EN LA


b)

c)

PRACTICA DE CLASE

01. Si AE es a EB como 2 es a 5 y

CE ED. =160, hallar AE

D

A

B

C

E

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) N.A

02. Hallar AC , si AH = 2

, HB3 y HD6 .

a) 3 b) 2 c)

d) 4 e) 203. Desde un punto “P” exterior a una

circunferencia, se dibujan las secantes PAB y PCD. Si AB cm3 ,

AP cm4 y CP m2 . Calcular la

medida de CD .

a) 10 cm b) 11 cm c) 12 cm

d) 13 cm e) 14 cm

04. En una circunferencia se dibujan dos secantes : ABQ y CDQ . Si

AB cm4 , CD cm12 y

QB cm5 . Calcular QD

a) 3 cm b) 3,5 cm c) 4 cm

d) 4,5 cm e) N.A

05. Se prolonga el diámetro

AB cm10 de una circunferencia

un segmento BD cm8 . Calcular la media de la tangencia trazada a dicha circunferencia por D.

a) 10 cm b) 8 cm c) 12 cmd) 9 cm e) 5 2

cm

06. Hallar BC , si AC = 16 cm y TC= 8 cm. (T es punto de tangencia)

a) 4 b) 5 c) 6d) 5,5 e) N.a

07. En la figura; hallar R

a) 12 b) 8 c) 16d) 24 e) 30

08. Hallar “x”, si O centro de la circunferencia mayor OT2 3 y

OO9

a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2d) 3 e) 3/4

09. La razón entre los catetos de un triángulo rectángulo es de 2 : 3, entonces la razón entre los segmentos determinados sobre la hipotenusa al ser trazada la altura es de:a) 4/9 b) 5/4 c) 5/9 d) 8/9 e) 2/3

11. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm. y determina en ella segmentos que son entre sí como 9 es a 16.

a) 30 cm b) 48 cm c) 72 cm

d) 54 cm e) 60 cm

12. En el cuadrado ABCD mostrado, M es punto medio del lado BC y

AB cm4 . Calcular ME .

a) 2 cm b) 2 / 5cm c) 1/5 cm

d) cm e) 1 cm

13. Se tienen dos circunferencias de radio 3 cm y 5 cm. Se dibuja una cuerda sobre la mayor que es trisecada por la menor como se muestra . Hallar la longitud de dicha cuerda.

a) 2 cm b) 4 c) 6 cm

d) 8 e) N.a

14. En la figura hallar r, si ACB o 90.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

15. Si r1 = 18 3 , r2= 12 3 . Hallar

ACB , si B o90



a) 30° b) 60° c) 37°d) 53° e) 45°

16. En un cuadrado ABCD, haciendo centro en el vértice D se traza el arco AC que corta a AM en el

punto E. (“M” punto medio de BC). Si BC = 2 5 cm. Hallar EM

a) 5 cm b) 2 5 cm c) 5/2 cm

d) 1 cm e) 2 cm17. Interiormente a un cuadrado ABCD

se dibuja una semicircunferencia de diámetro CD . La tangente

trazada por B corta a AD en el

punto E. Si AB a , hallar ED

a) 2a b) a c) a/3 d) a/4 e) 4a

18. En la figura hallar AF, si BC y CD 1 3

a) 1 b) 2 c) 3d) 1,5 e) 1, 2

19. Hallar “x”, si R = 3 + 2 2 .

a) 1/2 b) 1/4 c) 1d) 1/3 e) 1/5

20. Tomando como centros los

vértices A y D de un cuadrado ABCD se dibujan cuartos de circunferencia. Si la intersección de estas es el punto E, hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo BEC. (El cuadrado tiene lado L).

a) L/8 b) L/4 c) L/16 d) 2L/7 e) N.A

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. En el cuadrado ABCD mostrado:

Hallar :

a) 5m b) 10 c) 15d) 20 e) 1

02. En el triángulo escaleno ABC: B = 60° “O” es el baricentro del triángulo equilátero ACD, hallar .

a ) 1m b) 3 c) 6d) 9 e) 12

03. En el triángulo rectángulo ABC: m, siendo

PQRS un cuadrado de centro “O”. Hallar .

a) 1 m b) 2 c)

d) 2 e) 4

04. En el triángulo acutángulo ABC, hallar si es el diámetro del semicírculo mostrado, además

= 7m.

a) 5 m b) 10 c) 15d) 20 e)

05. En el cuadrante AOB, hallar

siendo: = 2m, = 3m

a) 2 - b) 3 - ) 4 -

d) 5 - e) - 1

06. Siendo = 2m, = 6m, = 4m.Calcular: .

a) b) c)

d) e) 07. Siendo

,

= 4. Hallar .



a) 1 m b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08. Calcular la cuerda común

siendo: = 1m.

a) 1 m b) 2 c) 3d) 1,5 c) 6

09. Calcular la tangente = 8.

a) 2 m b) 4 c) 6d) 8 e) N.a.

10. En el círculo de centro “O”, =

5m, = 2m, . Calcular el radio del círculo.

a) 2 m b) 4 c) 6d) 8 e) 10

11. En el cuadrilátero de m de

radio. Calcular =

a) 1 m b) 2 c) 3d) 4 ed) 5

12. Siendo la mediana del

triángulo ABC, = 4m, =

6m, = 3m. Hallar .

a) 12 b) 15 c) 17d) 19 e) 21

13. En la figura calcular “r”, si: PQ = 1, QR = 4 y R = 6.

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 0,5

14. Si AB = 5; BC = 2 y CD = 1

Calcular DE

a) 1 b) 1, 5 c) 2d) 2, 5 e) 3

15. Calcular BC Si AB = 3 y CD = 4

a) 1, 5 b) 2 c) 2, 5d) 3 e) 4

TAREA DOMICILIARIA

01. Desde un punto B se traza una tangente BA y una secante BCD a una circunferencia, de tal manera que BA = 8 m y

BC m4 . Calcular la cuerda DC .

a) 12 m b) 11 m c) 10 md) 9 m e) 8 m

02. En la figura, hallar

AB BC AMMC. . , si

BD yBC 8 18 .

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

03. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la bisectriz BF , la circunferencia circunscrita al triángulo BMF corta a los lados AB y BC en D y E

respectivamente . Si AD m10 .

Calcular CE .

a) 5 b) 10 c) 20 d) 15 e) N.A

04. En un triángulo ABC AB BC. 24 . Se t raza la bisectriz interior BD y la mediana ; si

BD DM . Hallar AC .

a) 2 6 b) 6 c) 4

d) 4 6 e) N.A

05. En la figura, hallar AQ, si AOdiámetro AO OB y AP 2

a) 2 b) 3 c) 2/3d) 8 e) N.a



06. Hallar “R”

a) 25/2 b) 25/4 c) 35/2d) 35/4 e) N.a

07. Calcular el radio de la circunferencia .

Si AO OB OM MB 8,

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.a

08. Hallar BC ,

PD CD yPE 3 4 7,

a) 3 b) 4 c) 7d) 7 e) N.a

09. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la secante

PAB y la tangente PC . Por los puntos A y B se traza otra circunferencia que intersecta a

PC en el punto M y a la

prolongación de PC en el

Punto N. Hallar CN sabiendo que

MC MP BC AC yBC AC , . 18 32 2

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.A

10. De la figura calcular el radio de la circunferencia si el lado del cuadrado es (2 - 2 )

a) 1 b) c) 2

d) e) N.a

SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02 03 04

01. B B A B

02. A C B B

03. D A D B

04. B C C C

05. D A E C

06. C D A E

07. A B C C

08. A E A C

09. C D C E

10. A C E B

11. C B A C

12. C D C C

13. D A D C

14. C D C B

15. C C C B


geometria 4° 2 b

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