guia geometria semana 2

8/7/2019 Guia Geometria semana 2

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Tringulos. Congruencia y semejanza.

En esta seccin vamos a estudiar en mayor detalle los tringulos

y algunas de sus propiedades ms importantes. En primer lugar

recordemos la definicin de tringulo.

Definicin. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el tringulo ABCes la unin de los segmentos AB, BC y CA.

Figura 1: Tringulo ABC

Definicin. De acuerdo a los tamaos relativos de sus lados un tringulo

puede ser

1. Equiltero, si tiene todos sus lados iguales.

2. Issceles, si tiene al menos dos de sus lados iguales.

3. Escaleno, si todos su lados son de distintos tamaos.

Definicin. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene uno de sus ngu-

los recto. El lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa y los otro doslados se llamana catetos.

Definicin. Dos tringulos ABC y A B C son congruentes (escri-

bimos ABC A B C ) si sus lados correspondientes son iguales y sus

ngulos correspondientes tambin.

Figura 2: Tringulos congruentes

Observacin. Note que lo que importa es que tres lados y tres ngulos

correspondan, no el orden en que estn colocados.

Criterios de congruencia de tringulos.

El siguiente postulado establece que para verificar la congruen-

cia de tringulos basta con comparar slo algunos de los lados o


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matemtica iii - ciu geometra 15

ngulos. En realidad, de nuevo este postulado se puede demostrar

como teorema, pero tal demostracin estara fuera del alcance de este

curso.

VII Dos tringulos son congruentes si se cumple alguna de las si-

guientes condiciones (cada condicin por separado garantiza que

los tringulos son congruentes)

1. Tienen sus tres lados iguales (LLL)

2. Tienen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos iguales

(LAL)

3. Tienen un lado y los ngulos adyacentes iguales (ALA)

En lo que sigue utilizaremos las siglas entre parntesis para indicar la

condicin correspondiente.El siguiente teorema recibe el nombre Pons Asinorum, que significa

el puente de los burros.

Teorema. [Pons Asinorum] El tringulo ABC es issceles, con |AB| =

|AC|, si y slo si los ngulos y , opuestos a AC y AB, respectivamente,

son iguales.

Demostracin. Primero comentamos que por ser el teorema un si

y slo si", tenemos que mostrar que la primera condicin (que el

tringulo es issceles) implica la segunda (que los ngulos menciona-

dos son iguales), y tambin la implicacin recproca: que la segunda

condicin implica la primera. Usualmente se dice que es una dobleimplicacin y se usa el smbolo para representar la frase si y slo

si".

En primer lugar probemos la implicacin [], es decir, que si el

tringulo es issceles los ngulos mencionados son iguales. Como

suponemos que el tringulo es issceles, se tiene |AB| = |AC|.

Figura 3:

Esto dice que el punto A est en la mediatriz de BC. Dicha me-

diatriz corta al segmento en el punto M y se tiene que |MB| = |MC|,

entonces por el criterio LLL los tringulos AMC y ABM son

congruentes. Se concluye que = . Listo.

Ahora veamos la otra direccin [], es decir, que si los ngulos

son iguales entonces el tringulo es issceles. Consideremos r unaperpendicular a BC por A, y M el punto de corte entre r y el segmen-

to. Se forman dos tringulos AMC y ABM.

Figura 4:

Sabemos que los ngulos entre r y el segmento BC son rectos.

Entonces como estamos suponiendo que = y sabiendo que los

ngulos internos de un tringulo suman , se tiene que 1 = 2.

Pero el lado AM es comn a los dos tringulos y los ngulos adya-

centes son iguales, entonces por el criterio ALA, esos dos tringulos


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son congruentes, lo que implica que |AB| = |AC|, de manera que el

tringulo ABC es issceles.

Para estudiar el concepto de semejanza de tringulos necesitamos

un poderoso teorema cuyo autor es Thales de Mileto y que enuncia-

mos sin demostracin.

Teorema. [Teorema de Thales] Si dos rectas cualesquiera r y r son cortadas

por rectas paralelas entre s, los segmentos producidos en cada una de las dosrectas por los cortes con las paralelas son proporcionales:

Figura 5: Teorema de Thales

|AB|

|A B |=

|AC|

|A C |=

|CD|

|C D |=

Definicin. Dos tringulos ABC y A B C son semejantes (escribi-mos ABC A B C ) si tienen sus ngulos correspondientes iguales ysus lados correspondientes proporcionales

La figura indica que ABC A B C si y slo si

= , = , = ya

a =

b

b=

c

c

Figura 6: Tringulos semejantes

Sin embargo, gracias al siguiente teorema, para verificar la seme-

janza basta considerar slo los ngulos de los tringulos involucra-

dos.

Teorema. Dos tringulos ABC y A B C son semejantes si y slo sitienen sus ngulos correspondientes iguales.

Demostracin. [

] SiABC

A

B

C

entonces la definicin desemejanza indica que = , = y = .

[] Sabiendo que los ngulos son iguales, debemos demostrar que

los lados son proporcionales. Siguiendo la figura de la derecha,

Figura 7:

construimos un tringulo congruente a A B C sobre los lados

AB y AC de modo que el punto A coincida con A . Entonces BC es

paralelo a B C y el teorema de Thales nos dice que

|AB|

|A B |=

|AC|

|A C |


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De manera anloga, podemos construir un tringulo congruente a

A B C sobre los lados AB y BC de modo que el punto B coincida

con B como muestra la otra figura

Figura 8:

y nuevamente el teorema de Thales implica que

|AB|

|A B |=

|BC|

|B C |

lo que muestra que los tres lados son proporcionales.

Pero podemos ir ms all. Ahora estamos en condiciones de de-

mostrar otros criterios de semejanza de tringulos que nos dan flexi-

bilidad a la hora de verificar si dos tringulos lo son, y el nmero de

comparaciones a realizar sigue siendo muy reducido.

Corolario. [Criterios de semejanza de tringulos]

1. Dos tringulos son semejantes si y slo si tienen dos ngulos iguales.

2. Dos tringulos son semejantes si y slo si tienen un ngulo igual y los

dos lados adyacentes proporcionales.

3. Dos tringulos son semejantes si y slo si tienen los tres pares de lados

homlogos proporcionales.

Demostracin. En los tres casos denotaremos los tringulos por

ABC y ABC. Observamos que slo hace falta demostrar el "si"

([]) porque el "slo si" ([]) es cierto por la definicin de tringulos

semejantes.1. Si tienen dos ngulos iguales es obvio el tercer ngulo tambin va

a ser igual porque

++ = y + + =

entonces por el teorema anterior son semejantes

2. Ahora tienen un ngulo igual, digamos = , y dos lados ad-

yacentes proporcionales, digamos |AB| / |A B | = |AC| / |A C |.

Como hicimos anteriormente construimos un tringulo congruente

a A B C sobre los lados AB y AC de modo que el punto A coin-

cida con A , cmo en la figura. Si trazamos una paralela a B C

que pase por B, sea C el punto donde ella corta a AC. Entonces

por el Teorema de Thales se cumple que

Figura 9:

|AB|

|A B |=

|AC |

|A C |

que junto con|AB|

|A B |=

|AC|

|A C |


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implica que |AC| = |AC |, es decir que C = C y por el postu-

lado VIel ngulo en B es igual al ngulo en B y el ngulo en C

es igual al ngulo en C . En conclusin, los dos tringulos son

semejantes.

3. Si|AB|

|A B |=

|AC|

|A C |=

|BC|

|B C |

construyamos un tringulo AB C con el mismo ngulo , tal

que |AB | = |AB | y |AC | = |AC | como en la figura. Si trazamos

una paralela aAB por C, tenemos que |CB| = |DB |, y por el

Teorema de Thales tenemos adems que

Figura 10:

|DB |

|C

B

|

=|CB|

|C

B

|

=|AC|

|A

C

|

=|AC|

|A

C

|que por hiptesis indica que |C B | = |C B | y por lo tanto los

tringulos AB C y A B C son congruentes de manera que

ABC AB C A B C

Vale la pena mencionar que la relacin de congruencia de tringu-

los es un caso particular de la semejanza de tringulos. Cuando dos

tringulos son congruentes es porque son semejantes con proporcin

entre sus lados igual a 1.

Podemos ahora enunciar y demostrar un famoso teorema queusamos frecuentemente, el teorema de Pitgoras.

Teorema. [Pitgoras] En un tringulo rectngulo la suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Demostracin. Por el vrtice A correspondiente al ngulo recto se tra-

za una perpendicular al lado BC opuesto a dicho ngulo. Se obtiene

un segmento AD. Observemos que los tringulos ABC y ABD

son semejantes por tener dos de sus ngulos iguales ( y el ngulo

recto). De manera anloga son semejantes los tringulos ABC y

ADC, por tener tambin dos de sus ngulos iguales (en este caso

y el ngulo recto). Entonces se tiene por un lado

Figura 11: Teorema de Pitgoras

c

|BD|=a

c

y por otrob

|DC|=a

b

de donde se obtiene c2 = a |BD| y b2 = a |DC|.

Luego b2 + c2 = a (|BD| + |DC|) = a a = a2.


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Un corolario interesante que es til recordar es el siguiente:

Corolario. En una figura como la anterior se tiene que

|BD| |DC| = |AD|2

Demostracin. La demostracin es sencilla. Aplicando el teorema dePitgoras al tringulo ADC tenemos

|AD|2 + |DC|2 = b2

ahora lo mismo para el tringulo ABD:

|AD|2 + |BD|2 = c2

y ahora sumamos esas dos igualdadas para obtener:

|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = b2 + c2 = a2

donde la ltima igualdad es la tercera aplicacin del teorema, estavez al tringulo ABC. Pero a = |BD| + |DC|, quedando:

|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = (|BD| + |DC|)2 = |BD|2 + 2 |BD| |DC| + |DC|2

donde la ltima igualdad es por el producto notable. Cancelamos|DC|2 y |BD|2, luego dividimos por 2 a ambos lados y logramos lo

buscado:|AD|2 = |BD| |DC|

Ejercicios

1. Sea ABC un tringulo cualquiera, r una recta paralela aBC que

pasa por A y d una paralela aAC que pasa por B. Sea C el punto

de interseccin de r y d. Demuestre que C A BC y C B AC.Cunto mide el ngulo en C ?

2. En el grfico adjunto suponga que |AB| = 1, |BC| = 2 y |CD| = 3

Determine cunto vale:

a) |A

B

||B C |

c) |A

D

||C D |

e) |A

B

||A C |

g) |B

D

||A C |

b)|A D |

|C D |d)

|B C |

|C D |f)

|A D |

|D B |h)

|A D |

|C D |

Figura 12:


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3. En el tringulo ABC se tiene que B C es paralelo a BC y

|AB | = |B B|. Cunto valen las distancias de A a C y de C a

C?

Figura 13:

4. Considere el trapecio ABCD adjunto. Si E y E son puntos medios,

cmo es la rectaEE con respecto a la base AB?

Figura 14:

5. En el tringulo adjunto se tiene que DE es paralelo a BC y |AC| =

8,1 cm. Calcule |AE| y |EC|.

Figura 15:


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ngulos en la circunferencia.

En la seccin anterior usamos un arco de la circunferencia de ra-

dio 1 para definir la medida de un ngulo con vrtice en el centro.A cualquier ngulo que tenga como vrtice el centro de una circun-ferencia lo llamaremos un ngulo central. Usualmente, para evitar laredundancia y proliferacin de notacin innecesaria, se da la medidade un ngulo central como la del arco correspondiente de circunfe-

rencia. Por ejemplo, si decimos

AB = 30, queremos decir que elngulo central correspondiente al arco de circunferencia entre A y Bmide treinta grados.

A un segmento que une dos puntos de una circunferencia se lallama una cuerda. Cuando una cuerda pasa por el centro se le llamaun dimetro.

Figura 16: Cuerdas en una circunferen-cia

En la figura de la derecha se aprecian varias cuerdas: AB, DE y EF.De ellas, DE es un dimetro.

Cuando dos cuerdas tienen un extremo en comn, se dice que elngulo que se forma entre ellas, con vrtice en dicho punto, es unngulo inscrito en la circunferencia. En la figura anterior, el nguloFED es un ngulo inscrito en esa circunferencia. Existe una relacinmuy til entre la medida de este ngulo y la del ngulo central quecorta el mismo arco:

Figura 17: ngulo inscrito en unacircunferencia

Proposicin. [ngulo inscrito] Un ngulo inscrito en una circunferencia,

como en la figura de la derecha, corta un arco de circunferencia

AB. Enton-

ces la medida del ngulo inscrito es la mitad de la medida del ngulo central

que corta el mismo arco

AB. Es decir

= 2

Demostracin. La haremos considerando varios casos.Primero el caso en que un lado del ngulo inscrito es un dimetro,

como se muestra en la figura de la derecha. Como el tringulo PCBes issceles, los ngulos denotados con son iguales, recordar PonsAsinorum. Como la suma de los tres ngulos de PCB es igual a ,tenemos que

2 + =


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pero, como y son suplementarios, tambin tenemos:

Figura 18: Primer caso, un lado delngulo es un dimetro

+ =

y de esas dos ecuaciones se deduce que 2 = , que es el resultado

buscado.

En segundo lugar supongamos que el centro de la circunferencia

es interior al ngulo inscrito. En la figura de la derecha se observa c-

mo, trazando un dimetro por el punto P, se obtienen dos instancias

del caso anterior, una que relaciona 1 con 1 y otra que relaciona

2 con 2. Se tiene que

Figura 19: Segundo caso, el centro esinterior al ngulo inscrito

1 =12

y 2 =22

pero = 1 +2 y = 1 +2, lo que implica que

= 1 +2 =12

+22

=

2

obtenindose de nuevo el resultado buscado.

Finalmente el caso en que el centro de la circunferencia es exterior

al ngulo inscrito. En la figura de la derecha fjese que los ngulos

destacados son 1 = APC, 2 = BPC, 1 = ACD y 2 =

BCD y de nuevo se obtienen dos instancias del caso inicial, una que

relaciona 1 con 1 y otra que relaciona 2 con 2. Se tiene que

1 =12

y 2 =22

Figura 20: Tercer caso, el centro esexterior al ngulo inscrito

Pero en este caso el ngulo inscrito es = 1 2 y el ngulocentral es = 1 2, lo que implica que

= 1 2 =12

22

=

2

obtenindose una vez ms el resultado deseado.

Como esos son todos los casos posibles, hemos demostrado que la

relacin se cumple siempre.

Como una consecuencia directa del resultado anterior se obtiene

un hecho muy conocido y usado frecuentemente:

Hecho. Si AB es un dimetro de una circunferencia y X es un punto cual-quiera de la misma, distinto de A y de B, entonces el ngulo AXB es recto.

Figura 21: Arco capaz del ngulo recto

Esto es porque el ngulo central correspondiente al arco

AB es

llano, es decir, su medida es .

Hemos establecido la proporcin entre un ngulo inscrito en una

circunferencia y el ngulo central que corta el mismo arco. Ahora

consideramos el caso de un ngulo exterior a la circunferencia.


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Definicin. [ngulo exterior] Un ngulo exterior a una circunferenciaes aquel que tiene su vrtice fuera del crculo correspondiente y cuyos lados

cortan a la circunferencia.

Para ngulos exteriores tenemos el siguiente resultado.

Proposicin. [ngulo exterior] Consideremos un ngulo exterior auna circunferencia y supongamos que los lados del ngulo cortan dos arcos

de circunferencia

AB y

CD, como muestra la figura de la derecha. Sea el

ngulo central correspondiente a

AB y el correspondiente a

CD. Entonces

se tiene

Figura 22: ngulo exterior a unacircunferencia

=

2=

2

2

Demostracin. Basta aplicar apropiadamente el resultado anterior.

En la figura de la derecha, por claridad resaltamos ciertos ngulos yomitimos y . En el tringulo PCA, la suma de los ngulos debeser , es decir, + + ( ) = (de dnde sale ?). Estosignifica que + = 0, o equivalentemente, = . Pero esun ngulo inscrito con ngulo central correspondiente , de maneraque, por el resultado anterior, = /2, y el ngulo es tambininscrito con ngulo central , es decir = /2. Juntando todo estotenemos:

Figura 23: Reduccin al resultado

anterior

= =

2

2=

2y obtenemos la igualdad planteada.

Observacin. Vale la pena resaltar que el resultado es vlido cuandoun lado es tangente a la circunferencia y cuando los dos lo son. Sesugiere hacer diagramas de estos dos casos.

Finalmente consideramos el caso de un ngulo interior a la circun-ferencia, que es aquel que tiene su vrtice dentro del crculo corres-pondiente.

En este caso tenemos:

Proposicin. [ngulo interior] Consideremos un ngulo interior a unacircunferencia y supongamos que los lados (prolongados) del ngulo cortan

dos arcos de circunferencia

AB y

CD, como muestra la figura de la derecha.

Sea el ngulo central correspondiente a

AB y el correspondiente a

CD.

Entonces se tiene

Figura 24: ngulo interior a una circun-ferencia

=+

2=

2+

2

Ejercicio. Hacer la demostracin de este caso. Basta considerar la suma de

los ngulos del tringulo PBC.


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De estos resultados se deriva una muy til construccin. Conside-remos una circunferencia con una cuerda AB y un ngulo inscrito

que corta el arco

AB. Sea X el vrtice de . Si dejamos el segmentoAB fijo y movemos X sobre la circunferencia, es claro que el ngulo permanece constante. Esto es porque dicho ngulo es igual a la mitaddel ngulo central que es siempre el mismo. En esta situacin se diceque es el ngulo con el que se ve el segmento AB desde X.

Figura 25: ngulo con el que se ve unsegmento

Tambin se puede observar que si X se coloca dentro del crculo, elngulo obtenido ser mayor que , mientras que si X se coloca afueradel crculo, el ngulo formado ser menor que .

Podemos darle la vuelta a esta construccin considerando aquellospuntos del plano desde los cuales se ve un segmento con un ngulofijo dado. Tenemos la siguiente definicin:

Definicin. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ngulo , elconjunto de los puntos del plano desde los cuales se ve AB con ngulo

consiste de dos arcos simtricos de circunferencia. Cada uno de ellos se llama

arco capaz del segmento AB y el ngulo . Podemos escribir ese conjuntoas:

Figura 26: Arco capaz del segmento ABy el ngulo

{X | AXB = }


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Construcciones con regla y comps

Las construcciones con regla y comps nos ayudan a familiarizar-

nos con la Geometra de manera ms estrecha. La regla nos permitetrazar rectas, en particular rectas que pasan por dos puntos. En este

caso la regla no es graduada, no nos permite medir distancias. El com-

ps es un instrumento que permite dibujar circunferencias de centro

y radio dados, y tambin nos permite medir distancias, usando sus

extremos. Cuando se pide que construyamos algo con regla y com-

ps, la respuesta debe ser una descripcin clara del procedimiento a

seguir, una vez que hemos visualizado mentalmente cmo hacerlo. Se

puede acompaar la explicacin de diagramas que ayuden a seguir

los pasos. A continuacin mostramos algunos ejemplos. Se sugiere

reproducir estos procedimientos con una regla y comps de verdad,

para asegurarse de comprender su funcionamiento.

Ejemplo. [Segmento congruente] Dado un segmento AB, construir

otro segmento congruente al dado.

Trazamos una recta cualquiera r y sobre ella un punto A . Con el

comps, haciendo centro en A, medimos la longitud de AB. Luego

hacemos centro en A con el comps abierto esa distancia y marca-

mos sobre la recta r un punto B de manera que el nuevo segmento

A B es congruente a AB.

Figura 27: Construccin de un segmen-to congruente

Ejemplo. [ngulo congruente] Construir un ngulo congruente a unngulo de lados a y b.

Haciendo centro en el vrtice V, trazamos un arco arbitrario quecorte a los lados en A y B, respectivamente. Ahora trazamos una

recta cualquiera r y sobre ella un punto V. Con centro en V traza-

mos el mismo arco haciendo que corte a r en A . Luego medimos la

distancia de A a B con el comps. Haciendo centro en A llevamos

la distancia medida sobre el nuevo arco obteniendo el punto B . El

ngulo A VB es congruente con .


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Figura 28: Construccin de un ngulocongruente

Ejemplo. [Bisectriz de un ngulo] Construir la bisectriz de un ngu-lo de lados a y b.

De nuevo, haciendo centro en el vrtice V, trazamos un arco arbi-

trario que corte a los lados en A y B, respectivamente. Luego pone-

mos la amplitud del comps un poco ms corta que la distancia de A

a B con tal de que sea mayor que la mitad de dicha distancia. Con la

punta en A trazamos un arco de circunferencia que corte dos veces

a la semirrecta a y con la punta en B hacemos lo mismo pero ahora

el arco corta dos veces a la semirrecta b. Ahora unimos cualquiera

de los puntos de corte de estos arcos con el vrtice V, obteniendo la

bisectriz.

Figura 29: Construccin de la bisectrizde un ngulo

Observacin. En realidad, los arcos de circunferencia trazados no

tienen que ser tan amplios, basta con que se corten en algn punto.

Ejemplo. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ngulo , cons-truir su arco capaz.Primero nos referimos a la figura de la derecha y observamos que

si consideramos una secuencia de puntos X1, X2, X3, etc. que estn

sobre la circunferencia y se acercan hacia A, los segmentos secantes

AXi se van convirtiendo en la tangente t a la circunferencia, mientras

que el ngulo permanece siempre igual. Se observa entonces que el

ngulo con vrtice en A, formado por el segmento AB y la recta t es

.

Figura 30:


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Adems tenemos que la mediatriz del segmento AB y la perpendi-

cular a la recta t por el punto A pasan por el centro de la circunferen-

cia.

Figura 31: Construccin del arco capaz

Ahora estamos listos para describir la construccin con regla ycomps. Primero construimos un ngulo congruente a en el ex-

tremo A del segmento AB, con ello obtenemos la recta t (se puede

trazar con la regla). Luego trazamos la perpendicular a t por el punto

A (ver ejercicio 2.b) abajo). A continuacin trazamos la mediatriz delsegmento AB (ver ejercicio 2.a) abajo). El centro de una rama del arcocapaz ser la interseccin de estas dos rectas. Podemos trazar el arcoponiendo una punta del comps en el centro y otra en el punto A.Para trazar la otra rama del arco capaz, repetimos el proceso pero

dibujando en el mismo extremo A pero al otro lado del segmento

AB.

Ejercicios

1. Para cada una de las figuras a continuacin, obtenga la medida delos ngulos pedidos

a)

AB = ?

BA = ? b) = ?

BC = ? c)

BA = 70 = ? d)

AD = 140 = ?

e) = ? = ? f) = ? g)

AC = 100

BD = ? h) = ?


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i) = ? j)

CA = 55

DB = ? k)

TC = ? l) = ?

m) = ? n)

QR = ? o) = ?

p) = ? q) = ? r) = ?


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s) = ? = ? t) = ?

2. Construir con regla y comps

a) La mediatriz de un segmento AB.

b) La perpendicular a una recta r por un punto P r y la perpen-

dicular a la recta r por un punto Q / r.

c) La paralela a una recta r por un punto Q / r.

3. Construir con regla y comps un tringulo ABC conociendo que

sus lados son congruentes a tres segmentos dados AB, AC y BC.

4. Construir con regla y comps un tringulo ABC conociendo que

un lado es congruente a un segmento dado AB, y los dos ngulos

adyacentes a ese lado son congruentes con ngulos dados y .

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