Instituto tecnolgico superior de Alvarado.

Materia:Calculo vectorial. Tema:Resumen de la unidad 2

Maestro: Ing. Alexandro Barrios Daz

Alumna: Daniela Valenzuela Ypez

Fecha: 15/09/2014

2.1 Ecuacin paramtrica de la lnea recta.La recta constituye una parte fundamental de las matemticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tantola formapara mtricacomo la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuacin vectorial que denote una lnea recta. El parmetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relacin particular con la ayuda de los parmetros.Por tanto, una ecuacinpara mtricaes una ecuacin que est basada en una variable en particular. Una ecuacinpara mtrica en trminos generales, se conoce tambin como representacinpara mtrica Ejemplo: Considere la ecuacin x = 2 + 3t. En esta ecuacin, t denota el parmetro y la ecuacin se conoce como ecuacinpara mtricaen trminos de t.Si as consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc representan las ecuacionespara mtricasde lnearecta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuacin. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta.Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuacinpara mtricapara una recta entre los puntos (1, 3) y (1, 1).Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (1, 3) como punto inicial.Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que 1 est a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = 1 + 2tPaso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 est a 2 unidades de distanciadel 1. Por tanto, y = 3 - 2t.Por consiguiente, las ecuacionespara mtricaspara la recta entre los puntos (1, 3) y (1, 1) son x = 1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuacinpara mtricaen el campo del clculo vectorial se denomina ecuacin vectorial. El clculo de la ecuacin vectorial se basa en el concepto del clculo de la ecuacinpara mtrica.Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuacin vectorial para una lnea entre los puntos (1, 3) y (1, 1).Se procede de la siguiente manera:Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (1, 3) como punto inicial.Paso 2: Un vector de direccin es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final.Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y 2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de direccin viene a ser (2, 2).Paso 3: Por consiguiente, la ecuacin vectorial toma la forma de: (1, 3) + (2, 2) t.La principal diferencia entre la ecuacinpara mtricay la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuacin vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la formapara mtricaayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

2.2. Curvas planas y ecuaciones paramtricas.Curva planaUnacurva planaes aquella que reside en un soloplanoy puede ser abierta o cerrada. La representacin grfica de una funcin real de una variable real es una curva plana.Una curvageomtrica mentehablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el trmino curva por oposicin a recta o lnea poligonal, habra que excluir de esta nocin los casos de, aquellas lneas que cambian continuamente de direccin, pero de forma suave, es decir, sin formar ngulos. Esto las distingue de las lneas rectas y de las quebradas. Estaran fuera de esta nocin los casos de movimiento rectilneo. Sin embargo, utilizando la definicin matemtica, una lnea recta es un caso.particular de curva.Curva: Es el caso lmite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. Tambin en este caso se dice curva plana, tambin llamada de simple curvatura por el ngulo de contingencia, si tienetodos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ngulos el de contingencia y el de torsin, en caso que todos sus puntos no estn en un mismo plano.A continuacin se van a definir las principales caractersticas de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el nmero mximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4 orden.

La recta tangente a una curva en un punto es el lmite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia est quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultneamente hacia el de tangencia.

La clase de una curva es el nmero mximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos.La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Segn esta definicin por un punto de la curva existirn infinitas normales. Para las curvas planas la ms importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.ECUACIONES PARAMTRICASReciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, estn expresadas en funcin de la misma tercera variable. Segn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramtrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

x = F (z)

y = F (z)

Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramtricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.

Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramtricas.

En forma directa se le asignan valores ordenados al parmetro con lo cual las ecuaciones paramtricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos as determinados resulta una curva, que es la representacin grfica de las ecuacionespara mtricas.

2.3. ECUACIONES PARAMTRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y SU REPRESENTACIN GRFICA.

CIRCUNFERENCIA

Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean adems M(x,y) un punto de la curva y =ngXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramtricas de la circunferencia:=cos=sin

CICLOIDEEs la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija.Tmeseal eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habr hecho un recorrido igual a 2r, es decir, en todo instante genrico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ngulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el nmero que mide el ngulo, se puede escribir:

===rsin;

===cos; :=(sin);= 1cos ;

que son las ecuaciones paramtricas de la cicloide.

HIPOCICLOIDE Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia.En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habr girado 360, y el punto T habr recorrido el arco AB;o sea: arco AB=2b.

Conviene expresar el ngulo en funcin de para que figure un parmetro solamente.

ASTROIDESi los radios de las circunferencias que intervienen en la generacin de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.

En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide.Las ecuaciones paramtricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y despus reduciendo queda:

=cos3;

=sen3

2.4 DERIVADA DE UNA FUNCIN DADA PARAMTRICAMENTE.

Si una curva suave C est dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de C en (x,y) es:Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una funcin dada en forma paramtrica:Derivadas de orden superior para una funcin dad en forma paramtrica

2.5 COORDENADAS POLARES.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamadopolo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar.

A cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r,0 ), como sigue.

En coordenadas rectangulares, cada punto (x,y) tiene una representacin nica. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r,) y (r,2 + ) representan el mismo. Tambin, como r es una distancia dirigida, las coordenadas pueden representar el mismo punto.En general, el punto puede expresarse como:Donde n es cualquier entero. Adems, el polo est representado por (0,), donde es cualquier ngulo.