geometria 5° 2 b

33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.Del gráfico adjunto, “T” es un punto de tangencia. Calcular x.

O

3xº2xº

T

a) 10 b) 15 c) 18d) 20 e) 12

02.Del gráfico adjunto, P y T son puntos de tangencia. Calcular x.

P3x - 35m

x +10mT

A

a) 22,5m b) 45m c) 20md) 25m e) 35m

03.Del gráfico adjunto el centro de la circunferencia dista 6m de la cuerda AB . ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia, si AB = 16m?

O

A B

a) 9m b) 10m c) 15md) 11m e) 9,5m

04.Del gráfico adjunto M, N, Q y T son puntos de tangencia. Calcular: AD. Si AB=7m, BC=4m y CD=10m.

B N

T

QC

D

M

A

a) 11m b) 12m c) 13md) 14m e) 12,5m

05.Del gráfico adjunto P, Q y T son puntos de tangencia. Calcular el perímetro del triangulo rectángulo ABC.

B

P

AC

Q

T

I 3m

18m

a) 21m b) 42m c) 39md) 24m e) 48m

06.Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de tangencia. Calcular: x+y+z.

Byº

M

Czº

I

A

xº

N

Q

a) 45 b) 90 c) 160d) 180 e) 100

07.Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo ABC la cual es tangente a BC en Q. Calcular BQ, si: AB = 8, BC = 7m y AC = 11m.

a) 6m b) 5m c) 4md) 3m e) 2m

08.Del gráfico adjunto M, P y Q son puntos de tangencia. Calcular: BQ. Si: AB = 7, BC=9 y AC = 12.

MB

QC

P A

a) 5m b) 7m c) 2md) 3m e) 4m

09.Del gráfico adjunto M, N, Q y T son puntos de tangencia. El perímetro del triángulo ABC es 64m, el perímetro del triángulo ADE es 20m. Calcular: EC.

T

BQ

C

M A

DN

E

O

a) 13m b) 23m c) 33md) 14m e) 22m

10.Del gráfico adjunto P, Q y T son puntos de tangencia. Calcular: c, si MC =DC.

BT

AC

Q

P

I

D

F

M

xº

a) 30 b) 60 c) 40d) 45 e) 75

11.Del gráfico adjunto calcular: x, si: M, N y Q son puntos de tangencia.

BQ

A

C

M

N100º

xº

100º

a) 40 b) 45 c) 50d) 60 e) 37

12.Del gráfico adjunto AQ = 5m y HC = 2m. Calcular: BC.

A

B

C

HO

C1

Q

a) 7m b) 6m c) 8md) 6,5m e) 7,5m

13.Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de tangencia. Calcular el perímetro del triángulo formado al unir los centros de las tres circunferencias.

A12m

C

M

BQ

N

a) 12m b) 24m c) 36md) 27m e) 28m

S5GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

II

CIRCUNFERE

CIRCUNFERENCI


01.En la figura calcular “x”, si “O” es centro.

C

A

B

O

xº

a) 30 b) 37 c) 60d) 90 e) 45

02.Si: AB=R, calcular: mAB .

A

B

OR

a) 50 b) 35 c) 53d) 74 e) 60

03.En una circunferencia, cuyo radio mide 12, se

inscribe el triángulo ABC. Si m )∠A=70 y

m )∠C=80m, calcular “AC”

a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

04.Calcular “x”, si “O” es centro.

A

B

O

C

D20º

a) 90 b) 110 c) 120d) 130 e) 135

05.En la figura m AED = 240 y BC = 20 , calcular la suma de las medidas de los ángulos indicados.

AB

D

CE

yº

xº

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

06.Si: CBD = 130 ; AB es diámetro , calcular “x”

A B

D

C

Exº

O

a) 20 b) 30 c) 25d) 35 e) 15

07.Si; m ∩AC +m ∩

DT =140, calcular la m

∩AT

A

T

D

C

B

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) 140

08.Calcular la m ∩AF , si α+β=124.

A

F

P

Q

ºβ ºα

a) 94 b) 114 c) 124d) 152 e) 138

09.En la figura m )∠B=70 y “T” es punto de

tangencia. Calcular m )∠C.

A

BT

C

D

a) 55 b) 40 c) 70d) 80 e) 110

10.Se tiene el cuadrante AOB, O es centro, cuyo radio mide 4. En el arco AB se ubica el punto “C”, tal que la mAC=30. Calcular la ditancia de “B” a AC.

a)2 b) 2 2 c) 4 2d) 4 e) 8

11.m ∩AE =50, calcular m )∠.ADC

A

B

C

E

D

a) 50 b) 30 c) 35d) 34,5 e) 25

12.De la figura BC=CD, calcular: θ; “A” es punto de tangencia.

A

B

C

PD40º θ

a) 100 b) 120 c) 130d) 110 e) 150

13.Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de tangencia, AB=6m y BC=8. Calcular: R

MA

O

C

R

QN

B

a) 10 b) 11 c) 14d) 12 e) 19

14.En un trapecio isósceles ABCD ( AB //

AD ) se encuentra inscrita una circunferencia, donde AB=12m. Calcular el perímetro del trapecio.

a) 24m b) 36m c) 48md) 44m e) 42m

15. AB es el diámetro de una

semicircunferencia, tal que se prolonga AB hasta el punto C. Luego se traza la tangente

CT a la semicircunferencia en la cual se

tiene que AB=2BC. Calcular: m )∠ACT.

a) 37 b) 53 c) 30d) 60 e) 45

16.Del gráfico adjunto “T” es punto de tangencia.

A

20ºO

50º

T

yº

xº

a) 100 b) 140 c) 110d) 120 e) 130

17.Calcular: mAB , si m EDC = 150



E

A

B C

30º

D

a) 80 b) 60 c) 70d) 90 e) 75

18. AB y CA son tangentes, m )∠BAC=80, calcular “x”.

xº

A

B

C

a) 110 b) 100 c) 140d) 120 e) 130

19.Si: ABCD es un romboide, calcular x.

xº

A B

DC

20.Calcular “α”, si “P” y “T” son puntos de tangencia.

αP

r

T

r

a) 100 b) 120 c) 135d) 150 e) 143

21.En la figura AE es bisectriz del ángulo BAC; E, F y G son puntos de tangencia. Calcular x.

48º

E

A D G

Xº

F

C

B

a) 48 b) 42 c) 24d) 36 e) 72

22.Del gráfico calcular “x”, si “T” es punto de tangencia.

20º

A

T

O xº

a) 20 b) 30 c) 25d) 50 e) 40

23.Si: AB es diámetro, calcular “x”

A

xº

120º

Ba) 120 b) 60 c) 90d) 150 e) 30

24.Calcular “x” si “O“: centro.

50º

O

70º xº

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 7,5

25.Calcular “x”

xº

60º

a) 80 b) 40 c) 70d) 50 e) 60

26.Calcular “x”

xº50º

a) 20 b) 40 c) 25d) 30 e) 80

TAREA DOMICILIARIA

01.En el gráfico adjunto “O” es centro y “S” es

punto de tangencia. Calcular la m )∠TSA,

si m )∠ ROT = 110.

S

A

O

T

R

a) 35 b) 45 c) 55d) 70 e) 40

02.En el gráfico “O” es centro y BP // AQ , además “A” y “B” son puntos de tangencia. Calcular “x”.

xº

P

O

A

B

Qa) 90 b) 45 c) 100d) 110 e) 75

03.Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30 y el lado mayor mide4. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en este triángulo.

a) 2- 3 b) 3- 3 c) 3 -1

d) 1 e) 3

04.El perímetro de un triángulo rectángulo ABC, recto en B es 12. Calcular la distancia de B al centro de la circunferencia ex inscrita al triángulo rectángulo y referente a AC .

a) 12 b) 6 c) 8d) 4 3 e) 6 2

05.De la figura adjunta AC – CE =26. Calcular BD.

D

O B

E

CO'

a) 12 b) 13 c) 6d) 6,5 e) 26

06.El perímetro del triángulo ABF es 8. Calcular el perímetro del triángulo ACF; D, E y F son puntos de tangencia.

B

A

D

C

F

E

a) 4 b) 8 c) 12d) 10 e) 16

07.Una circunferencia está inscrita en un trapecio isósceles ABCD ( BC // AD ). Si AB = 48, calcular la medida de la mediana del trapecio.



a) 24 b) 36 c) 48d) 98 e) 72

08.En un triángulo ABC: AB = 8, BC=10 y AC=12. Si la circunferencia inscrita es tangente a AC en “M”, calcular AM.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

DEFINICIONES PRELIMINARES:

RELACION MÉTRICA:- Relación métrica entre varios segmentos es la relación entre los números que expresan el valor de esos segmentos, con la misma unidad.

PROYECCIÓN ORTOGONAL:a) Proyección ortogonal de un punto sobre una

recta: es el pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. La perpendicular se llama “proyectante” y la recta se llama “eje de proyección”. Ejm.: Proyección de P sobre la recta XY es P’.

P

x yP'

b) Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta: es la parte de la recta comprendida entre los pies de la perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento. Pueden presentarse los siguientes casos: sea el segmento AB y su proyección A’B’.

Nótese los dos casos especiales: (4) cuando el segmento es paralelo a la recta, proyección es igual al segmento y (5) cuando el segmento es perpendicular a la recta, la proyección es un punto.

y

A

A'

B

B'x

(1)

x AA' B'

B

y

(2)

BA

A' B'x y

(4)

yx A'

A

B

B'(3)

x

B

A

yA' B'

(5)PROYECCIONES ORTOGONALES EN EL TRIÁNGULO

a) En un triángulo acutángulo; si se traza la altura de uno de sus vértices, las proyecciones de los otros dos lados son:

c

BH n

C

b

A

m

Proyección de “C” sobre BC es “m”y de “b” sobre BC es “n”.

b) En un triángulo obtusángulo: la proyección de uno de los lados está en la prolongación del otro, así;

H B a C

b

A

c

Proyección de “C” sobre BC es BH.


RELACIONES METRICAS EN LOS


A) RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULOSi en un triángulo rectángulo ABC (recto en A), se traza la altura AH desde el ángulo recto, se tiene que el segmento “m” es proyección del cateto “c”y el segmento “n” es proyección del cateto “b”.

Obsérvese que la proyección ortogonal de la hipotenusa sobre un cateto es el mismo cateto.

c

B

A

b

Cm nHa

h

Elementos del triángulo rectángulo:b,c : Catetosa : Hipotenusah : Altura relativa a la hipotenusam : Proyección de “c” sobre la hipotenusan : Proyección de “b” sobre la

hipotenusa.

TEOREMA:En un triángulo rectángulo si se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se verifica:

1) Los triángulos rectángulos parciales son semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado.

2) La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

nmh .2 =

3) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

nab .2 = mac .2 =

4) El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura correspondiente a ella.

a.hc.b =

5) En todo triángulo rectángulo, los cuadrados de los catetos son proporcionales a sus proyecciones sobre la hipotenusa.

m

n

c

b2

2

=

CONJUGADAS ISOGONALES

Son dos rectas que partiendo de un mismo vértice. De un triángulo, el ángulo que forma una de ellas con un lado es igual al ángulo que forma la otra recta con el otro lado del triángulo.

α α

M N

B C

A

Si: B ÂM = N Â

C, entonces:

AM y AN son isogonales.

PROPIEDADSi AM y AP son conjugadas isogonales se cumple:

AM.APb.c =

α αc

BM

P

C

b

A

TEOREMAEn todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias, circunscrita e inscrita.

A

rM

m r ro

r N

m p o' nC B

cb

n

a

2r2Rcb +=+

H: Sea el triángulo rectángulo ABC y los círculos circunscrito e inscrito de radios R y r respectivamente.

T: b+c=2R+2r

DEMOSTRACIÓN: Por propiedad de tangentes:

CM = CP = mBN = BP = n

Mirando la figura:b = m + rc = n + r

Ssumando miembro a miembro:b + c = m + n +2r

Pero: m + n = 2R; luego:b + c = 2R + 2r 1q.q.d.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR.

1) En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior, divide al lado opuesto en dos segmentos directamente proporcionales a los lados que forman dicho ángulo.

α α

A

B D C

H: Sean AB y AC los lados que forman el ángulo A y AD su bisectriz interior, y sean BD y DC los segmentos determinados en el lado opuesto al ángulo A.

T: Se va a demostrar que: DC

BD

AC

AB=

DEMOSTRACION: Por B se traza una paralela a la bisectriz AD, cortando a la prolongación CA en E

α α

B D C

α

Aα

E

Llamado α los ángulos determinados por la bisectriz, se tiene:

El triángulo BAE es isósceles por tener dos ángulos iguales.

B ÊA = D Â

C = α, por correspondientes

A ^BE = B Â

D = α, por alterno internos

Luego: AE = AB



En todo triángulo EBC, AD es paralelo a EB, luego los triángulos EBC y ADC son semejantes, entonces aplicando el teorema de Thales:

DC

BD

AC

EA= ; pero AE = AB

∴DC

BD

AC

AB= 1.q.q.d

2) En todo triángulo, el cuadrado de la bisectriz de un ángulo interior es igual al producto de los lados que forman el ángulo, menos el producto de los segmentos determinados por la bisectriz del tercer lado.

αα

A

B D C

DCBDACABAD2

×−×=

H: Sean AB y AC los lados del ángulo A, sea AD la bisectriz del mismo ángulo y sean BD y DC, los segmentos determinados en el tercer lado.

T: 2AD =AB x AC – BD x DC

DEMOSTRACIÓN

α α

β

βB

A

C

E

D

RELACIONES MÉTRICAS

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA :

TEOREMA DE LAS CUERDAS:

an b

ma .b = n . m

TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE:

t

n

m

t = m . n2

TEOREMA DE LAS SECANTES

nm

a . b = m . nb

a


01.Calcular “a”

a

9 16

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

02 Calcular “h”

h

925

a) 10 b) 6 c) 12d) 18 e) 20

03 E, F y T son puntos de tangencia r = 3 y AE = 5 . Calcula “EC”

a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) 16

04 Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita e un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 respectivamente.

a) 4 b) 4,2 c) 4,6d) 4,8 e) 5

05 En un ∆ABC, recto en B, se traza la ceviana

interior BR , tal que AB = BR. Calcular “AB”, si: AC . AR = 72

a) 6 2 b) 9 c) 6

d) 8 e) 3 2

06.Del gráfico, calcular “PQ”, si: R = 9 y r = 4.

PQ

R

r

a) 6 b) 6 2 c) 12d) 13 e) 8

07.En un ∆ABC, recto en “B”, se trazan la altura

BH ; ABHE ⊥ y BCHF ⊥ (E en

AB y F en BC ). Si: AE = 1 y FC = 8, calcular “EB”.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08.Del gráfico calcular “AB”, si PQ = 12.

A

B16

P Q

a) 13 b) 15 c) 16d) 18 e) 20

09.Si AH = 2 y HC = 8, calcular “CD”

A

D

H

B

C

a) 4 5 b) 5 5 c) 6 5

d) 7 5 e) 8 5

10.Las dos medianas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8. Calcular la medida de la hipotenusa de dicho triángulo.

a) 2 5 b) 3 2 c) 4 5

d) 5 e) 10

11.Calcular “MQ . QN”, si “O” es centro.



A

N

O

M

B

P2

Q 3

a) 6 b) 8 c) 9d) 12 e) 16

12.En la figura “T”, “Q” y “M” son puntos de tangencia, PQ=QT y PA =2. Calcular “PB”

BM A

Q

T

P

a) 4 b) 6 c) 8d) 12 e) 16

13.Calcular “AC”, si AP=8 y CQ=6.

BC

A

Q

P

a) 7 b) 12 c) 10d) 9 e) 11

14.En la figura BD // AE , AB=4, BC=8 y CD=6. Calcular “EF”

B

E

A

D

C

F

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

15.En la figura “T” y “Q” son puntos de tangencia, AT = 6 y AB = 4. Calcular “QC”.

BC

A

Q

T

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

16.Calcular “CT”, si AB = AC y EF = 4.

A

E

O

T

B

F

C

a) 4 b) 8 c) 2 2

d) 4 2 e) 6 2

17.Si BF=1, FC=2, AF=16 y BC // AD , calcular “EF”

B

E

A

F

C

Da) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

18.En la figura “P”, “Q” y “T” son puntos de tangencia, CQ=12, AP=4 y BP=6. Calcular “PT”

B

Q

AP

C

T

a) 12 b) 18 c) 15d) 24 e) 30

19.Si ABCD es un paralelogramo calcular “x”

AD

B

E

C

x

8 12

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 6

20.En la figura: AB=7 y EF = 3. Calcular “FB”

A

E

BF

a) 2,5 b) 3,5 c) 4d) 4,5 e) 5

TAREA DOMICILIARIA

01.De la figura AB=15, BQ=8 y AH=HC. Calcular “QC”.

A

B

H

Q

C

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

02.De la figura, calcular BQ, si AH=4, HC=9 y HQ=2.

A

B

H

Q

C

a) 4 b) 4 2 c) 4 3

d) 5 e) 3 2

03.Calcular AP, si AB=12; BC=16, AB y

AC son diámetros de las semicircunferencias.

A P

B

C

a) 2,8 b) 2,2 c) 7,2d) 6,2 e) 8,2

04.De la figura, calcular O’Q, si QB =200.

A O B

O'

Q

a) 10 b) 10 2 c) 4 2

d) 5 2 e) 6 2

05.De la figura: AP=6, calcular AQ.

A O BO'

Q

P

a) 3 b) 3 2 c) 4

d) 4 2 e) 2 3

06.Del gráfico calcular “PQ + PT”, si PA = 8 y AB = 10.

PQ

T

A

B

a) 24 b) 36 c) 18d) 32 e) 16 2

07.Si ABCD es un cuadrado, AD=5 y PB=7, calcular “MD”



B

A

D

D

P

M

a) 5 b) 13

60c)

60

13

d) 12 e) 13

08.Calcular “BP”, si AM=MC, AC=5 y AB=3.

A

BP

CM

a) 4 b) 2 2 c) 2

d) 4 2 e) 3 2

09.Si AB es diámetro, “M” es centro y PQ=4. calcular “QM”

ABN

C

Q

M

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.En la figura: PT=6 y AQ=2. Calcular “QB”.

P

Q

TA

B

a) 2,5 b) 3,5 c) 4d) 3 e) 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

01.Completar:

Para que se cumpla en teorema de Thales basta un mínimo de ………. y ……….

a) Dos paralelas y una secanteb) Una paralela y una secantec) Tres paralelas y una secanted) Tres paralelas y dos secantese) Dos paralelas y dos secantes

02.La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8cm más que el otro, ¿Cuánto mide el segmento menor?

a) 11cm b) 9cm c) 12cmd) 8cm e) 13cm

03.A partir el gráfico mostrado se pide calcular « x », si PQ // BC // AD .

A

2 2

PxB C

2Q

4

D

a) 2 b) 1/2 c) 3d) 2/3 e) 1

04.Según el gráfico, calcular BM

MN, si MN

// AC y 4

3

NC

BN= .

α°α°

A C

M N

B

a) 4

5b)

4

3c)

3

2

d) 2

3e)

3

4

05.En el triángulo ABC donde: 5

7

BC

AB= se

traza la bisectriz interior BC .

Si: AD=3,5, ¿Cuánto mide DC ?

a) 2,5 b) 1,5 c) 3d) 3,5 e) 2

06.En un triángulo ABC; AB=4; BC=8 y AC=6. Se traza la bisectriz exterior BE (E en la

prolongación de CA ). Calcular: EA

a) 5 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

07.En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior y «P» es el incentro. Si: 5BP=7(PD) y AB+BC=21, calcular AC.

a) 10 b) 19 c) 14d) 12 e) 15

08.Del gráfico adjunto, calcular: x.

2bCA

b

3a

2ax + 2B

x

a) 6 b) 5 c) 7d) 3 e) 8

09.Del gráfico indicando, calcular «x».

P2 a B

5a

A

bQ

bL

x C x - 3

a) 4 b) 8 c) 9d) 5 e) 7

10.En el gráfico mostrado AB // CD //

MN , 3(AE)=6(ED)=2(DN). Si CM=6, calcular EB.


PROPORCIONALI


A B

C DE

M N

a) 5 b) 4 c) 6d) 2 e) 3

11.En la figura, Calcular “α”

α°

109

4

a) 53 b) 37 c) 30d) 60 e) 45

12.En la figura, calcular “x”.

α°α° 86

x7

a) 1 b) 4 c) 2d) 3 e) 5

13.En la figura, calcular “x”.

α°α°

57

6 x

a) 15 b) 10 c) 08d) 10 e) 12

14.En la figura, calcular “x”

37°53°

2

2ax

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 5

15.Si: EF // AB // CD , calcular “x”.

x°5

G F

5D

B

10

A

C3

E

a) 53 b) 37 c) 74d) 90 e) 30

16.Si: L1 // L2, calcular “x”.

x°8

4

L2

L1

a) 53 b) 60 c) 90d) 30 e) 45

17.Si: AB // CD , calcular “α”.

α°3a

2 2a

BA

C D2α°

a) 60 b) 53 c) 30d) 18,5 e) 26,5

18.En la figura, AB // CD , calcular “α”.

α°5

3A

3x

C

2xB

8

D

a) 53 b) 37 c) 60d) 90 e) 30

19.En la figura, AB // CD , calcular “x”.

A4

C

xx9

B

D

a) 10 b) 18 c) 12d) 15 e) 16

20.En la figura, calcular “α”.

5α°

10

3a

2a

a) 53 b) 37 c) 30d) 60 e) 53

21.Si: L1 // L2 // L3’ calcular “x”.

x+4 x+2

x-1xL1

L2

L3

a) 6 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

22.Calcular “x”

α° α° 24

x

x

18

a) 10 b) 9 c) 12d) 8 e) 6

23.Calcular “x”

α°α°

x

9

x 12

a) 6 b) 7 c) 5d) 8 e) 5,5

24.Calcular “α”

α°

α°

1

2

a) 26,5 b) 22,5 c) 18,5d) 30 e) 15

25.Si: AB // CD // PQ , calcular “x”.

Q

D

4x

BA

x

P3

C

a) 6 b) 5 c) 8d) 7 e) 9

26.En la figura, calcular “α”



α°10

3

α°

a) 30 b) 53 c) 45d) 37 e) 55


3

3 x

a) 4 b) 7 c) 5d) 6 e) 8

28.Calcular “x”

a° a°8x

x 2

a) 4 b) 3 c) 6d) 5 e) 2

29.En la figura, calcular “α”.

90°+ αα° 4

3

a) 53 b) 30 c) 45d) 60 e) 37

30.En la figura DF // AE y DE // AC . Calcular “x”

D E2

F1

B

A C

x

a) 3 b) 4 c) 9d) 8 e) 6


10

4a

a4α°

a) 53 b) 37 c) 45d) 30 e) 60


6

3

α°10

α°

a) 53 b) 30 c) 60d) 18,5 e) 26,5

33.En la figura calcular “α”

2y

x

α°2x

α°

y

a) 45 b) 30 c) 15d) 60 e) 37


60°6 60°12

x

a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6

35.En la figura, calcular x.

x

4

4

a) 3 b) 4 c) 8d) 6 e) 5

36.En la figura, calcular x.

α°

α°x2

x 3

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8


α°

α°6x

a) 4 b) 5 c) 2d) 3 e) 1


α°

α°6x

8

a) 3 b) 5 c) 4d) 6/5 e) 7/2

39.Calcular “x”

2ax° x°

a

a) 40 b) 60 c) 30d) 45 e) 53

40.Calcular “x”

x° x°x°

2 1 3

a) 60 b) 30 c) 53d) 45 e) 37

TAREA DOMICILIARIA

01.En la figura BN=6 y NH=9. Si AC=20, calcular “PQ”.

A

P

H C

QN

B

a) 6 b) 7,5 c) 10d) 8 e) 9



02.Los lados de un triángulo miden 17,19 y 23. Calcular la medida del menor lado de otro triángulo semejante a él cuyo perímetro es 177.

a) 26 b) 34 c) 38d) 46 e) 51

03.En un trapecio las bases miden 4 y 8, además la altura mide 9. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base menor.

a) 4 b) 2 c) 3,5d) 3 e) 4,5

04.En un triángulo ABC se traza MN // AC

(“M” en AB y “N” en BC ), tal que AM=2-x, MB=x+1, BN=x+3 y NC=3, calcular “AC”

a) 1,5 b) 2,5 c) 3d) 4,5 e) 5,4

05.Calcular “EC”, si AB=10 y CD=2.

A O D E

C

B

a) 2,5 b) 3 c) 4d) 5 e) 3,5

06.En la figura, calcular «x».

α° α°θ° θ°

x 2 4

a) 6 b) 1 c) 3d) 2 e) 4

07.En la figura « G » es baricentro del triángulo ABC. Calcular «x».

α°

α°

x - 5

x + 4

GM N

A

B

C

a) 10 b) 8 c) 12d) 9 e) 14

08.Del gráfico, calcular «x».

Si: b

1

a

1+ =1,6

a b

x

37° 37°

a) 0,8 b) 0,9 c) 1,0d) 1,4 e) 1,6

09.Calcular «x»,si ABCD: romboide.

x

3

A

B C

D

8

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.En un triángulo ABC, se traza la mediana

BM . Calcular BM, si AB=8 y m )∠MBC=m )∠A+m )∠C

a) 3 b) 4 c) 2d) 6 e) 5

11.Si ABCD es un romboide, 4BP = 3BD y AB=12, calcular “NC”

A

B C

D

NP

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

12.En el triángulo ABC se trazan las alturas

AD y CE , tal que AE=12, BE=3 y BD=5. Calcular “CD”

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

13.En la figura BE=2 y BC=8, calcular “BP”

α° α°

A

B

C

E

P

a) 53 b) 30 c) 45d) 60 e) 37

14.De la figura adjunta, calcular BQ

A

P

Q

B C

3

2

Xα°

α°α°

a) 3/5 b) 5/3 c) 1

d) 4/3 e) 3/4

15.En un triángulo ABC se traza la ceviana

BD , tal que: 3AD=2DCy

3

BAC)m

5

BDA)m ∠=∠=M )∠B

CA.

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 9

16.En un ∆ABC: AB=8, BC=6 y AC=7. Las bisectrices interior y exterior del ángulo B intersecan a AC y a su prolongación en los puntos E y F, respectivamente. Calcular «EF».

a) 20 b) 24 c) 18d) 22 e) 26

17.De la figura adjunta: BC=4; AB=9: BD=8,

BM // CF y AM=ME. Calcular DE .

EMA

B

C

D

F

a) 15 b) 12 c) 10d) 6 e) 7,5

18.Del gráfico mostrado ID=4

AC y el

perímetro del triángulo ABC es 20m (I es incentro). Calcular BD.

A D C

B

I

a) 3m b) 5m c) 7md) 6m e) 4m



19.En un triángulo ABC una recta paralela a

AC interseca a AB y BC en los puntos “P” y “Q” respectivamente. Calcular “PQ” si AP=6, PB=2 y AC=12.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20.En la figura: AP y CP son tangentes, AB=9 y BC=4. Calcular PB.

A

B

C

P

a) 6 b) 7,5 c) 6,5d) 3 2 e) 8

21.En la prolongación del lado Andel cuadrilátero ABCD se ubica el punto E, tal

que BD es bisectriz del ángulo “B” y m

)∠CDE; AB=18 y BC=8.

Calcular: BD .

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

22.Si EF // AC ,3(BF)=2(CF) y BE=6, Calcular “AD”.

D

E

B

F

A C

30º

x

a) 2 3 b) 4 3 c) 3 3

d) 6 3 e) 12 3

23.En un trapecio las bases miden 4 y 8, además la altura mide 9. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base menor.

a) 4 b) 2 c) 3,5d) 3 e) 4,5

24.En un cuadrado ABCD en BC se ubica el punto “P” y en la región triangular APD se ubica su baricentro “G”. Luego trazamos , tal que AH=4. Calcular el perímetro del cuadrado.

a) 36 b) 44 c) 32d) 40 e) 48

25.En un trapecio rectángulo ABCD: m )∠

A=m )∠B=90, AC y DB se intersecan perpendicularmente, BC=18 y AD=50. Calcular AB.

a) 24 b) 25 c) 30d) 32 e) 36

26.La mediatriz del lado AC de un triángulo

ABC interseca a BC y a la prolongación de

AB en “M” y “N” respectivamente. Si 4BM=3MC y AB=4, calcular “BN”.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

27.En la figura BM es mediana; AP=2 y PB=4. Calcular “AC”

P

B

MA C

a) 4 3 b) 4 2 c) 8

d) 6 2 e) 6 3

28.Los lados AB y BC del triángulo ABC miden 4 y 6; siendo el ángulo ABC de 120. Calcular la bisectriz BD (D en AC ).

a) 2,5 b) 1,2 c) 1,8d) 3,6 e) 2,4


SEMEJANZAS DE


Dos triángulos serán semejantes si tienen la misma forma, pero diferente tamaño.Si dos triángulos son semejantes entonces se cumple que todos sus elementos homólogos a los elementos de uno y otro triángulo semejante que se encuentran en relación directa.

Para que dos triángulos tengan la misma forma será necesario que tengan congruentes sus tres ángulos.

CA

B

θºαºH

∼

M

N

LθºαºQ

Si ∆ABC ∼ ∆MNL

⇒

k...MQ

AH

NQ

BH

p2

p2

ML

AC

NL

BC

MN

AB

MNL

ABC =======∆

∆

El símbolo ∼ , se lee “ es semejante a”

k : Razón de semejanza.

Dados dos triángulos semejantes. Llamaremos lados homólogos, uno en cada triángulo, a aquéllos opuestos a ángulos congruentes.

CASOS DE SEMEJANZA

Dos triángulos serán semejantes si cumplen con cualquiera de los siguientes casos:

1er. Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

αº θºαº θº

∼

2do. Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y congruente el ángulo comprendido.

ωº

∼

ωºak

bk

a

b

3er. Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

∼a b

c

ak bk

ck

Aplicación:

1. En un triángulo ABC, sobre BC se

toma el punto “ D ”, tal que la m ∡ BAD

= m∡ C, BD = 4 y DC = 5. Calcular “ AB ”.

2. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se toma el punto “D” tal que AD = 1, DC = 8 y AB = 3.Si BC = 10, calcular “BD”

3. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD, tal que las prolongaciones de

DCyAB se intersecan en “E”. Si AE = 8, ED = 10 y AD = 9, calcular “BC”

Observaciones

1.

CA

NM

B M N

A C

B

Si AC//MN ⇒ ∆ MBN ∼ ∆ ABC

2.

A

B

C

PQ

Si : CPyAQ son alturas⇒ ∆ PBQ ∼ ∆ ABC

3.

AH

B

Cαº

αº

αº90º -

Del gráfico:AHB BHC ABC∼ ∼

Propiedad

A D

B C

P QO

a

b

Si : AD//PQ//BC

⇒ ba

ab2PQ

+= y PO = OQ

Observación:Del gráfico se cumple

abx

ba

abx

+=

TEOREMA DE MENELAO

AQ, BQ, CL = PB, QC, AL

A

B

C

PQ

L

L



TEOREMA DE CEVA“Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes”.

Sean las cevianas concurrentes CMyBL,AN trazadas en el ∆

ABC. Entonces se verificará la siguiente relación:

AM . BN . CL = BM . NC . AL

A

B

CL

NM

Propiedad :

A

B

ED C

αθθ

α

Se cumple:

CE

AE

DC

AD=


01.Del gráfico calcular “x”

x

x

9 4

α º

β º

α ºβ º

a) 3b) 4 c) 4, 5d) 6 e) 8

02.Si AC//MN , calcular “x”

A

x + 2

B

C

M Nx - 2 3k

5k

a) 5 b) 7c) 9d) 10 e) 12

03.Calcular “x”

x n

2n18

45º

a) 23 b) 4c) 6

d) 32 e) 62

04.Calcular “x”.

A

CB

x D

E

12

15

6

a) 5 b) 7, 5 c) 9

d) 10 e) 12, 5

05.Si : AC//MN , AM = 7 , AB = 10 y CN = MN + 12. Calcular MN

A

B

C

M N

θ º

θ º

a) 7 b) 8c) 9d) 10 e) 15

06.En la figura TO = 2 y AO . OR = 12. Calcular : OC

A

B

C

T R

o

a) 3 b) 4c) 5d) 6 e) 7

07.En la figura mostrada si AD = 8 ; DC = 10, calcular AB

A

B

CD

α º

α º

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

08.Calcular “ AT ”, si “ T ”es punto de tangencia, AB = 4 y TC = 3TB

A BC

T

a) 6 b) 8c) 10d) 12 e) 16

09.Si AB = 8 y BD = 6 , Calcular “ BC ”.

A

B

D

Cθ º θ º

θ º

a) 4 b) 4, 5 c) 5d) 5, 5 e) 7, 5

10.Los lados de un triángulo miden 4, 7 y 10. Si otro triángulo semejante al primero tiene un perímetro de 147, calcular la medida de su lado menor.

a) 24 b) 28 c) 30d) 32 e) 20

11.En la figura mostrada BC = 8 y AD = 18. Calcular AB

A D

B C

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

12.En un triángulo ABC : AB = 3, BC = 6 y m ∡ ABC = 120. Si BD es bisectriz interior, calcular “ BD ”.



a) 1 b) 3 c) 2

d) 32 e) 3

13.En la figura, si AT = 2 y MC = 8, Calcular R, “ T ” y “ M ” puntos de tangencia

A

B

T

M

R

O C

a) 3 b) 4c) 5d) 6 e) 7

14.En la figura mostrada BM = MA, si BC = 4 y AD = 9, calcular AB.

A D

B C

M

a) 8 b) 9c) 10d) 11 e) 12

15.En la figura “ O ” es centro, OE = 9 y OF = 16. Calcular “ OA ”

A E

O

T Fa) 8 b) 12, 5 c) 12d) 15 e) 18

16.En la figura : CD = 3BE, AE = 7, AD = 4. Calcular BE

B

E

A

C

D

θ º θ º

a) 5 b) 5, 4 c) 6d) 6, 6 e) 7, 2

17.En la figura el diámetro AC mide 8, AB = 2BM. Calcular MN

A

B

C

M

N

a) 2 b) 32 c) 4

d) 34 e) 6

18.En la figura AE = 2 y EB = 4. Calcular “BC”.

A

B

D

E

C

α º α º

a) 2 b) 3c) 4d) 6 e) 7, 5

19.En la figura mostrada calcular “x”

A

6F

C

2 x

D

B

a) 1, 5 b) 2c) 2, 5d) 3 e) 3, 5

TAREA DOMICILIARIA

01.Los ángulos de un triángulo miden 17; 19 y 23 . Calcular la medida del menor lado de otro triángulo semejante a él; cuyo perímetro es 177.

a) 26 b) 34 c) 38d) 46 e) 51

02.Calcular “x”

A

CB

x D

E

12

15

6

a) 5 b) 7, 5 c) 9d) 10 e) 12, 5

03.En la figura se cumple : 2 (ED) = CB ; AB = 5 y AD = 6. Calcular “ED”.

A

D

C

E

Bα º

α º

a) 2, 5 b) 2, 55 c) 2, 65d) 2, 75 e) 2, 85

04.En el triángulo ABC se trazan las alturas AD y CE tal que : AE = 12; BE = 3; BD = 5. Calcular “CD”

a) 2 b) 3c) 4d) 5 e) 6

05.En la figura BN = 6 y NH = 9. SI AC = 20, calcular “PQ”

B

P Q

C

N

AH

a) 6 b) 7, 5 c) 10d) 8 e) 9

06.ABCD : cuadrado; cuyo perímetro es 24 calcular HP; si : BM = MC

A

B C

D

H M

P

a) 1 b) 1, 5 c) 2d) 2, 5 e) 3

07.Calcular “DE”, si AB = 14, BC = 6 y AG = 5.

G

B

A

EC

D

αº αº

a) 1 b) 4c) 2d) 1, 5 e) 3

08.Si BC//MN , AB = 18, AC = 27 y BC = 36. Calcular AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio BMNC.



A

B C

M N

a) 14, 25 b) 16, 2 c) 12, 5d) 18, 2 e) 19, 25

09.En un trapecio, el punto de intersección de las diagonales dista 3 de la base menor y 4 de la base mayor. ¿A qué distancia de la base menor se encuentra el punto de intersección de los lados no paralelos?

a) 7 b) 14 c) 21d) 12 e) 18

10.Si “ C ” es punto de tangencia , AC = 9 ; BC = 6 ; CD = 5; calcular CE.

A

B

D

E

C

a) 4 b) 11/ 3 c) 10/ 3d) 13/ 3 e) 14/ 3

11.En un trapecio ABC; BC = 18, la mediana BM y la bisectriz interior AD son perpendiculares; calcular “ BD ”.

a) 4, 5 b) 6c) 7, 8 d) 8 e) 9

12.En la figura : AH = 3 y BC = 9. Calcular “PQ”.

A

H

B

P C

Q

a) 0, 5 b) 1c) 1, 5d) 2 e) 3

13.Si : PQ = 2, PS = 5 y AD = 7; calcular BC

B

C

S

DA

Q P

a) 3, 5 b) 6 c) 7d) 7, 5 e) 8

14.Por el baricentro de una región triangular se traza una paralela a un lado, determinándose un triángulo parcial cuyo perímetro es 4. Calcular el perímetro del triángulo inicial.

a) 5 b) 6c) 8d) 12 e) 9

15.En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 9. Calcular la medida de la altura del trapecio si las diagonales son perpendiculares entre sí.

a) 5 b) 9c) 8d) 6 e) 12

16.Del gráfico, “ P ” es un punto de tangencia, AM = 18 y NB = 8 . Calcular : “ PQ ”.

A

N

B

MP

Q

a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 8

17.En un triángulo ABC, m ∡ A = 2 m ∡ C ; AB = 4 y AC = 5. Calcular BC.

a) 23 b) 5, 5 c) 6

d) 34 e) 7

18.En un triángulo ABC ( AB = BC ) se trazan las alturas BH y AQ que se intersecan en “O”.Si : OH = 1 y OB = 8, calcular “AC”

a) 3 b) 3c) 33

d) 6 e) 9

19.Dado el romboide ABCD : AB = 9 y AD = 12, en AC se ubica el punto “P” cuya

distancia a AB es 6. Calcular la distancia

de “ P ” a AD

a) 4, 5 b) 5c) 3d) 8 e) 7, 5

20.Las bases de un trapecio miden 10 y 20. Se traza una paralela a las bases que dividen a los lados no paralelos e segmentos proporcionales a 2 y 3. Calcular la longitud de dicha paralela.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 18

21.En el gráfico mostrado, 3 (CD) = 4 (DE) y BC = 8u. Calcular AB; siendo C punto de tangencia.

A

C

E

D

B

a) 7 u b) 6 u c) 6, 5 ud) 5 u e) 5, 5

22.Si L es mediatriz de AB , CB = 3 (TC)

y AN = 8 cm, calcular NC.

A

C

N

BTL

a) 1,5 cm. b) 2 cm. C) 3 cm.d) 4 cm. e) 3, 5 cm.

23.Del gráfico 21 m4S =

22 m3S =

Calcular 3S

A

B

ED CS1 S2 S3

α º α ºβ º

β º

a) 10 2m b) 21 2m c) 7 2md) 5 2m e) 15 2m

24.De la figura adjunta se cumple:



4

BC

3

OB

2

AO==

Calcular MO, si MP = 15,

321 L//L//L

A

NP C

B

OM L 1

L 2

L 3

a) 1 b) 1, 5 c) 5d) 10/3 e) 2, 5

25.Si ABCD es un romboide, PM = 2 y MN = 16, calcular AP.

A

N

B

D

P

MC

a) 8 b) 3 2 c) 3d) 4 e) 12

26.De la figura adjunta AC//PQ ; si AL = 6, calcular LC

A

B

C

P

L

Q

a) 8 b) 6 c) 12d) 3 e) 4, 5

27.De la figura adjunta : AL = 2; AU = 1. Calcular UP.

T

A U PL

MN

a) 6 b) 3 c) 2d) 4, 5 e) 9

28.De la figura adjunta : 5

1

c

1

a

1=+ .

Calcular BD.

B

A D C

cx

a53º 53º

a) 7 b) 6 c) 10d) 12 e) 9

29.En la figura “O” es centro, AB = 3BE y AE = 6. Calcular “EC”

A

BC

D

EO

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 4, 5

30.Se tiene un triángulo ABC de bisectriz interior BD . Calcular el máximo valor entero de ID, siendo I: incentro del triángulo ABC y IB = 4

a) 2 b) 5 c) 1d) 3 e) 4

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geometria 5° 2 b

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