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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

10° cuatrimestre

Geometrías no euclidianas

Unidad 2. Geometría hiperbólica

Clave:

050941037



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Índice Presentación de la unidad ................................................................................................... 3

Propósitos ............................................................................................................................ 3

Competencia específica ....................................................................................................... 3

2. Geometría hiperbólica ...................................................................................................... 3

Actividad 1. El postulado de las paralelas ...................................................................... 5

2.1. Suma de ángulos. ................................................................................................... 5

2.1.1. Axioma hiperbólico .............................................................................................. 8

2.1.2. Ángulos internos de un triángulo ....................................................................... 11

2.2. Triángulos semejantes .......................................................................................... 23

2.2.1. El postulado de Wallis ....................................................................................... 24

2.2.2. Congruencia de triángulos ................................................................................ 27

Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes ................................................ 28

2.3. Paralelas y perpendiculares .................................................................................. 29

2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común .............................................. 29

2.3.2. Limitación de rayos paralelos ............................................................................ 38

2.4. Clasificación de las paralelas ................................................................................ 42

Actividad 3. Paralelas y perpendiculares ...................................................................... 43

Autoevaluación .................................................................................................................. 43

Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica .............................................................. 43

Autorreflexiones ................................................................................................................. 44

Cierre de la unidad ............................................................................................................ 44

Para saber más ................................................................................................................. 44

Fuentes de consulta .......................................................................................................... 45



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Presentación de la unidad

En el inicio de esta unidad observarás algunas formas equivalentes de presentar el quinto

postulado de Euclides, para después construir una geometría distinta a la euclidiana por

medio de la negación del postulado de las paralelas de Hilbert y así obtener el axioma

hiperbólico y comenzar con el estudio de la conocida como geometría hiperbólica. Aunado

a esto, se muestran propiedades que son comunes a ambas geometrías y también algunas

diferencias entre ellas.

Propósitos

Al término de esta unidad lograrás:

Identificar algunas equivalencias del quinto postulado de Euclides.

Identificar el axioma hiperbólico como la negación del axioma de las paralelas de

Hilbert.

Revisar algunas propiedades comunes entre la geometría euclidiana y la geometría

hiperbólica.

Revisar algunas diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría

hiperbólica.

Competencia específica

2. Geometría hiperbólica

Como has observado en la unidad anterior, el quinto postulado de Euclides ha sido el más

controversial, muchos matemáticos intentaron deducirlo de los cuatro anteriores

fracasando en cada uno de sus intentos; llegaron a la conclusión de que este postulado era

independiente de los otros, lo que provocó un cambio en la forma de concebir la geometría,

dando origen a otras geometrías conocidas como geometrías no euclidianas. En esta

sección se aborda la geometría conocida como hiperbólica.

Es de resaltar que, en muchas ocasiones, cuando una nueva idea surge hay varias

personas que trabajan simultáneamente con ésta, es muy conocida la historia del

surgimiento del cálculo desarrollado en forma paralela por Newton en Inglaterra y Leibniz

en Alemania. La historia ha ubicado a tres matemáticos como los iniciadores en el estudio

de una geometría no euclidiana: el húngaro János Bolyai (1802-1860), el alemán Carl

Friedrich Gauss (1777-1855) y el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856).

Analizar la consistencia de la geometría hiperbólica para la resolución de problemas

geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares.



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Como se vio en la unidad anterior, dos rectas son paralelas si nunca se cortan, la forma

original en que Euclides presenta el quinto postulado en los elementos es:

Quinto postulado de Euclides: si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que la suma de los ángulos interiores de algún lado de la transversal sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas se cortan del mismo lado de la transversal.

Gráficamente, el quinto postulado de Euclides se presenta de la siguiente manera:

Figura 1. El quinto postulado de Euclides

A continuación se presentan algunas equivalencias de este postulado, las cuales se

presentan sin demostración:

Teorema 2.1. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si se cumple el axioma

de las paralelas de Hilbert.

Teorema 2.2. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas dos líneas

paralelas, si otra línea corta a alguna de éstas, entonces también corta a la otra.

Teorema 2.3. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cualesquiera dos

líneas paralelas que son cortadas por una transversal tienen al menos un par de ángulos

alternos internos congruentes.

Teorema 2.4. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cuando la línea

1 es transversal a las líneas 2 y 3 , donde 2 3 y 1 2 , implica que 31 .

Teorema 2.5. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas cuatro

líneas 1 , 2 , 3 y 4 tales que 1 2 , 1 3 y 1 4 implica que 3 4 o 43 .



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Teorema 2.6. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si los rectángulos

existen.

Actividad 1. El postulado de las paralelas

2.1. Suma de ángulos

Hay muchos objetos y resultados geométricos que se pueden obtener utilizando los

axiomas de Hilbert sin necesidad de utilizar el axioma de las paralelas, como se ejemplifica

a continuación; pero primero deberás considerar las siguientes definiciones:

Definición: Sean t , y ' tres líneas distintas, con t transversal a y ' y donde t corta

en B y 'B a las rectas y ' respetivamente. Sean A y C puntos de tales que

* *A B C y de forma similar 'A y 'C son puntos de ' tales que '* '* 'A B C . Entonces los

ángulos ' ' , ', ' ' , 'A B B ABB C B B CBB son llamados internos. Por otro lado, las parejas

de ángulos ', ' 'ABB C B B y ' ' , 'A B B CBB son llamados alternos internos.

La definición anterior se ejemplifica en la siguiente figura:

A través de esta actividad, identificarás los principios básicos de la geometría euclidiana

para separar el quinto postulado de Euclides.

1. Investiga algunos resultados de la geometría euclidiana clásica.

2. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas.

¿Cuáles son independientes del quinto postulado de Euclides? ¿Cuáles utilizan el quinto postulado de Euclides?

3. Revisa las aportaciones de dos de tus compañeros(as), realiza una comparación con tus respuestas. Acepta o rechaza sus respuestas.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.



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Figura 2. Ángulos alternos internos

El resultado que se presenta se le conoce como teorema de los ángulos alternos

interiores.

Teorema 2.7. Si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que se forme una

pareja de ángulos alternos internos congruentes, entonces las dos son paralelas.

Demostración: sean las líneas t , y ' , los , , , ', ', 'A B C A B C como en la definición

anterior, entonces:

(i). Se tiene por hipótesis que ' ' 'A B BB C B .

Figura 3. Ángulos alternos internos en un par de líneas paralelas

(ii). Por contradicción, supón que y ' no son paralelas, es decir, que existe un punto

D donde intersecta a ' y supón que D está del mismo lado con respecto a t

que los puntos C y 'C .



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Figura 4. Las rectas y se intersectan en D

(iii). Existe un punto E sobre el rayo ' 'B A tal que 'B E BD .

Figura 5. El punto E satisface 'B E BD

(iv). Como el segmento 'BB es congruente consigo mismo, entonces por el criterio LAL

se tiene que ' 'BB BD B E y en particular '' BDB B E B

Figura 6. El triángulos 'B BD es congruente a 'BB E

(v). Dado que 'DB B es suplementario a 'EB B , entonces 'EBB es suplementario

a 'DBB .

(vi). En consecuencia E es un punto de .

(vii). Entonces y tienen dos puntos en común, lo que implica que ' , lo cual

contradice la hipótesis presentada en la definición.

(viii). Por lo tanto D no existe, por lo tanto ' .

Lo que demuestra el resultado.

Debido al teorema anterior, se presentan dos consecuencias inmediatas:



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Corolario 2.7.1. Dos líneas perpendiculares a la misma son paralelas entre sí. Más aún,

dada una línea y un punto que no pertenece a ésta, entonces la perpendicular a la línea

que pasa dicho punto es única.

Demostración: si dos líneas y son perpendiculares a la línea t , los ángulos alternos

internos son ángulos rectos, y como todos los ángulos rectos son congruentes entre sí,

esto implica que .

Corolario 2.7.2. Dadas cualquier línea y un punto P que no pertenezca a entonces

existe al menos una línea m paralela a que pasa por P .

Demostración: existe una línea t perpendicular a la línea que pasa por el punto P ,

Además de una única línea m perpendicular a t que pasa por P , dado que y m son

perpendiculares a t entonces por el corolario anterior m .

Observa que este resultado afirma la existencia de la línea m paralela a que pasa por el

punto P , pero este corolario no afirma la unicidad de ésta, por lo que no se obtiene el

quinto postulado de Euclides.

2.1.1. Axioma hiperbólico

Como observaste en la unidad 1, existen resultados que se obtienen inmediatamente de

los axiomas de Hilbert, sin necesidad de mezclar unos con otros. Los axiomas que

determinan a la geometría hiperbólica son los de Hilbert, sin tomar en cuenta el axioma de

las paralelas, que se sustituye por el axioma hiperbólico, es decir, los axiomas que

definen la geometría hiperbólica son:

(a) Incidencia

(b) Intermediación

(c) Congruencia

(d) Continuidad

(e) Hiperbólico

El axioma hiperbólico se enuncia de la siguiente manera:

Axioma hiperbólico: existe una línea y un punto P que no pertenece a , tales que

existen al menos dos líneas paralelas a distintas que pasan por P .

Observa que este axioma es la negación del axioma de las paralelas de Hilbert y, en

consecuencia, del quinto postulado de Euclides. La siguiente figura presenta una noción

gráfica del axioma hiperbólico:



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Figura 7. Axioma hiperbólico

En geometría hiperbólica, al no cumplirse el axioma de las paralelas de Hilbert, entonces el

teorema 2.6. es falso, por consiguiente se tiene el siguiente resultado:

Lema 2.1. En geometría hiperbólica no existen los rectángulos.

El lema anterior permite plantear una versión universal del axioma hiperbólico, a esto se le

conoce como el teorema hiperbólico universal.

Teorema 2.8. En geometría hiperbólica, para toda línea y todo punto P que no

pertenezca a se tiene que a través de P pasan al menos dos distintas líneas paralelas a

.

Demostración: basta atender los siguientes pasos:

(i). Sean una línea y P un punto que no pertenezca a .

Figura 8. La línea y el punto P

(ii). Considera el punto Q de la línea , de tal forma que PQ .

Figura 9. La línea PQ perpendicular a



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(iii). Sea m la línea que pasa por P tal que PQ m .

Figura 10. La línea m perpendicular a PQ

(iv). Sea R un punto sobre distinto de Q y t la perpendicular a que pasa por R .

Figura 11. La línea t perpendicular a que pasa por R

(v). Sea S un punto de la línea t , de tal forma que PS t .

Figura 12. La línea PS perpendicular a t

(vi). Como PS y son perpendiculares a t se tiene que PS .

(vii). Se tiene que mostrar que PS m o equivalentemente S no es elemento de la línea

m , se procede por contradicción, supóngase que S es elemento de m .

(viii). En consecuencia, el cuadrilátero QRSP es un rectángulo.

(ix). Esto contradice el lema 2.7., por consiguiente S no pertenece a m .




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Como consecuencia inmediata del teorema hiperbólico universal, se presenta el

siguiente resultado:

Corolario 2.8.1. En geometría hiperbólica, para toda línea y todo punto P que no

pertenezca a existen un número infinito de líneas paralelas a que pasan por P .

Demostración: dado que las rectas paralelas dependen del punto R y como hay una

manera infinita de escoger al punto R , se tiene que existen un número infinito de rectas

paralelas a .

2.1.2. Ángulos internos de un triángulo

Es momento de revisar el comportamiento de los ángulos interiores de un triángulo en

geometría hiperbólica, para ello se presentan las siguientes definiciones:

Definición: dos ángulos son adyacentes si y sólo si tienen el mismo vértice, comparten un

lado y no se sobreponen uno sobre el otro.

Gráficamente, dos ángulos adyacentes se ven de la siguiente forma:

Figura 13. Ángulos adyacentes

Definición: dos ángulos son opuestos por un vértice si se forman de la intersección de dos

líneas y tales ángulos no son adyacentes.

Gráficamente los ángulos opuestos por un vértice se ven la de la siguiente forma:

Figura 14. Ángulos opuestos por un vértice



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Los ángulos opuestos por un vértice son congruentes, esto permite mostrar que los

ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes. El siguiente concepto se

utiliza en el próximo resultado:

Definición: dados dos ángulos ABC y DEF , se dice que ABC es menor que DEF

, y se denota por ABC DEF , si y sólo si existe un rayo EH entre los rayos ED y EF

tal que ABC DEH .

En la siguiente figura se ejemplifica la definición anterior:

Figura 15. El ángulo CBA es menor que el ángulo DEF

El siguiente resultado se conoce como el teorema del ángulo exterior y es muy

importante para obtener algunas propiedades básicas sobre triángulos.

Teorema 2.9. Un ángulo exterior de un triángulo es más grande que los otros dos ángulos

no adyacentes.

Demostración: basta que observes los siguientes pasos:

(i). Sea el triángulo con vértices en los puntos , ,A B C y considera el ángulo BAC .

Figura 16. Ángulo BAC del triángulo ABC

(ii). Sea D un punto en la línea BC tal que * *B C D .



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Figura 17. Punto D que satisface * *B C D

(iii). Se procede por contradicción, si ABAC CD entonces las líneas BA y BC son

paralelas y en consecuencia B no existe, lo que es una contradicción.

(iv). Si ABAC CD existe un rayo AE , de tal manera que CACD AD .

Figura 18. Rayo AE que satisface CACD AD

(v). Existe el punto G sobre el rayo AE , tal que * *B G C .

Figura 19. Punto G que satisface * *B G C

(vi). Entonces las líneas AE y CD son paralelas, por consiguiente el punto A no existe,

lo que es una contradicción.

(vii). Por consiguiente ABAC CD .

(viii). Para mostrar ABC ACD hay que considerar un punto F que esté en la línea

AC , de tal forma que * *A C F .



14

Figura 20. Línea AC que satisface * *A C F

(ix). Luego se tiene que FACD CB , ya que son opuestos por el vértice C .

(x). Por el razonamiento dado de los pasos (ii) al (vii), se tiene que ABC BCF .

(xi). En consecuencia ABC ACD .


Como consecuencia del teorema 2.9. y los resultados anteriores, se tienen los siguientes

resultados:

Proposición 2.1. Dados dos triángulos ABC y DEF tales que AC DF , DA y

EB entonces DABC EF .(LAA)

Proposición 2.2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus respectivas

hipotenusas son congruentes y algunos de sus respectivos catetos son congruentes.

Proposición 2.3. Todo segmento tiene un punto medio.

Proposición 2.4. Todo ángulo tiene una bisectriz.

Proposición 2.5. Todo segmento tiene una única bisectriz perpendicular.

Proposición 2.6. En todo triángulo, el ángulo interno más grande se opone al lado de

mayor longitud, y el lado de mayor longitud es opuesto al ángulo interno más grande.

Proposición 2.7. Dados los triángulos ABC y DEF tales que AB DE y BC EF

entonces B E si y sólo si AC DF .

Proposición 2.8. Dados dos triángulos tales que son congruentes todos sus lados,

entonces son congruentes. (LLL)



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La Proposición 2.1. toma el nombre de criterio Lado-Ángulo-Ángulo (LAA) y la Proposición

2.8. es conocida como el criterio Lado-Lado-Lado (LLL) de congruencias de triángulos.

Es conocido que a cada segmento y a cada ángulo se le asigne un número, el primero

llamado longitud y el segundo amplitud (expresada en grados). Los siguientes resultados

garantizan la existencia de dichos números, las demostraciones se basan en el axioma de

Dedekind y su demostración es presentada en un curso de análisis matemático, por lo

cual escapa de los objetivos de este curso.

El primer resultado se presenta para ángulos y se enuncia de la siguiente manera:

Teorema 2.10. Dado un ángulo A , existe una única manera de asignarle los grados

A que satisface las siguientes condiciones:

(a) 0 180A .

(b) A B si y sólo si BA .

(c) Si el rayo AC es interior al ángulo DAB entonces

DAC CAB DAB .

(d) 90A si y sólo si A es un ángulo recto.

(e) Para todo 0,180x existe un ángulo A tal que A x .

(f) Los ángulos A y B son suplementarios si y sólo si 180A B .

(g) A B si y sólo si A B .

A partir del resultado anterior se obtienen los siguientes conceptos:

Definición: dado un ángulo A , se dice que A es agudo si y sólo si 90A y se

dice que A es obtuso si y sólo si 90A .

Como una consecuencia inmediata de este teorema se tiene el siguiente resultado:

Corolario 2.10.1. La suma de los grados de dos ángulos internos de un triángulo es menor

que 180 .

Ahora se presenta el resultado análogo para segmentos:

Teorema 2.11. Dado un segmento OP llamado unidad existe una única manera de

asignar la longitud AB del segmento AB tal que satisface las siguientes condiciones:

(a) 0AB y 1OP .

(b) AB CD si y sólo sí AB CD .



16

(c) * *A B C si y sólo si AB BC AC .

(d) AB CD si y sólo si AB CD .

(e) Para todo x con 0x existe un segmento AB tal que AB x .

Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente resultado:

Corolario 2.11.1. Para cualesquiera tres puntos no colineales A , B y C se tiene que

AC AB BC .

Demostración: basta observar los siguientes pasos:

(i). Sean A , B y C tres puntos no colineales.

Figura 21. Puntos no colineales A , B y C

(ii). Aplicando los axiomas de intermediación 1 y de congruencia 1 al rayo opuesto a

BA , existe un único punto D que satisface * *A B D y que BD BC .

Figura 22. Punto D que satisface * *A B D y que BD BC

(iii). Entonces el triángulo CBD es isósceles y así BBCD DC .

Figura 23. Triángulo isósceles CBD



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(iv). Por la parte (c) del teorema 2.11. se tiene que AB BD AD .

(v). Como BC BD se tiene que AB BC AD .

(vi). Dado que el rayo CB esta entre los rayos CA y CD , por definición, se tiene que

BCD ACD .

(vii). Como BCD ACD y BBCD DC implica que ADC ACD .

Figura 24. El ángulo ADC es menor que el ángulo ACD

(viii). Por la proposición 2.7. se tiene que AD AC .

(ix). Por la parte (d) del teorema 2.11. se tiene que AD AC .

(x). Por consiguiente AB BD AD AC .


El siguiente es un resultado muy importante cuya demostración requiere del axioma de

Arquímedes, éste es conocido como el teorema de Saccheri-Legendre, pero antes de

abordarlo debes revisar el siguiente lema con su demostración.

Lema 2.2. Dado el triángulo ABC sea D el punto medio del segmento BC , y sea E el

punto sobre el rayo AD de tal forma que * *A D E y AD DE entonces la suma de las

aberturas de los ángulos del triángulo ABC es igual a la suma de las aberturas de los

ángulos del triángulo AEC y la medida de alguno de los ángulos AEC o EAC es

menor o igual a 1

2BAC .

Demostración: basta observar los siguientes pasos:

(i). Dado un triángulo ABC , sea D el punto medio del segmento BC y sea E el

punto sobre el rayo AD , de tal forma que * *A D E y AD DE .



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Figura 25. El punto D es el punto medio de los segmentos AE y BC

(ii). Por ser ángulos opuestos por el vértice D , se tiene que CBDA DE , y por

hipótesis BD CD y ED AD .

(iii). Por el criterio LAL se tiene que BDA CDE .

Figura 26. El triángulo BDA es congruente al triángulo CDE

(iv). Luego DEC DAB y así BAC BAD DAC CEA EAC .

Figura 27. El triángulo DEC es congruente al triángulo DAB

(v). Como EABD CD , se tiene que ECA ECD DCA ECB BCA .



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Figura 28. El triángulo ABD es congruente al triángulo ECD

(vi). Aplicando la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que:

BAC ACB CBA CEA EAC ACB ECB

CEA EAC ACE

(vii). Finalmente 2min ,BAC CEA EAC CEA EAC lo que

implica que 1

in2

,m CEA EAC BAC .

Con lo cual queda demostrado el resultado.

Teorema 2.12. En todo triángulo, la suma de las medidas en grados de sus ángulos

internos es menor o igual a 180 .

Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos:

(i). Supóngase que la suma de las medidas en grados de sus ángulos internos del

triángulo ABC es mayor que 180 .

(ii). Así, existe 0p tal que 180A B C p .

(iii). Por el lema 2.2. existe un triángulo 1AB C tal que la suma de las aberturas de los

ángulos del triángulo ABC es igual a la suma de las aberturas de los ángulos del

triángulo 1AB C , es decir 1 180A B C p y

1

1

2AB BACC .

Figura 29. Triángulo 1AB C que satisface el lema 2.2



20

(iv). De forma similar, aplicando el lema 2.2. al triángulo 1AB C existe un triángulo

2AB C tal que:

2 180A B C p y 12

1 1

2 4B AC BACA CB .

Figura 30. Triángulo

2AB C que satisface el lema 2.2

(v). Por inducción matemática para todo k existe un triángulo kAB C tal que:

180kA B C p y 1

2kkA BACB C .

(vi). Por el axioma de Arquímedes existe 0k tal que y

0

1

2k

BAC p .

(vii). Lo que implica que existe un triángulo 0kAB C que satisface las siguientes

relaciones:

0

180 kp A B C A p C

(viii). En consecuencia 180 A C , contradiciendo al corolario 2.10.1.

(ix). Por lo tanto 180A B C .


Como consecuencia del teorema anterior se desprenden dos propiedades (corolario), la

primera se enuncia a continuación:

Corolario 2.12.1. La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo es

menor o igual a la medida del ángulo exterior no adyacente.

Para la segunda hay que definir el siguiente concepto:

Definición: se dice que un cuadrilátero ABCD es convexo si y sólo si existe un par de

lados opuestos, dígase AB y CD , tal que el segmento CD está contenido en uno de los

semiplanos determinados por la línea AB y el segmento AB está contenido en uno de los

semiplanos determinados por la línea CD .

La siguiente figura ejemplifica la definición de cuadrilátero convexo:



21

Figura 31. Cuadrilátero convexo y cuadrilátero no convexo

Corolario 2.12.2. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero convexo es

menor o igual a 360 .

El teorema 2.12. permite definir el siguiente concepto:

Definición: dado un triángulo ABC , el defecto ABC es el número positivo tal que:

180A B C ABC .

El siguiente resultado muestra que si existe un triángulo tal que su defecto es positivo,

entonces todos los triángulos tienen defecto positivo, equivalentemente, si existe un

triángulo cuya suma de ángulos internos es igual a 180 , entonces para cualquier triángulo

la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 . Primero se comienza con la propiedad

aditiva del defecto de un triángulo.

Teorema 2.13. Dados un triángulo ABC y un punto D tal que * *A D B entonces

ABC ACD DCB .


(i). Se tiene que el rayo CD es interior al ángulo ACB .

Figura 32. Rayo CD es interior al ángulo ACB

(ii). Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que ACD DCB ACB .

(iii). Como los ángulos ADC y CDB son suplementarios, la parte (f) del teorema

2.10. implica que 180ADC CDB .

(iv). Por definición de defecto se tienen las siguientes relaciones:



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180

180

180

ABC BCA CAB

DBC BCD C

ABC

DBCDB

ADC DCA C CAD AD

(v). Sumando miembro a miembro y utilizando las relaciones obtenidas en los pasos (ii)

y (iii) se obtiene que ABC ACD DCB .

Lo que muestra el resultado.

Corolario 2.13.1. Bajo las hipótesis del teorema 2.13. la suma de los ángulos interiores del

triángulo ABC es igual a 180 si y sólo si la suma de los ángulos internos de cada

triángulo ACD y DCB es 180 .

Demostración: supóngase que la suma de los ángulos internos de cada triángulo ACD

y DCB es 180 , entonces 0ACD DCB , por el teorema 2.13. se tiene que

0 0 0ABC ACD DCB , es decir, la suma de los ángulos interiores del triángulo

ABC es igual a 180 . Inversamente, si 0ABC , entonces por el teorema 2.13. se tiene

que 0ACD DCB ABC , por el teorema 2.12. se tiene que ACD y DCB son

números no negativos, lo que implica que 0ACD DCB , es decir, la suma de los

ángulos internos de cada triángulo ACD y DCB es 180 .

El siguiente resultado muestra que cuando un rectángulo existe también un triángulo que

tiene defecto nulo e inversamente, éste se presenta sin demostración.

Teorema 2.14. Si existe un triángulo cuya suma de ángulos internos es 180 , entonces

existe un rectángulo. Inversamente, si un rectángulo existe entonces en todo triángulo la

suma de sus ángulos internos es igual a 180 .

Corolario 2.14.1. Si existe un triángulo con defecto positivo, entonces todos los

rectángulos tienen defecto positivo.

Combinando el lema 2.1. y el teorema 2.14., se tienen los siguientes resultados:

Teorema 2.15. En geometría hiperbólica, en cualquier triángulo la suma de sus ángulos

internos es menor que 180 .

Una consecuencia del teorema anterior es la siguiente propiedad que tienen los

cuadriláteros convexos.

Corolario 2.15.1. En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de cualquier

cuadrilátero convexo es menor que 360 .

Demostración: considera los siguientes pasos:

(i). Sea el cuadrilátero convexo ABCD .



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(ii). Tomando la diagonal AC y considerar los dos triángulos ABC y ACD .

Figura 33. Triángulos ABC y ACD

(iii). Por el teorema 2.15. las suma de los ángulos internos de cada triangulo es menor

que 180 .

(iv). Dado que ABCD es convexo significa que el rayo AC esta entre los rayos AB y

AD .

Figura 34. El rayo AC está entre los rayos AB y AD

(v). Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene las siguiente relación:

BAC CAD BAD

(vi). De forma similar se tiene que ACB ACD BCD .

(vii). Combinando los pasos (ii), (v) y (vi) se tiene que la suma de los ángulos internos

del cuadrilátero ABCD es menor que dos veces 180 .


2.2. Triángulos semejantes

Hasta el momento, tomando en cuenta también la unidad anterior, se han presentado los

siguientes criterios de congruencias de triángulos:

(a) Criterio Lado-Ángulo-Lado.

(b) Criterio Ángulo-Lado-Ángulo.

(c) Criterio Lado-Ángulo-Ángulo.



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(d) Criterio Lado-Lado-Lado.

El objetivo de esta sección es mostrar que en geometría hiperbólica basta el criterio Lado-

Lado-Lado.

2.2.1. El postulado de Wallis

El resultado importante de esta sección es también equivalente al axioma de las paralelas,

inicialmente fue planteado por el astrónomo persa Nasir Eddin al-Tusi (1201-1274); sin

embargo, su demostración tiene varias afirmaciones cuya justificación no es correcta, el

matemático John Wallis (1616-1703) fue quien se dedicó a resolver los vacíos dejados por

el astrónomo persa. Wallis plantea un nuevo postulado y utilizando los axiomas incidencia,

intermediación, congruencia y continuidad obtuvo el postulado de las paralelas. Se

empieza con el siguiente concepto.

Definición: dados dos triángulos ABC y DEF se dice que el triángulo ABC es

semejante a DEF si y sólo si se puede realizar una correspondencia de vértices de tal

forma que los ángulos sean congruentes.

Cuando los triángulos ABC y DEF son congruentes se denota por ABC DEF .

En geometría euclidiana se demuestra que cuando dos triángulos son congruentes los

lados correspondientes son proporcionales.

La siguiente figura ilustra concepto de semejanza de triángulos:

Figura 35. Triángulos semejantes

Postulado de Wallis: dados un triángulo ABC y un segmento DE , siempre existe un

triángulo DEF , de tal manera que ABC DEF .

A continuación se presenta el resultado principal de esta sección:

Teorema 2.16. El postulado de Wallis implica el postulado de las paralelas.



25


(i). Sean una recta y P un punto que no sea elemento de .

Figura 36. La línea y punto P

(ii). Sean Q el punto sobre la recta tal que PQ y m la recta que pasa por P tal

que m PQ .

Figura 37. Línea PQ perpendicular a

(iii). Como PQ y m PQ entonces m , sea desea mostrar que m es la única

línea paralela a .

(iv). Sea n una línea distinta de m que pasa por P .

Figura 38. Línea n que pasa por P

(v). Toma el rayo 1n contenido en n que inicia en P que está entre los rayos PQ y

1m ,

donde 1m es un rayo contenido en la línea m .

Figura 39. Rayo

1n contenido en n que inicia en P



26

(vi). Para cualquier punto R en el rayo 1n existe un punto S en el rayo PQ que

satisface que PS QR .

Figura 40. Línea SR perpendicular a PQ

(vii). Aplicando el postulado de Wallis al triángulo PSR y al segmento PQ , así existe

un punto T de tal manera que PSR PQT , con la asignación P P , S Q y

R T . Se puede suponer que T y R están del mismo lado con respecto a la línea

PQ , ya que si T y R están del lado opuesto con respecto a PQ existe un punto 1T

que está del mismo lado que R con respecto a PQ tal que 1PQT PQT .

Figura 41. Triángulo PQT congruente al triángulo

1PQT

(viii). Por (viii) se tiene que RTPQ PS .

(ix). Por el punto (ix), por el hecho de que PQ PS y el axioma de continuidad 4

implican que PR PT . Por consiguiente T es un punto del rayo PR .

(x). De forma similar, por ser ángulos rectos se tiene que PPQT SR y se tiene que

T es un punto de la línea n , lo que implica que n y se intersectan en T .

Figura 42. Punto T donde se intersectan las líneas n y



27

(xi). Por lo tanto m es única.


2.2.2. Congruencia de triángulos

El teorema 2.16. garantiza que el postulado de Wallis no se cumple en geometría

hiperbólica. En consecuencia, bajo ciertas circunstancias, en esta geometría hablar de

triángulos similares carece de significado. El objetivo de esta sección es agregar

condiciones para ver que el concepto de triángulos similares no se tiene en geometría

hiperbólica.

Teorema 2.17. En geometría hiperbólica, si dos triángulos son similares, entonces también

son congruentes.

Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos:

(i). Supóngase que existen dos triángulos ABC y ' ' 'A B C que son similares pero

no congruentes, con la correspondencia 'A A , 'B B y 'C C .

Figura 43. Triángulos similares y no congruentes

(ii). Entonces no hay lados correspondientes que sean congruentes, ya que en caso

contrario por el criterio LAL garantiza que los triángulos ABC y ' ' 'A B C son

congruentes contradiciendo el punto (i).

(iii). Considera las dos ternas ordenadas , ,AB AC BC y ' ', ' ', ' 'A B A C B C de lados de

los triángulos ABC y ' ' 'A B C , respectivamente.

(iv). Alguna de las ternas anteriores debe contener al menos dos segmentos que sean

más grandes que los otros dos correspondientes, sin pérdida de generalidad, se

puede suponer que ' 'AB A B y ' 'AC A C .

(v). Luego, existen dos puntos ''B y ''C en AB y AC respectivamente tales que

' '''AB A B y ' '''AC A C .

(vi). Por el criterio LAL se tiene que los triángulos '' ''AB C y ' ' 'A B C son

congruentes. Esto implica que los ángulos correspondientes son congruentes

'' ''AB C B y '' ''AC B C .



28

(vii). Por la hipótesis ' ' 'ABC A B C y el axioma de congruencia cinco implica que

'' ''AB C B y '' ''AC B C .

(viii). Por el teorema 2.7. se tiene que '' ''BC B C , trayendo como consecuencia que el

cuadrilátero '' ''BB C C es convexo.

(ix). Por las partes (b) y (f) del teorema 2.10. se tiene que:

'' '' '' '' 180B BB C C CC B

(x). Por consiguiente la suma de los ángulos internos del cuadrilátero '' ''BB C C es

360 , lo que contradice al corolario 2.15.1.


En resumen, en la geometría hiperbólica es imposible ampliar o reducir el tamaño del

triángulo sin que éste sufra una distorsión. Como una aplicación de esto, si se tiene una

fotografía, en un mundo hiperbólico, tiene que ser inherentemente surrealista.

Una consecuencia sorprendente del teorema 2.17. es que en la geometría hiperbólica un

segmento puede ser determinado con la ayuda de un ángulo; por ejemplo, el ángulo de un

triángulo equilátero determina la longitud de un lado de forma única. Esto a veces se dice

de forma más dramática, afirmando que la geometría hiperbólica tiene una unidad absoluta

de longitud. Incluso si la geometría del universo físico fuera de tipo hiperbólico, no tendría

más que el tamaño necesario, obteniendo así una unidad de longitud que sería

cuidadosamente guardada en la Oficina de Pesas y Medidas Internacionales.

Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes

A través de esta actividad, resolverás ejercicios de sumas de ángulos y triángulos

semejantes, tomando en cuenta los axiomas de intermediación y congruencia.

Instrucciones:

1. Descarga el documento Act. 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes.

2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de

intermediación y congruencia.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MGNE_U2_A2_XXYZ.

4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

*Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que

será evaluado tu trabajo.



29

2.3. Paralelas y perpendiculares

Una de las primeras experiencias que se tiene con las líneas paralelas se presenta al

observar las vías del tren, éstas se mantienen siempre a una misma distancia una de la

otra, como lo muestra la siguiente figura:

Figura 44: Rieles de ferrocarril

Para formalizar la idea anterior se presenta el siguiente concepto:

Definición: dadas dos líneas y ' , para un conjunto de punto , , ,A B C sobre la línea ,

le corresponde el conjunto de puntos ', ', ',A B C de la línea ' , que se obtiene cuando las

perpendiculares a que pasan por los puntos , , ,A B C respectivamente intersectan a ' .

Se dice que los puntos , , ,A B C son equidistantes a si y sólo si ' '' BB CAA C .

La siguiente figura ejemplifica la definición anterior:

Figura 45. Puntos equidistantes de dos líneas

2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común



30

El matemático Girolamo Saccheri (1667-1733) presentó en su libro Euclides ab omni naevo

vindicatus la negación del postulado de las paralelas e intentó obtener una contradicción.

Concretamente, Saccheri estudió un tipo particular de cuadriláteros que tienen como base

dos ángulos rectos y cuyos lados adyacentes a las bases son congruentes uno al otro, por

tal motivo esta clase de cuadriláteros toman el nombre de Cuadriláteros de Saccheri.

Lema 2.3. Los cuadriláteros de Saccheri existen.


(i). Toma el segmento AB .

Figura 46. Segmento AB

(ii). Sean m y n las rectas perpendiculares a la línea AB tal que pasa por A y B

respectivamente.

Figura 47. Líneas m y n perpendiculares a AB

(iii). Considera los puntos C y D de las líneas m y n respectivamente, de tal manera

que C y D están del mismo lado con respecto a AB y que AC BD .

Figura 48. Puntos C y D que satisfacen AC BD

(iv). Toma la línea que pasa por CD y el cuadrilátero ABCD es un cuadrilátero de

Saccheri.



31

Figura 49. Cuadrilátero ABCD


En la parte alta de un cuadrilátero de Saccheri pueden suceder una y sólo una de las

siguientes condiciones:

(a) Los ángulos en la altura son ángulos rectos.

(b) Los ángulos en la altura son ángulos obtusos.

(c) Los ángulos en la altura son ángulos agudos.

En la siguiente figura se ejemplifican los tres casos de cuadriláteros de Saccheri.

Figura 50. Cuadriláteros de Saccheri

La clasificación anterior se deduce a partir del siguiente resultado:

Lema 2.4. Dado un cuadrilátero de Saccheri ABCD donde los ángulos A y B son

rectos y AC DB entonces DC .


(i). Considera el cuadrilátero ABCD donde los ángulos A y B son rectos y

AC DB .



32

Figura 51. El cuadrilátero ABCD

(ii). Considera la segmentos AD y BC , el criterio LAL garantiza que los triángulos

CAB y DBA son congruentes y en consecuencia BACB DA y CB DA .

Figura 52. Los triángulos CAB y DBA son congruentes

(iii). Por el criterio LLL los triángulos DCBD AC , así los ángulos BCD y ADC

son congruentes.

(iv). Luego se tiene que C ACB BCD y D BDA ADC .

(v). Por las partes (b) y (c) del teorema 2.10. se tiene que:

C ACB BCD

BDA ADB

D

(vi). Por la parte (b) del teorema 2.10. se tiene que DC .


Otra propiedad importante que tienen los cuadriláteros de Saccheri se presenta en el

siguiente enunciado:

Lema 2.5. En un cuadrilátero de Saccheri, el segmento que une el punto medio de la base

con el punto medio de la altura es perpendicular tanto a la base como a la altura y su

longitud es más pequeña que la longitud de sus lados paralelos.



33


(i). Sean y dos líneas donde los puntos ,A B de y los puntos ' 'A B de son

escogidos de tal manera que el ' 'ABB A es un cuadrilátero de Saccheri. Denota

por M y 'M los puntos de los segmentos AB y ' 'A B respectivamente.

Figura 53. Cuadrilátero de Saccheri ' 'ABB A

(ii). Por el lema 2.4. se tiene que BA y utilizando el criterio LAL que implican

''A AM B BM , obteniendo que los lados 'A M y 'B M son congruentes:

Figura 54. Los triángulos 'A AM y 'B BM son congruentes

(iii). El criterio LLL garantiza que '' ' 'A M M B M M . Luego los correspondientes

ángulos ' 'A M M y ' 'B M M son congruentes y como son congruentes éstos

deben ser ángulos rectos, lo que demuestra que '' 'M M A B .

Figura 55. Los triángulos ' 'A M M y ' 'B M M son congruentes



34

(iv). De las dos congruencias de triángulos anteriores se tiene que ' ' ' 'A MM B MM

y ''A MA B MB ,

(v). Además ' ' ' 'AMA A MM AMM y ' ' ' 'BMB B MM BMM lo que implica

que los ángulos suplementarios 'A MA y 'B MB son congruentes y la parte (b)

del teorema 2.10. implica que ' 'BA MA MB , es decir, los ángulos 'A MA

y 'B MB son rectos.

Figura 56. Los ángulos 'A MA y 'B MB son rectos

(vi). Considera el rectángulo ' 'A M MA , que tiene tres ángulos rectos, en geometría

hiperbólica, como los rectángulos no existen el cuarto ángulo tiene que ser agudo.

Lo que implica que ' 'AA MM .


En geometría euclidiana es usual utilizar el concepto de equidistancia para definir rectas

paralelas como aquéllas que cada punto de una es equidistante a la otra. En geometría

hiperbólica las cosas son distintas, como lo muestra el siguiente resultado:

Teorema 2.18. En geometría hiperbólica si dos líneas y son dos líneas paralelas,

cualquier conjunto de puntos de la línea a la línea tiene a lo más dos elementos

equidistantes.

Demostración: se procede por contradicción, siguiendo los pasos que a continuación se

presentan:

(i). Supóngase que existen tres puntos , ,A B C de la línea que son equidistantes a la

línea ' .



35

Figura 57. Los puntos equidistantes , ,A B C

(ii). Entonces se forman dos cuadriláteros ' 'A B BA , ' 'A C CA y ' 'B C CB que son

cuadriláteros de Saccheri, ya que sus ángulos bases son rectos y sus lados son

congruentes.

Figura 58. Los cuadriláteros de Saccheri ' 'A B BA , ' 'A C CA y ' 'B C CB

(iii). El lema 2.4. garantiza que ''A AB B BA , ''A AC C CA y ''B BC C CB .

(iv). Por el axioma de congruencia 5 se tiene que los ángulos suplementarios 'B BA y

'B BC son congruentes a cada uno de los otros, es decir, son ángulos rectos.

Figura 59. Los ángulos 'B BA y 'B BC son rectos

(v). Lo que implica que ' 'A B BA , ' 'A C CA y ' 'B C CB son rectángulos, lo que

contradice el lema 2.1.

(vi). Por lo tanto A , B y C no pueden ser equidistantes a la línea .


Los siguientes resultados son importantes, ya que permiten darle una interpretación gráfica

a la geometría hiperbólica.



36

Teorema 2.19. En geometría hiperbólica si dos líneas y son paralelas y además

existen dos puntos A y B de que son equidistantes a , entonces y tienen una

perpendicular común.


(i). Dadas dos líneas y paralelas y dos puntos A y B de que son equidistantes

a .

Figura 60. Puntos A y B son equidistantes

(ii). Existen dos puntos 'A y 'B de la línea tales que el cuadrilátero ' 'A B BA es un

cuadrilátero de Saccheri, es decir, los puntos 'A y 'B de la línea ' se obtienen

cuando las perpendiculares a que pasan por A y B respectivamente cortan a ' .

Figura 61. Cuadrilátero de Saccheri ' 'A B BA

(iii). Sean M y 'M los puntos medios de los segmentos AB y ' 'A B respectivamente.

(iv). El lema 2.5. garantiza que el segmento 'M M es perpendicular a y

simultáneamente.

Figura 62. Línea 'M M perpendicular a y




37

Teorema 2.20. En geometría hiperbólica si dos líneas y tienen una perpendicular

común 'MM , entonces éstas son paralelas, y la perpendicular 'MM es única. Más aún, si

A y B son dos puntos de la línea de tal forma que M es el punto medio de AB

entonces los puntos A y B son equidistantes a .


(i). El corolario 2.7.1. garantiza que las líneas y son paralelas, ya que 'MM es

simultáneamente perpendicular a y .

Figura 63. La línea 'MM es perpendicular común a y

(ii). La perpendicular 'MM a y es única, ya que si existiera otra perpendicular,

ésta formaría un rectángulo, contradiciendo el lema 2.1.

(iii). Dados dos puntos A y B de la línea , tales que M sea el punto medio del

segmento AB .

(iv). Considera los puntos 'A y 'B de la línea que se obtienen al trazar las

perpendiculares a la línea que pasan por los puntos A y B respectivamente.

Figura 64. Línea 'MM perpendicular a

(v). Por el criterio LAL se tiene que '' MAM M B M , ya qué '' MAM M B M y

' 'AM BM .

Figura 65. Los triángulos 'AM M y 'BM M son congruentes

(vi). Por consiguiente:



38

' ' 90 ' 90 ' ' 'A M A AM M BM M B M B .

(vii). Así que '' ' 'A M A B M B , por el criterio LAA se tiene que ' ' ' 'AA M BB M

lo que implica que los lados correspondientes 'AA y 'BB son congruentes.

Lo que muestra el resultado.

El teorema 2.18. plantea que a los más dos puntos en una línea pueden ser

equidistantes a la línea , el teorema 2.19. plantea que si un par de líneas y tienen

un par de puntos equidistantes éstas poseen una única perpendicular común y el teorema

2.20. proyecta cómo se ubican dos puntos equidistantes. Una idea gráfica que conjunta

todos estos resultados se presenta en la siguiente figura:

Figura 66. Líneas paralelas en geometría hiperbólica

2.3.2. Limitación de rayos paralelos

A lo largo de esta unidad se ha utilizado una técnica estándar para construir, a partir de

una línea y un punto que no pertenezca a ésta, una línea paralela a la línea inicial que

pasa por el punto dado. Esta técnica se describe a continuación:

Dado una línea y un punto P que no pertenece a , se traza la perpendicular PQ a

que pasa por P , luego se traza la perpendicular m a PQ que pasa por P , las líneas y

m tienen una perpendicular común que es PQ entonces m . Por el teorema hiperbólico

universal existe otra línea n distinta de m que pasa por el punto P tal que n .

La siguiente es una noción intuitiva del objetivo de esta sección, para ello se hace uso del

axioma de continuidad. Considerando la construcción anterior, toma la familia kPR de

todos rayos que pasan por P , en este conjunto existe un rayo distinguido PR tal que

cualquier rayo kPR que esté entre m y PR es paralelo a y cualquier rayo kPR que no

esté entre m y PR tiene que intersectar a , en tal caso se dice que el rayo PR limita a

los rayos kPR que son paralelos a la línea . La siguiente figura bosqueja la idea antes

presentada:



39

Figura 67. Rayo paralelo limitante

Teorema 2.21. Dada la línea , y para todo punto P que no pertenezca a sea Q el

punto de la línea de tal manera que PQ . Entonces existen dos únicos rayos PX y

'PX que no intersectan a y que están en lados opuestos con respecto a la línea PQ

que satisface la condición: un rayo que inicie en P intersecta a si y sólo si éste está

entre los rayos PX y 'PX . Más aún, esos rayos limitantes están situados simétricamente

con respecto a la línea PQ en el sentido de que 'PXPQ X Q .


(i). Sea una línea y P un punto que no pertenece a , considera la perpendicular

PQ a que pasa por P , y se denota por m la perpendicular a PQ que pasa por

P , implicando que m .

Figura 68. La línea m es paralela a la línea

(ii). Sea S un punto en la línea m distinto de P y considera la línea SQ . Sea 1 el

conjunto de todos los puntos T sobre el segmento SQ , de tal manera que PT

intersecta a y el conjunto 2 el complemento de

1 . Observa que 1Q y

2S .



40

Figura 69. Definición de los conjuntos

1 y 2

(iii). Si el punto T del segmento SQ pertenece al conjunto 1 , entonces todo el

segmento TQ está contenido en 1 , lo que implica que la pareja 21, es una

cortadura de Dedekind. Por el axioma de continuidad se tiene que existe un único

punto X de la línea SQ de tal manera que 21 * *P X P si y sólo si

1 1P y 2 2P .

Por definición de 1 y

2 se tiene que cualquier rayo que esté por encima del rayo

PX no intersecta a y cualquier rayo que este por debajo del rayo PX intersecta

a .

Figura 70. La cortadura de Dedekind 21,

(iv). Se desea mostrar que PX no intersecta a y se procede por contradicción,

supóngase que PX intersecta a la línea en el punto U .

Figura 71. El rayo PX intersecta a línea en el punto U



41

(v). Sea V cualquier punto sobre la línea que cumpla con * *V U Q , como U y V

están del mismo lado con respecto a la línea SQ se tiene que los puntos P y V

son opuestos con respecto a la línea SQ , implicando que VP intersecta a SQ en

el puntoY . Se tiene que * *Y X Q implicando que 2Y . Contradiciendo el hecho

de que PY intersecta a , lo que implica que PX es un rayo paralelo limitante.

Figura 72. El rayo PX es un rayo paralelo limitante de

(vi). Para mostrar la simetría, se procede por contradicción: supóngase que los

ángulos contrarios XPQ y 'X PQ no son congruentes y sin pérdida de

generalidad se puede suponer que 'XPQ X PQ . Por el axioma de

congruencia 4, existe un rayo 'PR entre los rayos 'PX y PQ , de tal manera que

' XR PQ PQ .

(vii). El axioma de congruencia 1 garantiza que existe un punto R que es opuesto a 'R

con respecto a la línea PQ que satisface * * 'R Q R y 'RQ R Q .

(viii). El criterio LAL garantiza que 'PRPQ R Q , lo que implica que 'PRPQ R Q .

El axioma de congruencia 5 garantiza que XRPQ PQ , lo que es una

contradicción, ya que PR se encuentra entre los rayos PX y PQ .

Figura 73. El rayo 'X es simétrico al rayo X




42

Los ángulos XPQ y 'X PQ que tienen respectivamente los rayos limitantes PX y 'PX

son llamados ángulos de paralelismo y usualmente se denotan por PQ . Observa

que 90PQ , ya que si 90PQ , entonces se contradice el teorema hiperbólico

universal, más aún, se tiene que PQ toma cualquier valor entre 0 y 90 . Bolyai y

Lobachevsky describieron una fórmula para encontrar el valor del ángulo de paralelismo.

En geometría hiperbólica un segmento unitario natural OI es cualquier segmento OI tal

que 45OI .

2.4. Clasificación de las paralelas

En geometría hiperbólica existen dos tipos de líneas paralelas:

(a) El primer tipo consiste de líneas paralelas m y que tienen una perpendicular

común, donde m diverge de en ambos lados de la perpendicular común.

Figura 74: Líneas paralelas de primer tipo

(b) El segundo tipo consiste de todas las líneas paralelas a que están contenidas

en un rayo paralelo limitante en una dirección, es decir, estas paralelas se

aproximan asintóticamente a una de las direcciones de y son divergentes a

en la otra dirección.

Figura 75. Líneas paralelas de segundo tipo



43

Si la línea m es una paralela de segundo tipo a la línea se puede demostrar que m y

no tienen una perpendicular común, lo que muestra que no existe una paralela que sea de

ambos tipos. El siguiente teorema, el cual se enuncia sin demostración, establece que sólo

existen estos dos tipos de líneas paralelas.

Teorema 2.22. Dadas dos líneas y m de tal forma que m , supóngase que m no está

limitado por ningún rayo paralelo a en alguna dirección adecuada. Entonces existe una

línea perpendicular común a m y .

Actividad 3. Paralelas y perpendiculares

Autoevaluación

Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta

unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica

A través de esta actividad, resolverás ejercicios relacionados con paralelas y

perpendiculares, tomando en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo.

Instrucciones:

1. Descarga el documento Act. 3. Paralelas y perpendiculares.

2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de

continuidad y paralelismo.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_A3_XXYZ.

4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

*Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

A través de esta actividad, resolverás ejercicios tomando en cuenta los axiomas de

Hilbert. Para ello:



44

Autorreflexiones

Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión

y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes

elaborar tu autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides

que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

En esta unidad iniciaste estudiando distintos enunciados equivalentes al quinto postulado

de Euclides, como la geometría hiperbólica, que es distinta a la euclidiana, la cual se

obtiene partiendo del axioma hiperbólico, negando el postulado de las paralelas de Hilbert.

Comprendiste que existen algunas propiedades comunes entre la geometría hiperbólica y

la geometría euclidiana, como también propiedades que difieren entre ambas.

Te invitamos a que revises la unidad 3, donde estos conocimientos se reforzarán, con lo

que lograrás tener un conocimiento integral.

Para saber más

Existe una geometría no-euclidiana llamada geometría elíptica que se construye de forma

similar a la geometría hiperbólica para ver más detalles puede consultar los siguientes

sitios:

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry

1. Descarga el documento llamado EA_. Geometría hiperbólica.

2. Resuelve los planteamientos que se presentan de acuerdo con lo que

aprendiste en la unidad.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_EA_XXYZ.

4. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu

evidencia.

5. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será

evaluado tu trabajo.

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry



45

http://www.math.brown.edu/~banchoff/gc/elliptic/elliptic.html

http://web.mnstate.edu/peil/geometry/C2EuclidNonEuclid/7elliptic.htm

Fuentes de consulta

Courant, R., Robbins, H. y Stewart, I. (1996). What Is Mathematics? An Elementary

Approach to Ideas and Methods. EUA: Oxford University Press.

Devlin, K. (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. EUA:

Holt Paperbacks.

Eves, H. (1972). Survey of geometry. EUA: Allyn & Bacon.

Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. EUA: Springer.

Hilbert D. y Cohn-Vossen, S. (1999) Geometry and imagination. EUA: American

Mathematical Society.

Meschkowski, H. (1964). Noneuclidean Geometry. EUA: Academic Press.

http://www.math.brown.edu/~banchoff/gc/elliptic/elliptic.html

http://web.mnstate.edu/peil/geometry/C2EuclidNonEuclid/7elliptic.htm

http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_1?_encoding=UTF8&field-author=Richard%20Courant&search-alias=books&sort=relevancerank

http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_2?_encoding=UTF8&field-author=Herbert%20Robbins&search-alias=books&sort=relevancerank

http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_3?_encoding=UTF8&field-author=Ian%20Stewart&search-alias=books&sort=relevancerank

unidad 2. geometria hiperbolica.pdf

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