libro 2° geometria

ACADEMIA PREUNIVERSITARIACESAR VALLEJO

“Tengo fe en ser fuerte”

GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA

GEOMETRIAEl ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas. Por medio de la anterior más uso de la lógica obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu con ese fin, observo la naturaleza y todo lo que le rodeaba, de esa manera, a la Luna y al sol los veía proyectados como discos; el rayo de luz le dio la idea de línea recta; los bordes de alguna hojas y el arco iris la idea de curva; los troncos de algunos árboles y las montañas le dieron ideas de las formas más diversas. De la construcción de casas con paredes verticales y sus techos horizontales surgió la noción de perpendicularidad y paralelismo llegando a descubrir que la distancia más corta entre dos ciudades es el camino recto. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

EL RÍO NILOLa palabra geometría está formada por las raíces griegas: “geo”, tierra, y “metrón”, medida, por lo tanto, su significado es “medida de la tierra. Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron en forma práctica a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto. Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.

EL APORTE GRIEGOQuienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.TALES DE MILETO (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.PITÁGORAS (famoso por el teorema que lleva su nombre)

EUCLIDES (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos.

CONCEPTO: Es una parte de la matemática que trata del estudio de las propiedades de las figuras geométricas y de las relaciones existentes entre las medidas de sus extensiones.

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA: Los elementos fundamentales de la geometría son el punto, la recta y el plano.Estos elementos no tienen definición, solo se pueden representar mediante ideas

LINEA RECTAEs un conjunto infinito de puntos dispuestos siguiendo una trayectoria igual a la que describe un haz de luz en el vacio.

SEGMENTO: Es una porción de recta limitada por dos puntos,

llamados extremos.

NOTACIÓN:

: Se lee segmento AB

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es aquel punto que divide en dos segmentos congruentes.

A B

OPERACIONES CON SEGMENTOSADICION:

AD = AB + BC + CD

SUSTRACCION:

AB = AC – BC , BC = AC – AB

TEMA : SEGMENTOS

NIVEL I01. Se construye una recta y se dan los puntos colineales y consecutivos M, P, Q ; donde MP=362 cm ; PQ=532 cm. Hallar MQ.a) 824 b) 894 c) 745 d) 798 e) 944

02. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB=75 cm ; BC=599 cm; CD=367 cm. Hallar AD ( en cm ).a) 1031 b) 1052 c) 1041 d) 1062 e) 1071

03. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, M, I, G, O ; donde AM= 1 m; MI =2 m; IG = 84 cm y GO = 57 cm. Hallar AO ( en cm ).a) 144 b) 244 c) 431 d) 441 e) 341

04. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E; AB = 467 m; BC = 9 678 m ; CD= 12 569m y DE= 45 998 m. Hallar el segmento AE en metros.a) 45 678 b) 64 643 c) 68 712 d) 68 542 e) 48 512

05. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB= 6 794 cm ; BC= 5 497 cm; CD= 8 453 cm. Hallar el segmento ADa) 20 643 cm b) 20 734 cm c) 20 633 cm d) 20 744 cm e) 20 754 cm

06. Hallar el segmento AF en cm.

a) 696.2 b) 707 c) 569.2 d) 715 e) 815

C O L E G I O J E S U S N A Z A R E N O

A B C F

148cm 547cm 1.2 m

A B C D

A B C



GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA 07. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos B, U, E, N, O ; donde BU = 19 xy ; UE = 37 xy; EN = 79 xy y NO = 66 xy. Hallar BO + UN - EO.a)134xy b)129xy c)123xy d)172xy e)158xy

08. Hallar el segmento AF + CF - AD.

a)192ab b)99ab c)191ab d) 199ab e) 95ab

09. Hallar el segmento AF + BF - AE.

a)293mn b)88mn c)294mn d)78mn e) 69mn

10. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S, T ; donde PQ=1/4 ; QR=3/4; RS=17/4 y ST=19/4. Hallar el segmento PT.a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

11. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C ; donde AB=3/2 cm ; BC=5/4 cm. Hallar el segmento ACa) 1.5 b) 2.25 c) 2.45 d) 2.75 e) 3.25

12. Hallar el segmento AF .

a)21xy2 b)22 xy2 c)23 xy2 d)24 xy2 e)25xy2

13. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S, T ; donde PQ=0.8 ; QR=1; RS=8.5 y ST=1.7. Hallar el segmento PT.a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e)15

14. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S, T, W ; donde PQ=1.8mm ; QR=0.23mm; RS=7.54mm ST=1,7mm y TW=3.47. Hallar el segmento PW en mm.a)14.74 b)12.46 c)13.74 d)14.64 e) 15.67

15. De los siguientes segmentos hallar : AD + AC + NQ + NP

a) 345 b) 482 c) 349 d) 472 e) 564

NIVEL II16. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C ; donde AB=8x ; BC=7x. Hallar AB si AC=45a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

17. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB=2y cm ; BC=3y cm; CD=8y. Hallar el segmento BD si AD = 91cma) 36 b) 83 c) 79 d) 57 e) 77

18. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, M, I, G, O ; donde AM=3x ; MI=7x ; IG=8x y GO=14x. Hallar el segmento AI si AO = 192.a) 30 b) 45 c) 60 d) 32 e) 74

19. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos P, U, M, PM= 89m y PU= 53m. Hallar el segmento UM.a)28 b)36 c)46 d)53 e)34

20. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C ; donde AB= 798 cm ; AC= 1 297 cm; Hallar el segmento BC ( en cm).a) 399 b) 498 c) 389 d) 499 e) 554

21. Hallar el segmento BC en cm.Si AC=

a) 638 b) 707 c) 794 d) 624 e) 897

22. Hallar el segmento AF si AC = 132 .

a) 146 b) 159 c) 187 d) 194 e) 199

23. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, L, E, X ; donde AL=4x2y3; LE=12x2y3; EX=25x2y3 Hallar el segmento EX - AL.a)11x2y3 b)24x2y3 c)37x2y3 d)43x2y3 e) 46x2y3

24. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB=3x+4 ; BC=2x-6; CD=2x+7. Hallar el segmento hallar BC si AD = 96 cma) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

25. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C ; donde AC=173x2y3; BC=17x2y3.Hallar AB: a)123x2y3 b)137x2y3 c)156x2y3 d)169x2y3 e) 175x2y3

26. Hallar el segmento AC si AF =38 .

a)21 b)22 c)23 d)24 e)25

27. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S, T ; donde PQ=0.32ab ; QR=ab; RS=3.5ab y ST=6.7ab. Hallar el segmento PT.a) 11.52ab b) 12.32ab c) 13.45ab d) 14.47ab e) 15.96ab

28. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos M, A, R, C, O ; donde MA=2xx ; AR=3xx; RC=4xx y CO=6xx. Hallar el segmento x5 si MO = 405.a) 137 b) 243 c) 342 d) 435 e) 567

30. Hallar aa + bb si AF = 450 .


A B C F

47ab 57ab 33ab

D E37ab 42ab

A B C F

xy2 7xy2 16xy2

A B C D

32 cm 47 cm 89 cm

N M P Q

16 cm 58 cm 87 cm

AB C

A B C F

1/4 xy2 11/4 xy2

7/4 xy2

1396cm

689cm

A B F │

C7X 4X 5X

A B F │

C

2 3 5

A B C F

67mn 42mn 52mn

D E45mn 77mn




a) 2 246 b) 3 384 c) 1 875 d) 4 194 e) 5199

30. Hallar aa - bb si BF = 352 .

a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

31. Hallar xy + yx si AC = 648 .

a) 1 246 b) 1 384 c) 1 649 d) 2 194 e) 2 199

32. Hallar aa - bb si AC = 255 .

a) 2 246 b) 3 114 c) 1 875 d) 4 194 e) 3 124

33. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB=5x-4 ; BC=7x-6; CD=4x+7. Hallar el segmento hallar BD si AC = 62 cma) 58 b) 59 c) 63 d) 67 e) 69

34. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C ; donde AC=243x2y3; BC= 183x2y3.Hallar AB + AC: a) 563x2y3 b) 474x2y3 c)569x2y3 d)669x2y3 e) 475x2y3

35. Hallar el segmento BD si AC =120 .

a) 212 b) 228 c) 238 d) 248 e)256

35. Hallar el segmento AC si BD =280 .

a) 112 b) 126 c) 138 d) 145 e)150

N° 01 TAREA PARA LA CASA :

01. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C ; donde AB=124 cm ; BC=267 cm. Hallar AC.a) 190 b) 229 c) 391 d) 374 e) 105

02. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB=4 m ; BC=131 cm; CD=283 cm. Hallar AD en cm.a) 418 b) 414 c) 812 d) 557 e) 814

03. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos N, F, L, R, T ; donde NF= 24 m; FL= 37 m; LR= 45 m y RT = 53 m. Hallar NT.a) 159 b) 129 c) 149 d) 157 e) 158

04. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C ; donde AB=3x ; BC=5x. Hallar AB si AC=128a) 41 b) 45 c) 47 d) 48 e) 49

05. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D ; donde AB= 3x cm ; BC= 2x cm; CD= 4x cm. Hallar el segmento BD si AD = 81cma) 67 b) 56 c) 46 d) 47 e) 54

06. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, M, O, donde AM = 3MO. Hallar el segmento AM si AO = 192.a) 134 b) 144 c) 150 d) 128 e) 174

07. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos T, O, M, TM= 128m y TO= 45m. Hallar el segmento OM.a)101 b)102 c)103 d)104 e)105

08. Sobre una recta se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C ; donde AB= 798 cm ; AC= 1 297 cm; Hallar el segmento BC:a)399cm b)498cm c)389cm d)499cm e) 554 cm

09. Hallar el segmento BC en cm.Si AC=

a) 638 b) 707 c) 794 d) 624 e) 897

10. Hallar el segmento AF si AC = 323 .

a) 346 b) 420 c) 587 d) 437 e) 599

ANGULOSEs la figura geométrica formada por dos rayos que tienen un vértice común.

BISECTRIZ: La bisectriz de un ángulo es aquel rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

CLASIFICACION DE LOS ÁNGULOS

I. SEGÚN SU MEDIDA:


A B C

1396cm

689cm

A B F │

C9X

8X 6X

A B F │

Cab 5 6

A B F │

C5 7 8

A B F │

C

2 3 5

A B C D

3/4 17/4 21/4

A B C D

2/5 16/5 24/5 O

A

B

θ

ELEMENTOS1. LADOS: 2. VÉRTICE: O3. ABERTURA: θ



GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA a) ANGULO AGUDO : Es menor que 90°

b) ANGULO RECTO : Mide 90°

c) ANGULO OBTUSO: Es mayor que 90° y menor que 180°.

d) ANGULO LLANO: Mide 180°.

e) ANGULO DE UNA VUELTA : Es aquel ángulo que mide 360°.

II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

a) ANGULOS COMPLEMENTARIOS: Son aquellos ángulos que

sumados dan 90°

COMPLEMENTO DE UN ANGULO( Cα): Es lo que le falta al ángulo

para ser 90°. Ejm:

C20° = 90° - 20° = 70° ; C2x= 90° - 2x

PROPIEDAD:

b) ANGULOS SUPLEMENTARIOS : Son aquellos ángulos que

sumados dan 180°.

SUPLEMENTO DE UN ANGULO( Sα): Es lo que le falta al ángulo

para ser 180°.

Ejm: S120° = 180° - 120° = 60° ; Sx=180° - x

PROPIEDAD:

c) ANGULOS CONSECUTIVOS : Son aquellos ángulos que se siguen uno a continuación del otro.

d) ANGULOS ADYACENTES : Son aquellos ángulos que tienen un lado y un vértice en común


A

OB

θ

θ 90° 180°

180°

αβ

+ = 90°

+ = 180°

y son ángulos adyacentes por tener un lado en común

A

B

C

O

, y son consecutivos

360°



a) 20°b) 30°c) 40°d) 50°e) 60°


e) ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE: L1 // L2

PROPIEDADES :1. Si

2. Si

3. Si

TEMA : ANGULOS NIVEL ILeamos el siguiente relato para conocer como surgió la medida de los ángulos:Los caldeos, hacia el III milenio a.d. C. dieron una gran importancia al cuadrado y al círculo. La división del círculo en 360 partes es patrimonio suyo. Tomaron base la división del año en 360 días, así les era fácil dividir el círculo a la circunferencia en 6 partes iguales. Probablemente este fue el fundamento del computo sexagesimal que usaron. Sirvió para la construcción de las carrozas La rueda es una aplicación del circulo, es una creación suya y data de casi 6000 años.

1. Hallar

C O L E G I O J E S U S N A Z A R E N OA

B

C

20°30°

O

=

L1

L2

+ = 180°1

23

4

5

6

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =180°



a) 134°b) 141°c) 156°d) 163°e) 178°

a) 156°b) 161°c) 177°d) 186°e) 195°

a) 66°b) 76°c) 84°d) 92°e) 56°

a) 134°b) 141°c) 156°d) 163°e) 178°

a) 22°b) 34°c) 45°d) 54°e) 62°


2. Hallar el ángulo

3. Hallar el ángulo

4. Hallar

5. Hallar en la figura si el ángulo AOC=156°:

a) 78° b) 84° c) 88° d) 97° e) 102°

6. Hallar en la figura si el ángulo AOC=164°.

a) 78° b) 84° c) 88° d) 97° e) 102°

7. En la figura calcular el ángulo AON si es bisectriz y

= 156° .

8. Calcular si y son bisectrices de y

respectivamente.

9. En la figura calcular .

10. En la figura hallar

a) 123° b) 133° c) 94° d) 146° e) 102°

11. Hallar el ángulo BOC :

a) 90° b) 91° c) 92° d) 93° e) 94°

12. Hallar el ángulo COD :


D39°48°

A

B C

O

x2x3xA

B C

D O

F

A B

C

D

39°

18°24°

27°33°

O

N

M

A

C

37°59°

22°

O

A

B

C

24°38°

O

47°

D

O A

BC

67°

O C

BA

87°

A

N

C

O

A

X

B

Y

37°

39°

C

O

■ 56°

A

BC

O

O A

B

C47°



a) 56°b) 61°c) 37°d) 66°e) 40°


a) 30° b) 40° c) 60° d) 70° e) 80°

13. Hallar el ángulo AOB

a) 30° b) 40° c) 60° d) 70° e) 80°

14. Hallar el ángulo AOB

a) 65° b) 74° c) 81° d) 92° e) 99°

15. Hallar el ángulo BOD :

a) 124° b) 135° c) 144° d) 158° e) 179°

16. Hallar el ángulo COD:

a) 24° b) 35° c) 40° d) 58° e) 69°

17. Si OD es bisectriz del ángulo AOB = 124°. Hallar el ángulo DOB.a) 24° b) 35° c) 40° d) 58° e) 62°

18. Se dan los ángulos consecutivos AOB y BOC donde se trazan las bisectrices ON y OM en los ángulos AOB y COD respectivamente. Hallar el ángulo NOM si AOB = 38° y BOC = 64°

a) 47° b) 51° c) 65° d) 76° e) 82°

19. Si ON es bisectriz de AOB y OM es bisectriz de BOC : Hallar el ángulo NOM :

20. Se dan los ángulos consecutivos AOB y BOC ; donde AOB = 12° y BOC = 21°. Hallar el ángulo AOC.

a) 47° b) 51° c) 65° d) 76° e) 82°

21. Se dan los ángulos consecutivos AOB ; BOC y COD ; donde AOB = 23° ; BOC = 15° COD=47°. Hallar el ángulo AOC.

a) 65° b) 70° c) 75° d) 86° e) 82°

22. Se dan los ángulos consecutivos AOB ; BOC donde AOB = 2x y BOC=4x. Hallar el ángulo AOB si AOC = 72°.

a) 15° b) 24° c) 35° d) 46° e) 54°

23. Se dan los ángulos consecutivos AOB ; BOC y COD donde AOB = 3x ; BOC=5x y COD = 2x si : AOC = 48° . Hallar el ángulo BOD.

a) 34° b) 42° c) 65° d) 73° e) 82°

24. El suplemento del complemento de 49° es:a) 95° b) 99° c) 139° d) 88° e) 94°

21. El suplemento de un ángulo es igual a su complemento de 40° ¿ Cuál es el ángulo ?a) 100° b) 125° c) 130° d) 145° e) 94°

22. El complemento de 48°, más el suplemento de 140° es :a) 198° b) 88° c) 182° d) 145° e) 82°

23.El suplemento del complemento de 87° es:a) 177° b) 3° c) 93° d) 100° e) 180°

24.El suplemento de un ángulo da 150°. Hallar el ángulo.a) 75° b) 40° c) 60° d) 45° e) 30°

24.El complemento de un ángulo, más el suplemento de un mismo ángulo es 340°a) 98° b) 60° c) 20° d) 35° e) 15°

25.El doble del suplemento de un ángulo es 160°. Hallar el complemento de la mitad del ángulo.a) 10° b) 100° c) 50° d) 40° e) 80°

26.Calcular : M=S10° + C20°

a)298° b) 260° c) 240° d) 315° e) 150°


3x2x D

CB

AO

24°2x36°4x A

B

C

D

E O

4x x4xA

B C

D O

45°2x3xA

B C

D O

46°34° O

A

N

B

M

C



a) 135°b) 150°c) 160°d) 180°e) 195°

a) 115°b) 120°c) 132°d) 150°e) 165°

a) 18°b) 60°c) 75°d) 90°e) 100°

a) 45°b) 80°c) 145°d)150°e) 160°


27. Calcular:

a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5

28. Calcular: E=SS80°+CC60°

a) 130° b) 160° c) 20° d) 40° e) 140°

29. Calcular:M= SSS45° + CC28°

a) 90° b) 120° c)73° d) 60° e) 163°

30. Calcular:

a) 9 b) 10 c)12 d) 16 e) 18 NIVEL II31.Hallar el ángulo , si

32. Hallar el ángulo , si

33.En la figura calcular

34.En la figura calcular el ángulo AOC , si el rayo OA es bisectriz del ángulo BOD

35. Se dan los ángulos consecutivos , . Si los ángulos están en la relación de 2, 3 y

4 .Hallar si

a) 60° b) 65° c)70° d) 80° e) 90°

36. Si . Calcular +

a) 100° b) 128° c) 160° d) 145° e) 176°

37. Hallar - , si

a) 65° b) 72° c) 81° d) 92° e) 99°

38.En la figura es bisectriz de y es bisectriz

de , ;

. Hallar

a) 54° b) 68° c) 72° d) 94° e) 97°

38. Hallar si ,

y


N

M

A

C

3x 5x

2x

O

B

C

D

3x4xO

7x

A

A

B

C

O 3x4x

5x

A

0

B

C

D3x

5x7x

3x x8xA

B C

D O

4x2x3xA

B C

D O

A

B

C

DO

A

X B

Y

CO




a) 30° b) 37° c) 45° d) 48° e) 50°

39. Se dan los ángulos consecutivos, , , donde = 38° y . Hallar .

a) 39° b) 40° c) 41° d) 42° e) 43°

40.Se construyen los ángulos consecutivos , ,

donde = 36° y .Hallar el suplemento

de .a) 120° b) 100° c) 90° d) 60° e) 30°

41. Se dan los ángulos consecutivos, , , donde

=3 .Hallar si .a) 12° b) 30° c) 36° d) 45° e) 60°

42.Se construyen los ángulos consecutivos , , donde =4 .Si .Hallar

.a) 22° b) 45° c) 30° d) 60° e) 52°

43. Se dan los ángulos consecutivos, =2x, =3x, =4x, si .Hallar .

a) 75° b) 90° c) 98° d) 100° e) 124°

44. Se construyen los ángulos consecutivos , , donde y 2 =3 . Hallar el

.a) 12° b) 15° c) 18° d) 20° e) 24°

45. El complemento del doble de un ángulo es 42°. Hallar el suplemento de dicho ángulo.a) 24° b) 124° c) 66° d) 156° e) 180°

46. El suplemento de un ángulo, mas el complemento del mismo ángulo es 134°. Hallar el complemento de la mitad del ángulo.a) 134° b) 68° c) 34° d) 22° e) 56°

47. Al doble del suplemento de un ángulo, se le disminuye 100° y da el complemento del mismo ángulo. Hallar el suplemento del ángulo.a) 170° b) 100° c) 20° d) 10° e) 50°

49. El suplemento del complemento del doble de un ángulo es 138°. Hallar el complemento de dicho ángulo.a) 24° b) 66° c) 42° d) 48° e) 50°

50.Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

51.El valor de :

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

52.Calcular :

a) 24° b) 35° c) 40° d) 58° e) 60°

53. Calcular el valor de :

a) 7 b) 9 c) 12 d) 14 e) 17

54. Calcular :

a) 23° b) 38° c) 61° d) 67° e) 72°

55.El valor de :

a) 59° b) 60° c) 73° d) 75° e) 80°

56. Calcular : C38°32’

a) 24°31’ b) 45°25’ c) 51°28’ d) 76°58’ e) 93°31’

57. Calcular: S123°46’

a) 54°34’ b) 57°14’ c) 55°14’ d) 55°24’ e) 56°14’

58. Calcular : S12°37’ – C56°32’

a) 133°45’ b) 133°54’ c) 133°56’ d) 133°55’ e) 133°35’

58. COMPLETA LAS SIGUIENTES TABLAS:

Medida del ángulo Complemento del ángulo

12°

45°35°47°

16°15’

25°30’45°28’

16°50’35’’78°43’12’’

27°54’24’’18°35’26’’60°15’49’’




a) 34°b) 67°c) 41°d) 64°e) 12°

a) 155°b) 160°c) 170°d) 180°e) 195°

a) 136°b) 138°c) 145°d) 154°e) 166°


Medida del ángulo Suplemento del ángulo13°62°

123°145°

160°25’150°40’125°26’

106°30’31’’72°53’38’’

123°48’34’’143°25’40’’

155°42’45’’

N° 02 TAREA PARA LA CASA :

1. En la figura calcular .

2. En la figura hallar

a) 123° b) 133° c) 134° d) 124° e) 112°

3. Se dan los ángulos consecutivos ,

. Si los ángulos están en la relación de 1, 2 y

.Hallar si

a) 60° b) 65° c)70° d) 80° e) 90°

4. Si . Calcular +

a) 54° b) 58° c) 60° d) 63° e) 78°

5. Se dan los ángulos consecutivos AOB ; BOC donde AOB = 3x y BOC=9x. Hallar el ángulo AOB si AOC = 114°.a) 15° b) 24° c) 35° d) 36° e) 55°

6. Se dan los ángulos consecutivos AOB ; BOC y COD donde AOB = 3x ; BOC=5x y COD = 2x si : AOC = 72° . Hallar el ángulo BOD.a) 63° b) 62° c) 68° d) 69° e) 64°

8. El suplemento de un ángulo es igual al complemento de 46° ¿ Cuál es el ángulo ?a) 120° b) 135° c) 136° d) 145° e) 156°

9.Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10.El valor de :

a) 4 b) 2 c) 6 d) 5 e) 8

11.Calcular :

a) 2° b) 5° c) 10° d) 18° e) 20°


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Calcular :

a) 378° b) 536° c) 485° d) 782° e) 688°

31.Hallar el ángulo , si

32. Hallar el ángulo , si


■ 49°

A

BC

O

O A

B

C56°

3x x5x

A

B C

D O

N

M

A

C

4x 5x

3x

O

B

C

D

3x8xO

3x

A



a) 72°b) 66°c) 82°d) 96°e) 99°

a) 45°b) 80°c) 140°d)150°e) 160°


33.En la figura calcular

34.En la figura calcular el ángulo AOC , si el rayo OA es bisectriz del ángulo BOD

35. Se dan los ángulos consecutivos ,

. Si los ángulos están en la relación de 4, 3 y

36). Hallar si a) 55° b) 67° c)78° d) 84° e) 92°

37). Si . Calcular +

a) 105° b) 115° c) 145° d) 135° e) 168°

38). Hallar - , si

a) 69° b) 74° c) 78° d) 86° e) 94°

39).En la figura es bisectriz de y es bisectriz

de , ;

. Hallar

a) 135° b) 144° c)150° d)164° e) 172°

40). Hallar si ,

y

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

41.Se construyen los ángulos consecutivos , , donde =4 .Si .Hallar

.a) 22° b) 45° c) 30° d) 60° e) 52°

42. Se dan los ángulos consecutivos, =2x, =3x, =4x, si .Hallar .

a) 75° b) 90° c) 105° d) 108° e) 110°

43. Se construyen los ángulos consecutivos , , donde y 3 =7 . Hallar el

.a) 18° b) 24° c) 11° d) 21° e) 29°

44. El complemento 3x es 36°. Hallar el suplemento de x.a) 18° b) 154° c) 84° d) 162° e) 172°

45. El complemento del suplemento de un ángulo es 124°. Hallar el suplemento del ángulo.a) 24° b) 136° c) 90° d) 132° e) 146°

46. El suplemento de un ángulo, mas el complemento del mismo ángulo es 160°. Hallar el complemento del ángulo.a) 55° b) 42° c) 35° d) 62° e) 56°

47. Al doble del suplemento de un ángulo, se le disminuye 240° y da el complemento del mismo ángulo. Hallar el complemento del ángulo.a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

49. El suplemento del complemento del doble de un ángulo es 148°. Hallar el complemento de dicho ángulo.a) 54° b) 61° c) 73° d) 85° e) 90°

50.Calcular:


A

B

C

O 4x5x

6x

A

0

B

C

D3x

4x8x

5x x9xA

B C

D O

4x2x3xA

B C

D O

A

B

C

DO

A

X B

Y

CO




a) 31 b) 15 c) 30 d) 28 e) 45

51.El valor de :

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

52.Calcular :

a) 24° b) 35° c) 40° d) 58° e) 60°


a) 7 b) 9 c) 12 d) 14 e) 17

54. Calcular :

a) 52° b) 46° c) 91° d) 133° e) 68°

55.El valor de :

a) 49° b) 28° c) 59° d) 34° e) 12°

56. Calcular : C78°56’

a) 12°01’ b) 12°05’ c) 11°08’ d) 13°08’ e) 11°04’

59. COMPLETA LAS SIGUIENTES TABLAS:

Medida del ángulo Complemento del ángulo

82°

79°65°77°

32°34’

42°67’67°51’

29° 49’ 53’’67°33’44’’

57°24’57’’62°34’39’’

44°28’11’’

Medida del ángulo Suplemento del ángulo122°139°183°109°

123°33’145°28’139°36’

154°34’45’’122°44’27’’56°28’24’’

143°29’35’’

TRIANGULOS

Es la figura geométrica formada por tres segmentos de recta que se unen por sus extremos dos a dos.

Clasificación :

I. Por sus lados:

1. Triángulo Equilátero:

2. Triángulo Isósceles:

3. Triángulo Escaleno: Sus tres lados son de diferente longitud.





II. Por sus ángulos:

1. Triángulo Rectángulo: un ángulo interior es recto y los otros dos necesariamente agudos.

2.Triángulo Oblicuángulos: no tienen ángulo recto:

a.Triángulo Acutángulo: tiene sus tres ángulos interiores agudos.

b.Triángulo Obtusángulo: tiene un solo ángulo interior obtuso.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES1.

2.

3.

4.

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES

1. ALTURA: Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Ortocentro: es el punto de intersección de las alturas.

2. MEDIATRIZ:

Es la recta perpendicular que se levanta del punto medio de un lado de un triángulo. Circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.

3. MEDIANA: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro o Gravicentro es el punto de intersección de las medianas.

4. BISECTRIZ: Es el rayo que biseca al ángulo interior o exterior de un triángulo.

Incentro: Es la intersección de bisectrices interiores.

Excentro: Es la intersección de dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior no adyacente; todo triángulo tiene tres excentros (uno relativo a cada lado).


BG = 2GN

GN = 1/3 BN




5. CEVIANA: Segmento de recta que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o su prolongación.

ÁNGULOS FORMADOS PORLÍNEAS NOTABLES

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSDos triángulos son iguales si las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos interiores son iguales respectivamente.

CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

I CASO: A.L.A.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen un lado con la misma longitud y los ángulos adyacentes a dicho lado con las mismas medidas.

II CASO: L.A.L.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados con las mismas longitudes y el ángulo comprendido entre dicho lados también son iguales.

III CASO: L.L.L.- dos triángulos son congruentes cuando tienen sus tres lados homólogos con las mismas longitudes.

PROPIEDADES DE CONGRUENCIA

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ .- Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.

PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ.

Todo punto de la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos del segmento.

TEOREMA DE LA BASE MEDIA

El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud.

PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

La mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.





PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES

En un triángulo isósceles la altura relativa a la base también es bisectriz y mediana

SEMEJANZA DE TRIANGULOSDos triángulos son semejantes en cualquiera de los siguientes casos:

1er. Caso: Angulo-Angulo(A-A)Si tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes

Caso particular: En el ABCa) Si //

EBF ABC

b) Si //

HBF ABC

2do.. Caso: Lado-Angulo-Lado (LAL)Si dos lados del primero son proporcionales a dos lados del segundo, y los ángulos entre ellos congruentes.

ABC MNL3er. Caso: Lado – Lado – Lado (LLL)Si los tres lados del primero son respectivamente proporcionales a los tres lados del segundo.

Si ABC MNL

ELEMENTOS HOMÓLOGOSSi dos triángulos son semejantes a cada elemento del primero le corresponde un elemento homólogo en el segundo.Observa los triánguilos semejantes ABC y MNL. En ellos encontramos los siguientes elementos homólogos:

APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOSLas longitudes de sus líneas homólogas (lados, alturas, inradios, circunradios, etc) de dos triángulos semejantes, son proporcionales





ABC A’B’C’

k es la razón de la semejanza

TEMA : TRIANGULOS El hombre de la prehistoria nos muestra las primeras nociones que se tenía con respecto a las formas, una de ellas eran las triangulares ya que al construir sus lanzas le daba esas formas puntiagudas para poder lograr mayor facilidad en la caza.Un conocimiento mas profundo y ordenado la tuvieron los egipcios en la construcción de las pirámides, llegando a establecer la noción de igualdad de las formas y tamaños y los geómetra adelante le llamaron triángulos congruentes y la usaron para estudiar sus propiedades y aplicarlos a la realidad, por ejemplo: al ancho de un río, la altura de las pirámides, etc.

NIVEL I01.En un triángulo rectángulo ABC, recto en B y el ángulo

interior de A es 28°. Hallar el ángulo interior de C.

a) 49° b) 50° c) 54° d) 61° e) 62°

02.Se construye un triángulo ABC donde dos de sus ángulos interiores son 64° y 12°. Hallar el tercer ángulo.a) 100° b) 96° c) 102° d) 104° e) 89°

03.Se construye un triángulo ABC donde el ángulo interior de

A es 142° y el ángulo interior de C es 32°. Hallar el ángulo

interior de B.

a) 12° b) 6° c) 16° d) 8° e) 4°

04.En un triángulo ABC el ángulo exterior de A mide 100° y el ángulo interior de C es 40°. Hallar el ángulo interior de B.a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

05.En un triángulo ABC los ángulos exteriores de A y B son 124° y 98°. Hallar el ángulo interior de C.a) 42° b) 43° c) 44° d) 45° e) 46°

06.En un triángulo isósceles hallar el ángulo desigual, si uno de los ángulos internos es 42°.a) 100° b) 87° c) 96° d) 86° e) 48°

07. En un triángulo isósceles el ángulo exterior del ángulo desigual es 100°. Hallar el ángulo interno de una de los ángulos iguales.a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°

08. En la figura calcular el ángulo C.

a) 87° b) 58° c) 64° d) 97° e) 45°

09. En la figura calcular el ángulo B.

a) 87° b) 78° c) 63° d) 99° e) 56°

10. Hallar el ángulo A

a) 60° b) 71° c) 81° d) 45° e) 100°

11. Hallar el ángulo C:

a) 60° b) 71° c) 81° d) 45° e) 100°

12.Si : y . Hallar

a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°


A B

C

36° 47°

A C

B

54° 39°

A B

C

19°

A C

B

28°

A

B

C



GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA 13. Calcular “x”:

a) 28° b) 30° c) 34° d) 40° e) 48°

14. Calcular C:

a) 37° b) 52° c) 48° d) 64° e) 50°

15. Calcula el A:

a) 54° b) 72° c) 100° d) 108° e) 120°

16. Calcular C - A:

a) 12° b) 18° c) 24° d) 30° e) 36°

17. Calcular A + C:

a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

18. Calcular el B:

a) 15° b) 8° c)24° d) 10° e) 14°

19. Hallar B – C:

a) 20° b) 21° c)22° d) 23° e) 24°

20. Se llama triángulos isósceles a :a) Al triangulo cuyos 3 lados son igualesb) Al triangulo cuyos 2 lados son diferentes c) Al triangulo cuyos 2 lados y 2 ángulos adyacentes son iguales.d) Al triangulo cuyos lados son diferentes e) Al triangulo que tiene un ángulo recto.

21. Se llama triangulo equilátero a:a) Al triangulo cuyos 3 lados son diferentes y 3 ángulos iguales. b) Al triangulo cuyos 2 lados son iguales y sus ángulos diferentes.c) Al triangulo cuyos 3 lados son iguales y 3 ángulos diferentes.d) Al triangulo cuyos 2 lados son iguales y 3 ángulos iguales.e) Al triangulo cuyos 3 lados y 3 ángulos son iguales.

22. En un triangulo cuyos lados son 12,13 y 15cm.Hallar el perímetro. a)30cm b) 40cm c) 50cm d) 60cm e) 70cm.

23.Calcular el perímetro de un triangulo cuyos lados son 26,27,y29m. a)72m b) 78m c) 82m d) 84m e) 92m.

24. En un triangulo los lados son 17cm, 21cm y 16cm, Calcular su semiperímetro.a)27cm b) 54cm c) 22cm d) 24cm e) 58cm.

25. Los lados de un triangulo miden 342 cm, 428 cm y 396 cm.Hallar el semi perímetro.a)1166 cm b) 482 cm c) 683 cm d) 583 cm e) 1165 cm.

26. En las figuras calcule los perímetros de los siguientes triángulos. P : perímetro N)


A C

B

4x 10°

B

C20°A

CA

B

18°

6X

3X

A

B C

2X

108° 4X

A

B

C

40°+5X

2X X

102°

54° 14°+2XA B

C

5X-8°

2X+18°3X+10°A

B

C

8

73

x

3x

2x



GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA M)

S)

Hallar : PN + PS - PM

a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

27. En los siguiente triángulos mencionar que triángulos existen y cuales no. Colocar verdadero (V) o falso (F).

a) ( )

b) ( ) c) ( )

28. Se construye un triángulo ABC donde sus lados son 12, 5 y 17.

Hallar el perímetro del triángulo.

a) 34 b) 30 c) Faltan datos d) 17 e) No existe el triángulo.

29. Se construye un triángulo equilátero. Si el perímetro es 24cm. Hallar sus lados.a) 4 b) 7 c) 6 d) 2 e) 5

30. En el triángulo que valores enteros positivos debe tomar “x”

para que exista dicho triángulo.

Rpta . (........................................)



Rpta . (........................................)

32. En el triángulo los valores enteros positivos que debe tomar “x” para que exista el triángulo debe ser:

Rpta . (........................................)

33. Para que exista el triángulo que valores enteros positivos debe tomar “x”

Rpta . (........................................)

34.Para que exista el triángulo que valores enteros y positivos debe tomar “x”.

Rpta . (........................................)

35. En un triángulo ABC sus lados son 4m y 9m . Hallar la suma de todos los valores positivos enteros que toma el tercer lado.a) 42 b) 52 c) 33 d) 63 e) 74

36. En un triángulo sus lados son 5m y 3m. Hallar la suma de los

valores enteros positivos que toma el tercer lado.

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

37. Dos lados de un triángulo son 11cm y 14cm . Hallar la suma de

los valores enteros y positivos que toma el tercer lado.

a) 194 b) 320 c) 424 d) 504 e) 294

38. En un triángulo sus dos lados son 7cm y 18cm . Hallar la suma

de los cuatro primeros valores enteros y positivos que toma el lado

desigual.

a) 64 b) 44 c) 54 d) 74 e) 34


9 9

6

11 9

12

7310

12 1115

6 1619

3 7

x

2 13

x

52

x

x1

12

x

13

7




39.En un triángulo isósceles el lado igual es 7cm. Hallar la suma

de los valores enteros positivos que toma el lado desigual.

a) 84 b) 72 c) 74 d) 91 e) 64

40. En un triángulo isósceles el lado igual es 12cm. Hallar la suma

de los valores enteros positivos que toma el lado desigual.

a) 214 b) 276 c) 316 d) 315 e) 416

41. En un triangulo cuyos lados son 13cm y 14cm. Hallar el

máximo valor entero que toma el tercer lado en cm.

a) 1 b) 12 c) 18 d) 24 e) 26

42. En un triángulo cuyos dos lados son 24m y 7m . Hallar el

mínimo valor entero positivo que toma el tercer lado.

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 30

43.En un triángulo isósceles el lado desigual mide 18cm, hallar el mínimo valor positivo entero que toma el lado igual.a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

44.En un triángulo cuyos lados son 16cm y 13cm. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero positivo del 3er lado.a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

PITÁGORAS (569 – 470 a de J.C)Nació en la Isla de Samos en el mar de Egeo. Se a tejido una leyenda en torno a su vida desde dos frentes: El religioso y el filosófico. Fue discípulo de Tales De Mileto, adquiriendo de este el poder de los números, lo que le permito medir la altura de los objetos por sus sombras, y la distancia de un navío en el mar, Anaximandro le muestra la función de los números en la elaboración de los mapas. Al viajar a Egipto se convirtió en depositario de la sabiduría Egipcia. Una frase conocida de el es “LA SABIDURÍA ESTÁ EN LOS NÚMEROS Y LA BELLEZA EN LA ARMONIA ESPIRITUAL”. Pitágoras descubre en si mismo una facultad maravillosa: la memoria. Es muy recordado por su teorema valido para un triángulo rectángulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus respectivos catetos.

45. En la figura hallar “x”.

46. En la figura hallar “n”.

47. En la figura hallar “a”

48. Hallar “x”

49. Hallar “x”

50. Hallar “m”


C

a

bcHipotenusa: bCatetos : a y c

x3cm

4cm

a) 2cmb) 3cmc) 4cmd) 5cme) 6cm

n 5cm12cm

a) 9cmb)10cmc) 11cmd)12cme) 13cm

7m

24m

a

9cm40cm

x

a) 22mb) 23mc) 24md) 25me) 26m


10m x

8m

a) 3mb) 4mc) 5md) 6me) 7m

m

17

8a) 9mb) 13mc) 14md) 15me) 16m





52. Hallar “x”

53. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es 113 cm y uno de los catetos es 15 cm. Hallar el otro cateto.

a) 100 b) 108 c) 112 d) 142 e) 154

54. En un triangulo rectángulo los catetos son 144 cm y 17 cm . Hallar la hipotenusa.

a) 120 b) 145 c) 135 d) 112 e) 124

55. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es 181cm y uno de los catetos es 180 cm. Hallar el otro cateto.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

NIVEL II56. Calcular el ”x”:

a) 1° b) 2° c) 4° d) 10° e) 15°

57. Hallar B – C:

a) 60° b) 91° c)72° d) 83° e) 44°

58. Calcula el A:

a) 14° b) 42° c) 25° d) 10° e) 12°

59. Calcular C - A:

a) 11° b) 12° c) 13° d) 14° e) 15°

60. Calcular A + C:

a) 20° b) 21° c) 22° d) 23° e) 24°

61. En un triángulo, un ángulo es igual a la suma de los otros dos ¿Qué clase de triángulo es?

A)Equilátero B) Isósceles C) Rectángulo D)Obtusángulo E) Acutángulo

62. Los lados de un triángulo isósceles miden 6 y 12 cm. Calcular el perímetro de dicho triángulo.a) 24 b) 30 c) 36 d) 42 e) 54

63. El perímetro de un triángulo equilátero es 18 cm. Hallar sus lados.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

64.En un triángulo dos de los ángulos internos es 38° y 49° ¿ Cuál es el tercer ángulo interno ?a) 38° b) 59° c) 93° d)100° e)103°

65. En un triángulo ABC dos de los ángulos internos es 84° y 52° ¿Cuál es el tercer ángulo interno ?a) 32° b) 44° c) 57° d) 90° e) 69°

66. El ángulo igual de un triángulo isósceles es 48° ¿ Cuál es el ángulo desigual ?a) 48° b) 96° c) 84° d) 56° e) 94°

67. El ángulo desigual de un triángulo isósceles es 108° ¿ Cuál es el ángulo igual ?a) 28° b) 36° c) 72° d) 96° e) 84°

68. El ángulo interno de un triángulo ABC es A = 36° y B = 2A . Hallar el C.

a) 34° b) 37° c) 72° d) 86° e) 94°

69. El ángulo interno de un triángulo ABC es A = 18° y B = 3A . Hallar el C:

a) 74° b) 97° c) 72° d)108° e) 84°


A

BC

11m

a

61m

a) 48mb) 50mc) 55md) 60me) 65m

13m x

85m

a) 56mb) 68mc) 74md) 78me) 84m

105°

45° 25°+5XA B

C

3X-8°

X-12°X+10°A

B

C

C

A

B

98°

6°+X

3X

A

B

C

27X

112°

41X

A

B

C

40°+ 6X

2X-18° X-16°



GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA 70.En la figura hallar el B

a) 35° b) 77° c) 84° d)106° e)150°

71.En la figura hallar el C

a) 15° b) 21° c) 34° d) 46° e) 50°

72. En la figura hallar el ángulo interno A :

a) 5° b) 6° c) 7° d) 8° e) 9°

73. En la figura calcular el B

a) 14° b) 27° c) 54° d)135° e)150°

74. En la figura calcular C :

a) 24° b) 50° c) 75° d)100° e)140°

75.Los ángulos de un triángulo son proporcionales a 3; 5 y 7. Calcular la diferencia entre el mayor y el menor de dichos ángulos.

a) 24° b) 30° c) 48° d)37° e)53°

76.Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son entre si como 2 es a 3. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?

a) 30° b) 37° c) 53° d)54° e)60°

77. La suma de los lados de un triángulo excede en 4 cm al tercero. Si

la diferencia de dichos lados es 2 cm y su perímetro 24 cm., ¿Cuánto mide el lado mayor?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

78.El perímetro de un triángulo mide 50 cm. Si el doble de la suma de dos de sus lados es 48 cm, ¿Cuántos mide el tercer lado?

a) 20 b) 24 c) 26 d)28 e)30

79.El perímetro de un triángulo es 52. Si uno de los lados mide 20 cm. y el segundo es el triple del tercer lado, ¿cuánto mide el lado mayor?

a) 20 b) 24 c) 26 d)28 e)30

80.Uno de los ángulos de un triángulo es el triple del menor. Si el otro ángulo mide 60°, ¿cuánto mide el menor de los ángulos del triángulo?

A) 30° B) 80° C) 50° D) 120° E) 100°

81.Los lados de un triángulo isósceles son 10 y 4 metros. Halla su perímetro.

A)18 m B)24 m C)20 m D)14 m E)12 m

82.Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números 2; 3 y 5. calcular la medida del suplemento del complemento del ángulo intermedio del triángulo.

A) 150° B) 54° C) 18° D) 144° E) 36°

83.Calcular la medida del ángulo mayor de un triángulo, en el cual la medida del ángulo mayor es el duplo de la medida del menor y la medida del tercer ángulo excede a la del menor ángulo en 16°.

A) 41° B) 62° C) 72° D) 82° E) 100°

84.Dos lados de un triángulo escaleno miden 6 y 7 m, calcular la suma de los valores enteros pares que pueda tomar el tercer lado.

A) 32 B) 42 C) 54 D) 13 E) 34

85.En un triángulo ABC, AC=BC, sobre AC se toma el punto “E”, tal que AB=BE=EC. Hallar la mACB.

A) 32° B) 34° C) 36° D) 40° E) 45°

86.Hallar “x”:

A) 42° B) 54° C) 58° D) 56° E) 62°

87.Hallar “x”.

A) 30° B) 60° C) 50° D) 45° E) 48°


A C

B

39° 57°

A C

B

56°

103°

A C

B

3x

2x

45°

A

BC47°125°

x

3x

5x

xA

C

B

ww

x

60°

80°

x



GEOMETRÍA SEGUNDO DE SECUNDARIA 88.Los lados de un triángulo isósceles miden 7 y 15. calcular el

perímetro del triángulo.

A) 22 B) 2 C) 37 D) 44 E) 29 ó 37

89.La medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos de un triángulo equilátero es:

A) 30° B) 50° C) 70° D) 120° E) 132°

“Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra” Arquimedes ( 287-212 a de J.C)

N° 03 TAREA PARA LA CASA 01. En la figura calcular el ángulo C.

a) 87° b) 58° c) 64° d) 97° e) 45°

02. En la figura calcular el ángulo B.

a) 87° b) 98° c) 83° d) 99° e) 100°

03. Calcular A + C:

a) 30° b) 45° c) 53° d) 60° e) 75°

04. En un triangulo cuyos lados son 8cm y 12cm. Hallar el

máximo valor entero que toma el tercer lado en cm.

a) 1 b) 12 c) 19 d) 24 e) 26

05. En la figura hallar “x”.


07.Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son entre si como 2 es a 3. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?

a) 30° b) 37° c) 53° d)54° e)60°

08. La suma de los lados de un triángulo excede en 4 cm al tercero. Si la diferencia de dichos lados es 2 cm y su perímetro 24 cm., ¿Cuánto mide el lado mayor?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

09.Si : y . Hallar

a) 19° b) 20° c) 21° d) 23° e) 24°

10. Calcular “x”:

a) 22° b) 25° c) 27° d) 29° e) 30°

11. Si el ángulo B es el doble del ángulo de A. Calcular C:

a) 37° b) 60° c) 72° d) 84° e) 96°

12. Calcula el A:


A B

C

26° 57°

A C

B

41° 39°

A

B

C

6X

2X X

x9cm

12cm


11m

a

61m

a) 48mb) 50mc) 55md) 60me) 65m

A

B

C

A C

B

4x 18°

B

C28°A

C

A

B

18°

6x

3x

2x




a) 54° b) 72° c) 100° d) 108° e) 120°

13. Calcular C - A:

a) 12° b) 18° c) 24° d) 30° e) 36°

14. Calcular A + C:

a) 60° b) 72° c) 81° d) 90° e) 120°

15. Calcular el B:

a) 15° b) 8° c)24° d) 10° e) 14°

16. Hallar A – B:

a) 20° b) 19° c)18° d) 17° e) 16°

17. Se llama triángulos regular a :a) Al triangulo cuyos 3 lados son igualesb) Al triangulo cuyos 2 lados son diferentes c) Al triangulo cuyos 2 lados y 2 ángulos adyacentes son iguales.d) Al triangulo cuyos lados son diferentes e) Al triangulo que tiene un ángulo recto.

18. Se llama triangulo escaleno a:a)Al triangulo cuyos 3 lados son diferentes y 3 ángulos iguales. b)Al triangulo cuyos 2 lados son iguales y sus ángulos diferentes.c)Al triangulo cuyos 3 lados y 3 ángulos son diferentes.d)Al triangulo cuyos 2 lados son iguales y 3 ángulos iguales.e)Al triangulo cuyos 3 lados y 3 ángulos son iguales.

19. En un triangulo cuyos lados son 14,17 y 19cm.Hallar el perímetro. a)30cm b) 40cm c) 50cm d) 60cm e) 70cm.

20.Calcular el perímetro de un triangulo cuyos lados son 35, 38,y 40m. a)113 m b) 112m c) 92m d) 91m e) 80m.

21. En un triangulo los lados son 18cm, 19cm y 25cm, Calcular su semiperímetro.a)27cm b) 28cm c) 29cm d) 30cm e) 31cm.

22. Los lados de un triangulo miden 342 cm, 411 cm y 233 cm. Hallar el semi perímetro.a)986 cm b) 898 cm c) 688 cm d) 798 cm e) 493 cm.

23. En las figuras calcule los perímetros de los siguientes triángulos. P : perímetro N)

M)

S)

Hallar : PN + PS - PM

a) 45 b) 44 c) 69 d) 72 e) 74

24. En los siguiente triángulos mencionar que triángulos existen y cuales no. Colocar verdadero (V) o falso (F).

a) ( ) b) ( ) c) ( )

25. Se construye un triángulo ABC donde sus lados son 8, 9 y

17. Hallar el perímetro del triángulo.

a) 34 b) 30 c) Faltan datos d) 17 e) No existe el triángulo.

26. Se construye un triángulo equilátero. Si el perímetro es 42 cm. Hallar sus lados.a) 14 b) 17 c) 16 d) 12 e) 15


A

B C

2X

126° 4X

A

B

C

30°+3X

2X+12° X

108°

48° 12°+6XA B

C

6X-8°

4X+18°5X+20°A

B

C

8

76

7 7

8

24 25

26

9210

11 115

6 92






Rpta . (........................................)

28. En el triángulo que valores enteros positivos debe tomar

“x” para que exista dicho triángulo.

Rpta . (........................................)

29. En el triángulo los valores enteros positivos que debe tomar “x” para que exista el triángulo debe ser:

Rpta . (........................................)

30. Para que exista el triángulo que valores enteros positivos debe tomar “x”

Rpta . (........................................)

31.Para que exista el triángulo que valores enteros y positivos debe tomar “x”.

Rpta . (........................................)

32. En un triángulo ABC sus lados son 8m y 5m . Hallar la suma de todos los valores positivos enteros que toma el tercer lado.a) 42 b) 45 c) 56 d) 64 e) 72

33. En un triángulo sus lados son 2m y 8m. Hallar la suma de los

valores enteros positivos que toma el tercer lado.

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

34. Dos lados de un triángulo son 9cm y 24cm . Hallar la suma de los

valores enteros y positivos que toma el tercer lado.

a) 183 b) 194 c) 199 d) 200 e) 232

35. En un triángulo sus dos lados son 19cm y 24cm . Hallar la suma de

los cuatro primeros valores enteros y positivos que toma el tercer lado.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

36. En un triángulo isósceles el lado igual es 11cm. Hallar la suma de

los valores enteros positivos que toma el lado desigual.

a) 158 b) 231 c) 121 d) 250 e) 298

37. En un triángulo isósceles el lado igual es 16cm. Hallar la suma de

los valores enteros positivos que toma el lado desigual.

a) 288 b) 296 c) 314 d) 350 e) 496

38. En un triangulo cuyos lados son 24cm y 19cm. Hallar el máximo

valor entero que toma el tercer lado en cm.

a) 38 b) 42 c) 58 d) 34 e) 22

39. En un triángulo cuyos dos lados son 36m y18m . Hallar el mínimo

valor entero positivo que toma el tercer lado.

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 30

40.En un triángulo isósceles el lado desigual mide 22cm, hallar el mínimo valor positivo entero que toma el lado igual.a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

41.En un triángulo cuyos lados son 12cm y 9cm. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero positivo del 3er lado.a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25


6 9

x

8 11

x

86

x

x2

9

x

7

11

libro 2° geometria

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