libro geometria

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1. GEOMETRÍA PLANA

PRESENTACIÓN

Muchas veces los términos nos presentan contradicciones. En el caso de la geometría por ejemplo, si se parte la palabra, se tiene la raíz Geo que significa “tierra” y la terminación “metría” que, sin mucha profundización, significa “medir” o sea, medir la tierra. En realidad, la palabra expresa lo que se hacía inicialmente con la geometría, principalmente entre los antiguos egipcios. Sin embargo, la geometría se utiliza actualmente como herramienta en muchos de los campos del conocimiento humano.

La geometría es la rama de las matemáticas que estudia los puntos, las rectas, los planos y otros elementos conceptuales derivados de ellos como los polígonos y los poliedros. La geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo real. Es también la que nos permite medir áreas y volúmenes.

Este libro ha sido diseñado con base en las dificultades que presentan los estudiantes de los primeros niveles de los programas que sirve el INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO (ITM), tanto en tecnologías como en ingenierías, tratando de utilizar un lenguaje comprensible para el estudiante sin dejar de lado la terminología propia de las matemáticas.

Las temáticas se tratan de tal manera que el estudiante inicia con los conceptos más simples y va profundizando en los temas en forma encadenada: cada tema es base para el siguiente. Esto propicia el control de las competencias de una manera acumulativa, puesto que, al desarrollar las primeras, se facilita el desarrollo de las siguientes, amén de las competencias de pensamiento indispensables para desarrollar las competencias de conocimiento. Así, tanto el docente como el estudiante pueden tener un buen control sobre el ritmo de aprendizaje. Desde este punto de vista, el contenido de este texto representa una valiosa herramienta para el llamado trabajo independiente, o aquel que el estudiante debe realizar extraclase como complemento a lo estudiado en el aula, tanto para la orientación y evaluación por parte del docente, como un aporte a la formación integral para el estudiante en cuanto le genera responsabilidades a cumplir.

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AL ESTUDIANTE.

El descubrir que la geometría nos rodea es en verdad fascinante. Pero lo es más cuando se comienza a desentrañar aquello que, estando tan cerca, no lo habíamos percibido; es decir, cuando empezamos a mirar nuestro entorno de una manera más crítica, cuando vemos algo y sabemos qué estamos viendo. Por ejemplo: si se observa una baldosa, ya no es simplemente la baldosa lo que se ve, sino una figura geométrica: un cuadrado, un rectángulo o un hexágono; además, se habla con cierta propiedad acerca de sus lados, si son o no paralelos, si su superficie es plana o por el contrario tiene cierta curvatura, podemos hablar sobre el área de su superficie y el volumen de material que tiene. Si toma una cajetilla de cigarrillos, observa también un recipiente con un volumen fácil de calcular, unos rectángulos que se cruzan formando aristas, y aristas que se cortan para dar paso a los vértices. Observa diferentes tipos de ángulos, no solamente formados por líneas sino también por planos, es decir, toda una serie de conceptos geométricos se conjugan en este simple elemento.

El objetivo principal de la entrega de este trabajo, es sentar las bases para el estudio de la geometría, teniendo en cuenta los conceptos fundamentales que el estudiante requiere como futuro profesional de una tecnología o de una ingeniería. Además, ayudar a generar la cultura del análisis, propia de las matemáticas, la cual incentiva el desarrollo de la habilidad para el razonamiento. Acá no se encuentran demostraciones profundas, sino más bien ejercicios para reforzar los conceptos, en muchos casos, utilizando directamente las ecuaciones, o llegando a la solución a través del análisis y la combinación de temas en aplicaciones tomadas de la vida real.

Las ecuaciones o fórmulas son en realidad, modelos matemáticos aplicables a múltiples situaciones, por lo tanto, piense que no debe aprender de memoria cada fórmula que aplique, sino analizar el problema e identificar el modelo adecuado, de acuerdo con los datos y las incógnitas del mismo.

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PRUEBA DE INICIO

Amigo estudiante: Las siguientes actividades tienen como fin hacer un reconocimiento de la apropiación de los conceptos mínimos de aritmética y algebra, necesarios para facilitar la comprensión de los temas de la geometría.

Un segundo objetivo de esta prueba es, que usted se dé cuenta de los aspectos en los cuales tiene debilidades, para que trate de subsanarlas por medio del trabajo independiente (TI), puesto que se trata de conceptos mínimos básicos para facilitar el aprendizaje de la geometría.

1. Escriba en lenguaje matemático:

o El doble de un número _______________________________________

o El anterior de un número ______________________________________

o Las tres cuartas partes de una cantidad __________________________

o El 40% del salario ___________________________________________

o “A” equivale a cuatro veces “B” _________________________________

o “M” excede en cinco a “N” _____________________________________

o “A” es menor que “B” en tres ___________________________________

o “A” es mayor que “B” en tres ___________________________________

o La suma de tres cantidades ___________________________________

o El producto entre “a” y “b” __________________________________

o La diferencia entre dos enteros _________________________________

o “A” entre “B” _______________________________________________

o “p” equivale a 2/5 de la suma entre “m” y “s” ___________________

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o “A” es a “B” como 4 es a 6 ___________________________________

o “M” y “N” están en relación 2 a 5 ______________________________

2. Despeje la variable correspondiente

X – 5 = 6 ________________________________________________

6X + 4 = 16 ______________________________________________

5 - 4Y = 14 ______________________________________________

12Z = Z2 _______________________________________________

_________________________________________________

______________________________________________

12 = _____________________________________________

3. Resuelva para X

3.1 8 – (X - 4) = 12 3.2 3 + 4(5 – X) = -63.3 20 – X(3 – 9) = 203.4 12 + 2(2X – 5) = 03.5 (3X + 4)(5 – 6) = 23.6 (5 – 2X)(8 – 3X) = –X2 – 31X 3.7 16X2 = 64

3.8

4. Resuelva los problemas siguientes

4.1 Juan tiene el doble de la edad de su hermano. Entre las dos edades suman 27 años, cuál es la edad del hermano de Juan?

4.2 Hace dos años, la edad de Mariela equivalía a ¾ de la edad de Susana; si en este momento las edades suman 18 años, cuáles son las edades?

4.3 Una camisa cuesta $45000. Si compra de contado obtiene un descuento de 8%. Cuánto debe pagar de contado?

4.4 Para trabajar en la vía pública, se acordona la zona con dos cintas de color anaranjado, formando un triángulo equilátero (todos los lados iguales). Si se

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necesitaron 18 metros de cinta, de qué medida es el lado del triángulo que se formó?

5. Otros problemas

5.1 El área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de uno de los lados por la longitud del otro perpendicular al primero. Si un rectángulo tiene de área 100 cm2 y la longitud de uno de sus lados es 10, calcular el otro lado. ¿Qué se puede decir de este rectángulo?

5.2 El perímetro de un rectángulo se calcula sumando las longitudes de los cuatro lados. Si un rectángulo tiene 12 cm. de largo y 8 cm. de ancho, ¿cuál es el perímetro de dicho rectángulo?

5.3 Un cuadrado tiene de área 64 cm2. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?5.4 Analice: ¿cuántos triángulos rectángulos se obtienen al trazar las

diagonales de un cuadrado?5.5 Usted tiene una cinta de 12 metros de longitud. ¿Podría encerrar un terreno

triangular con un cateto de 3 metros y otro cateto de 4 metros ?

6. Resuelva por el método que le parezca más fácil.

6.1 2x - 5y = 112x + 3y = 1

6.2 3x + 7=8-4x + y = -3

6.3 4x + 3y = 1 4x + 2y = 3

6.4 3x + 2y = 23x + 3y = 0

7. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: si la respuesta es un número fraccionario, simplifique a la mínima expresión

7.1

7.2

7.3

7.4 6x2 = 47/6

7.5 X2 – 20 = 0

8. Grafique las siguientes expresiones

8.1 un ángulo agudo y el nombre de cada una de sus partes8.2 un ángulo recto

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8.3 un ángulo obtuso8.4 un rectángulo8.5 un cuadrado8.6 un polígono de tres lados8.7 una circunferencia y ubique un radio y un diámetro8.8 una circunferencia inscrita en un polígono8.9 una circunferencia circunscrita8.10 los linderos del ITM Robledo. Ubique las porterías de acceso y los bloques

que haya conocido en la inducción

1.1 LÍNEAS Y ÁNGULOS: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

COMPETENCIA

Identificar las líneas y los ángulos de acuerdo como se presenten en una situación determinada y aplicar dichos conceptos para resolver problemas en contexto.

RED DE CONCEPTOS PARA LA COMPETENCIA.

INDICADORES DE LOGRO

o Relaciona y diferencia los elementos que componen un ángulo.

GEOMETRÍA PLANA

LÍNEAS: CONCEPTO ÁNGULOS: CONCEPTO

CLASIFICACIÓN TIPOS DE ÁNGULOS

SEGÚN DIRECCIÓN

POR GRADOS

SEGÚN RELACIÓN

ESPECIALESHORIZONTAL

VERTICAL

OBLICUA

PARALELAS

pERPENDIC.

INCLINADAS

AGUDOS

RECTOS

OBTUSOS

VERTICALES

ALT. INTER

ALT. EXTER

CORRESPOND.

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o Identifica una línea por su dirección o por su relación con otras líneas

o Identifica un ángulo por su abertura o por su relación con otros ángulos

o Resuelve problemas en contexto

1.1.1 LÍNEAS

El estudio de los ángulos implica la aplicación de diferentes conceptos, que son en realidad axiomas y postulados1 que sirven de base para el estudio de toda la geometría.

El primero, que a su vez fue la base de la geometría euclidiana, es el concepto de punto. Como lo dijo Euclides en el libro I de su obra Elementos: el punto es un lugar en el espacio, sin dimensiones.

De acuerdo con este concepto, el punto se encuentra en cualquier parte del universo, aunque no se pueda ver ni tocar. A su vez, la línea es un conjunto infinito de puntos que no tiene ancho ni espesor, pero sí longitud. Desde el punto de vista físico, se tiene una contradicción: si el punto no tiene dimensiones y la línea es un conjunto infinito de puntos, ¿cómo es posible que tenga longitud?

Se desprende entonces que el concepto de línea es otra abstracción que se acepta para poder estudiar la geometría, al igual que el concepto de plano, el cual estaría formado por un conjunto infinito de puntos, es decir, infinitos puntos que se expanden en dos dimensiones, o lo que es lo mismo, un conjunto infinito de líneas, una a continuación de la otra. En cualquiera de las acepciones, se tiene la misma contradicción: el punto no tiene dimensiones, sin embargo la línea tiene longitud y el plano tiene longitud y ancho.

Al aceptar estos conceptos, se adquieren herramientas para construir todas las figuras geométricas de las cuales está compuesto el universo. Así, una línea se cruza con otra (la interseca) y se tiene una representación de un punto (el lugar geométrico donde se cruzan dos líneas es un punto)

1 Axioma: proposición tan clara y evidente que no necesita demostración. Por ejemplo el primer axioma de Elementos (de Euclides) es "Un punto es lo que no tiene partes" Postulados: proposición no evidente que se admite sin probar. Por ejemplo el 5º postulado dice "Por un punto exterior a una recta, solo puede trazarse una paralela a ésta") y demuestra muchos teoremasTeorema: proposición no evidente que se demuestra a partir de los axiomas y postulados.

Las líneas “r” y “m” se cortan en el punto “P”P

r

m

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Observe la manera de nombrar los elementos. Los puntos se especifican con letras mayúsculas, mientras las líneas se nombran con letras minúsculas.

1.1.1.1 Clasificación de las líneas

La palabra línea se refiere, como ya se dijo, a una serie infinita de puntos que se extiende con una sola dimensión, es decir, no se tiene un punto de inicio ni un punto final, pero se encuentran líneas que parten desde un punto definido, aunque no tengan un punto final determinado. A este tipo de líneas se les conoce como semi-recta o rayo; se utiliza bastante en el estudio de vectores para indicar su punto inicial y su dirección (más adelante en el curso, se ampliará este concepto en el tema respectivo)

Observe otra manera de denominar una línea: por dos puntos de la misma, con una pequeña línea encima. Esta pequeña línea puede aparecer como una flecha apuntando en los dos sentidos, mientras que la semi-recta aparece con una flecha apuntando en un solo sentido.

Cuando la línea va de un punto a otro, es decir, tiene inicio y final, se le conoce como segmento, y se especifica por medio de los puntos extremos, o como en los casos anteriores, los dos puntos con una pequeña raya encima:

Vale anotar que el segmento es el más utilizado en el estudio de la geometría, puesto que si observa cualquier elemento (la baldosa o la cajetilla de los ejemplos iniciales) se dará cuenta de que están formados por segmentos, aunque debe tenerse presente que un segmento forma parte de una línea que es infinita. En términos de conjuntos, un segmento es un subconjunto de la línea.

1.1.1.1.1 Líneas según su dirección

Semi-recta A

BQ

PP

P

Recta

Segmento AB

A B

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Ahora bien. La sucesión de puntos que forman las líneas, puede tomar direcciones relativas, dando lugar a una clasificación de ellas: horizontales, verticales y oblicuas.

Observe la dirección que toma un líquido en un recipiente; por mucho que mueva el recipiente, el líquido mantiene una misma dirección. A la línea que representa esta dirección se le conoce como horizontal.

Si se pregunta por la dirección que toma un cuerpo pesado que se deja caer, la respuesta inmediata es: hacia abajo. Pero ¿Es consciente quien así responde de la ubicación que se tiene en el globo terrestre? Si se fija en el mapamundi, Colombia está sobre la zona ecuatorial, en una posición relativamente horizontal, por lo tanto, un objeto que se deja caer, se desplaza en forma horizontal. ¿Qué ocurre si la persona está parada en el polo Sur? (ver figura) ¿no es cierto que los objetos parece que cayeran hacia arriba?

Entonces, si se dice que la línea vertical es la que representa la caída de un cuerpo, no se estaría hablando de una manera muy exacta. Por lo tanto, si se observa el comportamiento del objeto al caer, sigue una trayectoria que, al prolongarla, pasa por el centro de la tierra. Por tal motivo, se ha adoptado como concepto de vertical, la línea que une un punto de la superficie terrestre con el centro de la tierra.

1.1.1.1.2 Líneas según su relación

Línea horizontal

Concepto de Línea vertical

O

P

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Pero en nuestro entorno, las líneas difícilmente se encuentran de manera solitaria; siempre están en relación con otra u otras de ellas. Esta relación entre líneas proporciona otra clasificación, así:

Dos líneas que se encuentran separadas por una misma distancia en toda su extensión, se denominan paralelas. Un ejemplo muy común lo representan las líneas de un ferrocarril, puesto que jamás se unen. Pero la vía del ferrocarril no está formada por líneas rectas. ¿Se puede entonces hablar de paralelismo en líneas curvas? Desde el concepto asumido para paralelas, es válido hablar de paralelas en las curvas. Un ejemplo de este tipo de líneas, aparte del ferrocarril, se tiene en los círculos concéntricos (observe una llanta de bicicleta).

Desde los conceptos de horizontal y vertical, se tiene la perpendicularidad como la relación entre estos dos tipos de líneas. Una línea vertical cae sobre una horizontal en forma perpendicular o formando un ángulo de 90°. Por extensión, dos líneas que se cortan formando ángulo de 90° son perpendiculares, y viceversa: líneas perpendiculares forman ángulos de 90°.

Otro tipo de línea que se mencionó arriba, es la que cae sobre otra, es decir, la interseca o corta, pero no en forma perpendicular, sino inclinada, formando ángulos diferentes del ángulo recto.

Ahora que se han mencionado los ángulos, estudiemos un poco lo relacionado con ellos.

1.1.2 EL ÁNGULO, SUS PARTES Y CLASIFICACIÓN

Puede decirse que el ángulo es la abertura entre dos líneas que se cortan. De acuerdo con ello, un ángulo está compuesto por dos líneas llamadas lados del ángulo y el punto donde se cortan, llamado vértice

Líneas paralelas

Líneas perpendiculares

Vértice

Lado

Lado

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El valor de la abertura entre las líneas, es decir, el ángulo, se puede expresar en el sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos) o en radianes (este sistema se verá cuando se estudie el tema del círculo).

El sistema sexagesimal divide el círculo en 360 partes iguales (grados), cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Así, un ángulo puede expresarse como 46° 25’ 42” (46 grados, 25 minutos y 42 segundos)2

Tomando el ángulo recto como referencia, se tiene que los ángulos pueden ser más abiertos o menos abiertos. Es decir, un ángulo recto mide 90°. Si un ángulo mide un poco menos, como el de la figura anterior, se denomina agudo.

El ángulo agudo es menor que 90°

Si por el contrario, el ángulo mide un poco más de 90° (por poca que sea la diferencia), el ángulo se conoce como obtuso

El ángulo obtuso es mayor que 90°

Existe otro ángulo, formado por dos rayos que se unen en su punto de origen y apuntan en direcciones opuestas. Es el denominado ángulo llano o plano, cuya medida es de 180°.

Los ángulos también pueden ser clasificados por su relación entre sí. Por ejemplo, si dos ángulos comparten uno de los lados y el vértice, se conocen como ángulos consecutivos

2 Existen otros sistemas como los gradientes, que divide la circunferencia en 400 partes, pero es poco utilizado

Ángulo llano o plano

Ángulos y consecutivos

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Cuando la suma de estos ángulos consecutivos es igual a 90°, esto es, forman un ángulo recto, reciben el nombre de complementarios

Si se tienen los ángulos consecutivos pero su suma es 180°, es decir, forman un ángulo llano, se denominan suplementarios

Cuando dos líneas se cortan, forman cuatro ángulos, suplementarios de dos en dos y opuestos por el vértice, también de dos en dos. Estos últimos, opuestos por el vértice (o verticales como también se conocen) tienen medidas iguales (teorema demostrado por Thales, uno de los siete sabios de Grecia3)

Con los conceptos adquiridos hasta el momento, es fácil observar lo que ocurre cuando dos líneas paralelas son intersecadas por una línea llamada secante. Observe que sólo basta con aplicar los conceptos de ángulos adyacentes o

3 www.mat.usach.cl/histmat/html/thal.html

50°

40°

Ángulos complementarios

70°110°

Ángulos suplementarios

A

B’A’

B

Ángulos opuestos por el vértice

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suplementarios, opuestos por el vértice y de líneas paralelas para definir otras relaciones entre ángulos

En la figura se pueden definir fácilmente las relaciones mencionadas, de donde se desprenden las relaciones de correspondencia (ángulos A correspondiente con C por ejemplo), alternos externos (ángulos B y D’), alternos internos (ángulos B’ y D) (se denominan alternos porque están en lados opuestos de la secante, externos porque están por fuera de las paralelas, o internos porque se encuentran dentro de las paralelas)

Los ángulos B y D son correspondientes, es decir, D corresponde al ángulo B desplazado hacia abajo. Al ser paralelas, es semejante a tomar la línea m y ubicarla donde se encuentra n. los ángulos no sufren modificación, es decir, los ángulos correspondientes son iguales. Con el resultado de este análisis, es fácil concluir que los ángulos alternos internos son iguales entre sí, al igual que los alternos externos

Ahora que se tienen los conceptos fundamentales requeridos para el tema de los ángulos, se tiene planteado un taller, cuya solución, lleva al estudiante a repasar y estudiar una serie de conceptos de la aritmética y el álgebra, con lo cual se muestra que, tanto la aritmética como el álgebra, en combinación con la geometría, son herramientas poderosas para la solución de una gran variedad de problemas de nuestra cotidianidad.

Póngase entonces como reto personal, el solucionar dicho taller, y muchos éxitos

EJERCICIOS SOBRE ÁNGULOS 1.1

B

B’

r

DC

D’

A

C’

A

n

m

m//n (m paralela con n) intersecadas por la línea r

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NOTA: Se recomienda al alumno realizar todos los ejercicios siguientes con base en los conceptos expuestos. Para aquellos en los cuales se encuentre alguna dificultad, solicite ayuda del profesor o de alguno de los asesores.

Los siguientes ejercicios están planteados como complemento a los conceptos anteriores. Son ejercicios simples que ayudan a comprender dichos conceptos, a la vez que sirven para mostrar la estrecha relación que existe entre la aritmética y la geometría.

1. La medida de uno de los ángulos consecutivos es tres veces la medida del otro. Si la suma de sus medidas es 124º, encontrar la medida de cada ángulo.

2. La medida de uno de dos ángulos consecutivos excede en 10º a dos veces la medida del otro. Si la suma de sus medidas es 88º, encontrar la medida de cada ángulo.

3. Un ángulo de 75º se divide en dos partes, de tal manera que la medida de una de ellas queda 5º menor que la otra. ¿De qué medidas quedaron los nuevos ángulos?

4. Sabiendo que 1º equivale a 60 minutos y 1 minuto equivale a 60 segundos, expresar los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos.

a. 25,125º b. 89,58ºc. 67,37º d. -257,52º

5. En dos ángulos consecutivos, uno de ellos es tres veces mayor que el otro. Si la suma de ambos es igual a 125º, hallar sus medidas (indique el resultado en grados, y minutos)

6. En la figura siguiente, enumere los ángulos que son agudos, los rectos, los obtusos; indique cuáles son complementarios, cuáles son suplementarios y cuáles son congruentes. Justifique cada caso.

7. La medida de un ángulo equivale a 2/5 de su complemento. Hallar sus medidas.

8. Hallar las medidas de dos ángulos suplementarios, cuya relación es 5/3 (relación cinco a tres)

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9. En la siguiente figura, la medida del ángulo 1 es igual a dos veces la medida del ángulo 2. La suma del ángulo 2, más los ángulos 3 y 4 es 180º, el ángulo 1 es congruente con el ángulo 4, y la medida del ángulo 3 es 30º. Encontrar la medida de los ángulos 1,2 ,4 y 5

10. ¿Cuántos grados tiene un ángulo si su medida equivale a 2/3 de la medida de su complemento?

11. ¿Cuál es la medida de un ángulo cuya medida es 5 veces la medida de su complemento?

12. ¿Cuál es la medida de un ángulo cuya medida es 5 veces la medida de su suplemento?

13. Las rectas “m” y “n” son paralelas (m//n) y “r” es una secante que corta a las anteriores. Determine cuáles de los ángulos formados son: Opuestos por el vértice (verticales), correspondientes, alternos internos, o alternos externos.

14. Si en la figura anterior el ángulo 3 mide 70º. Hallar el valor de todos los ángulos justificando cada caso.

15. Dos ángulos son complementarios y están en relación de 4 a 5, hallar el valor de cada uno de los ellos. (Realice el gráfico)

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16. Datos: m//n 1 = 72° 13 = 6 + 10 + 13=?

17. Si AB // FC // ED FE // AD // BC

Resuelva justificando cada paso:a) Si B = 110°, cuánto mide el COD?b) E + C = ? ¿por qué?c) OFE + ODE =?d) AOF + FED =?

18. Se tiene: m l FOG = 12°

EOB = FOE

¿Cuánto mide el ángulo DOE?

1.2 TRIÁNGULOS

INTRODUCCIÓN

Continuando con una especie de ascenso o de profundización, después de aclarar los conceptos de punto, línea, plano, ángulos, se llega al tema de las figuras cerradas o limitadas por líneas que se cortan. La menor de ellas en cuanto al número de líneas necesarias, es el triángulo.

Observe que, como se dijo al principio del curso, las formas de los elementos de la naturaleza están limitadas por segmentos, que no son más que tramos de líneas con los puntos de inicio y final identificados.

Om

l

A B

CD

E

FG

A B

OF C

ED

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El objeto de la metodología llevada en este libro, es que el estudiante comprenda que un tema no es una isla dentro del mar de conocimientos, sino que cada uno es una continuación del anterior con los complementos necesarios para profundizar, casi de manera imperceptible, en el conocimiento de esta bella rama de las matemáticas. Por tal motivo, el estudiante debe tener un buen dominio de los temas anteriores con el fin de facilitar la comprensión de los conceptos que se tratan en este capítulo.

COMPETENCIA

Identificar los diferentes tipos de triángulos por sus lados y por sus ángulos, comprender los conceptos de área y perímetro y aplicarlos para problemas en contexto



o Relaciona y diferencia los elementos que componen un triángulo.

o Diferencia cada tipo de triángulo por sus lados o por sus ángulos

o Distingue un triángulo rectángulo de los demás

o Comprende el enunciado del teorema de Pitágoras

o Utiliza las funciones trigonométricas y las leyes del seno y del coseno y los

demás conceptos para resolver problemas en contexto

TRIÁNGULOS

CONCEPTO DE TRIÁNGULO TRIÁNGULO RECTÁNGULO

CLASIFICACIÓN

POR SUS LADOS ÁREAS Y PERÍMETROS

POR SUS ÁNGULOS

PITÁGORAS

FUNC. TRIGONOM.

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSLEY DE SENOS

LEY DE COSENOS

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1.2.1 CONCEPTOS BÁSICOS

La palabra triángulo se compone de la partícula TRI que significa TRES y la terminación ÁNGULO, es decir, figura de tres ángulos

Un triángulo está compuesto por tres lados o segmentos unidos entre sí. Cada una de las uniones se denomina vértice, que es a la vez el vértice del ángulo correspondiente.

Un triángulo se especifica con el símbolo de un triángulo pequeño más el nombre de sus tres vértices, así: .

El triángulo ABC está formado por: , , LadosA, B, C Vértices

Ángulos

El triángulo tiene, además de los elementos citados, líneas importantes, algunas de ellas que parten de los vértices, y de acuerdo con la dirección que tomen, reciben un nombre específico:

1.2.1.1 ALTURA (h): línea que parte de uno de los vértices y corta el lado opuesto, o su prolongación, formando un ángulo de 90°.

En realidad, la altura de un triángulo es la distancie entre un vértice y el lado opuesto a éste, y de acuerdo con lo estudiado en la sesión de Geometría Analítica (2.6.3), la distancia entre un punto y una recta es la medida del segmento que parte del punto y cae perpendicular a la línea (ver documento 2).

hB

A

h perpendicular a (

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1.2.1.2 BISECTRIZ: en términos generales, una recta que divide en dos partes iguales a un segmento o a un ángulo, se conoce como bisector o bisectriz. Esto se cumple para los triángulos, donde cualquiera de sus ángulos interiores puede dividirse en dos ángulos iguales por medio de una recta que parte de su vértice.

1.2.1.3 MEDIANA: similar a las anteriores, la mediana es una línea que pasa por un vértice y corta al lado opuesto en dos parte iguales, es decir, lo biseca

1.2.2 ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO. Una propiedad importante de los triángulos es que la suma de los ángulos internos es igual a 180°, lo cual se demuestra fácilmente con la ayuda de los conceptos estudiados en el tema de los ángulos:

Trace por B una línea m // . Se generan los ángulos tales que: Por ángulo llano Alternos internos Alternos internos

m

AB

C

Mediana:

12

Bisectriz:

m

20

Ley transitiva

EJEMPLO 1.1

Si = 32° 15’ = 95° 52’ 30” = ?

SOLUCIÓN: Por sumatoria de ángulos internosPor transposición de

términosSustitución

128°07’30”

Se puede organizar la resta en forma de columna:

= 179° 59’ 60 -128° 07’ 30 51° 52’ 30" R/ 51° 52’ 30°

EJEMPLO 1.2 Realice una gráfica donde , y los ángulos 2 y 3 estén en relación 3:5 (relación tres a cinco), encuentre los valores de los ángulos.

SOLUCIÓN: Por sumatoria de ángulos internosDato dado

= 180° Por sustitución

Ahora: como los ángulos 2 y 3 están en relación 3 a 5 (dato del problema), entonces:

Transposición de términos

y se lee: “ángulo 2 es a ángulo 3 como 3 es a 5. Implica que el ángulo 2 es igual a las tres quintas partes del ángulo 3”.

sustitución

términos semejantes (suma de fracciones)


= 69.23°por sustitución

por sustitución

2

1 3

21

(la gráfica se deja como ejercicio al estudiante)

1.2.3 ÁNGULOS EXTERNOS DE UN TRIÁNGULO

Un ángulo externo de un triángulo es el formado por la prolongación de uno de sus lados con el lado que corta a dicha prolongación. Observemos el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 1.4: Hallar el valor del ángulo 4, externo al triángulo de la figura.

SOLUCIÓN: Sumatoria de ángulos internosPor suplementariosPor sustitución

CONCLUSIÓN: Un ángulo exterior a un triángulo, es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos (no adyacentes).

EJEMPLO 1.5: si el ángulo 4 de la figura anterior es igual a 140°, y , ¿cuál es la medida de cada uno de los ángulos?

SOLUCIÓN DatoDatoSuplementariosTransposición de términosPor sustitución

Como , entonces se tiene:

Sumatoria de ángulos internos¿Por qué?Transposición de términos

= 180° – 2(40) Sustitución = 100°

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Esta es, en realidad, una demostración numérica de la propiedad anunciada; pero si aplicamos la propiedad para resolver el problema, éste se simplifica. Veamos:

Propiedad de ángulo externoPor suplementariosSustituciónDato dado

180° - 40° - 40° De sumatoria de ángulos internos = 100°

R/. = 100° = 40°

EJEMPLO 1.6:

4 = 140°2 = ?

SOLUCIÓN: = 35° Dato4 = 140° Dato3 = 180° - 140° = 40° Por suplementarios2 = 180° - 1 - 3 Por sumatoria ángulos internos2 = 180° - (35 + 40) Por sustitución y ley asociativa de la

suma2 = 105°

EJERCICIOS 1.2

1. Las medidas de los tres ángulos internos de un triángulo se encuentran en relación 2 : 4 : 9. Calcule los valores de los ángulos.

2. 8 = 3n6 = (2/3) 87 = 7n

Hallar “n” y el valor de cada uno de los ángulos.

3. En la figura anterior: grados

grados

¿Cuál será el valor de x?

23

4. En la misma figura: 5 = 120°8 y 7 están en relación 3 : 2.

Encuentre los valores de cada ángulo

5. A = 100°C es 20° menor que B

Calcule el valor de cada ángulo

1.2.4 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

1.2.4.1 DE ACUERDO CON LOS ÁNGULOS

Rectángulo: el que tiene un ángulo recto.

Acutángulo: sus tres ángulos son agudos

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso: el ángulo A es obtuso.

24

1.2.4.2 DE ACUERDO CON LOS LADOS

Equilátero: tiene sus tres lados iguales. Sus tres ángulos internos también son iguales y cada uno mide 60° ¿por qué?

Isósceles: Dos de sus lados son iguales. En la gráfica,

Escaleno: Todos sus lados son desiguales, es decir, tienen longitudes diferentes.

1.2.5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.

En el primer capítulo se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud: = 10 = 10.

es congruente con y se especifica como: .

Esto quiere decir, que si colocamos el segmento sobre el segmento , coinciden exactamente.

También vimos que dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida, esto es, si las aberturas entre sus lados son iguales.

25

Los ángulos de la figura son congruentes.

Como un triángulo está formado por segmentos y ángulos, se puede afirmar que dos triángulos son congruentes si tanto sus lados como sus ángulos correspondientes son iguales entre sí. Así:

En los triángulos ABC y RPQ, los segmentos correspondientes son iguales:

Igualmente los ángulos correspondientes:

A = R, C = Q, B = P

Por lo tanto, puede afirmarse que los triángulos son congruentes

NOTA: Observe que, al nombrar los triángulos, se respeta el orden de la correspondencia entre los vértices y los lados.

Se puede demostrar que dos triángulos son congruentes, si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. Los tres lados del uno son iguales a los lados correspondientes del otro, así:

Entonces: por l l l y se lee:

“El triángulo PQR es congruente con el triángulo ABC por el criterio lado, lado, lado”.

40

Q

R

P

26

Quiere decir que si dos triángulos tienen sus lados correspondientes iguales, sus ángulos correspondientes también son iguales.

Se puede verificar fácilmente construyendo dos triángulos con lados de igual magnitud y superponiéndolos. Puede verse que coinciden todos sus elementos.

2. Si dos lados y el ángulo formado por ellos en un triángulo, son iguales a los lados y al ángulo correspondientes de otro triángulo, éstos son congruentes.

En los triángulos mostrados, P = APor l a l (criterio: lado ángulo lado)

3. Si dos ángulos internos de un triángulo y el lado adyacente a ellos, son iguales a los dos ángulos y al lado correspondientes de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

A = P C = R Por a l a (ángulo lado ángulo)

EJEMPLO 1.7: y bisectriz

Probar que:

SOLUCIÓN. Dato dadoLado común

ABD = CBD Definición de bisectriz

BA

C

Q

R

P

27

Por l a l

NOTA: Con este ejemplo queda demostrado también que en un triángulo isósceles, los ángulos de la base ( A y C en este caso), son iguales.

EJEMPLO 1.8:

se bisecan en OProbar que son congruentes

SOLUCIÓN. Por hipótesisPor hipótesis

AOD = BOC Opuestos por el vérticePor l a lPor congruencia de triángulos

EJEMPLO 1.9:isósceles

Probar que

SOLUCIÓN. Dato dadoPor triángulos isóscelesLado comúnPor l l l

EJEMPLO 1.10:

Probar que:

SOLUCIÓN. Dato dadoDato dado

B = Q Definiciónn de perpendicularesPor a l a

28

1.2.6 TRIÁNGULOS SEMEJANTES

EJERCICIO 1.3:

Trace dos segmentos separados: = 40 = 80 Con el punto A como vértice, trace un ángulo de 30° Traslade este ángulo al punto C (puede ser con la escuadra o cualquier

método que conozca para trasladar ángulos) Por el punto B trace un ángulo de 45° y trasládelo al punto D Mida las longitudes de OA y de PC

Las medidas deben ser tales que = 2 y = 2

En general: “dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales y sus lados correspondientes, proporcionales. Y se representa: Así, en la figura que hemos construido, se tiene, del mismo proceso constructivo:

A = C B = D

por lo tanto: O = P ¿por qué?

Además: Esta misma relación se cumple en los demás lados:

En realidad, hablar de relación, es referirse a la manera cómo dos términos se encuentran el uno respecto del otro. Si a y b son dos términos cualesquiera, se puede decir que “a es b” (o b es a a) y se expresa como una fracción4 o razón

entre dos números:

4 Los números fraccionarios son un subconjunto de los racionales, cuyo nombre deriva precisamente por que constituyen las razones entre los enteros: a/b

29

También suele representarse como. a : b (b : a). en todos los casos, la lectura es la misma.

Cuando se tiene otra razón o relación con la cual igualar la primera, entonces se habla de proporción.

EJEMPLO 1.11: a =10 b = 5

Razones: ,

Proporción:

Se dice entonces que a y b están en proporción 2 a 1, es decir, a es el doble de b. en otras palabras: la división entre el valor de a y el valor de b debe ser siempre igual al resultado de dividir 2 entre 1 (2/1)

La proporción tiene dos términos extremos y dos medios:

a y n son extremos. b y m son medios

EJEMPLO 1.12:

Sea = 8 =2.

Calcular: = ?

SOLUCIÓN. = + = 8 Hipótesis (ver gráfica)

Podemos complementar el ejercicio invirtiendo los términos. Pero este proceso no es arbitrario. Debe seguir las normas de las proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Que en última instancia, es un proceso algebráico sencillo, mediante el cual, un término pasa de un lado al otro en una igualdad, a ejecutar la operación contraria a la que realiza en el lugar de origen, como resultado de multiplicar o dividir por la cantidad adecuada, así: si ambos términos de la igualdad los multiplica por CB, en el lado izquierdo desaparece (o mejor, al dividir CB/CB, nos queda 1 de coeficiente de AC), y al otro lado de la igualdad, queda multiplicando al número 3. Igual proceso se lleva a cabo con el denominador del otro lado de la igualdad, que en este caso es 1: al multiplicar ambos términos por el denominador, éste se cancela al lado derecho y queda multiplicando en el lado izquierdo.

A

C

B

30

Entonces: AC (1) = 3 (CB)

Si aplicamos nuevamente este proceso se tiene:

De la misma manera podemos encontrar otras relaciones y proporciones:

EJEMPLO 1.13: Hallar el valor de X en las siguientes proporciones:

SOLUCIÓN. 5X = 3x4 Producto de extremos igual al producto de medios


SOLUCIÓN. 3(X+ 1) = 2(X+2) Producto de extremos igual al producto de medios

3X + 3 = 2X + 4 Ley transitiva del producto3X-2X = 4-3 Transposición de términosX = 1

Volvamos al tema de los triángulos semejantes:Si , entonces las relaciones posibles son:

0 también: combinando extremos y medios, se tiene:

Es decir, podemos formar cualquier proporción tomando cualquier igualdad, teniendo en cuenta que los extremos siempre sean extremos, y los medios siempre sean medios en la proporción seleccionada.

31

Por ejemplo: en la proporción anterior, será correcto decir que ?

Observe que AC y DB no son lados correspondientes de los triángulos, ni tampoco son lados de un mismo triángulo, por lo tanto, no hay una relación definida entre ellos.

Además, en términos matemáticos, lo que se hace es una transposición de términos siguiendo las normas definidas para ello:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:

EJEMPLO 1.14Desde una torre de 25 metros de altura se tiene un rayo de luz. Un poste ubicado a 30 metros de la base, proyecta una sombra de tres metros de longitud. ¿Cual es la altura del poste?

SOLUCIÓN. En primer lugar, definamos la semejanza de los triángulos ADE y ABC.

B = D ¿Por qué?A = A ¿Por qué?C = E ¿Por qué?

Luego: Por definición de semejanza de triángulos

Por lo tanto: Por definición de semejanza de triángulos

Reemplazando valores

Despejando la incógnita

X = 2.2727 m.

EJEMPLO 1.15: Cómo medir la altura de un poste si uno de los vientos está a seis metros de la base?

32

SOLUCIÓN. A cualquier distancia de A medimos la altura hasta el cable (puede ser con la ayuda de una plomada).

Supóngase que a un metro de A, la altura es de 1.22m. entonces:

= 6 m. = 1m = 1.22m Datos Por qué?

Lados proporcionales de triángulos semejantes

Sustitución

X = (6x1.22)/1 Transposición de términos

R/. X = 7.32 m

EJERCICIO 1.4: escalas: Una estructura triangular cuyos lados miden 1.1, 1.1 y 2 m. respectivamente, debe dibujarse en un formato de tal manera que sus dimensiones estén en relación 1 : 15 respecto a las dimensiones del dibujo; ¿Cuáles son las dimensiones del dibujo?

EJERCICIOS 1.5

1. Puede asegurarse que con tres palillos, sin importar sus dimensiones, se obtiene un triángulo. ¿Es cierta esta afirmación? Argumente su respuesta con base en lo que ha estudiado.

2. Toma tres palillos (puede ser palitos de chuzo, tiras de cartón o cualquier otro tipo de material) de las siguientes dimensiones: siete, diez y doce cm. Une sus extremos formando un triángulo. Responde con base en lo aprendido:

o ¿Se ha formado un triángulo rectángulo? ¿por qué?o ¿Se ha formado un triángulo isósceles? ¿por qué?

o ¿Se ha formado un triángulo escaleno? ¿por qué?

o ¿El triángulo que has formado es equilátero? ¿por qué?

o ¿Puede decirse que el triángulo formado es acutángulo? ¿por qué?

33

o ¿O por el contrario, el triángulo es obtusángulo? ¿por qué?

3. En qué tipo de triángulos coinciden las alturas y las bisectrices? Por qué?

4. ¿Es cierto que, en todo triángulo isósceles, todas las bisectrices coinciden con las medianas? Argumente su respuesta.

5. Demuestre que los triángulos siguientes son semejantes, si se sabe que B = F

6. En la figura anterior (problema 5): = 8 cm. . Hallar

las medidas de los lados de ambos triángulos. (sugerencia: utilice el teorema de Pitágoras o el concepto de semejanza)

7. En cada una de las figuras siguientes, encuentre el valor de x:

8. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en relación 2:5. Encuéntrese los valores de los ángulos.

9. En la figura siguiente: 8 = 5(N) 6 = (3/5) 8 7 = 7(N)

Hallar “N” y el valor de cada uno de los ángulos.

34

10. En la figura anterior (problema 9):

grados

grados

x = ?

11. En la misma figura del problema 9:

5 = 120°8 y 7 están en relación 3 : 2.

Encuentre las medidas de cada ángulo

12. En la figura adjunta:

A = 100° C es 20° menor que BCalcule el valor de cada ángulo

13. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes? ¿Por qué? En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?

14. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema).

15. En la figura siguiente, hallar el valor pedido si:

a. FG = 4 cm FK = 6 cm FM = 12 cm. Hallar FN

F

G K

H L

NM

35

b. En la misma figura: FH = 9 cm FL = 27 cm LN = 12 cm.Hallar: HM

ACTIVIDAD 1.1

Consulta cuáles son los elementos de un triángulo rectángulo y el Teorema de Pitágoras, triángulo 30, 60, 90, triángulo 45, 45 90, y los conceptos de área y perímetro.

Conforme pequeños grupos y construya triángulos rectángulos de diferentes dimensiones, calcule sus área y perímetros.

1.2.7 ÁREAS Y PERÍMETROS

El área de un triángulo puede entenderse como la medida de la superficie interna del plano limitado por los lados del mismo, expresada en unidades cuadradas.

En términos matemáticos, el área es el semi producto de la base por la altura.

teniendo en cuenta que la base puede ser cualquiera de los lados del triángulo, y la altura, la medida del segmento perpendicular trazado a la base elegida (o a su prolongación), desde el vértice opuesto.

EJEMPLO 1.16: Calcular el área de un triángulo cuya base mide 20 y su altura 10

36

SOLUCIÓN. Fórmula general

Sustitución

R/. A = 100

EJEMPLO 1.17: Si el área de un triángulo es 80 cm2 y su base mide 20 cm, hallar su altura.

SOLUCIÓN. Fórmula general



Sustitución

R/. h = 8 cm

EJEMPLO 1.18: están en proporción 2 : 5. = 25 cm. = 8 cm

Hallar las áreas de los triángulos de la figura siguiente.

SOLUCIÓN. Para encontrar las áreas pedidas, es conveniente partir de la fórmula general.

Área del Donde es el segmento AD y h, segmento DE.

Área del Con el segmento AB y el segmento BC.

Por lo tanto, el problema consiste en hallar las longitudes de dichos segmentos, para lo cual recurrimos a los conceptos de semejanza de triángulos y proporcionalidad de los lados correspondientes:

¿Por qué?Hipótesis

Dato dado


37

Sustitución

8 + 20 = 28 cm Sustitución

Proporcionalidad en triángulos semejantes

Producto de medios y extremos


Sustitución

PERÍMETRO (p).

Se conoce como perímetro a la suma de las medidas de los lados de una figura. Por ejemplo: el perímetro de un terreno es la medida que se realiza por la periferia del mismo y es igual a la sumatoria de las diferentes medidas tomadas. En el caso de los triángulos, basta con sumar las longitudes de los tres lados.

EJEMPLO 1.19: Si se tiene

Hallar el valor de los lados

SOLUCIÓN. Definición de perímetroDato dado

Entonces: Por sustituciónTérminos semejantes

Pero: Dato dado

ab

cB

C

A

h

38

Entonces: Sustitución

Luego: ¿Por qué?


Por tanto: Por sustitución

Por sustitución

R/. = 10 b = 10 c = 8

EJEMPLO 1.20: b, c, están en relación 4 : 5 : 6. Si el área A = 120 cm2 y h =10 centímetros, hallar el perímetro.

SOLUCIÓN. Se debe partir siempre de las fórmulas generales:

De la figura, según el concepto que se tiene de altura de un triángulo, la base es el lado c y el valor de su longitud puede hallarse despejando de la ecuación del área.

Ecuación para el área de un triángulo

Sustitución


Sustitución

c = 24 cm

Ahora: como los lados están en relación 4 : 5 : 6, significa que:

39

Por definición de proporciones

Entonces: Transposición de términos

Sustitución

b = 20 cm

cm

Por lo tanto: P = a + b+ c = (16+ 20 + 24 = 60)cm

EJEMPLO 1.21: En un triángulo rectángulo, los lados están en relación 3:4:5. Si el perímetro es de 90 cm, calcular el área del triángulo.

SOLUCIÓN. En la figura, la base es el lado b y la altura el lado .

Por lo tanto, se debe conocer el valor de los lados, para lo cual, se

cuenta con la relación existente entre ellos y la ecuación del perímetro.

Ecuación general para el perímetro

Definición de proporciones


Sustitución

P = 3b ¿Por qué?

Luego: = 22.5c = 37.5 cm

c

b

a

40

De donde:

EJERCICIOS 1.61. es isósceles con

Hallar el área y el perímetro, justificando cada paso.

2.

h mide 20 cm menos que los de la base.

Hallar el área y el perímetro del triángulo ABC.

3.

¿Son congruentes los triángulos AOB y DOC? ¿Por qué? ¿Son semejantes los triángulos AOB y COD? ¿Por qué? ¿Cuál es el perímetro de cada uno de ellos? ¿Cuál es el área de cada uno?

4. En un triángulo isósceles, de perímetro P = 86 m, la base es 10 metros menos que la suma de sus otros dos lados. Hallar el área y la longitud de sus lados.

5. Un triángulo equilátero tiene 96 cm. de perímetro. Hallar el área.

41

6. Un triángulo isósceles (escuadra de 45°) tiene un vaciado en forma triangular semejante al triángulo externo (ver figura). ¿Cuál es el área del triángulo interno?.

7. Un cable de diez metros de longitud se ata a un poste, a de la altura

desde su extremo superior (ver figura). ¿Cuál es la altura del poste y a qué distancia de la base está ubicado el otro extremo del cable?

EJERCICIOS 1.7

1. se bisecan en O

Probar que son iguales

42

2. isósceles Probar que

3. En las figuras siguientes:

Probar que:

4. De acuerdo con la figura adjunta, donde y son alturas del triángulo BAC, y realice los siguientes ejercicios:

o Pruebe que o Pruebe que es isósceles

Sugerencia: trace la línea BF

43

o Pruebe que Sugerencia: trace la línea DE

5. De acuerdo con la figura, probar que , dado que:

6. Dado:

Demostrar que:

7. Se Dispone de una escalera de 2,20 m. de longitud. Se apoya contra una pared a 1,80 m. de altura. ¿A qué distancia de la pared queda situada la base de la escalera?

8. Hallar el valor de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa vale 100 cm.

9- Decide si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si es falsa, escribe un contraejemplo.

a. Todo triángulo equilátero es isóscelesb. Todo triángulo isósceles es equiláteroc. Los triángulos equiláteros son obtusángulosd. En un triángulo equilátero todos los ángulos son agudos y congruentese. Un triángulo isósceles puede ser rectángulo

10. Dibuja (si es posible) un triángulo que cumpla las condiciones dadas en cada literal siguiente.

44

a. Escaleno y rectángulob. Escaleno y obtusánguloc. Equilátero y rectángulod. Isósceles y rectánguloe. Isósceles y equiángulof. Escaleno y acutángulog. Rectángulo y obtusángulo

11. Hallar el área y el perímetro de cada uno de los siguientes triángulos.

12. Si se tiene:

Hallar el valor de los lados

13. La base de un triangulo isósceles mide 20 cm. Y el ángulo opuesto 40º. Encuentra el área del triangulo.

14. Calcula el área de un triángulo equilátero de 6 cm de lado.

15. En el triángulo siguiente, los lados a, b, c, están en relación 4 : 5 : 6. Si el área A = 120 cm2 y h = 10 cm, hallar el perímetro.

45

16. En un triángulo rectángulo, los lados están en relación 3:4:5. Si el perímetro es de 90 cm, calcular el área del triángulo.

17. Una persona de 1,8 m de altura se para en la orilla de un río y su sombra alcanza justamente la otra orilla. ¿Cuál es el ancho del río si el ángulo de depresión de 45°?

18. Encuentre el área y el perímetro para cada uno de los siguientes triángulos

19. Si el área de un triángulo rectángulo es 100 centímetros cuadrados, y uno de los catetos mide 10 cm, hallar el valor del otro cateto y la hipotenusa.

ACTIVIDAD 1.2

Consulta en qué consiste la ley del seno y la ley de los cosenos para la solución de triángulos. Construya, cada grupo de trabajo, triángulos de diferentes dimensiones que no sean rectángulos. En unos, defina las medidas de dos lados y un ángulo y calcule los demás elementos. En otros, defina los tres lados y calcule sus ángulos. Para todos, calcule área y perímetro.

1.2.8 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

46

Resolver un triángulo es encontrar todas sus componentes, a partir de los datos conocidos. Hasta ahora se han resuelto triángulos con las herramientas matemáticas como el teorema de Pitágoras, la sumatoria de ángulos internos, semejanza y congruencia de triángulos, entre otras. A continuación veremos la manera de solucionar cualquier tipo de triángulo, partiendo de los datos conocidos.

EJEMPLO 1.22. Un topógrafo necesita calcular el área de un terreno triangular. Para ello, mide un lado (de A a B) y encuentra que tiene 82.5 metros; luego mide otro lado (de A a C) cuya longitud es de 68 metros; el lado de B a C no lo puede medir a causa de lo cenagoso del terreno, pero encuentra que el ángulo en C es de 55°. ¿Podría colaborarle al topógrafo con el cálculo del área?

SOLUCIÓN. En primer lugar, se hace un esquema del terreno y se ubican las dimensiones conocidas

Para calcular el área, se tiene una posible base (82.5 m.) pero se desconoce la altura.

No se puede aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura porque solamente se conoce la hipotenusa (68 m.)

No se sabe cuánto miden los ángulos en A ni en B

Debemos recurrir a otra herramienta matemática conocida como Ley del seno

La ley del seno relaciona cada uno de los lados de un triángulo con la función seno del ángulo opuesto a éste, así:

Recuérdese que las funciones (o relaciones) trigonométricas, no son más que la relación entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Seno (Sen ) =

Coseno (Cos ) =

A

B

C

h

c=82.5

b=6855°

D

a

A

B

C

H

cateto

cate

to

47

Tangente (Tan ) =

Los catetos se denominan opuesto o adyacente dependiendo del ángulo que se tome, así: el cateto AB es opuesto para el ángulo en C, pero es adyacente para el ángulo en B

La hipotenusa en un triángulo rectángulo siempre es el lado más largo, opuesto al ángulo recto

Con este breve recorderis de los conceptos básicos de la trigonometría, continuemos ayudándole al topógrafo con cálculo del área del terreno.

Para aplicar la ley del seno, debemos asegurarnos de que en la relación que adoptemos, no se tenga más de una incógnita (recuerde que una ecuación con más de una incógnita no tiene solución única)

En la proporción solamente se conoce la magnitud del lado b = 68 los

otros tres términos son desconocidos

En la proporción se conocen b = 68, c = 82.5 y el ángulo C = 55° por

lo tanto, la única incógnita es senB

Por transposición de términos:

Con la ayuda de una calculadora científica se encuentre el valor de la función seno para el ángulo de 55°: (sen(55°)=0,819152)

Por lo tanto: = 0,67517986

Con la ayuda de la misma calculadora, se encuentra el valor del ángulo en grados: = 42.47°

Con los ángulos B y C conocidos, se tiene el valor del ángulo en A:

A = 180 – (55 + 42.47) ¿por qué?

A = 82.53°

Conocido el ángulo en A y la hipotenusa del triángulo ADC, se puede calcular la altura por medio de las relaciones trigonométricas básicas. Para ello, analizamos

48

cada una de las tres posibilidades en busca de una donde sólo nos quede una incógnita, así:

La tangente relaciona los dos catetos y el ángulo. Se desconocen los valores de los catetos (dos incógnitas). No nos sirve para este problema

El coseno relaciona el cateto adyacente y la hipotenusa, con el ángulo. Sirve para hallar el cateto adyacente, pero necesitamos es el cateto opuesto al ángulo (la altura)

El seno, relaciona el cateto opuesto (la altura), la hipotenusa y el ángulo, por tanto, es una sola incógnita. Esta es la relación con la cual podemos hallar la altura del triángulo y poder así calcular el área requerida

Sen =

Sen(A) =

h = 68. Sen(82.53°)h = 67.4 m.

entonces:

= 2780.25 m2

Agradecido el topógrafo por la ayuda brindada, pudo dar inicio a su labor

Veamos ahora un ejemplo para aplicar la ley de cosenos

La ley de los cosenos es una herramienta dicional para resolver triángulos. Cuando no se puede utilizar los modelos matemáticos como el teorema de Pitágoras ni las relaciones trigonométricas por no tratarse de triángulos rectángulos, se recurre, como en el ejemplo anterior, a la ley del seno. Si debido a los datos que se tienen, esta ley tampoco es posible aplicarla, lo más seguro es que la ley de los cosenos nos ayude a calcular las dimensiones buscadas para la figura dada. Veamos el siguiente caso.

EJEMPLO 1.23:Se proyecta la construcción de un túnel a través de una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo se ubica en un punto “C” y mide las distancias hasta los puntos proyectados para la entrada y la salida del túnel, como aparece en la figura. Además mide el ángulo en C. Utilice los datos del topógrafo para hacer un cálculo de la longitud del túnel.

49

SOLUCIÓN: como puede observarse, no se trata de un triángulo rectángulo; por lo tanto, no aplican ni el teorema de Pitágoras ni las relaciones trigonométricas.

Si analizamos la ley del seno, siempre se van a tener dos incógnitas. Por lo tanto, para calcular la longitud del túnel, utilizaremos la ley de los Cosenos:

La ley de los cosenos nos dice: el cuadrado de uno de los lados de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman

En términos de la geometría, esta ley se representa así:

En términos generales, cuando se busca un lado con la ayuda de esta ley, se debe tener en cuenta que el coseno del ángulo a trabajar es el que forman los lados conocidos.

Para el cálculo del túnel, se conocen las longitudes de los lados a y b y el ángulo en C formado por estos; el lado desconocido es c que representa la longitud del túnel, por lo tanto, el modelo queda:

c2 = a2+b2-2ab cosCc2 = (388)2 + (212)2 - 2(388)(212).cos(82.4º) c2= 173 730.2367c= 416.81 pies

De donde el túnel va a tener una longitud de 416.81 pies.

EJERCICIO 1.8

Ab

c

a

C

B

a2 = b2+c2-2bc cosA

50

Para resolver los siguientes ejercicios, tendrás que recurrir a los temas anteriores, con lo cual, estás haciendo un repaso general como preparación para abordar los próximos conceptos.

1. Resolver un triángulo tal que a = 4.5 cm., B=30º y C= 78º.

2. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.

3. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 2.8 m.

4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.

5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.

6. Desde un punto se observa una manzana con un ángulo de 36º, si avanzamos 6 metros hacia ella en línea recta y la observamos de nuevo, el ángulo es de 50º. ¿A qué altura se encuentra la manzana?.

7. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.

8. Un carpintero dispone de una tabla triangular cuyos lados miden: 2m, 1.5 m y 2.1m. Debe construir una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al lado que mide 2m, debe ser 40º. ¿Podrá utilizar el material disponible o necesitará adquirir otra tabla?.

9. Dos personas caminan por un sendero. En un punto el sendero se bifurca formando un ángulo de 38º y las personas se separan. El primero camina a una velocidad de 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿Qué distancia los separa al cabo de media hora?.

10. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observa el pie P de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la distancia desde el pino hasta la orilla donde están A y B, sabiendo que los

ángulos miden A = 42º B = 37º

11. En un triángulo isósceles, de perímetro P = 86 m, la base es 10 metros menos que la suma de sus otros dos lados. Hallar el área y la longitud de sus lados.

12. Un triángulo equilátero tiene 96 cm. de perímetro. Hallar el área.

51

13. es isósceles con = 50 cm

Hallar el área y el perímetro, justificando cada paso.

14.

Si en la figura siguiente la altura h mide 30 cm menos que los de la base.

Hallar el área y el perímetro del triángulo ABC.

15.

¿Son congruentes los triángulos AOB y DOC? ¿Por qué?

¿Son semejantes los triángulos AOB y COD? ¿Por qué?

¿Cuál es el perímetro de cada uno de ellos?

40°O

D

CA

B

52

¿Cuál es el área de cada uno?

16. Encuentre los valores de los ángulos A y B, y la longitud del lado “x”

17. Encuentre todos los elementos faltantes en el triángulo siguiente:

18. Un poste de la energía está inclinado formando un ángulo de 12º con la vertical. Se encuentra sostenido por un cable anclado a 1.5 metros y en el sentido contrario a la inclinación, formando un ángulo de 60º. A qué altura del poste se encuentra el otro extremo del cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

19. Una persona camina tres metros (3 m.) en dirección N 30° E (Norte 30° Este); luego gira hacia el Sur y se desplaza cinco metros. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?

20. Un piloto está volando sobre una carretera recta. Él encuentra que los ángulos de depresión a dos postes indicadores de millas A y B sobre la carretera tienen los valores de 32° y 48° respectivamente. Si los postes están separados 5 millas: oDetermine la distancia del aeroplano al poste A.oDetermine la altitud del aeroplano.

21. Dos remolcadores marítimos que están separados 120 pies, tiran de una barcaza. Si la longitud de uno de los cables es de 212 pies y la del otro es 230 pies, determine cual es el ángulo que forman los dos cables.

22. Un niño está haciendo volar dos cometas simultáneamente. Una de ellas tiene 380 pies de cordón y la otra, 420 pies. Se supone que el ángulo entre los dos cordones es de 30°. Estime la distancia ente las dos cometas.

23. Del techo de un edificio de 50 m de altura se ve un globo con un ángulo de elevación de 20°. De una ventana del mismo edificio situada 20 m bajo el nivel del techo, el ángulo de elevación al globo es de 30°.

A

B

C25º

45cm

x

35cm

B

112cm

28º

b95cm

A

53

Determine la distancia horizontal del edificio al globo. Determine la altura del globo sobre el suelo.

24. ¿Qué ángulo forman los punteros de un reloj cuando marca las 3:30?

1.3. POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

PRESENTACIÓN:

Con este documento guía, como aporte para el estudio y aprendizaje de los conceptos relacionados con los polígonos, se busca que los profesores tengan facilidad de encontrar y aplicar un lenguaje sencillo, homogéneo y con prospección a estrategias didácticas como aporte a la formación del estudiante. Por su parte, el estudiante debe ser consciente de que estos conceptos, que se presenta de una manera elemental, son realmente fundamentales para adquirir las competencias necesarias en este campo, que los lleve a la consecución de los logros en concordancia con su campo de aplicación.

De acuerdo con lo anterior, a continuación se enumeran las competencias que se deben trabajar para estos temas, lo mismo que los indicadores necesarios para evaluar en el estudiante la adquisición de éstas.

Es importante hacer énfasis en el T.I. (trabajo independiente) que debe realizar el estudiante bajo el control del profesor-orientador de la asignatura, con base en consultas, exposiciones, trabajos sustentados entre otros.

COMPETENCIAS:

* Interpretativa: Interpretar modelos geométricos desde su gráfico. Identificar elementos de una gráfica para crear modelos.* Creativa: Aplicar creativamente un algoritmo para resolver un problema. Realizar figuras geométricas desde el contexto estudiado.* Contrastativa: Aplicar algoritmos, para revisar y confrontar con los elementos operados y relacionados.

54



o Relaciona y diferencia los elementos que constituyen un polígono.

o Relaciona y diferencia los elementos que constituyen un círculo.

o Aplica los conceptos de semejanza o congruencia para la comparación

interfigural en la solución de problemas geométricos.

o Calcula perímetros y áreas a través de composición y descomposición de

figuras en el plano.

o Utiliza figuras geométricas para resolver y proponer problemas

o Reconoce elementos de un polígono y de un círculo desde su gráfica.

o Identifica elementos desde su gráfica para crear un modelo.

o Una vez aplicado un algoritmo, puede revisarlo y confrontarlo con los

elementos operados y relacionados.

o Diferencia entre un polígono inscrito y uno circunscrito

o Calcula áreas relacionadas con polígonos inscritos y circunscritos en la

circunferencia

1.3.1 POLÍGONOS

INTRODUCCIÓN

POLÍGONOS CIRCUNFERENCIA

POLIG. INSCRITOS

LADO, RADIO

ÁREAS Y PERÍMETROS

APOTEMA

ÁNGULO CENTRAL

TANGENTE, CUERDA Y ARCO

RADIO Y DIÁMETRO

ÁNGULO CENTRAL

LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA

ÁREA DEL CÍRCULO

55

Es muy importante para el alumno que los conceptos del tema sobre triángulos estén suficientemente claros, dado que los polígonos en general, se pueden subdividir en triángulos, como figuras más simples, para su análisis. El estudiante podrá darse cuenta de que el estudio de los polígonos, como una generalización del tema anterior, no son más que porciones del plano limitadas por líneas que se cortan (o segmentos que se unen en sus extremos), es decir, es poco lo que se tiene de nuevo respecto de los triángulos.

El estudio de los polígonos nos amplía aún más el panorama de la visión de lo que nos rodea. Como se dijo desde el principio, empezamos a ver figuras geométricas por donde quiera que miremos.

Al igual que en los temas anteriores, el estudiante debe realizar los ejercicios propuestos y ampliar sus conceptos a través de la consulta, asistencia a las asesorías y el proponer sus propios ejercicios. Recuerde que esta es parte costitutiva del T.I. (trabajo independiente)

1.3.1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

La palabra polígono está formada por la raíz poli que significa varios y la terminación gono o ángulo. Es decir, varios ángulos. En general, un polígono es una figura plana cerrada, limitada por varios segmentos que se unen entre sí a través de los vértices. De acuerdo con el número de segmentos que compongan al polígono, reciben su respectivo nombre. Los más comunes son: el triángulo, el cuadrilátero, pentágono, hexágono etc. Un polígono se especifica con una raíz que indica el número de lados, así:

En general, las raíces se utilizan para polígonos hasta de diez lados: hepta para siete lados, nona para nueve y deca para diez. Aunque existen raíces para otros números de lados, en general se habla de polígonos de "n" lados.

triángulocuadrilátero pentágono hexágono

octágono

56

Los polígonos pueden ser:

Equiláteros: todos sus lados son iguales

Equiángulos: todos sus ángulos son iguales

Regulares: cumplen las dos condiciones anteriores: tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.

Cuadriláteros: son figuras de cuatro lados, no importa si son iguales.

Paralelogramo: es un cuadrilátero cuyos lados son paralelos de dos en dos.

Cuadrado Rectángulo Paralelogramo Rombo

57

1.3.1.2 ÁREAS Y PERÍMETROS.

De la misma manera que en los triángulos, calcular el área de un polígono es definir la medida de la porción del plano limitado por los lados del polígono. Para ello, la figura geométrica de que se trata (en este caso un polígono), puede dividirse en figuras más simples para facilitar el cálculo de su área. Por ejemplo, si se traza una diagonal a un cuadrado, su área será la suma de las áreas de los dos triángulos resultantes.

El ¿por qué?

Area del cuadrado ABCD = 2

Observe que el cuadrado es un caso particular del rectángulo. Por lo tanto se puede afirmar que:

El área de un rectángulo es igual a la multiplicación de la base por la altura. Es decir, es la multiplicación de los valores numéricos de dos de sus lados perpendiculares. En el cuadrado sería entonces: área del cuadrado es igual al lado al cuadrado (A = a2) puesto que los lados son iguales.

EJERCICIO 1.9

1. Con la ayuda de un compás y una regla, construya un cuadrado de lado l; luego mida y calcule su perímetro; compare resultados y defina causas de error. Calcule su área.

2. Un terreno tiene forma cuadrada de 27 m. de lado; se desea encerrar con 6 hileras de alambre; ¿cuántos metros de alambre se requieren? ¿Cuántos metros cuadrados de tapete son necesarios para cubrirlo? ¿Qué longitud debe tener una tubería que va en diagonal de un extremo a otro?

3. Un terreno rectangular tiene 2800 metros cuadrados de área. Si el largo equivale a los 5/3 del ancho, cuál es el perímetro del mismo?

EJEMPLO 1.24: Hallar el perímetro y el área del paralelogramo de la figura.

b

h1 2

A B

CD

50

40A B

D C

60°

h

E

F

58

SOLUCIÓN. De la figura, podemos observar que el área solicitada es igual a la suma de los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar las alturas, más el área del rectángulo central.

Sabemos que ¿por qué?

Por lo tanto, solamente necesitamos encontrar el área de uno de ellos y multiplicar por dos.

Area del

La figura nos dice que

Debemos conocer la altura del paralelogramo. Para ello recurrimos al teorema de Pitágoras.

Para nuestro caso, H es igual a , a = y b = hNuestro triángulo tiene un ángulo de 30° como dato y uno de 90° formado por la perpendicular, luego el otro ángulo debe ser de 60°. Esto indica que se trata de la

mitad de un triángulo equilátero, por lo tanto, puesto que es la mitad

del lado del equilátero (¿por qué?). Luego: 2 = . Así: como = 10, entonces:

por lo tanto, el área del triángulo AED será:

El área del rectángulo es:

59

Entonces, el área del paralelogramo resulta:

Para el perímetro basta sumar las longitudes de los lados:

P = 2(50)+2(20) P = 140

EJERCICIOS 1.10:

Hallar el área y el perímetro de cada una de las figuras siguientes:

1.

2.

1.3.1.3 POLÍGONOS REGULARES

Los polígonos del ejercicio 4.2 se refieren a polígonos irregulares, de acuerdo con la clasificación que se hizo al inicio del tema. Este tipo de polígonos tiene mucha aplicación en disciplinas como la topografía para calcular áreas de terrenos irregulares, y las ingenierías en general. Ahora, nos ocuparemos de los polígonos regulares, otro tipo de polígonos bastante útil en la práctica de las mismas disciplinas anteriores, cuyo tratamiento puede ser muy similar a los polígonos irregulares, pero que su misma geometría facilita el análisis.

50120°50

75

250

80

90150

30°°

60

Como se dijo en una definición anterior, los polígonos regulares son los que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales, y sus vértices están a igual distancia de un punto central denominado centro del polígono.

La línea que une al centro con un vértice es el radio del polígono. Y la abertura entre dos radios consecutivos y el centro, se conoce como ángulo central cuya medida, para cualquier polígono regular, se puede calcular como:

, con N = número de lados del polígono.

ángulo central.

61

La perpendicular trazada desde el centro del polígono hasta un lado, se denomina apotema.

Para calcular el área de un polígono, se divide en triángulos con vértice común en el centro (ver la figura anterior), se calcula el área de uno de los triángulos y se multiplica por el número de lados.

donde: A = área del polígono

N = número de lados del polígono = lado del polígono = altura del triángulo (apotema)

Al multiplicar la longitud del lado por el número de lados ( ), se obtiene el perímetro del polígono: por lo tanto, el área se puede reescribir como:

donde: P = perímetro.

b = apotema

Además del triángulo equilátero y del cuadrado, ya analizados, veremos otros polígonos comunes:

1.3.1.3.1 HEXÁGONO

Aunque solamente estudiaremos el hexágono, el tratamiento es similar para cualquier polígono regular, partiendo desde el triángulo equilátero en adelante. El triángulo equilátero también tiene sus tres ángulos centrales, sus tres radios (con

62

centro en el ortocentro o punto donde se cruzan las alturas). Igualmente el cuadrado tiene cuatro radios y cuatro ángulos centrales, cuyo vértice es el punto donde se cortan las dos diagonales.

El hexágono por su parte, está formado por seis lados iguales, con una característica especial: el radio es igual al lado.

La afirmación anterior es fácil de deducir si se observa que el ángulo central vale 60° y que los lados del mismo son dos radios del hexágono, por lo tanto son iguales, es decir, se forma un triángulo isósceles, y, como los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (ya demostrado), entonces los ángulos miden cada uno 60°, lo cual nos indica que se trata de un triángulo equilátero. Así, el lado del hexágono es igual al radio del mismo.

Para hallar el área del hexágono, lo dividimos en seis triángulos equiláteros, formados al trazar las diagonales AD, BE Y CF, las cuales se bisecan en el punto "O", por lo tanto, los triángulos son congruentes. El área es entonces la suma de las áreas de los seis triángulos o, como son congruentes, Analicemos el triángulo AOB:

A

B

CD

E

F

O

G

XB

R

A

C

OX = apotemaap

r

A

B C

DE

O

OE: apotema

63

Pitágoras

¿Por qué?

Podemos entonces calcular el área del triángulo:

donde (lado del hexágono)

luego:

El área del hexágono es igual a seis veces el área del triángulo, o sea:

simplificando, hallamos la ecuación general para

calcular el área de un hexágono:

EJEMPLO 1.25:

La base de un kiosco tiene forma hexagonal con 2.5 m. de lado. Se desea saber cuántos metros cuadrados de tapete se requieren para cubrir su superficie y cuánto debe medir una cinta que se coloca a su alrededor.

SOLUCIÓN. La primera pregunta se refiere al área de un hexágono y la segunda a su perímetro. Definamos las variables adecuadas.

Sea P el perímetroA el área del hexágonol la medida del lado

Entonces:

B

A

O

64

R/. Se necesitan 16.2379 m² de tapete y 15 m de cinta.

EJERCICIOS 1.11

1. Un elemento mecánico tiene la forma de la figura adjunta. Hallar el área de la parte maciza y el espesor "e" de los brazos.

2. Una pieza hexagonal tiene una distancia entre caras d = 50 mm. Hallar el perímetro y el área de la pieza. ¿cuál será el radio de la circunferencia circunscrita? (la que pasa por los vértices; ver figura).

3. Un terreno cuya forma es octagonal regular (figura de 8 lados), tiene unas dimensiones como muestra la figura. Hallar su área.

1.3.2 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

INTRODUCCIÓN

100

65

El tema de la circunferencia y el círculo se trata dentro de los polígonos, puesto que existe una estrecha relación entre ellos como se verá a continuación.

Este tema reviste una gran importancia dentro de los estudios de la geometría plana, puesto que son múltiples sus aplicaciones. Son muchos los elementos que nos rodean y que tienen que ver con la circunferencia y con el círculo: las ruedas de todos los sistemas de transporte, el giro de los juegos mecánicos en los parques de diversiones, la velocidad de un motor, la vida útil de los neumáticos de un vehículo o de un rodamiento, entre muchas otras.

La aprehensión que se logre de los conceptos por parte del estudiante, al igual que en los temas anteriores, está en relación directa del entusiasmo que se le ponga a cada uno de los ítems tratados, y del trabajo independiente que realice cada uno.

1.3.2.1 CONCEPTOS GENERALES

En nuestro hablar común, nos referimos indiferentemente a un círculo o a una circunferencia como sinónimos, pero en términos geométricos, sí existe diferencia entre ellos. La circunferencia hace referencia a una línea curva cerrada cuyos puntos se encuentran equidistantes de un punto central; mientras que el círculo se refiere al conjunto de infinitos puntos que se encuentran en el plano limitado por la circunferencia.

Algunas líneas relacionadas con el círculo y la circunferencia son:

TANGENTE (tg.). línea que toca a la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio que parte de ese punto.

RADIO (R). mientras en el pológono es la línea que une el centro con un vértice, en la circunferencia es la línea que une el centro con un punto de la misma.

DIÁMETRO (D). Es la línea que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es equivalente a dos radios.

66

Esta relación es de las más importantes entre las que tienen que ver con el círculo y la circunferencia.

SECANTE. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos. El diámetro es un caso particular de la secante.

Otras líneas y partes importantes son:

CUERDA. Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La diferencia con la secante es que la cuerda une dos puntos, es decir, es un segmento, mientras que la secante corta a la circunferencia.

ARCO. (Arc. AB). Es el tramo de circunferencia comprendido entre dos radios consecutivos. Si se hace referencia al arco mayor que la media circunferencia, se debe especificar con una tercera letra.

ÁNGULO CENTRAL. Se conoce como ángulo central al espacio entre dos radios.

D = 2(R)

Arco ACB

67

La medida del ángulo central, determina la medida del arco subtendido por él, dada en grados: Arc AB =

Arc ACB = 360 -

ÁNGULO INSCRITO. Es el ángulo formado por dos rayos (cuerdas o secantes) que se unen en un punto sobre la circunferencia.

es un ángulo inscrito

Puede demostrarse fácilmente que la medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados y medido en grados. Así:

Tracemos el diámetro AD y el radio OB (figura siguiente). Se forma el triángulo AOB y el ángulo BOD externo al mismo. Se tiene entonces:

B

A

O

Ángulocentral

Arco

Radio

Ángulo central:

68

Porque el ángulo externo de un triángulo es igual a a suma de los ángulos internos diferentes a su suplemento.

Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles. Por sustitución.


Por definición de ángulo central.

Propiedad transitiva de la igualdad.

De la misma manera se puede demostrar que .

ahora: Por sustitución.

Por lo tanto: Por sustitución.

De lo anterior resulta una conclusión bastante interesante: todo ángulo inscrito en un semi círculo es un ángulo recto.

Los ángulos ACD, AED, ABD, son rectos.

1.3.2.2 CONGRUENCIA.

Dos arcos son congruentes si tienen la misma medida Dos círculos son congruentes si tienen radios de igual magnitud

NOTA: Existe una serie de teoremas interesantes relacionados con el círculo y las líneas. Como el objetivo del presente documento es el de servir de apoyo al

R 1RO O'

porque

69

aprendizaje, se remite al usuario a los libros de geometría y en especial al titulado precisamente GEOMETRÍA de la serie AWLI, de CLEMENS (ver bibliografía), donde se encuentran bastantes teoremas claramente demostrados e ilustrados con ejemplos, además de los ejercicios respectivos.

1.3.2.3 AREA DEL CÍRCULO Y LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA

Se ha definido la circunferencia como una línea curva cerrada; como línea que es, la única dimensión que tiene es la longitud.

Para obtener claridad en el concepto, tome un objeto de forma circular (un disco, una rueda, el borde de un pocillo o de un tarro de galletas etc.), rodéelo con un hilo no resortado y luego, mida la longitud de la cuerda o hilo utilizado; obtiene así la medida de la longitud de la circunferencia.

A modo de ejercicio, tome la medida de diversas circunferencias, y a la vez, mida su diámetro. Divida luego el valor de la longitud de la circunferencia entre la medida del diámetro de cada uno y observe los resultados.

Este procedimiento lo utilizaron los griegos unos 600 año a.C.; fueron los pitagóricos quienes más se ocuparon de esta propiedad que sin duda Ud. acaba de descubrir. Haciendo mediciones y operaciones similares a las suyas, los griegos descubrieron que la división siempre daba un resultado muy cercano al tres; resolvieron entonces que la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una constante a la cual denominaron " ".

70

. O sea que, en términos geométricos, no es un número, ni una simple

letra del alfabeto griego: es en realidad un símbolo adoptado para representar una relación, y su valor es aproximadamente: = 3.1415...

Si se conoce el diámetro de un círculo, es muy fácil calcular la longitud de la circunferencia:

donde es la longitud de la circunferencia es el diámetro del círculo.

Téngase en cuenta que la longitud de la circunferencia se entiende también como el espacio recorrido por un círculo o rueda en una vuelta o revolución.

EJEMPLO 1.26: cuánto espacio recorre en una vuelta completa, una rueda de un vehículo que tiene 35 cm de radio?

SOLUCIÓN: como el recorrido de una rueda equivale a la longitud de su circunferencia, basta con calcular dicha longitud

sustituyendo el valor del radio queda:

L = 219,91 cm.

Por lo tanto, la rueda avanza 219.91 cm. en una vuelta completa

EJEMPLO 1.27: ¿Cuántas vueltas debe dar una rueda cuyo diámetro es 10 cm. para recorrer un espacio de un metro?

SOLUCIÓN. Del enunciado del problema se deduce que, en última instancia, lo que se requiere es saber cuántas veces cabe en un metro la longitud de la circunferencia

donde N es el número de vueltas pedido

e el espacio a recorrer

o también: = 3.183 vueltas

Para el área del círculo, recordemos que el área de un polígono es igual a 1/2 del perímetro (suma de los lados) multiplicado por la apotema. Si se toma un número de lados cada vez mayor, puede observarse que los lados del polígono se reducen más y más y la apotema se aumenta; para un número infinito de lados, cada lado se considera un punto, y la apotema es igual al radio del polígono; es decir, el

71

perímetro se confunde con la longitud de la circunferencia, por lo tanto, puede calcularse el área del círculo así:

que equivale a decir: el área del círculo es igual a un medio

de su perímetro (longitud de circunferencia) multiplicado por su radio (1/2 del perímetro del polígono de infinitos lados por su apotema). Pero como D = 2r entonces:

o también:¿por qué?

Veamos ahora algunas aplicaciones de los conceptos de área y longitud de la circunferencia:

EJEMPLO 1.28: Una rueda de bicicleta tiene 40 cm. de radio; hallar el área del círculo.

SOLUCIÓN. Ecuación para el áreaSustitución

Cuando se requiere un valor exacto del área se deja indicado en función de . Si se admite un valor aproximado, se efectúa la operación con el valor aceptado de 3.1416 (mejor aún, trabajar con los decimales que brinda la calculadora).

EJEMPLO 1.29: Para recorrer una pista de 500 m., una rueda de bicicleta debe dar 200 vueltas. Hallar el área del círculo de la rueda.

SOLUCIÓN. Para resolver problemas de geometría, es recomendable, por claridad, hacer un dibujo que esquematice el enunciado.

Se sabe que el área del círculo se calcula con la expresión: , por lo tanto es necesario conocer el radio de la rueda.

500

R

72

Dice el enunciado del problema que la rueda gira 200 veces para hacer el recorrido, lo que significa que la longitud de la circunferencia (lo que recorre en una vuelta), cabe 200 veces en los 500 m., por lo tanto, de la fórmula de recorrido (ver problema similar anterior) se tiene:

con N = número de vueltas

e = espacio recorrido de donde:

¿por qué?

o lo que es lo mismo: ¿por qué?

Ya se puede calcular el área del círculo

A = 0.4973 m2. = 4973 cm2.

El área pedida tiene un valor de 4973 cm2.

EJERCICIOS 1.12

1. Llene los espacios en blanco:

Área círculo Diámetro Long. circunferencia18

12058

120010

126.28

77314.16

62.8

2. Un automóvil debe avanzar a 60 Km/hr durante 3.5 horas para llegar a cierta ciudad. Si una de las ruedas cuyo radio es de 30 cm. aguanta máximo 110.000 revoluciones, ¿cuánta vida le queda en revoluciones o cuántas revoluciones le faltaron para llegar?

73

3. En un parque infantil, un carrusel tiene un diámetro de 6 m. ¿Qué distancia en línea recta habrá recorrido un niño después de dar 15 vueltas?

4. Una bicicleta tiene una rueda mayor que la otra: a). Si la rueda más grande gira 200 revoluciones para recorrer 500 m., ¿cuál es el área de su círculo? b) si el diámetro de la menor es 4/5 del diámetro de la mayor, ¿cuántas vueltas debe dar? ¿cuál es el área y la longitud de su circunferencia?

1.3.3 POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS

Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia, cuando sus vértices son puntos de la misma. Recíprocamente, se dice que la circunferencia está circunscrita al polígono. Este polígono puede ser tanto regular como irregular.

Se puede entonces calcular cualquier dimensión requerida, teniendo en cuenta que el radio de la circunferencia es igual al radio del polígono regular, y otra serie de parámetros que se deducen de los conceptos analizados.

EJEMPLO 1.30: Hallar el lado y la apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 15.

SOLUCIÓN: el radio del círculo es igual al del hexágono, y éste es igual al lado; por lo tanto, si entonces

Para la apotema:

Circun.circunscrita

Polígono inscrito

Ejemplos de polígonos inscritos

74

¿por qué?¿por qué?¿por qué?teorema de Pitágorastransposición de términossustitución y despeje de variable

12.99

EJEMPLO 1.31: Hallar el radio de la circunferencia circunscrita y el lado “s” de un triángulo equilátero cuya apotema es igual a .

SOLUCIÓN: (analice cada paso y su justificación, teniendo como referencia la figura y los datos dados).El triángulo es un triángulo isósceles, puesto que los lados AO y OB son iguales por ser radios de la misma circunferencia.

Además: ¿por qué?¿por qué?definición de triángulo 30, 60, 90

= R sustitución

Para el lado del triángulo:

AB = 2 (AX) de la figuraPitágoras

pero . definición de triángulo 30, 60, 90Sustitución

términos semejantessustitución

EJEMPLO 1.32: (realícelo usted) Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita en un triángulo equilátero de lado 12.

s

75

EJERCICIOS 1.13

POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

1. Encuentre el área y el perímetro de un pentágono regular cuya apotema mide 12 cm.

2. Un polígono regular de 14 lados mide 7cm. en su diagonal mayor. Calcule su área y su perímetro

3. Calcule el área y el perímetro del polígono de la figura siguiente

4. Calcule el área y el perímetro de la figura siguiente: Nota: ángulos opuestos iguales, lados opuestos iguales

5. Un triángulo equilátero tiene una apotema de 50 cm. calcule el área y el perímetro

6. Con un alambre de 100 mm. de longitud se construye un heptágono regular. ¿podrá construirse con el mismo alambre, un pentágono regular que tenga la misma área del heptágono? Si falta o sobra material, ¿cuál es la medida del alambre sobrante o faltante?

7. Se tiene una cinta alrededor de un cuadrado cuya diagonal mide 80 cm. se quiere utilizar esa cinta para decorar los bordes de pequeñas figuras hexagonales cuya apotema mide cinco cm (ap = 5 cm). ¿Cuántas figuritas se pueden decorar con esta cinta?

25

40

95°115°

80

200

80°

80

76

8. Un heptágono de 4900 cm2 de área, construido con alambre, se desarma. Con este mismo material se construyen 15 anillos iguales. ¿Con qué área queda cada uno de los anillos?

9. El piso de un depósito tiene forma circular. Se requiere cubrirlo con un material plástico. Si para forrar sus bordes se necesitaron 62.83 metros de cinta, cuántos metros cuadrados de material plástico se requieren para forrarlo?

10.Encuentre el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado l5 cm.

11.Un rectángulo de 10m. por 15m. está inscrito en una circunferencia. ¿Cuál es el área de la región del círculo por fuera del rectángulo?

12.En un círculo de radio 10 está inscrito un triángulo equilátero. Hallar el área de la región circular limitada por un lado del triángulo y el arco correspondiente.

13.En un cuadrado, el perímetro es P = 60 m. hallar las áreas, tanto del círculo circunscrito como del círculo inscrito.

14.¿Cuántos anillos de área 1000 mm2 salen de un trozo de alambre de 0.9 m. de longitud?

15.De un alambre cuya longitud es igual a la diagonal de una mesa rectangular, se construyen diez anillos de radio 10 cm. cada uno. Si la

mesa tiene su lado , hallar el perímetro de la mesa.

16.Con un alambre de ocho metros de longitud, se desea construir un aro con un hexágono inscrito. Hallar el área del círculo y la apotema del hexágono

17.Alrededor de una cancha de fútbol de 80 X 100 m, hay una pista de atletismo, con los extremos semicirculares. ¿Cuántos metros recorre el primer atleta si su trayectoria se separa 50 cm. del borde de la cancha? ¿cuál es el recorrido de cada uno de los otros cinco atletas si la distancia entre los carriles de la pista es de un metro?

18.En un salón cuadrado de lado 5 m. se desea instalar baldosas hexagonales de radio 18 cm. ¿cuántas baldosas enteras (sin partir) se pueden instalar?

19. Un hexágono de área 100 m2 se desea circunscribir a un círculo. ¿cuál es la longitud de su circunferencia y su área?

20.La rueda de un vehículo tiene un área de 7500 cm2 en su círculo lateral. Si el ancho de la rueda es de 16 cm, ¿cuál será el área de la huella que deja esta rueda al avanzar 15 vueltas sobre piso blando?

21.Rolando el artesano, dispone de 2.45 m. de alambre de plata para construir 8 figuras pentagonales de área 245 mm2. cada una. Con el material sobrante, debe construir diez círculos iguales. ¿Con qué área queda cada círculo?

22.Un niño está jugando con dos aros soltándolos a la vez por una calle inclinada. Uno de ellos tiene un área de 1200 cm2 mientras que el otro tiene cinco centímetros menos que el primero en la longitud de su circunferencia. Cuando el primero recorre 150 metros, ¿cuántas vueltas le falta al segundo para recorrer la misma distancia?

77

23.Una piscina rectangular está cruzada por un alambre sobre su diagonal. De este alambre se pueden construir veinte aros, cada uno con 3600 cm2 de área, quedando un remanente de 1.2 m. Si el ancho de la piscina equivale a los 5/7 del largo, ¿qué área tiene la piscina?

24.Una rueda avanza 94 cm. en tres vueltas. Si se colocan 15 ruedas de las mismas, una a continuación de otra formando una fila, ¿podrán caber en un espacio de metro y medio?

2. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

SÓLIDOS: ÁREAS Y VOLÚMENES

PRESENTACIÓN:

Hasta el momento se ha hablado del punto, de la línea como sucesión de puntos, el ángulo como abertura entre líneas que se cortan, el plano como sucesión infinita de puntos, con dos dimensiones, y de las formas que pueden tomar los segmentos para limitar dichos planos, es decir, de los polígonos y círculos. Puede verse entonces que nos hemos limitado a la geometría plana, la geometría netamente euclidiana.

Después de haber estudiado todo lo anterior, volvemos la vista a nuestro alrededor y, como se dijo anteriormente, observamos que estamos rodeados de figuras geométricas de toda clase. Pero también observamos que no todo es plano, sino que los cuerpos tienen una dimensión adicional: una altura, una profundidad, un espesor, en fin, es otra clase de figuras conformadas o delimitadas por las ya analizadas. Las vamos a denominar elementos tridimensionales o simplemente sólidos.

COMPETENCIAS:

*Interpretativa: Representar en el lenguaje gráfico (geométrico) los enunciados

presentados en lenguaje natural. Determinar la variación en el volumen de un sólido al modificar sus

dimensiones o áreas. Interpretar sólidos geométricos desde su gráfico. Identificar elementos de

una gráfica para crear modelos.

*Propositiva:

Identificar y modificar modelos matemáticos para comparar sólidos que tengan el mismo volumen o la misma área.

Aplicar creativamente un algoritmo para resolver un problema. Realizar figuras geométricas desde el contexto estudiado.

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*Argumentativa:

Aplicar algoritmos, para revisar y confrontar con los elementos operados y relacionados.

Usar los conceptos sobre sólidos geométricos para definir la veracidad de afirmaciones planteadas.

RED DE CONCEPTOS


Es importante hacer énfasis en el T.I (trabajo independiente) que debe realizar el estudiante bajo el control del profesor-orientador de la asignatura, con base en consultas, exposiciones, trabajos sustentados entre otros.

o Diferencia un poliedro de un sólido de revolucióno Relaciona y diferencia los elementos que constituyen un poliedro y un

sólido de revolución.

SÓLIDOS

POLIEDROS DE REVOLUCIÓN

PRISMA

CILINDRO CONO ESFERAREGULARES

IRREGULARES

TRIANGULARES

RECTANGULARES

HEXAGONALES

PIRÁMIDE

RECTOS OBLICUOSRECTOS

OBLICUOS

REGULARES

IRREGULARES

RECTA

OBLICUA

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o Aplica los conceptos de área y volumen para la comparación interfigural en la solución de problemas de la geometría espacial.

o Calcula volúmenes y áreas a través de composición y descomposición de figuras en el plano y el espacio.

o Utiliza los sólidos para resolver y proponer problemaso Reconoce elementos de un sólido desde su gráfica.o Una vez aplicado un algoritmo, puede revisarlo y confrontarlo con los

elementos operados y relacionados en su gráfica.

INTRODUCCIÓN

El estudio de la geometría del espacio que conlleva a los sólidos geométricos, ha motivado a los matemáticos desde mucho tiempo atrás. Los egipcios construyeron en 1.600 a. de C. las pirámides mas antiguas del mundo. Antes que ellos, los Babilonios habían desarrollado una fórmula para calcular el volumen de la pirámide. Los griegos en los siglos III y IV a. de C. estudiaron los sólidos desde el punto de vista matemático y algunos de ellos lo aplicaron en el campo filosófico, como Platón, quien tuvo oportunidad de hacer comparaciones con algunos sólidos como el hexaedro regular (cubo), dodecaedro (de caras pentagonales). Más adelante, en el siglo XVII, el astrónomo Keppler planteó teorías similares: se atrevió a decir que el número de planetas podía estar en conexión con el número de sólidos, teoría que más tarde fue refutada al descubrirse nuevos planetas y poder realizar nuevos cálculos más precisos relacionados con las órbitas.

Muchas figuras de las que se suele trabajar en geometría del espacio, estamos acostumbrados a verlas todo el tiempo (piedras, plantas, animales…), figuras irregulares que intuitivamente las asimilamos sin hacer muchas veces comparaciones entre ellas, pero otras, como libros, cajas, balones, construcciones y cuerpos de diferentes tamaños que pueden ser descritas en términos geométricos. En la química y en la física encontramos a nivel molecular la configuración tridimensional de sustancias que pueden desempeñar papeles importantísimos, como los átomos de carbono, que cuando se unen formando un tetraedro constituyen el diamante, pero si los átomos de carbono forman cadenas planas de anillos hexagonales, resulta el grafito, sustancia totalmente opuesta a la anterior en cuanto a su dureza, siendo esta última una de las mas suaves que existen en el universo, tanto que puede usarse como lubricante a pesar de estar compuesta del mismo elemento del anterior y teniendo en cuenta que se diferencian sólo en su configuración geométrica.

A diferencia de las figuras planas que solamente se pueden observar y palpar pues es imposible tomarlas en la mano, un sólido o elemento tridimensional, es todo aquello que vemos, que tocamos y utilizamos: un adobe, una hoja de papel, un lápiz, un pozo, un edificio, una piedra, una pieza de máquina, etc. Una hoja de afeitar, aunque es muy delgada, no es un plano. Es un sólido compuesto por seis planos como mínimo. Puede observarse entonces que las formas son muy variadas. En este apartado nos ocuparemos del estudio de los sólidos con formas

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fundamentales o regulares; las demás, pueden ser descompuestas en formas simples para su análisis.

2.1 POLIEDROS

En la definición 12.1 del libro de Geometría de Clemens (ver bibliografía), dice lo siguiente: Un poliedro está formado por un número finito de regiones poligonales. Cada arista de una región es la arista de exactamente otra región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice.

En otras palabras, nos está diciendo es que un poliedro está formado por una serie de polígonos, regulares o no, que se intersecan. Es decir, cada cara de un poliedro es un polígono, y la distribución de éstos, definen la forma del mismo.

2.1.1 PRISMA.

Es un sólido formado por polígonos, dos de ellos llamados bases, y las demás, caras. Las bases son dos polígonos congruentes y paralelos, mientras que las caras laterales son rectángulos (ver figura página siguiente).

2.1.1.1 TIPOS. Los prismas se clasifican de acuerdo con el ángulo que formen los lados con las bases: pueden ser prismas rectos u oblicuos.

En la gráfica se pueden apreciar los tipos de prismas según el ángulo entre las caras y las bases. Además, se desprende otra clasificación: los prismas reciben el nombre de acuerdo con el polígono de la base, así: prisma triangular, rectangular, cuadrado, pentagonal…

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2.1.1.2 ALTURA DEL PRISMA. En general, es la distancia entre las dos bases. Por lo tanto, en un prisma recto, es igual a la medida de la arista lateral.

NOTA: En esta parte del curso, trataremos solamente con prismas rectos.

2.1.1.3 AREA DEL PRISMA. En muchas oportunidades se presenta la necesidad de saber cuánto mide el área de un prisma. Por ejemplo, cuando se requiere calcular la cantidad de pintura para un depósito de forma hexagonal como el de la figura.

Es aquí donde empieza a cobrar importancia todo el conjunto de conocimientos adquirido hasta ahora. Observe que para saber cuánta pintura se necesita, basta sumar las áreas de cada una de las caras del prisma: los seis rectángulos laterales y los dos hexágonos de las bases.

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Podemos entonces concluir algo importante: El área de un prisma es igual al área lateral más el área de las bases.

Para el problema que nos ocupa, el área lateral es la suma de seis rectángulos con = 10 y h = 12.

= 720 m2

RECUERDE: el área de un rectángulo es igual al producto de la medida del lado mayor por la medida del lado menor.

Para el área de las bases, se debe recurrir a la fórmula para el área de un

hexágono deducida anteriormente: donde es el lado del

hexágono. Por tanto:

= 150

El área de las bases es entonces: 2 (150 ) = 300 = 519.6152Luego el área requerida es:

R/. A = 1239.62 m2

Sin importar la forma del polígono de la base, el área total siempre será calculada de la misma manera. Observe que el área lateral siempre es la sumatoria de las áreas de los rectángulos laterales. Además, la base del rectángulo es igual al lado del polígono, y la altura del rectángulo es igual a la arista del prisma. Por tanto:

donde: n es el número de lados del polígono es el lado del polígono de la base

h es la altura del prisma

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Como n. es igual al perímetro del polígono, se puede calcular el área lateral de otra manera:

EJEMPLO 2.1: La base de un prisma recto es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 21cm. y su altura es el doble de la altura de la base. Hallar el área total del prisma.

S/n. Ecuación general

Debemos calcular el área lateral y el área de la base.

Para el área lateral se tiene:

= P.h Ecuación para el área lateral de un prisma en función de su perímetro.

= (21) (2H) Luego debemos encontrar H en primer lugar.

En el capítulo sobre triángulos, se demostró que para un triángulo equilátero, la altura es igual a la mitad del lado multiplicado por la raíz cuadrada de tres.

H = 32

a

De la ecuación del perímetro de un triángulo equilátero se tiene:

P = 3 luego: = = = 7

Entonces: H =

= (perímetro de la base).(h) = P.h

H = 6.062 cm

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Ya podemos encontrar el área lateral.

para el área de la base triangular se tiene:

Ahora se tiene todo para calcular el área total pedida.

2.1.1.4 VOLUMEN DEL PRISMA. Problemas similares como el planteado para el área, se presentan también en el volumen. Por ejemplo: un fabricante de velas necesita saber cuánto material se gasta para construir una vela de base rectangular con altura de 25 cm, si necesita que el lado menor de la base sea igual a tres cuartas partes del lado mayor, y éste debe medir máximo 20 cm.

Hablar del volumen de un objeto, es referirse a la cantidad de masa que tiene dicho elemento, o también, cuando se trata de un recipiente, la capacidad interna que tiene. Veamos cómo se entiende el volumen de un cuerpo.

Tómese un rectángulo de 6 x 5 como muestra la figura. Su área es de 30 unidades cuadradas. Si a este plano se le da un espesor de una unidad para que sea un objeto tridimensional, se habla entonces del volumen, en este caso:

= (21)(2)(6.062) = 254.61 cm .

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30x1 = 30 unidades cúbicas. Si a esta especie de plaqueta se le coloca otra similar encima, el cuerpo resultante tendrá un volumen de 30 x 2 unidades cúbicas.

En la figura se tienen cuatro plaquetas similares. Al superponerlas, se tiene un cuerpo prismático de base rectangular, cuyo volumen es de 30 x 4 unidades cúbicas.

Observe que para definir el volumen en cada caso, estamos tomando el área de la base y la multiplicamos por la altura correspondiente.

En general: El volumen de un prisma (o depósito prismático), se calcula multiplicando el área del polígono de la base, por la altura del prisma.

En el problema inicial del fabricante de velas, se tiene un caso similar.

SUGERENCIAS:

Realice siempre un dibujo que le esquematice el problema. Luego, analice los datos disponibles Clasifique o deduzca las ecuaciones que relacionen los datos conocidos, con

las incógnitas

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Partiendo de una ecuación general, la que lo debe llevar a encontrar la respuesta final, usted se da cuenta de las incógnitas intermedias que necesita despejar previamente.

Ecuación general del volumen de un prisma. Se tiene la altura pero falta el área de la base

= a x b Ecuación del área de un rectángulo = (20)y Sustitución

Pero: y = Dato dado

= (20)(15) Sustitución = 300 cm2

Ahora podemos calcular el volumen

=

El fabricante necesita de material para fabricar la vela requerida.

Es importante hacer énfasis en el tipo de unidades que se utilizan en cada caso:

Para longitudes, alturas, desplazamientos, profundidades, perímetros, etc., unidades lineales

Para áreas o superficies, unidades cuadradas (o elevadas al cuadrado) Para volúmenes, cantidades de masa, capacidad, unidades cúbicas

EJEMPLO 2.2: Se necesita almacenar 400 litros de agua, para lo cual se dispone de un depósito con base hexagonal, cuya distancia entre caras es de 100 cm. ¿Cuál debe ser la altura mínima del recipiente?

S/n. Ante todo, se debe conocer la equivalencia entre las medidas de volumen. El litro es una unidad de volumen que equivale a un decímetro cúbico ( ).

Razonamiento. Se conoce el volumen pero se necesita el área de la base y la altura del prisma.

Ecuación para el volumen del prismaTransposición de términos

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Para encontrar el área de la base se tiene la distancia entre caras, que es igual a dos veces la apotema del hexágono.

ap = 50 Hipótesis

De la figura: PitágorasPero R = a El radio de un hexágono es igual a

su lado.Luego: Sustitución

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

Calculemos el área de la base:

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Sustitución

se puede ahora calcular la altura pedida:

R/. La altura del recipiente debe ser de 46.19 cm.

Los ejemplos analizados sirven como modelo para el tratamiento de problemas similares. Algunos se nos presentan con datos e incógnitas diferentes, otros, donde se deben combinar varios modelos matemáticos para su resolución como es el caso de un recipiente cuyas paredes tienen un espesor definido y se requiere conocer tanto el volumen del material como la capacidad del recipiente. Sin embargo, la forma de solucionarlos es siempre la misma: análisis del enunciado, selección de ecuaciones, despeje de variables.

EJERCICIOS 2.1

1. Encuentre el volumen del sólido que representa la figura adjunta.

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2. Exprese el volumen del prisma de la figura siguiente, en función de H.

3. Para almacenar 20 de agua, se tienen dos depósitos prismáticos: Uno de base cuadrada con área = 4 y la altura del depósito igual a la diagonal de su base. Otro depósito de base hexagonal de lado del lado del cuadrado del primer depósito. Hallar la altura del depósito hexagonal, para que ambos queden llenos.

4. En un depósito prismático de base triangular con características como muestra

la figura, se almacena un fluido que llega hasta de la altura. Si el área

lateral del depósito en su interior es de 60 , ¿cuánto volumen de fluido se tiene y cuánto volumen queda disponible?

5. Se necesita saber el volumen de material requerido para construir un estanque prismático de base rectangular con capacidad para 100 , con el lado menor de la base igual a 4 m y su altura igual al lado mayor del rectángulo de la base, si sus paredes tienen espesor de 60 cm y el piso de 80 cm. ¿Cuántos metros cuadrados de pintura se necesitan para pintarlo externa e internamente incluyendo el piso?

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2.1.2 LA PIRÁMIDE es un sólido formado por caras triangulares que se unen en un punto llamado vértice o cúspide de la pirámide, y una base poligonal. Si este polígono es regular y las aristas de la pirámide son congruentes, se denomina pirámide regular.

2.1.2.1 ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE

ALTURA DE LA PIRÁMIDE (h). Se conoce como altura de la pirámide a la medida de la perpendicular trazada desde el vértice hasta la base.

ALTURA LATERAL (l ). Es la altura de los triángulos de las caras laterales. En una pirámide regular, todas las alturas laterales son iguales.

ARISTAS LATERALES (d). Líneas que se forman por la intersección de las caras entre sí.

ARISTAS DE LA BASE (a, b). Son los lados del polígono de la base.

2.1.2.2 ÁREA DE LA PIRÁMIDE. Igual que en el prisma, el área de una pirámide es la suma de las áreas de las caras. Por lo tanto, tiene también:

AREA LATERAL ( ) o sea la suma de las áreas de los triángulos de los lados

ÁREA TOTAL ( ) la suma del área lateral más el área del polígono de la base.

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EJEMPLO 2.3: Hallar el área lateral y total de una pirámide regular de base cuadrada de lado 50, cuya altura es 75.

S/n. En primer lugar, hagamos un dibujo según el enunciado, donde se vacíe la mayor cantidad de información posible, tanto de datos como de variables desconocidas.

Luego, tomamos las ecuaciones generales:

con el área del polígono de la base

En este caso, el área de la base es muy simple, pues se trata de un cuadrado:

= (50)*(50) = 2500

Para el área lateral basta encontrar el área de uno de los triángulos y multiplicar por cuatro en este caso.

con n número de lados de la pirámide

α la arista de la base o sea la base del triángulol la altura lateral (altura del triángulo)

Conocemos la base α pero nos falta l.

Obsérvese que l es la hipotenusa del triángulo rectángulo QOP del cual se conoce el cateto OQ (la altura de la pirámide): h = 75. Además se conoce el otro cateto OP (la apotema del polígono base, que en un cuadrado es igual a la mitad del lado): α/2 = 25. Por lo tanto:

l = ¿Por qué?l = 79.4

O

P

Q

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Se puede ahora calcular el área lateral de la pirámide:

Ecuación para el área de la pirámide

Sustitución

Para el área total, basta sumar las dos áreas encontradas:

= 2500 + 7940

= 10440

Si analiza un poco la ecuación dada para el área total, seguramente se dará cuenta que, como en el caso de los prismas, el área lateral está relacionada con el perímetro de la base.

¿Por qué?

IMPORTANTE:

Es muy común, en este tipo de cálculo, asumir erróneamente que la altura lateral (o altura inclinada) es igual a la mitad de la base. Pero recuerde que esta propiedad, aplica únicamente para el triángulo 30, 60 90.

El cálculo del área de cualquier pirámide es igual en todos los casos; basta tener en cuenta que la base es un polígono cuya área se calcula como se vio en el capítulo correspondiente, y que las caras laterales son triángulos generalmente isósceles.

EJERCICIOS 2.2

1. Encuentre el área total de una pirámide de base cuadrada de lado a = 8, cuya altura lateral l = 10.2. Una pirámide cuya base es un hexágono regular de lado a = 5 cm, tiene una arista lateral d = 8 cm. Calcule el área lateral y el área total.

2.1.2.3 VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

= 7940

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La ecuación que se plantea, nos dice que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con su misma base y altura. La demostración de esta fórmula está por fuera de los objetivos de este texto, pero puede remitirse al libro Modern Geometry, Structure and Method (ver bibliografía), donde puede apreciarse una demostración con figuras en acetato bastante ilustrativas.

EJEMPLO 2.4: Encontrar el volumen de la pirámide mostrada en la figura.

S/n. Se sabe que la base es un cuadrado de lado igual a 50 y que la altura de la pirámide es de 75. Por lo tanto:

V = 62500

EJEMPLO 2.5: Se tiene de material fundido para construir una pirámide regular de base triangular. Si el triángulo de la base tiene 1m. de lado, ¿cuál será la altura de la pirámide?

S/n. Inicialmente dibujemos la figura y partamos de la ecuación general.

Volumen de pirámide


O

P

Q

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Para el área de la base, se necesita la altura H del triángulo de la base

Altura de un triángulo equilátero.

Área del triángulo base.

Por lo tanto:

Ahora se puede calcular la altura requerida:

= 6.93 m.

R/. La altura de la pirámide es de 6.93 metros

NOTA: En general, la aplicación de los modelos matemáticos para resolver problemas relacionados con pirámides, es simple. La posible dificultad, radica en calcular las variables intermedias, que generalmente remiten al estudiante a los temas de la geometría plana y al repaso del álgebra en algunos casos.

EJERCICIOS 2.3

1. Una pirámide de base hexagonal, tiene 20 cm de radio en la base. Si la altura es igual a la apotema del hexágono, calcule el área total y el volumen de la pirámide.

2. El contenido de un tanque piramidal de base triangular (triángulo equilátero), cuyo radio es 25 cm, y área total de 3500 , se desea cambiar a otro tanque piramidal de base cuadrada. Si ambos depósitos tienen la misma altura h, ¿cuál debe ser el lado del cuadrado de la base?

3. Hallar el área lateral y total de una pirámide cuya base es un rectángulo de área igual a 400 , cuyos lados están en relación 3 : 2, y su altura h es igual a 20 cm.

4. El volumen de un recipiente piramidal de base hexagonal es dos litros (V = 2 li). Si la altura es igual al doble de la apotema del hexágono, calcule el área total de dicho recipiente.

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5. La base de una pirámide es un cuadrado de lado 20cm. Si las aristas laterales son de 25cm de longitud, hallar el área total y el volumen de la pirámide.

6. El contenido de un recipiente prismático triangular de 10cm de arista en la base y altura igual a 1.5 veces la altura del triángulo de la base, se deposita en otro recipiente piramidal de base cuadrada de 10cm de lado y altura 18cm.

¿Qué volumen queda disponible en el recipiente piramidal, en litros?

2.2. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Se denominan sólidos de revolución a aquellos cuerpos o figuras geométricas que pueden generarse a partir del giro de otro elemento alrededor de un eje.

El cilindro, el cono y la esfera, son los sólidos de revolución más representativos.

2.2.1 EL CILINDRO

Es un sólido de revolución que puede ser generado al hacer girar un rectángulo alrededor de una de sus aristas. En este caso, recibe el nombre de cilindro Recto y el eje de rotación es perpendicular a las bases. Si el eje de rotación no es perpendicular a las bases, el cilindro se denomina oblicuo.

Un cilindro está formado entonces por dos superficies congruentes y paralelas que son las bases, y una superficie lateral contenida entre ellas.

La altura del cilindro es la distancia entre las bases.

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2.2.1.1 AREA LATERAL ( ). Es la medida de la superficie lateral. Para su cálculo, es necesario tener en cuenta que, al “extender” el cilindro, se genera un rectángulo con el largo igual a la longitud de la circunferencia de la base, y altura igual a la del cilindro, por lo tanto, el área lateral de un cilindro es igual al área del rectángulo, así:

Para el área total, basta sumarle al área lateral, las áreas de las dos bases.

EJEMPLO 2.6: Un cilindro tiene 10 cm de radio en la base y una altura de 15cm. hallar el área lateral y el área total.

S/n.

= 942.48 cm2

Para el área de la base:Ecuación para el área de un círculo

Sustitución

RL 2

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2.2.1.2 VOLUMEN DEL CILINDRO

El volumen de un cilindro (la cantidad de masa o material que lo compone, o la capacidad de almacenamiento si se trata de un recipiente), se calcula fácilmente, pues basta calcular el área del círculo de la base y multiplicar por la altura del cilindro.

Observe la similitud con el área de un prisma regular ( ). Esto se explica al recordar que un círculo puede tomarse como un polígono con un número infinito de lados (ver capítulo sobre círculos).

En la práctica, es común la necesidad de conocer el área lateral de un tanque cilíndrico en su parte interna para saber cuántos metros cuadrados de pintura se requieren para su recubrimiento, puede ser incluyendo o no la tapa superior. A la vez, se necesita el dato sobre cuántos metros cúbicos (o litros) de un determinado material se puede almacenar en él, conociendo la medida externa de la circunferencia, el espesor de la pared y su altura.

EJEMPLO 2.7: Para el caso planteado, supóngase que exteriormente el tanque mide 20 m., el espesor de la pared es de 10 cm. y la altura es de 5m. Hallar el área interna sin tapa y la capacidad en metros cúbicos.

S/n. De acuerdo con los datos del problema, se puede calcular en primer lugar, cualquiera de las variables. Podemos empezar por el cálculo del área interna, para lo cual, se dispone del radio de la base y la altura.

Observe que la altura h = 4.9 m., y para el radio, se tiene la longitud de la circunferencia externa y el espesor de la pared.

Ecuación para la longitud de la circunferencia


R = 3.183m Radio del círculo externo.

= 3.183 – 0.1 = 3.083 Radio del círculo interior

Para el área:Área interna sin tapa

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Ecuación para el área lateralSustitución

= 9.49 m

=

= = 29.86 m2

A = 9.49 + 29.86 A = 39.35 m2

Para el volumen:

V = (29.86 m2 )*(4.9m) = 146.314 m3

EJERCICIOS 2.4

1. Un recipiente cilíndrico tiene un área lateral de 400 cm2. Si su altura es igual al diámetro de la base, hallar su volumen.

2. En un vaso cilíndrico cuya base tiene un área de 50 cm2 se ha vertido medio litro de leche. Si la altura del vaso es de 10 cm, ¿qué volumen queda disponible en el vaso?

3. Se desea fabricar un jarro de arcilla de 5 cm de radio externo en la base, altura externa de 8 cm y espesor de 0.6 cm. ¿Cuántos centímetros cúbicos de arcilla se necesitan? ¿Cuál es la capacidad del jarro en centímetros cúbicos?

4. Un pozo tiene una profundidad de 6.5 metros. Si el agua está a 1.5 metros del borde hacia abajo, y la medida de la circunferencia a la entrada tiene 3.14 m., ¿Cuánta cantidad de agua tiene? Cuántos metros cuadrados de pintura se requieren para recubrirlo interiormente?

5. ¿Podrá almacenarse el contenido de un cilindro de 20cm de radio y 10cm de altura en otro de 10cm de radio en la base y 20cm de altura? ¿Cuál es mayor?. Analice el resultado.

6. Una jeringa tiene 0.8cm de diámetro. Si se tienen 3 centímetros cúbicos de agua destilada, ¿qué altura tiene la columna de agua?

2.2.2 CONO

PARTES DEL CONO

O: Vérticeh: AlturaR: Radio de la baseg: Generatriz

R

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Cuando se hace girar un triángulo (una escuadra por ejemplo) alrededor de uno de sus lados, se genera un cono como el de la figura. Igual ocurre al girar un objeto atado al extremo de una cuerda. Es una figura formada por una base circular y un número de infinitas líneas que se unen en un punto común llamado Vértice del cono. (el número de líneas es infinito, porque a cada punto de la circunferencia le corresponde una de ellas, y ya sabemos que el número de puntos en un segmento es infinito).

La línea que va generando la superficie cónica (la hipotenusa del triángulo, o la cuerda que se hace girar), se denomina precisamente generatriz del cono (g) llamada también altura inclinada del cono. Es entonces la línea que une al vértice con un punto de la circunferencia de la base.

La distancia perpendicular entre el vértice y la base es la altura del cono (h).

2.2.2.1 ÁREA DEL CONO

Tómese como referencia la pirámide cuya área lateral es donde P es el

perímetro del polígono de la base y l la altura de la cara lateral; recuérdese además que si el polígono tiene infinitos lados se convierte en un círculo. Se puede entonces concluir que el área lateral de un cono es:

con: c: longitud de la circunferencia de la

baseg: generatriz o altura inclinada.

Es fácil ahora observar que el área total del cono es simplemente la suma del área lateral con el área de la base. Es decir:

o también: ¿Por qué?

Observe que los modelos o fórmulas matemáticas desarrolladas para el cálculo del área en un cono, tienen las mismas estructuras que aquellas para el área de una pirámide. Es precisamente este tipo de detalles los que se deben tener en cuenta si se quiere evitar el memorizar una fórmula para cada caso particular.

EJEMPLO 2.8: Una pieza cónica tiene un radio de 10cm en su base y una altura de 12cm. ¿cuál es el área total?

S/n. Analicemos las ecuaciones básicas

R

100

Para el área de la base no hay inconvenientes, pero, para el área lateral, se necesita conocer la altura lateral g.

Para calcular g, en cualquier parte del cono se tiene un triángulo rectángulo (recuerde que el cono se puede generar al hacer girar una escuadra).

Sea el triángulo OPQ donde OP y PQ son los catetos (h y R), y OQ la hipotenusa (g). se conocen h y R, por lo tanto se puede encontrar g.

Por PitágorasPitágoras

Sustitucióng = 15.62 cmPor lo tanto, el área total es:

R/: 804.88 cm2

EJEMPLO 2.9: Se necesita conocer la cantidad de papel en metros cuadrados requeridos para forrar un silo en forma de cono invertido, que tiene un diámetro de cuatro metros en su base y una altura de 3.5 metros (supóngase el cono completo)

SOLUCIÓN. El dibujo siguiente esquematiza el problema. Para hallar el área lateral del cono (sin tapa) basta encontrar el valor de g.

Del teorema de Pitágoras se tiene que: (ver problema anterior)con R = D/2

g = 4.03 Entonces, el área requerida es:

R/. = 50.66 m2

101

2.2.2.2 VOLUMEN DEL CONO

Un cono no es más que una pirámide con un número infinito de caras: el perímetro de la base de la pirámide corresponde a la longitud de la circunferencia de la base del cono: la altura lateral de la pirámide, corresponde a la altura inclinada del cono. Por lo tanto, el modelo para calcular el volumen de un cono es el mismo que el de la pirámide.

EJEMPLO 2.10: Calcular el volumen del cono de la figura siguiente, cuya generatriz mide 30cm y su base tiene 65cm de circunferencia.

S/n.

Se necesitan el área de la base y la altura.Para el área de la base necesita el Radio, el cual se puede calcular puesto que se conoce el perímetro.

P = 2 R R = R = R = 10.35cm

Para la altura, se tiene la generatriz, que es la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son la altura y el radio del cono.

Pitágoras¿Por qué?¿Por qué?

h = 28.16 cm

Ahora se puede calcular el volumen

R

102

V = R/. V = 3158.94 cm3

EJEMPLO 2.11: Un barquillo de helado contiene 56 centímetros cúbicos de helado. Si la base tiene 5cm de diámetro, ¿cuál es la profundidad del barquillo?

S/n. Ecuación para el volumen del cono


Sustitución

R/. h = 8.56cm

EJERCICIOS 2.5

1. Calcular el área y el volumen de cada uno de los conos siguientes:

2. Un montículo de tierra tiene forma cónica con 3 metros de circunferencia en la base y 80 centímetros de altura inclinada (g). Hallar el área lateral y el volumen.

3. ¿Cuántos milímetros cúbicos de carbón hay en una punta de un lápiz de 5mm de diámetro y 15mm de longitud?

103

4. Encuentre el área total, tanto externa como interna, la capacidad de almacenamiento y el volumen de material necesario para construir el elemento siguiente:

2.2.3 LA ESFERA.

Al mencionar la esfera, nos estamos refiriendo a la curva perfecta por excelencia. Los antiguos griegos, principalmente los pitagóricos, la tenían como ejemplo de la perfección. Por ello, consideraban que el universo era esférico al igual que la tierra, puesto que eran cosas hechas por Dios que es perfecto, luego lo que hace también lo es.

Al hacer girar un círculo sobre su eje, se genera una esfera (tome una moneda y póngala a girar sobre una mesa). Con esta forma se encuentran balones, canicas, recipientes, cúpulas de edificios, tanques para agua entre otros. Una de las esferas más perfectas es la burbuja de jabón.

A modo de definición, puede decirse que la superficie esférica es un conjunto infinito de puntos en el espacio, todos a una misma distancia de un punto central (o). Esta distancia desde el centro hasta un punto de la superficie, es el radio de la esfera ®. Observe que R puede estar en cualquier dirección en el espacio.

2.2.3.1 ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA

104

La ecuación para calcular el área de una esfera se demuestra por medio de un proceso de cálculo que se escapa a los intereses de este texto, pero nos muestra que basta conocer el radio para obtener el área de la esfera.

La derivación de la ecuación para el volumen, se presenta aquí, dado el interés geométrico que ofrece, puesto que está relacionada con la pirámide (ver Modern Geometry).

Tómese un balón de fútbol. Cada uno de los “cascos” es un polígono. Si se une cada uno de los vértices de los polígonos con el centro del balón se obtiene una serie de pirámides. Como se sabe, el volumen de la pirámide es:

con h igual al radio del balón.

El volumen aproximado del balón sería entonces la suma de los volúmenes de

todas las pirámides obtenidas:

Donde es el área de cada uno de los polígonos.

Se dice del volumen aproximado porque la superficie del polígono no es plana, por lo tanto, la altura de la pirámide es un poco menor que el radio del balón. Pero, si se hacen los polígonos cada vez más pequeños, llega el momento en que es un punto, y la altura de la pirámide es igual al radio de la esfera.

Ahora, al sumar todas las áreas de los polígonos se obtiene el área de la esfera:

Por lo tanto:

105

o lo que es lo mismo:

EJEMPLO 2.12: Hallar el área y el volumen de una esfera de radio 10 cm

S/n. En este caso, basta aplicar las ecuaciones correspondientes

= 400

=

NOTA: Recuerde que si se requiere exactitud en el resultado, es mejor dejarlo en términos de , pero si se admite una aproximación, entonces se efectúa la operación.

EJEMPLO 2.13: Un recipiente semiesférico tiene un radio de 20cm. ¿Cuál es el área superficial y la capacidad de almacenamiento?

S/n. Siempre se debe hacer un dibujo que nos ilustre el problema.

Ecuación para el área

¿Por qué?

Sustitución

106

A = 2513.27 cm2

Ecuación para el volumen de la esfera

¿Por qué?

Observe que, por tratarse de un recipiente semiesférico (semi significa mitad), tanto el área como el volumen de la esfera se dividen por dos.

EJERCICIOS 2.6

1. El meridiano (línea imaginaria de la tierra que pasa por los polos), tiene aproximadamente 40.000 kilómetros de longitud. Suponiendo la tierra perfectamente esférica, calcule la superficie y el volumen.

2. Para construir un globo aerostático se emplearon 120 metros cuadrados de lona. ¿Con qué volumen quedó el globo?.

3. Una esfera tiene numéricamente iguales su volumen y su área. ¿Cuál es el radio?.

4. Un balín (bola de rodamiento o balinera) tiene 15 milímetros de diámetro. ¿Cuánto acero se ha invertido para fabricar 100 000 unidades?.

5. Una canica tiene un área exterior de 300 milímetros cuadrados. ¿Cuánto espacio lineal ocupan 15 canicas colocadas una a continuación de la otra?.

6. Se dispone de un metro cúbico ( ) de arcilla para fabricar diez esferas macizas. ¿Con qué área superficial queda cada esfera?

PROBLEMAS COMBINADOS SOBRE SÓLIDOS

1. El estuche para guardar bolas de tenis es cilíndrico. Si la capacidad del estuche es exactamente para tres bolas de 60 mm de diámetro, ¿cuánto volumen queda libre?.

2. Una cápsula de un fármaco tiene la forma de la figura. Hallar el volumen almacenado

107

3. La cúpula de un edificio tiene la forma mostrada en la figura. Si el espesor es constante de 25cm, ¿cuántos metros de pintura se requieren para pintarlo internamente?. ¿Qué volumen de material se ha invertido en su construcción?

4. El contenido de un recipiente cónico cuya altura lateral es un medio de la longitud de la circunferencia de su base, la cual tiene un área de 30 centímetros cuadrados, se vierte en otro cilíndrico de igual altura, pero el

líquido sólo llega hasta tres cuartos de la altura del cilindro ( ). ¿Cuál

es el área de la base y el volumen del recipiente cilíndrico?.

5. Un depósito piramidal de base hexagonal, cuya apotema en la base mide 4cm ( ), tiene el mismo volumen que la suma de uno cilíndrico de altura

igual a tres medios del diámetro de la base ( ), y otro cónico con una

generatriz igual a tres medios del diámetro de su propia base ( ). Si el

área lateral del cono es igual a 75cm2, y además los volúmenes del cilindro y del cono son iguales, hallar:

2.4m

108

a) El volumen del conob) El área total del cilindroc) El área total de la pirámide hexagonal.

6. Se tiene un metro cúbico de material fundido para construir 50 elementos piramidales regulares de base triangular. Si el triángulo de la base tiene 50 centímetros de lado, ¿de qué altura quedan las pirámides?.

7. El contenido de dos tanques llenos, uno piramidal de base cuadrada y otro cónico, cuyos volúmenes están en relación 3 : 2, se va a depositar en un único tanque cilíndrico cuya altura es igual a la longitud de la circunferencia de la base. Si el área lateral del cilindro es de 10 metros cuadrados, hallar:

a) El volumen mínimo del tanque cilíndricob) El área total del tanque piramidal si su altura es h = 3c) El área total del tanque cónico si su altura h = 3

109

3. GEOMETRÍA VECTORIALVECTORES Y SUS APLICACIONES

PRESENTACIÓN:

Se introduce en esta parte del curso, un concepto que es fundamental en el estudio de la física: vectores. Se trata de comprender el concepto visto desde la geometría, tanto para su representación como para efectuar operaciones con ellos, la cual es una práctica común en física.

El estudiante podrá darse cuenta, a través del lenguaje simple que se utiliza en este texto, que buena parte de lo estudiado en la geometría plana, principalmente lo relacionado con triángulos y ángulos en general, son herramientas fundamentales para comprender los conceptos y las operaciones que ahora se presentan. Dichos conceptos, se convierten en la base de otras disciplinas o ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal y la geometría vectorial, y de estudios de ingeniería en general.

Al igual que en los temas anteriores, el trabajo independiente sigue siendo uno de los caminos básicos para lograr una buena asimilación de los conceptos. Es en él donde el estudiante descubre no solamente sus fortalezas, sino sus debilidades; y si estas debilidades se detectan con tiempo, se pueden obviar y sentir la tranquilidad que proporciona el saber

COMPETENCIAS:


presentados en lenguaje natural. Interpretar la información presente en un gráfico que contenga vectores

*Propositiva:

Identificar y modificar modelos matemáticos para realizar operaciones con vectores

Aplicar creativamente un algoritmo para resolver un problema.

*Argumentativa:


110

Usar los conceptos sobre vectores para definir la veracidad de afirmaciones planteadas.

RED DE CONCEPTOS

INDICADORES DE LOGROS

Interpreta claramente el concepto de vector Diferencia las cantidades vectoriales de las escalares Explica claramente el concepto de inverso de un vector Comprende la diferencia de vectores como una suma de un vector por el

inverso de otro Realiza operaciones con vectores combinando métodos geométricos y

algebraicos Interpreta gráficamente un enunciado vectorial dado en lenguaje natural Traduce correctamente la información que suministra un gráfico con

vectores

VECTORES

DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DESCRIPCIÓN ALGEBRÁICA

OPERACIONES

LEY DE SENOS

SUMA VECTORIAL

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

MÉTODO DEL TRIÁNGULO

LEY DEL COSENO

PRODUCTO POR ESCALAR

111

INTRODUCCIÓN

En aplicaciones de las matemáticas hay ciertas cantidades que se determinan por completo mediante su magnitud; por ejemplo, longitud, masa, área, temperatura y energía. Se habla de una longitud de 5 m o de una masa de 3 kg; sólo se necesita un número para describir cada una de ellas y que quede claro a lo que se está refiriendo. Esas cantidades se conocen como escalares.

Por otro lado, para describir el desplazamiento de un objeto se requiere dos números: La magnitud y la dirección del desplazamiento. Si una persona le dice a otra, mañana estaré a diez kilómetros de acá; puedes ir a buscarme; al día siguiente, la otra persona estará desubicada, pues no sabe hacia donde se debe desplazar para encontrar a la primera. En este caso, sólo se tiene la magnitud o cantidad de desplazamiento. Pero si la información es: mañana estaré a diez kilómetros al Nordeste, entonces se conoce la distancia y la dirección en la cual se puede encontrar. Esta información dada en estos términos, se conoce como vector.

Igual situación se presenta cuando se quiere describir la velocidad de un objeto en movimiento: se deben especificar tanto la rapidez como la dirección del recorrido. Decir que un avión vuela a 350 Km/h, no nos dice nada de su destino; se debe adicionar la dirección del desplazamiento para que quede configurada correctamente la información, es decir, se debe hablar en términos de vectores.

Las cantidades mencionadas como desplazamiento y velocidad, además de la aceleración y la fuerza, que implican magnitud y también dirección, se llaman cantidades dirigidas. Una forma de representarlas matemáticamente, es utilizando vectores.

3.1 DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE VECTORES

Un vector en el plano se representa por un segmento de recta que tiene una dirección asignada. Como puede verse en la figura 1, es una flecha que especifica

la dirección. Ese vector se escribe . El punto A es el punto inicial, y B es el

punto Terminal del vector . La longitud del segmento de recta se llama

magnitud, o longitud del vector, y se representa por . Para representar los

vectores también usaremos letras negritas, por ejemplo, escribiremos u = ..

u = Figura 1

BA

112

El vector geométrico, como segmento de recta que es, también puede tener su vector congruente. Pero, a diferencia de los segmentos congruentes, no es suficiente con que tengan la misma magnitud; necesitan tener la misma dirección, en otras palabras, que ambos representen la misma cantidad física con la misma dirección. Así, dos vectores son iguales cuando representan dos desplazamientos de igual magnitud y en la misma dirección. Por ejemplo, los vectores de la figura 2 pueden representar desplazamientos de 200 cm. en la dirección Norte 30° Este (N 30° E) aplicado a objetos en lugares distintos en el plano.

3.1.1 SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

Si al desplazamiento v = sigue el desplazamiento u = , entonces el

desplazamiento resultante es , como se ve en la figura 3.

En otras palabras, el desplazamiento único representado por el vector tiene el

mismo efecto que los otros dos desplazamientos juntos. Al vector se le llama

suma de los vectores y lo cual se expresa en la forma:

= + . (El vector cero, que se representa con 0 no indica desplazamiento

alguno).

Figura 2

C

A B

U+V V

U

Figura3

113

El procedimiento es similar al que se efectúa al sumar números naturales sobre la recta numérica. Recuerde que para sumar 3 + 2, se toman tres unidades desde el origen de coordenadas o punto de referencia (0) y, donde terminan las tres unidades (punto tres), se inicia la ubicación de las otras dos. Es decir, si se tiene un segmento de tres y otro de dos unidades, y se ubica el segundo donde termina el primero, se tiene un segmento de cinco unidades medido desde el inicio del primero hasta el final del segundo.

Lo expresado en el párrafo anterior se simplifica diciendo que, para sumar dos vectores, el segundo se ubica donde termina el primero, y el resultado es otro vector que se inicia en el origen del primero y termina en el final del segundo, y la dirección del vector resultante es el ángulo que forma con el eje positivo de las “X” (ver figura 3). Este método se conoce como el método del triángulo

EJEMPLO 3.1. Se tienen los vectores u = 5 con un ángulo de 15° respecto del eje positivo de las “X”, y el vector v = 4 con un ángulo de 100° respecto del mismo eje. Calcular el vector resultante

S/n: ubiquemos los dos vectores en el plano cartesiano

Cuando se trabaja con una escala apropiada, es decir, cada vector representa realmente la dimensión dada, se puede medir con un instrumento adecuado la magnitud del vector resultante, obteniendo un valor bastante aproximado al valor real. Sin embargo, para obtener resultados más exactos, se debe proceder con la ayuda del álgebra, así:

Después de ubicar los vectores u y v como muestra la figura, se debe definir el valor del ángulo formado por ellos. Tracemos la línea m paralela al eje X. con ella, se puede visualizar fácilmente que el ángulo pedido es P = 95° (aplique los conceptos de ángulos alternos internos y de ángulos correspondientes. Ver tema sobre ángulos)

Conocido el ángulo que forman los dos vectores, se puede aplicar la ley del coseno para calcular la resultante:

u+v

u

v

v

Α= 15°

Β=100°

Q

P

A

Figura 4

114

(u + v)2 = u2 + v2 – 2(u)(v)cosθ

donde θ es el ángulo P formado por los dos vectores conocidos: θ = 95°

reemplazando, nos queda:

(u + v)2 = (4)2 + (5)2 – 2(4)(5)cos(95°)

Para calcular la dirección del vector resultante, se puede aprovechar la ley de senos, así:

Por lo tanto: El ángulo QAP =

QAP = 36.89°

La dirección del vector resultante es igual a la suma del ángulo QAP + 15° (ver figura 4). Por lo tanto, la dirección de u + v = 51.89° que es el ángulo que forma con el eje positivo de X

Para determinar la suma de los vectores u y v se puede también trazar u y v comenzando en el mismo punto, luego trazar los mismos vectores en los extremos de los primeros, formando un paralelogramo. Así, u + v es el vector que resulta de trazar la diagonal del paralelogramo como se ve en la figura 5.

Observe que este método es, en esencia, el mismo del triángulo, aunque en algunos casos, favorece el trazado de los vectores.

El concepto de diferencia es el mismo que se conoce para los números reales; recordemos que una resta, no es más que la suma de un real con el inverso aditivo de otro: 15 - 7 = 15 + (-7). Así, (-7) es el inverso aditivo de (7)

V

UU+V

figura 5

u + v = 6.67

115

En el caso de los vectores el procedimiento es similar. Debe tenerse en cuenta que el inverso de un vector, es otro vector que tiene la misma magnitud y dirección del primero, pero apunta en sentido contrario. En la figura 6, u’ es el vector inverso de u. y v’ es el inverso de v.

EJERCICIO 3.1

Para cada uno de los pares de vectores siguientes, encuentre la magnitud y la dirección del vector suma de cada pareja.

1. u = 20 con ángulo 105° v = 12 con ángulo 25°2. f = 132 con ángulo 80° t = 65 con ángulo (-10°)3. a = 45 con ángulo 140° b = 15 con ángulo 5°4. x = 60 con ángulo 12° y = 18 con ángulo 20°5. m = 3.5 con ángulo 95° n = 4 con ángulo 8°

Con los vectores anteriores, realice las siguientes operaciones

6. u – v7. a – t8. m + y – b9. f – x – v10. t – n + a

3.1.2 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Si tomamos un número real a y un vector v se puede definir un nuevo vector como resultado de multiplicar este número a (escalar) por el vector V. el nuevo vector av tiene la magnitud /a/ /v/, y tiene la misma dirección de v si a > 0, o tiene la dirección opuesta a v si a < 0. Si a = 0 entonces av = 0 es el vector cero. A este proceso se le llama la multiplicación de un vector por un escalar y su efecto es encoger o alargar el vector. A continuación se muestra el vector av para diferentes valores de a. (figura 7)

(1)V (-1)V(2)V

(-2)V(0.5)V

(-0.5)V

Figura 7

uu’

vv’

Figura 6

116

EJEMPLO 3.2. Se tiene el vector u = 3 cm con un ángulo de 45°. Se tiene también el escalar a = 2. Calcular el vector resultante de multiplicar a(u)

S/n: el vector resultante tiene magnitud igual al producto entre 2 y 3, es decir, seis centímetros, con la misma dirección de u (45°) (ver figura 8)

EJERCICIO 3.2

Calcule y grafique los vectores resultantes de las operaciones entre los vectores dados y el escalar k:

1. m = 2, (30°) k = (-1)2. m = 5, (110°) k = -1/23. m = 1.5, (60°) k = 24. m = 3/2, (15°) k = 2/35. m = 1.4, (30°) k = -0.7

3.2 DESCRIPCIÓN ALGEBRAICA DE VECTORES

Después de describir los vectores en forma geométrica, nos apoyamos en el álgebra para describir los vectores usando coordenadas (analíticamente). Ubiquemos un vector v (figura 9) en el plano cartesiano o plano R2. Para ir del punto inicial de v a su punto terminal, hay que desplazarse a unidades en el eje de las x, como también b unidades en el eje de las y, valores hacia arriba, abajo, izquierda

2u=6u=3

Figura 8

117

ó derecha según la posición del vector, en este caso particular a unidades hacia la derecha y b unidades hacia arriba, entonces podemos representar el vector v como el par ordenado de números reales v = (a,b), en donde a es la componente horizontal del vector v y b es la componente vertical del vector v.

Ahora podemos establecer una relación entre la representación geométrica y la representación algebraica (analítica) de un vector. Si un vector v se representa en el plano cartesiano con un punto inicial P(x1,y1) y un punto terminal Q(x2, y2), entonces el vector v = (a, b) se expresa como:

v = (x2 –x1, y2-y1), donde (x2 –x1 ) = a (y2-y1) = b (ver figura 10.)

Observe la correspondencia con lo estudiado en geometría analítica. La componente “a” es simplemente la diferencia entre las “x” de dos puntos (en este caso, del punto terminal y el inicial del vector; la componente “b” es la diferencia entre las “y” de los mismos dos puntos. Así, el vector se convierte en la hipotenusa de un triángulo rectángulo (ver 2.2. Distancia entre dos puntos).

EJEMPLO 3.3: Determinar y graficar el vector k con punto inicial en (-3,2) y su punto terminal en (1,5).

x

x2-x1

y2-y1

y

P

Q

x1 x2

y2

y1

v

Figura 10

b

x

a

v

y

av

a v

y

x

a

v b

b

b

figura 9. El vector V en diferentes lugares del plano cartesiano

118

Solución: el vector que se busca es k = (1-(-3), (5-2)) = (4,3), su gráfico es: (figura 11)

EJEMPLO 3.4: Encontrar el punto terminal y trazar el vector h = (4,1), con punto inicial en (2,3).

Solución: sea (x,y) el punto terminal del vector h, entonces:

(x – 2, y – 3) = (4,1), de donde x - 2 = 4, y – 3 = 1, luego x = 6, y = 4.

El punto terminal del vector es (6,4) (ver figura 12)

Figura 11

119

EJEMPLO 3.5: Trazar el vector m = (3,5), con puntos iniciales en:(0,0), (2,2), (-2,-1), (1,-1)

Se observa en el ejemplo anterior que aunque el vector es el mismo, no ocupan la misma posición.

EJERCICIO 3.3

Encuentre el punto final o inicial según el caso y grafique

1. Vector v = (3, 1) punto inicial (0, -3)2. Vector v = (4, -3) punto inicial (2, -1)3. Vector v = (-8, 1) punto inicial (4, 2)4. Vector v = (-2, -6) punto final (-3, 6)5. Vector v = (3.5, 2) punto final (-2, -3)

6. Vector v = (4 , -4) punto final (1, 1)

3.2.1 MAGNITUD DE UN VECTOR

Encontrar o calcular la magnitud de un vector, es igual que calcular la distancia entre dos puntos: la distancia entre el punto final y el inicial. Así, la magnitud de un vector v = (a, b) o en algunos casos llamados longitud del mismo está dada por /v/ = . O lo que es lo mismo:

Figura 12

Figura 13

120

/v/ =

EJEMPLO 3.6: Determine la magnitud de los vectores:

k = (4, 3) Magnitud /k/ = = 5h = (4, 1) Magnitud /h/ = = m = (3, 5) Magnitud /m/ = =

Observe que toda operación con vectores, puede hacerse desde el álgebra y corroborar por medio de la geometría, o por el contrario, plantear el problema desde la geometría y apoyarse en el álgebra para encontrar la solución numérica, puesto que la solución geométrica o física, está dada en el análisis de la gráfica

3.2.2 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON VECTORES

Es posible entonces realizar las operaciones con vectores de suma y resta, y multiplicación por un escalar, combinando luego con su parte geométrica:

3.2.2.1 SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

Si

SUMA:

DIFERENCIA:

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR:

EJEMPLO 3.7: Realizar las operaciones de suma y resta con los vectores:h (4, 1) k (2,3) m (3, 2):

a) h+k, b) h-k, c) k-h, d) h+m, e) h-m, f) m+k, g) (h+k)-m.

Solución:

h + k = (4 + 2, 1 + 3) = (6, 4) Su gráfica queda como aparece en la figura 14. Este vector resultante puede ser trazado desde cualquier lugar en R2, lo importante es que sus componentes sean

En la gráfica aparece la solución de algunas de las operaciones planteadas.

Corresponde al estudiante comprobarlas algebraicamente. Tenga en cuenta que el

121

punto de inicio de cada uno de estos vectores resultantes, puede ser cualquier

punto en el plano.

Ahora, si se quiere realizar la operación geométricamente, acercamos los vectores que se suman (sus puntos iniciales o terminales), para formar el triángulo o el paralelogramo y así conocer el vector resultante de la operación (figura 15: h + k)

h - m

k - h

h + k

m + k

Figura 14

h - k

122

Es importante recordar que el vector cero se denota como 0 = (0,0), en las operaciones (suma, resta) este vector desempeña el mismo papel que el cero en los números reales.

3.3 PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Las propiedades de los vectores son muy similares a las de los números reales, en cuanto la suma es conmutativa, es asociativa, existe un módulo para la suma (el vector 0), y un inverso para cada vector, tal que la suma de un vector con su inverso resulta el vector 0. En la tabla siguiente se encuentra una síntesis de las propiedades de los vectores, tanto en el plano como en el espacio:

Resumen: Un vector bidimensional es un par ordenado de números reales

Un vector tridimensional es una tríada ordenada de números reales

Los números reales se llaman componentes de u + v = v + u (u + v) + k = u + (v + k) u + 0 = u u + (-u) = 0

3.4 VECTOR UNITARIO

Figura 15: h + k

h

k

123

Cuando la magnitud de un vector es igual a uno se le conoce como vector unitario. El vector r = (3/5, 4/5), es un vector unitario, ya que:

/r/ =

Existen tres vectores unitarios, i, j, k muy utilizados como base para expresar cualquier otro vector en el plano, ya sea en el plano o en el espacio. En este curso nos ocuparemos de los vectores en el plano, por lo tanto, sólo nos interesan por el momento los vectores unitarios i = (1,0), j = (0,1). Es decir, el vector unitario i está en la dirección positiva de X, mientras que j está en la dirección positiva de Y. Un vector expresado en términos de los vectores unitarios, queda de la siguiente manera:

EJEMPLO 3.8: Expresar el vector u = (3,2) en términos de i y j

Solución: u = 3i + 2j

EJEMPLO 3.9. Expresar el vector k = (1,-4) en términos de i y j

Solución: k = 1i + (-4)j = i – 4j

EJEMPLO 3.10. Si u = 3i + 2j y v = -i + 6j , calcule 2u + 5v en términos de i y j

Solución: 2u + 5v = 2(3i + 2j) + 5(-i + 6 j) = (6i + 4j) + (-5i + 30 j) = i + 34j

3.5 DIRECCIÓN DE UN VECTOR

La dirección de un vector v es ө, ángulo positivo mínimo en posición normal entre el eje positivo de x y el vector v. Conocidas la dirección y la magnitud del vector, se determinan fácilmente las componentes horizontal y vertical del mismo.

Sea v un vector de magnitud /v/ y dirección ө, entonces: como se muestra en la figura 16.

124

EJEMPLO 3.11. Un vector v tiene una longitud de 8 unidades y una dirección de π/3. Determine las componentes horizontal y vertical, y exprese el vector v en términos de i y j

Solución: Como donde las componentes se definen por

,

EJEMPLO 3.12: Determine la dirección del vector

Solución: Se sabe que la dirección ө es el ángulo entre el vector y el eje positivo de X. por lo tanto, su tangente se calcula con el apoyo de las componentes en Y y en X (coeficientes de j y de i):

Así, el ángulo de referencia para ө es -π/6. Como el punto

Terminal del vector u está en el segundo cuadrante (negativo en x y positivo en y), entonces ө = 5π/6 como se indica en la figura 17:

ө

-√3

figura 17

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

125

3.6 APLICACIÓN DE VECTORES EN FUERZAS Y VELOCIDADES

Los vectores tienen una gran aplicación en el estudio de la física. El análisis de fuerzas que actúan sobre un elemento es una de las principales aplicaciones en el campo de la ingeniería. Igualmente, la aplicación para determinar la velocidad, la aceleración o el desplazamiento de los cuerpos en el estudio de la cinemática.

En el campo del transporte, ya sea terrestre, marítimo ó aéreo, los vectores se utilizan para determinar la dirección o rumbo trazado o destino que se programa. El ángulo agudo medido a partir del Norte (N) ó el Sur (S), es el soporte fundamental para los ejes de coordenadas, complementado en forma lógica por el Este (E) y el Oeste (W). En la figura 18 que se presenta a continuación, se ilustran algunos casos.

La velocidad de un objeto en movimiento se describe mediante un vector cuya dirección es la del movimiento y su magnitud es la rapidez. La velocidad del aire o del agua afectan el movimiento de los vehículos como aviones o barcos, tanto en su magnitud como en su dirección; veamos.

EJEMPLO 3.13: Un avión va rumbo al norte a 300 mi/h. Atraviesa un viento cruzado de 40 mi/h en dirección N 30º E. Determine la velocidad real del avión en

EW

S

N

N 45ºE

EW

S

N

N 60ºW

EW

S

N

S 30ºE

figura 18

126

forma de un vector. Es decir, determine la rapidez y dirección reales del avión. Realice una gráfica aproximada.

Solución: La velocidad del avión con viento en calma es: v = 0i + 300j = 300j. La velocidad del viento u = (40 cos60º)i + (40 sen60º)j = 20i + 34.64j

Observemos gráficamente la velocidad real del avión (figura 19):

El vector w = u + v representa la velocidad real del aviónW = (20i + 34.64j) + (oi + 300j) = 20i + 334.64j

La rapidez real del avión se calcula con la magnitud del vector w

La dirección del avión es ө, representada por la inclinación del vector w. Desde la trigonometría, se tiene que la tangente del ángulo se obtiene dividiendo la componente vertical (j) entre la componente horizontal (i). Reemplazando se tiene:

S

EW

N

N 30ºEx

y

(0,0)

u

v

w = u + v

Figura 19

127

tan.ө = 334.64/20 = 16,7320

Por lo tanto ө = 86.6º. En consecuencia, el avión sigue la dirección N. 3.4º E.

EJEMPLO 3.14: Sobre un objeto en un punto P actúan dos fuerzas F1 y F2, cuyas magnitudes son 10 y 20 lb con ángulos de 45° y 150° respectivamente. Calcule la fuerza resultante que actúa en P.

Solución: Expresemos a F1 y F2 en términos de sus componentes:

Luego la fuerza resultante F = F1 + F2

La fuerza actúa en una dirección:

180-ө = 180 - tan-1 (-17/10) = 120.47°

EJERCICIOS 3.4

1. Una mujer está en el lado sur de un río, desea cruzar en una canoa, hasta

la orilla opuesta en forma recta y desembarcar directamente frente a su

punto de partida. El río corre hacia el este a una velocidad de 5 mill/h, si la

velocidad del bote en aguas tranquilas es de 10 mill/h, ¿en qué dirección

debe dirigir el bote para llegar al punto deseado?

2. Un hombre empuja una podadora para césped, con 30 libras de fuerza,

ejercida en un ángulo de 30º respecto del piso. Calcule las componentes

horizontal y vertical de la fuerza. Expréselas en términos de i y j

F1F2

P

x

y

(0,0)

F

128

3. Un avión vuela en dirección N20ºE, con una rapidez de 240 km/h. Calcule

las componentes de la velocidad hacia el Norte y hacia el Este y expréselas

en términos de vectores unitarios.

4. Si un barco navega 70 mill/h en la dirección N35ºE y después 90 mill/h

exactamente al este, ¿cuál es su distancia y su rumbo con respecto a su

punto inicial?

5. La corriente de un río tiene una velocidad de 6 km/h y el bote de Carlos

viaja a 20 km/h en aguas tranquilas. ¿En qué dirección debe dirigir su bote

si quiere atravesar en línea recta el río?

6. Un peso de 200 kilogramos es soportado por dos alambres como se

muestra en la figura. Calcular la magnitud de la tensión de cada uno de

ellos teniendo en cuenta que la resultante es cero.

7. Un aeroplano recorre 100 Km en la dirección S.52ºW. y después, 145 Km

en dirección S.39ºW. a qué distancia se encuentra del punto de partida?

Cual sería el rumbo del aeroplano si hubiese viajado en línea recta desde el

punto de partida?

200 kg

41º35º

129

4. GEOMETRÍA ANALÍTICA

PRESENTACIÓN

Como su nombre lo indica, esta rama de la geometría induce al estudiante a desarrollar su capacidad de análisis a través de situaciones que involucran, no solamente a la recta sino a las ecuaciones que la representan, lo mismo que las figuras que se desprenden del corte efectuado por un plano a través de una superficie cónica.

Al igual que en los temas anteriores, el trabajo independiente sigue siendo uno de los caminos básicos para lograr una buena asimilación de los conceptos. Es en él donde el estudiante descubre no solamente sus fortalezas, sino sus debilidades; y si estas debilidades se detectan con tiempo, se pueden obviar y sentir la tranquilidad que proporciona el saber

COMPETENCIAS:


presentados en lenguaje natural. Interpretar la información presente en un gráfico que contenga rectas y

cónicas

*Propositiva:

Identificar y modificar modelos matemáticos para realizar operaciones funciones lineales y/o cuadráticas

Aplicar creativamente un algoritmo para resolver un problema.

*Argumentativa:


Usar los conceptos de la geometría analítica para definir la veracidad de afirmaciones planteadas.

130

RED DE CONCEPTOS

INDICADORES DE LOGROS

Interpreta claramente el concepto de línea recta y de cónicas Ubica claramente las coordenadas en el plano cartesiano Identifica el tipo de gráfica que representa una ecuación lineal o cuadrática Traduce correctamente del leguaje gráfico al matemático Interpreta los elementos de un modelo matemático para realizar

operaciones Utiliza operaciones matemáticas para verificar afirmaciones dadas Tiene claridad en los conceptos de cada una de las cónicas estudiadas Aprovecha los modelos del álgebra definidos para la ecuación cuadrática

para la solución de problemas Identifica y modifica modelos matemáticos para el cálculo de elementos de

las figuras cónicas Aplica creativamente un algoritmo para solucionar problemas referidos a la

ecuación cuadrática Distingue la ecuación cuadrática que representa una figura cónica

4.1 PLANO CARTESIANO

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LÍNEA RECTA: ECUACIÓN LINEAL

CÓNICAS: ECUACIÓN CUADRÁTICA

ECUACIÓNES DE LA RECTA

PLANO CARTESIANO

INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS

PARALELAS Y PERPENDICULARES

PARÁBOLA

CIRCUNFERENCIA

PUNTO MEDIO

PENDIENTE

DISTANCIA ENTRE PUNTOS

HIPÉRBOLA

ELIPSE

131

INTRODUCCIÓN

La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos, desde la antigüedad más lejana, a confeccionar mapas o cartas geográficas y a relacionar los puntos de una superficie mediante números. Para fijar una figura en el espacio o en un plano hace falta relacionarla con un sistema de referencia. En el actual sistema geográfico, cualquier lugar del mundo queda determinado con precisión si se conocen su latitud (a) y su longitud (b), es decir, si se tienen su distancia a al norte o al sur del ecuador, y su distancia b al este o al oeste del meridiano de Greenwich.

4.1.1 Coordenadas

Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Descartes utilizó, para representar un punto en el plano, dos rectas perpendiculares entre sí, conocidas como abscisa (eje horizontal, llamado también eje de las “X”) y ordenada (eje vertical, llamado también eje de las “Y”). La posición del punto se lograba midiendo sobre los ejes las distancias al punto, de la manera que se puede ver en el dibujo. El punto P se encuentra a tres unidades sobre el eje X y a 2 sobre el eje Y.

Ubicación de un punto por coordenadas. Punto P

ab

P

http://personal.redestb.es/javfuetub/biografias/descartes.htm

132

Cualquier punto sobre el plano cartesiano está definido por una pareja de coordenadas (x, y) (abscisa y ordenada)

EJERCICIOS 4.1

Dibuje un plano cartesiano y ubique en él los siguientes puntos:

P1(-1, 2) P2(1, -6) P3(-1, -2)

P4(1, 2) P5(-3, 4) P6(3/5, 4)

P7(3, 5/2) P8(4.5, -7/2) P9( , 3)

4.1.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Calcular la distancia entre dos puntos es un procedimiento bastante sencillo. Si por cada uno de los puntos se traza una paralela a los ejes coordenados, y se unen los puntos por medio de un segmento, se forma un triángulo rectángulo con los catetos conocidos (x2 – x1) y (y2 – y1); la distancia entre los puntos es la hipotenusa del triángulo. Desde el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, así:

d =

Ejemplo. Hallar la distancia entre los puntos Q(-2, -1) y R(4, 3)

2

-2

4

-1

1-2

4

2

Abscisa

Ordenada

P(3,2)

133

Solución: tracemos una gráfica donde se observe fácilmente la situación:Al trazar las paralelas por los puntos R y Q se forma el triángulo QOR, cuyos catetos se pueden conocer, como se describió anteriormente:

x = (4 - (-2)) x = 6

y = (3 – (-1)) y = 4

por lo tanto, por Pitágoras:

d =

d = = 2 ¿Por qué?

EJERCICIOS 4.2

Seleccione parejas de puntos del ejercicio 2.1, trace el segmento que los une y calcule la distancia entre ellos.

4.1.3 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Como su nombre lo indica, se trata del punto que divide el segmento exactamente en dos partes iguales.

Ejemplo: Tomemos el segmento limitado por los puntos P(3, 2) y Q(7, 2). Este segmento es paralelo al eje “X” (¿por qué?). su punto medio está ubicado en el punto M(5, 2) ¿por qué?

Otro segmento limitado por los puntos R(-5, -3) y S(-5, 7), paralelo al eje “Y” (¿por qué)?, tiene su punto medio en P(-5, 2) (¿por qué?)

Para un segmento que no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados, el punto medio se calcula de la misma manera que los anteriores. Ejemplo: el segmento definido por los puntos: Q(1, 2) y R(5, 6). Su punto medio es: M(3, 4)

En general, las coordenadas del punto medio se calculan con base en las semisumas de las abscisas y las ordenadas. Observe el último ejemplo: las

coordenadas de M son el resultado de: para la abscisa, y para la

ordenada.EJERCICIO 4.3

Q(-2,-1)

R(4,3)

O(4,-1)

d

134

Calcule el punto medio de los segmentos definidos en el ejercicio 2.2

4.1.4 GRADO DE INCLINACIÓN DE UN SEGMENTO

Cuando una línea es paralela al eje “X”, por ejemplo la línea que pasa por los puntos P(3, 2) y Q(7, 2) del ejemplo anterior, es decir, tienen el mismo valor en la ordenada (valor de “Y”), se dice que su inclinación es cero. Si es paralela al eje “Y” como la línea que pasa por los puntos R(-5, -3) y S(-5, 7) del mismo ejemplo, se dice que es perpendicular al eje “X”, por lo tanto, tiene una “inclinación” de 90°. (Las comillas indican que no es muy apropiado hablar de inclinación cuando se trata de líneas perpendiculares)

Pero si se tiene una línea que pasa por P(1, 1) y Q(6,4), que obviamente no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, entonces se habla de una inclinación.

La inclinación siempre se da respecto del eje “X” positivo, es decir, de la semi recta que parte del origen hacia la derecha en el plano cartesiano.

Para calcular el grado de inclinación de una recta, basta con conocer dos puntos que pertenezcan a la recta y dividir la distancia en “Y” entre la distancia en “X”.

Ejemplo. Tomemos los puntos antes citados: P(1, 1) y Q(6,4). El grado de

inclinación de la recta que pasa por estos puntos es:

El grado de inclinación de una recta se denomina pendiente y se especifica con la letra m. luego la pendiente de nuestro ejemplo es: m = 3/5

En general:

La gráfica del ejemplo anterior sería:

Observe la inclinación de la recta respecto del eje positivo de las “X”. Esta inclinación, que hemos llamado pendiente, representa la tangente del ángulo que

P(1,1)

Q(6,4)

135

se forma entre la línea y el eje positivo de las “X”. Este cálculo corresponde a la tangente del ángulo (función trigonométrica) cuyo vértice está en el punto de intersección (P), cuya medida, en el sistema que se requiera, puede encontrarse con la ayuda de las calculadoras científicas u otros medios apropiados para el efecto. En nuestro caso, la tangente de 3/5, corresponde a un ángulo de 31° aproximadamente.

EJERCICIO 4.4.

Calcule el grado de inclinación (pendiente) y el valor del ángulo de los segmentos definidos en el ejercicio 2.2

4.2 LA LÍNEA RECTA

Hasta ahora hemos trabajado en el plano cartesiano, con los segmentos, que, como se vio en la primera parte del curso, hacen parte de rectas que pasan por los puntos que delimitan dichos segmentos. Esto significa que la recta contiene al segmento, por lo tanto, calcular el grado de inclinación de un segmento, es calcular el grado de inclinación de la recta.

Como veremos a continuación, para conocer el ángulo de inclinación (pendiente), se necesita definir dos puntos sobre la recta.

4.2.1 ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

El modelo Ax + By + C = O es llamado ecuación general de la recta, pero no es más que otra forma de representar la función lineal. Para ver esto, basta con despejar “y” en función de “x”

Ax + By + C = 0 By = -Ax – C y =

Esta última forma, y = , puede escribirse de una manera más general:

y = mx +b donde m = - y el término independiente: b = -

Observe el siguiente ejemplo:

La recta r pasa por los puntos (-2,0) y (0,1). Con estos puntos se puede calcular la pendiente (m) de la recta:

m =

(0,1)(-2,0)

r

136

NOTA: el orden de los subíndices debe ser el mismo en el numerador y en el denominador (¿por qué?)

m =

m = (¿cuál es el valor del ángulo?)

Conociendo la pendiente y un punto de la recta, se puede obtener la ecuación de la misma, así:

m = por transposición de términos, resulta:

este modelo se conoce como ecuación punto pendiente de la recta. Para el ejemplo que nos ocupa, se tiene:

(x2 – 0) = y2 – 1 por sustitución (se han tomado los valores de la

pendiente y de las coordenadas del punto (0, 1), pero pudo haberse tomado el otro punto)

x2 = y2 – 1 de donde y2 = x2 + 1

Los subíndices indican que se trata de un punto específico (x2, y2), pero en general, se trata de un punto cualquiera de la recta; por lo tanto, la ecuación queda:

y = x + 1 que obedece al modelo

donde: x, y, representan las coordenadas de cualquier punto sobre la rectam representa el valor de la pendiente b representa el punto por donde la recta corta al eje “Y” (intercepto con el eje “Y”)

Al modelo y = m x + b se le denomina ecuación pendiente intercepto de la recta, lo que significa que, si se conoce la pendiente de la recta y las coordenadas del punto donde la recta intercepta al eje “Y”, se pueden determinar las coordenadas

de cualquier punto sobre la misma. Así, continuando con el ejemplo, y = x + 1,

se puede encontrar cualquier pareja de coordenadas construyendo una tabla de

m (x2 – x1) = y2 – y1

y = m x + b

137

valores para lo cual, se adjudica un valor a “x” y se reemplaza en la ecuación para hallar el valor de “y”.

Observe que si se hace x = 0, entonces y = b. De allí que “b” recibe el nombre de intercepto con el eje “Y”

x 2 -4 6 0 y 2 -1 4 1

En realidad, para trazar una recta basta con conocer las coordenadas de dos puntos sobre ella. A modo de práctica, encuentre otras parejas de coordenadas y ubíquelos sobre la recta.

A partir de este modelo, y = m x + b, se puede llegar a la ecuación general de la recta Ax + By + C = O por medio de un simple proceso algebraico, el cual, para nuestro ejemplo, sería: x – 2y + 2 = 0

(Se deja como T.I. la verificación de este resultado. Especifique los valores de A, B y C)

En general, para determinar la ecuación de una recta y poderla graficar, basta con conocer alguna de las siguientes opciones:

Las coordenadas de dos puntos sobre la recta Las coordenadas de un punto y el valor de la pendiente El valor de la pendiente y las coordenadas del intercepto (0,b) El valor del ángulo de inclinación (en grados), y las coordenadas de uno de

los puntos sobre la recta

EJERCICIO 4.5

Realice un ejemplo con cada una de las opciones, con su gráfico respectivo, y ubique varios puntos sobre cada una de las rectas trazadas.

4.2.2 RELACIÓN ENTRE RECTAS

Como se indicó en la primera parte del curso, las rectas generalmente no se encuentran solas, sino en relación con otras. Allí se definió el concepto de paralelismo y perpendicularidad. Ahora se tratan los mismos conceptos pero a través de la relación entre sus pendientes (grados de inclinación)

4.2.2.1 Paralelismo. Si dos rectas son paralelas, el valor del ángulo de inclinación respecto del eje positivo de las “X” es el mismo. En otras palabras, sus pendientes son iguales. m1 = m2

138

Teniendo claro este concepto, es fácil encontrar la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente de otra paralela a ella

EJEMPLO 4.1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2, -5) y es paralela a la recta y = -2x + 1

Solución. Si se dice que son paralelas, entonces se conoce la pendiente y un punto de la recta pedida. Recuerde que, en este modelo, la pendiente está representada por el coeficiente del término “x”. Por lo tanto, la pendiente de la recta dada es m = -2

La ecuación de la recta pedida se haya a partir de la ecuación punto pendiente:

m (x2 – x1) = y2 – y1

Reemplazando el valor de m y las coordenadas del punto conocido se tiene:

-2 (x – (-2)) = y – (-5) -2x – 4 = y + 5 transponiendo términos obtenemos:

y = -2x - 4 – 5 reuniendo términos semejantes:

y = -2x - 9

el análisis de este resultado nos dice claramente que la pendiente de la recta buscada es m = -2 (coeficiente de x) y la recta corta al eje “Y” en el punto (0,-9). Tracemos el gráfico de las rectas

Para y = -2x + 1

X 0 -2 0.5y 1 5 0

Para y = -2x – 9

X 0 -2 -4.5y -9 -5 0

Como era de esperarse, las rectas son paralelas

(0,1)

(-2,5)

X

0,-9

(-2,-5

Y

(-2,-5)

(0,-9)

139

4.2.2.2 Perpendicularidad. Recordemos que dos líneas son perpendiculares cuando forman un ángulo recto. Desde la geometría analítica, se demuestra fácilmente que, al multiplicar las pendientes de dos rectas perpendiculares, el resultado es -1; es decir, (mI)(m2 ) = -1

EJEMPLO 4.2: si se tiene una recta y = 2x + b, la recta perpendicular a ella tendrá por pendiente: m1.m2 = -1

Por lo tanto: m2 =

En nuestro caso: m2 =

Así entonces, dada la ecuación de una recta, es fácil definir la ecuación de otra perpendicular a la primera y que pase por un punto dado

EJEMPLO 4.3. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(-3, 2) y es perpendicular a la recta 3x – 4 = 4y +2

Solución: el primer paso es organizar la ecuación:

3x – 4 = 4y +2 ecuación dada 3x – 4 -2 = 4y transposición de términos 3x -6 = 4y términos semejantes

y = transposición de términos

y = simplificación

Se tiene el modelo y = mx + b, donde m = , b =

Ya se puede saber el valor de la pendiente de la recta pedida

m1.m2 = -1 condición de perpendiculares

m2 = transposición de términos

m2 = - 4/3 sustitución ¿por qué?

por los tanto, con la pendiente y el punto dados, se puede encontrar la ecuación de la recta pedida

y2 – y1 = m (x2 – x1) modelo punto pendiente

y2 – 2 = (x2 – (-3)) ¿por qué?

Y = x – 4 + 2 ¿por qué?

Y = x – 2 ¿por qué?

140

Como en el caso anterior, se puede leer claramente la pendiente de la recta

pedida: m2 = (coeficiente de “x”) y la recta corta al eje “Y” por el punto (0,

-2). Tracemos la gráfica de las dos rectas.

Para y =

X 0 2y -3/2 0

Para y = x – 2

X 3 -3/2y -6 0

Como puede verse, las rectas son perpendiculares

4.2.2.3 Intersección de dos rectas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede resolver de varias maneras, entre ellas, por el método gráfico, el cual consiste en trazar cada una de las rectas correspondientes a cada ecuación, y definir sobre el plano cartesiano, las coordenadas del punto donde se cortan. Es un proceso que requiere elementos de medida muy exactos para poder definir con seguridad los valores de las coordenadas. Sin embargo, por medio de un sencillo proceso algebraico, se pueden calcular exactamente dichas coordenadas.

(0,-3/2) (2,0)

(-3/2,0)

(3-,6)

141

Cuando se habla de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo que en realidad se está haciendo es definir o calcular las coordenadas del punto de intersección. Por el método algebraico que utilice (sustitución, eliminación, igualación, determinantes) se calcula una variable que representa una de las coordenadas del punto, la cual obedece a ambas ecuaciones, puesto que el punto pertenece a ambas rectas en el plano.

Veamos un ejemplo

EJEMPLO 4.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x -3y = 2 x – y = 5

Del álgebra se sabe que el método a seguir es el de eliminación (reducción). Se multiplica la segunda ecuación por (-2) y resulta:

2x -3y = 2 -2x + 2y = -10

Al sumar, se elimina la variable “x”, así:

-y = -8 por tanto, y = 8

Reemplazamos este resultado en cualquiera de las ecuaciones originales. Por ejemplo en la segunda

x – 8 = 5 lo cual nos dice que:x = 13

Las coordenadas del punto de intersección son entonces: (13,8)Tracemos la gráfica para ambas rectas

Para 2x -3y = 2 y =

Para x – y = 5 y = x – 5

x

y

0

-2

13

8

x

y

0

-5

13

8

(13,8)

(0,-5)

(0,-2)

142

4.2.2.4 Distancia de un punto a una recta. Como la distancia de un punto a una recta se calcula sobre la perpendicular a la recta que pasa por ese punto, es suficiente con encontrar la pendiente de la perpendicular. Este caso es una aplicación directa de los dos temas anteriores

mp = donde: mp pendiente de la recta perpendicular

mr pendiente de la recta dada

EJEMPLO 4.5: hallar la distancia entre el punto P(-3, 5) y la recta cuya ecuación es:y = 3x – 2

Solución: para tener claridad en el proceso, hagamos una gráfica donde se ubiquen los elementos del ejemplo

Para y = 3x – 2

Para encontrar la distancia “d” entre los puntos (-3,5) y (x,y) se debe proceder de la siguiente manera:

Definir la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos y que es perpendicular a la recta dada

x

y

0

-2

2

4

(0,-2)

(3,7)

(-3,5)(x,y)

d

143

mp = modelo

mp = sustitución

Definir la ecuación de la recta que pasa por el punto dado

y – 5 = (x +3) ecuación punto pendiente

y = x – 1 +5 transposición de términos

y = x + 4 términos semejantes

Conociendo las ecuaciones de las rectas, se buscan las coordenadas del punto de intersección entre ellas

Como se tiene la variable “y” despejada en ambas ecuaciones (se trata de la coordenada “y” de un punto que pertenece a ambas rectas), el método más directo es el de igualación

y = 3x – 2 y = x + 4 entonces:

3x – 2 = x + 4

3x + x = 4 + 2 transposición de términos

x = 6 términos semejantes

x = 1.8 ¿por qué?

Por lo tanto,

y = 3.4 ¿por qué?

Conociendo las coordenadas del punto de intersección, se puede calcular la distancia pedida (puntos (-3,5) y (1.8, 3.4))

d = por lo tanto d = 5.06

EJERCICIOS 4.6

144

LA ECUACIÓN DE LA RECTA

En los ejercicios del 1 al 11, encuentre una ecuación para cada una de las siguientes rectas y grafíquela.

1. Pasa por los puntos (2,3) y (4,8)2. Pasa por los puntos (-5,2) y (4,1)3. Pasa por el punto (3,-2) y por el origen4. Pasa por los puntos (2,0) y (0,4)5. Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (-2,3)6. Pasa por el punto (-1,-3) con pendiente 57. Pasa por el punto (-4,2) con pendiente -3/58. Pasa por el punto (6,-2) con pendiente 1/49. Pasa por el punto (2,-1) con pendiente -210. Pasa por el punto (2/3, -1) con pendiente 411. Pasa por el punto (-1,-2) y es paralela con la recta 3x -2y = 4y – 5x +212. Carlos asegura que la recta 5x -4y = 4 corta al eje Y en el punto (0, -4)

Tiene razón Carlos? ¿En qué se basó Carlos para su afirmación si no hizo ningún cálculo?

13. Josefina le pregunta a su profesor de matemáticas si la recta3y – 2x +1 = 0 forma un ángulo menor de 90° con el eje positivo de las X. ¿Puede usted resolverle la inquietud?

14. En un examen de geometría se pide definir la relación entre las siguientes rectas: x – 2y +5 = 0 y la recta 1/2 x = 5 +y. un estudiante afirma que son rectas perpendiculares. Verifique esta respuesta o corrija si existe un error

15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3,2) y corta al eje Y en (-1)16. Encuentre la ecuación de la recta que corta al eje X en 2 y al eje Y en 117. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,2) y es paralela

a la recta y = 3x + 418. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-2,-3) y es perpendicular a

la recta y = 3x + 419. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,2) y es paralela

a la recta x = 2y20. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,2) y es

perpendicular a la recta x = 2y21. Encuentre la ecuación general de la recta que pasa por el punto P (-1,-2) y

es paralela a la recta 3x – 4y - 2 = 022. Encuentre la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (-1,-

2) y (2,1) y es perpendicular a la recta que pasa por (1,1)23. Escriba por lo menos cinco ecuaciones de rectas paralelas a la recta 6x +

2y = 224. Escriba por lo menos cinco ecuaciones de rectas perpendiculares a la recta

cuya ecuación es 3/5y +2/3x = 1/325. Encuentre el valor de k para el cual la recta 4x + ky = 5 pasa por el punto

(2,1)

145

26. Encuentre el valor de k para el cual la recta 4x + ky = 5 es paralela al eje “Y”

27. Encuentre el valor de k para el cual la recta 4x + ky = 5 es paralela a la recta cuya ecuación es 6x - 3y = 5

28. Encuentre el punto de intersección de la recta cuya función es 3y – 2x -3= 0 con la recta 2x + 3y = 3

29. Encuentre las coordenadas del punto de intersección entre las rectas que obedecen a las funciones 5x – 4y – 3 = 0 y 2x = -3y – 6

30. Calcule la distancia entre el punto (-5,6) y la recta que pasa por los puntos (1,0) y (3,3)

4.3. CÓNICAS: CÍRCULO, ELIPSE, PARÁBOLA E HIPÉRBOLA

PRESENTACIÓN.

Cuando dos elementos geométricos se intersecan, siempre se genera otro elemento geométrico. Así, dos líneas que se cortan generan un punto (o su representación); la intersección de dos planos genera un segmento de recta. Del mismo modo, cuando un plano corta un elemento tridimensional, se genera otro plano cuya forma, depende del sólido y de la posición del plano que lo corta. Observe por ejemplo, cuando corta una naranja, generalmente se obtiene un círculo. Ahora, si se toma un cono y se corta por medio de planos, por donde pasan estos planos quedan figuras que dependen de la posición del plano respecto de la base del cono o de su eje. Si el plano de corte es paralelo a la base, se genera una circunferencia, pero, a medida que el plano se va inclinando, la circunferencia se alarga en el sentido de la inclinación, generando inicialmente una elipse, luego una parábola y, por último, una hipérbola.

Todas las figuras mencionadas, reciben el nombre genérico de cónicas, precisamente porque se derivan de un cono. Todas ellas adquieren componentes diferentes que pueden ser calculados con la ayuda del álgebra, la geometría y el cálculo.

Un Poco de Historia5

El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que

5 Tomado de Silvia Sokolovsky http://soko.com.ar/matematica.htm

146

el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.

ORIGEN DE SUS NOMBRES

No hay duda de que a lo largo de la historia de la matemática los conceptos han sido mucho más importantes que la terminología utilizada, pero no obstante el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio tiene una importancia mayor que la usual. Durante un siglo y medio aproximadamente estas curvas no tuvieron otro nombre específico más que descripciones triviales de la manera como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo (u oxitoma), secciones de un cono rectángulo (u ortoma) y secciones de un cono obtuso (o amblitoma).

Arquímedes continuó utilizando estos nombres, aunque según parece también usó ya el nombre de parábola, como sinónimo para una sección de un rectángulo. Pero fue realmente Apolonio, posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes, quién introdujo por primera vez los nombres de elipse y de hipérbola en conexión con estas curvas. Las palabras "elipse", "parábola" e "hipérbola" no eran nuevas en absoluto y acuñadas para la ocasión, sino que fueron adaptadas a partir de un uso anterior, debido quizá a los pitagóricos en la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas. "Ellipsis", que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). Mientras que la palabra "Hyperbola" (de "avanzar más allá") se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento dado, y por último la palabra "Parábola" (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplicó estas palabras en un contexto nuevo, utilizándolas como nombres para las secciones cónicas.

INTRODUCCIÓN

En el capítulo correspondiente a los sólidos de revolución, se dijo que su nombre se deriva de la manera cómo se puede generar, es decir, haciendo girar un plano alrededor de un eje. En este caso, si tomamos un triángulo rectángulo (una escuadra por ejemplo) y lo hacemos girar alrededor de uno de sus catetos, se genera en el espacio un cono. En general, si se toma una cuerda con un cuerpo atado a uno de sus extremos (algo como una piedra) y la hacemos girar manteniendo fijo el otro extremo de la cuerda, se genera una superficie cónica. En

147

ambos casos, la hipotenusa del triángulo o la cuerda que gira, se convierten en la generatriz o línea que genera el cono, mientras que la base del triángulo o el movimiento de la piedra, genera un círculo que es la base del cono. Estos cuerpos así generados se denominan conos, mientras que las curvas que resultan de cortar dicho cono con un plano se conocen como cónicas. Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Las ecuaciones de las cónicas representan generalmente, en forma gráfica, lo que corresponde a una relación; sólo en el caso de la parábola cóncava arriba o abajo se denomina función.

En esta parte del curso, el estudiante podrá observar que los cálculos son simples; las ecuaciones de las cónicas son aplicaciones de la ecuación cuadrática general con dos variables: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 de la cual se desprenden las diferentes formas algebraicas que definen el tipo de gráfica.

Nuevamente, se hace énfasis en el trabajo independiente del estudiante, como repaso de la trigonometría elemental, para facilitar la comprensión del tema.

4.3.1 CIRCUNFERENCIA

Cuando se estudió la geometría plana se adoptó un concepto para la circunferencia: línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. Esta distancia se conoce como el radio.

La circunferencia, desde esta perspectiva, se puede tomar como una aplicación directa de la distancia entre dos puntos en el plano:

Si se toma una circunferencia con centro en C(h,k), puede verse que la distancia entre un punto P(x,y) que pertenezca a la circunferencia, y el centro C, que se ha denominado radio (r), se puede calcular como:

r r

)

)

Figura 6.1circunferencia con centro en el origen y con centro desplazado

)

)

)

148

Observe que h y k en la ecuación de la circunferencia, ocupan los lugares de x y

de en la ecuación de la distancia entre dos puntos. Esto significa que es

exactamente igual, que sólo se cambia de letra para designar el punto: a cambio

de C(x, y , se tiene C(h, k)

De acuerdo con la ecuación anterior, cuando se tiene una ecuación cuadrática con dos variables, como x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, se tienen por lo menos dos métodos para encontrar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia. Un método consiste en factorizar por el método de completar cuadrados en ambas variables; el otro, se trata de igualar coeficientes de la ecuación planteada con los del modelo de la cuadrática. Debe tenerse en cuenta que los coeficientes D, E, F, equivalen a los coeficientes que surgen de expandir los cuadrados en la ecuación de la circunferencia:

0 = - r2

De aquí que: D = -2h E = -2k F = (h2 + k2 – r2)

Veamos algunos ejemplos:

EJEMPLO 4.6 Encontrar la ecuación, identificar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia a partir de la ecuación:

x2 + y2 - 2x + 5y – 6 = 0

Solución: Por el primer método planteado, factorización, se trata de completar los trinomios cuadrados perfectos, tanto en x como en y:

(x2 - 2x + … ) + (y2+ 5y + … ) = 6

149

(x2 - 2x + 1 ) + (y2+ 5y + ) = 6 + 1 + ¿Por qué?

+ = ¿Por qué?

Comparando con el modelo de la ecuación de la circunferencia, se encuentra que:

El centro de la circunferencia está en el punto C(1, -5/2)

El radio es: = 0.5

NOTA: para que la cuadrática represente una circunferencia, los coeficientes de x2

y de y2 deben ser iguales y diferentes de cero.

El otro método: igualar coeficientes. A partir de la ecuación dada, se igualan los coeficientes con los de la ecuación de la circunferencia, así:

D = (-2) E = 5 F = -6

Ahora:D = -2h luego: -2 = -2h por lo tanto, h = 1

E = -2k luego: 5 = -2k por lo tanto, k = -5/2

F = (h2 + k2 – r2) luego: -6 = (h2 + k2 – r2) por lo tanto: -6 = (1 + 25/4 – r2)

De donde: r = 0.5

Lo cual coincide con los resultados anteriores

EJERCICIO 4.7

1. Escriba la ecuación de la circunferencia y grafique, de acuerdo con el centro y el radio dados:

150

Centro (0, 0) radio 6

Centro (4, 1) radio 5

Centro (-2, 1) radio √3

Centro (2, 3) radio 9/4

Centro (1/2, 2/3) radio 0.5

Centro (0.2, 0.3) radio 1

Centro (5, -1) radio 2

Centro (-1, 3) Tangente al eje X

Centro (-1, 3) tangente al eje Y

Tangente a los dos ejes radio 4

2. Encuentre el centro y el radio de las circunferencias y grafique (si es posible):

x2 - 4x – 12 + y2 = 0

-3x2 + 2x - 6y -54 = 3y2

x2 – 4x + y2 + 4y -17 = 0

x2 + y2 + 12y + 59/4 = 0

(3/2)x2 + 2x - 6y -54 = -1.5y2

5x -0.6x2 - 4y – 1/5 = 0.6y2

7y + 2x + 2y2 - 5 = -2x2

y2 – 6x + x2 + 5y - 1 = 0

x2 – 4x + y2 + 4y + 17 = 0

(15/6)x – 4 – 0.5y2 = 8x2/16

By2 + 5x – 3 = 4y – Bx2

151

4.3.1.1 LÍNEA TANGENTE

Como se dijo anteriormente, una línea tangente a una curva es la que toca a ésta en un punto. En otras palabras, solamente un punto de la línea es compartido con la circunferencia.

La línea tangente a una circunferencia es perpendicular al radio de la misma y que parte del punto de tangencia. Por lo tanto, es fácil calcular la ecuación de la recta tangente a una circunferencia. Recuérdese que, para que dos líneas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes de ser igual a (-1)

EJEMPLO 4.7 Encuentre la ecuación de la recta tangente al círculo cuya ecuación general es x2 – 4y + 6x + y2 = 19, en el punto P(1, 6)

Solución: organicemos la ecuación reuniendo términos semejantes:

6x + 4y = 19

Ahora completemos cuadrados:

De donde el centro es el punto (-3, 2)

La pendiente de la recta que contiene al radio es:

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es: m1 = -1

Luego su ecuación es: (y – 6) = -1(x – 1)

4.3.1.2 CENTRO DEL CÍRCULO CONOCIENDO TRES PUNTOS

152

La ecuación de la circunferencia se puede hallar conociendo tres puntos de ella. Para esto, es necesario recordar algunos conceptos de la línea recta, como distancia entre dos puntos, punto medio de un segmento, líneas perpendiculares e intersección de líneas. Con el siguiente ejemplo haremos un repaso de todos estos conceptos

EJEMPLO 4.8 hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(0, -1), Q(2, 5), R(5, 2)

SOLUCIÓN. Definamos la ecuación de las rectas perpendiculares al punto medio de los segmentos que unen los puntos P y Q, Q y R

m1 =

punto medio: Mx = (2 + 0)/2 = 1

My = (5-1)/2 = 2

luego el punto medio es M1 (1, 2)

la pendiente de la recta tangente a este segmento es luego su ecuación,

sabiendo que pasa por el punto M1 (1, 2) es:

y – 2 = de donde: y1 =

para los puntos Q y R:

m2 =

punto medio: Mx = (2 + 5)/2 = 3.5

My = (5 + 2)/2 = 3.5

153

Luego el punto medio es: M2 (3.5, 3.5)

La pendiente de la recta tangente a este segmento es (1), luego su ecuación, sabiendo que pasa por el punto M2 (3.5, 3.5) es:

Y – 3.5 = (1)(x – 3.5) de donde y2 = x

El centro de la circunferencia es el punto donde se intersecan estas dos rectas.

Por lo tanto, y1 = y2y = x

Luego (4/3)x = 7/3 luego: x = 7/4 y = 7/4

Las coordenadas del centro de la circunferencia son: h = 7/4 k = 7/4

Para el radio, basta encontrar la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos dados. Tomemos el punto Q (2,5) y el centro (h, k)

r = 3.26 por lo tanto, la ecuación buscada es:

EJERCICIO 4.8

1. En cada uno de los casos siguientes encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es:

en el punto P (1, -2)

en el punto Q (2, 3)

154

en el punto K(-3, 7)

en el punto Z(2/3, 7/2)

2. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos dados y grafique:

P (2, 1) Q (-2, -1) R (-2, 1)

P (3/5, 5/2) Q (17/3, -2/5) R (7/2, 8/3)

P (0.5, -3.2) Q (1.5, -1.8) R (-4.3, -3.1)

P (2, -1.5) Q(17/5, -3/8) R (1.8, -5/2)

4.3.2 ELIPSE

Figura 7.2 c) elipse vertical

Figura 7.2 b) elipse horizontal

(0, a)

(-b, 0)

(0, -a)

P(x, y)

Y

(0, -c)

(b, 0)

(0, c)

XF’ = (-c,o) F = (c,o)

(0,b)

(a,0)(-a,0)

(0,-b)

P(x,y)y

x

Figura 7.2 a) plano de corte no paralelo a la base del cono

155

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Similar a la circunferencia, se trata de una curva cerrada, fruto del corte ocasionado por un plano en un cono de manera no paralela a la base del mismo. Debido a la inclinación, la elipse tiene un centro, pero las distancias desde éste a los puntos de la curva no son iguales (figura 7.2).

Vértice ( ± a , 0 ) vértice (0, ± a )Eje mayor: horizontal = 2a vertical = 2aEje menor: vertical = 2b horizontal = 2b Focos = (± c, 0 ) , c2 = a2 - b2 (0, ± c ), c2 = a2 - b2

Observe que el valor mayor siempre se denomina y define el sentido del eje

mayor de la elipse. Si el valor mayor es el denominador de x, la elipse es horizontal, y su eje mayor está sobre el eje X; pero si el valor mayor es el denominador de y, la elipse es vertical y su eje mayor está sobre el eje Y.

EXCENTRICIDAD

La palabra excentricidad indica que dos elementos no tienen el mismo centro, concepto opuesto a la concentricidad. Por ejemplo, cuando se habla de círculos concéntricos, se está refiriendo a varios círculos realizados a partir de un mismo punto central. Para el caso de la elipse, la excentricidad puede entenderse como el alargamiento que sufre la circunferencia en el sentido de uno de sus ejes. Se representa como e, constante que pertenece a los reales, cuyo valor está entre cero y uno (0 < e < 1).

El valor de e se calcula como la relación entre la distancia del centro al foco de la elipse (c) y el semi-eje mayor (a):

donde 0 < e < 1

Para la elipse

Figura 7.3 a) Representación de la excentricidad “e”

F = (c,o)

(0,b)

c

b

(0,-b)

y

x

156

Observe que, cuando e tiende a uno, es decir, cuando la distancia focal c se

aproxima al valor del semi-eje mayor , la elipse se alarga, b se reduce y la elipse

tiende a convertirse en una línea. Por el contrario, si la relación e tiende a cero, el

semi-eje mayor se reduce tendiendo al valor del semi-eje menor . Cuando

esto ocurre, la elipse se va transformando en un círculo.

Nota: Lo anterior nos indica que el círculo es un caso particular de la elipse.

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:

A través de un proceso algebraico que incluye inicialmente el desarrollo de los cuadrados se obtiene: b2x2 + a2y2 – 2b2px – 2a2qy + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 que obedece a la ecuación cuadrática general: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, con lo cual se pueden realizar las sustituciones de coeficientes, así:

A = b2

B = a2

C = – 2b2p

D = – 2a2q

Figura 7.3 c) “e” tiende a cero

F = (c,o)

(0,b)

c

b

(0,-b)

y

x

Figura 7.3 b) “e” tiende a uno

F = (c,o)

(0,b)

cb

(0,-b)

y

x

157

E = p2b2 + q2a2 – a2b2

Observe que es el mismo modelo de la ecuación para la circunferencia, excepto porque los términos en A y B pueden ser diferentes.

De igual manera como para la circunferencia, se tienen por lo menos dos métodos para hallar los elementos de la elipse a partir de la ecuación general: por sustitución o por factorización

EJEMPLO 4.9: Definir todos los elementos de la elipse cuya ecuación es:

4x2 + 9y2 + 24x – 54y + 81 = 0

Solución: como la ecuación ya tiene la forma de la ecuación general, (en caso contrario se debe hacer el tratamiento algebraico necesario para lograrlo) se puede proceder a hacer las sustituciones ya planteadas:

A = 4 4 = b2 luego b = 2

B = 9 9 = a2 luego a = 3

Los radios (semi-ejes) de la elipse son: sobre el eje x: a = 3; sobre el eje y: b = 2. Hallemos el centro (p, q).

C = 24 24 = – 2pb2 como se conoce b, p = – 3

D = – 54 – 54 = – 2qa2 como se conoce a, q = 3

El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trata de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81.

E = (-3)2(2)2 + (3)2(3)2 – (3)2(2)2 = 81

La ecuación de la elipse queda: (ver figura 7.4)

Figura 7.4 Ejemplo 7.2

O (-3,3)

(-3,5)

(0,3)(-6,0)

(0,1)

Y

X

F(-0.76,3)

F(-5.24,3)

158

EJEMPLO 4.10 dada la ecuación 2x2 + 8x + y2 + 4 = 1, encuentre: los focos, los vértices y el centro de la elipse.

Solución: agrupar términos semejantes

2(x2 + 4x) + y2 = -3 ¿por qué?

Completar cuadrados

2(x2 + 4x + 4) + y2 = 5 ¿por qué?

2(x + 2)2 + y2 = 5

Para que la expresión sea igual a la unidad, se divide toda entre cinco (5)

Ahora se puede asegurar que la elipse es vertical ¿Por qué?Con centro en: O (h, k)

O (-2, 0)

eje mayor (diámetro mayor) = 2

b eje menor (diámetro menor) = 2

c = 1.58

Focos: F1 (-2, 1.58) F2 (-2, -1.58) ¿Por qué?

Vértices: V1 (-2, ) V2 (-2, - ) ¿Por qué?

V3 (-0.42, 0) V4 (-3.58, 0) ¿Por qué?

Excentricidad e = = e = 0.71

159

EJEMPLO 4.11 encontrar todos los elementos de la elipse que representa la

ecuación:

Solución:

4( factor común

4 completar cuadrados

+ = 1 ¿por qué?

Observaciones de la ecuación:

F1 .

F2 .

Figura 7.5 . ejemplo 7.3

160

Elipse horizontal Centro: (0.88, -0.9)

Eje mayor: 2

Eje menor: 2

Foco: (1.48, -0.9) Foco: (0.28, -0.9)

Vértices: V1 (2.21, -0.9) V2: (-0.46, -0.9) V3: (0.88, -2.1) V4: (0.88, 0.3)

EJERCICIOS 4.9

1. Encuentre los parámetros y la ecuación de la elipse representada por la ecuación: x2 + 3y2 - 9 = 0

2. Encuentre los parámetros y la ecuación de la elipse representada por la ecuación: 12x2 + y2 = 16

3. Determine a, b, c, y e para la elipse 4x2 + 25y2 = 100

Figura 7.6 Ejemplo 7.4

161

4. Encuentre la ecuación de la elipse cuyos focos están en (-10, 0) y (10, 0), con un diámetro menor de 8

5. Encuentre la ecuación de la elipse cuya excentricidad es 1/3 y tiene y focos

en (0, 4)

6. Determine los parámetros y la ecuación de la elipse cuyos focos están en

(0, 4) y (0, -4) y sus vértices en (0 5)

Escriba la ecuación de la elipse y defina sus parámetros de acuerdo con cada una de las siguientes ecuaciones:

7. 4x2 + 6y2 – 16x – 18y = 08. 9x2 + 4y2 – 18x + 16y = 119. 5x2 + 3y2 – 8x + 12y = 610.10x2 + 9x + 8y2 – 7y = 611. 0.5x2 + 4.2y2 – 2x – 1.8y = 0.412. (3/5)x2 + y2 x – (7/8)y = 113. x2 + 3y2 = 5x – 6y14. 2x2 + 6y2 – 6x – 8y = 2

4.3.3 LA PARÁBOLA

Se ha dicho que las cónicas se generan al cortar un cono por medio de un plano. Si el plano de corte es paralelo a la base del cono (perpendicular a la altura), se genera un círculo. Cuando el plano de corte forma un ángulo diferente de 0° (no paralelo) con la base del cono, el contorno del corte es una elipse. Si la inclinación llega a ser paralela a la generatriz del cono, la figura que se forma es una parábola. Así, todo corte que se haga paralelo a la generatriz del cono genera una parábola.

162

4.3.3.1 DEFINICIÓN GEOMÉTRICA Y ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

La parábola es el conjunto de puntos que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

En la figura siguiente, el foco es el punto F(0, 1) y la directriz es la recta y = -1. Si se toma un punto cualquiera sobre la curva, sea el punto P(4, 4), y un punto sobre la directriz, Q(4, -1), se tiene que la distancia entre P y F es la misma distancia entre P y Q. asÍ,

o sea:

Para este caso particular, estamos tratando con una parábola cuyo vértice se encuentra en el centro de coordenadas. Si el foco está en (0, p), la directriz es la recta y = -p; tomando los puntos P(x, y) y el punto Q(x, -p), se tiene:

o sea:

Elevando al cuadrado queda:

163

Eliminando términos semejantes en la igualdad:

Esta última expresión corresponde a la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen de coordenadas (ver ejemplo 3.11) y que se abre hacia arriba. Observe que si se reemplaza “x” por “–x”, el valor de “y” es el mismo, esto significa que la curva es simétrica respecto del eje Y. en este caso, el foco está por encima del vértice, por lo tanto, la curva abre hacia arriba. Si el foco está por debajo del

vértice, es decir, si la ecuación esta dada por: la curva abre hacia

abajo.

En la ecuación de la parábola, el coeficiente de la variable lineal, 4p, tiene dos significados: “p” es la distancia del vértice al foco, la misma que del vértice a la directriz, y el “4p” es la longitud de la secante que pasa por el foco, es perpendicular al eje de simetría, y une dos puntos de la curva (lactus rectum o lado recto).

El signo de “p” indica la posición del foco, por encima (+) o por debajo (-) del vértice, y como el foco siempre está dentro de la parábola, también nos indica la concavidad de la curva.

Igual que las dos curvas anteriores (círculo y elipse), la parábola obedece a la ecuación cuadrática en dos variables: Ax2 + Cx + Dy + E = 0 o también:

By2 + Cx + Dy + E = 0

Observe que en la ecuación general de las cónicas, uno de los coeficientes de las variables cuadráticas es cero, con lo cual se obtiene la ecuación de una parábola.

EJEMPLO 4.12 Definir el foco y la directriz, y graficar la siguiente parábola:x2 = 6y

SOLUCIÓN: El vértice se encuentra en el origen de coordenadas (ver la tabla siguiente). El coeficiente de “y” es 6, por lo tanto: 6 = 4p, luego p = 3/2 (la curva se abre hacia arriba) y la directriz es la recta y = -3/2 y el foco se encuentra en el punto F(0, 3/2)

Para la gráfica: y = x2/6

x 0 3 -3 4 -4 6 -6Y 0 3/2 3/2 8/3 8/3 6 6

164

Cuando la parábola no tiene su vértice en el origen de coordenadas, la ecuación canónica de la parábola toma la forma similar a las curvas anteriores:

Donde h y k son las coordenadas del vértice de la parábola

EJEMPLO 4.13 Dibuje la gráfica de la función: 2

SOLUCIÓN: en primer lugar, se debe organizar la ecuación de tal manera que corresponda al modelo canónico de la parábola. Dividamos por el coeficiente de la variable cuadrática

Luego: 4p = -2 por lo tanto p = -1/2

De lo anterior, h = 0 k = 1

Por lo tanto, la directriz es la recta y = 3/2 (Por qué)El foco está en el punto F(0, ½) (Por qué)la curva abre hacia abajo

Para la gráfica:

x 0 1 -1 2 -2 4 -4y 1 ½ ½ -1 -1 -7 -7

165

EJEMPLO 4.14 grafique la curva representada por la ecuación:4x – y2 + 6y – 1 = 0

Solución: llevemos esta ecuación a la forma canónica:

4(x + 2) = (y – 3)2 ¿Por qué?

4p = 4 por lo tanto, p = 1 El vértice de la parábola está en el punto (-2, 3) Como la variable cuadrática es “y”, el eje de simetría es paralelo al eje “X” La coordenada “y” del foco es la misma del vértice, y la coordenada “x” se

encuentra sumando “p” al valor “x” del vértice: F(-1, 3) La curva se abre hacia la derecha ¿Por qué? La directriz es la recta x = -3

F

VDIRECTRIZ

166

EJERCICIO 4.10

Graficar la parábola representada por cada una de las ecuaciones siguientes definiendo su vértice, foco y directriz. Realiza una tabla de valores por lo menos con siete puntos

1. (x – 2)2 = 15(y – 1)2. (y – 2)2 = 15(x – 1)3. 2x2 + 3y – 8x + 4 = 04. 2x + 3y2 – 8y +1 = 05. 5x = 3y2 + 6y + 16. Y2 – 8 + x = 07. 5y – y2 = 3x + 28. En los ejercicios 8.1 y 8.2 encuentre la ecuación, vértice, foco y directriz, para

cada gráfica

167

8.1

8.2

168

8.3 Encuentre la ecuación y dibuje la gráfica de la parábola

4.3.4 LA HIPÉRBOLA

Como en los casos de las cónicas anteriores (círculo, elipse, parábola), la hipérbola se genera al cortar el cono con un plano con una inclinación que varía entre la paralela a la generatriz y la paralela al eje del mismo (ver figura siguiente). Generalmente se habla de la hipérbola de dos hojas puesto que el plano de corte interseca los dos conos.

169

4.3.4.1 DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE LA HIPÉRBOLA

Aunque la forma de las elipses y las hipérbolas es totalmente diferente, sus definiciones y ecuaciones son parecidas. En lugar de usar la suma de las distancias a dos focos fijos, como en el caso de la elipse, se usa la diferencia de las distancias para definir una hipérbola.

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos llamados focos es constante e igual al eje transverso. (Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola).

4.3.4.2 ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA HIPÉRBOLA

Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje X, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje X. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a. Donde “a” es el llamado semieje transverso

Por medio de un procedimiento similar al empleado para la elipse se llega a la expresión:

170

Llamemos al denominador de para obtener:

Ecuación canónica de una hipérbola horizontal con el eje “X” como

eje focal (eje que pasa por lo focos)

Ecuación canónica de una hipérbola vertical con el eje “Y” como eje

focal (eje que pasa por lo focos)

Si en la ecuación general de segundo grado en dos variables:

, los coeficientes A y B tienen signos contrarios, sin

importar su valor, entonces la cónica obtenida es una hipérbola. Al completar cuadrados en la ecuación general de segundo grado, se obtiene la ecuación de la Hipérbola:

Hipérbola horizontal con el eje focal paralelo al eje “x”

Hipérbola vertical con el eje focal paralelo al eje “y”.

En donde el centro tiene coordenadas (h,k), “ ” es el semieje transverso y “b” es

el semieje conjugado; en este caso “ ” puede ser mayor o igual que “b”, de

171

manera que la dirección de la hipérbola se determina por la ubicación del signo negativo (-), así: Si este signo precede a la variable “y” , la hipérbola es horizontal y si precede a la variable “x” la hipérbola es vertical. El eje transverso coincide con el eje focal y el eje conjugado coincide con el eje normal, el cual es perpendicular al eje focal y pasa por el centro “C(h, k)”. Esta cónica al igual que la elipse también es bifocal y sus focos se calculan con la ecuación:

, donde “c” es también la distancia del centro a cada uno de los focos.

Similar a la parábola, en esta ecuación representa la distancia del centro de la

hipérbola hasta el vértice; c representa la distancia del foco al centro de la figura; como el centro está por fuera de la curva, entonces c > a y la relación de

excentricidad queda: por lo tanto, e > 1

Cuando la hipérbola está centrada en un punto cualquiera (h, k) la ecuación es:

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:

b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0

Si hacemos: A = b2

B = – a2

C = – 2pb2

D = 2qa2

E = p2b2 – q2a2 – a2b2

Tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es similar a la de la circunferencia, o a la elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales, ni tener el mismo signo.

Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (h, k)

172

Tomando la ecuación canónica de la hipérbola y sin tener que recurrir

al cálculo podemos indicar las ecuaciones de las asíntotas:

Despejemos “y” en función de “x”:

A medida que “x” crece, en la cantidad subradical el término independiente se

vuelve insignificante, por lo cual se puede decir que:

si

EJEMPLO 4.15: Dada la ecuación: Hallar:

a) El tipo de cónica.b) Las coordenadas del centro

c) El valor de su semieje transverso

d) El valor de su semieje conjugado (b)

e) Las coordenadas de los focos y los vértices

f) Sus asíntotas

g) Graficar

Solución:

173

a) Claramente se nota que las variables cuadráticas tienen diferentes signos para sus coeficientes: A = 3, B = -4 por lo tanto, esta ecuación corresponde a una hipérbola. Ahora, como aparecen los términos en “x” y “y”, se deduce que el centro está por fuera del origen de coordenadas.

b) Para encontrar las coordenadas del centro procedemos a factorar la ecuación completando cuadrados e igualándola a la unidad, quedando de la

siguiente forma: de donde h = -1/3 y k = -5/8 luego

el centro de la hipérbola es C (-1/3, – 5/8)

c) Semieje transverso

d) Semieje conjugado = 1.75

e) Para encontrar las coordenadas de los focos debemos buscar el valor de

Si tenemos c y

sabemos que la hipérbola es de tipo vertical (por qué?), sus focos están ubicados en F1= (h, k+c) y F2= (h, k-c), es decir:

174

Los vértices están ubicados en:

f) Para las asíntotas se pueden construir sus ecuaciones como:

g) Gráfica.

EJERCICIOS 4.11: Determine todos los elementos de cada hipérbola y trace su grafica:

175

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.Encuentre los elementos desconocidos de las gráficas:

176

12.Deduzca una ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones dadas:

a) Focos en (±5,0), vértices en (±3,0)b) Vértices en (±1,0), ecuaciones de asíntotas y= ±5xc) Ecuaciones de las asíntotas y= ±x, la hipérbola pasa por (5,3)

BIBLIOGRAFÍA:

CLEMENS, Stanley. Geometría. Serie AWLI. México: Pearson, 1998 FLEMING, Walter. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México:

Prentice Hall Hispanoamericana, 1991 KINDLE, Joseph H. Geometría analítica, plana y del espacio. México:

McGraw Hill, 1991 LONDOÑO, Samuel. Aritmética y geometría. Medellín: Bedout, 1968 MESA ORLANDO, SIERRA GLORIA. E Y SERNA OMAR: Iniciación a la

geometría. Educación básica primaria, 1°,2°, y 3°. Centro de Investigaciones educativas. Universidad de Antioquia, Noviembre de 2000.

MESA, Orlando, URIBE, Consuelo y FERNÁNDEZ .B, León Darío. Matemática integrada: Álgebra y Geometría. Medellín: ITM, 2004

RICH Bamett. Geometría. 2 ed. México: McGraw Hill, 1991. STEWART, JAMES y otros, Precálculo. Editorial Thomson, 3 ed.

PÁGINAS DE INTERNET RECOMENDADAS

www.google: Descartes www.sosmath.com/algebra/algebra.html www.padowan.dk

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libro geometria

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