5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 1/50

1. INTRODUCCION

Trabajo realizado por los estudiantes de Ing. Civil Alejandro Gómez Franco y

Carlos Alberto Soto de tercer semestre de la universidad libre de Pereira. En elcual a partir de investigaciones y análisis geométricos se quiere saber como estase aplican en la ejecución de la ingeniería civil. Enfocándonos en un campobastante amplio y complejo como lo son los modelos de puentes; analizando comola geometría nos resuelve problemas tanto de construcción y de urbanismo en elsector y región en el cual vayan a ser construido dichos modelos.

Investigar y analizar los diferentes puentes a nivel mundial observando cómo losingenieros han aplicado la geometría para construir el modelo de puente másefectivo para los diferentes problemas que se encuentran en el amplio mundo de

la ingeniería civil.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 2/50

 

2. OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES: conocer, entender y aplicar como la geometría esaplicada en la ingeniería civil para construir. Y como nos resuelve los diferentesproblemas a la hora de realizar esta.

2.1 OBJETIVOS ESPECIFICOS:

1. Conocer y aprender la importancia de la geometría aplicada en los modelos

de puentes2. Darnos cuenta de la importancia de tener un pensamiento lógico

matemático y geométrico para nosotros como ingenieros.3. aplicar los postulados aprendidos en clase para analizar los modelos de

puentes. 4. Con todos los conocimientos adquiridos en el curso y las investigaciones

respectivas sobre el tema llegar a realizar un propio modelo de puente. 

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 3/50

2. Teoría de geometría euclidiana

La geometría euclidiana (o geometría parabólica)1 es aquella que estudialas propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones losmatemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones

superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia,geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de geometríaclásica.

Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana esaquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos,dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente—desde Arquímedes hasta Jakob Steiner

Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio pormétodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real dedimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (elfrecuentemente denominado «producto escalar habitual»).

Según el programa de Erlangen, la geometría euclidiana sería elestudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano(espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un productoescalar).

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en unformato axiomático. Un sistema axiomático es aquél que, a partir de uncierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidascomo axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevasproposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.

Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquiersentido.Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y decualquier radio.Todos los ángulos rectos son congruentes.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 4/50

Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dosángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan dellado en el que están los ángulos menores que dos rectos.Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas,fue reformulado como:

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a larecta dada.Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchosgeómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de losanteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgierondos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemanno riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ningunarecta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica ode Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto

exterior a una dada).

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran autoevidentes ypor tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, resultó queel quinto postulado —si bien es compatible con los otro cuatro— en ciertomodo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como lanegación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatropostulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido sellaman geometrías no euclidianas.Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de

sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axiomano era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta elsiglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas,hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.Si bien durante el siglo XIX se consideró que las geometrías no euclidianasse consideraron un artefacto matemáticamente interesante, e incluso concierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometríaesférica usada en astronomía. Pero en cierto modo se consideraba, que lageometría del espacio físico era euclidiana y por tanto las geometrias noeuclidianas eran tan sólo un artificio abstracto interesante o útil para ciertosproblemas pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sinembargo, el trabajo de Albert Einstein, hizo ver que entre las necesidadesde la física moderna están las geometrías no euclidianas, para describir elespacio-tiempo curvo.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 5/50

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distanciamenor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utilizaen su primera construcción).Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también

iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto demovimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definirexplícitamente).

3.1 Biografía de Euclides

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmenteEgipto) durante el reinado dePtolomeo I. Ciertos autores árabes afirmanque Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Loselementos y otras obras atribuidas a él.

2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajabaen Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas deEuclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después desu muerte.

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo dematemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides delpersonaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien añosantes.Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededordel 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos,

dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre lahistoria de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclidesreunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción yde Teeteto sobre los poliedros regulares.

Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas delmundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 6/50

académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente decinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculosy esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares.Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sidodemostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y

su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay muchaevidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía loselementos ya que presenta un gran número de definiciones que no sonusadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide.Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en laescuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

  La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.  En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras. 

En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de ladivisibilidad.La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumentode razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchoscampos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en lasmatemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, enel siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cualla Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol danvueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y

combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclidesconstituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo,supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto depuntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que unasuperficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdocon Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero.Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión iguala uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tienedimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo,tiene dimensión tres:largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo elsaber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fueuna obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX. De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menosevidente. Diversos autores intentaron sin éxito prescindir dedichoaxioma intentándolo colegir del resto de axiomas.Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose eninvalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 7/50

"geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característicaprincipal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de untriángulo ya no suman 180 grados.

3.3 Axiomas y delineaciones

Hace muchos siglos la geometría hizo su aparición en el mundo. Fueron losgriegos, y entre ellos Euclides, quienes fundaron esta ciencia. Laconstruyeron observando directamente los cuerpos de la naturaleza. Deellos extrajeron los conceptos de punto, recta y plano, que forman la basede esta ciencia.Cualquier figura geométrica es un conjunto de puntos, rectas y planos, demodo que se les pueden aplicar todas las ideas que sobre conjuntosconocemos.

Estos tres conceptos sobre los cuales construimos la geometría, como todoconcepto primario, no admiten una definición; por lo tanto, tenemos querecurrir a la intuición.Decimos que un granito de arena, la huella que deja sobre el papel un lápizde punta afilada, nos sugieren la idea o concepto de punto.Igualmente, un hilo tenso nos da idea de recta, o una superficiepulimentada nos da idea de plano.Si intentamos quitar el soporte material que nos da la idea y nospreguntamos qué son en sí, se nos hace muy difícil responder a estacuestión. Estos conceptos intuitivos e indefinibles reciben el nombre de

primeros principios, axiomas o postulados.Axiomas fundamentales:Primer axioma. Existen unas "cosas" que llamamos puntos.Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Lasrectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión y losplanos tienen dosdimensiones, ilimitadas ambas. En las representaciones que realizamostenemos que hacerlos limitados necesariamente.Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta y solamente una a la quepertenecen. Del mismo modo, el conjunto de los demás puntos de ella sedicen alineados con los dados.Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados.De este axioma se puede deducir directamente que un plano está tambiéndeterminado:

  a) Por una recta y un punto exterior a la misma.  b) Por dos rectas que se cortan.  c) Por dos rectas paralelas.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 8/50

Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, estátoda ella incluida en él.De este postulado deducimos que una recta con relación al plano puedeocupar tres posiciones:

  a) Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En este caso

decimos que la recta y el plano sog paralelos.  b) Que la recta tenga un solo punto común con el plano. En este caso, la

recta corta al plano.  c) Que la recta tenga dos puntos en común con el plano y por lo tanto está

contenida en él.

Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias.

Si dos rectas no están en el mismo plano se dice entonces que se cruzan.

Sexto axioma. Axioma de división del espacio.Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios de talforma que:

  a) Todo punto que no pertenece al plano está en uno solo de lossemiespacios.

  b) Dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sincortar el plano

  c) Dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una líneasin cortar el plano.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 9/50

A partir de estos conceptos que hemos estudiado, no hay nada arbitrario,sino que toda demostración se ha de desarrollar con rigor lógico.

4. Segmentos y ángulos

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

Igualdad de segmentos

Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden.

Segmento nulo

Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Segmentos consecutivos

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

Segmentos alineados

Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la mismarecta.

Operaciones con segmentos

Suma de segmentos

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 10/50

La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen delprimer segmento y como final el final del segundo segmento.

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dossegmentos que lo forman.

Resta de segmentos

La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final delsegmento menor y por final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de losdos segmentos.

Producto de un número por un segmentoEl producto de un número con un segmento es otro segmento resultado derepetir el segmento tantas veces como indica el número por el que semultiplica.

La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud delsegmento inicial.

División de un segmento por un número

La división de un segmento por un número es otro segmento tal quemultiplicado por ese número da como resultado el segmento original.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 11/50

La longitud del segmento obtenido es igual a la longitud del segmento inicialdividido por el número.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienenel mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián,el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas(trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendidoentre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es elque abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamañoaparente.

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas decualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origencomún. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectastangentes en el punto de intersección.

2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe unsegmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice

desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es ensentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considerapositivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillasdel reloj), el ángulo se considera negativo.

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que seencuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus unángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer conceptofue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de unalínea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el

espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercerconcepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos soncuantitativas.

Tipo Descripción

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 12/50

Ángulo nulo  

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto

su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudoEs el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de

0 rad y menor de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90°(grados sexagesimales), o

menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a rad 

Es equivalente a 90°sexagesimales (o 100g centesimales ).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide

con el vértice.

Ángulo obtusoUn ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor

a rad

Mayor a 90° y menor a 180°sexagesimales (o más de 100g y menos

de 200

g

 centesimales ).

Ángulo llano, extendido o

colinealEl ángulo llano tiene una amplitud de rad 

Equivalente a 180°sexagesimales (o 200g centesimales ).

Ángulo completo

o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad

Equivalente a 360°sexagesimales (o 400g centesimales ).

Ángulos convexo y cóncavo

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 13/50

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen comúndeterminan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otrocóncavo (el de mayor amplitud)

Tipo Descripción

Ángulo convexo

o saliente Es el que mide menos de rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos

de 200g centesimales ).

Ángulo cóncavo,

reflejo o entrante Es el que mide más de rad y menos de rad.

Esto es, más de 180°y menos de 360°sexagesimales (o más de 200g y

menos de 400g centesimales ).

5. Triangula

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que secortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos deintersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinadosson los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos

interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, unnombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en unasuperficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 14/50

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono,suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B , C ,...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrandosucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC . En el caso del triángulo, los

vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 manerasposibles (ABC , ACB , BAC , BCA, CAB ,CBA), corresponde a un recorrido de superímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por susextremos: AB , BC yAC , en nuestro ejemplo.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vérticeopuesto, convertido a minúscula latina: a para BC , b paraAC , c para AB .

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten

el extremo O es

También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada porun acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letrasmayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismosnombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de untriángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia deambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por unacento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar losángulos:

Triángulos— Resumen de convenciones de designación 

Vértices  A  B  C 

Lados (como 

segmento )  BC  AC  AB 

Lados (como 

longitud ) a  b  c 

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 15/50

Ángulos 

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados

o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

  como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los

tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

  como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir,"con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los

ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales deMileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dosángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos;a lados iguales, ángulos iguales1 ), y

  como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienenlongitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que

  tengan la misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

  Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos ladosque conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro

lado hipotenusa.  Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son

rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos sonoblicuángulos.

  Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso(mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 16/50

  Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores sonmenores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular detriángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

[editar]Clasificación según los lados y los ángulosLos triángulos acutángulos pueden ser:

  Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dosiguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

  Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todosdiferentes, no tiene eje de simetría.

  Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos soniguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dostriángulos iguales).Los triángulos rectángulos pueden ser:

  Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales(de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los ladosiguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respectoa la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

  Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados yángulos son diferentes.Los triángulos obtusángulos pueden ser:

  Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos ladosiguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que

estos dos.  Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados

son diferentes.

Triángulo equilátero  isósceles   escaleno  

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 17/50

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Postulados de congruencia

Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, ngulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos lados de unotienen la misma longitud que dos lados del otrotriángulo, y los ángulos comprendidos entre esoslados tienen también la misma medida.

Postulado ALA ( ngulo, Lado, ngulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulosinteriores y el lado comprendido entre ellos tienen lamisma medida y longitud, respectivamente. (El ladocomprendido entre dos ángulos es el lado común aellos).

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 18/50

 

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)Dos triángulos son congruentes si cada lado de untriángulo tiene la misma longitud que loscorrespondientes del otro triángulo.

6. Cuadrilateros

Cuadrilátero significa "cuatro lados" (cuad significa cuatro, latero significalado).Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros. Pero los lados tienenque ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.

Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:

1. 4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman elcuadrilátero;

2. 4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;3. 2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;4. 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;5. 4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación

del lado adyacente.

Clase de cuadriláteros:

Paralelogramos

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 19/50

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos. Seclasifican en:

Cuadrado

El cuadrado tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

El rectángulo tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo

El rombo tiene ángulos iguales dos a dos y los cuatro lados iguales.

RomboideEl romboide tiene lados iguales y paralelos dos a dos.

Trapecios

Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados basemayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectángulo

El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos.

Trapecio isósceles

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 20/50

El trapecio isósceles tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escalenoEl trapecio escaleno no tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

Trapezoides

Los trapezoides son cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

Puente en forma rectangular

Durante la segunda parte del siglo XIX, el desarrollo económico en el este deLondres, llevó a la necesidad de un nuevo paso sobre el río más abajo del Puentede Londres. No se podía construir el tradicional puente fijo debido a que cortaría elacceso al puerto que en esa época se situaban en el Pool of London, entre elPuente de Londres y la Torre de Londres. Un túnel bajo el Támesis, TowerSubway fue inaugurado en 1870, pero sólo servía para tráfico peatonal.

En 1876 se creó un comité especial para encontrar una solución al paso sobre elrío, que convocó un concurso para elegir el diseño del futuro puente. Más de 50diseños fueron propuestos, incluido uno de Sir Joseph Bazalgette. La evaluaciónde los diseños estuvo rodeada de controversia, y no fue hasta 1884 cuando elcreado por Horace Jones, el Arquitecto de la Ciudad, fue aprobado.

El diseño de Jones era un puente levadizo de 244 m de longitud, con dos torres de65 m de altura. La distancia central de 61 m entre las dos torres, se divide en doslevas, que pueden elevar hasta un ángulo de 83 grados para permitir pasar eltráfico fluvial. A pesar de que cada leva pesa más de 1000 toneladas, estáncontrapesadas para minimizar la energía requerida para elevarlas durante un

minuto. El mecanismo hidráulico original utilizaba agua a presión almacenada enseis acumuladores. El agua era bombeada dentro de los acumuladores mediantemotores de vapor. Actualmente, la maquinaria hidráulica original todavía abre elpuente, aunque ha sido modificado para utilizar aceite en lugar de agua, y motoreseléctricos han sustituido el lugar de las máquinas de vapor y los acumuladores. Elantiguo mecanismo está abierto al público.

Ha aparecido en películas tales como "Spice World (1997)", The Parent Trap, Lamomia, Harry Potter y la Orden del Fénix, Viruta y Capulina contra las momias,El

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 21/50

hombre lobo (2010) y Sherlock Holmes (2009) y también en series de anime talescomo Kinnikuman (Musculman) y Kuroshitsuji , siendo éste el "poder especial" deRobin Mask, y también en los videojuegos, como Midnight Club: Street Racing.

7. circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la mismadistancia de un punto fijo llamado centro.

Elementos de la circunferencia

Centro de la circunferencia

El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia

El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un puntocualquiera de la misma.

Cuerda

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 22/50

Diámetro

El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetromide el doble del radio.

Arco

Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia

Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados sondos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados sonsecantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 23/50

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y elotro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior 

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitadde la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y lasprolongaciones de sus lados.

Ángulo exteriorSu vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son:o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

Interior

La distancia del punto al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia.

El punto pertenece a la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

La distancia del punto al centro es mayor que el radio.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 24/50

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Recta secante 

La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente

La recta corta a la circunferencia en un punto.

Recta exterior

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

Puentes en forma circular

Este puente llama la atención del turista por lo bien hecho que está y por locurioso que es ya que no se ven muchos puentes de este tipo en el mundo. Ni quedecir tiene que este puente es uno de los reclamos turísticos de Austria de los

últimos años ya que desde que se construyó los curiosos turistas no han dejadode pasar por aquí para quedarse maravillados ante esta estupenda construcciónque es bastante interesante y curiosa.

Se inauguró en 2003 y desde entonces ha sido todo un éxito. Por este puente tansólo pueden pasar peatones. La curiosa forma de Aiola Island hace de este puenteuna gran estructura. Además dentro del puente podremos encontrar unas curiosascafeterías y solarium que tiene la misma arquitectura que el puente. No le falta denada a este curioso y pintoresco puente que hace las delicias de todos los quepasan y pasean por él.

Ya lo saben que si pasan por esta zona no deben de perderse ya que suestructura es maravillosa y siempre pueden observarla desde el exterior comodesde el interior e incluso tomarse algún café en su selecta cafetería. Seguro quese lo pasan muy bien y disfrutan de este estupendo puente.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 25/50

 

8. Proporcionalidad y Semejanzas

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de losescasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto sedebe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. Laproporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factorconstante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entrelas magnitudes.

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando secomparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de laproporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las dela semejanza.

Ejemplo

Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas;¿Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número dealbañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dosveces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale adecir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (sonintercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajosupone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 26/50

 

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por unaetapa intermedia: ¿Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas? Elparámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica laproporcionalidad con el tiempo (su tabla roja). La superficie construida serámultiplicada por. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando éldel número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la su tablaazul es proporcional).

El resultado final es metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientescorrespondientes a cada factor:

Semejanza

Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posiblereflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar eltamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el casode un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuyaforma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si susángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Paradenotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF,donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C secorresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas laslongitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitudorigen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulossemejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los ladoscorrespondientes son congruentes.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 27/50

 

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Corolarios

Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también soniguales.

Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posiblereflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar eltamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dostriángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la formasólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo,donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menosalargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificarasí la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a

dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Paradenotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF,donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C secorresponden con D, E y F, respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (quela caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tantolas razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da unasegunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos sonsemejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentesPropiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo.Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel essemejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y

éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estastres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos esuna relación de equivalencia.

Puentes

Puente colgante de Dubai

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 28/50

Como era de esperar, a Dubai no le va a faltar el puente mas alto del mundo, yatienen la torre mas grande, el centro comercial, las islas artificiales, el aeropuerto,el puerto marítimo, el centro de atracciones y la pista de sky artificial mas grandesdel mundo, eso sin contar con el hotel de siete estrellas, el mas lujoso del mundo.Pues ahora tendrán también el puente colgante mas alto y grande del planeta:

Donghai Bridge

Vasco da Gama Bridge, Portugal

El vasco da Gama Puente (portugués: Ponte vasco da Gama) es un puente decable que se extendió en el río Tajo, cerca de Lisboa, capital de Portugal. Este es

el puente más largo de Europa (incluidos los viaductos), con una longitud total de17,2 km (10,7 millas), incluyendo 0.829 kilómetros (0,5 millas) del puente principal,11,5 km (7,1 millas) en viaductos y 4,8 km (3,0 millas ) en una carretera de accesoespeciales. El objetivo es reducir la densidad en la ciudad de Lisboa.

Chesapeake Bay Bridge, Maryland, US

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 29/50

Chesapeake Bay Bridge (comúnmente conocido como el Puente de la Bahía) esun espacio de doble puente en Maryland, EE.UU... Se conecta el este y lasregiones de la Costa Oeste. Longitud es de 4,3 millas (7 km), la duración originalera la estructura más larga del mundo sobre el agua de acero, cuando abrió suspuertas en 1952. El puente se llama oficialmente el William Preston Lane, Jr.

Memorial Bridge después de que William Preston Lane, Jr., quien fue gobernadorde Maryland, llevado a cabo su construcción.

9. Áreas de Regiones Planas

  Triángulos

Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados ytres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º.

Cada uno de los lados es menor que la suma de losotros dos, esto esa < b + c b < a + c c < a + b  

De la afirmación anterior se deduce que la diferencia de dos lados es menor que eltercero.

Área de un triángulo 

Si conocemos un lado (base) y su distancia al vértice opuesto (altura), entonces elcálculo del área viene dado por la fórmula: 

  Cuadrado

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 30/50

 Un cuadrado es una poligonal cerrada cuatro lados y cuatro ángulosiguales.Cualquier cuadrilátero (polígono con cuatro lados) cumple que suscuatro ángulos interiores suman 360º, como los cuatro ángulos son

iguales, cada uno de ellos será recto (90º).Al ser sus ángulos rectos es un caso particular de rectángulo.Como sus lados son iguales también es un caso particular de rombo.  

Área del cuadrado

  Rectángulo

Un rectángulo es una poligonal cerrada de cuatro lados cuyos cuatro ángulosinteriores son rectos. Los lados de un rectángulo son iguales dos a dos.Los ladosson paralelos dos a dos, por tanto, un rectángulo es un caso particular deparalelogramo.

  Rombo

Poligonal cerrada de cuatro lados, iguales y paralelos dos a dos. Sus ángulos soniguales dos a dos. Las rectas que unen cada vértice con el opuesto se llamandiagonales, la mayor de ellas se llama diagonal mayor y la meno diagonal menor.En un rombo las dos diagonales se cortan formando un ángulo de 90º.

  Trapecio

Poligonal cerrada de cuatro lados, de ellos dos son paralelos. La suma de loscuatro ángulos es 360º. Los lados paralelos se llaman base mayor (B) y basemenor (b). Se dice que un trapecio es isósceles si sus lados no paralelos soniguales (como el de la figura), en este caso dos de sus ángulos interiores sonagudos y dos son obtusos. Un trapecio es rectángulo si uno de los lados noparalelos es perpendicular a los paralelos, como consecuencia tendrá dos ángulos

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 31/50

rectos, uno agudo y otro obtuso. Un trapecio es escaleno si no es ni isósceles nirectángulo

  Paralelogramo

Poligonal cerrada de cuatro lados paralelos dos a dos. Los ángulos son igualesdos a dos y la suma de los cuatro son 360º. Casos particulares de paralelogramosson el cuadrado, el rectángulo y el rombo. La figura que aparece es un romboideque es el caso general de paralelogramo.

  Polígono rectangular

Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus lados y ángulos interioresiguales. Características de un polígono regular

Lado es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice es el punto enel que se encuentran dos lados. Centro del polígono es el punto que equidista detodos los vértices. Apotema es el segmento que une el centro con un lado. Radioes el segmento que une el centro con un vértice. Perímetro es la suma de todossus lados.

  Circulo

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de unodado, denominado centro de la circunferencia. Se llama círculo al interior de lacircunferencia, es decir, al conjunto de puntos del plano que distan del centromenos que la circunferencia. Un sector circular es porción de círculo, es decir, es

una parte del círculo limitada por dos radios. En la figura es la zona sombreada (gris claro y gris oscuro). Un segmento circular es una parte del círculo limitada porun arco y su cuerda, en la imagen es la región de color gris oscuro. Una coronacircular es la región del plano limitada por dos circunferencias concéntricas.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 32/50

 

10. Geometría del espacio

Es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de lasfiguras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estasfiguras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, lapirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos,convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometríaplana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analíticadel espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usaampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el

espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.

Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otroscuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relacióndirecta entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.

La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):

Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)

Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales)

Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros 2)

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 33/50

 

10.1 Ángulos diedros y poliedros

Un ángulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dossemiplanos que parten de una arista común. Es un concepto geométrico ideal, ysólo es posible representarlo parcialmente, como dos rectángulos con un ladocomún, que simbolizan dos semiplanos.

El valor de un ángulo diedro es el de menor amplitud posible que conforman dossemirrectas pertenecientes a cada semiplano; se obtiene tomando un planoauxiliar perpendicular a la recta común, siendo la apertura de las semirrectasintersección, la medida del ángulo diedro.

En la imagen, los dos bordes delanteros o traseros de los semiplanos("rectángulos", en la imagen), si son perpendiculares a la recta común, sirvencomo referencia para medir el ángulo diedro.

En Geometría descriptiva, se utilizan como planos de referencia, los que formanun ángulo diedro de 90°.

Un ángulo poliedro es la región del espacio limitada por tres o más semirrectascon un origen común, llamado vértice. Cada semirrecta es una arista del ángulopoliedro, y dos de estas aristas consecutivas forman un plano llamado cara. Doscaras consecutivas forman un ángulo diedro. El ángulo poliedro más sencillo es unángulo triedro, formado por tres caras.

Cuando el ángulo poliedro está todo él en el mismo semiespacio respecto a cadauna de sus caras, se dice que es convexo, siendo cóncavo en caso contrario.

Una propiedad del ángulo poliedro es que tiene el mismo número de caras y dediedros que de aristas. Cada cara es menor que la suma de las demás. Además,

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 34/50

los ángulos de todas sus caras, y por tanto el ángulo poliedro en sí, suman unángulo menor a 360°.

10.2 Poliedros

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpogeométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabrapoliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys),"muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara". 

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantestopológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es elsemejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento loes en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatrodimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo quepodemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designaciónse basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5),hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.

Frecuentemente un poliedro se cualifica por una descripción del tipo de caraspresentes en él. Si todas sus caras son iguales se les denomina poliedro regular.Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedrorómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado enun poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubotruncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas orecortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de suscaras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de

donde provienen o de las características que los diferencian; según suscaracterísticas, se distinguen:

Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos delespacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta tambiéninterno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice queson poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidosde karim.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 35/50

Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro sonpolígonos regulares.

Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales. Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares de caras que se

reúnen en cada arista son iguales.

Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices delpoliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden. Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el

icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vérticesuniformes y de aristas uniformes.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estarincluido en más de uno de ellos.

Poliedros regulares

Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por

ejemplo un cubo o hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con ladosiguales con la misma longitud, éstos a su vez se unen en vértice con ángulos de90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, comoSólidos platónicos.

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos.Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y elicosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicabana cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua,aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos sonel inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos deArquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Poliedros irregulares

Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras y ángulos desiguales,por ejemplo un cono. El cono posee un triángulo, polígono regular y unacircunferencia, polígono irregular.

Sólidos arquimedianos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos decaras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueronampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando lossólidos platónicos; son once: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubotruncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, elIcosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, elRombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 36/50

Prismas y antiprismas

Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformesrestantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Losprismas y antiprismas son grupos infinitos.

Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, quele dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como ladostenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices sontriangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tresparalelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergensiempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prismadecagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30aristas y 20 vértices de orden 3.

Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una seriede triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el

antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ochovértices y 16 aristas.

10.3 Área y volúmenes de prismas y pirámides 

Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales yparalelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.

En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prismarectogularino. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal seencuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal,respectivamente.

El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de las bases por ladistancia entre ellas (altura):

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 37/50

 

  Área: 

 

 

  Volumen: 

  Elementos: 

: Área de la base.

: Área lateral.

: Perímetro de labase.

: Altura.

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con unacara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámidetiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales sontriángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a labase que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.

Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales sontriángulos isósceles.

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígonoregular.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con basesde 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyascaras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

  Área: 

 

  Suma áreas

triángulos 

  Volumen: 

  Elementos: 

: Área de la base.

: Área lateral.

: altura.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 38/50

 

  Área: 

  Suma áreas

trapecios 

 

  Volumen: 

  Elementos: 

: Área de la base

superior.

: Área de la base

inferior.

: Área lateral.

: Altura.

: Volumen de la

pirámide pequeña de

base b.

: Volumen de la

pirámide completa de

base B.10.4 Área y volúmenes de cilindros y conos circulares

Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a unadistancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie derevolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamadaeje de revolución.

El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al ejetambién se llamado cilindro.

En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquiersuperficie reglada generada por una familia uniparametrica de líneas paralelas.

Un cilindro puede ser:

cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases; cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases; cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360°

grados.

  Área: 

  

 

  Volumen: 

  Elementos: 

: Área de la base.: Área lateral.

: Altura.

: Generatriz.

: Radio.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 39/50

 

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de untriángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el

otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llamavértice.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por elconjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a unacircunferencia no coplanaria.

Se denominan:

Cono recto, si el vértice equidista de la base circular Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son elvértice y un punto de la circunferencia de la base.

La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conosrectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.

  Área: 

 

  

  Volumen: 

  Elementos: 

: Área de la base.

: Área lateral.: Altura.

: Generatriz.

: Radio.

10.5 Área y volumen de la esfera

Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerradacuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficiesemicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del término griego ζφα ῖ ρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globoterrestre), etc., para describir un volumen esférico.

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 40/50

 

  Área: 

 

  Volumen: 

  Elementos: 

: Radio.

11. Construcciones Geométricas aplicadas al proyecto inscrito

  Segmento

  Ángulos

  Triángulos

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 41/50

 

  Cuadrilátero

  Circunferencia

  Proporcionalidad

  Semejanza

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 42/50

 

  Área regiones planas

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 43/50

 

  Geometría del espacio

  Ángulos diedros

  Ángulos poliedro

  Prisma

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 44/50

 

  Pirámide

  Cilindros

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 45/50

  Conos

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 46/50

 

12. Conclusiones y recomendaciones

• Desarrollar las habilidades adquiridas en la clase de geometría

• Mantener una conversación con fluidez sobre las estructuras de lospuentes

• Discutir acerca de las maneras de construcción de los puentes

• Explicar situaciones en las que se deben construir los puentes

• Explicar como se deben hacer correctamente la elaboración de los puentes

• Expresar acuerdo y desacuerdo sobre los puentes

• Expresar dudas sobre los puentes

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 47/50

• Expresar necesidades y obligaciones en la elaboración de los puentes

13. Contenido

1. introducción

2. objetivos

2.1 objetivos generales

2.2 objetivos específicos

3. teoría de geometría euclidiana

3.1 Bibliografía de Euclides

3.2 Historia de la geometría

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 48/50

4. segmentos y ángulos

5. Triángulos

6. Cuadriláteros

7. Circunferencia8. proporcionalidad y semejanza

9. Área de Regiones planas

10. Geometría del espacio

10.1 Ángulos diedros y poliedros

10.2 Poliedros

10.3 Áreas y volúmenes de prismas y pirámides

10.4 Áreas y volúmenes de cilindros y conos circulares

10.5 Área y volúmenes de la esfera

11. Construcciones Geométricas aplicadas al proyecto inscrito

12. conclusiones y recomendaciones 

BIBLIOGRAFIA

  http://www.geoka.net/cuadrilateros/cuadrilatero.html   http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero   http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html   http://es.wikipedia.org/wiki/Puente_de_la_Torre   http://www.mostinterestingfacts.com/building/top-10-longest-bridges-in-the-

world.html   http://es.wikipedia.org/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)   http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia 

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 49/50

 

Clase y estructura de puentes

Geometría

Presentado A:

5/10/2018 geometria 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-2-55a0cbd5032a7 50/50

José Arboleda

Presentado Por:

Carlos soto calderón

Alejandro Gómez

3 de noviembre del 2011