guia n°2 curso verano 2010 geometria

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Guía n°2 Geometría

I.- PARTE ALTERNATIVAS:

*ANGULOS:

1) De estas afirmaciones son verdaderas:

I.- La suma de los ángulos adyacentes suplementarios equivale a un ángulo extendido.II.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.III.- Dos ángulos son suplementarios si la suma de ellos es igual a180°

a) sólo I b) sólo II c) sólo III d) sólo I y IIe) I, II y III

2) Si L1 // L2, ¿Cuánto vale a?

a) 35° b) 45°c) 16°d) 59°e) 79°

3) Sea L1 // L2, ¿Cuánto vale 2x – y + z?

a) 180° b) 30°c) 40°d) 50°e) 230°

4) Hallar la medida del ángulo CED. L1 // L2

a) 100° b) 120°c) 140°d) 160°e) 90°

5) En la figura siguiente, ¿Cuánto vale a?

a) 45° b) 60°c) 90°d) 180°e) 360°

1


6) En la figura, determinar el valor de y:

a) 10° b) 15°c) 25°d) 30°e) 35°

7) Si L1 // L2, determinar el valor de x:

a) 24° b) 23°c) 22,98°d) 23,98°e) ninguna anterior

8) En la siguiente figura, ángulo ABC recto, determinar el valor de x:

a) 50° b) 40°c) 30°d) 20°e) 10°

9) Si L1 // L2 y el doble de a es 30° menor que b, determinar en cuántos grados se diferencian a y b.a) 50° b) 60°c) 80° d) 130°e) 180°

10) Encontrar la medida de dos ángulos complementarios cuya razón es 2 : 3

a) 43° y 47° b) 36° y 54° c) 36° y 45°d) 25° y 65° e) 15° y 75°

11) En la figura siguiente, ¿Cuánto vale x?

a) 180° – ( a + b) b) 180° – a + bc) 180° + a + bd) 180° + ( a – b)e) 180° – ( a – b)

2


12) Hallar la medida del ángulo que, disminuido en su suplemento, es igual al triple de su complemento:

a) 22,5° b) 45° c) 60° d) 90° e) 180°

13) Sean L1 // L2 y a : b = 2 : 5. Determinar el valor de a.

a) 20° b) 40°c) 50°d) 120°e) 100°

14) Si L1 // L2 y L secante, determinar el valor de x:

a) 2° b) 3°c) 4°d) 27°

e)

15) En la siguiente figura, determinar el valor de x:

a) 30° b) 45°c) 60°d) 65°e) 90°

16) Si el 25% de a es 5,5° y el 40% de b es 52°, calcular a +b

a) 22° b) 40° c) 92° d) 130° e) 152°

17) Si a = 38° y b = 24°, encontrar el valor de x e y .

a) x = 117°; y = 25° b) x = 118°; y = 24°c) x = 116°; y = 23°

3


d) x = 23°; y = 116°e) x = 24°; y = 118°

18) Si L1 // L2, L4 es bisectriz de a y g = 35°, ¿Cuánto mide el suplemento de b?

a) 70° b) 180°c) 90°d) 35°e) 110°

* SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:

1) Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes.I. II. III.

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguno

2) Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ABC BCD, determinó que AB BD, que AC DC y que el CAB BDC, por ser rectos. ¿Qué criterio de congruencia utilizó?

a) LLL b) LAL c) ALA d) AAL e) LLA

3) En la figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto medio de CB. ¿Qué criterio de congruencia permite demostrar que el ACE BDE?

a) LAL b) ALA c) LLA d) LLL e) AAL

4) En los triángulos siguientes se verifica que AB DE, que BC EF y que el CAB FDE. ¿Qué criterio permite demostrar que estos triángulos son congruentes?

a) LLL b) LAL c) ALA d) LLA e) Falta Información

4


5) En la figura, el ABC DEF, entonces se verifica que:

a) AC DF b) BC DE c) AB FE d) AC FE e) AB FD

6) Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que:

a) AB DC b) BAO DCO c) AB //CD d) AO DO y AB CD e) BO CO y AO DO

7) Marca la alternativa de la proposición verdadera: a) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes. b) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo.c) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales.d) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AALe) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

8) Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es:

a) 9b) 15c) 17d) 40e) Falta Información

9) En la figura, ABCD es rectángulo y el DEA CFB. ¿Qué criterio permite demostrar que el EAD FBC?

a) LLL b) LLA c) ALA d) LLA e) Falta Información

10) En la figura, ABC equilátero y AF BD CE. El criterio que permite demostrar que los triángulos AFD, ECF y BDE son congruentes es:

a) LAL

5


b) LLL c) ALA d) LLA e) LAA

II.- PARTE PROPUESTOS:

* ANGULOS:

1. Determina el complemento de 72º.

2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?

3. ¿Cuál es el suplemento de (a - 12)º

4. Determina el complemento del suplemento de 143º.

5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?

6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a - 10)º.

7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.

8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a - 15)º y el complemento de (a - 45)º

9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7:2. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

10. Un ángulo y su complemento están en razón 2:1. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor?

11. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

14. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?

15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?

16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están los complementos respectivos de estos ángulos?

17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo?

18. Determina el complemento de 42º18'.

19. Determina el suplemento de 154º27'42''.

20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.

6


21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

22. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de esta división?

23. Dos ángulos opuestos por el vértice miden (20 - a)º y (a + 74)º. ¿Cuánto vale a?24. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?

25. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos respectivos?

26. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?

27. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

28. Los ángulos , y están en razón de 1:2:3.

Halla sus valores.

29. Dos ángulos consecutivos suman 100°. ¿Qué ángulo forman sus bisectrices?

30. Si tres ángulos suman 220°, y el menor es la tercera parte del mayor, y el mayor es el doble que el del medio. ¿Cuánto mide cada ángulo?

31. Demuestra que la suma de las medidas de los ángulos 1 + 4 es igual a 180°

32. Demuestra que la suma de las medidas de los ángulos2 + 5 + 6 es igual a 180°

33. En la figura: 1 = 2; 2 = 2. 3. Halla el valor del ángulo 7

34. Si un ángulo excede en 20° al triple de otro, y su suma son 140°. Halla sus medidas.

35. En tres ángulos que forman un ángulo llano, uno de ellos es la mitad del segundo y la tercera parte del tercero. Halla sus medidas.

36. Señala cuáles ángulos son alternos internos entre paralelas; alternos externos entre paralelas; correspondientes entre paralelas y suplementarios.

37. Si tres ángulos suman 300°, y el mayor es el doble del menor menos 20°, y el del medio es el triple del menor menos 100°. ¿Cuánto mide cada ángulo?

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38. Si tres ángulos suman 160°, y el mayor mide 5 veces lo que mide el menor, y el menor es la mitad de lo que mide el del medio. ¿Cuánto mide cada ángulo?

39. Si tres ángulos suman 290°, y el mayor mide el triple del menor mas 50°, y el del medio mide el doble que el menor. ¿Cuánto mide cada ángulo?

* TRIANGULOS:

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?

6. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O. Demuestra que OAA’ OBB’.

7. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’.

8. En el ABC, AD BC y CE AB. Demostrar que CE AB = AD BC

8


9. Si en el ABC, CD es la bisectriz del ACB y ABE ACD, demostrar que ACD DBE y que ADC CEB.

10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel.

11. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE EB = ED AE, demostrar que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos.

12. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD.

13. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y forman con estos lados los ángulos BCE y EDB iguales, demuestra que el ADE ABC.

14. Calcula AC y BC, sabiendo que AE = 18 cm., AB = 12 cm., DB = 6 cm. y DE = 21 cm.

9


15. Encuentra el valor de si = 25

16. Se sabe que y que biseca . Demostrar que QPX QPR

17. Dado que T = NGV Demostrar que NGV NTX

18. Dado que R = W. Demostrar que JYW JMR

19. Dado que // .Demostrar que: LKM BCM

10

15

3

A

BE

C

D

P

QX

R

N

G

V

X T

R N

J

Y W

L

K

M

C

B


20.. Según la figura. ; = 4 , = 6 , = 15 , =?

21. Hipótesis : Tesis : WTZ VWX

22. Hipótesis : ; Tesis : FBE DEC

23. ¿ En qué casos el ABC DEF ?

a)

b)

c)

d)

24.- ¿Qué ángulo forman dos diagonales de dos caras consecutivas de un cubo que se unen en un vértice?

25.- Calcula el ángulo obtuso que forman las dos bisectrices interiores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

11

L M

K N

J

X

W Z

VY

T

AB

D

F

E

C

BA

C E D

F


26.- Las ciudades norteamericanas son muy amigas de tener algo que sea lo mayor que existe en el mundo. Una de ellas decide hacer el edificio más alto del mundo y se lo encargan a un arquitecto vanguardista, el cual diseña un edificio cuya fachada es un triángulo isósceles muy estilizado; tanto que las bisectrices de los ángulos iguales se cortan en ángulo recto. ¿Cuál será la altura de este edificio?

27.- En la figura

AF es la bisectriz del ángulo A y BH la altura sobre la hipotenusa. Demuestra que el triángulo BEF es isósceles.

28.- Dadas tres rectas paralelas a, b y c, construye un triángulo equilátero que tenga un vértice sobre cada una de las tres rectas.

29.- Sea el triángulo equilátero ABC de área 1024 metros cuadrados. Uniendo los puntos medios se ha construido el triángulo A´BĆ´. Del mismo modo se construye el A´´B´Ć´´ y así sucesivamente.

Calcula:a) El área del triángulo A´BĆ´b) La suma de las áreas de los tres primeros triángulos

formados con el procedimiento que se ha explicado anteriormente.

c) El proceso puede ser infinito. ¿Cuánto suman las áreas de todos los triángulos que pueden formarse?

30.- Si a un triángulo le aumento un 20% su base y le disminuyo un 20% su altura, ¿qué le pasa a su área?

31.- Localiza un punto P sobre el lado BC de un triángulo ABC de forma que los triángulos ABP y APC tengan la misma superficie. Si BC es el lado de mayor longitud, busca sobre este lado un punto Q de tal modo que los triángulos ABQ y ACQ tengan el mismo perímetro.

32.- Para fabricar esta cometa se utilizaron 6 dm2 de papel amarillo para el triángulo OBC, 8 dm2 de papel verde para el triángulo OCD y 12 dm2 de papel blanco para el triángulo ODA. ¿Cuántos dm2 de papel rojo necesito para el triángulo OAB?

A

BC

H

E

F

12

A

BC

BĆ´

A´


33.- En el lado AB de un triángulo ABC se toma un punto K de tal forma que . ¿Dónde habrá que

tomar el punto D, situado en uno de los lados del triángulo para que la recta KD divida su área por la mitad?

34.- Tengo una parcela limitada por tres tramos de carretera rectilíneos de igual longitud. En las tres carreteras hay la misma densidad de tráfico. Con objeto de sufrir la menor contaminación acústica posible, deseo construir la casa en un punto tal que la suma de sus distancias a las tres carreteras sea máxima. ¿Dónde tengo que construir la casa?

35.- Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 10 m.

36.- Comprueba que si un cateto de un triángulo rectángulo mide 2a y el otro mide (a2-1), la hipotenusa mide (a2+1), a >1.

37.- Las ternas de números 2a , (a2-1) y (a2+1) se llaman ternas pitagóricas. Calcula ternas pitagóricas con todos sus términos menores que 30. 38.- Calcula la diagonal de un ortoedro de lados a, b, c.

39.- Di si el triángulo de lados 13, 10 y 7 es rectángulo acutángulo u obtusángulo.

40.- A ambos lados de una calle hay dos árboles, uno frente al otro. Uno de 6 m y otro de 4m. La distancia entre ambos es de 10 m y en sus copas hay un pájaro en cada una. Descubren en el suelo un trozo de pan y se lanzan al mismo tiempo y con la misma velocidad alcanzando a la vez la comida. ¿A qué distancia de los árboles estaba el pan?

41.- Calcula el área que queda entre las tres circunferencias sabiendo que tienen todas 10 cm de diámetro.

13

A

B

C

D

O


42.- En un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 5 cm, se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales y su longitud es 4 cm. Calcula el área del triángulo.

43.- Sea un cuadrado ABCD de lado 4 cm. Sobre el lado AB se construye un triángulo equilátero con el tercer vértice E en el interior del cuadrado. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEC?, ¿y el DEC?

44.- Las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden 5 y cm. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa?

45.- Sea una corona circular y sabemos que la cuerda de la circunferencia de mayor radio que es tangente a la circunferencia de menor radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área de la corona circular?

46.- En un cuarto rectangular cuyas dimensiones son 6 por 2,4 m y su altura 2,4 m, una araña se encuentra en el medio de una de sus paredes menores y a 0,20 m del techo. En la pared frontal de ésta se encuentra una mosca, asimismo en el medio de dicha pared y a 0,20 m del suelo, paralizada por el miedo que le causa la araña. ¿Cuánto mide el camino más corto que ha de seguir la araña para capturar a la mosca?

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