COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE MÉXICOPLANTEL TULTITLÁN

GUÍA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CORRESPONDIENTE AL: TERCER SEMESTRE

ESPECIALIDAD: ELECTRICIDAD/INFORMÁTICA

ELABORO: ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATUTINO

NOMBRE DEL ALUMNO:

No. DE LISTA:GRUPO: TURNO:

NOMBRE DEL PROFESOR:

GEOMETRIA ANALITICA

CONCEPTOS BÁSICOS.

A continuación se te proporcionan diversos ejercicios de los cuales para resolverlos necesitas conocer algunos conceptos según el requerimiento para la solución de cada problema; Además, deberás realizar el gráfico en el que representarás todos los elementos involucrados de cada ejercicio.

1.- Demuestre que los puntos: P(2,2), Q(6,6) y R(2,-2) son los vértices de un triangulo isósceles; calcular su perímetro y área.

2.- Utilizando distancias, demuestre que los puntos: A(-2,3), B(-6,1), C(-10,-1) son colineales.

3.- Hallar coordenadas de punto equidistante de los puntos fijos: L(3,3), M(6,2) y N(8,-2).

4.- La distancia entre los puntos A(-3,Y) B(9,2) es de 13 unidades hallar el valor de Y.

5.- Obtener coordenadas del punto en el eje X equidistante de P(0,5) y Q(4,2).

6.- Hallar las coordenadas de un punto P que divide al segmento AB en la razón r= AP/PBa) A(4,-3) B(1,4) r=2 b) A(5,3) B(-3,-3) r=1/3 c) A(-5,2) B(1,4) r= -5/3

7.- Obtener los puntos que dividen en cuatro partes iguales el segmento determinado por los puntos L(-6,7) y M(2,-1).

8.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triangulo sabiendo que los puntos medios de sus lados son: L(-2,1), M(5,2) N(2,-3).

9.- El punto P(9,2) divide el segmento AB en la razón r= 3/7 siendo A(6,8) ¿cuáles son las coordenadas de B?

10.- Los puntos A(0,1) y B(-1,-2) son dos vértices adyacentes de un paralelogramo, el punto de intersección de las diagonales es M(-2,0). Hallar los otros dos vértices.

11.- Demostrar que el triangulo del problema 1, dos de las medidas son de la misma longitud.

12.- Calcular los ángulos interiores al triangulo de vértices P(8,2), Q(3,8) y R((2,-2).

13.- Demostrar que los puntos A(-1,5), B(2,1), C(1,5) y D(-2,-1) son vértices del paralelogramo, calcular su ángulo obtuso y área.

14.- Probar con pendientes que los puntos P(0,4), Q(3,-2) y R(-2,8) son colineales.

15.- Probar que los puntos T(10,5), U(3,2) y V(6,-5) forman triangulo rectángulo.

16.- La recta determinada por los puntos A(3,2) y B(-4,-6) es perpendicular a la recta definida por los puntos P(-7,1) y Q(X,6). Hallar el valor de X.

SERIE DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIDAD I LINEA RECTA

1.- Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5,4) y tiene pendiente m = 3.

2.- Calcular la ecuación de la recta que tiene pendiente m = -5/4 y que pasa por el punto P(-3,0).

3.- Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1) y su ángulo de inclinación es de 450 .

4.- Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos dados:a) A(-2,4) y B(3,-4) b) P(1,-1) y Q(4,3)

5.- Obtener la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente los números 4 y 5.

6.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y que es paralela a la línea recta determinada por los puntos (5,1) y (2,4).

7.- Determinar la ecuación de la mediatriz al segmento definido por los puntos (-3,6), (1,4).

8.- Una diagonal de un paralelogramo tiene por extremo los vértices P(4,-2) y T(-4,-4) un extremo de la diagonal es el punto Q(1,2) obtener la ecuación de esta diagonal.

9.- Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,3) y que es paralela a la recta 2x + 3y – 8 = 0.

10.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-4,1) y que sea perpendicular a la recta 5x – y + 5 = 0.

11.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y cuya abscisa al origen es el doble que la ordenada al origen.

12.- Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente m = -3/4 que formen los ejes coordenados un triangulo con 24 unidades de superficie.

13.- Hallar lo valores de la constante K de forma que:a) 3kx + 5y + k = 0 pase por el punto (-1,4)b) 4x – ky – 7 = 0 tenga pendiente de 3c) kx + (k – 1) = -18 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0

14.- Uno de los vértices de un cuadrado es I(2,4) y el punto donde se cortan las diagonales es M(3,7). Obtener las ecuaciones de los lados del cuadrado.

15.- Considere el triangulo de vértice A(-5,6), B(-1,-4), C(3,2), hallar:a) Las ecuaciones de dos medianasb) Las ecuaciones de dos alturas y su punto de intersecciónc) Las ecuaciones de dos mediatrices y su punto de intersecciónd) Demuestre que los tres puntos son colineales

16.- Encontrar la distancia del punto A(-4,-1) a la recta 3x – 4y + 8 = 0

17.- Calcular la distancia del punto P(5,2) a la recta x + 2y – 4 = 0

18.- Obtener la distancia entre rectas paralelas 5x – 12y + 10 = 0 y 5x – 12y – 5 = 0

UNIDAD II. CIRCUNFERENCIA

1.- Hallar la ecuación de la circunferencia:a) De centro el punto (3,-1) y radio 5 unidadesb) De centro el punto (-4,2) y que pase por (-1,3)c) De centro el punto (-4,3) y sea tangente al eje “y”d) De centro el punto (-2,3) que sea tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0e) Circunscrita al triangulo de vértices A(8,-2); B(6,2) y C(3,-7)f) Circunscrita al triangulo cuyos lados son las rectas:x + 2y – 5 = 0; 2x + y – 7 = 0; x – y + 1 = 0

2.- Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje “x” y pasa por los puntos A(2,2) y B(6,-4).

3.- La circunferencia pasa por los puntos A(3,1) y B(-1,3) y su centro esta situado sobre la recta 3x – y – 2 = 0. Hallar su ecuación.

4.- La ecuación de una circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4) = 36. Demostrar que el punto A(2,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior.

5.- Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 esta sobre la recta cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda.

6.- Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 que sea tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0 en el punto A(4,1).

7.- Hallar la ecuación del diámetro de la circunferencia x2 + y2 + 4x –6y – 17 = 0 que es perpendicular a la recta 5x + 2y –13 = 0

8.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia es x2 + y2 = 5 en el punto A(-1,2)

9.- La ecuación general de una circunferencia es 4x2 + 4y2 – 16x + 20y +25 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que sea tangente a la recta 5x – 12y = 1.

10.- Hallar la ecuación ordinaria, los elementos y la gráfica de la circunferencia que tiene por ecuación:

a) 4x2 + 4y2 – 40x + 8y + 79 = 0b) 16x2 + 16y2 – 64x + 8y +177 = 0c) 9x2 + 9y2 + 72x – 12y + 103 = 0d) 4x2 + 4y2 + 28x – 8y + 53 = 0 (En caso de ser circunferencia)

11.- Obtener la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 2x – 2y – 39 = 0. En el punto (4,5).

12.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento de recta 3x + 4y + 12 = 0. Comprendiendo entre los ejes coordenados.

13.- Demostrar que las circunferencias siguientes son concétricas:a) 12x2 + 12y2 – 48x + 36y + 55 = 0 b) 4x2 + 4y2 – 16x + 12y + 13 = 0

14.- Hallar los puntos a los cuales el eje “X” corta a la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une los puntos (1,2) y (-3,-4).

UNIDAD III: PARABOLA

1.- Hallar la ecuación Ordinaria y general de la parábola en cada uno de los siguientes casos:

a) Vértice en el origen y foco el punto (3,0)b) Vértice en el origen y foco el punto (0,-4)c) Vértice en el origen y directriz la recta Y – 4/3 = 0d) Vértice en el origen, eje parabólico eje Y, y además pasa por el punto

(6,-3)

2.- Hallar la ecuación Ordinaria y general de la parábola en cada caso:a) Vértice en el punto (-4,3) y foco el punto (-1,3)b) Foco el punto (6,-2) y directriz la recta Y + 4 = 0c) Directriz la recta X + 5 = 0 y vértice el punto (0,3)d) Vértice el punto (2,4) y directriz la recta Y – 6 = 0e) Foco el punto (-2,-4) y vértice el punto (-2,-1)

3.- Hallar la ecuación ordinaria y general de la parábola cuyo eje parabólico es paralelo al eje X, y que pase por los puntos A(3,3), B(6,5) y C(6,-3). Obtenga además todos los elementos que falten.

4.- Hallar la ecuación ordinaria y general de la parábola de vértice el punto (2,3) y eje parabólico paralelo al eje Y, y que además pase por el punto (4,5). Obtenga los elementos que falten.

5.- Investiga si las siguientes ecuaciones representa una parábola, obtenga la ecuación ordinaria y todos los elementos.

6.- Hallar la ecuación ordinaria y general de la parábola cuyos extremos del lado recto son los puntos A(2,4) y B(2,-4) y su vértice esta en el origen. Obtenga además los elementos que faltan.

7.- Obtenga la ecuación ordinaria y general de la parábola cuyo vértice sea el punto (4,3), y además pase por el punto (6,8). (Dos soluciones).

UNIDAD IV: ELIPSE

En cada uno de los ejercicios 1 a 8, encuentre las coordenadas del centro, de los focos, de los extremos de los ejes mayor y menor, y de los extremos de cada lado recto. A partir de esa información, dibuje la curva.

En cada uno de los ejercicios 9 a 12 reduzca cada ecuación a la forma usual (llamada también “ordinaria”). Después, encuentre las coordenadas del centro, de los focos, de los extremos de los ejes mayor y menor, y de los extremos de cada lado recto. Dibuje la correspondiente elipse en un sistema coordenado.

13.- Encontrar la ecuación de la elipse con foco (2,0) y vértice (5,0).

R.

14.- El perímetro de un triangulo es 20 y los puntos A(-2,-3) y B(-2,3) son dos de sus vértices. Encontrar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice.

R.

15.- La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse con la Tierra en uno de sus focos. La longitud del eje mayor es de 608202Km y la excentricidad 0.0549. Encontrar la máxima y la mínima distancias de la Tierra a la Luna.

R. Distancia Máxima = 320796.14KmDistancia Mínima = 287405.86Km

16.- Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de las ordenadas de la circunferencia cuya ecuación es . Trazar la circunferencia y la elipse en el mismo sistema coordenado.

R.

17.- El arco de un túnel es una semielipse de 20m de ancho y 7m de alto. Encuentre la altura en la orilla de un carril si la orilla esta a 7m del centro.

R.

18.- Un arco de entrada a un zoológico tiene una sección transversal como se muestra en la figura de abajo, donde la curva es una semielipse.

Encuentre la altura del arco, medida desde el suelo, a 5 pies de distancia desde el punto P.

Si tiene 1.5 pies de espesor, encuentre el número de pies cúbicos de concreto que se requiere en su construcción. (El á de una elipse de semiejes a y b es )

3

8');3,24();33,4();53,4();3,4(

5

32');42,7();2,57();2,37();2,7(

LLBVFO

LLBVFO

UNIDAD V: HIPERBOLA

1.- En los ejercicios siguientes, escribir la ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones dadas:

a) C(0,0), vértice (2,0) y eje conjugado = 6b) C(-1,-2), foco (-9,-2) y vértice (5,-2)c) C(0,0), foco (-3,0) y longitud del lado recto = 8/3

d) Vértice (11,2), foco (12,2) y extremo del eje conjugado (7,5)e) Extremos del eje conjugado (6,3), (-4,3) y vértice (1,10)f) C(0,0), el eje transverso es horizontal y de longitud 4, distancia focal

g) C(2,-1), longitud del lado recto = 9/2 y vértice (6,-1).h) El eje conjugado es horizontal y mide 6, la curva pasa por (-8,3) y su

centro esta en el origen.

2.- En las siguientes hipérbolas, hallar las coordenadas de los vértices, focos, extremos de los lados rectos, longitud del lado recto, centro, ecuaciones de las asíntotas y hacer la gráfica.

ZOOLOGICO

10’

5’ 5’20’

18’

25’

3.- En los ejercicios siguientes, determinar si la gráfica de la ecuación dada es una hipérbola o un par de rectas y si es hipérbola dar todos sus datos.

LUGARES GEOMÉTRICOS

GRAFICAS DE ECUACIONES.

En cada uno de los siguientes ejercicios, analizar la ecuación, estudiando las intersecciones, simetrías y la extensión. Trace la grafica correspondiente.

Trazar la grafica de las siguientes curvas, indicando simetrías, intercepciones, extensiones y asíntotas verticales y horizontales.

DADO EL LUGAR GEOMÉTRICO, HALLAR SU ECUACIÓN.

1.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) que equidistan de los puntos fijos (-3,1) y (7,5).2.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuyas distancias al punto fijos (3,2) sean la mitad de sus distancias al punto (-1,3).3.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) que equidistan del punto (2,3) y de la recta x + 2 = 04.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya distancia a la recta

y + 4 = 0 sea igual a los dos tercios de su distancia al punto (3,2).5.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya suma de cuadrados de distancias a los ejes coordenados sea igual a 9.6.- Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio de un segmento de doce unidades de longitud cuyos extremos se apoyan constantemente en los ejes coordenados.7.- Dados los puntos A(-2,3) y B(3,1), hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) de manera que la pendiente de PA sea el reciproco con signo contrario de la pendiente de PB.8.- Dados los puntos A(0,-2), B(0,4) y C(0,0), hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(,x,y) de manera que el producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC.9.- Un círculo de radio 4 tiene su centro en el punto C(1,-1). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos sus radios.

BIBLIOGRAFIA

1. Fuenlabrada Samuel. Geometría analítica. Ed. McGraw- Hill.

2. Guerra Tejada Manuel. Geometría Analítica. Ed. McGraw- Hill.