INTRODUCCIN

Este trabajo muestra de los lugares geomtricos ms conocidos y/o aplicados que son: la recta, la circunferencia y la parbola. Se muestran las diferentes ecuaciones que tienen cada una de estas, as, como el procedimiento para llegar a ellas, ejemplificando cada una para hacer ms fcil la compresin.

El fin de este trabajo es el que pueda servir como un material de apoyo y/o consulta; as tambin el trabajo se puede ver como una recopilacin de los problemas ms expresos de cada una de las ecuaciones respectivas a cada lugar geomtrico.

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GEOMETRIA ANALITICAGeometra es la rama de las matemticas que estudia las propiedades propias de las figuras, es decir la que no se altera con el movimiento de las mismas. Geometra plana es el estudio de figuras en un plano (2 dimensiones). Geometra del espacio es el estudio de cuerpos geomtricos (3 dimensiones). Existen otras formas geomtricas dentro del campo d las matemticas como son: geometra analtica, geometra descriptiva, y geometra proyectiva.

LA LINEA RECTALnea recta es el lugar geomtrico formado por los puntos tales, que si se toman cualesquiera dos de ellos se obtiene siempre la misma pendiente. Pendiente de la recta Se le llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ngulo de inclinacin. La pendiente se designa por la letra .

La ecuacin de la pendiente es:

Ecuacin de la recta que pasa por el origen.

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Si se toman sobre la recta los puntos los puntos y

,

y .

. Al proyectar

sobre el eje x, se obtienen los puntos ,o yo

Como los tringulos o

son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,

.

Ecuacin de la forma punto-pendiente ecuacin de la recta.

Esta ecuacin se emplea cuando se conoce las coordenadas de un punto de la recta as como su pendiente o ngulos de inclinacin. La cual se establece como la siguiente ecuacin:

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Ejemplos de la ecuacin de la recta

1.-Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (-2, -3) y B (5, 1) Solucin:

2.- Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (2, 3) y cuya pendiente es -2. Solucin:

5

3.- halla la ecuacin de la mediatriz del segmento A (-2, 3) y B (6, 5) Solucin:

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4.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto J (-2, -3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A (2, 3) y B (5, 4). Solucin:

Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto K (2, 1) y que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A (-2, 1) y B (-3, 5). Solucin:

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5.- Dado el triangulo J (-2, 3), K (6, 5) y L (4, 7) encuentra: a) La ecuacin de la mediana del lado JK b) La ecuacin de la altura si se considera como base el lado JK c) la ecuacin de la mediatriz del lado KL d) La ecuacin del lado LJ Solucin inciso a:

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Solucin inciso b:

Solucin inciso c:

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Solucin inciso c:

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6.- halla la ecuacin de la recta cuya pendiente es m=-2 y que pasa por el punto de interseccin de la recta 2x+3y-7=0 y 2x-2y-2=0. Solucin:

Sustituyendo y en la ecuacin

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Punto de interseccin (2,1)

Encuentra las intersecciones con los ejes coordenados de la recta 2x+3y-6 0 Solucin:

Punto de interseccin en y (3,0)

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Punto de interseccin en x (0,2)

7.- Encuentra la pendiente de la recta 3x+y-4=0, traza la grfica de la recta.

Punto de interseccin en y (

)

Forma simplificada de la recta ecuacin de la forma pendiente- ordenada al origen.

En este caso particular deber tomarse en cuenta que le punto a establecer deber tener las siguientes coordenadas (0, b) donde b es la ordenada (interseccin en y) y la ecuacin es la siguiente:

Ejemplos de la forma simplificada de la recta.

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1.- hallar la ecuacin de la recta que pasa por le punto (0, b) y tiene unan pendiente dada. Solucin:

Ordenada al origen

2.- halla la ecuacin de la recta cuya ordenada al origen es b=4 y cuya pendiente es -2. Solucin:

3.- encuentre la pendiente y la ordenada al origen de la recta 2x+y-5=0. Solucin:

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4.- calcula la distancia del punto A (2, 1) a la recta 3x+y+2=0. Solucin:

Punto de interseccin en y (0, -2)

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(

)

Punto de interseccin de las rectas ( (

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

Ecuacin simtrica de la recta. Los nmeros a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)

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y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x) x = 0, resulta y = b (Intercepto con el eje y)

Ejemplos de la ecuacin simtrica de la recta.

1.-encuentra la ecuacin de la recta cuya interseccin es con los ejes que estn dados por a=3 y b=5. Solucin:

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2.- Halla las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuacin es: 2x+3y-6=0. Solucin:

Punto de interseccin en x (3,0) Punto de interseccin en y (0,2)

3.- Halla las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuacin es 3x+5y-2=0. Solucin:

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Punto de interseccin en el eje x ( Punto de interseccin en el eje y (

) )

Forma general de la ecuacin de la recta.

La ecuacin general se establece con los valores de A, B y C como nmeros reales, donde A y B no pueden ser nulos simultneamente. Pero si puede presentarse una ecuacin incompleta, tal es el caso de: a) Cuando el valor de C es igual a 0 la ecuacin ser b) Cuando el valor de B sea igual a 0 y A diferente de la ecuacin ser c) Cuando A igual a 0 y B diferente a cero la ecuacin ser En relacin con la ecuacin general se podr obtener la pendiente, la ordenada y la abscisa de acuerdo a las siguientes frmulas:

Ejemplos de la forma general de la ecuacin.

1.- Encuentra la pendiente y las intersecciones con los ejes de la recta 2x-3y-5=0. Solucin:

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Punto de interseccin en el eje y ( Punto de interseccin en el eje x ( )

)

2.- Traza la recta cuya ecuacin es 3x-4y-6=0. Solucin:

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Punto de interseccin en el eje y ( Punto de interseccin en el eje x

)

3.- Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto J (-2, -3) y es perpendicular a la recta 2x-3y+1=0.

(

)

(

)

Formal normal de la ecuacin de la recta.

Ecuacin de la recta conociendo la pendiente y un punto. Por funciones trigonomtricas se establece:

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Despejando:

Teniendo las coordenadas de K ( La pendiente La pendiente Sustituyendo la cotangente con el valor que es el coseno entre el seno queda:

Conociendo un punto y la pendiente:

Ejemplos de la forma normal de la ecuacin de la recta,

3.- Encuentra la ecuacin de la recta cuya distancia al origen es P=5 considerando que el ngulo de inclinacin de la normal es . Solucin:

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(

)

Transformacin de la ecuacin general a la normal de la recta.

J

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Ejemplos de transformacin de la ecuacin general a la normal de la recta. 1.- Transforma la ecuacin de la recta 3x+4y-15=0 de su forma general a su forma normal.

Distancia entre un punto y una recta.

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Donde: El valor de x, y, y c estn dados por la ecuacin de la recta. Y el valor de A y B son los del punto, x, y respectivamente.

Ejemplos de distancia entre un punto y una recta.

1.- Calcula la distancia del punto J (2,1) a la recta 2x-y+5=0. Solucin:

2.- Calcula la distancia entre las rectas 2x+3y-6=0 y 2x+3y+1=0. Solucin:

Punto de interseccin en y (0,2)

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3.- Calcula el rea del tringulo cuyos vrtices son J (2,1), K (8,2) y L (3,6). Solucin:

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(

)(

)

3.- Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ngulos formados por las rectas x+2y-3=0 y x+2y-2=0.

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NOTAS:1.- Cuando se calcula la ecuacin de la mediatriz de una recta se ha de utilizar la pendiente inversa. 2.- En el clculo de la ecuacin de la mediana de una recta es preciso sacar los el punto medio de la misma. 3.- En los puntos de interseccin se igualan las ecuaciones y se elimina a una de las variables, se despeja a la que queda y luego se sustituye el valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra literal. 4.- Circuncentro: es el punto de interseccin de las rectas mediatrices de los lados de un tringulo. 5.- Ortocentro: es el punto de interseccin de las rectas que son las alturas de un tringulo dado. 6.- Baricentro: es el punto de interseccin de las rectas medianas de los lados de los tringulos. 7.- Incentro: es el punto de interseccin de las bisectrices de los ngulos interiores de un tringulo.

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CIRCUNFERENCIA

Circunferencia: es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano llamado centro y la distancia constante se llama radio.

Ecuacin de la circunferencia.

Ecuacin de la circunferencia cuando el centro de la circunferencia est en el origen de las coordenadas y el punto A (x, y) es un punto cualquiera.

AC r

Ejemplos de la ecuacin de la circunferencia cuando el centro est en el origen.

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1.- Encuentra la ecuacin de la circunferencia cuyo centro se halle en el origen y que pase por el punto A (3, 4). Solucin:

AC=

2.- Encuentra la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est en el origen y que sea tangente a la recta 3x+4y+15=0. Solucin:

Ecuacin de la circunferencia en la forma ordinaria.

La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r. CP=r

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Ejemplos de la ecuacin de la circunferencia en la forma ordinaria.

1.- Halle la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (5, 1) y cuyo radio es igual a 3. Solucin:

2.- Los extremos de un dimetro de una circunferencia son los puntos A (-2,1) y B (6,5); encuentra la ecuacin de dicha circunferencia. Solucin:

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(

)

3.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es

Forma general de la ecuacin de la circunferencia.

Desarrollando la forma ordinaria:

Comparando la ecuacin con la general de segundo grado con dos variables.

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Ejemplos de la forma general de la ecuacin de la circunferencia.

1.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es Solucin:

2.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es Solucin:

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3.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es Solucin:

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NOTA:Para hallar la ecuacin de una circunferencia en la forma ordinaria se necesitan tres datos: las coordenadas del centro (h, k) y la longitud del radio r, y para escribirla en la forma general tambin se necesitan tres datos los coeficientes D;E y F. Expresamos lo anterior diciendo que una circunferencia est determinada por tres condiciones, las cuales deben permitir conocer las tres incgnitas mencionadas en cualquiera de los dos casos citados.

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PARBOLA

Definicin de parbola: Es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que est siempre a la misma distancia. De un punto fijo que se llama foco y a una recta llamada directriz, situados tanto el foco como la directriz en el mismo plano que la parbola. Hay parbolas horizontales, verticales o inclinadas segn el eje sea horizontal.

V=Vrtice de la parbola F=Foco LR=Lado Recto de la Parbola: es la recta que une dos puntos de la parbola que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parbola. d=Directriz de la parbola: es una recta perpendicular al eje de la parbola y est a la misma distancia del vrtice del foco.

Parbola Horizontal Obtencin de la formula: PF=distancia de P a la recta d

Parbola Vertical PF=Distancia de P a la recta d

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Nota: el signo de P indica hacia donde abre la parbola. Si P>0 la parbola abre hacia arriba. Si P