UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLAN.

INGENIERIA MECANICA ELECTRICA

GEOMETRIA ANALITICA

GRUPO 1103

EQUIPO 6ALGEBRA VECTORIAL

SUBTEMA II.6

CUAUTITLAN IZCALLI, A 21 DE SEPTIEMBRE DE 2009.

INDICE

II.- ALGEBRA VECTORIAL

II.3.1.- DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Y PROPIEDADES……………………………… 3- EJERCICIOS

II.3.2.- DEFINICION DE ORTOGONALIDAD…………………………………………………………………………………….. 5- EJERCICIOS

II.3.3.- DEFINIICION DE COMPONENTE VECTORIAL Y PROYECCION DE COMPONENTE ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO……………………………………………………………………………………………………………. 7

- EJERCICIOS

II.3.4.- DEFINICION DE ANGULO ENTRE DOS VECTORES…………………………………………………………………. 10- EJERCICIOS

II.3.5.- DEFINICION DE LOS VECTORES UNITARIOS i, j, k…………………………………………………………………. 13 - EJERCICIOS

II.3.6.- FORMA TRINOMICA DE UN VECTOR………………………………………………………………………………….. 15- EJERCICIOS

II.3.7.- CONCEPTO DE ANGULOS, COSENOS Y NUMEROS DIRECTORES DE UN VECTOR………………………… 17- EJERCICIOS

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………………………………… 19

II.3.1.- DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Y PROPIEDADES. DEFINICION DE PRODUCTO ESCALARAR

El producto punto de dos vectores o mejor conocido como producto escalar de dos vectores A y B, denotado por A*B, se define como sigue:

(i).- Si A = (a1, a2) y B = (b1, b2) son dos vectores de V2, entonces

A * B = a1 b1 + a2 b2

(ii).- Si A = (a1, a2,, a3) y B = (b1, b2, b3) son dos vectores de V3, entonces

A * B = a1 b1 + a2 b2 + a3b3

Si θ es el angulo entre los vectores A y B, diferentes del vector cero, entonces

A * B = || A || || B|| cos Θ

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

4. Ya que no se ha definido (el signo se usa sólo entre vectores) la propiedad asociativa no ha lugar a considerarla. Obsérvese, sin embargo, que en general es

5. Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0), y viceversa

EJERCICIOS DE PRODUCTO ESCALAR.

1.- Si A = (2.-3) y B = (- 1/2 , 4) , entonces

SOLUCION

A * B = (2.-3) * (- 1/2 , 4) = (2)(-1/2) + (-3)(4) = -13

2.- Si A = (4,2,-6) y B = (-5,3, -2), entonces:

SOLUCION

A * B = (4, 2, -6) * (-5, 3, -2) = 4 (-5) + 2(3) + (-6) (-2) = - 2

TAREA:

3.- Dados los vectores

A = 6i – 3j + 2k y B = 2i + j – 3k determine cos Θ si Θ es el angulo entre A y B.

SOLUCION

1.- Primero se calcula A * B, || A || y || B||.

A * B = (6, -3, 2) * (2, 1, -3) = 12 - 3 – 6 = 3

|| A || = √36+9+4 = √49 = 7

|| B || = √4+1+9 = √14

Cos θ = A * B ∥ A ∥∥B ∥

= 3 / 7 √14 4.- Calcule A * B dados los siguientes vectores:A = (- 1, 2), B = ( - 4, 3)

II.3.2.- DEFINICION DE ORTOGONALIDAD.

V e c t o r e s o r t o g o n a l e s

D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s o p e r p e n d i c u l a r e s s i s u

p r o d u c t o e s c a l a r e s c e r o .

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l a o r t o g o n a l i d a d d e d o s v e c t o r e s

EJERCICIOS DE ORTOGONALIDAD

1 . - S u p o n i e n d o q u e r e s p e c t o d e l a b a s e o r t o n o r m a l { , } d e l p l a n o l o s

v e c t o r e s t i e n e n c o m o e x p r e s i o n e s :

C a l c u l a r e l v a l o r d e k p a r a q u e l o s d o s v e c t o r e s s e a n o r t o g o n a l e s .

2 . - S i { , } f o r m a u n a b a s e o r t o n o r m a l , c a l c u l a r :

1 · = 1 · 1 · c o s 0 ° = 1

2 · = 1 · 1 · c o s 9 0 ° = 0

3 · = 1 · 1 · c o s 9 0 ° = 0

4 · = 1 · 1 · c o s 0 ° = 1

3.- Sean los vectores ( -4, 5, 0) y (10, 8, 3) son ortogonales ya que:

4.- Dados A = 3i + 2j y B = 2i + kj, donde k es un escalar, determine a) k tal que A y B sean ortogonales;b) k tal que A y B sean paralelas.

II.3.3.- DEFINIICION DE COMPONENTE VECTORIAL Y PROYECCION DE COMPONENTE ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO.

DEFINICION DE PROYECCION ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO.

Si A y B son dos vectores diferentes del vector cero, entonces la proyección escalar de B sobre A se define como || B || cos Θ, donde Θ es el angulo entre A y B.

La componente de un vector B en la dirección de un vector A es la proyección escalar de B sobre un vector unitario en la dirección de A.

TEOREMA

La proyección escalar del vector B sobre el vector A es

A * B

|| A ||

TEOREMA

El vector proyeccio del vector B sobre el vector A es;

((A∗B)/¿∨A∨|2)(A )

E J E R C I C I O S D E P R O Y E C C I O N E S C A L A R1 y 2.- Para los vectores A= 6i – 3j + 2k y B = 2i + j – 3k. Se calculo A * B = 3 y || A ||= 7.La componente de B en la dirección de A es la proyección escalar de B sobre A, la cual es

A * B = 3/7

|| A ||

D e l o c u a l e l v e c t o r p r o y e c c i ó n d e B s o b r e A e s :

((A∗B)/¿∨A∨|2)(A ) = 3/49 (6i – 3j + 2k)

= 18/49 i – 9/49 j + 6/49 k

3 y 4.- Sean los vectores A = -5i + j y B = 4i + 2j

Determine:

a) La proyección escalar de B sobre Ab) El vector proyección de B sobre A

SOLUCION:

1.- primero se calcula A * B y || A ||.

A * B = (-5, 1) * (4,2)

= - 20 + 2

= - 18

|| A || = √ ((−5 )2 )+12 = √26

A) La proyección escalar de B sobre A es:

A * B = -18 / √26 || A ||

B) El vector proyección de B sobre A es:

((A∗B)/¿∨A∨|2)(A ) = -18/26 (-5i + j)

= - 9/13 (-5i + j)

= 45/ 13 I – 9/13 j

C a l c u l a l a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r s o b r e e l , s i e n d o A ( 6 , 0 ) , B ( 3 , 5 ) , C ( - 1 , - 1 ) .

II.3.4.- DEFINICION DE ANGULO ENTRE DOS VECTORES.

Sean A y B dos vectores diferentes de cero.

i) Si A no es un múltiplo escalar de B y si OP es la representación de posición de A y OQ es la representación de posición de B, entonces el angulo entre los vectores A y B es el angulo de medida positiva entre OP y OQ e interior al triangulo determinado por O,P y Q.

ii) Si A= cB, donde c es un escalar, entonces si c > 0, el angulo entre los vectores mide 0 radianes; y si c < 0, entonces el angulo entre los vectores mide π redianes.

TEOREMAS

Si Θ es el angulo entre los vectores A y B, diferentes del vector cero, entonces

A * B = || A || || B || cos Θ

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por

La ecuación mas especifica quedaría asi:

EJERCICIOS DE ANGULO ENTRE DOS VECTORES.

1 . - C a l c u l a r e l p r o d u c t o e s c a l a r y e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s :

1 . = ( 3 , 4 ) y = ( - 8 , 6 )

· = 3 · ( - 8 ) + 4 · 6 = 0

2 . = ( 5 , 6 ) y = ( - 1 , 4 )

· = 5 · ( - 1 ) + 6 · 4 = 1 9

3 . = ( 3 , 5 ) y = ( - 1 , 6 )

· = 3 · ( - 1 ) + 5 · 6 = 2 7

4 . -

5 . - C a l c u l a r l o s á n g u l o s d e l t r i á n g u l o d e v é r t i c e s : A ( 6 , 0 ) , B ( 3 , 5 ) , C ( - 1 , - 1 ) .

II.3.5.- DEFINICION DE LOS VECTORES UNITARIOS i, j, k.

Componentes de un vector

Un vector se puede expresar como una combinación lineal de tres de vectores unitarios o vectores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Expresión analítica.

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresaese como una combinación de los versores definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

TEOREMA

Si el vector A = a1 i + a 2 j es dferente del vecotr cero, entonces el vector unitario U que tiene la misma dirección y el mismo sentido de A esta definido por:

U= ( a1/ || A ||) ( i) + (a2 / || A ||) (j)

EJERCICIOS DE VECTORES UNITARIOS

1.- Dados A= 3i + j y B = 2i + 4j, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de A – B.

SOLUCION:

A – B = (3i + j) – (-2i + 4j) = 5i – 3j

Asi,

|| A – B || = √52+(−3 )2 = √34U= (5 / √34)( i ) - (3/ √34)( j )

2.- Dados A = 3i – 4j B = 2i + 2j, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de A – B

3.- Dados A = 8i + 6j y B = 5i + 4j, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de A – B.

4.- Dados A = 2i + 3j y B = 4i – j, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de A- B.

II.3.6.- FORMA TRINOMICA DE UN VECTOR.

Forma vectorial

Sabes que una recta esta formada por infinitos puntos. Supón que conoces un punto A (a1,a2) de la recta y un vector v (v , v ), que pertenece a dicha recta.

Cualquier punto X (x, y) de la recta se puede alcanzar llevando desde el punto A un numero de veces el vector v hasta llegar al punto X, por lo que el vector AX = h v y, por tanto:

OX = OA + h v

Esta forma de expresar la ecuación de la recta se denomina forma vectorial. Al vector v que determina la dirección de la recta se le llama vector director de la recta.

Como los puntos y los vectores tienen dos componentes (coordenadas), esta ecuación vectorial puede ponerse de la forma:

(X, y) = (a1, a2) + (v1, v2)

Ejemplo

¿Cuál es la ecuación en forma vectorial de la recta que pasa por el punto (1, 1) y tiene como vector director v (2, 2)?

Como OX = OA + h v:

(x, y) = (1, 1) + h (2, 2)

Forma parametrica

De la forma vectorial podemos deducir otra forma de expresar la ecuación de la recta denominada forma parametrica. Para ello, lo único que tenemos que hacer es igualar las respectivas componentes de los miembros de la ecuación vectorial.

Si (x, y) = (a1, a2) + h (v1, v2), resulta

x = a1 + hv1 y = a2 + hv2

Forma continua

En la ecuación parametrica podemos despejar el parámetro h, por lo que nos quedaría:

x - a1h = v1 x - a1 y - a2v1 = v2 y - a2h = v2

Esta expresión es la forma continua o ecuación continua de la recta.

EjemploExprésala ecuación en forma continua de la recta que pasa por los puntos A (1, 1) y B (3, 3). En este caso no nos dan unos puntos. Como la recta tiene que pasa por ellos. Calculamos el vector v = AB restando a las coordenadas del punto B las del puntoA.

Así obtenemos el vector v (2, 2). Como necesitamos un punto, tomamos A o B. Eligiendo el punto A y el vector v, la ecuación en forma continua es:

x - 1 y – 12 2

Forma general o implícita

Tomando la ecuación continua como punto de partida, y operando en ella:

x - a1 y - a2= v2x -v2a1-v1 + v1a2= 0 v1 v2 Si llamamos A = v2 , B = -v1 y C = -v2 a1 + v1 a2 , queda una expresión de la forma:Ax + By + C = 0

Que es la ecuación general o implícita de la recta.

Forma explicita

Partiendo de la forma implícita y despejando la variable y en función de x, se obtiene:

A C y = - B x - B A C Si hacemos - B = my - B = n, la expresión nos queda de la forma:Y= mx + n

Que es la ecuación explicita de la recta.

Observa que m es la coordenada x de dicho vector, esto es, la tajante del ángulo que forma el vector director con la horizontal, es decir, la tajante del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Por este motivo se dice que m es la pendiente de la recta. Y n, que se denomina ordenada en el origen, es el punto donde la recta corta el eje Y.

Forma punto-pendiente

Partiendo de la ecuación en forma continua, llegamos a:

v 2y - a2 = v1 (x - a1) y - a2 = ( x -a1)

Que es la ecuación punto-pendiente de la recta.

II.3.7.- CONCEPTO DE ANGULOS, COSENOS Y NUMEROS DIRECTORES DE UN VECTOR.

La dirección de un vector diferente del vector cero de V3 esta determinada por tres angulos llamados angulos directores del vector.

Se llaman ÁNGULOS DIRECTORES de un vector, a los ángulos que el vector forma con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Estos ángulos deberán ser tomados entre 0 y π (0º y 180º).

Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3) tiene tres ángulos directores: α (ángulo formado con la dirección positiva del eje x); β (ángulo formado con la dirección positiva del eje y) y γ (ángulo formado con la dirección positiva del eje z).

Se llaman COSENOS DIRECTORES de un vector V, con componentes (v1, v2, v3), a los cosenos de los ángulos que el mismo forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente (ángulos directores). Como los ángulos directores varían entre 0 y π (0º y 180º); entonces los cosenos directores podrán ser positivos o negativos.

Son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base canónica.

Los tres números cos α , cos β y cos γ se denominan cosenos directores del vector A. el vector cero no tienen angulos directores, y, en cosecuencia, tampoco cosenos directores.

Si cos α , cos β , y cos γ son los cosenos directores de un vector, entonces:

EJERCICIOS

1 . - D e t e r m i n a r l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r ( 1 , 2 , − 3 ) .

2 . - H a l l a r l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r .

D e t e r m i n a r l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r ( 1 , 2 ) .

BIBLIOGRAFIA

LOUIS LEITHOLD “EL CALCULO” PEPPERDINE UNIVERSITY

OXFORD UNIVERSITY PRESS7 EDICION UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO