Geometría analítica bloque 2

2.1 Distancia entre dos puntos pg. 37

Ejemplos

1. Encuentra la distancia entre los puntos A(1 ,4 ) yB(−3 ,−2).

2. Demuestra, mediante la fórmula de distancia entre dos puntos, que los puntos A(4 ,8), B(2,5) y C (−2 ,−1) son colineales.

3. Demuestra, que A(5,3), B(5 ,−2) y C (1 ,−2) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Actividad 1 pg. 42-43

2.2 Perímetro y área de polígonos pg. 44

Ejemplos.

1. Calcula el perímetro y el área de un polígono que tiene los siguientes vértices A(4 ,3), B(5 ,−3) y C (−2 ,−3)

2. Calcula el área de un polígono que tiene los siguientes vértices A (−3 ,1 ) , B (3,5 ) , C (4,2) y D(−2 ,−2).

3. Un rombo tiene las siguientes tres coordenadas A(−2,3), B(−5,1) y C (−2 ,−1). Calcula el vértice D y el área de la figura.

Actividad 2 pg.49.

2.3 Punto de división de un segmento pg. 51

Ejemplos.

1. Calcula las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento cuyos extremos son los

puntos A(2,5), B(8 ,−1) en una razón tal que r=13

.

2. Calcula las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento cuyos extremos son los

puntos A(−4 ,−1), B(2,4) en una razón tal que r=32

.

Actividad 3 pg. 54

2.4 Punto medio pg. 55

Ejemplos.

1. Calcula el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (−7 ,2 ) y B(3 ,−1).

2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son A(1 ,1), B(4,2) y C (2,5). Halla las coordenadas de sus tres vértices.

Actividad 4 pg. 57-58

Bloque 3

3.1 Línea recta pg. 75

Ejemplos.

Pg. 75

Actividad 1 pg. 76.

3.2 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta pg. 78

Ejemplos.

1. ¿cuál es la pendiente de la recta que pasa por el origen y que tiene un ángulo de inclinación de 60o

2. Si tenemos una recta que pasa por el origen y la pendiente es igual a m=32

, ¿Cuál es el

ángulo de inclinación?

3. Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por los puntos A (5 ,3 ) y B(−2 ,−5).

4. Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por los puntos A (−5 ,3 ) y B(2 ,−5).

Actividad 2 pg. 83-84

3.3 Relación de la pendiente con el ángulo de inclinación.

Pg. 85-88

Actividad 3 pg. 88

3.4 Ángulo formado por dos rectas pg. 89

Ejemplos.

1. Dadas la recta L1 con pendiente m1=1 y L2 con pendiente m2=−2, calcula el ángulo entre estas.

2. Calcula los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(3 ,1), B(4,5) y C (−3,3).

3. Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 45o, sabiendo que la recta inicial tiene una pendiente m=−2. Calcula la pendiente de la recta final.

Actividad 4 pg. 94-95

3.5Condiciones de paralelismo y perpendicularidad pg. 96

Ejemplos.

4. Se tiene una recta que pasa por los puntos A (2 ,3 ) y B(3,5) y otra que pasa por los puntos C (−2 ,−1) y D(4,11). Comprueba que son paralelas.

5. Comprueba que las rectas que pasan por los puntos A (5 ,13 ), B(−1,1) y C (−2,4) y D(2,2), respectivamente son perpendiculares.

6. Las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD son: A (1 ,1 ) , B (3,6 ) , C (8,8) y D(6,3). Determina si ABCD es un paralelogramo.

Actividad 5 pg. 99

Bloque 4.Distintas formas de la ecuación de una recta pg. 109

Ecuaciones de la recta.

4.1 Ecuación de la recta dadas su pendiente y la ordenada al origen.

Ejemplos.

1. Grafica la ecuación y=3 x+2.

2. Grafica la ecuación y=32x+2.

3. Grafica la ecuación y=−4 x+5.

4. Grafica la ecuación y=−2x−3.

5. Determina la ecuación de la recta que tiene pendiente m=2 y ordenada al origenb=6.

6. Calcula la ecuación de la recta que tiene pendiente m=−12

y su intersección con el eje Y es

(0 , 12).

Actividad 1 pg.114-115

4.2 Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente pg. 114

Ejemplo.

Determina la ecuación de la recta que pasa por A (−3 ,1 ) y m=−23

. Grafica la recta.

Actividad 2 pg. 117-118

4.3 Ecuación de la recta dados dos puntos pg. 119

Ejemplos.

1. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3 ,−1 ) y B(−2 ,−5).

2. Calculas las ecuaciones de las rectas L1 y L2, tal que L1 pasa por el punto A (5,4 ) y es perpendicular a la recta L2 que pasa por B(3,2) y C (−2,4).

3. El precio de un iPhone en una tienda de productos electrónicos disminuyo a razón de $350 anuales desde 2007. El precio de lanzamiento fue de $7500. Calcula la ecuación del precio en función del tiempo. Si esta disminución del precio continúa constante durante los siguientes años, ¿Cuánto costara un iPhone para el año 2020? ¿Cuándo llegara al precio de $500?

Actividad 3 pg. 125-126

4.4 Forma simétrica de la ecuación de la recta pg. 127

Ejemplos.

Traza la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son -5 y 7, respectivamente.

Ecuación de la recta dadas sus intersecciones con los ejes pg. 128

Ejemplos.

1. Determina la ecuación de la recta que tiene como abscisa y ordenada al origen en los puntos (3,0) y (0 ,−4), respectivamente.

2. Los segmentos de recta sobre los ejes X y Y son (−4) y (−6), respectivamente. Calcula su ecuación.

3. Determina los puntos de intersección con los ejes coordenados (abscisa y ordenada en el origen) de la recta 12 x+6 y−6=0.

Actividad 4 pg. 132-133

4.5 Forma general y normal de la ecuación de la recta pg. 134

Ejemplos.

1. Determina la ecuación general de la recta que pasa por P1(5,6) y P2(3,4); así como los coeficientes de la forma general.

2. Escribe la ecuación en su forma general para una recta que pasa por los puntos P(3,2) y Q(4,1).

3. Grafica la línea recta representada por 2 x+3=0.

4. Grafica la línea recta representada por 2 x+4 y+1=0.

Actividad 5 pg. 139-140

4.6 Forma normal de la ecuación de la recta pg. 141

Ejemplo.

Determina la ecuación, en la forma normal, de la recta cuya normal mide 3 y forma un angulo de 450 con el eje X . Realiza su gráfica.

Actividad 6 pg. 142

4.7 Conversión de la forma general a la forma normal pg. 143

Ejemplos.

1. Grafica, convierte a la forma normal la ecuación 3 x−4 y−8=0 y determina los valores de ρ y ω.

2. Dada la ecuación x+√3 y−6=0 en forma general, represéntala en forma normal.

Actividad 7 pg. 146-147

4.8 Distancia dirigida de una recta a un punto pg. 148

Ejemplos.

1. Calcula la distancia d del punto P(−2 ,−3) a la recta 8 x+15 y−24=0.

2. Encuentra la distancia de Q(2 ,3) a la recta 2 x−3 y+6=0, establece si Q esta del mismo lado de la recta que el origen.

3. Calcula la distancia de la recta 3 x+5 y−8=0 al origen.

Actividad 8. Pg. 151

4.9 Distancia no dirigida entre un punto y una recta pg. 152

Ejemplos.

1. Encuentra la distancia entre la recta y=−12x+5 y el punto A(2,5).

2. Rafael Márquez cobra un tiro penal en contra de la portería Argentina, en la que uno de los postes tiene la ecuación 3 x−4 y−8=0; el tiro pasa a un lado del poste derecho de la portería en el punto P(2 ,5). Calcula la distancia a la que paso el tiro del poste de la portería.

Actividad 9 pg. 154-155

4.10 Distancia entre dos rectas paralelas pg. 155

Ejemplo.

Calcula la distancia entre las rectas 3x-y+1=0 y 3x-y+6=0.

Actividad 10 pg. 157

Bloque 5. Circunferencia

5.3 Ecuación canónica de la circunferencia pg. 176

Ejemplos.

1. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5.

2. ¿Cuál es el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x2+ y2=16?

Actividad 3 pg. 178-180

5.4 Ecuación ordinaria de la circunferencia pg. 181

Ejemplos.

1. Determina la ecuación de la circunferencia de centro (2 ,3) y radio 4.

2. Calcula el centro y el radio de la circunferencia (x−3)2+( y+5)2=16. Con los resultados

3. realiza la gráfica de la circunferencia.

4. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (−3 ,5) y es tangente a la recta x− y+4=0 en el punto (−3 ,1).

Actividad 4 pg. 187-188

5.5 Forma general de la ecuación de la circunferencia pg. 189

Ejemplos.

1. Determina la ecuación de la circunferencia con centro (2 ,−3) y radio5.

2. Determina la ecuación de la circunferencia con centro (5 ,−2) y que pasa por el punto A(−1,5).

3. Determina la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos A(3 ,−2) y B(−1,6).

Actividad 5 pg. 193-194

5.6 De la forma general a la ordinaria pg. 195

Ejemplos.

1. Calcula el centro, el radio y la gráfica de la circunferencia x2+ y2−8 x+10 y−8=0.

2. Calcula el centro, el radio y la gráfica de la circunferencia 2 x2+2 y2−6 x+10 y+7=0.

Actividad 6 pg. 198-199

5.7 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos pg. 200

Ejemplos.

1. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1), B(−4 ,3) y C(−6 ,5).

2. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5 ,3) ,B(6 ,2) yC (3 ,−1).

Actividad 7 pg. 208-209

Bloque 6.

6.1 La parábola pg. 221

Ejemplos.

Identifica los elementos principales de la parábola. Pg.223

Actividad 1. Pg. 225-226

6.2 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen. Pg. 227

Actividad 2 pg. 230-231

6.3 La parábola a partir de su ecuación pg. 232

Ejemplo.

Obtén todos los elementos de la parábola x2+8 y=0 y traza su gráfica.

Actividad 3 pg. 235

6.4 Ecuación de una parábola a partir de sus elementos pg. 236

Ejemplos.

1. Halla todos los elementos y la ecuación de la parábola de vértice en el origen, si la ecuación de la directriz es y=−3.

2. Halla la ecuación de la parábola y todos sus elementos si la curva tiene el vértice en el origen, pasa por el punto A(4,8) y su eje focal coincide con el de las x.

Actividad 4 pg. 239-240

Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice con vértices fuera del origen.

6.5 Los elementos a partir de la ecuación pg. 241

Ejemplo.

A partir de la ecuación de la parábola (x−2)2=2 ( y−3 ), traza su grafica y halla todos sus elementos.

Actividad 5 pg. 245

6.6 La ecuación a partir de los elementos pg. 246

Ejemplo.

Halla la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0 ,−4) y la directriz tiene una ecuación dey−2=0

Actividad 6 pg. 247-248

Forma general de la ecuación de la parábola pg. 248

6.7 Conversión de la forma ordinaria a la general pg. 249

Ejemplo.

1. Halla la ecuación de la parábola de vértice (3,2) y foco (5,2). Exprésala en sus formas ordinaria y general.

2. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice se encuentra en el punto (2,3), pasa por el punto A(4,5) y con eje focal paralelo al eje d las y.

Actividad 7 pg. 252-253

6.8 Conversión de la forma general a la ordinaria pg. 254

Ejemplos.

1. A partir de la parábola y2+6 y+8 x−7=0. Halla su ecuación ordinaria, todos sus elementos y su grafica.

2. A partir de la ecuación de la parábola 4 x2+16 x−3 y+28=0.

3. Emiliano lanzo horizontalmente una pelota desde una ventana ubicada en el cuarto piso de un edificio; si colocamos a este en un sistema de coordenadas. Equivale a 4 unidades de altura.

La posición de la pelota está determinada por la parábola y=− x2+4. ¿a cuantas unidades de la base del edificio cayo la pelota en el suelo?

Actividad 8 pg. 259

Bloque 7 la elipse pg. 273

7.1 Elementos asociados con la elipse pg. 273

Actividad 1 pg. 274-275

7.2 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes coordenados pg. 276.

Ejemplos.

1. A partir de la ecuación de la elipse x2

64+ y

2

36=1, calcula las longitudes del semieje mayor y

semieje menor, las coordenadas de los focos y la longitud del lado recto.

2. Calcula la ecuación de la elipse de centro en el origen, con uno de sus focos en el punto (0,3) y semieje mayor de 5 unidades

3. Encuentra los vértices y los focos para la elipse x2

4+ y

2

9=1 y traza su grafica.

Actividad 2 pg. 280-282

7.3 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados pg. 283

Ejemplos.

1. Calcula la ecuación de la elipse de centro C (2 ,−3), un foco en F (−1 ,−3) y semieje menor igual a 4.

2. Si la ecuación de la elipse es: (x−1)2

45+( y−2)2

20=1. Calcula el semieje mayor y el semieje

menor, las coordenadas del centro y focos, y la longitud del lado recto.

Actividad 3 pg. 286-288

7.4 Forma general de la ecuación de la elipse pg. 289

Ejemplos.

1. Representa en forma general la ecuación ordinaria (x−1)2

45+( y−2)2

20=1, correspondiente a una

elipse.

2. Expresa en la forma ordinaria la ecuación general 4 x2+9 y2+8 x−36 y+4=0, correspondiente a una elipse.

3. Calcula la ecuación general de la elipse cuyos vértices están en los puntos de coordenadas

(6,0) y (−6,0) y cuya excentricidad es de 23

.

Actividad 4 pg. 292