36476185 guia de geometria analitica

INSTITUTO POLITCNICO NACIONALSECRETARIA ACADEMICA CECYT WILFRIDO MASSIEU PREZ

Departamento de Matrias Bsicas

Geometria Analtica3. Semestre

GUA DE APRENDIZAJE

Alma Alicia Benitez Prez. Ofelia Santiago Escoto. J. Ventura ngel Felcitos.

Gua de Estudio Geometra Analtica

Objetivo General del Curso. El curso permitir al alumno introducirse al estudio de los sistemas de coordenadas y los mtodos de la Geometra Analtica, favoreciendo el uso e integracin de los conocimientos adquiridos en aritmtica, lgebra, geometra y trigonometra y al mismo tiempo. El desarrollo de sus habilidades para el anlisis, el razonamiento y la comunicacin de su pensamiento, a travs de la solucin de problemas que permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde un enfoque geomtrico analtico y a su vez facilite a futuro la asimilacin de aprendizajes ms complejos y la resolucin de problemas en el rea tecnolgica. Justificacin. El desarrollo del programa de Geometra Analtica se centra fundamentalmente en el planteamiento y solucin de problemas, que promovern las habilidades del pensamiento tales como: anlisis, interpretacin y sntesis, as como las preceptales y tambin las de elaboracin de conjeturas, argumentacin, abstraccin y generalizacin, incorporando con ello las lneas de orientacin curricular propuestas en el modelo educativo. Indicaciones Generales. En este gua se presentan definiciones breves de cada uno de los temas del programa de Geometra Analtica por unidades, as como ejercicios resueltos, presentando un desarrollo claro de cada uno de ellos. Igualmente se integran ejercicios para su solucin, con los cuales los alumnos podrn reforzar los conocimientos adquiridos.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


PROGRAMA UNIDAD 1. CONCEPTOS BSICOS. Objetivo: conocer el plano cartesiano, la representacin de los puntos en el, para calcular distancias, permetros y reas, as como la divisin de un segmento en una razn, que tenga aplicacin en problemas tericos, como en la vida real. 1.1 1.2 1.3 1.4 Distancia Entre Dos Puntos. Permetros y reas de Figuras Rectangulares. Divisin de un Segmento en una Razn Dada. Aplicaciones.

UNIDAD 2. LUGARES GEOMTRICOS. Objetivo: desarrollar habilidades para analizar y describir las relaciones existenciales entre subconjuntos de puntos en el plano que cumple con una condicin y las ecuaciones que los definen, para as comprender los dos problemas fundamentales de la geometra analtica. 2.1 Dada una Ecuacin, Hallar su Lugar Geomtrico. 2.2 Dada las Condiciones Geomtricas. Hallar la Ecuacin. UNIDAD 3. LA RECTA. Objetivo: identificar, obtener y transformar las diferentes formas de la recta, para interpretar y resolver problemas. 3.1 Formas de la Ecuacin de la Recta. a) Punto Pendiente. b) Pendiente Ordenada al Origen. c) Abscisa y Ordenada al Origen. d) Ecuacin General. e) Ecuacin Normal.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


f) Distancia de un Punto a una Recta. 3.2 Aplicaciones. UNIDAD 4. ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES. Objetivo: deducir y aplicar las ecuaciones de las cnicas incluida la circunferencia en la resolucin de problemas tericos y de la vida real. 4.1 Circunferencia. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Circunferencia, Hallar su Ecuacin General. d) Dada la Ecuacin General, Trazar la Circunferencia. e) Aplicaciones. 4.2 Parbola. a) Con Vrtice en el origen. b) Con Vrtice Fuera del Origen. c) Dada la Parbola, Hallar su Ecuacin General. d) Dada la Ecuacin General, Trazar la Parbola. e) Aplicaciones. 4.3 Elipse. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Elipse, Hallar su Ecuacin General. d) Dada la Ecuacin General, Trazar la Elipse. e) Aplicaciones. 4.4 Hiprbola. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Hiprbola, Hallar su Ecuacin General. d) Dada la Ecuacin General, Trazar la Hiprbola. e) Aplicaciones.

A. O. V.

Bentez Santiago ngel

Academia de Matemticas Matutino


UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Objetivo: conocer la importancia de las coordenadas polares y la relacin con el plano cartesiano con la finalidad de resolver problemas tericos y de la vida real. 5.1 Relacin de Sistemas Rectangulares y Polares. 5.2 Trazo de Grficas en el Sistema Polar. 5.3 Transformacin de Ecuaciones de Segundo Grado con Dos Variables, de Rectangulares a Polares y Viceversa. UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMTRICAS. Objetivo: aplicar ecuaciones paramtricas en la resolucin de problemas tericos y reales. 6.1 Grficas de Curvas en Forma Paramtrica 6.2 Ejercicios de Eliminacin del Parmetro. 6.3 Aplicaciones en la Fsica. BIBLIOGRAFIA. 1) Geometra Analtica. Lehmann Charles H. LIMUSA. 2) Geometra Analtica. Joseph Kindle Mc. Graw Hill (libro de texto). 3) Geometra Analtica. Gordon Fuller CECSA. UNIDAD 1. CONCEPTOS BSICOS. 1.1 Sistema Coordenado Bidimensional (Plano).Ejemplo. Trazar en el plano coordenado los siguientes puntos. 1) P (2,1); Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, qu figura representa?

A. O. V.




y 4

3

Q2

1

P

x 3 2 1 1 2 3 4

1

R

2

S

3

4

Un cuadrado

1.2 Distancia Entre Dos Puntos.Definicin: Si (x 1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) son las coordenadas de dos puntos, la distancia entre ellas est dad por:

d = (x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2Ejemplos. 1) Encontrar la distancia del segmento de recta definida por los puntos A (-2, 5) y B (12, -15).A. O. V. Bentez Santiago ngel



y

A(-2,5)

4 2 2 4

x

0

B(12,-15)

A) Comprensin

B) Planteamientod ( AB) = (12 (2)) 2 + (15 5) 2 d ( AB) = (14) 2 + (20) 2 a ( AB) = 596 d ( AB) = 24.41u

d ( AB) = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2

2) Los vrtices de un cuadriltero son los puntos (1,3), (7,3), (9,8) y (3,8). Demuestra que el cuadriltero es un paralelogramo y calcular su permetro.

A. O. V.




y D(3,8) C(9,8)

A(2,3)

B(7,3)

0

x

Solucin: C) Resultados A) comprensin B) Planteo Se determinan las distancias de los lado, para el permetro Distancia AB =

(1 7) 2 + (3 3) 2

= (6) 2 + 0 = 6 Distancia DC = =

(3 9) 2 + (8 8) 2AB

3) Comprobar que los puntos A(1,1), B(0,5) y C(-3,0) son los vrtices de un tringulo rectngulo. Dibujar las alturas del tringulo y calcular sus longitudes.

A. O. V.




y B(0,5)

A(1,1)

C(-3,0)

0

x

A) Comprensin ( 34 ) 2 = ( 17 ) 2 + ( 17 ) 2 Por la distancia de vrtice a vrtice o 34 = 17 + 17 longitudes de sus lados y le teorema de Pitgoras. Lo que se quiere demostrar B) Planteamiento (CB ) 2 = ( AB) 2 + ( AC ) 2

Luego : CB = (3) 2 + (5) 2 = 9 + 25 = 34 AB = (1) 2 + (1 5) 2 = 1 + 16 = 17 AC = (1 + 3) 2 + (1) 2 = 16 + 1 = 17

1.3 Divisin proporcional de un segmento de recta.A. O. V. Bentez Santiago ngel



Definicin: Las coordenadas del punto P0 que divide al segmento P1P2 en la proporcinEjemplos. 1) Si B es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A( x1 , y1 ) y C ( x 2, y 2 ) , determinar las coordenadas de B. A) Comprensinr1 y r + y 2r1 x r + x 2r1 estn dadas por: x 0 = 1 2 y y0 = 1 2 r1 + r2 r2 r1 + r2

Se tiene que: Supongamos que B tiene de coordenadas (x,y) y puesto que B es x1 + 1( x 2 ) x1 + x 2 = un punto medio del segmento AC, se x = 1+1 2 tiene: AB = BC Y por lo tanto

y=

y1 + (1) y 2 = y1 + y 2 1+1

r=

AB AB BC = = =1 BC AB BC

sustituyendo este resultado en las formulas :

x=

x1 + ry 2 , r 1 1+ r

y=

y1 + ry 2 , r 1 1+ r

A. O. V.




2) Si el punto P1 (-4,2) y P2 (4,6) son los puntos extremos de un segmento dirigido P1P2, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razn P1P: PP2 =-3.y

8

P

7

6

P2

5

4

3

2

P1

1

x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

PLANTEAMIENTO: r =P1P/ PP2=(x-x1)/(x2-x)=-3 r = P1P/ PP2=(y-y1)/(y2-y)=-3 DESARROLLO: (x +4)/(4-x)=-3; x +4=-3(4-x); (y-2)/(6-y)=-3; y-2=-3(6-y) ;

X +4=-12 +3x; 3x-x =4+12; 2x=16; x =8 ;

y-2=-18 +3y 3y-y =-2+18

2y=16 y =8

A. O. V.




3) Los vrtices de un tringulo son A (-1,3); B (3,5) y C (7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.y

5

B

D4

3

A

2

E

1

x 1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

C

2

PLANTEAMIENTO: xD =(x1+ x2)/2; yD =(y1+ y2)/2; xE =(x1+ x2)/2; yE =(y1+ y2)/2; d =((x2-x1)2+(y2-y1)2). DESARROLLO. xD =(3-1)/2; yD =(5+3)/2; xE =(3+7)/2;A. O. V. Bentez Santiago ngel

yE =(5-1)/2;

yE =4/2;

yE =2.

DE =((5-1)2+(2-4)2); DE =(42+(-2)2); DE=(16+4); DE=20; DE=4.472 u. AC/2=(((7-(-1))2+(-1-3)2)/2; AC/2=((82+(-4)2))/2;

xD =2/2; yD =8/2; xE =10/2;

xD =1. yD =4. xE =5.

AC/2=((64+16))/2; AC/2=(80)/2; AC/2=8.944/2; AC/2=4.472 u. Demostrado.Academia de Matemticas Matutino


Ejercicios Propuestos.1)

A (0,0); B (3,4); C (8,4) y D (5,0) y; une los puntos indicados, qu figura representa? Sol. Un paralelogramo. Uno de los dos extremos de un segmento es el punto P (7,8) y su punto medio M (4,3). Hallar las coordenadas del otro extremo Q. Sol. Q (1, -2). Una circunferencia tiene como dimetro al segmento con extremos P (3,4) y Q (5,-2). Encuentra las coordenadas del centro y el radio. Sol. C (1, 1) y r =5 u. Calcular el rea del polgono si las coordenadas de sus vrtices son: A(8,2), B(-1,5), C(7,-1) y D (-2,-6) y las longitudes de los lados AD y BC.A = 84u 2

2) 3)

4)

Sol. AD = 10uBC = 10u

5)

El segmento que une A(-2,-1) con el punto B(3,3) se prolonga hasta C. Sabiendo que BC = 3AB, determinar las coordenadas del punto C. Hacer grfica.

Sol. c(18, 15).6)

Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento formado por A82,-4) y B(8,12).

Sol.7)

4 20 P1 (4, ) yP2 (6, ) . 3 3Los puntos M(2,-1) y P (-2,2) son los puntos medios de los lados de un tringulo. Hallar sus vrtices. Sol. A(-5,7), B(3,1) y C(1,-3)

A. O. V.




UNIDAD 2. LUGARES GEOMTRICOS. 2.1 Dada una Ecuacin, Hallar su Lugar Geomtrico.Ejemplos.

xy = 1 . 1 1 Primer Paso. Interseccin con los ejes. y = ; si x =0 es infinito; y si x = ; y x y =0 es tambin infinito; por lo tanto no pasa por el origen. 1 Segundo Paso. Simetra: Al sustituir x por x; y = ; como se altera la x ecuacin; entonces la curva no es simtrica con el eje y. ahora sustituyendo y por 1 y; x = ; tambin se altera, por lo tanto la curva tampoco es simtrica con el y eje x. consecuentemente no hay simetra con el origen. 1 Tercer Paso. Extensin de la curva: y = ; para x todos los nos. Reales x 1 excepto x =0 y; x = ; todos los nos. Excepto en y =0. y 1 Cuarto Paso. Asntotas. y = ; x 0; entonces se tiene una asntota vertical en x x 1 =0 y; x = ; y0, entonces se tiene una asntota horizontal en y =0. y 1 Quinto Paso. Algunos puntos de la grfica. Para y = ; S x =2 ; y =0.5 ; x =x 1 2 ; y =-0.5 ; ahora si x = ; y =2 ; x =0.5 ; y =-2 ; x =-0.5 ; etc. y1) Construir la curva cuya ecuacin es:

y

3

2

1

x 3 2 1 1 2 3 4

1

2

3

4

A. O. V.




2) Construir la curva cuya ecuacin es:

y 2 = x3 .

Primer Paso. Interseccin con los ejes. y = x3 ; si x =0; y =0; y si x = 3 y 2 ; si y =0; x =0; por lo tanto, pasa por el origen. Segundo Paso. Simetra: Al sustituir x por x; y = ( x ) ; la ecuacin se altera; por lo tanto la curva no es simtrica con el eje y. ahora sustituyendo y por y;3

x = 3 ( y ) ; la ecuacin no se altera; por lo tanto, la curva es simtrica con el eje x.2

Tercer Paso. Extensin de la curva: y = x 3 ; x0 y; para x = 3 y 2 ; y son todos los nos. Reales. Cuarto Paso. Asntotas. La ecuacin no tiene denominadores ni para x ni para y. Por lo tanto, no hay asntotas. Quinto Paso. Algunos puntos de la grfica. Para y = x3 ; si x =1; y =1; si x =2; y =2.8; x =3; y =5.2; si x =4; y =8. etc.

y

4

3

2

1

x 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

A. O. V.




2.2 Dada las Condiciones Geomtricas. Hallar la Ecuacin.Definicin: Para obtener la ecuacin de un lugar geomtrico: Se escogen los ejes coordenados que simplifiquen la forma de la ecuacin resultante. Despus de construir los ejes, se ubica el punto P(x,y) cuyo lugar geomtrico se desea determinar en una posicin representativa. Se expresa la solucin que P debe cumplir en funcin de las coordenadas (x,y) y de otras constantes cualquiera que aparezcan en la definicin del lugar geomtrico. Ejemplos. 1) Hllese la ecuacin del lugar geomtrico de un punto cuya distancia al punto (-4,0) sea igual al valor absoluto de su distancia al eje y.Solucin Sea P(x,y) un punto del lugar geomtrico. Sea A el punto (-4,0) y B el pie de la perpendicular de P al eje y De donde;

PA = ( x + 4) 2 + y 2De acuerdo con la definicin de abscisa, la distancia de P al eje y es x. Por tanto PB= x Utilizando (1),(2) y (3) se tiene

( x + 4) 2 + y 2 = xElevando los dos miembros de esta ltima expresin al cuadrado y simplificando, se obtiene y+8x+16=0 La condicin dada es, entonces, PA=PB

A. O. V.




2) Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (-1,2) y B (4,-1).

y

3

A2

1

x 1 1 2 3 4 5

1

B

2

3

PLANTEAMIENTO: Si P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geomtrico, entonces PA =PB;

x2 + 2x + 1 + y 2 4 y + 4 x2 + 8 x 16 y 2 2 y 1 = 010 x 6 y 12 = 0 ; 5 x 3 y 6 = 0 ;y=

PA =

(x + 1)2 + ( y 2)2 ;

PB =

(x 4)2 + ( y + 1)2 .

DESARROLLO:

5x 6 ; 3

(x + 1)2 + ( y 2)22

=

(x 4)2 + ( y + 1)2 ;2

si x =0, entonces y =-2 y, si x =3, entonces y =3.

x + 2x + 1 + y 4 y + 4 = x 2 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1

A. O. V.




3) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje y es siempre igual a su distancia del plano A (4, 0). Hallar la ecuacin de su lugar geomtrico.

Sea P (x, y) un punto cualquiera del 8x-16 =y2; lugar geomtrico y, sea B el pie de la perpendicular bajada y2-8x+16=0; de P al eje y. y 2 + 16 x= ; 8 Entonces PB = PA; por definicin PB = x yPA =((x-4)2+(y-0)2); si y =0 entonces x =2; si y =2 entonces x =2.5; si y =4 entonces x =4

de donde x =((x-4)2+y2);x2 =x2-8x+16+y2;

y

4

3

B2

P

1

A1 2 3 4 5

x 6

1

2

3

4

5

A. O. V.




4) Dos de los vrtices de un tringulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5, 1). Hallar la ecuacin del lugar geomtrico del tercer vrtice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

mac = mbc y y1 m= 2 x2 x1 y 3 mAC = x +1 y 1 mBC = x5 y 3 y 1 = 2 x +1 x 5 ( y 3)(x 5) = 2( y 1)(x + 1) xy 5 y 3x + 15 = 2 xy 2 x + 2 y 2

xy 2 xy 3x + 2 x 5 y 2 y + 15 + 2 = 0 xy 7 y x + 17 = 0 xy + x + 7 y 17 = 0 17 x y= x+7 si x =0 entonces y =2.4 si x =3 entonces y =1.4 si x =-3 entonces y =5 si x =-7 entonces y = se tiene una asntota vertical. Y en y =-1 se tiene una asntota horizontal.

y

6

5

4

A

3

2

1

B

x 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

A. O. V.




5) Los extremos A y B de una barra de longitud 21 se mueve a lo largo de los ejes coordenados. Qu lugar geomtrico describe C. Punto medio de la barra?

Solucin El ngulo se llama parmetro Dada la figura de acuerdo a las De las ecuaciones se tiene condiciones del problema

x = cos ; tde las cuales

y = sen t

x2 = cos 2 2 tY sumando

y2 = sen 2 2 t

La figura da: X= tcos Y= tsen o sea,

x2 y2 + =1 t2 t2

x+y=t

C describe, pues una circunferencia de Las ecuaciones representan centro (0,0) y radio 1. paramtricas representan el lugar geomtrico buscado.

Ejercicios Propuestos.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


1) Construir la curva cuya ecuacin es: a) x 2 y x 2 y = 0 b) xy 2 y 3 = 0 c) xy 2 x 1 = 0 d) x 4 4 x 2 y = 0 2) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuacin de su lugar geomtrico y dar su interpretacin geomtrica. Sol. x-2y-3 =0. 3) Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (4, 1) es siempre igual a su distancia del eje y. Sol. x 2 + y 2 9 x 2 y + 17 = 0 . 4) Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (-3, -2). A partir d su definicin, hallar la ecuacin de esta circunferencia. Sol. x 2 + y 2 + 6 x + 4 y + 4 = 0 . 5) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje x es siempre igual a su distancia del punto A (0, 4). Hallar la ecuacin de su lugar geomtrico. Sol. x 2 8 y + 16 = 0 . 6) Determinar la ecuacin del lugar geomtrico del punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (2,4) y (2,-2) es siempre igual a 8. Sol. 16x 2 + 7 y 2 64x 14 y 41 = 0 7) Dos de los vrtices de un tringulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuacin del lugar geomtrico del tercer vrtice C, si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

Sol. xy + x +7y 17=0

UNIDAD 3. LA RECTA.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


3.1 Inclinacin y Pendiente.Definicin: La inclinacin ( ) es el ngulo( menor de 180 y medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) formado por una recta y por la parte positiva del eje X La pendiente ( m ) de la recta que pasa por dos puntos est expresa por y y1 m = tan = 2 x 2 x1

Si dos

rectas con pendiente m1 y m 2 no nulas, son perpendiculares, sus 1 y pendientes son recprocas opuestas o negativas, entonces m 2 = m1

m1m2 = 1Ejemplo.

Una recta l 1 pasa por los puntos A(3,2) y B(-4,-6), y otra recta, l 2 , pasa por el punto C(-7,1) y por el punto D cuya ordenada es 6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que l 1 perpendicular a l 2 . Puesto quem= y 2 y1 x 2 x1

Ahora bien, si dos rectas perpendiculares se debe satisfacer

m1m2 = 1

........ (2)

se tiene que

sustituyendo (1) en (2) se tiene:

m1 =

2+6 8 = 3+ 4 7........(1)

8 7 ( )( ) = 1, 7 7+xde donde resulta: x=1

1+ 6 7 m2 = = 7 x 7+ x

3.2 Angulo entre rectas.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


Definicin: Si es el ngulo formado por las rectas l1 y l 2 con pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces el ngulo que forman est dado por m m1 tan = 2 1 + m1m 2 Ejemplos. 1) Dos rectas se cortan formando un ngulo de 45. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7); La recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es 2. Hallar la ordenada de A. Planteamiento

6 +1 17 = m = 11 Llamemos B(3,9), C(9,7) y D(-2,1) los 6 5 1 puntos dados, y si, designamos por m1 11 y por m2 las pendientes de CD y AB y puesto que respectivamente, entonces

..........(4)

m1 =

1 7 6 6 = = 2 9 11 11

.......(1)

m=

y 2 y1 x 2 x1

puesto que = 45 se tiene que tan 45 = 1 .........(2) y comotan = m2 m1 1 + m2 m1

se tiene

y 2 = m2 ( x2 x1 ) + y1

.........(5)

Resultado.......(3) Sustituyendo (4) y las coordenadas de A y B en (5) resulta: en

sustituyendo obtenemos:

(1)

y

(2)

17 (3), y 2 = 5 (2 3) + 9 = 8

3.3 La recta como una curva de pendiente constante.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


Definicin: Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, se toman dos puntos P( ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y 2 ) de la recta, formndose un tringulo rectngulo. Si se toma otro par de puntos P y Q1 en la misma recta, se obtiene otro tringulo 1 rectngulo, el cual es semejante con el anterior. Y por tanto, la razn de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta es constante y puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.

m=

y y1 x x1

3.4 Condiciones que determinan una recta.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


Definicin: Por dos puntos, pendiente y un punto Ejemplos. 1) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos i) (3,4), (1,-2) ii) (0,-5), (2,1) iii) (4,7), (0,-5)

Comprensin Se identifican los puntos en un plano cartesiano y se traza la recta que pasa por esos puntos

Planteamiento Resultado Se sustituye cada una de las combinaciones de puntos en la frmula 4 (2) 6 m= = =3 de la pendiente 3 1 2 5 1 6 m= = =3 y y1 02 2 m= x x1 7 (5) 12 m= = =3 40 4

A. O. V.




2) Trabajando slo con el valor de la pendiente y el valor del punto que se proporciona graficar las siguientes rectas: a) Trazar la recta de pendiente igual a 2, y que pasa por el punto por el punto Q(3,5) Para graficar sin tabular se localiza el punto en un plano cartesiano para tomarlo como referencia para posteriormente trabajar con el valor de la pendiente.

b) Trazar la recta de pendiente igual a 2/3 y que pasa por el punto (0,-2)

m=

2 3

P(0,-2)

A. O. V.




3.5 Formas de la Ecuacin de la recta.Definicin:Forma de punto y pendiente Pendiente Interseccin Forma de dos puntos Forma con dos intersecciones Forma General

y y1 = m( x x1 )y = mx + by y1 y1 y 2 = x x1 x1 x 2 x y + =1 a b

Ax + By + C = 0en donde A, B y C son constantes arbitrarias, m= origen b =

A y su ordenada B

al

C B

Ejemplos.Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienen las pendientes indicadas: a) (-3,2), m= a) (-3,2), m=

2 , b) (2,4), m=3 3

2 , 3b) Planteamiento

a) Comprensin La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura

y2=

2 ( x + 3) o 2x 3y + 12 = 0 3

A. O. V.




b) (2,4), m=3. a) Comprensin b) Planteamiento

La recta citada en el texto se indica en y-4 = 3(x-2) o 3x-y-2 = 0 la siguiente figura

c) Hallar la pendiente y la interseccin con el eje Y de la recta cuya ecuacin es 2x + 3y 12 =0. a) comprensin Despejamos y en la ecuacin 2x + 3y 12 =0 2 2 y= x + 4 de donde m= y b=4 3 3 b) Planteamiento

A. O. V.




d) Hallar la ecuacin de la recta determinada por los dos puntos (-2,-2) y (5,2) .

a) Comprensin La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura

b) Planteamiento

y y1 y1 y 2 = x x1 x1 x 2 y+2 22 = x+2 25 4( x + 2) = 7( y + 2) 4 x 8 = 7 y 14 4x 7 y = 6

e) Cambiar la ecuacin 4x 5y 8 = 0 a su forma de dos intersecciones. a) Comprensin4x 5 y = 8 x 5y =1 2 8 x y + =1 a b x y + =1 2 8 5

A. O. V.




f) Los vrtices de un cuadriltero son: A(-2,1), B(2,5), C(9,6) y D(7,2). Determinar: a) La pendiente del lado BC b) La ecuacin del lado BC c) La ecuacin del lado CD d) El punto medio del lado AB e) La ecuacin de la recta que parte del vrtice D hacia el punto medio del lado AB f) La ecuacin del lado AB en la forma: i) Pendiente- ordenada al origen ii) General iii) Simtrica y iv) Determinar la abscisa y ordenada al origen g) La ecuacin del lado CD en forma simtricaSolucin

a) Comprensin: El cuadriltero antes citados, se ilustra a continuacin.

a) La pendiente del lado BC PlanteamientoA. O. V. Bentez Santiago ngel

Resultado La pendiente del lado BC es:Academia de Matemticas Matutino


m=

y 2 y1 x 2 x1

m=

65 92

m=

1 7

b) La ecuacin del lado BC Planteamiento Resultado De la ecuacin de la recta se conoce la pendiente y dos puntos.y y1 = m( x x1 ) 1 y 5 = ( x 2) 7

1 ( x 2) 7 7( y 5) = x 2 y 5 = 7 y 35 = x 2 x 7 y + 33 = 0

c) La ecuacin del lado CD Planteamiento La ecuacin de la recta tiene la forma y y1 ( x x1 ) y y1= 2 x 2 x1y2= 62 ( x 7) 97

Resultado

4 ( x 7) 2 y 2 = 2 x 14 y2=De donde la ecuacin 2x-y-12=0

d) El punto medio del lado AB Planteamiento A(-2,1) y B(2,5) x + x1 y + y1 xm = 2 ym = 2 2 2 1+ 5 2+2 xm = ym = 2 2

Resultado 0 xm = = 0 2

ym =

6 =3 2

La pareja ordenada del punto medio es

Pm (0,3)

e) La ecuacin de la recta que parte del vrtice D hacia el punto medio del lado AB

A. O. V.




Planteamiento D(7,2) y Pm (0,3)y y1 = y 3 = y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1

Resultado

23 ( x 0) 70

1 x 7 7( y 3) = x 7 y 21 = x La ecuacin es: x+ 7y 21 = 0 y 3=

f) La ecuacin del lado AB ecuacin de la recta en la forma : i) Pendiente-ordenada al origen ii) General iii) Simtrica iv) Determinar la abscisas y ordenada al origenPlanteamiento Resultado Pendiente Ordenada al Origen y = x+3 General x- y + 3 = 0 Simtrica

A(-2,1) y B(2,5)y y1 = y 1 = y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1

5 1 ( x (2)) 2 (2) 4 y 1 = ( x + 2) 4 y-1 = x+2

x- y = -3 x y = 3 3 3 Abscisa al origen = -3 Ordenada al origen = 3

g) La ecuacin del lado CD en forma simtrica.Planteamiento Resultado

C(9,6) y D(7,2)

2x- y = 12 la ecuacin pedida es

A. O. V.




y y1 = y2=

y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1

x y =1 6 12

62 ( x 7) 97 y 2 = 2 x 14 2 x y 12 = 0

3.6 Forma Normal de la ecuacin de la recta.Definicin: Una recta est determinada por dos cantidades: (1) la distancia perpendicular desde el origen hasta la recta y (2) el ngulo que forma esta perpendicular con la parte positiva del eje X. Ecuacin de la Forma Normal x cos + ysen = p Frmula de conversin de laAx + By + C A2 + B 2 =0

forma general a la forma normal Ejemplos.

Cambiar las siguientes ecuaciones a su Solucin forma normal: a) A=3 y B=4, aplicando la frmula a) 3x + 4y +5 = 0 antes descrita se tiene: b) 5x-12y 10=0 c) 5y + 7= 0 Ax + By + C 3 x + 4 y + 5 3 x + 4 y + 5 = = =0 d) 3x-2 =0 5 A2 + B 2 32 + 4 2 b)

5 x 12 y 10 25 + 144 5y + 7 25 3x 2 9 = y

=

5 x 12 y 10 =0 13

c)

7 =0 5 2 =0 3

d)

= x+

A. O. V.




3.7 Distancia de un punto a una recta.Definicin: Frmula de la distancia de un punto a una recta d = x1 cos + y1 sen p = Ax1 + By1 + C A2 + B 2

Ejemplo. Hallar las distancias desde los puntos (2,3) y (1,-4) hasta la recta 3x 4y 8 =0. Planteamiento

Resultado Empleando la frmula mencionada se tiene que: Ax + By + C =0 A2 + B 2 3x 4 y 8

El signo de d nos indica que el punto antes (2,3) est arriba de la recta. Sustituir a x=1 y y=-4 para obtener la distancia desde (1,-4)

3(1) 4(4) 8 11 d= = 9 + 16 5 5 3x 4 y 8 =0 El signo negativo indica que el punto 5 Sustituimos a x=2 y y=3 para obtener la est debajo de la recta distancia desde (2,3) d= 3(2) 4(3) 8 14 = 5 5

A. O. V.




3.8 Sistemas de Rectas.Definicin: Una ecuacin de primer grado en x y y que contiene una constante, representa un sistema de rectas y la constante arbitraria es un parmetro. Ejemplo.

Escribir la ecuacin del sistema de rectas paralelas a la recta 2x 3y + 6= 0. Hallar la ecuacin del sistema que pasa por el punto (4,3).Solucin

Cualquier recta paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente y se puede escribir como 2x 3y = k

Para obtener una recta del sistema que pase por el punto (4,3), se sustituye esas coordenadas en la ecuacin del sistema a fin de encontrar el valor de k.2x 3y = k 2(4) 3(3) = k k = 1

Por lo que para cada valor de k esta ecuacin representa una recta con 2 . Esto La ecuacin pedida ser pendiente constante igual a 3 2x 3y + 1= 0 dar un sistema de rectas paralelas a la recta dada con k como parmetro

A. O. V.




3.9 Rectas que pasa por la interseccin de dos rectas dadas.Definicin: La ecuacin para hallar el sistema de rectas que pasa por la interseccin de dos rectas dadas es ( A1 x + B1 y + C1 + k ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 . Ejemplos 1) lar la ecuacin de la recta que pasa por la interseccin de las rectas x 2y + 4 = 0 y 2x + y + 6=0 y por el punto (3,-2). Solucin Se escribe la ecuacin del sistema de rectas que pasa por la interseccin de las rectas dadas: ( x 2 y + 4) + k (2 x + y + 6) = 0

(3+4+4)+ k(6-2+6)=0

Para escoger la recta del sistema que pasa por el punto (3,-2), se obtiene a k sustituyendo x=3 y y=-2 en la ecuacin

11 10 y este valor de k lo reemplazamos en la ecuacin del sistema para obtener la recta solicitada10 K = -11 o k= ( x 2 y + 4)

11 ( 2 x + y + 6) = 0 10 12 x + 31 y + 26 = 0 4 2) Obtener ecuacin de la recta que tiene pendiente y pasa por la interseccin 3 de las rectas 4x 5y 5 = 0 y 2x + 3y 11 = 0.

Solucin

Entonces la pendiente es m =

Aplicando la ecuacin antes descrita se 4 Esta de debe ser igual a y, as , tiene: 3 4 + 2k 4 4 A1 x + B1 y + C1 + k ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 = y k= , Se sustituye este 5 3k 3 3 4 x 5 y 5 + k (2 x + 3 y 11) = 0 valor de k y la ecuacin se conviertes (4 + 2k ) x + (3k 5) y 11k 5 = 0 en: Se despeja para obtener la ecuacin de la recta y = mx + by=( 4 + 2k 11k + 5 )x + 5 3k 3k 5(4 x 5 y 5) + 4 (2 x + 3 y 11) = 0 9 44 x 33 y 89 = 0

4 + 2k . 5 3k

Ejercicios Propuestos.A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


1.- Hallar el valor de la ordenada para que la recta que pasa por los puntos (3,y) y (-4,5) forme un ngulo de 135 con la recta que pasa por los puntos (-2,4) y (9,1)

Sol. y=9 2.- Determinar el valor de los coeficientes de A y B de la ecuacin Ax By + 4 =0. De una recta. Si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6) Sol. A= 29/19 B= 16/19 3.- Encontrar las ecuaciones de las medianas y un punto de interseccin del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(3,-2), B(-3,6) y C(4,4) 4.- Para un tringulo equiltero ABC, se conoce la ecuacin de la lado AC: 2x 3y 5 =0, y la del lado AB: x + y +1=0; Obtener la ecuacin del lado BC si se sabe que ste pasa por el punto (1,1) Sol. 17x + 7 y 24 = 0 5.- Dados dos vrtices de un cuadrado A(-1,3) y B(6,2) , determinar las ecuaciones de sus lados. Sol. 3x-4y+15=0; 4x+3y-30=0; 3x-4y-10=0, 4x+3y-5=0 6.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (5,-2) y determina sobre los ejes coordenados dos segmento cuya suma algebraica es 12. Sol. x-5y-15=0; 2x+y-8=0

7.- Se instala una empresa con una inversin de $ 50, 000, el costo de produccin de un artculo es de $3,00 y se vender al mercado en un precio unitario de $4,50. Determina la ecuacin que representa la ganancia considerando que los artculos producidos son igual a los vendido y cuantos artculos hay que producir para tener una ganancia de $ 10,000. Sol. y =1.50x-5000 X= 40 000 artculos 8.- La pendiente de la recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a . Hallar las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades de distancia de A. Sol. (5,7) y (-1,1)A. O. V. Bentez Santiago ngel



UNIDAD 4. ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES

4.1 Circunferencia.Definicin.

Es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama Centro de la Circunferencia y la distancia constante se llama radio. Toda ecuacin de segundo grado con dos variables (x , y) y sin termino en xy representa una circunferencia, si los coeficientes de x y y son iguales. La ecuacin de la circunferencia en forma ordinaria donde el centro (h , k) y radio r es:

( x h) 2 + ( y k ) 2 = r 2Si el centro esta en el origen de coordenadas, o sea, h = 0 y k= 0, la ecuacin toma la forma:

x2 + y2 = r 2La ecuacin de la circunferencia en su forma general es:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0Si tenemos la ecuacin ordinaria de la circunferencia

( x + 2) 2 + ( y 3) 2 = 16Resolviendo los binomios tenemos

x 2 + 4 x + 4 + y 2 6 y + 9 16 = 0Reduciendo trminos determinamos as la ecuacin general de la circunferencia.

x 2 + 4x + y 2 6 y 3 = 0A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


Ejemplo 1) Los extremos de el dimetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) , B(4,5). Hallar la ecuacin de la curva.

8 7 6

Y

(-4,5)

5

c(-1,4) 43 2 1

(2,3)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

X

A. O. V.




Planteamiento: A (2,3) , B (-4,5) Por punto medio encontramos el centro de la circunferencia. xm =

d= r= r= r= Resultado:

( x x1) 2 + ( y y ) 2 (1 2) 2 + (4 3) 2

x1 + x2 2 24 = 2 2 = 2 = -1

ym =

y1 + y 2 2 3+5 = 2 8 = 2 = 4

9 +1 10

C ( -1 , 4 ) Desarrollo: Con el centro C ( -1 , 4 ) y un punto A ( 2 , 3 ) determinamos el radio con la frmula de distancia entre dos puntos

Sustituimos en la ecuacin general de la circunferencia, centro y radio.

( x h) 2 + ( y k ) 2 = r 2 ( x + 1) 2 + ( y 4) 2 = 10Ecuacin de la circunferencia

Ejemplo 2) La ecuacin de una circunferencia es ( x 4) 2 + ( y 3) 2 = 20 . Hallar la ecuacin de la tangente a este circulo en el punto ( 6 , 7 ).10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Y

(6,7)X+ 2Y -2 0=

0

C(4,3)

2

1

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

A. O. V.




Planteamiento: De la ecuacin ( x 4) 2 + ( y 3) 2 = 20 determinemos Centro y Radio. C(4,3) r = 20 Con el C ( 4, 3 ) y el punto de tangencia ( 6 , 7 ) determinamos su pendiente con la relacin. m=y 2 y1 x 2 x1

Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia la pendiente de la recta tangente es : 1 m=2 Con la ecuacin punto pendiente

y y1 = m( x x1 ) Determinamos la ecuacin de la recta tangente en el punto ( 6, 7 ) Resultado:y y1 = m( x x1 ) 1 y 7 = ( x 6) 2 2 y 14 = x + 6 x + 2 y 14 6 = 0 x + 2 y 20 = 0

m=

37 46 4 22

m= m= Desarrollo: Ejemplo

3) Determinar centro y radio de la ecuacin de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (1 , -2) , B (5 , 4) y C (10 , 5)8 7 6 5 4 3 2 1

Y

(10,5) (5,4)

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

(1,-2) C(9,-3)

Planteamiento:

Como los tres puntos dados estn sobre la circunferencia sus coordenadas deben satisfacer la

A. O. V.




ecuacin

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 A(1,2)1 + 4 + D 2 E + F = 0

3 E F = 43 3(6) F = 43 18 F = 43 F = 43 + 18 F = 25 F = 25Clculo de D

B(5,4)25 + 16 + 5D + 4 E + F = 0 C (10,5)100 + 25 + 10 D + 5E + F = 0 Deduciendo: D 2 E + F = 5................1 5 D + 4 E + F = 41............2 10 D + 5 E + F = 125.........3 Desarrollo:

D 25 E + F = 5 D 2(6) + 25 = 5 D = 5 25 + 12 D = 30 + 12 D = 18Sustituyendo en la Ecuacin General E, D Y F

Resolviendo el sistema de ecuaciones.

Con 1 y 2 D 2E + F = -5Mult (-5) 5D + 4E + F = -41 -5D +10E - 5F = 25 5D + 4E + F = -41 14E 4F = -16. 4 Con 4 y 5 14E 4F =-16Entre (2) -3E - F = -43Mult (-2) 7E 2F = -8 6E + 2F = 86 13E =78 78 E= E= 6 13 Resultado:Clculo de F

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x 2 + y 2 18 x + 6 y + 25 = 0

Ejemplo 4) Una circunferencia pasa por los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4) y su centro esta sobre la recta 3x 2 y 23 = 0 . Hallar la ecuacin, graficar.10

Y

9

8

7

6 5

4

(1,4)

3

(-3,3)

2

8x +1 11 10 9 8 7 6 4 3 2 1 0 1 2

3y +1 2

1=3

0

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

3

4

6

7

8

9 10

C(2,8.5)

11

12

13 14

15

16 17

18

19

A. O. V.


3x

5

-2 y-

23 =

0



Planteamiento:Por lugar geomtrico determinamos otra recta que pasa por el centro, con los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4)

y=

17 2

C(2,

17 ) 2

( x + 3) 2 + ( y 3) 2 = ( x 1) 2 + ( y 4)2Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:

Determinamos el radio con el centro y el punto A(-3,3)

( x + 3) 2 + ( y 3) 2 = ( x 1) 2 ( y 4) 2Desarrollando binomios

r=

(2 + 3) 2 + ( 23 2 ) 2

17 3) 2 2

x 2 + 6x + 9 + y 2 6 y + 9 = x 2 2 x + 1 + y 2 + 8 y + 16Reduciendo

r=

25 + (

8x + 2 y + 1 = 0r=

Y con la ecuacin que pasa por el centro 3x 2y 23 = 0 resolvemos el sistema para encontrar el centro.

Desarrollo:8x + 2y + 1 = 0 3x 2y 23 = 0 11x - 22 = 0 x=

100 529 + 4 4

r= Resultado

629 2

22 11

x= 2 8(2) + 2y + 1 = 0 16 + 2y +1 = 0 2y = -17

Sustituyendo en la Ecuacin ordinaria

( x 2) 2 + ( y +

17 2 629 ) = 2 4

Ecuacin de la circunferencia

Ejemplo 5) Una circunferencia es tangente a la recta 2x y + 1 = 0 en el punto (2 , 5), y el centro esta sobre la recta x + y = 9. Hallar la ecuacin de la circunferencia. Graficar.10

Y

9

8

7

6 5

(2,5) C(6,3)x+

4

3

+1 =02 1

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2x

2y -

-y

13

1

12

14

15

16

17

=0

X

x +

2

y = 9

A. O. V.


3



PlanteamientoDe la ecuacin de la tangente determinamos la pendiente

2x y + 1 = 0Despejamos y

-y = -2x 1 y = 2x + 1 m=2La recta que es perpendicular a la tangente es la recta del radio y pasa por el centro, por lo tanto su

x + 2y 12 = 0 x + y - 9 = 0. Mult (-1) x + 2y 12 = 0 -x y + 9 = 0 y -3 =0 y=3 x + 2(3) =12 x =12 6 x=6 C (6 , 3) Resultado:Calculo del radio

1 pendiente ser 2 Desarrollo:Con la ecuacin punto pendiente, determinamos la ecuacin del radio que pasa por el punto (2 , 5) punto de tangencia.

r=

(6 2) 2 + (3 5) 2

r = 16 + 4 r=

y y1 = m( x x1) 1 y 5 = ( x 2) 2 2 y 10 = ( x + 2) x + 2 y 12 = 0

20

Sustituyendo centro y radio en la Ecuacin ordinaria

( x 6) 2 + ( y 3) 2 = 20Ecuacin de la circunferencia

Resolviendo el sistema.

Ejemplo 6) Reducir la ecuacin x 2 + y 2 18x + 6 y + 25 = 0 a su forma ordinaria.8

Y

7

6 5 4

3

2 1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

1

2 3 4

r = 8.09

5

6 7 8

9

10 11 12

A. O. V.


13



Planteamiento: Completando el trinomio cuadrado perfecto factorizamos para reducir la ecuacin. Desarrollo: Ordenamos trminos La mitad del coeficiente del trmino lineal se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros de la igualdad.

Resultado:

( x 9) 2 + ( y + 3) 2 = 65C(9 , -3) r=

65

x 2 18x + 81 + y 2 + 6 y + 9 = 25 + 81 + 9Se factoriza el trinomio

( x 9) 2 + ( y + 3) 2 = 65

A. O. V.




Ejercicios Propuestos. 1) Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro (5,-2) que pasa por el punto (-1,5). Sol. x 2 + y 2 10 x + 4 y = 56 2) Hallar la ecuacin de la circunferencia de manera que uno de sus dimetros sea el segmento que une los puntos (5,-1) (-3,7) Sol. x 2 + y 2 2 x 6 = 22 3) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos, (5,3), (6,2) y (3,-1) Sol. x 2 + y 2 8x 2 y + 12 = 0 4) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos, (2,3) y (-1,1) y cuyo centro esta situado en la recta x 3 y 11 = 0 Sol. x 2 + y 2 7 x + 5 y 14 = 0 5) Hallar la ecuacin de la circunferencia inscrita en el tringulo cuyos lados son las rectas 2 x 3 y + 21 = 0 , 3x 2 y 6 = 0 , 2 x + 3 y + 9 = 0 Sol. ( x + 1) 2 + ( y 2) 2 = 13 6) Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro el punto (-4,2) y que sea tangente a la recta 3x + 4 y 16 = 0 Sol. ( x + 4) 2 + ( y 2) 2 = 16 7) Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro el punto (-4,3) y que sea tangente al eje y Sol. x 2 + y 2 + 8 x 6 y + 9 = 0 8) Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro en el origen y que pase por el punto (6,0) Sol. x 2 + y 2 36 = 0 9) Hallar de la circunferencia que pase por el origen de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea -6 Sol. x 2 + y 2 + 12x 16 y = 0 , x 2 + y 2 + 12x + 16 y = 0 10) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (4,5), (3,-2), (1,-4) Sol. x 2 + y 2 + 7 x 5 y 44 = 0 11) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4) y (5,2) y que tiene su centro en la recta x 2 y + 9 = 0 Sol. x 2 + y 2 + 6 x 6 y 47 = 0 12) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (11,2) y es tangente a la recta 2x + 3y 18 = 0 en el punto (3,4) Sol. 5x 2 + 5 y 2 98x 142 y + 737 = 0 13) Una circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de interseccin de las rectas 3x 2y 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0, hallar su ecuacin. Sol. ( x 6) 2 + ( y + 3) 2 = 25 14) Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes que tienen pendiente 5 y son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 = 26 Sol. 5x y -26 = 0 , 5x y + 26 = 0 15) Determina las ecuaciones de las circunferencias que tienen sus centros en el origen y son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 4 x + 4 y + 7 = 0A. O. V. Bentez Santiago ngel Academia de Matemticas Matutino


Sol. x 2 + y 2 = 9 2 8 , x 2 + y 2 = 9 + 2 8

4.2 Parbola.Es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parbola.

En donde; V es el vrtice, F el foco, P un punto cualquiera, LL lado recto al eje focal, NN cuerda focal, MM cuerda y, FP radio focal o radio vector. 4.2.1 Ecuacin de la Parbola con Vrtice en el Origen y Eje Focal un Eje Coordenado. Si el eje focal coincide con el eje x la ecuacin ser

y 2 = 4 px .

En donde; el F(p, 0); la ecuacin de la directriz es x=-p; LR=l4pl y; Si p>0 la parbola abre a la derecha. Pero si p0 la parbola abre hacia arriba. Pero si p

36476185 guia de geometria analitica

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