guia total 6° geometria
TRANSCRIPT
lii:i:l]iiill i:,i'.lri.'i:
Estándares: pensam¡entos espacialy métrico
:s Reconocer y establecer relaciones de paralelismoy perpendicularidad.
$ Construir, reconocer y clasificar ángulos y polígonos.
$ Realizar los movimientos en polígonos e identificarel tipo de transformaclón aplicado a una frgura.
:: Aplicar el concepto de perímetro en la soluciÓn
de situaciones problemáticas.
[P"errre-4i-ffi
X. Observa los ángulos y completa la tabla
2 i"u\ io-(t , J.. Y------"AMNs
2.
Ánguro ^9! i - :_"T{g jVértice O '
i::iLados OA OE . - l
Colorea cada polÍgono según la ciave.
rff eolígonos regulares l* ?olígonos irregulares@ evaluaciones:,/ De desempeño
9 Multimedia
1 Galeria
13 Actividades
trtrE
nHE
t
9
2
Por competenc¡as
Audlo
lmprlmibles
Enlaces web
l-
...Para reconocer los ángulosy posturas satudabtes a[sentarse.Las personas que estudian, así como quienes tra-bajan en una oficina, pasan muchas horas sentadosen una silla. Con el tiempo, esto puede generarciertos problemas de salud, como por ejemplo, des-viaciones de la columna, dolores de espalda y dañoen músculos, tendones y nervios.
:: Lee más acerca de este tema en la página 240.
\
trEBActividad Recurso
imprimible
Matemática mente
L.Los conceptos básicos de la geometría son:
pueden definir, sin embargo, tienen ciertas
representarlos.
de [s ff*srfi*trí#punto, rectay plano. Estos conceptos no se
características que permiten describirlos r-
ConüeBtG$ básie*s
l.L Punto, recta y ptanü
:: El punto es el elemento geométrico más simple: no tiene
tamaño, sólo indica una posición. La idea de punto se puede
entender como la marca que deja un lápiz bien afilado sobre
una hoja de papel. A
Los puntos se simbolizan con letras mayúsculas. '!! La recta está formada por una sucesión de puntos que se prolonga indefinidamenre
en dos sentidos opuestos. La idea de recta se puede entender como la marca que deia
unlápiz al pasarlo a lo largo del borde de una regla. Cuando se representa una recta
se dibujan flechas en cada extremo para indicar que se prolonga indefinidamente en
ambos sentidos. Las rectas se simbolizan usando dos de sus puntos, o con letras mi-
núsculas.
Puntol
\\\C \\\, \D \
\\R".t.6 \ Recta/ \
* El plano está conformado por un conjunto infinitode puntos y se prolonga en todas las direcciones.
Una hoja de papel, una pared o el piso permite com-
prender Ia idea de plano. Para representar el plano se
utilizan tres de sus puntos que no estén en la misma
recta. Se puede simbolizar mediante estos tres puntoso mediante una letra mayúscula.
Los puntos que pertenecen a una misma recta son colineales.
Los puntos que están en un mismo plano son coplanares.
De acuerdo con el gráfico, nombrar los siguientes elementos geométricos:
[.Ina recta, un punto, un plano, puntos colineales,
puntos coplanares.
Una recta:
Un punto:
Un plano:
Puntos coiineales: R, S y T
Puntos coplanares: ¿ Qy S
FO
R
PQS
Dibuja las figuras de un
solo trazo. Es decir, sln le-
vantar el lápiz.
A.
C.
Plano.Eo planoABC
e$é I d e F¡ ?e ryq n ie llq,*e, orStq,, Orf*n-ffi
5ernirrecta y s€grnento
A partir de los elementos geométricos estudiados anteriormente, se definen otros con-ceptos importantes para el estudio de la geometría.
Segmento: parte de la recta que comprende dos puntos y los puntos que están enrre ellos.
-.
ABA ;.--
Semirrecta: parte de la recta que comprende un punto y los puntos que están en unadirección a partir de éste.
PQ
Dibujar en un plano los siguientes elementos.
lJnarectaTñ , IJn segmento CF .
Un punto Eque sea colineal con los puntos Cy D. (Jna semirre.t^eG .
Una de las figuras que se puede construir, teniendo en cuenta las condiciones dadas, es
la siguiente:
aP
$lsoluciona.
@Resuelrre.
ffiRehciona cada situación con los conceptos básicos
de la geometría. Explica tu respuesta.
1. Una estrella en el cielo.
2. Un rayo de luz.
3. La superficie del agua en un lago.
{$Determina el valor de verdad de las siguientes afir-mactones.
4. Dados dos puntos distintos, hay exactamenre unarecta que los contiene.
Dos rectas que se intersecan determinan un plano.
Ties puntos diferentes no colineales determinanun plano.
5.
6.
7. Construye una figura geométrica donde se re-
presenten cinco puntos coplanares y no haya tres
puntos colineales.
lQNo-b." los siguientes elementos, a partir de la fi-gura.
8. Un punto:
9. Una recta:
10. lJn plano:
11. Un segmenro: -12. Tles puntos colineales:
13. Una semirecta: -
Selecciona tres puntos diferentesplano.
14. ¿Cuánras rectas se puc-:-puntos?
15. ¿Cuántas recras :- -
PUntOS nO i...:.. -,idades.
Fh 'EKI& LEP
Ampllación Recurso
muhimedia imprimihlc,;,¡lir::;i:r't.i,iiirf irii;iillljii:iUl'la;r::;ri:rti;l',ll :r..
Matemáticamenterr,rr..:,: :.,rr".rr.:.r:r,.1:,tri,.r.:...,,,.4.,: a:t.,.,...:.,..,
Mira de cerca la imagen y l
responde la pregunta.
¿Las líneas verticalespa ra lelas?
Construcción de rectas paralelas
Para construir una recta paralela a otra,guiente procedimiento:
l. Se rraza con una regla una recta /y se
ubica el punto Pfuera de ésta. Luegose ubica el punto Q sobre la recta y se
toma con el compás la distancia entrePv Q.
...__*
2. Con la aberrura del compás, del paso
anterior, se ubica un punto R sobre larecta /, con centro en Q. Luego, conIa misma aberrura se hace centro enPr. se t¡aza un arco.
que pase por un punto dado, se realiza el si-
3. Con la misma abertura del compás
del paso 1 y con centro en R, se traza
un arco de tal forma que intersequeel arco trazadoer
"l p"ro 2. EI punto
de intersección de ambos arcos se
nombra S.
Se traza con una regla Ia r..t" 8,la cual resulta paralela ala recta l.
punto.
1".2 Rectas paral*tas, $ecante$ y p*rpendicularesDos rectas coplanares se pueden clasificar en paralelas, secantes o perpendiculares segúnsi se intersecan o no, así:
¡¡ Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si al prolongarse en ambas direcciones no se
intersecan en ningún punto. Si / es paralela a m, se escrlbe, lll m.
r Rectas secantes: dos rectas son secanres si se intersecan en un solo punto.
¡: Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si son secanres y forman án-gulos rectos, es decir, ángulos de 90'. Si / es perpendicular a m, se escribe, I L m.
P
P
aa
4.
E
".. P
En el phao E las rectas h y n son paralelas, porque no se intersecan enSe esc¡ibe I z.
Determina¡ en cada plano si las rectas son paralelas, secantes o perpendiculares.
En el plano Flas rectas ABy CD son secantes, porque se inrersecan en un punro.
*-f:Iendares lcm,g n-qrlg:- -e-: pur.L r.1=,jffi
construcción de rectas perpendicutares ffiF '-lffilil',Para construir una recta perpendicular a otra, que pase por un punto dado, se realizan
los siguientes pasos:
1. Se traza con la regla una recra 1 y se
ubica un punto P por fuera de esta.
2. Haciendo centro con el compás en el
punto P, se traza un arco que inter-seque a la recta / en dos puntos, Q yR.
3. Con la misma abertura del compás
del paso 2, se hace centro en Q y se
trazaun arco por debajo de Ia recta /.Luego, se hace centro en R y se fraza
otro arco que corte al arco yatrazadoen el punto S.
4. Se taza con la regla la recta j8' qr.es perpendicular a la recta l.
ffiResponde.
16. ¿Cómo se distinguen dos rectas paralelas?
17. ¿Cómo se identifican dos rectas perpendiculares?
23. Perpendicular a la recta recta
n por Q.
{BDetermina si cada afirmación es verdadera o falsa.
Explica con un ejemplo en cada caso.
18. Si r ll ,, .nton..., / y.r son secantes.
19. Si ry J son secantes, entonces, r I s.
20. Si r ll r y r ll r, entonces, r ll r.
21. Si r ll rys I r, entonces, r ll r.
@Co.t regla y compás, trazalarecta que se indica porel punto seáalado.
22. Paralela ala recta m
por P.
s
$l obr"*" y resuelve.
RutaA
Ruta BRuta C
Ruta D
Ruta 1
Ruta E
24, Determina 7 pares de rectas paralelas.
25. Determina 5 pares de rectas perpendicj'-=i
Ruta 2
ff. &mffi*[m*Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas que parten de un mism:punto. Las semirrectas corresponden al lado inicial y al lado final del ángulo, y epunto común es el vértice (figura 1).
Un ángulo se puede simbolizar de las siguienres formas:
!: Se indica el vértice con una letra mayrrscula anteponiéndole el símbolo {. Por ejemplo:
Se escribe {Br Se nombran con letras mayúsculas el vértice, y un punro distinto en cada lado del
ángulo. Luego, se escribe el símbolo { y enseguida Ias letras de los puntos, dejando 1a
del vértice siempre en el centro. Por ejemplo:
C
Se escribe <BAC
!t Se escribe una letra griega (cr, B) o un número entre los lados del ángulo, así:
2.1 Medición de ángulos EF ,,ffillil'.
La unidad de medida de la amplirud de un ángulo es el grado. Para dererminar la medidade un ángulo s€ usa como instrumento el transportador. Así, para medir un ángulo se
hace coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo ¡ el cero, con unode sus lados. Luego, se iee el número que marca el otro lado del ángulo sobre el trans-portador.
El ángulo <ABC mide 40' (se lee cuarenragrados). Es importante tener en cuenta que el
vérdce del ángulo B coincide con el centro deltransportador, y que la semirrecta EA coincidecon 0o.
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida, así, el ángulo <ABC es con-gruente con el ángulo {OMP.
Recuerda que,.,
Entre los lados de un án-
gulo suele dibujarse un
arco, que indica a cuál de
los dos ángulos que for-
man dos semirrectas se
está haciendo referencla.
Cuando el ángulo es rec-
to (90') se suelen hacer
dos segmentos forman-
do un cuadrado con los
lados, así: ,
_l
L_-
Figura 1
Se escribe {B Se escribe {1
Estándares Pensamientos espacial y métricc
Nombrarfiguras.
a.
los ángulos que aparecen en las siguientes b.
En la figura se aprecian los siguientes ángulos:
<AOB, <AOD, <AOC. <BOD, <BOC, +.COD.
Los ángulos de esta figura son: {PQR, {1, {PQ.t
Cuando en una figura se muestran varios ángulos, resultan
de mayor utilidad notaciones como { 1 o {RQS para no
confundir los ángulos.
{l} lui,t.,¡r*t',-, .,i.$i I\'r¡r.rlt,,r,rtc, . @ Propongo.Q Ejercito. fl Soluciono problemas
ffiResponde.
26. ¿Curíles son los elementos de un ángulo?
27. ¿Cuales son las formas para simbolizar un ángulo?
28. ¿Cómo se mide un ángulo?
29. ¿Cuándo dos ángulos son congruentes?
34.
QNo*br" de dos formas diferentes el ángulo que se
señala en cada fotograffa.
30. 31.
QlZ, Observa la representación de cada:íngulo en el
transportador. Luego, nombra y escribe su me-dida.
35.
36.
4t.
<AOB
<AOD
o
37. <AOC
38. <COD
A
39. <BOD
40. <Boa
¿Cuáles de estos ángulos son congruentes? E' :tu respuesta.
fl Uia. cada ángulo visual, con la ayrda de un trans-
portador.
33.
t3$Determlna la medida de cada uno de los siguientesángulos, a partir de la figura. Luego, responde.
@+2, Explica cómo medir ángulos mavores a 1Sr-,
i '' Agudo ' Recto :
Mide menos de Mide 90'.900.
2.2 Ctasificación de ángutos tr A.ividad EB,,lüllli'l'-Los ángulos se clasifican según sus medidas, según la suma de sus medidas y según
posición.
Según sus medida
Obtuso , Llano
Mide más de 90o y : Mide 180'.menos de 180'. i
Según la suma de sus medidas
I. C ---n *l,--<á E; \ =-'-A
--- I I O\..----- ---.* \B -=\ ir \4 --\ ¿_r-.}i-- b¿.OP:
Opuestos por el vér.tice
Se forman a partir de dos
rectas secantes.
\<1->--2(xr--<-1>\
4l v 42 son opuestos porel vértice; 43 y 44 am-bién lo son.
,/1 __^
/\"" ._ED DEo
Según su posición
' Consecutivos "
Tienen en común, sola-mente, el vértice y un lado.
Adyacentes
Son consecutivos, y loslados no comunes formanun ángulo llano.
Á"g"lor complementarios
i Dos ángulos son complementarios si la ,
r suma de sus medidas es 90o. Si {,4 y 48,. son complementarios, se dice que el {r4: es el complemento de {B y que {B es el
complemento de {,4.
Observa que: 35" -| 55o : 90o
Los ángulos <AOB y 4DEF son, portanto, complementarios.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si lasuma de sus medidas es 180". Si {,4 y{B son suplementarios, se dice que el
{r4 es el suplemento de {B y que {.8 es
elsuplemento de 4A.
F,/
735. ,4 /
- ,t/
Observa que: 135' f 45" : 180o
Los ángulos <AOB y 4DEF son, portanto, suplementarios.
{1 y {2 son consecutivos.' {l y 42son advacenres.
!4..r p
Observar la siguiente figura. Luego, determinar cuáles
ángulos son consecutivos, cuáles ángulos son adya-
centes y cuáles opuestos por el vértice.
Los ángulos 4I y 42, 43 y 42, 43 y 44, 41' y 44,son ángulos consecutivos, Porque tienen en común
solamente el vértice y un lado. Además, son adyacentes
porque forman un ángulo llano.
Los ángulos {1 y {3, 42 y 44, son oPuestos por el
vértice.
Se puede observar que los ángulos que son opuestos por
el vértice no son adyacentes. Además, si se miden con un
transportador cualquier par de ángulos opuestos por el
vértice, se notará que siempre tienen la misma medida'
4|$ I nlcr¡r,'*l* . ffi ,&r'gume,rt*' @ Propongo . Q Razono ¡lQ5olucion: lroblemas
$&¿¡. Nombra y clasifica los ángulos que aParecen en
la figura según sus medidas.
l?++,De acuerdo con la figura, nombra un par de
ángulos que cumplan la condición indicada.
Adyacentes:
Complementarios:
Consecutivos:
Suplementarios:
Opuestos por el vértice:
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son
r-erdaderas y cuáles son falsas'
= j, Dos ángulos adyacentes siempre son suplementa-
:ios.
+6, l,os ángulos consecutivos siempre son adya-
,,---L¡,
+-, Dc,: ¿r:gulos opuestos por el vértice pueden ser
comple ;ne ntarios.
+.trd
Qf". el enunciado y observa la figura. Luego, res-
ponde.
\2/rXlY¡/ \// \
48. De acuerdo con la clasificación de los ángulos
según su medida el {2 es recto. ¿Qué clase de
ángulos son el { 1 y el {3?
@Cot rt.oy" los siguientes ángulos.
49.IJn ángulo que sea el complemento de {1 y un
ángulo que sea suplemento de {2'
ESO. Identifica y clasifica cinco ángulos en la ruta de
transmilenio.
2.3 tcnstrucciún de ángu[os CP *Tfilli:;l
Para construir ángulos con una medida determinada se usa el transportador y para cons-
truir un ángulo que tenga la misma medida que otro, se usa regla y compás.
€anstruccién de un ángulo con u*a rnedida dada
Los siguientes son los pasos pafa construir un ángulo {PQR que mida 50o, utilizando
el transportador.
1. Con la regla, senaza QP . 3. Se marca el punto R, donde se indica
en el transportador 50o.
Se coloca el centro del transportadorsobre el punto inicial de la semi-
rrecta, es decir Q de tal forma que 0o
coincida.ott @.
€onstr*ceién de ángulcs ce* reg[* y cempés
Los siguientes son los pasos para construir otro ángulo con la medida del <A'
2. Con centro en ,'1 se traza unarco, \- se nombran como B v Clos puntos de intersección del
arco con los lados del ánguio.
Pa
2.
taza la semirrectala regla seCon
@4.
1. Dado el ángulo A,semirrecta DE .
3. Con la misma abertura del 5.
compás de1 paso 2, se traza : ,
un arco con centro en D y se '
nombra como -F al punto de '
inrerseccíón del arco ,on DE .
t\
DFE
Con ei compás, se mide la dis-
anciadeBaC.
Con la distancia d.l p"r; ;. ;;hace centro en F y se traza un
arco. Al punto de intersección
de los arcos se nombra G.
6. Se traza la semirrecta Pd. f<FDG tiene igual medida que
el ánguIo A.
se vaza la
4.
\"4s""s''i'"€'4".
9-/'----r-\_" _[__A,'_ -_v b- E
)"----.-
1. Determinar si los siguientes ángulos tienen la mismamedida.
/t .'/./ /'
Primero, con centro en A, se tfazaun arco que intersequea los lados del {,4 en B y C. Luego, con la misma aber-tura del compás, se tfaza un arco con centro en o queinterseque al {E en los puntos P y Q.
Finalmente, se mide con el compás la distancia de B a Cy se comprueba que sea la misma que de P
^ Q.
Al realizar dichos pasos se comprueba que el
tienen igual medida.4Ay eI4E
o
2. Construir un ángulo con el doble de medida delángulo <DEF.
Ilrir*ero, se traza un arco que interseque los lados delángulo. Luego, se nombran los puntos de intersección.
Luego, se roma la medidadeSaRconelcompás.Después, con centro en
3 se traza un arco que se
interseque con el trazadoen el paso anterior en el
punto L Por último, se
traza la semirrecta 87.Asi, 4DET tiene el doblede la medida del4DEF.
R
ffiR"rpotrde. Luego, explica tu respuesta con un Q Co.rrttoy., con el transportador, un ángulo con cadauna de las siguientes medidas.ejemplo.
51. ¿Cómo se mide la distancia de un punto A a unpunto B con el compás?
52. ¿Cómo se determina si dos ángulos son con-gruentes, utilizando el compás?
Gl D.t.r-ina con el compás, si cada par de ángulostienen o no tienen la misma medida.
53. ¿'.N\\\
\-'-----*\54Y
@ Cot rtroy. con regla y compás, un ringulo que sea
congruente con cada uno de los siguientes ángulos.
59. 6r.
\-
55. 4ABC: 80"
56. {GHI:90'57.<DEF: 145"
58.4JKL: 35"
60. 62.
\ --\-_\
L \IH
{iillResponde.
63. ¿Qué condiciones debe cumplir una figura planapara ser polígono?
64. ¿Cómo se clasifican los polígonos según su nú-mero de lados?
65. ¿Cómo se determina si un polígono es cóncavo oconvexo?
Gee. Nombra los elementos del polígon o ABCDEF.
Lados:
Vértices:
Ángulos:
Diagonales:
oED.
.FCt
.AB.
QAZ" Completa la siguiente tabla.
PolígonoNúmerode lados
Cuadrilátero
Clasificación
Medidade sus
ángulosinteriores
Medida delos lados ylos ángulos
Q CA.,rt" el número de diagonales de cada uno de lossiguientes polígonos.
68. Cuadrilátero 70. Nonágono
69. Hexágono 71. Dodecágono
@ Corrrrr,ly" un polígono para cada condición dada.
72" Pentágono convexo.
73" Heptágono convexo con dos ángulos congruenresde70o.
-+' Un polígono convexo cuyo número de diagonalessea igual al número de vértices.
iijlllil|,trl;,,r, ¡.,r.rr',r; . qffi 4.r**r*entn . @ propongo . Q r¡ercito " @ nurono " fl Soluciono problemas
ffiDetermina si cada afirmación es verdadera o falsa.
75. Todos los triángulos son siempre polígonos con-vexos.
76.Un polígono es cóncavo si tiene algún ángulointerior mayor que 180'.
77"Todo polígono regular es también polígono con-vexo.
78. El número de diagonales de un pentágono es 2.
@Oi.,id. cada figura en cuatro figuras idénticas a lacoloreada. Luego, clasifica el polígono dado ini-cialmente según su número de lados, su forma y lamedida de sus lados y sus ángulos.
aoi----
wffi
1
80.
QObr.*" la figura. Luego, responde.
.; ",,., , ..... ,i
81. ¿Cuántos polígonos convexos diferentes hay?
82. ¿Cuáies polígonos son cóncavos?
Q R"r.r.lrr. a partir de la figura.
D
83. ¿Cuántos triángulos hay?
84. ¿TZKVWS es un polígono?
85. úZKDS es un polígono? ¿Por qué?
86. ¿Qué se debe eliminar para que la figura nom-brada sea un polígono?
A
FBJ\-
S .L .K
3.3 Triángulos
Un triángulo es una región del plano limitada por tres rectas que se intersecandos a dos.
Para nombrar un triángulo se escribe el símbolo A seguido de las tres letras que indicansus vértices. Así, el triángulo mostrado se nombra A¿Q¿ donde P, Qy R son los vér-tices, PR, FQ V PQ sor los lados, y {4 {Qy {R son los ángulos interiores.
R
¿\ r rQ
Para nombrar los lados de un triángulo, también se puede escribir la letra que indica elvértice del lado opuesto, en minúscula. Así, en el APQR, el lado F se nombra 4, el
lado RQ se nombrap y el lado PQ se nombra r.
Cuando dos lados o dos ángulos son congruentes, se udlizan las mismas marcas paraindicar dicha congruencia. Así, en APQRse tienen qrre PR = RQ y {QPR: {PQR.
Clasificacióndetriángulos GF Actividad
Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y según la medida de susringulos.
Escaleno
Ningún par de lados son
congruentes.
lirl
Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Acutángulo
Los tres ángulos sonagudos, es decir, midenmenos de 90'.
Rectríngulo
Un ángulo es recto, es
decir, mide exactamente
90'.
Obtusángulo
Un ángulo es obtuso, es
decir, mide más de 90".
Recuerda que,..
Dos ángulos o dos lados
son congruentes cuando
tienen la misma me-
dlda. El sÍmbolo de con-
gruencla es =.
En el antiguo Egipto (6000
a. C.), cada año el río Nilo
inundaba las tierras desa-
pareciendo los límites que
separaban las parcelas.
Los sacerdotes debíanmedlr año tras año dlchos
terrenos, que en genera
tenian formas irregulares.
Asíque usaron cc- -
tegia para esta : .
triangulación, e: :- -
dían cada terre- , . -
gulos, comc s: - - =
la figura.
=Pq--
Equilátero
Los tres lados son con-gruentes entre sí.
Isósceles
Dos lados son congruen-tes.
'1il
_l I
1. Se traza un segmento
AB .on Ia medidaindicada. Luego, se
toma su medida con
el compás.
trilU
"y'.. 'j )l''i.,i: *,,-
ii r:.
*' !
1. Se traza un segmento
DE ,on la medidade los dos lados con-
gruentes. Luego, se
toma su medida con el
compás.
D#E
Construcción de triángulos con regla y compássffiQn Recurso
ffi¡| impnmrble
Los triángulos se pueden construir con regla y compás si se conocen las medidas de sus
lados.
Construcción de un triángulo equilátero
2. Con esta abertura,se tfaza un arco con
centro en ,4. Luego,
se repite el mismo
procedimiento con
centro en B.
- -zí. '0.;
da-B
Construcción de un triringulo isósceles
2. Con esta abertura,se traza un arco con
centro en E Luego,
se ubica en este arco
el tercer vértice del
riángulo.
3. Se nombra el punto C
que es la inrersección
de los arcos. Luego se
trazan los segmentos
7e vBe .
Se nombra el tercervértice del triángulocon,F. Finalmente, se
rfazan los segmentos
oFyEF.
J.
Medir los lados y los ángulos interiores del siguiente
triringulo. Luego, clasificarlo según la medida de sus
lados y según la medida de sus árgulos.
Los lados del triángulo MM miden: MN : 3,4 cm,
ON:2 cmy OM :3 cm. Además,las medidas de los
ángulos interiores son:
miMNO: 61o, IINMO : 36" y I4MON: 83'.
De acuerdo con lo anterior, el triángulo es escaleno
porque las medidas de sus lados son diferentes.
Támbién, se puede deducir que el triángulo es acutángulo
porquelas medidasdf. sus ángulos interiores son menores
que 90". r&
2. Dibujar un triángulo obtusringulo e isósceles.
Para dibujar este triángulo es necesario que el triángulo
tenga dos lados de igual tamaño, y esos dos lados
deben formar un ángulo obtuso, el lado diferente debe
formar ángulos agudos con cada lado. Así el triángulo
obtusángulo e isósceles se observa en la figura de abajo.oM
{, :$ Responde.
87. ¿Cuáles son los elemenros que conforman untriángulo?
88. ¿Cómo se clasifican los triángulos según la me-dida de sus lados?
89. ¿Cómo se consrruye un triángulo equilátero uti-lizando reglay compás?
$llliln" los pasos para construir un triángulo escalenocon lados a, by c. Luego, resuelve.
. Se rraza un segmenro BC de medida a.
. Sobre una regla, se roma con el compás la medidade b. Luego, se traza un arco haciendo centro en B.
. Sobre una regla, se roma la medida c. Luego, se
trazavn arco haciendo centro en C.
. Se nombra el punto de inteisección de los arcos(,4). Luego, se rrazan AB y AC.
90. Construye un triángulo escaleno POQ con regla ycompás, de tal forma que PO : 4 cm, PQ: 5 cmy OQ: 6 cm.
ffiDetermina el valor de verdad de cada enunciado.Justifica tu respuesta.
En todo triángulo:
91. La medida de sus rres lados es igual.
92. Dos de sus ángulos interiores pueden ser obrusos.
93. La suma de dos de sus lados es menor que el tercerlado.
[l obr.*" y resuelve.
'li:'t'ri.. ''.',' ]
94. Nombra cada uno de los anteriores triángulos.Luego. determina cuáles son los vértices, los ladosy loi áneulos interiores.
95. Clasifica cada triángulo según Ia medida de sus
lados y según la medida de sus ángulos.
€ Cot rt.oy" los triángulos con las condiciones que se
indican.
96. Tiiángulo equilátero que mide 5 m de lado.
97. tiángulo escaleno de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.
98. Thiángulo isósceles cuyos lados iguales miden7 cm.
99. tiángulo rectángulo e isósceles, tal que la me-dida de sus lados iguales es 4,5 cm.
100. tiángulo de 6 cm de base y 5,5 cm de altura yun ángulo de 60'.
QR."lir" las siguientes construcciones con regla ycompás.
101. .\ .¡\
- \ ,,** '("-¡,-**_v. _"_--_-\\.4cm 4cm i't\ ,i
\ ,/r"^\/
Q R"ro.lrr., a parrir de la siguiente figura, donde ladistancia entre punto y punto es la misma, en formavertical y horizontal, y que cada punto es un posiblevértice.
103. Determina la cantidad de triángulos isós;:-.. ---:
rectángulos que se pueden formar. urill¡¿::: - - _ ,
puntos como vértices.
Qtt<. Determina cuántos triángulos -sg f¡¡1.- ;1 -¿
siguiente figura.
Ai-_L-,'.-.-....-
=_==_
raarrjr.,.¡:r:,:,ri|,:r.l:r:alt ;iritralr.:.¡,..,:.,r:r:.:..r¡::ii:liiiir.;
Matemáticamente
Según la secuencia, calcular
el número de cuadrados en
la posición 10.
3.4 Cuadrilát*ros HP 'ffiHi;,.
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos
inte rio res.
En todos los cuadriláteros se identifican los siguientes elementos:
$ Los lados opuestos son aquellos que no tienen ningún
vértice en común, por ejemplo, AB y CD .
$ Los ládos consecutivos son aquellos que tienen un vértice
en común, por ejemplo, AB y BC .
s Los ángulos opuestos son aquellos que no tienen ningún
lado común, por ejemplo, 48 y 4,D.
ll Los ríngulos consecutivos son aquellos que tienen un lado
común, por ejemplo, 4Ay 4D,
Clasifi cación de cuadriláteros
.C
,2; l-Hi [r]I --+--r--;llffiI I i#1 L--l-!' ILl\._*__"._*
"
Fiqura 2
li- .. )l t!_lu ; J
D
EDry Actividad
' -..-:..-- ----'
Do-* A\\.':,'.*-:*r\.\ ,/ \
\ir'r',.r,tr:{O . \¡'::il:,r,,:/:r.\ ..t¡,¡¡'¡,,,,,' \\í''-*'**\B
i:l
Los cuadriláreros convexos se clasifican en paralelogramos, trapecios o trapezoides, de-
pendiendo de si tiene o no lados paralelos.FIA Ampracon
Paralelogramos |-J} ;;ñ;;ili;Los paralelogramos sóñ?uadriláteros que tienen sus dos pares de lados opuestos para-
lelos. Se clasifican en: rectángulos, cuadrados, rombos y romboides.
L
Cuadrado
l'l-:
-rllrlr
':-.---.=----.--- ---::,-:-:-:-,--:1--- ------*-i--=*--. --. - '/**-*-
Algunas propiedades de los paralelogramos son:
s Cada diagonal lo descompone en dos triángulos iguales.
1l Los lados oplresros son congruentes.
!: Los ángulos opuestos son congruentes.
a Dos ánqulos consecutivos son suplementarios.
É Las diagona.les se cortan en el punto medio.
Por eiemplo, en el rombo ABCD (figura 2), O es elpunto medio de AC y de DB .
-{demá-s. exisren otros cuadriláteros, como los trapecios y los trapezoides.
TrapeciosLos rrapecios son cuadriláteros que tienen solo un par de lados opuestos paralelos (figura
3).
TrapezoidesLos trapezoides son cuadriláteros convexos en los que ningún par de lados opuestos son
paralelos (figura 4).
Base menor
Altura i
Base mayor
!:BC
I
D:A
Figura 4
ffiResponde.
105. ¿Qué es un cuadrilátero?
106. ¿Cuáles son las propiedades de los paralelo-gramos?
107. ¿Cómo se clasifican los cuadriláteros convexos?
108. ¿Qué diferencias hay enre un paralelogramo, untrapecio y un trapezoide?
ffiDetermina cuáles de las siguientes afirmacionesson verdaderas y cuáles son falsas. Justifica con unejemplo.
109. Los cuadrados son rectángulos.
110. Los rectángulos son cuadrados.
111. Los rombos son cuadrados.
ll2. Los cuadrados son rombos.
113. Los trapecios tiene dos pares de lados paralelos.
QObr.*" la figura. Luego, resuelve.
--v
-\HL L 4. Halla la can tidad de cuadriláteros.
115. Indica cuáles son paralelogramos.
116. Determina Ia cantidad de rectángulos.
1 17. Indica cuáles son trapecios.
Q Clasifica cada uno de los siguientes cuadriláreros enparalelogramos, trapecios y tapezoides.
1 18. I ?í¡
1 19, rzt.
@Escribe el nombre de cada paralelogramo. Luego,toma las medidas necesarias para comprobar la pro-piedad indicada en cada caso.
I22.Los lados opuestos tienen la misma medida.
l23.Los ángulos opuestos son congruentes.
i::r::r':'r':1- - .-.. -.--'' -"!!.¡':.:1,: : l \t
124. Dos ángulos consecutivos son supiemenrarios.
-l':\.4'.\'.- t
,.,'-,"'
@Utt. las diagonales en cada caso, para formar cua-driláteros. Luego, clasifica los cuadriláteros que se
forman.
125. 126. iMN\t----'--r/ v---\- z
\o art -----.-. o \
wQcorrrtroy. un dodecágono regular y dibuja en él el
paralelogramo ABML, como se muestra en la figura.
AB¡.;' ,,--.'' \C/¡ut\/\K/ 'D
I
I
I
/\E
. . I r..ii::i,ir,ita,¡i¡:¡litl:]l:t,ititli:t¡iU1{ül,lUlllr¡..
Matemáticamente
Para el estudio de pobla-
ciones, los biólogos usan
cuadriculas y cercan las re-
giones con lazos y estacas.
Usa los vértlces para iden-
tificar la forma de la región
en donde fue encontrado
el insecto llamado manlis
sagrada.
5
4
3
2
1
4. Tnm$'tsf#flffiffiffi8#fl*ffis #* m[ *flmrem
##reffisEmru* tr,ffillil* @ Enraceweb
En un plano, se pueden aplicar sobre los polígonos dos tipos de transformaciones. Las
primeras, llamadas transformaciones rígidas, no cambian las características de los
polígonos, es decir, la medida de sus lados y de sus ángulos permanece igual. Las trans-
formaciones rígidas en el plano son: traslación, rotación y refexión.
El segundo tipo de transformación que se puede aplicar sobre los polígonos es la llamada
homotecia, en la cual se conserva la forma pero no la longitud de los lados del polígono.
Pararealizar las transformaciones rígidas es necesario estudiar primero la representación
de polígonos en un plano cartesiano.
4.1" Ptanü gñrt*siang EB Actividad
El plano cartesiano es un sistema
que se utiliza para localizar puntos.Está formado por dos rectas perpen-
diculares llamadas ejes, cuyo puntode intersección recibe el nombre de
origen.
Para identificar los ejes se nombrancomo eje x y eje y. En cada eje se
establece una escala numérica, de
tal forma que en el eje r se escribenlos valores positivos hacia la derecha
del origen y en el eje y hacia arriba
del origen. Además, los valores ne-
gativos se escriben hacia la izquierdadel origen en el eje x, y hacia abajodel origen en el eje7.
Los ejes dividen al plano cartesiano
en cuatro regiones denominadas cua-
drantes. Cada cuadrante se enumera
con números romanos.
En el plano cartesiano, un punto se
representa con un par de númerosllamados pareja ordenada que se sim-l>oliza (a, ú), donde a es la primeracomponente o abscisa y ú es la se-
gunda componente u ordenada.
Para ubicar un punto (a, b), se ubicaa segun el eje x y b segin el eje I.Por ejemplo, para ubicar el punto(*2,4), se ubica la abscisa -2, según
el eje x, y la ordenada 4, según el eje
,/, como se muestra en la gráfica.
v'5
,4).+3
2
1
-2-t 0
-1-2-)-4
5
(J,2),(2, s),(4, s), (3,0)
!5
4
3
2
I
-5 -4 -3 I 2 3 4 5x
Representacién de polígonos en el plano rartesiano
Para representar un polígono en el plano cartesiano, se ubica cada uno de sus vértices.
Luego se trazan sus lados.
Por ejemplo; para representar el triánguloABC enelplano cartesiano, cuyos vértices son
A: (-2,-t), B: (2,4) y C: (3, 1);
primero, setraza el plano cartesiano. Luego,
se ubican los vértices,4, By C. Por último, se
trazan los lados del triángulo.r 2 3 4 5x
ffi lrrlrlprrt* . ffi Argu***r+ . @Propongo . flsolucionoproblemas
!4
3
2
B/''
l :''tt' i\
l:irlll:illr'l'ri ',
ar,::r:t:.1:,,,i i I
::i.,:ii::trl:l,, :,;-r
En el plano cartesiano está representado el pen-tágono ABCDE. Determinar las coordenadas de
sus vértices.
Para determinar las coordenadas de los vér-tices se ubica la abscisa y la ordenada para cada
uno. Así, se tiene que las coordenadas son:¿ : (-3, 1), B : (-1, 4), C : (2, 4), D : (3,2)y E : (I,0).
E.
!5
BJ+:q
2
1
I2 3 4x
ffiEscribe las coordenadas de los vértices de cada polí-gono.
128.
r29,
-1 r__-r+
t:r..-..............
l-
I
ffiD.t.r-ina el vértice que falta para formar el rectán-galo GHIJ en el plano cartesiano.
130. Si, G : (*3, -2), H : (-3, 4), I : (1, 4).Realiza la representación en el plano cartesiano.
plano cartesiano un hexágonoescribe las coordenadas de los
"1r
I4
3
2
iiiat;til
\i,1-\1\_J
-4
4-3-2 23 5 6x
@Resuelve.
131. Representa en el
cóncavo. Luego,vértices.
$f A partir delladoKL, determina un tercer posiblevértice del LKLM, de tal manera que:
rt:, -L
K.
4.t Traslación
La traslación es una transformación que consiste en desplazar una figura a lo larg:de una línea recta conservando la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos
Para determinar ia traslación de una figura es necesario indicar los tres elementos de ,;-.traslación:
* La dirección, que puede ser horizontal o vertical.
t¡ El sentido que puede ser derecha, izquierda, arriba o abajo.
1l La magnitud, que corresponde al número de unidades que se va a trasladar la figu:-
Para realizar la traslación de un polígono es conveniente usar el plano cartesiano.
1. Trasladar el LMNO, siete unidades hacia la derecha.
priñler*, se traslada cada vértice siete unidades haciaderecha para encontrar los nuevos vértices M'I\r O' .
L.*ego, se unen los vértices.
Es importante observar que las ordenadas de los vérticespermanecen igual.
Por ejemplo, las ordenadas de los puntos 74 : (-4,l) y
1 2 3 4 5 6x
t, M' : (3, 1) son iguales
2. El polígono P'Q'R'.9' es la imagen del polígon"PQRS mediante una traslación de 3 unidades haci:abajo. Determinar los vértices del polígono inicia-l
-4 -3 -2 -r¡ -lP' .s"
c/
''. -3eL
Q'
3 4 5 6x
Como el desplazamiento del polígono inicial fue ha;:.abajo, es necesario trasladar el polígono P' Q' R'S' ,3 ur---
dades hacia arriba, para determinar el polígono PQRS.
I4
3
2
1
t2
R,a
Los vértices del polígono
P: (-2,2), Q: (-1,inicial son:
-l),R: (2, l)yS: (-1. i
3 4 5 6x
S$Responde.
134. ¿Cuáles son los elemenros para tener en cuentaen la traslación de una figura?
135. ¿Cómo es posible cambiar el sentido de unatraslación, utilizando números enteros?
QTl.rl.da el A,ABC, de acuerdo con la dirección, elsentido y la magnitud que se indica. Luego, escribeen cada caso, los vértices de la posición final.
136. Thes unidades hacia arriba.
137. Dos unidades hacia la derecha.
138. Cuatro unidades hacia la izquierda.
139. Thes unidades hacia abajo.
ÉpDetermina la dirección, el sentido y Ia magnitud delas dos traslaciones realizadas al cuadrado ABCD,Explica tu respuesta.
I2
AB:?1
-5 -,1a
- +0. taslación .l
. -1C-2
B"i-3I
l. -)C"
-6
5 6xa
123 4a- ---. -
D'
I 2 3 4x
@ ir:rr:rpr*lr: . q-S étnn*,no**** . @ eropongo . Q e¡ereito. $ narono . $l Soluciono probtemas
'+1, Traslación 2
QR.r,r.Lr..142. Determina la traslación realizada al polígono
GHIJ que tiene como vértices 5 : (-2, *3),H : (- 1, - 1), I : (-1, l) y J: (2, 2), si las
coordenadas de los vértices de Ia posición finaldel polígono son: G' : (3, -3), H' : (4, -l),I' : (4,1)yJ' : (7,2).
Luego, representa la transformación en un planocartesiano,
@S. h"" aplicado dos traslaciones Z, y 4, sobre elAKLM. A partir de los vértices de la posición finalde cada traslación, completa los enunciados y, luego,determina las traslaciones Try Tr.
VérticesAKLM
Vértices
por Tr
17 : (-3,4)
Vérticespor T2
¡' : (*2,7)
¡¡" : (2, 1)
143, N comparar los vértices correspondientestriángulo inicial con la imagen obtenida
l, se observa que la abscisa
ordenada se aumenta en
- .
144. N comparar los vértices correspondientestriángulo inicial con la imagen obtenidaIz, se observa que la abscisa
M'
delporyla
delporyI^
ordenada
145, Por tanro, Ia traslación Z1 es
146. Por ranro, la traslación Z es:
Q f aZ. Mediante la composición de traslaciones se
pueden formar distintos frisos. Completa en r,icuaderno.
Recuerdoque... '''.
Cuando se realiza una ro-
tación en el sentido de
las manecillas del reloi, el
sentido es negativo' En
cambio, cuando la rota-
ción se realiza en sentido
contrario a las manecillas
de un reloj, el sentido es
positlvo.
4"3 Rota*ión
Una rotación es una transformación rígida en el plano que consiste en girar unafigura alrededor de un punto.
Para rotar una figura es necesario indicar tres elementos:
¡: El ángulo de giro que debe expresarse en grados.
* El sentido que puede ser en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrarioa las manecillas del reloj.
!i El centro de rotación que corresponde al punto alrededor del cual se va a rotar la figu-ra. El centro de rotación puede estar en el interior de la figura, en uno de sus vértices
o en su exterior.
Rotar el AABC abededor del vértice .8, 90o en el
Primero, desde el punto de rotación .8, se cons-truyen, en el sentido de las manecillas del reloj, los
ángulos 4ABEy <CBF de 90'cada uno.
sentido de las manecillas del reloj.
-3-4
irv'4
3
2
1
Luego, con ei comp:is se toman las medidas de los
segmentos BA v BC , y se marcan los puntos,4'y C' en las semirrecr^tEÉ yEF p^r^formar los
segmenros BA' t' BC ' .
v-4
3
2
I
¿E
5 6x
6;F
Finalnrenre . se ¡raza el segmento 77 para ob-rener el *1' B'C' que corresponde a la imagen delL,LBC. después de ser rotado alrededor del vérticeB, 90' en el sentido de las manecillas del reloj.
v'4
J
2
i
/r
5 6x
'é, F
Para verifica¡ que la rotación realizada es correcta, se mide el ángulo que forma un ladode la figura inicial con el que corresponde al de la figura rotada. Además, se debe teneren cuenta que al rotar una figura no cambian ni las medidas de sus lados, ni las medidasde sus ángulos internos.
i345
4.4 La reftexi*n
La reflexión es una transformación rígida en el plano que consiste en "dar mediavuelta"a una figura a partir de una recta llamada eje de reflexión.
Una propiedad importante de la reflexión es que cada punto de la figura inicial y su co-rrespondiente punto en la imagen reflejada, equidistan del eje de reflexión. Al reflejar unafigura, su imagen se ve como si sobre el eje de reflexión se hubiera colocado un espe;'o.
Reflejareltriríngulocuyosvérticesson,,4 : (-2,1),8: (-3,4) yC: (0,5), apartirdel eje de refexión que pasa por los puntos D : (2,5) y E : (2,0).
Frirnero, se rnaza el eje de refexión por los punros D : (2, 5) y E : (2, 0).
.!-ueg*, se mide con el compás la distancia de cada vértice del triángulo al eje de reflexióny se traslada cada medida al otro lado del eje, de tal forma que cada vértice y su respectivaimagen, queden sobre la misma recta horizontal.
3 4 5 6 7x
Firraln:ent*, se tiene que el triángulo devértices A', B' y C' es laimagen refejadadelAABC.
3 4 5 67x
l
3 4 5 6 7x
Matemáticamente
irraza la imagen de la sl- |
guiente figura teniendo en
cuenta el eje de reflexión.
ffiCompleta.
148. Si los puntos extremos de un segmrnto ABtienen coordenadas A (2, I) y B (2, 4), al rc-tarlo 45o alrededor del punto A, en el sentido
de las manecillas del reloj, las coordenadas de la
imagen del punto B son B'(-"*-*, -*).
149. Si los puntos extremos de un t"g-e.tto ,48tienen coordenadas A (-3, I) y B (-1, 1), al
reflejarlo sobre el eje y, las coordenadas de los
puntos extremos de la imagen son A' (-, --)y B', (,--, *-*).
ffiExplica el procedimiento para encontrar el eje de re-
fexión a partir de una figura y de su imagen. Luego,
traza el eje de reflexión en cada caso.
150.
151.
152. Trazala imagen reflejada de la siguiente figura.Luego escribe las coordenadas de dos puntosdel ele de refexión.
i-
G'./""1"
,r'
D
,/ ¿'.'--..-;' i..' i .AD
153. Completa la rotación del triángulo de vértices
A: (1,0),.8: (3,1)y C: (4, -2),alrededordel punto D, I20" en el sentido de las maneci-llas del reloj.
Bt
3 4 5x,..t:, C
Q Copia en tu cuaderno cada figura. Luego, efectúa larotación indicada.
154. Rotación alrededor del vértice C,90" en el sen-
tido de las manecillas del reloj.
155. Rotación alrededor del vértice A,60" en el sen-
tido de las manecillas del reloj.
fl R"ru"lr,..
1 56. iJn viángulo ABC se refeja con respecto aI eje x,
de manera que las coordenadas de los vértices de
su imagen sonr{'(- I,3), B'(-6,2) y C'(-3, t).Determinar los vértices del úángulo ABC.
157. Sobre un cuadriláte ro ABCD se aplica una rota-ción alrededor del punto O (0, 0) con un ángulo
de270o en el sentido contrario a las manecillas
del reloj. Si las coordenadas de los vértices de
su imagen son A'(7,9), B'(-5,3), C'(10, -5)y D'(6, 6), determinar las coordenadas de los
vértices del cuadrilátero ABCD.
4.5 Hsmotecias EP ffül;:l'i @ Enrareweb
Una homotecia es una transformación en el plano que conserva la forma de la
figura pero no Ia longitud de sus lados. La frgura que resulta al aplicar una homo-tecia se denomina imagen. Una homotecia se puede relacionar con la idea deampliar o reducir una figura.
Para realizar una homotecia se deben tener en cuenta los siguientes elementos:
!! El centro de homotecia: es el punto a partir del cual, se trazan líneas imaginarias quepasan por los vértices de la figura que se va a transformar.
:: El factor de conversión: es el cociente de las medidas de los lados correspondientesentre la figura y su imagen.
Estas son las propiedades de una homotecia:
* Cada lado de la figura es paralelo al lado correspondiente de su imagen.
¡! Los ángulos correspondientes de la figura y de su imagen, son congruenres.
!! El cociente entre las longitudes de los lados correspondientes de la figura y de su ima-gen, llamado factor de conversión, es el mismo.
I . Hallar el centro de homotecia y el factor de conversión a partir del A ,4BC y de suimagen por homotecia el A A'B'C' .
B0,8 cm/
,( \l'4 cm
r ")t\tc
Prirne¡o. se halla el centro de homotecia. Paravértices y se encuentra el punto de intersecciónpunto D.
esto, se trazan las rectas que unen los
de éstas. El centro de homotecia es el
E_- -'
I aegc, se halla el factor de conversión de la homotecia, calculando los cocientes entre-es medidas de los lados correspondientes del L ABC y de su imagen.
.lE : 1.6 cm - .., -:r,B 0,8 cm ' BC
Fin¿inrentc. se tiene que el factor deJBC se ha ampliado el doble.
2 4: ?,^ :2AC 1cm
la homotecia es 2. Por tanto, el
_ 2,8cm _1,4 cm
conversión de
2. lJallar la imagen del cuadriláterc ABCD mediante la homotecia con centro E yfactor de conversión igual a 3.
Frimera, se trazan semirrectas desde el
vértices del cuadrilátero.
BA
A rt'\f. \\ ,)c\/
D
centro de la homot ecia E hasta cada uno de los
l-uego, con el compás se roma la medida del centro E alvértice,B. Esa medida se traslada
tres veces sobre la semirrecta. El nuevo punto B' es el vértice correspondiente a la figura
ampliada. Se repite este procedimiento con cada uno de los vértices.
-=.4
a-.. -
D' '-----.___,.
Finalnrente, se trazan los lados de la imagen uniendo los nuevos vértices, con 1o cual se
consigue "la ampliación" del cuadrilátero ABCD.
El cuadriláte ro A' B' C' D' es la imagen de ABCD por la homotecia de dentro en E yfactor de conversión 3.
E
$Responde.
158. ¿Qué es una homotecia?
159. Si ABC es un triángulo equilátero y A'B'C' es
su imagen por homotecia, ¿cuál es la medida del<A'B'C'?
160. Si se aplica una homorecia de facror de conver-sión 4 a un cuadrado de lado 6 cm, ¿cuál es elperímetro de su imagen?
161. Copia la siguiente figura en tu cuaderno. Luego,realiza una homotecia con centro en G v factorde conversión 2.
C
G
@Determina el factor de conversión de la homoteciaaplicada sobre los polígonos ABCDEF y ABDEF.Justifica tu respuesta.
t62. A'
AF:
,D.E
B'CÉ
t63. E
Y\O\t\/A-B
164, T:¿za en e1 plano cartesiano una ñgura plana.Luego. ubica un cenrro y halla su imagen me-di.a¡re una homotecia con factor de conr.ersión 3.
F,
,ED'
l
.C
E'p<,t\o'ALJB,
$p tnterpreto . @ ArEu*n*to . @ Razono. ft Soluciono problemas
@HAU el centro de homotecia y el factor de conver-sión, a partir de las coordenadas de los vértices decada figura y de su imagen.
t65.
166.
(-2,6t a
/{/)/4
/ 1-r, s)/ l-1,_0,t,(_r,r,1 2
\, I'(2,4\
-6-5-4-3-2 1
-l-2
\j 1,
41)
A', --.
I5
4
3
2
1
R
12 l---+t->{ 5 6xII
\l
\iaC
¡-lC
-L
-3
167.Dib$a el polígono de vértices P : (-3, -2),Q: (-t,3) y R : (1, -l). Luego, halla su
imagen mediante la homotecia de centro en el
punto S : (-5, 4) y facror de conversión 3.
Q Urn.r,odiante trazólafigura de una casa en el planocartesiano como se muestra en la siguiente figura.
Í68.Traza la figura de la casa reducida medi:.,-:. -
homotecia de fact 1 ' -otjYcentroen169. Determina las coordenadas de los-.-': -:, -:
figura reducida.
ro Amolla(loofr. trqd##F#*ffi ury ;;il;il,La medición es un proceso que consiste en comparar un patrÓn seleccionado,
con el objeto o magnitud que se desea medir, para saber cuántas veces el patrÓn
está Contenido en esa magnitud. Algunas magnitudes fisicas son la longitud, el
área,la masa y eltiempo.
ffi.1- t*ngit*d ffiP Aetividades
La longitud es una magnitud que se mide en una dimensión, como el ancho, el
largo y la altura.
Unidades de medida de longitud
La unidad fundamental para medir longitudes en el Sistema Internacional de Medidas y
en el Sistema Métrico Decimal, es el metro, el cual se simboliza con la letra m.
En este sistema de medición, existen unidades mayores que el metro, conocidas como
múltiplos del met¡o, y unidades menores que el metro llamadas submúltiplos del metro.
ri:r:l:.:,:,,,,.:r'l',lr,r:lr',Mú1t-idós,dél meti^, ,'r '. r',ir:r,.:, Submúltiplos del metro
i Kiló-.rro jHectómetro , Decámetro a Decímetro : Centímetro i Milímetro I
(km) (hm) (dam) (dm) (cm) (mm)
1.000m l00m IOm +,. #* fi*.Para convertir unidades de medida en el Sistema Métrico Decimal, se multiplica o se
divide por potencias de 10, de la siguiente manera:
i$ Para convertir unidades de orden superior a orden inferior, se multiplica por la poten-
cia de diez correspondiente.
i3 Para convertir unidades de orden inferior a orden superio¡ se divide por la potencia
de diez correspondiente.
De Bogotá a Cartagena hay aproximadamente 109.000 dam.
En cambio, la distancia de Bogotá a Tirnja es de 1.200 hm.
¿Cuántos kilómetros más lejos de Bogotá queda Cartagena que
Tirnja?
llri¡nerc, se convierten ambas distancias a kilómetros. Como 1 kmequivale a 1.000 m y 1 dam equivale a 10 m, se divide la medida expresada en decá-
metros (dam) entre 102. Además, como t hm equivale a 100 m se divide la medida
expresada en hectómetros entre 10.
109.000+100:1.090 1.200+10:120
I-u*gcl, se realiza la resta entre la distancia de Bogotá a Cartagena y la distancia de Bogotá
a Tunja.
1.090-]l20:970
Fins!ir:¡entc, se tiene que Cartagena queda 970 km más lejos de Bogotá que de Tirnja.
Otras unidades de longitudExisten otras unidades de longitud que no pertenecen al Sistema Internacional deMedidas, que generalmente se utilizan en la aviación, en la navegación, y en el comerciode partes de maquinaria. Sus equivalencias en el sistema métrico son:
Unidad Abreviarura Equivalencia
pul , 2,54 cm i--.-i---------.-".i
p 30,48 cm- --¡.-. .-. = - .- ..... -. .-.. -- i
yd 9l.44 cm
Pulgada :
Pie i
Yarda ;
Milla mi r.609,347 m
Para realizar conversiones se utilizan estas equivalencias.
Perímetro ffiffi} Aclivid¿d
El perímetro de una figura es la medida de longitud de ia línea que forma su contornoo borde. Para calcular el perímetro P de un polígono se slrman las medidas de sus lados.
1. Laylryrrn Setkyar es una de lasestatuas más altas del mundo.Está ubicada en la República deMyanma¡ al sudeste de Asia ytiene 116 pies de altura. ¿Cuán-tos metros de altura tiene laestatua Laylc¡rrn Setkyar?
nlri::ler*, se realiza la conversión de pies a metros. Como1 p equivale a30,48 cm, se divide entre 100, con lo cualse tiene que 1p equivale a 0,3048 m.
i-uegr:, se multiplica 116 por 0,3048.
116X0,3048:35,35
Fina{nre*ce, se tiene que la altura aproximada de la es-
tatua Laykyun Setkyar es de 35,35 m.
2. Un avión comercial. alcanza una velocidad de 600millas por hora. ¿Cu:il es su velocidad en kilómetrospor hora?
Prin¡ere¡, se convierte una milla a kilómet¡os. Como1 milla equivale, aproximadamenre, a 7.609,347 m, se
divide este valor enrre 1.000 para hallar su equivalenciaen kilómetros. Así, 1 mi equivale a 1,609 km.
Li-iegc, se tiene que 600 X 1,609 : 965,4
Finarne*re, se tiene que la velocidad del ar.ión se apro-xima a los 965 km por hora.
3. Calcular el perímetro de un llavero con la siguienteforma.
:',' 'i!i,Xt?'
!_
*.\,4cm i"",
30 mm
2cmO,2I dm
Pria:*rq¡, se expresan todas las medidas en una mismaunidad de medida. Como 2 de las 5 medidas están encentímetros se convierten las demás medidas a centíme-tros multiplicando o dividiendo entre la potencia de diezcorrespondiente.
30 + 10 : 3, así 30 mm equivalen a3 cm.
0,2I X l0 : 2,7 , así 0,21, dm equivale n a 2,I cm.
0,036 X 100 : 3,6, así 0,036 m equivalen a3,6 cm
i.ucg*. se suman las medidas en centímetros de todoslos lados, para hallar el perímetro P
P : 2 cm * 4cm f 3 cm * 2,Icm f 3,6 cm
: 14,7 cm
jlir¡:¿ine r'¡ie" se tiene que el perímetro del llavero ¡, :.74,7 cm.
0,036 m
ffiCompleta.
lTO.Para convertir de centímetros a hectómetrosse --....--, ---.---- entre En cambio,para convertir de kilómetros a ,,. --,-..,,,- se
por 10.000.
171. Una milla equivale a -,-...,".-,------, kilómetros yuna yarda equivale a .,-,--.-.- --.*,. milímetros.
Convierte las siguientes medidas a metros.
172.5 km
t73.4,3 hm
174.79 cm
175. 13 dam
176.12.200 mm
L77.85 dm
178.4 mi
179.62 pul
180.31 p
18r.54 yd
Q CA.U" el perímetro de las siguientes figuras.
I 8-.
3Om4.2OO cm
0.30 hm
15m
30 rn
188.
r89.
360 dm
4O¡¡n
190.
0,22 hm
4,5dam
QHAU el perímetro de cada polígono.
182. Un cuadrado de 4,5 cm de lado.
183. Un rectángulo de 6,5 cm de base y 4 cm de
altura.
184. Un triángulo equilátero de 5,2 cm de lado.
185. Un pentágono regular de 8 cm de lado.
186. Ordena las altitudes de las siguientes ciudades
de menor a mayor.
Ciudad Altitud
Cali 995 m
¡B3¡ran_q-uifl a,. 1,14 1!0 cm
, Bggolí '.,.2,6;3;110 ^,Medellín t 14,79 hm
ffi it-'u'r¡r,..i.,,, - Q Ejercito . (l Soluciono problemas
40m
2 dam
191. Determina el perímetro de cada uno de lc.triángulos de la figura si se conoce que ;triángulo A'B'C' es la imagen del triáneu--ABC por Ia homotecia con centro en D y facrc:de conversión 2.
A?...
JCmD.a B 4c¡n
A
i
i,lCR
fl r". y responde.
192. Los ríos más largos del mundo son el Am:-zonas con 6.800 km de longitud y el Nilo co:67.560 hm. ¿Cuál es la diferencia entre la lon-gitud de ambos ríos?
l9S.LaTore Eiffel tiene 330 metros de altura. ¿ Cu-es la altura de la Torre Eiffel en decámetros?
194. Un edificio tiene una altura de 20 m v 35 cn¿Cuál es su altura en decámetros?
195. Un buzo se sumergió a 20 pies de profundida;para estudiar cierto tipo de algas. ¿Cuántos m.-tros se sumergió?
196. Una carretera de 8 km 2,5 hm 20 dam 50 ¡::de largo tiene, a ambos lados, árboles separados
entre sí 10 m. ¿Cuántos árboles hay en la ca¡re-
tera?
197. Se quiere cercar un terreno con forma de cu¿-
drado, cuyo iado mide 8 hm 3 dam y 50 m. S.
200 metros de alambre de púas tienen un cosrc'
d. $35.500, ¿cuánto cuesta cercar el terreno?
Q n. y resuelve.
Charlotte Motor Speedway es un kartódromo en for-ma óvalo de 1,5 mi inaugurado en 1960 cerca de l¿ciudad de Charlotte, Estados Unidos. Las instalacio-nes también incluyen un circuito mixto de 2,25 mitun kartódromo de 0,6 mi.
198. Calcula cuántos kilómetros de longitud tiene el
Charlotte Motor Speedway.
199. Determina cuántos hectómetros de longituimide el circuito mixto.
200. Halla cuántos pies de longitud tiene el kartódro-mo.
S.tr Ár** $ilry Actividad EIry AT?ln:fil
El área es la medida de la superficie de una figura plana. Para hallar el área de unafigura se elige una unidad o patrón de medida y se calcula la cantidad de vecesque la figura contiene a la unidad elegida.
Las unidad básica de medida de área en el Sistema Métrico Decimal es el metro cuadrado(m2). Thmbién se utiliza con frecuencia el centímetro cuadrado (cm2).
El área de una figura cumple las siguientes propiedades:
tt Siempre es un número positivo.
*t Si una región se divide en varias regiones que no se superponen, eIárea de la regióntotal equivale a Ia suma de las regiones en que se ha dividido.
Para calcular el área de un polígono se pueden utilizar las siguientes expresiones:
Rectríngulo
A: bX h,dondebeslabase y lt es la altura.
. . . .:..:...::.14:a:.4,4.:.
b
-- b"-'--' "
Thi:íngulo
I : b x h, donde á es la2
basey h la altura.
Ouos polígonos
A: A, I A2, dondeAl es
el área del rectánguIo y 42es el área del rriángulo.
lrlnltJJÜ
Ampliación
multimedia
E3Actividad
'.i. At',AzI
En general, para calcular eI área de cualquier polígono se realizan los siguientes pasos:
*[ {?ri¡ner*:* se divide el polígono en regiones triangulares.
1¿ í,u*Sc, se calcula el área de cada triángulo.
!i Fi*ai:ne¡l¡it, se suman las áreas resultantes.
Hallar el árca del rectángulo ABCD cuyas dimensionesson2cmy4cm.
Para hallar el área A del rectánguIo ABCD se puedenr ealizar dos procedimienros :
Se divide la figura en cuadrados de un cenrímetro delado y se cuenra el número de cuadrados que recubrenla figura.
i 2cm
1l^ 4cm D
Como el rectángulo contiene 8 cuadrados de un centí-metro de lado su área es 8 cm2.
Se multiplica la medida de la base por la altura.
B
b
Coro la base (á) es igual a 4 cm y la alturaa ' an-t. se riene que
A: bx hA:4x2:8
,{si. el á¡ea del recrángulo ABCD es :; : ::
i*--.-"¡j
I
I D
$Responde.
201. ¿Cuál es la diferencia entre superficie y área?
2O2. ¿Cuáles son las propiedades del área?
QCl.ot" el área de cada polígono si la unidad queindica la cuadrícula es 1 cm2.
203.
204.
,/ ',,/
/-,,\
QS". /la unidad.de medida,siguientes polígonos.
205.
calcula el á¡ea de los
206.
207.
@zot.Observa los triángulos en la cuadrícula y com-
pleta la tabla. Luego, responde.
EF
A
Base ' Alturi Base
:::1.
..t..- -':--'"--'-----"-'¡-"^* -"""--"-" .. -
:; ::
Trirángulo
lBC-
lBo:ABE
ABF i
..-' '-' '--. ,-."..:i
209. ¿Qué elementos tienen en común todos los trián-gulos?
210. ¿Qué relación existe entre el área de cada trián-gulo?
211. Dibuja otro triángulo que cumpla las misma.
condiciones.
fl R.ro.lr,..
2t2. Determina el número de baldosas cuadradas
que se requieren para colocar el piso a un salón
de forma rectangular de 6 m de largo y 4,5 mde ancho, si se sabe que cada baldosa mide 60
cm de lado.
2l3.Halla la cantidad de naranjos que pueden sem-
brarse en un terreno de forma triangula¡ comoel que se muestra en la figura, si cada árbol ne-
cesita 6 m2 para desarrollarse.
4d:ln '
$.3 Tl*mF* EF Actrvidad
En el Sistema Internacional de Medidas (SI) se establece el segundo (s) como unidadfundamental para calcular el tiempo,
El sistema que mide el tiempo no se maneja en base diez, como el Sistema Métrico De-cimal, sino que se trabala en base 60; por esta razón es llamado sexagesimal y es usado
de esta forma desde la antigua Babilonia.
Algunas unidades de tiempo utilizadas con frecuencia son:
Unidad Tll:-': i?lt día ario lustro década siglo(mrn) (h)
Equivalencia 60 s j.0- 24h 1i: 5 años "::" ]:^t"i mln dlas r 1 anos anos
mileno
1.000
años
Para expresar medidas de tiempo en diferentes unidades, se multiplica o se divide porlas equivalencias que se muestran en la tabla.
1. Sofía se está entrenando para participar en el cam-
peonato internacional de triatlón. En su último en-
trenamiento, sus tiempos fueron de 18 minutos y 37segundos en natación, 34 minutos y 59 segundos en labicicleta y I hora y 48 segundos en la carrera. ¿Curíl fue
el tiempo total de Sofía en su práctica?
Para calcular el tiempo total que gastó Sofía en su último entrenamiento, se deben sumarlos tiempos de cada modalidad, así:
El reloj mundial está situado
en una p aza en el centro
de la ciudad de Berlín. Esta
g ran estructura construida
con rnetal, rota de manera
perrnanente y muestra la
hora de todo el mundo. Este
re oj fue inaugurado e 30 de
septiembre de 1969
Natación:
Ciclismo:
0 hora
0 hora
t hora
+ 18 minutos +
+ 34 minutos +
+ 0 minutos +
37 segundos
59 segundos
48 segundos
Tiempo total: I hora + 52 minutos + 144 segundos
Como 60 segundos corresponden a I minuto, entonces, se hallan los minutos que hay144 segundot'
1 ++ i eo
,?1,,2.segundos ' . minutos
Luego, se suma 2 min a 52 min. Es decir, 54 min.
Por tanto, el tiempo total de Sofía en su práctica fue t hora, 54 minutos v 24 segundos.
2. Calcular la cantidad de días que hay en 4 lustros.
Como cada lustro tiene 5 años, entonces, 4 lustros equivalen a:
4 lustros : 4 x 5 años : 20 aÁos.
-lhoia. la cantidad de días que hay en 20 años es:
20 x 365 días : 7.300 días.
Por tanro. en 4 lustros hay 7.300 días.
5.4 Masa GF Actividad
La masa se relaciona con la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad fundamentalpara medir la masa en el Sistema Internacional es el kilogramo, que se simboliza comokg.
El gramo (g) es una de las unidades de masa más usadas. Al igual que el metro, el gramotiene múltiplos y submúltiplos. Así,
Múltiplos Slmbolo Equivalencia en g
.*¿,ffiü¡¡r**
El kilogramo está definido
como la masa de un cllindro
patrón compuesto por una
areación de platino e iridio.
Este cilindro se encuentra
en la Oficina de pesos y
medidas en Francia.
Recuerda que.,,
1 tonelada : 1.000 k9
1 onza = 28,35 g
1 quilate :0,29
i1,Kilogramo I ke
!
i
1.000 e ;
-_ -..- -_-__-,,. ---J¡
Hectogramo hg 100 g iO j -'.' *-.:-_. '-*-'-1:'
Decagramo i d"g -j 10 g .j
Submúltiplos Símbolo
de;ieram_o
centigramo
Equivalencia en gi
Olo l""b l
0,01 g ;i
-9-:99-1-q:i
i'
t"I
I
rlrdg;
. i."... . . -..=.. -.".. ""."r.,! cg.
miligramo rt msr.4,
Para expresar una unidad de masa en términos de otra unidad se realiza el mismo pro-cedimiento indicado para las unidades de longitud.
1. Un camión transporta 4,5 toneladas de papa y 32.500 hg de cebolla. ¿Curíntoskilogramos transporta el camión?
Pr!¡¡rero" se convierte la cantidad de papa a kilogramos, así:
4,5 t:4,i X 1.000 kg : 4.500 kg
De donde se obtiene que en 4,5 toneladas hay 4.500 kilogramos.
l ,.rego, se convierte 32.500 hg de cebolla a kilogramos, así:
32.500 + t0: 3.250
Así, en 32.500 he de cebolla hay 3.250 kg de cebolla.
I r.' ,rlr¡-,.r-'¡r. se suma 4,500 kg y 3.250 kg, así:
4.500 + 3.250:7.750Pcr:anro. el camión rransporra 7.750kg.
2. -foaquín tiene tres bultos de zanahorias marcados con75 kg, 650 hg y 5.000 dag.respectivamente. ¿Cu:íl de los tres bultos tiene mayor masa?
Pr¿ ¡..npara¡ las masas de los tres bultos de zanahorias, se deben convertir a una mismaunii¿C. ¿sí:
75 kg: 75 kg
650hg:650 + t0:65k95.000 dag : 5.000 + 100 : 50 kg
Así que el bulto de mayor masa es el de75 kg.
@c"l.ot..
*&Zr¿. Responde. ¿Cómo se puede definir un segundo?
2l5.Los segundos que hay en 2 h 10 m 50 s.
216. Los segundos que hay en 9 días.
2L7.Los años que hay en 5 décadas, 3 lustros.
218. Las décadas que hay en 7 milenios, 8 siglos.
223.3,25 hg
224.0,00245 t
225. 18 quilates
226.25.894 mg
h :-,-,--*--. min :*'------ s
:,,*"--- décadas :---- lustros :*_- años
ftl Con r..tir en gramos las siguientes medidas de masa.
219.342 t
220.435 kg
221. t40 dg
222.0,047 hg
@Determina si cada afirmación es verdadera o falsa.
227.4 horas : 7.200 segundos ( )
228.90 minutos: 1,5 horas ( )
229. 3 horas : 1.800 minutos ( )
230. 5.400 segundos : 90 minutos (
231. 1.800 segundos : 0,5 horas ( )
232.13 horas : 6.000 minutos ( )
?/i3. ! hora
zt4. ! dia:
235. I siglo,
Queso doble crema
$9.000 el kilo
SCo-pl"t".
I236. 4+ años :-- días :---- h :-*, min :.__,_- sI
t;iiri¡-' ; ,,r.1.1-,r..r\, _-!"' .l
'.. .rf
@ZlZ.Determina los precios de un queso doble cremade 300 g, un queso mozarela de 750 g, / unqueso campesino de 1.000 g, a partir de la in-formación.
<.1--{p* Quesomozarela¿ $18.000 kilo
¡i . -:".1 --.,.11"i1-''r'i-. _l i
'.. ---":,'- -l_+,* :.-':-: _, - .
Queso campesinoS12.000 kilo
@t.. la información. Luego, resuelve.
La expectativa de vida que riene un hámster es de1.095 días. La expectativa de vida que riene una ba-llena es de B0 años.
238. Determina cuántas veces más vive una ballenaque un hámster.
fl r.. y resuelve.
239.Un móvil recorre 600 km en / horas, otrorecorre 500 km en 6 horas. ¿Cuál de los dosmóviles tiene mayor velocidad?
240. Luisadecidió mandar fundir sus joyas para haceranillos de 25 g cada uno. Tenía un collar de orode 420 dg, una pulsera de oro de 0,35 hg y unpar de aretes de 1,,5 dag cada uno. ¿Cuántosanillos se pueden fabricar?
QSolo.ion".24l.Halla cuánros días ha vivido Felipe si hoy está
cumpliendo 23 aircs.
242, Determina la hora de llegada de un automóvilque empleó 10 h 35 min para hacer un viaje deBogotá a Medellín, si se sabe que salió a las Zh25 min.
243.Determina la cantidad de minutos y segundosque se adelanta un reloj en una semana, si se
sabe que el reloj se adelanta 5 s cada hora.
Q Obr.* la siguiente gráfrca de barras que muestrala cantidad de equipajes con diferentes masas en unvuelo. Luego, responde.
30I
H20o ,-!1)ctzto
5
020 kC
244. ¿Cuál es la masa total de las maletas de 6 kg engramos?
245. ¿CuáI es la masa total en gramos de todos lcsequipajes?
Lzkg I9,5kgMasaen kg
Conceptos básicos
@.' Observa la siguiente figura. Luego, completa cada
expresión.
G
246. G es -_**'-247. Los puntos P, Ry Z son --*-248. Los puntos P, L, Ry 7no son
249. Lasemirrecta -,* está en G.
250. La recta I se puede escribir como _*--
$ R."lir" la construcción y responde'
' Trazauna recta 7E y ubicaun punto Cpor fuera de
la recta.
' Construye una recta paralela ^78 qur' pase por C'
Nombra la recta construida como m.
' Construye una recta perpendicula, ^ E que Pase
por C. Al punto de intersección de AB y Ia recta
trazada nómbralo D.
' Construye una recta paralela ^
CÚ que pase por A'nómbrala z. Al punto de intersección de ny m nóm-bralo como -F.
251. ¿Qué figura geométrica forman los segmentos,4F,
FC, CD, DA? Justiñca tu respuesta:
@, Complet a cadaparalelogra-mo teniendo en cuenta
los criterios de paralelismo r- perpendicularidad.
252. 2i3.
263.
Angutos
@' Const.uye' con transportador, cada uno de los
siguientes ángulos. Luego, clasiffcalos según su me-
dida.
254. 50' 255. r20" 256. r}'-
Utiliza el transportador para medir los siguientes
ángulos.
D
257. {DOC:258. 4AOM:
259. 4DOM:260. 4COM:
% Obse*" la figura. Luego, responde.
261. ¿Cuáles pares de ángulos son consecutivos?
262. ¿CuáIes pares de ángulos son adyacentes?
¿Cuáles pares de ángulos son opuestos por el vér-
tice?
Polígonos
'* Nombra los vértices, los lados, las diagonales y losángulos interiores de los siguientes polígonos.
264. 265.
266. Observa la figura. ¿Cuántos pentágonos convexos
hay?
} Nombra y clasifica los siguientes triángulos según
la medida de sus lados y sus ángulos.
267. 269.
268. 270.
*'Clasifica los siguientes cuadriláteros en paralelo-gramos, trapecios o trapezoides.
271. 272. 273.
\/
\/
Transformaciones en e[ ptanocartesiano
* R.pr"r.rrta los polígonos en el plano cartesiano.
274. Un triángulo de vértices: 1: (-i, -2),B: (1, S)y C: (2, -1).
275. Un pentágono de vértices: ¡7 : (4, -2),/: (8, -2), J: (8, 3), K: (6, 5) y L : (4,3)
$ Rpli." las siguientes transformaciones sobre el po-lígono de la figura.
| 2 3 4 5 6x
276. Una traslación de 4 unidades hacia la izquierda.
277. Una rotación alrededor del vértice B : (2,0),45'en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
278. Una reflexión sobre el eje 7.
279. Una homotecia con centro en D : (-1, -1)y factor de conversión 3.
Medición
& 280. Llno de los caminos que van de O a B tienelongitud 6,5 m. ¿Cuál camino es?
!4
:,
2
1
¡:-. \
ffi='ryPRoBLEIY|AS_mffiLa jirafa es el animal terrestre más aLto que existe
actualmente. Puede llegar a medir hasta 5,5 m de al-
tura y su masa puede ser hasta de 900 kg. Las jirafas
se transportan en camiones especiales que tiene un
vagón abierto en la parte superior por el cual sobre-sale su cuello.
5i la altura del vagón del camión en el que se
transporta una jirafa es la tercera parte de su al-tura total, ¿cuántos centímetros mide el cuellode la jirafa? y ¿cuántas toneladas debe soportarcomo mínimo el camión para transportar la jirafa?
:'J"* Yrryq*Y-Y;*":"'"{'}"{: .'' ".' : i" .
!r*rsr¡@
(= =,r-:
ia p,rr-ncia ú. . ; :
cm r' ¡1 camiór .,- .
- :'.'e:siones de las unidades de medida,: .:it., Luego, se rie ne que el cue1lo de
.: r,rs:orta debe sopoltar como mínimo
se haya multiplicado o dividido entre
la jirafa mide aproxim adamente 3670,9 toneladas.
ffi e ornprende etprcblema"
¿Cuáles son las preguntas del problema?
¿Cuántos centímetros mide el cuello de Ia jirafa? y ¿cuántas toneladas debe soportar como mínimo el
camión para transportar la jirafa?
¿Curiles son los datos del problema?
Una jirafa puede llegar a medir 5,5 m de altura y su masa puede ser hasta de 900 kg. Además, la medida
de la altura del vagón del camión en el que transporta una jirafa es la tercera parte de su aitura total.
i.';i¡-:r,.;¡''.;. se convierte a centímetros la altula que puede llega¡ a ¡¡eCir una jiraii. Para esto se multiplica5,5 por 100.
t-
se diyide entre 3 el -': : : I ¡:ia ;alcLrlar la lor-rgitud del cuello de la jirafa.
:'-,.:-r .i- 1l jiraia para
, ','l'- : 0.9, (J(l{)
: 366,66 cm
determinar cuántas toneladas como mínimo.l-l- ¡
ee**be281. ¿Cómo deben ser las líneas
de cables de un telefericopara que las cabinas queascienden a la montaña nose choquen con las que des-
cienden de la misma?
282. Si Ia comera gira con respecro a la mano del niño,20o en senrido conrrario a las manecillas del reloj,dibuja la posición de la cometa.
Responde las preguntas 283 a285 de acuerdo con lassiguiente tabla.
Monte Everest, 8,848 km
Aconcagua, 69,60 hm
Yang-tsé, 63.790 hm
283. ¿Cuánros merros de diferenciacagua y el Everest?
hay entre el Acon-
Arnériceiri'd¡
284. ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el Nilo yel Yang-tsé?
¿Cueintos merros de diferencia hay entre el yang-tsé
y el Amazonas?
Determina el área sembrada del siguiente jardín sintener en cuenta los dos caminos perpendicularesque lo atraviesan cuyo ancho es de 75 cm.
285.
286.
l__28 m____l
:
==
T17m
I
Amazonas, 6.800 km
Resuelve las actividades 287 a 288 desiguiente situación.
Se quiere construir un corral con 72 mesto un granjero establece dos opcionesel corral:
. Que sea rectangular y que el largo sea el doble delancho.
. Que tenga forma cuadrada.
287. Calc,¿la las dimensiones de cada posible corral.
288. Establece cuál de los dos corrales tiene la mayorsuperficie.
El colibrí es el anirnal quealetea más rápido. Bate sus
alas 90 veces por segundo.
¿Cuántas veces por horapuede llegar a bad¡ sus alas?
290. Se quiere empacaruná cárga de 3.518.000 g deanroz en sacos, de ml tonn¿ que en cada uno se
empaquen 36 kg' ;cu:inros sacos s€ necesira¡?
291. En un refugio se con$.rmen 1.686 ke de alimenrosen un día, si se riene nrr¡ prrorüión de alimentosde 1.106 t, jcuj¡ros ,l¡¡s du¡rará tra prorisión?
292. EI elefanre atiic¿¡o es eianimal que pnsa rni* fos¡¿s
co m iendo. nece;ir¿ .o L\-uflair200 kilos de hiertt¿- rarea ¿ I¿
que dedica 16 hor¿s ,li¿i¿s-
¿Cuánros gnems! 'Ce hierb.ds[g ssnjrrrfl ir" aprrcxinr ¡J;"nd[.¡e- ¡.tn eletántedu¡anre un ¡nes.-l
293. El filósolb hriránico -{fu Jules nació en 1910 yel matemádco alexn:jn ,{ugust Móbius nació en1;90, ;cu-ántos lussos rranscurrieron entre el añoen que nació -{¡¡euyc }{óbius y el año en el quenació Alfied,jules?
acuerdo con la
de malla. Para
para construir
289.
Y esto que aprendí, ipara qué me sirve?
...Para reconocer tos ángutos y posturasRbwrGalerí¿ de
imágenessaludabtes aI sentarse.
Las personas que estudian, así como quienes
trabajan en una oficina, pasan muchas horas
sentados en una silla. Con el tiempo, esto puede
generar ciertos problemas de salud, como Porejemplo, desviaciones de la columna, dolores de
espalda y daño en músculos, tendones y nervios.
Sin embargo, existen algunas recomendaciones
que se deben tener en cuenta para sentarse co-
rrectamente:
Es importante apoyar los pies en una caja o una
pila de revistas para evitar que se queden co1-
gando,
g Las rodillas deben formar un ángulo recto con
los muslos.
:e El pie debe formar un ángulo de 90' con la
pantorrilla.
lF La pantorrilla debe estar en posición vertical r'
formar un ángulo de 90" con el muslo.
s El muslo debe estar en forma horizonta.l r- ñ:-mar un ángulo de 90' con el tronco.
Además, se recomienda que la línea de r-isión s..paralela a la superficie de trabajo, y que el ar:s'--l
de visión sea menor de 60o en el plano horlzc':l:'
No se aconseja sentarse muy cerca al monil---- , .que puede ocasionar miopía, la dis¡anc::. r:-'entre Ia persona y el monito¡ no debe se: :::;rt:'.de 40 cm de los ojos de la persona.
El borde superior de monitor debe queia: '' :-- ;,de los ojos de Ia persona y esta debe ::,:,--- :=
frente, de lo contrario, puede ocasiona¡ ;::t!=:, -
visual y molestia en los músculos del ;l:.-,,
1. Consultay responde. ¿Cómo se descrit'e L¿ tbrma en
la que normalmente se sienta u¡ esruciia¡le?
2. Ensaya miradas al frente que formen aneulos de
90o, 60o' 45" y 30", en relación con la posicién de la
mirada horizontal y la postura vercic.¿l de ru t¡onco,
3. Investiga cuál es el menor ángulo c-ue pueden
formar doblando su brazo, teniendc, ;omo r'ér¡ice
su codo.
.1. Observa la ilustración. Luego, responde.
a. ¿Cuáles son errores que se presentan en la postura
de la persona que aparece en la ilustración?
b. ¿Cuáles son las posibles molestias que puede
presentar la persona?
... También para reconocer ta
importancia de superficies
horizontates y verticales.
Indicar la horizontalidad y verticalidad de una su-
perficie es una herramienta de suma importancia en
diversas actividades como carpintería, herrería, albañi-lería, entre otros. Para ello existen instrumentos comola plomada y el nivel que permiten conocer si un objetoestá alineado perfectamente en posición horizontal overtical.
La plomada es una :
pesa de forma cilindricao cónica fabricada de
un meral pesado ligada
a una cuerda y en el :.
otro extremo tiene unachapa de las mismas di-mensiones de la pieza
de metal. En construc-ción es muy utilizadapara medir la vertica-lidad de un muro colocando la chapa en un extremodel mismo y verificando que la línea generada hasta el
otro extremo sea paralela a la línea vertical que formael muro como se ve en la figura.
Como se observa en la fotografía, la plomada formauna línea paralela al muro. Se puede construir fácil-mente una plomada casera con una tuerca amarrada a
un extremo de una pita para verificar líneas paralelas
con objetos que deben estar verticalment€.
1. Utiliza elementos que encuentres en tu casa paraconstruir una plomada y un nivel de acuerdo conla lectura.
2. Mide en tu salón de clase la horizontalidad o verti-calidad de diferentes superficies con la plomada yel nivel construidos. Luego, describe los resultadosobtenidos en tu cuaderno.
3. Observa la imagen de una casa en construcción.Lee las instrucciones y desarrolla la actiüdad.
a. Marca con azul dos paredes de líneas paralelas en
la construcción.
El Nivel de burbuja es un arref-acro que tiene dos
ampollas de cristal, una horizonral l otra verticalpara verificar la horizonralidad o verricalidad de unasuperficie. En cada ampolla ,,e puecie observar unaburbuja que es menor a dos marcas, para veriñcar que
una superficie está como se requiere al coloca¡ el nivelsobre una superficie, debe quedar la burbuja perfecta-mente distribuida entre las dos marcas. Para verificarla horizontalidad de una superñcie se usa la ampollahorizontal y paraverificar la verticalidad de una super-ficie se utilíza la ampolla vertical. Es fácil construir unnivel casero con un recipiente transparente que tengadivisiones marcadas en su esrrucrura como un biberóno una vasija. Se llena de algún iíquido hasta una de
estas franjas y cuando se coloca sobre una superficie el
agua debe coincidir horizontalmente con la marca del
recipiente como si fueran líneas paralelas.
b. Marca con rojo dos paredes de líneas perpen-diculares en la construcción.
c. Marca con amarillo dos lugares donde los cons-tructores necesiten usar la plomada. ]ustifica turespuesra.
d. lvfarca con naranja dos lugares donde se necesite
uriliza¡ el nivel en la construcción. Justifica turesPuesta.
4. Inr-estiga cómo se utiliza la plomada y el nivel en
carpintería y herrería. Luego, muestra un ejemr -,:'
a tus compañeros de clase y explica la relacio:r :=estas herramientas con las líneas paralelas.
Trábája coh GéoGebra
Para acceder a GeoGebra, ingresa y descargael programa en: www.geogebra.org
@ observa la ventana que se despliega. Luego,
en el menú, selecciona Apariencias y haz clic
en Geometría, como se muestra en la figura.
tí#ll """rm".ao*bncs -qnp,Ds \.r€ne a..-
ffiI:^ ':;"";":" 4 ",o*, ' -
";.j;.: 9",""- lobr-to D"pq d"r I
(D Hat clic en el icono
C Geoc€ba
@ Visualiza la ventana de trabajo con sr-rs d j ,:rs¿sherramientas, como se muestra en ia sig!l='i:figura.
, \,, .i,,t ! E¡e.t¿ "i .'- '=
I hJG- O'
C"" d" tr"brl"l
@ fn el menú de herramientas, se lec: :-i ,¿ cp-ción Vista, luego la opción Cuadl.tcula c¡mose muestra en la figura.
= :.É5,Opciones He¡ramien6 ffi¿ qG
ffil-;h,¡r \--lLll, c'
V sra A.éh¡á].á
Hoja de Cálculo
,/ i vi.t" cráfi""
Objetivo: determinar el área, el perímetro y las dimensiones de una frgura plana.
Concepto: calcular el área, el perímetro y las dimensiones de un rectángulo en el programa GeoGebra
@ eara construir un polígono de tres lados, selec-
ciona Nuevo Punto de la barra de herramientasy haz clic tres veces en el área gráfica para crear
los vértices del triángulo.
@ Selecciona Polígono de la barra de herra-mientas y vuelve a hacer clic sobre los vérticesA, B y C terminando en A para cerrar el polí-gono.
O Calcula la medida de cada uno de los ángulosinteriores del triángulo ABC. Selecciona la he-rramienta Ángulo. Luego, haz clic en cada unode los vértices del triángulo. Repite el pro-ceso comenzando desde otro vértice, como se
muestra en la figura.
Archivo Edlia Vista Aparlencias Opc¡ones Hercmrentás Ve¡k¡a Ayuda,*< .o. r' €LE.'
---:;;,*
@ Calcula la medida de cada uno de los lados deltriángulo ABC.
Selecciona la herramienta Ángulo de herra-mientas, después haz clic en Distancia o Lon-gitud.
Luego, haz clic en cada uno de los lados deltriángulo, como se muestra en la figura.
@ Determina el perímetro del triángulo ABC. Se-lecciona Distancia o Longitud de la barra deherramientas.
Luego haz clic en el interior deltriángulo ABC,
como se muestra en la figura.
, ¡,-.-.\
*---:bc
@ Realiza la construcción de los siguientes trián-gulos, dadas las condiciones.
a. Un triángulo CDE, tal que el ángulo E, sea
recto y la medida del lado CD sea 4 cm.
b. Un triángulo isósceles, donde un ángulointerno mida 120'.
c. Un triángulo de perímetro 15 cm.
d. Un triángulo escaleno donde uno de sus
lados mide 6 cm.
Archtvo Ed& Vrsk Apa¡€rc€s Opcrones Heramienlas Ventana Ayuda.6.\ .^...r.> >. e O líI\l o'" -+ i
LE.- . A. I / Pequeño
@ Determina el área deltriánguloABC. SeleccionaDistancia o Longitud de la barra de herra-mientas, después haz clic en Área. Luego hazclic en el interior del triángulo ABC, como se
muestra en la figura.
Arcnrvo EdiÉ V'sr¿ tuanenctas Opcioñes Heramiedas na Ayuda
,- .. ,, :- t f}{3:.. ABc _j-: +rE.' - ¿- " ': - ""q,"oo -¿;";,"
,.,./ ..-. lq Á¡gulo dada suAmplitud
/./. -.. /-/ Distancia o Lo¡giud
-.^.( J qe" )Y¿\'.2 La: - 2l /
Z ?e1üerte
,/_
@ OiUu;a los siguientes polígonos y calcula su
área. Recuerda que cada equivale a 1 cm.