1 geo guia 01 semestre 1 conceptos básicos geometria

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemática

Puerto Montt Curso: I° Medio

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Guía de ejercicios Geometría N°1, Primer Semestre

Tema: Conceptos iniciales de Geometría Euclidiana.

Debes saber que:

Posiblemente el primer documento importante de la historia de la Geometría fue un papiro que

data del Siglo XIX, el que estaba en posesión del escriba Ahmes, que volvió a copiar dos siglos

más tardes.

Hasta el cuarto de siglo antes de Cristo, la Geometría no pasaba de recetas descubiertas

experimentalmente, sin fundamento científico. Por ejemplo, era de conocimiento de los egipcios

que el triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 es rectángulo, y era de conocimiento de los griegos

que la longitud de un círculo era aproximadamente 3 veces la longitud de su propio diámetro.

Con el desarrollo de la Lógica y con la contribución de grandes sabios como Thales, Pitágoras,

Platón y otros, la Geometría toma una nueva dimensión con la aparición de una gran obra en

13 volúmenes llamada los Elementos de Euclides con más de mil ediciones hasta los días de hoy.

En ella, la Geometría es presentada de forma lógica y organizada, partiendo de algunas

suposiciones simples y desarrollándose por raciocinio lógico.

Fuente: Geometría I, A.C. Morgado, E. Wagner, M. Jorge

El propósito de esta guía es desarrollar conceptos de geometría Algunos conceptos ya han sido

estudiados en niveles anteriores, por lo que te servirán para reforzar tus aprendizajes, mientras que

otros conceptos serán nuevos para ti. Esta guía considera una parte algebraica y otra práctica, en la

cual debes apoyarte de tus conocimientos adquiridos en álgebra y de materiales como regla, compás,

transportador respectivamente.

Definición:

Una figura geométrica es cualquier conjunto de puntos

Una figura plana es una figura que tiene todos sus puntos en un mismo plano

La Geometría Plana estudia las figuras planas



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Para el desarrollo de esta guía y las que siguen, tu primer trabajo consiste en dos partes:

1. Completa la tabla con el alfabeto griego

Mayúscula Minúscula Nombre Trascripción



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2. Indica el significado de cada de los siguientes conceptos utilizados en Matemática y en

particular en Geometría. Presenta un ejemplo de cada concepto.

a. Axioma:

b. Postulado:

c. Teorema:

d. Teorema recíproco

e. Corolario:

f. Lema:



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Conceptos primitivos de geometría

Si bien es cierto la construcción de la Geometría está basada en una serie de pasos justificados en

forma lógica y definiendo conceptos para adoptar las nociones geométricas, asumiremos tres conceptos

sin definición, basados solo en nuestra intuición. Los conceptos son punto, recta y plano, de los que se

representan geométricamente a continuación:

Punto Recta Plano

A

Observación:

1. En general los puntos se simbolizan por letras mayúsculas (A, B, C, X, Y…..)

2. Las rectas por letras minúsculas (las últimas s del abecedario: p, q , r, t,…)

o también por el símbolo AB

3. Los planos por letras minúsculas griegas ( , , …).

Definición:

Diremos que los puntos son colineales si pertenecen a la misma recta.

Definición:

Diremos que los puntos son coplanares si pertenecen al mismo plano.

Los puntos J, L, M Los puntos J, L, M y N

son coplanares no son coplanares



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Axiomas:

1. El espacio es el conjunto de todos los puntos

2. Tanto en una recta, como fuera de ella, hay infinitos puntos

3. En un plano, como fuera de él, hay infinitos puntos.

4. Dos puntos distintos determinan una recta.

5. Dos puntos distintos de una recta determinan esa misma recta.

6. Tres puntos no colineales definen un plano.

7. Tres puntos de un plano determinan ese mismo plano.

8. Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, todos los puntos de esa recta

pertenecen a ese plano.

9. Si dos planos poseen un punto común, entonces poseen por lo menos algún otro punto en

común.

10. La intersección de dos planos o es una recta o es un conjunto vacío.

11. La intersección de dos rectas distintas de un plano, o es un punto o es el conjunto vacío.



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Axiomas:

1. Por un punto que no pertenece a una recta, pasa una y solo una recta paralela a esa recta.

2. Por un punto que no pertenece a un plano, pasa uno y solo un plano paralelo a ese plano.

Definición:

Dos rectas son concurrentes, si tienen solo un punto en común.

Otra forma de decir, es que cuando dos rectas tienen un punto en común, entonces ellas se intersectan.

Al punto común se le llama punto de intersección.

En la figura, las rectas concurren o se intersectan en el punto A .

Ejercicios

1. Clasifica en verdadero (V) o falso (F).

a. …….. Por un punto pasan infinitas rectas.

b. …….. Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta.

c. …….. Por tres puntos dados pasa una sola recta.

d. …….. Tres puntos distintos son siempre colineales.

e. …….. Tres puntos distintos son siempre coplanares.

f. …….. Cuatro puntos, todos distintos, determinan dos rectas.

g. …….. Tres puntos pertenecientes a un plano son siempre colineales.

h. …….. Dos rectas que tiene un punto en común, son concurrentes.

i. …….. Dos rectas concurrentes tienen un punto en común.

j. …….. Si dos rectas distintas tienen un punto en común, entonces ellas poseen un único

punto en común.



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Definición:

Segmento de recta

Dados dos puntos distintos de una recta, la reunión de esos puntos con el conjunto de puntos

que se encuentran entre ellos dos puntos es un segmento de recta.

En la figura se presenta el segmento AB, se simboliza por AB

En la figura se presenta la recta, pero solo para indicar que el segmento AB pertenece a la recta.

Observación:

La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une.

Definición:

Semirrecta

Dados dos puntos A y B de la recta AB, con todos los puntos X de la misma recta, tales que el

punto B está entre A y X forman una semirrecta.

En la figura se presenta la semirrecta AB, se simboliza por AB

En la figura se presenta la recta, pero solo para indicar que la semirrecta AB pertenece a la recta.

Al punto A se le llama origen o frontera de la semirrecta.

Nota: En algunos textos, y por ende, algunos geómetras hacen una diferencia entre semirrecta y rayo.

Para nuestro propósito, no realizaremos esta diferencia y los consideraremos como conceptos iguales.

Observación: Un punto divide a una recta en dos semirrectas, siendo una opuesta de la otra.

Las rectas AB y AC son opuestas, siendo el punto A el que divide a la recta.



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Medida de segmentos

Para realizar una medida, debemos primero considerar una unidad, la que nos servirá como valor de

comparación. Ocuparemos las unidades de medida de longitud ocupadas en los diferentes sistemas

como por ejemplo metro, centímetro, pulgadas, etc.

En general, el instrumento de medición que utilizamos es una regla

graduada.

Definición:

Dados dos puntos distintos A y B de una recta, la distancia entre A y B es la medida del segmento

AB, se simboliza por m AB

Ejemplo

Si en la figura cada recuadro mide 1 cm, entonces en la figura, se tiene que AB mide 5 cm.

Entonces escribiremos 5m AB cm

Definición:

Dados dos segmentos AB y CD , diremos que ellos son congruentes si tienen igual medida. Esto

es

AB CD si y solo si m AB m CD

Operación de segmentos

Los segmentos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir

Suma de segmentos

Dados dos segmentos AB y CD se toma en una semirrecta cualquiera de origen R los segmentos

adyacentes RP y PT tales que RP AB y PT CD decimos que el segmento RT es la suma de

AB con CD . Escribimos RT RP PT



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Ejercicios

1. Dibuja una recta y nómbrala utilizando una letra minúscula o dos letras mayúsculas. Luego

realiza lo siguiente:

a. Marcando dos puntos en la recta, identifica un segmento.

b. Marcando dos puntos en la recta, identifica una semirrecta.

2. Con tu regla, y considerando la unidad de medida el centímetro, dibuja un segmento de 10 cm.

identifica el segmento y su medida utilizando la simbología.

3. Si el segmento AB mide 17 cm, calcula el valor de x en cada caso.

a.

b.

c.

d.

4. Dibuja dos segmentos congruentes. Elige tú la unidad de medida.

5. Determina si los pares de segmentos son congruentes.

a.

b.

6. Dibujar los segmentos 1,5AB cm , 2CD cm , 3EF cm y sumarlos gráficamente.

7. Averigua como se puede realizar la resta de segmentos, defínela y dibuja los segmentos

8MN cm , 3PQ cm y réstalos gráficamente.



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8. Define la multiplicación de segmentos y representa geométricamente la multiplicación del

segmento 2AB cm por 3.

9. Define la división de segmentos y representa geométricamente la división del segmento

9AB cm por 3.

Ángulos

Definición:

Un ángulo es la unión de dos semirrectas que tienen un origen común, siendo ellas no

colineales.

Las semirrectas se llaman lados del ángulo.

El punto común se llama vértice del ángulo.

Un ángulo se simboliza por y tres letras mayúsculas, siendo la letra del centro la que

corresponde al vértice. También se ocupan letras del alfabeto griego. De esta manera, el ángulo

de la figura se puede escribir como AOB o bien .

Definición:

Ángulos adyacentes son los ángulos que tiene un lado en común.

En ambas figuras se tiene

y BOC son ángulos adyacentesAOB



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Definición:

Ángulos opuestos por el vértice son los ángulos tales que los lados de uno de ellos, son las

respectivas semirrectas opuestas a los lados del otro.

En la figura se tiene

y son semirrectas opuestas es opuesto por el vértice a

y son semirrectas opuestas

OA OCAOB COD

OB OD

Medida de ángulos

Para la medición de ángulos consideremos lo siguiente

Se establecen las siguientes convenciones:

1. Un ángulo se considerará positivo si se ha medido, en sentido anti

horario, es decir, contrario a las manecillas del reloj.

2. Un ángulo se considerará negativo si se ha medido, desde su lado

inicial hasta su lado final, en sentido horario, es decir, de acuerdo a las

manecillas del reloj.

En segundo lugar será necesario establecer una unidad de medida que no sea arbitraria, es decir, que

no nos lleve a confusión. Para ello trabajaremos en el sistema de medida sexagesimal, siendo el grado

su unidad de medida respectiva.



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Sistema Sexagesimal

Un grado sexagesimal, que se simboliza por °, es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide

una circunferencia, mediante sectores circulares iguales. De esta forma, una circunferencia abarca un

ángulo de 360°, llamado ángulo completo. El ángulo definido por media circunferencia se llama llano,

y mide 180°. La mitad de un llano se llama recto y mide 90°.

Además, en este sistema, cada grado se divide en 60 partes iguales llamados minutos, simbolizados

por ´. A su vez, cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos, los que se simbolizan

por ´´. De esta manera, se tiene

'

11 60´ 1́

60

11́ 60´́ 1́ ´

60

de lo que se concluye que 1

1 3.600́ ´ 1́ ´3.600

Ejemplo

Un ángulo de 46 grados 25 minutos y 40 segundos se escribe como

46 25́ 40́ ´

De acuerdo a lo anterior, es posible expresar un ángulo identificando sus grados, minutos y segundos.

En este caso diremos que estamos dando la medida en forma compleja o entera. Si expresamos esta

medida en una sola unidad, diremos que hemos expresado la medida en forma incompleja. En

particular, cuando la medida de un ángulo se exprese en grados y en décimas de grado, diremos que el

ángulo se ha expresado en forma decimal. Esta expresión será la que utilizaremos en el transcurso de

esta guía.



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Ejemplo

a. Exprese en segundos, es decir, en forma incompleja 50 6́ 25́ ´

Solución:

50 6́ 25́ ´ 50 6́ 25́ ´ 50 3.600́ 6 60́ 25́ ´

180.000́ ´ 360́ ´ 25́ ´

180.385́ ´

b. Exprese en forma compleja 1375,45́

11375,45́ 1375́ 0,45́ 1320 55́ 0,45 60́ ´

60

22 55́ 27´́

22 55́ 27´́

c. Convierta a la forma decimal 50 6́ 25́ ´

1 150 6́ 25́ ´ 50 6́ 25́ ´ 50 6 25

60 3.600

50 0,1 0,00694

50,10694

d. Convierta a la forma compleja 21,256

21,256 21 0,256 21 0,256 60́

21 15,36́

21 15́ 0,36 60́ ´

21 15́ 21, 6́ ´

21 15́ 21, 6́ ´

21 15́ 22́ ´ Redondeando los segundos



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Ejercicios

1. Exprese cada ángulo en su forma decimal. Redondee a dos decimales.

a. 40 10́ 25́ ´ c. 61 42́ 21́´ e. 1 2́ 3́ ´

b. 73 40́ 40́ ´ d. 29 36́15́ ´ f. 31 15́ 45́ ´

2. Exprese cada ángulo en su forma compleja. Redondee al segundo más cercano.

a. 40,32 c. 61,24 e. 44,01

b. 18,255 d. 29,411 f. 19,99

3. Exprese en segundos.

a. 4 25́ b. 3 27́ c. 42 13́ ´ d. 10 12́ 40́ ´

4. Exprese en minutos

a. 45 34́ b. 33 27́ ´ c.1.845́ ´ d. 21 12́ 30́ ´

5. Determina la expresión compleja según las siguientes operaciones. (Sugerencia: opera

unidad con unidad teniendo en cuenta las equivalencias o convierte a una sola unidad,

luego opera y nuevamente conviertes)

a. 12 24́ 32́ ´ 56 46́ 20́ ´ c. 52 12́ 42 12́ 24́ ´

b. 23 42́ 35́ ´ 8 d. 12 21́ 45́ ´ 5

6. Resuelve los siguientes problemas. Ten en cuenta que la medida del tiempo forma parte

del sistema sexagesimal y se tiene la equivalencia:

1 60́ (60 minutos)

1´=60´́ (60 segundos)

h

a. La tercera etapa de la Vuelta Ciclista a España estaba dividida en dos sectores: el

primero, en línea, y el segundo, en una contrarreloj individual. El primer

clasificado de la general tardó 3 h 52 min 43 s en recorrer el primer sector y 1 h

19 min 37 s en recorrer el segundo. ¿Cuánto tardó en hacer todo el recorrido?



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b. Dado el ángulo de medida 53 42́ 28́ ´ , se traza la bisectriz. Ahora se traza la

bisectriz de uno de los dos ángulos resultantes. ¿Cuánto mide el ángulo más

pequeño de los ángulos obtenidos?

c. Un reloj digital marca las 19h 24min 12s. ¿Cuánto falta para la medianoche?

d. El sistema de seguimiento GPS de la Vuelta Ciclista indica que el grupo que

encabeza la carrera está a 1´30´´ de diferencia del ciclista que le persigue. Si la

distancia se acorta 15´´ cada kilómetro, ¿al cabo de cuántos kilómetros atrapará

al grupo?

e. Un ángulo mide 32 25́ 43́ ´ , ¿cuánto mide su complemento?

f. Tres ángulos suman 180°. El menor mide 15 22́ 43́ ´ y el mayor es seis veces el

menor. Halla la medida del otro ángulo.

El instrumento de medición de ángulos es el transportador. Este instrumento

viene graduado y se obtiene la medida de un ángulo determinado, haciendo

coincidir, el centro del transportador con el vértice del ángulo y la línea de

base con el lado del ángulo, de tal forma que permita realizar la medida en

sentido anti horario. En la figura se presenta un ejemplo.

Ejercicios

1. Dados los siguientes ángulos, determina su medida.

a. c.

b. d.

2. Dibuja un ángulo de:

a. 35° B. 90° C. 120° D. 158° E. 240°



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Definición:

Ángulos congruentes: son los que tienen la misma medida. El símbolo utilizado es

Por ejemplo, se tiene que las medidas de ambos ángulos, de la figura, es la misma, 36 , por lo

tanto los ángulos son congruentes y escribiremos DAE HIG . Respecto de las medidas,

escribimos m DAE m HIG .

Definición:

Dado un ángulo AOB, una semirrecta con origen O, tal que divide al AOB en dos ángulos

iguales se llama bisectriz del ángulo.

En la figura se tiene OD es bisectriz del ángulo AOB , es decir AOD DOB , o lo que

es lo mismo m AOD m DOB

Observación:

Para trazar la bisectriz de un ángulo, el vértice del ángulo será el centro

de una circunferencia con un radio cualquiera y trazamos un arco CD

que corte ambos lados del ángulo. Luego con una abertura del compás

un poco mayor que la mitad de la longitud del arco CD y haciendo de

centro primero en C y luego en D, trazamos dos arcos que se corten en

E como en la figura. Finalmente trazamos la semirrecta OE que

corresponde a l bisectriz del ángulo



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Clasificación de Ángulos

Los ángulos se clasifican según su medida en:

Definición:

Ángulo recto: Es el ángulo que mide exactamente 90°. Se simboliza por para indicar que se

forma un ángulo recto. La medida de este ángulo nos servirá de base para identificar los otros

ángulos.

En la figura, DAE es recto, es decir 90m DAE

Observación:

Cuando dos rectas son concurrentes y se cortan de tal forma que forman

un ángulo recto, entonces diremos que las rectas son perpendiculares.

Observa que cuando son perpendiculares, forman cuatro ángulos rectos.

Definición:

Ángulo agudo: Es el ángulo que mide más de 0° y menos que un recto. Es decir, si es un ángulo

agudo, entonces 0 90m .

En la figura, ABC es agudo, es decir 0 90m ABC



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Definición:

Ángulo extendido: Es el ángulo que mide exactamente 180° o dos rectos. Es decir, si es un

ángulo extendido, entonces 180m .

En la figura, ABC es extendido, es decir

180m ABC

Definición:

Ángulo obtuso: Es el ángulo que mide más de un recto y menos que un extendido. Es decir, si

es un ángulo obtuso, entonces 90 180m .

En la figura, ABC es obtuso, es decir 90 180m ABC

Definición:

Ángulo completo: Es el ángulo que mide exactamente cuatro rectos. Es decir, si es un ángulo

completo, entonces 360m .

En la figura, ABC es completo, es decir 360m ABC



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Ejercicios

1. Dados los siguientes ángulos, determina su medida y clasifícalo.

a. c.

b. d.

2. Dibuja un ángulo de la medida solicitada y clasifícalo:

a. 45° B. 90° C. 180° D. 18° E. 140°

3. Para los ángulos del ejercicio 1, traza sus respectivas bisectrices.

Definición:

Ángulos suplementarios: son pares de ángulos cuyas medidas suman 180º, cada ángulo es el

suplemento del otro.

En el ejemplo

120 60 180m DAE m HGI , luego los

ángulos DAE y HGI son suplementarios.



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Ejemplo

1. Si los ángulos y son suplementarios y se e tiene que 78m , determine la medida del

ángulo .

Solución:

Como y son suplementarios, entonces

180

78 180 (Reemplazando el valor de )

180 78 (Despejando )

102

Luego 102m

Teorema

Si dos ángulos son adyacentes, de tal modo que los

lados no comunes son semirectas opuestas, entonces

son suplementarios.

En la figura, los ángulos y son adyacentes, luego son suplementarios. Es decir 180

Teorema

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En la figura, los ángulos y son opuestos por el vértice, luego

, es decir m m

Observación:

A pesar que no se realizarán las demosraciones de estos teoremas, los podrás ocupar en los ejercicios

que lo requieran.

Las demostraciones de estos teoremas las puedes revisar en el Texto Geometría de Baldor.



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Definición:

Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios cuando suman 90°, siendo cada

ángulo el complemento del otro.

En el ejemplo 50 40 90m DAE m IHG ,

luego los ángulos DAE y IHG son complementarios.

Ejemplo

1. Determine el valor de cada ángulo, sabiendo que los ángulos son adyacentes y además AO y

OB son semirrectas opuestas.

Solución:

Como AOC y BOC son adyacentes y AO y OB son

semirrectas opuestas, entonces se tiene

3 7 180 (Por teorema)

10 180

180

10

18

x x

x

x

x

Luego 3 3 18 54m BOC x y 7 7 18 126m AOC x

2. Hallar el ángulo que es el doble de su complemento.

Solución:

Sea un ángulo, entonces 2 es el ángulo que es el doble de él y como son complementarios,

se tiene

2 90 (Por dato)

3 90

90

3

30

De esta manera, el ángulo buscado, que es doble de su complemento es 2 2 30 60



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Ejercicios

1. Clasifique en verdadero (V) o falso (F), justificando las falsas.

a. Los ángulos opuestos por el vértice son adyacentes.

…………………………………………………………………………….

b. Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios

…………………………………………………………………………….

c. Dos ángulos opuestos pueden ser complementarios.

…………………………………………………………………………….

d. Dos ángulos suplementarios son siempre adyacentes.

…………………………………………………………………………….

e. Dos ángulos adyacentes pueden ser suplementarios.

…………………………………………………………………………….

f. Dos ángulos adyacentes siempre son complementarios

…………………………………………………………………………….

2. Determine el valor de x según lo indicado.

a. 50m AOB c.

b. d.



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3. Determine el valor de x

a. b.

4. Si OP es bisectriz de AOB , determine el valor de x

5. Determina el complemento de los siguientes ángulos.

a. 18° d. 18°30’

b. 36°52’ e. 88°

c. 47° f. 13°

6. Determina el suplemento de los siguientes ángulos.

a. 142° d. 138°30’

b. 93° e. 67°45’

c. 55° f. 8°45’

7. ¿Cuál es el ángulo que es igual a la mitad de su suplemento?

8. ¿Cuál es el ángulo que es igual a su suplemento?

9. Dos ángulos son suplementarios y están en la razón 5:1, ¿cuál es la medida del ángulo mayor?

10. Dos ángulos son complementarios y están en la razón 5:4. Determina la medida de cada ángulo.

11. Determina el ángulo que es igual al triple de su complemento.



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12. ¿Cuál es el ángulo que el cuarto de su suplemento mide 42°?

13. ¿Cuál es el ángulo que excede a su complemento en 76°?

14. La suma de dos ángulos que están en la razón 4:9, es 130°. Calcula la medida del complemento

del menor.

15. La razón entre dos ángulos suplementarios es 2:7. Determina el complemento del menor.

16. Se tiene que 160m ABC , BD es bisectriz de

EBA , 1

903

, es el complemento del suplemento

de 120°. Determina la medida de DBA .

17. Dada la siguiente figura, calcula:

a. 1

2

b. Complemento de

c. Suplemento de 3

18. En la siguiente figura se tiene que 1

9m m DBC .

Calcula si ABG GBF FBE EBC .

19. Si EB CA , 1

5m m ABD . Calcula la medida del

complemento de .

20. En la figura AB es bisectriz del ángulo recto.

Calcula:

a. m CAB

b. Suplemento de DAB

c. Complemento de



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Paralelismo

Ángulos entre paralelas

Más arriba, indicamos que dadas dos rectas, o su intersección es un punto o es vacía. Y más aún cuando

dos rectas se intersectan entonces las definimos como concurrentes y si forman un ángulo recto son

perpendiculares . Pero qué ocurre cuándo la intersección es vacía. ¿Las rectas presentan algunas

características, tienen algún nombre que las identifique? En efecto, en este caso diremos que las rectas

son paralelas.

Definición:

Dos rectas son paralelas, si y solo sí, son coincidentes (iguales) o son coplanares y no tienen un punto

en común, es decir, no son concurrentes. Para indicar que dos o más rectas son paralelas, se utiliza el

símbolo

Dadas dos rectas por ejemplo a y b, paralelas o no, y una recta t concurrente a ambas, se presenta lo

siguiente:

a. La recta t es transversal a las rectas a y b.

a b

Observación:

En algunos textos, la transversal se identifica, también como secante.

Por simplicidad los ángulos se han identificado con números.



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b. Se generan ocho ángulos, los que de acuerdo a la posición entre las paralelas y la transversal,

se llaman: i. Alternos internos:

Son los ángulos: 3 y 5 ; 4 y 6

ii. Alternos externos:


iii. Correspondientes:


3 y 7 ; 4 y 8

iv. Colaterales o del mismo lado:


3 y 6 ; 4 y 5

Teorema

Si dos rectas coplanares, distintas, y una transversal determinan ángulos alternos o ángulos

correspondientes congruentes, entonces esas dos rectas son paralelas.

Es decir, si en la figura , entonces a b

Y también vale el teorema recíproco, es decir

Teorema

Si dos rectas coplanares, distintas, son paralelas e intersectan una transversal entonces determinan

ángulos alternos o ángulos correspondientes congruentes.

Por ejemplo, si en la figura a b , entonces



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En general, dadas dos rectas paralelas y una transversal, se tiene la siguiente relación entre los ángulos

i. Alternos internos son congruentes:

3 5 y 4 6

ii. Alternos externos son congruentes:

1 7 ; 2 8

iii. Correspondientes son congruentes:

1 5 ; 2 6

3 7 ; 4 8

iv. Colaterales o del mismo lado son suplementarios:

1 8 2 7 3 6 4 5 180

También se deben tener en cuenta las siguientes deducciones del concepto de paralelismo

Teorema

Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí

Teorema

Si una rectas corta a otra, entonces corta también a las paralelas a ésta.

Ejemplo

1. Determine el valor de x , sabiendo que AB CD con GH

transversal

Solución:

(Ángulos correspondientes entre paralelas)AEG CFE

Luego

180 (Ángulos suplementarios)

180 50

130

m CFE m DFE

m CFE

m CFE

Es decir 130x m AEG m CFE



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Ejercicios:

1. Determina el valor , x y y z según corresponda. Como sugerencia puedes incorporar letras que

identifiquen vértices.

a. 1 2L L ,

3L transversal f. a b , c transversal

b. a b , c transversal g.

c. 1 2L L , 3L transversal h.

d. r s i.

e. r s , t transversal j. a b , c transversal



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Ejercicios con alternativas

1. Se tiene 40 180a y 140 180b , entonces: a b ?

A. 120° B. 140° C. 180° D. 200° E. 360°

2. L1, L2 y L3 son rectas tales que: L1 L2 , entonces x =?

A. 30º

B. 40º

C. 45º

D. 60º

E. 70º

3. Si el complemento de es 2 , entonces

A. 60° B. 45° C. 40° D. 35° E. 30°

4. En la figura, L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. Si = 2, ¿cuál de las siguientes relaciones

es falsa?

A. = 2

B. =

C. = 60º

D. = 120º

E. + = 180º

5. ¿Qué medida tiene el menor de dos ángulos suplementarios si uno de ellos tiene 30° más

que el otro?

A. 100° B. 150° C. 105° D. 70° E, 75°

6. En la figura, OD AB y OE OC ; 2BOC AOE . Entonces el valor de COD es

igual a:

A. 15°

B. 30°

C. 40°

D. 45°

E. 60°

7. El complemento de un ángulo recto, más el suplemento de un ángulo extendido, más el

complemento de 30° es:

A. 0° B. 60° C. 90° D. 180° E. 270°



30

8. Si un ángulo varía entre 35º y 60º, entonces su complemento varía entre:

A. 30º y 55º

B. 35º y 60º

C. 40º y 45º

D. 40º y 55º

E. 120º y 135º

9. En la figura OP OM , QOP MON , ON es bisectriz del MOP . ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. OP es bisectriz del QON .

II. QOP y MON son complementarios.

III. QOP y PON son complementarios

A. Sólo III

B. Sólo I

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

10. En la figura 1 2L L , 3L transversal. Entonces los valores de y son:

A. 55 ; =125°

B. 65 ; =115°

C. 115 ; =65°

D. 125 ; =55°

E. N. A.

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