2.- geometria como sistema formal (parte 2)

Ángulos Circunferencia Triángulos, Poligonos y Poligonales

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓNCampus Los Ángeles

Departamento de Ciencias Básicas

Geometría I. 452482

La Geometría como Sistema Formal (2)

24 de marzo de 2015

Alexis Almendras Valdebenito

La Geometría como Sistema Formal


Ángulos

Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirectasque tienen el mismo origen.

Los ángulos se clasi�can en agudos, recto, obtusos y llano.

En la siguiente �gura: dossemirrectas con un origencomún determinan siempre dosporciones del plano y por tantodos ángulos, A y B. Al ángulo Ase le llama ángulo convexo,mientras que el ángulo B escóncavo.




Las rectas que forman un ángulo se llaman lados del ángulo. Elpunto común de las rectas del ángulo es el vértice. Hay dos formasde denominar a los ángulos. Si no hay posibilidad de confusión, unángulo puede denotarse con la letra de su vértice. Los ángulosTambién pueden denominarse con tres letras: la primera letradenota a un punto en un lado del ángulo; la segunda denota elvértice del ángulo; y la tercera denota a un punto en el otro delángulo. En este sistema los ángulos de las �guras puedendenominarse como ángulo ABC, ángulo DEF y ángulo JKL.




Medición de ángulos

Para comparar dos o más ángulos es necesario medirlos. La unidadde medida para se denomina grado sexagesimal (°) y para medirángulos se usa el instrumento llamado transportador. GradoSexagesimal es una de las partes al divisor un círculo en 360igualdades.




Clasi�cación de los ángulos I

Ángulo nulo, que es el ángulo de�nido por dos semirectas quecoinciden.

Ángulo recto, que es el ángulo convexo de�nido por dossemirectas perpendiculares.




Clasi�cación de los ángulos II

Ángulo llano, cuando las dos semirectas que lo de�nen tienenla misma dirección, aunque sentidos opuestos.

Ángulo completo, que es el ángulo que abarca todo el plano.




Clasi�cación de los ángulos III

Los ángulos convexos siempre son menores que el ángulo llano.

Los ángulos cóncavos por el contrario, son siempre mayoresque el ángulo llano.




Clasi�cación de los ángulos IV

Se llaman ángulos agudos a los que son menores que unángulo recto.

Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos(menores que un ángulo llano) que son mayores que un ángulorecto.




Circunferencia

Dado un punto �jo O, todos los puntos del plano que está a unadistancia r al punto O constituyen la línea que llamaremosCircunferencia de Centro O y Radio r.




La línea que llamamoscircunferencia de centro O yradio r delimita una región

plana que llamaremos CIRCULOde Centro O y Radio r.

Podemos decir que el círculo esla unión de la circunferenciarespectiva y su interior.

Si unimos dos puntos A y B dela circunferencia, entoncesdeterminaremos en el círculocorrespondiente un trazo

rectilíneo que llamaremos cuerdaAB.




Una cuerda máxima en lacircunferencia es cualquiera quepasa por el centro y se conocecomo DIAMETRO. En la �guraes el segmento PQ. Como lacircunferencia es una curvacerrada podemos preguntarnospor su perímetro; es interesanteexpresar esa longitud usandocomo unidad el diámetro de lacircunferencia (d = 2r).




El cuociente entre la longitud dela circunferencia de radio r y sudiametro es un numero distintode los que usamos diariamente:Es un numero trascendentedenotado π y es un caso especialde numero irracional con valor3,14159... El calculo de estenumero ha ocupado muchaspaginas en la historia de lasMatematicas.




Triángulos, Poligonos y Poligonales

Hemos visto que los ángulos son partes del plano, comunes a dossemiplanos. Consideraremos ahora qué ocurre si consideramos treso más semiplanos.Sean A, B, C tres puntos cualesquiera no alineados. La recta ABdetermina dos semiplanos, en uno de los cuales está C,análogamente la recta BC determina un semiplano que contiene aA y la recta AC un semiplano que contiene a B. Estos tressemiplanos contienen a los tres puntos A, B y C y por lo tanto alos tres segmentos AB, BC, CA y a in�nitos otros puntos. Elconjunto de los puntos comunes a los tres semiplanos se llamatriángulo.




A

B

C




De�nición

Se llama triángulo de vértices A, B y C, denotado por 4ABC, alconjunto de los puntos comunes a los tres semiplanos determinadospor las tres rectas que los unen y que contiene a los tres vértices.

Los segmentos AB, BC y CA determinados por cada par devértices se llaman lados del triángulo y ellos forman el contorno deltriángulo. Los demás puntos del triángulo se llaman puntosinteriores.




De�nición

Se llama perímetro del triángulo a la suma de los tres lados.Denotando a los lados BC, CA y AB, por a, b y c respectivamentese tiene que el perímetro que se denota por 2s, es 2s = a+ b+ c.

De la de�nicion de triangulo, resulta que el 4ABC, esta contenidoen el angulo ∠BAC y analogamente esta contenido en los angulos∠ABC y ∠ACB. Luego, el triangulo puede de�nirse como la partecomun a los tres angulos anteriores. Los angulos 4BAC, 4ABCy 4ACB se llaman angulos interiores del triangulo y se denotanpor letras griegas α, β y γ. Los angulos adyacentes a cada uno deellos, se llaman angulos exteriores.




Clasi�cación de los Triángulos

De�nición

Triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales. Triánguloisósceles es un triángulo que tiene dos lados iguales. Triánguloescaleno es el que tiene sus tres lados desiguales.

De�nición

Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Triánguloacutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos. Triánguloobtusángulo es que tiene un ángulo obtuso.




De�nición

Sean A, B, C, . . . , H, K puntos dados, en un orden determinado,la linea quebrada ABC . . .HK, formada por los segmentos AB,BC,. . . , HK, se llama línea poligonal. Los puntos A, B,C,. . . ,H,K son los vértices y los segmentos AB, BC, . . . ,HK,son los lados.

A B

C

D

E

F G

H

I

JK




El perímetro es la suma de todos los lados. Cada ángulo formadopor dos lados consecutivos es un ángulo de la línea poligonal.Si el último vértice K es distinto del primero A, la línea poligonal sellama poligonal abierta. Si el vértice K coincide con el vértice A, lapoligonal se dice cerrada.

A B

C

D

E

F G

H

I

J

K




Diremos que una poligonal, abierta o cerrada, es convexa sipropongando uno cualquiera de sus lados toda la poligonal quedaen una misma región del plano. En caso contrario la poligonal sellama cóncava.Una línea poligonal convexa sólo puede ser cortada por una rectaen dos puntos, pues si lo fuese en tres M , N , P , el primero y eltercero estarían a distinto lado del segundo y por consiguiente ellado BC no dejaría toda la poligonal en la misma región, comodebiera suceder en la hipótesis de ser convexa.




A

B

C

D




De�nición

Dados n puntos en un plano A, B, C, . . . . , H, K, ordenadoscircularmente y tales que no hayan tres cualesquiera en línea recta,se llama polígono a la porción del plano comprendida por la líneapoligonal cerrada ABC. . . HK.

Los lados de esta poligonal son los lados del polígono y el conjuntode todos ellos es el contorno o perímetro del polígono. Los vérticesson los extremos comunes a dos lados. Los ángulos del polígono,son los que los lados forman con cada vértice y las diagonales sonlos segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Los ángulosexteriores son los que forma en cada vértice un de los lados y laprolongación del otro. Un polígono es convexo o cóncavo, según losea su contorno.




De�nición

Un polígono se llama equilátero si tiene todos sus lados iguales, yequiángulo si todos sus ángulos son iguales. Un polígono es regularsi son iguales todos sus lados y sus ángulos. Dos polígonos soniguales o congruentes cuando por movimientos pueden colocarse demodo que coincida cada vértice del primero con otro del segundo.Los polígonos reciben distintos nombres según el número de suslados. El polígono de tres lados se llama triángulo, el de cuatro sellama cuadrilátero. Los demás nombres se forman con el númerocardinal griego que indica el número de lados y seguido con laterminación gono, que quiere decir vértice. Así los polígonos de 5,6, 7, 8, 9 ,10, etc., lados se llaman pentágono, hexágono,heptágono, octógono, enágono y decágono etc.



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