unidad 6 geometria analtica

23
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO Geometría Analítica Página 99 U U N N I I D D A A D D 6 6 : : G G E E O O M M E E T T R R I I A A A A N N A A L L Í Í T T I I C C A A 6.1 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O. La recta horizontal se denomina eje X y la recta vertical se denomina eje Y . El punto O se denomina origen. La distancia desde un punto cualquiera b a, al eje Y se denomina abscisa y la distancia desde el mismo punto hasta el eje X se denomina ordenada. Ambas distancias constituyen las coordenadas del punto en cuestión. 6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: 2 1 2 2 1 2 2 y y x x d Por lo tanto la distancia d entre los puntos 1 1 , y x P y 2 2 , y x Q es: 2 1 2 2 1 2 y y x x d Halle la distancia entre los puntos 1 , 4 y 3 , 7 Solución: Ejemplo No. 82

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W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í a A n a l í t i c a

Página 99

UUNNIIDDAADD 66:: GGEEOOMMEETTRRIIAA AANNAALLÍÍTTIICCAA

6.1 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Un sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas

perpendiculares que se cortan en el punto O. La recta horizontal se denomina eje X y la recta vertical se

denomina eje Y . El punto O se denomina origen. La distancia desde un punto cualquiera ba , al eje Y se

denomina abscisa y la distancia desde el mismo punto hasta el eje X se denomina ordenada. Ambas distancias

constituyen las coordenadas del punto en cuestión.

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Consideremos la siguiente figura:

Según el teorema de Pitágoras se tiene que: 212

2

12

2 yyxxd

Por lo tanto la distancia d entre los puntos 11, yxP y 22 , yxQ es: 212

2

12 yyxxd

Halle la distancia entre los puntos 1,4 y 3 ,7

Solución:

Ejemplo No. 82

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Página 100

525169134722

d 5d

6.3 LA LINEA RECTA

Una línea recta L está completamente determinada si se conocen:

Dos de sus puntos.

Un punto y su pendiente.

6.3.1 Inclinación de una línea recta

La inclinación de una línea recta L es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el eje X .

6.3.2 Pendiente de una línea recta

La pendiente m de una línea recta L es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir: Tanm

Siendo el ángulo de inclinación de la línea recta. Si se considera la siguiente figura:

Y según la razón trigonométrica tangente tenemos que 12

12

xx

yyTan

Por lo tanto: 12

12

xx

yyTanm

Es decir, la pendiente de la línea recta L que pasa por los puntos 11, yxP y 22 , yxQ es:

12

12

xx

yym

Halle la pendiente m y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos 3 ,2

y 1 ,2

Ejemplo No. 83

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Página 101

Solución:

Tenemos que

1

4

4

22

13

12

12

xx

yym

1m

Además Tanm

Por lo tanto º451 1 1TanTan

º45

6.3.3 Ecuación de la línea recta

Conocido un punto de la recta y la pendiente: La ecuación de la línea recta L que pasa por el punto 11, yxP y cuya pendiente sea m es:

11 xxmyy

La ecuación anterior se llama ecuación punto-pendiente

Conocido la pendiente y el punto de intersección con el eje Y : La ecuación de la línea recta L cuya pendiente sea m y corta al eje Y en el punto b ,0 es:

bmxy

La ecuación anterior se llama ecuación punto-intercepto.

Conocido dos puntos de la recta: Para hallar la ecuación de la línea recta L que pasa por los puntos 11, yxP y 22 , yxQ , se calcula la pendiente m con la fórmula:

12

12

xx

yym

y, posteriormente, se aplica la ecuación punto-pendiente.

Halle la pendiente m y el punto de intersección con el Y de la recta 732 xy

Solución:

Ejemplo No. 84

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Página 102

Despejando y de la ecuación de la línea recta se tiene que:

27

23

732

732

xy

xy

xy

Por lo tanto 23m y 2

7b

El punto de intersección con el eje Y es 27,0

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 3 ,4 y cuya pendiente es 2m

Solución:

Aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene que:

423 11 xyxxmyy

52 xy

Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos 8 ,2 y 7 ,3

Solución:

La pendiente m es 35

15

23

87

12

12

xx

yym

Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto 8 ,2 se tiene que:

238 11 xyxxmyy

23 xy

6.3.4 Rectas paralelas

Dos rectas 1L y 2L

son paralelas, lo cual se simboliza como 1L ││ 2L si y solamente si sus pendientes 1m

y 2m

son iguales. Es decir:

1L ││ 212 mmL

5.3.5. Rectas perpendiculares

Dos rectas 1L y 2L

son perpendiculares, lo cual se simboliza como 21 LL

si y solamente si el producto de sus

pendientes 1m y 2m es igual a 1 . Es decir:

1 2121 mmLL

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 4,5 y es paralela a la recta que pasa por los puntos 2 ,3 y

6 ,1

Ejemplo No. 87

Ejemplo No. 86

Ejemplo No. 85

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Página 103

Solución:

La recta que pasa por los puntos 2 ,3 y 6 ,1 tiene pendiente:

24

8

31

26

12

121

xx

yym

La recta pedida debe tener pendiente 212 mm . Por lo tanto, aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene

que:

524 121 xyxxmyy

142 xy

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 4,2 y es perpendicular a la recta 0632 yx

Solución:

Despejando y de la ecuación 0632 yx , se tiene que: 232 xy

Por lo tanto, la pendiente de esta recta es 32

1 m

Como la recta pedida con pendiente 2m debe ser perpendicular a la recta 0632 yx con pendiente

32

1 m entonces se debe cumplir que:

121 mm

Por lo tanto 23

2232 1 mm

Aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene que: 24

23

121 xyxxmyy

123 xy

1. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto 3 ,2 y cuya abscisa en el origen sea el doble que la

ordenada en el origen. 2. Halle la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 0372 yx en su punto de intersección con

la recta 0823 yx

3. Halle el valor del parámetro k de tal forma que:

a. 0253 kykx pase por el punto 4 ,1

b. 074 kyx tenga pendiente 3m

4. Halle la ecuación de la recta con pendiente 43 y que formen con los ejes coordenados (eje X y eje Y ) un

triángulo de área 24 unidades de superficie. 5. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto 4 ,2 y cuyas coordenadas en el origen (abscisa y

ordenada en el origen) sumen 3

ACTIVIDAD No. 27

Ejemplo No. 88

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Página 104

6.4 LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la distancia desde cualquier punto ),( yxP

de la circunferencia hasta su centro ),( khC es siempre la misma. Dicha distancia se denomina radio y se

simboliza con la letra r

Según la figura anterior, la distancia r desde el punto ),( yxP hasta el centro ),( khC es:

22222 kyhxrkyhxr

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con centro en ),( kh y radio r es: 222rkyhx

La ecuación anterior se llama ecuación canónica de la circunferencia.

Si la circunferencia tiene su centro en el origen, es decir, en )0,0( , entonces 0h y 0k , por lo tanto:

222222 00 ryxryx

Esto significa que la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r es: 222 ryx

Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo: 022 EDyCxyx

Al completar cuadrado en la ecuación anterior se tiene:

Eyx

Eyx

EDyyCxx

DCDC

DDCC

44

2

2

2

2

4

2

24

2

2

22

22

22

Por lo tanto 2Ch

, 2

Dk y Er DC

44

2 22

Esto significa que una circunferencia con ecuación 022 EDyCxyx

Tiene su centro en: 22

, DCC

Y su radio es: EDCr 422

21

Page 7: Unidad 6 geometria analtica

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Página 105

Halle la ecuación de la circunferencia con centro en 3 ,2 y radio 2

Solución:

2

3

2

r

k

h

222232 yx

43222 yx

Halle el centro y el radio de la circunferencia 096422 yxyx

Solución:

Opción 1: Identificando C, D y E.

9

6

4

E

D

C

El centro es:

2

6

24

22,, DC

3,2

El radio es: 9464422

2122

21 EDCr

2r

Opción 2: Completando cuadrados.

432

99432

99342

964

22

22

22

22

yx

yx

yx

yyxx

4

3

2

2

r

k

h

El centro es 3,2 y el radio es 2r

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 3 ,2 , 1 ,1 y cuyo centro está situado en la

recta 0113 yx

Solución:

Considere la siguiente figura:

Ejemplo No. 91

Ejemplo No. 90

Ejemplo No. 89

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Página 106

El centro C de la circunferencia debe equidistar de los puntos A y B . Es decir, la distancia desde C hasta A

debe ser la misma distancia desde C hasta B . Por lo tanto 21 rr . Pero:

22

1 11 khr

22

2 32 khr

Igualando los radios se obtiene:

22223211 khkh

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:

22223211 khkh

96441212 2222 kkhhkkhh

1146 kh (1)

Como el centro ),( khC está sobre la recta con ecuación 0113 yx , entonces satisface dicha ecuación:

113 kh (2)

Despejando h en la ecuación (2):

113 kh

Reemplazando el valor de h en la ecuación (1) y despejando k :

(1) 1141136 kk 2

5k

Si 25k

entonces: 11325h

27h

Para hallar el radio r de la circunferencia se reemplazan los valores de h y k en la ecuación:

2211 khr

2

252

27 11r

2

130r

Page 9: Unidad 6 geometria analtica

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Página 107

La ecuación pedida es: 2652

252

27 yx

1. Halle el valor del parámetro k para que la ecuación 010822 kyxyx represente una

circunferencia de radio 7

2. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por el punto 0 ,0 , tenga radio 13r y la abscisa de su

centro sea 12 3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el eje X y que pase por los puntos 3 ,2 y 5 ,4

4. Halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados son las rectas:

223

142

8

yx

yx

yx

5. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 2 ,8 , 2 ,6 y 7 ,3

6. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 4 ,1 y 2 ,5 y cuyo centro está situado en la

recta 092 yx

6.5 LA PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico que se caracteriza por que la distancia desde cualquier punto ),( yxP de la

parábola hasta una recta fija L llamada directriz es la misma distancia que hay desde el mismo punto hasta otro

punto F llamado foco.

ACTIVIDAD No. 28

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Página 108

La recta fija L se llama directriz y según la figura tiene ecuación ax

El punto fijo F se llama foco y según la figura tiene coordenadas 0 ,a

P es un punto cualquiera de la parábola y tiene coordenadas yx,

El eje en donde se encuentra ubicado el foco se denomina eje de simetría de la parábola. Según la figura el eje de simetría es X .

El punto V en el que la parábola corta al eje de simetría se llama vértice y según la figura tiene coordenadas 0 ,0

La distancia entre el vértice y la directriz es la misma distancia que hay entre el vértice y el foco, dicha distancia según la figura es a

El segmento de recta AB que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría se denomina latus

rectum.

La distancia entre P y F es 1d y la distancia entre P y la directriz L es 2d . Por definición de parábola

tenemos que 21 dd . Pero:

2222

1 0 yaxyaxd

axd 2

Por lo tanto, igualando las dos distancias anteriores se tiene: axyax 22

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:

222axyax

22222 22 aaxxyaaxx axy 42

Por lo tanto, la ecuación de la parábola con vértice en 0 ,0 , eje de simetría X y abierta hacia la derecha es:

axy 42

El eje asociado a la variable con exponente 1 es el eje de simetría. La longitud del latus rectum es: a4

La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la parábola, junto con las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz:

Vértice Eje de

simetría

Sentido en que se

abre Ecuación

Coordenadas

del foco

Ecuación de la

directriz

En el origen:

0,0

X Hacia la derecha axy 42 )0,(a ax

X Hacia la izquierda axy 42 )0,( a ax

Y Hacia arriba ayx 42 ),0( a ay

Y Hacia abajo ayx 42 ),0( a ay

En un punto distinto al origen:

kh,

Paralelo a X Hacia la derecha hxaky 42 ),( kah ahx

Paralelo a X Hacia la izquierda hxaky 42 ),( kah ahx

Paralelo a Y Hacia arriba kyahx 42 ),( akh aky

Paralelo a Y Hacia abajo kyahx 42 ),( akh aky

Page 11: Unidad 6 geometria analtica

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Página 109

Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola xy 83 2

Solución:

Al despejar 2y en la ecuación de la parábola se tiene que xy382

Por lo tanto 32

384 aa

Como la parábola tiene vértice en 0,0 , eje de simetría X y es abierta hacia la derecha, entonces:

Las coordenadas del foco son 0,a

0,32

La ecuación de la directriz es ax 32x

La longitud del latus rectum es 38

Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola

3222

yx

Solución:

Se tiene que:

3

2

2421

k

h

aa

Como la parábola tiene vértice en un punto distinto a 0,0 , eje de simetría paralelo a Y, y además es abierta hacia

arriba, entonces:

Las coordenadas del foco son 213,2, akh

27,2

La ecuación de la directriz es 213yaky

25y

La longitud del latus rectum es 2

Halle la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto 34,0 y

tiene como directriz la recta 34y

Solución:

Considere la siguiente figura. Por definicion de parábola 21 dd

Pero:

23422

342

1 0 yxyxd

Ejemplo No. 94

Ejemplo No. 93

Ejemplo No. 92

Page 12: Unidad 6 geometria analtica

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Página 110

342

342

2 yyxxd

Por lo tanto igualando las dos distancias se tiene:

342

342 yyx

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:

2342

342 yyx

9

16382

916

3822 yyyyx

yx3

162

Halle la altura de un punto de un arco parabólico de 18 m de altura y 24 m de base, situado a una distancia de 8 m

del centro del arco.

Solución:

Consideremos la siguiente figura:

La parábola de la figura debe tener ecuación: kyahx 42

Como 0h y 18k , entonces:

18402

yax

1842 yax

Como 12x y 0y , entonces: aa 721441804122

2a

Como 2a se tiene que la ecuación de la parábola de la figura es 1882 yx

Para hallar la altura y se reemplaza el valor de 8x en la ecuación de la parábola y se despeja y :

80864144814486418882

yyyy my 10

Ejemplo No. 95

Page 13: Unidad 6 geometria analtica

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Página 111

Dada la parábola con ecuación 04682 xyy , halle las coordenadas del vértice, las coordenadas del

foco y la ecuación de su directriz. Grafique la parábola:

Solución:

Completando cuadrado:

264

264

1264

046164

0468

2

2

2

2

2

xy

xy

xy

xy

xyy

Como 2h , 4k y 2364 aa . Por lo tanto:

Las coordenadas del vértice son: kh,

4,2

Las coordenadas del foco son: 4,2,23kah

4,

21

La ecuación de la directriz es: 232xahx

27x

La parábola se muestra en la siguiente figura:

1. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el punto 2 ,3 y foco 2 ,5

2. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el origen, con eje de simetría Y , y que pase por 3- ,6

ACTIVIDAD No. 29

Ejemplo No. 96

Page 14: Unidad 6 geometria analtica

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Página 112

3. Halle la ecuación de la parábola con vértice en 3 ,2 , con eje de simetría paralelo a Y y que pase por 5 ,4

4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por 3 ,3 , 5 ,6 y 3 ,6

5. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo

soportan tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto más bajo del

cable a una altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente,

y como eje Y el de simetría de la parábola, halle la ecuación de tal parábola. Calcule la altura de un punto

situado a 80 m del centro del puente. 6. Halle la ecuación de la parábola cuyo latus rectum es el segmento que une los puntos 5 ,3 y 3 ,3

7. Halle la ecuación de la parábola con vértice en la recta 0437 yx , con eje de simetría paralelo al eje X

y que pase por los puntos 5- ,3 y 1 ,23

8. Demuestre que la distancia desde el punto 262 ,6 de la parábola 028842 xyy hasta su foco

es igual a la distancia que hay desde el mismo punto hasta su directriz.

6.6 LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico que se caracteriza por que la suma de las distancias desde cualquier punto yxP , de la elipse a dos puntos fijos 1F y 2F llamados focos es constante, es decir es siempre la misma.

Las rectas 1L y 2L se llaman directrices.

Los puntos 1F y 2F se llaman focos y según la figura tienen coordenadas 0 ,c y 0 ,c

P es un punto cualquiera de la elipse y tiene coordenadas yx,

El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría mayor o eje mayor de la elipse.

Según la figura el eje mayor es X . El otro eje se denomina eje de simetría menor o eje menor de la elipse y

según la figura el eje menor es Y .

Los puntos en donde la elipse corta los ejes de simetría se llaman vértices y, según la figura, tienen coordenadas 0 ,a , 0 ,a , b- ,0 y b ,0 .

a siempre será la distancia más grande desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje mayor y b

siempre será la distancia más pequeña desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje menor.

Page 15: Unidad 6 geometria analtica

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Página 113

El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje mayor se

denomina latus rectum.

La ecuación de la elipse con centro en 0 ,0 y eje mayor X es 12

2

2

2

b

y

a

x

La longitud del latus rectum es a

b22

Además 222 bac

La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la elipse:

Centro Eje mayor Ecuación Coordenadas de los focos Ecuaciones de las directrices

En el origen:

0,0

X 12

2

2

2

b

y

a

x )0 ,( c 22

2

ba

ax

Y 12

2

2

2

a

y

b

x ) ,0( c 22

2

ba

ay

En un punto distinto al

origen:

kh,

Paralelo a X

12

2

2

2

b

ky

a

hx ),( kch

hba

ax

22

2

Paralelo a Y

12

2

2

2

a

ky

b

hx ),( ckh

kba

ay

22

2

Dada la elipse 576169 22 yx , halle:

Las coordenadas de los focos. Las ecuaciones de las directrices. La longitud del latus rectum.

Solución:

576169 22 yx

576

576

576

16

576

9 22

yx

1

3664

22

yx

. Por lo tanto:

8642 aa y 6362 bb

Además 7228366468 22222 cbac

El eje mayor es X y el eje menor es Y

Las coordenadas de los focos son: 0 ,c

)0 ,72(

Las ecuaciones de las directrices son:

3664

64

22

2

xba

ax

7

32x

La longitud del latus rectum es:

8

3622 2

a

b

9

Ejemplo No. 97

Page 16: Unidad 6 geometria analtica

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Página 114

Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje mayor X y que pase por los puntos 3 ,4 y 2 ,6

Solución:

La elipse pedida debe tener ecuación: 12

2

2

2

b

y

a

x

Como los puntos 3 ,4 y 2 ,6 están en la elipse satisfacen la ecuación anterior, por lo tanto:

Para el punto 3 ,4 : 134

2

2

2

2

ba 1

91622

ba (1)

Para el punto 2 ,6 : 126

2

2

2

2

ba 1

43622

ba (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene que:

2222

22

22

22

22

2222436916

436916436916abab

ba

ab

ba

ab

baba

2222 163649 bbaa

22 205 ba

22 4ba

Ahora reemplazando 2a en la ecuación (1):

(1) 113

194

19

4

1622222 bbbbb

132 b

Si 132 b entonces 1342a

522 a

Como 522 a y 132b

1

1352

22

yx

Dada la elipse 0144724894 22 yxyx halle:

El eje mayor y menor.

Las coordenadas del centro , de los focos y los vértices.

Solución:

Completemos cuadrados:

1444964

1441444914464

14489124

144729484

22

22

22

22

yx

yx

yyxx

yyxx

Ejemplo No. 99

Ejemplo No. 98

Page 17: Unidad 6 geometria analtica

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Página 115

1

16

4

36

6

144

144

144

49

144

64

22

22

yx

yx

Por lo tanto: 6362 aa

4162 bb

20163646 22222 bac 52c

Además 6h y 4k

El eje mayor es paralelo a X y el eje menor es paralelo a Y .

Las coordenadas del centro son: kh,

)4 ,6(

Las coordenadas de los focos son: ),( kch )4,526(

Según la siguiente figura las coordenadas de los vértices son 4 ,0 , 0 ,6 , 4 ,12 y 8 ,6

1. Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, con un foco en el punto 3 ,0 y eje mayor igual a 5

2. Halle la ecuación de la elipse con centro en 2 ,1 , uno de los focos en 2 ,6 y que pase por el punto 6 ,4

3. Dada la elipse con ecuación 0369636169 22 yxyx , halle:

a. Las coordenadas del centro. b. El semieje mayor y menor. c. Las coordenadas de los vértices y los focos.

d. Las ecuaciones de las directrices y la longitud del latus rectum.

ACTIVIDAD No. 30

Page 18: Unidad 6 geometria analtica

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Página 116

4. Halle la ecuación de la elipse con centro en 1 ,4 , uno de los focos en 1 ,1 y que pase por el punto 0 ,8

5. Demuestre que la suma de distancias del punto 8- ,6 de la elipse: 0144724894 22 yxyx a sus

focos es igual a 12 6. Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos yxP , cuya suma de distancias a los puntos fijos 2 ,4

y 2 ,2 es igual a 8

6.7 LA HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico que se caracteriza por que la diferencia de las distancias desde cualquier punto ),( yxP de la hipérbola a dos puntos fijos 1F y 2F llamados focos es constante, es decir, es siempre la

misma.

Las rectas 1L y 2L se llaman directrices y las rectas 1A y 2A se llaman asíntotas.

Los puntos 1F y 2F se llaman focos y según la figura tienen coordenadas 0 ,c y 0 ,c

P es un punto cualquiera de la hipérbola y tiene coordenadas yx,

El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría real o eje real de la hipérbola.

Según la figura, el eje real es X .

El otro eje se denomina eje imaginario de la hipérbola. Según la figura, el eje imaginario es Y .

Los puntos en donde la hipérbola corta el eje real se llaman vértices y, según la figura, tiene coordenadas 0 ,a y 0 ,a .

a siempre será la distancia desde el centro de la hipérbola hasta los vértices.

El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje real, se denomina

latus rectum.

La ecuación de la hipérbola con centro en 0 ,0 y eje real X es 12

2

2

2

b

y

a

x

La longitud del latus rectum es a

b22

Además 222 bac

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Página 117

La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la hipérbola:

Centro Eje real Ecuación Coordenadas

de los focos

Ecuaciones de las

directrices

Ecuaciones de las

asíntotas

En el origen:

0,0

X 12

2

2

2

b

y

a

x )0 ,( c 22

2

ba

ax

x

a

by

Y 12

2

2

2

b

x

a

y ) ,0( c 22

2

ba

ay

x

b

ay

En un punto distinto al

origen:

kh,

Paralelo a

X

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx ),( kch

hba

ax

22

2

khx

a

by

Paralelo a

Y

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky ),( ckh

kba

ay

22

2

khx

b

ay

Dada la hipérbola 1916

22

yx

halle:

El eje real y el eje imaginario: Las coordenadas de los vértices y de los focos. Las ecuaciones de las directrices y las asíntotas.

La longitud del latus rectum.

Solución:

Se tiene que:

4162 aa

392 bb

52591634 22222 cbac

El eje real es X y el eje imaginario es Y .

Las coordenadas de los vértices son: )0 ,( a )0 ,4(

Las coordenadas de los focos son: )0 ,( c )0 ,5(

Las ecuaciones de las directrices son:

916

16

22

2

xba

ax

25

16x

Las ecuaciones de las asíntotas son: xa

by

xy4

3

La longitud del latus rectum es:

4

922 2

a

b

2

9

Ejemplo No. 100

Page 20: Unidad 6 geometria analtica

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Página 118

Halle la ecuación de la hipérbola con eje real X y centro en el origen, sabiendo que el latus rectum vale 18 y que

la distancia entre los focos es 12

Solución:

Se tiene que:

182 2

a

b ab 92

122c

6c

Como: 222222 6 babac 3622 ba

Reemplazando el valor de 2b en la ecuación anterior se tiene que:

03120369369 22 aaaaaa

Con lo que: 12a y 3a

Como: 3a 92 a y 392b 272 b

Por lo tanto, la ecuación pedida es: 1279

22

yx

1. Dada la hipérbola 01996418169 22 yxyx halle:

a. El eje real y el eje imaginario. b. Las coordenadas del centro, los focos y de los vértices. c. Las ecuaciones de las directrices y de las asíntotas.

2. Halle la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, con eje real Y , y que pase por 6 ,4 y 3 ,1

3. Demuestre que la diferencia de distancias del punto 41 ,6 de la hipérbola 01996418169 22 yxyx

a sus focos es igual a 8

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de

cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. La pendiente de la línea recta que pasa por los puntos 1,1

y 2,2 es:

A. 3

B. 1 C. 1 D. 3

AUTOEVALUACIÓN No. 5

ACTIVIDAD No. 31

Ejemplo No. 101

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Página 119

2. La ecuación de la línea recta que pasa por el punto 2,0

y cuya pendiente es igual a 3

es:

A. 23 xy

B. 23 xy

C. 32 xy

D. 32 xy

3. De las siguientes ecuaciones no corresponde a una paralela a la recta cuya ecuación es 22 xy :

A. xy 2

B. 2 xy

C.

12y

D. 22 xy

4. De las siguientes ecuaciones, corresponde a una recta que no pasa por el punto 5,0 :

A. 52 xy

B. 55 xy

C. 25 xy

D. 5 xy

5. Una recta perpendicular a la recta 453 yx es:

A. 75

3 xy

B. 23

5 xy

C. 25

3 xy

D. 33

5 xy

6. La ecuación de la circunferencia que se muestra en la siguiente figura es:

A. 32322 yx

B. 93222 yx

C. 92322 yx

D. 33222 yx

Page 22: Unidad 6 geometria analtica

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Página 120

7. La ecuación de la circunferencia con centro 3,2

y radio 4 es:

A. 36422 yxyx

B. 34622 yxyx

C. 34622 yxyx

D. 36422 yxyx

8. Las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia 0145322 yxyx es:

A.

2

1,

2

3 y

2

10r

B.

2

5,

2

1 y

3

102r

C.

2

5,

2

3 y

2

103r

D.

2

1,

2

1 y

2

103r

9. El valor que debe tener k de tal manera que la ecuación 010822 kyxyx

represente una

circunferencia de radio 7 es:

A. 8

B.

4 C. 4

D.

2

10. La ecuación de la parábola con vértice en el punto 2,3 y foco 2,5 es:

A. 028842 xyy

B. 028842 yxx

C. 028842 xyy

D. 028842 yxx

11. La altura de un punto de un arco parabólico de 18

metros de altura y 24

metros de base, situado a

una distancia de 4

metros del centro es:

A. 20

metros.

B. 10

metros.

C. 5

metros.

D. 16

metros.

12. La trayectoria descrita por un proyectil lanzado horizontalmente, desde un punto situado y

metros

(m) sobre el suelo, con velocidad v

metros por segundo (m/s), es una parábola con ecuación:

Page 23: Unidad 6 geometria analtica

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Página 121

yg

vx

22 2

Siendo x

la distancia horizontal desde el lugar de lanzamiento y 81.9g

metros por segundo en cada

segundo (m/s2), aproximadamente. Si el origen se toma en el punto de salida del proyectil del arma y

bajo estas condiciones se lanza horizontalmente una piedra desde un punto situado a 3 metros (m) de

altura sobre el suelo con una velocidad inicial de 50 metros por segundo (m/s), entonces la distancia

horizontal al punto de caída es:

A. 30

metros.

B. 39

metros.

C. 20

metros.

D. 93

metros.

13. La ecuación de la elipse con centro en el origen, foco en el punto 3,0 y semieje mayor igual a 5 es:

A. 11625

22

yx

B. 02516

22

yx

C. 01625

22

yx

D. 12516

22

yx

14. La ecuación del lugar geométrico conformado por los puntos cuya distancia al punto 0,4 es igual a la

mitad de la correspondiente a la recta 16x es:

A. 134 22 yx

B. 19243 22 yx

C. 19234 22 yx

D. 143 22 yx