sesion 2 - algebra vectorial-librweffesfewse

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO ESTÁTICA - Prof. E. Rodríguez B. 1 UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: ESTÁTICA CURSO: ESTÁTICA CURSO: ESTÁTICA CURSO: ESTÁTICA SESIÓN SESIÓN SESIÓN SESIÓN 2: ÁLGEBRA VECTORIAL 2: ÁLGEBRA VECTORIAL 2: ÁLGEBRA VECTORIAL 2: ÁLGEBRA VECTORIAL Fuerzas Fuerzas Fuerzas Fuerzas coplanares coplanares coplanares coplanares y espaciales y espaciales y espaciales y espaciales 1 2 VECTORES Definición Momentos Velocidad, etc Coplanares Fuerzas Magnitudes vectoriales Elementos Módulo Dirección: i, j, k Sentido: Operaciones: Aplicaciones Tridimensionales Algebra vectorial Producto escalar Producto vectorial α, β, γ I. INTRODUCCIÓN • Parte de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. • Permite presentar mediante las ecuaciones de modelo matemático diversas situaciones físicas. 3 II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Se representan por un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2. VECTORES: Para expresarse necesitan de un módulo, dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión. 4 III. VECTOR • Definición y representación. 5 Elementos de un vector 1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos 6

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  • UNIVERSIDAD CSAR VALLEJO

    ESTTICA - Prof. E. Rodrguez B. 1

    UNIVERSIDAD CSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CSAR VALLEJO

    ESCUELA DE INGENIERA CIVILESCUELA DE INGENIERA CIVILESCUELA DE INGENIERA CIVILESCUELA DE INGENIERA CIVIL

    CURSO: ESTTICACURSO: ESTTICACURSO: ESTTICACURSO: ESTTICA

    SESIN SESIN SESIN SESIN 2: LGEBRA VECTORIAL2: LGEBRA VECTORIAL2: LGEBRA VECTORIAL2: LGEBRA VECTORIAL

    Fuerzas Fuerzas Fuerzas Fuerzas coplanarescoplanarescoplanarescoplanares y espacialesy espacialesy espacialesy espaciales

    1 2

    VECTORES

    Definicin

    Momentos

    Velocidad, etc

    Cop

    lana

    res

    Fuerzas

    Magnitudes vectoriales

    Elementos

    Mdulo

    Direccin:i, j, k

    Sentido:

    Operaciones:

    Aplicaciones

    Trid

    imen

    sion

    ales

    Algebra vectorial

    Producto escalar

    Producto vectorial

    , ,

    I. INTRODUCCIN

    Parte de la matemtica til para fsicos,matemticos, ingenieros y tcnicos.

    Permite presentar mediante las ecuaciones demodelo matemtico diversas situaciones fsicas.

    3

    II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Se representan por un nmero

    real y su correspondiente unidad. Ejm: La masael tiempo; la temperatura.

    2. VECTORES: Para expresarse necesitan de unmdulo, direccin y un sentido Ejm: La velocidad,el desplazamiento, la fuerza, etc.

    3. TENSORIALES: Aquellas que tiene unamagnitud, mltiples direcciones y sentidos. Ejem:El esfuerzo normal y cortante, la presin.

    4

    III. VECTOR Definicin y representacin.

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    Elementos de un vector

    1. Direccin: Grficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ngulo y en el espacio mediante tres ngulos

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    Elementos de un vector2. sentido: Es el elemento que indica la orientacin

    del vector . Grficamente viene representadapor la cabeza de flecha.

    3. Mdulo: Representa el valor de la magnitudfsica a la cual se asocia. Grficamente vienerepresentado por la longitud del segmento derecta

    7

    IV. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

    multiplicacin de vectores es necesario definir:1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres

    elementos idnticos

    2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y direccin pero sentido opuesto

    8

    Algebra vectorial: Suma vectorial

    Considere dos vectores A y B como se muestra.

    El vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del tringulo .

    La magnitud de la resultante R se determina mediante laley de cosenos-

    9

    Algebra vectorial: Resta vectorial Considere dos vectores A y B como se muestra.

    El vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del tringulo .

    La magnitud del vector diferencia D es

    10

    Leyes del algebra vectorial 1. Conmutatividad.

    2. Asociatividad

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    Suma de varios vectores

    Para sumar varios vectores se utiliza la ley delpolgono (aplicacin sucesiva de la ley delparalelogramo o del tringulo)

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    SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES

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    DESCOMPOSICIN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitascomponentes. El nico requisito es que La suma de estacomponentes nos de le vector original. Ladescomposicin pude ser en un plan o en el espacio.

    EN EL PLANO

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    DESCOMPOSICIN VECTORIAL

    15

    Ejemplo

    16

    Graficar las siguientes fuerzas:

    2 2

    3 2 4

    3 3

    7 2 3

    3 5 4

    Ejemplo

    17

    Encontrar el mdulo y el vector unitariocorrespondiente a las siguientes fuerzas:

    2 2

    3 2 4

    3 3

    7 2 3

    3 5 4

    Ejemplo

    18

    Encontrar la direccin de las fuerzas ycomprobar que: + + =1

    3 2 4

    3 3

    7 2 3

    3 5 4

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    EjemploLa resultante de la tres fuerzas mostradas en lafigura es vertical. Determine: (a) la magnitud dela fuerza A y (b) la resultante del sistema

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    Ejemplo2.1 Determine la magnitud de la fuerzaresultante FR=F1+F2, as como su direccin,medida en sentido contraria a las manecillas delreloj desde el eje x positivo.

    20

    Ejemplo2.3 Determine la magnitud de la fuerzaresultante FR=F1+F2, as como su direccin,medida en sentido contraria a las manecillas delreloj desde el eje x positivo.

    21

    Ejemplo2.10 La fuerza de 500N acta hacia abajo en Asobre la estructura de dos barras. Determine lasmagnitudes de F dirigidas a lo largo de lasbarras AB y AC.

    22

    Ejemplo2.13 La fuerza de 500lb que acta sobre laestructura debe resolverse en dos componentesactuando a lo largo de los ejes de las barras ABy AC. Si la componente de fuerza a lo largo deAC debe ser de 300lb. Determine la magnitudde la fuerza que debe actuar a lo largo de AB yel ngulo de la fuerza de 500lb

    23

    Ejemplo2.24 Resuelva la fuerza 50 lb en componentesque acten a lo largo (a) de los ejes x y y, y (b) alo largo de los ejes x y y.

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    Ejemplo

    2.28 La viga va a ser levantada usando doscadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600N dirigida a lo largo del eje y positivo, determinelas magnitudes de las fuerzas FA y FB mnima.FA acta a 30desde el eje y como se muestra

    25

    Ejemplo2.30 Tres cables jalan el tubo generando una fuerza resultante conmagnitud de 900 lb. Si dos de los cables estn sometidos a fuerzasconocidas, como se muestra en la figura, determina la direccin del tercer cable de manera que la magnitud de la fuerza F en estecable sea mnima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y.

    Cul es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero laresultante de la dos fuerzas conocidas.

    26

    Ejemplo2.31 Determine las componentes x y y de lafuerza d 800 lb.

    27

    Ejemplo2.32 Determine la magnitud de la fuerzaresultante as como su direccin, medida staen el sentido de las manecillas del reloj el eje xpositivo.

    28

    Ejemplo2.34 Determine la magnitud de la fuerzaresultante as como su direccin, medida estaen sentido contrario al de las manecillas del relojdesde el eje x positivo.

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    Ejemplo2.40 Determine la magnitud de la fuerzaresultante as como su direccin media ensentido contrario al de las manecillas del relojdesde el eje x positivo

    30

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    ESTTICA - Prof. E. Rodrguez B. 6

    Ejemplo2.46 Determine la magnitud de la fuerzaresultante as como su direccin con respecto aleje x positivo y en sentido contrario a lasmanecillas del reloj.

    31

    Ejemplo2.48 Si = 60 y F : 20 kN, determine lamagnitud de la fuerza resultante y su direccinmedida en el sentido de las manecillas del relojdesde el eje x positivo.

    32

    Ejemplo2.52 Las tres fuerzas concurrentes que actansobre la amella roscada producen una fuerzaresultante FR=0. Si F2= 2/3 F1 y F1 debe estar90 de F2 como se muestra , determine lamagnitud requerida de F3 expresada entrminos F1 y del ngulo .

    33

    DESCOMPOSICIN VECTORIAL

    En el espacio. Cualquier vector puededescomponerse en tres componentes

    34

    VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES

    35

    VECTOR UNITARIO

    Es un vector colineal con el vector original Tiene un mdulo igual a la unidad Se define como el vector dado entre su mdulo

    correspondiente es decir

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    DESCOMPOSICIN VECTORIAL

    37

    ++

    Fcos!+"+Fcos

    F(cos!+"+cos

    F$

    VECTORES CARTESIANOS

    Componentesrectangulares

    Vectores unitarios cartesianos

    38

    Ejemplo2.75 El poste est sometido a la fuerza F quetiene componentes Fx=1.5kN y Fz=1.25kN, si = 75, determine las magnitudes de F y Fy

    39

    Ejemplo2.79 El perno est sometido a la Fuerza F cuyascomponentes a lo largo de los ejes x, y, z comose muestra. Si F=80N, =60y %=45, determinelas magnitudes de las componentes.

    40

    Ejemplo2.80 Dos fuerzas F1 y F2 actan sobre el perno sila fuerza resultante FR tiene una magnitud de 50 lby los ngulos coordenados de direccin = 110 y = 80, como se muestra, determine la magnitudde F2 y sus ngulos coordenados de direccin .

    41

    VECTORES DE POSICIN

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    VECTORES DE POSICIN

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    VECTORES DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LNEA

    44

    Ejemplo

    45

    Ejemplo2.84 Exprese el vector de posicin r en formacartesiana vectorial; luego determine sumagnitud y sus ngulos coordenado de direccin

    46

    Ejemplo2.85 Exprese el vector de posicin r en formacartesiana vectorial; luego determine sumagnitud y sus ngulos coordenado dedireccin

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    Ejemplo2.86 Exprese la fuerza F como un vectorcartesiano luego determine los nguloscoordenados de su direccin.

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    ESTTICA - Prof. E. Rodrguez B. 9

    Ejemplo2.87 Determina la longitud de la barra AB de laarmadura estableciendo primero un vectorcartesiano de posicin de A a B y entoncescalcule su magnitud.

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    Ejemplo2.91 Determine las longitudes de los alambresAD, BD y CD. El anillo en D esta a la mitad de ladistancia entre A y B

    50

    Ejemplo2.92 Exprese la fuerza F como un vectorcartesiano: luego determine sus nguloscoordenado de direccin.

    51

    Ejemplo2.94 Determine la magnitud y los nguloscoordenados de direccin de la fuerzaresultante que acta en el punto A.

    52

    Ejemplo2.98 Las retenidas de alambre se usan para darsoporte al poste telefnico. Represente la fuerzaen a alambre en forma vectorial cartesiana.

    53

    Ejemplo2.106 La torre es sostenida por tres cables. Silas fuerzas en cada cable son las mostradas,determine la magnitud y los nguloscoordenados de direccin , , % de la fuerzaresultante. Considere x=20m, y=15m.

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    ESTTICA - Prof. E. Rodrguez B. 10

    PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dosvectores A y B denotado por y expresado Amultiplicado escalarmente B, se define como elproducto de las magnitudes de los vectores A yB por el coseno del ngulo que forman ellos.

    55

    Propiedades del producto escalar1. El producto escalar es conmutativo

    2. El producto escalar es distributivo

    3. Producto de un escalar por el producto escalar

    4. Producto escalar entre la suma de dos vectorespor un tercer vector

    56

    Propiedades del producto escalar4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

    5. Producto escalar de dos vectores unitariosdiferentes.

    6. Producto escalar de dos vectores

    57

    Propiedades del producto escalar7. Producto escalar de dos vectores en forma de

    componentes .Entonces tenemos

    8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.Entonces dichos vectores son perpendiculares

    58

    Ejemplo

    59

    Comprobar cul de las siguientes fuerzasson paralelas

    3 2

    6 4

    3 2

    3 2

    Ejemplo

    2.110 Determine el ngulo entre las colas delos dos vectores

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  • UNIVERSIDAD CSAR VALLEJO

    ESTTICA - Prof. E. Rodrguez B. 11

    Ejemplo2.113 Determine el ngulo entre el eje y de labarra y el alambre AB

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    Ejemplo2.114 La fuerza F=(25i-50j+10k)N acta en elextremo A de la tubera. Determine la magnitudde las componentes F1 y F2 que actan a lolargo del eje AB y perpendicular a l.

    62

    Ejemplo2.116 Determine la longitud del lado BC de la placatriangular. Resuelva el problema encontrando lamagnitud rBC; entonces verifique el resultadoencontrando primero , rAB y rAC y luego use la leyde los cosenos.

    63

    Ejemplo2.118 Determine las componentes de F que actana lo largo de la barra AC y perpendicularmente aella. El punto B est localizado a 3m a lo largo de labarra desde el extremo C.

    64

    Ejemplo2.119 La abrazadera se usa sobre un glibo. Sila fuerza vertical que acta sobre el perno esF=(-500k)N, determine las magnitudes de lascomponentes F1 y F2 que actan a lo largo deleje OA y perpendicularmente a l.

    65

    Ejemplo2.120 Determine la proyeccin de la fuerza F alo largo del poste.

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    PRODUCTO VECTORIALEl producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B,es un tercer vector C el cual es perpendicular al planoformado por los dos vectores y cuya magnitud es igual alproducto de sus magnitudes multiplicado por el seno delngulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante laregla de la mano derecha. La notacin del producto cruz es

    67

    REGLA DE LA MANO DERECHAPrimera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo ndice

    con el primer vector y el dedo corazn el segundo vector, eldedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.

    Segunda forma: curve los dedos de la mano derechatendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; eldedo pulgar extendido nos da el vector producto.

    68

    PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1. El producto vectorial no es conmutativo

    2. El producto vectorial es distributivo

    3. Multiplicacin de un escalar por el producto vectorial.

    4. Multiplicacin vectorial de vectores unitarios

    69

    PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

    6. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectoresson paralelos.

    70

    Ejemplo

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    Comprobar cual de las siguientes fuerzasson perpendiculares:

    3 2 1

    3 3

    7 2 1/3

    3 5 19

    EjemploDescomponga el vector fuerza de 400 kNrepresentado en la figura en dos componentes,una segn la direccin AB y la otraperpendicular a ella

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