tema 1-geometria vectorial

7/30/2019 Tema 1-Geometria Vectorial

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Un vector es una cantidad que queda totalmente definida por su magnitud direccin y

sentido.

Definicin de un vector

Geomtricamente se representa por un segmento dirigido.

P

O


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La magnitud de un vector es el tamao de la cantidad y consta de un nmero y la unidad de

la cantidad correspondiente.

Geomtricamente es el tamao del segmento dirigido.

P

O

d=OP


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La direccin de un vector proporciona la lnea de la accin de la cantidad.

Geomtricamente es la inclinacin de la lnea de accin respecto a un segmento

recto, generalmente horizontal.

P

O


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El sentido de un vector nos indica en hacia que lado de la lnea de la accin la cantidad es

aplicada.

Geomtricamente se representa mediante una flecha en el sentido de crecimiento de la lnea

de accin.

P

O


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Notacin

Vector: OP A A

Magnitud: OP =OP A =A A =A

P

O


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La direccin y el sentido de un vector pueden ser descrito por nico ngulo positivo que se

mide desde un segmento recto (usualmente horizontal) que parte del origen del vector y

crece en sentido positivo.

El punto origen del vector se conoce como poloy al segmento recto como eje de referencia.

De esta manera, podemos representar un vector de tamao A y ngulo con las llamadascoordenadas polares, (A, )= A.

P

O

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A=(5 cm, 30)

B=(6 cm, 138)

Ejemplo 1: Trazar los vectores dados.

30

138

C=(3 cm, 254)

254


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Ejemplo 2: Trazar los vectores dados. En cada caso, indique su precisin y el error probable

de su trazo de acuerdo a su sistema de medicin.

Indicaciones: Para que su trazo sea lo ms preciso posible, use su juego de geometra y un

portaminas o lpiz con punta delgada.

a. El vectorA tiene un tamao de 362 unidades y un ngulo polar de 125.b. El vectorB tiene un tamao de 813 unidades y un ngulo polar de 224.

Respuesta:

En el caso de la escuadra, la

unidad ms pequea es 1

mm, por lo tanto el error

probable ser de 0.5 mm.

As que la precisin serhasta milmetros.

En el caso del transportador, launidad ms pequea es 1, por lo

tanto el error probable ser de

0.5. As que la precisin serhasta grados.


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Existe un problema, los milmetros de cualquier juego de geometra solo son de alrededor

de 250, de manera que para vectores de tamaos mayores no podran ser trazados, ms an,

las hojas de nuestras libretas no son tan grandes para poder dibujar los vectores. Entonces

necesitamos hacer una escala. La escala se selecciona de acuerdo a las necesidades delproblema especfico, pero siempre se debe tener en cuenta para dar los resultados reales.

En nuestro ejemplo, los vectores tienen tamaos que deben ser escalados. Yo seleccion unaescala tal que,

10 unidades corresponden a 1milmetro 10:1

a. El vector A que tiene un tamao de 362 unidades, se dibuja de un tamao de 36.2 mm

aproximadamente, que corresponden a 3.62 cm.

b. El vector B tiene un tamao de 813 unidades, se dibuja de un tamao de 81.3 mm

aproximadamente, que corresponden a 8.13 cm.


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a). El vector A que tiene un tamao de 362 unidades, se dibuja de un tamao de 36.2 mm

aproximadamente, que corresponden a 3.62 cm, y un ngulo polar de 125.

125

.

A


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b). El vector B tiene un tamao de 813 unidades, se dibuja de un tamao de 81.3 mm

aproximadamente, que corresponden a 8.13 cm, y un ngulo polar de 224.

224

.

B


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Ejercicio en clase 23 de enero: Trazar los vectores dados. En cada caso, indique su

precisin y el error probable de su trazo de acuerdo a su sistema de medicin.


portaminas o lpiz con punta delgada.a. El vectorA tiene un tamao de 62 unidades y un ngulo polar de 305.

b. El vectorB tiene un tamao de 83 unidades y un ngulo polar de 129.

Tarea para 24 de enero: Trazar los siguientes vectores. En cada caso, indique su precisin

y el error probable de su trazo de acuerdo a su sistema de medicin.


portaminas o lpiz con punta delgada.


c. El vectorC tiene un tamao de 7158 unidades y un ngulo polar de 56.


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Vector unitario

SE dice que un vector es unitario si su magnitud es de una unidad.

A =1^

Un vector unitario indica la direccin del vector.

A=AA

^

d=OP=A

A^

P

O

A

AA


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Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, la misma direccin y el mismo

sentido.

A=AA ^

B=BB ^

BABABA


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Vector negativo

Un vector es el negativo de otro si tienen la misma magnitud, la misma direccin pero

sentido opuesto al primero.

A=AA ^

B=BB ^

BABABA


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Vectores paralelos

Dos vectores son paralelos si tienen la misma inclinacin.

Si dos vectores son paralelos, entonces son proporcionales.

A=AA ^

B=BB ^

BAkBAB||A


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Dos vectores paralelos pueden tener sentidos opuestos.

En este caso, suelen llamarse vectores antiparalelos.

A=AA ^

B=BB ^

BAkBABA


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Suma de vectores

La suma de dos es un vector.

La suma de dos vectores no es la suma de las magnitudes ni de las direcciones y/o sentidos.

BAR

Geomtricamente, para encontrar el vector resultante de la suma de dos vectores tenemos

dos mtodos:

Mtodo del polgono.

Mtodo del paralelogramo.


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Mtodo del polgono

B=BB^

A=AA

B=BB

^

R=A+B

R=A+B no implica R=A+B ni R= A+B^ ^ ^


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R=(6.55 cm, 91)

A=(5 cm, 30)

B=(6 cm, 138)

30138

138

30

Ejemplo 3: Sume los vectores dados por el mtodo del polgono.


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Ejemplo 4: Sume los vectores dados por el mtodo del polgono.

a. El vectorA tiene un tamao de 362 unidades y un ngulo polar de 125.



125.

A 224

.

B

76.

C


22/43

125

.

A

224

.

B

76.

C

R=(785 unidades, 143)

R

143


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Tarea para 28 de enero: Sumar los vectores dados por el mtodo del polgono.




24/43

Mtodo del paralelogramo.

A=AA

B=BB^

B=BB^

R=A+B no implica R=A+B ni R= A+B^ ^ ^

R=A+B


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Ejemplo 5: Sume los vectores dados por el mtodo del paralelogramo.

30138

R=(6.55 cm, 91)


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Ejemplo 6: Sume los vectores dados por el mtodo del paralelogramo.




125

.

A 224

.

B

76.

C


27/43

125

.

A

224

.

B

R1

R1

76

C

R

143

125

.

A

224

.

B

R1

76

.

C

R

143



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Tarea para 29 de enero: Sumar los vectores dados por el mtodo del polgono.




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Resta de vectores

Mtodo del inverso aditivo.

La resta de dos vectores es un vector definido por:

R=ABA+(B)

Geomtricamente, para encontrar el vector resultante de la resta de dos vectores tenemos

dos mtodos:

Mtodo del tringulo.

Como demostraremos: La resta de dos vectores no es la resta de las magnitudes ni de lasdirecciones y/o sentidos.


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Mtodo del inverso aditivo

A=AA^

B=BB^

B= BB^

R=ABA+(B)

B= BB^

R=ABA+(B)


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Mtodo del tringulo

B=BB

^

A=AA

B=BB^

R=ABA+(B)

R=A B no implica R=A B ni R= A B^ ^ ^

En ninguno de los dos mtodos,


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A=(5 cm, 30)

B=(6 cm, 138)

Ejemplo 7: Reste el vectorB del vectorA (R=A-B).

-B=(6 cm, 318)

R=(8.87 unidades, 350)

Mtodo del inverso aditivo.

Mtodo del tringulo.

Ej l 8 R t l t B d l t A (R A B)


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Ejemplo 8: Reste el vectorB del vectorA (R=A-B)..



A=(62 unidades, 226)

B=(53 unidades, 129)

-B=(53 unidades, 309)

R=(86.5 unidades, 264)


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Producto de un escalar por un vector

El producto por de un escalar por un vector solo afecta a la magnitud y, si el escalar es

negativo, al sentido.

A

2A

A

2A


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Propiedad conmutativa

La suma de vectores es conmutativa.

A=AA^

B=BB^

A=AA^

B=BB^

R=A+B

R=B+A


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La suma de vectores es asociativa.

AB

C

A

B C

B

C

A

Propiedad asociativa


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El producto de dos escalares por un vector es asociativo


38/43

Un escalar se distribuye su producto sobre la suma de vectores.

A

B

kA

kB


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Un vector se distribuye su producto sobre la suma de escalares.


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Ejemplo 9: Usando los vectores

encuentre CBAR

3

4

8

5

2

3

)253,unidades76(A

)320,unidades120(B

)23,unidades84(C



C=(84 unidades, 23)


41/43

CBAR34

85

23


32


58

C=(112 unidades, 253)

43



C=(84 unidades, 23)

CA 453


42/43

CBAR34

85

23


32 B=(75 unidades, 140)

58 C=(112 unidades, 253)

43



43/43

Tarea para 31 de enero: Usando los vectores

encuentre el vector

332

253

121 rrrr

)128,unidades2520(r1

)54,unidades1950(r2

)128,unidades1620(r3

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