fundamentos de geometria vectorial (fisica del bolivar)

de 56 Dr. Germán Fiallos FISICA DEL BOLIVAR

1. Geometría Vectorial

Ciertas aplicaciones matemáticas con frecuencia se relacionan con

magnitudes que poseen tanto cantidad como dirección, así tenemos: la

velocidad, la fuerza o el desplazamiento. Por lo que el uso de vectores se

vuelve absolutamente necesario.

El estudio de los vectores puede abordarse en forma analítica o geométrica.

Si este estudio es geométrico entonces es primero necesario definir los

sistemas de coordenadas que van a ser usados para el análisis vectorial.

1.1. Sistemas de Referencia

Es un sistema que utiliza uno o más números llamados coordenadas, para

localizar la posición de un punto u otro objeto geométrico. Tal es el caso del

conocido plano cartesiano.

Los sistemas de referencia pueden ser:

Unidimensionales

Bidimensionales

Tridimensionales

1.1.1 Unidimensional

Es básicamente una línea en la que las magnitudes son mostradas como

puntos marcados separados uniformemente entre sí.

Sobre esta recta, comúnmente llamada recta numérica , se representa

el conjunto de los números reales, siendo cero su origen o punto central y

hacia la derecha e izquierda se encuentran los límites infinitos negativos

- y positivos + respectivamente.


1.1.2. Bidimensional

Es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares

entre sí que se cortan en un punto de origen.

El sistema de referencia bidimensional más usado es el plano cartesiano,

en el que las rectas son llamadas ejes. Al eje horizontal o eje x se lo

denomina de las abscisas mientras que al eje vertical o eje y se lo conoce

como el de las ordenadas.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema

cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea

recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes en el espacio

tridimensional.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_recta

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)


1.1.3. Tridimensional

Es el sistema de referencia que permite localizar la posición de cualquier

punto en el espacio.

Si este sistema de referencia está formado por tres rectas

perpendiculares entre sí (X, Y, Z) que se intersecan en un punto de origen

(0, 0, 0) , cada punto del espacio puede medirse mediante tres números

(x,y,z).

A (Ax,Ay,Az) A(4,5,7)

A los números que definen la posición de un punto en el espacio se les

denomina terna ordenada. Una terna ordenada (x,y,z) se asocia con cada

punto del espacio tridimensional. La distancia dirigida de un punto P al

plano yz es la coordenada x, su distancia dirigida al plano xz es la

coordenada y, y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy.

Los tres planos coordenados dividen al espacio en ocho partes

denominadas octantes. El primer octante es aquel donde las coordenadas

son positivas.


EJEMPLO

Grafique el punto A (2,7,6) cm y determine los triángulos principales y

secundarios.


Al graficar el punto y las proyecciones de los elementos de su terna

ordenada, se ha formado un paralelepípedo, del que se puede notar varios

triángulos. De estos; el número 1, 5 y 6 son los llamados triángulos

principales porque tienen la misma hipotenusa la cual es, al mismo tiempo la

distancia desde el origen hacia el punto localizado en el espacio. Y al resto de

triángulos se los denomina secundarios.

Además existen varios ángulos que serán posteriormente de mucha utilidad,

los cuales son:

Ángulo Polar

Es el ángulo medido desde el eje x positivo el cual

puede estar comprendido entre 0 y 360

Ángulo Director Z

Es el ángulo medido desde el eje z positivo, el cual

puede estar comprendido entre 0 y 180


La distancia desde el origen hacia el punto es de suma importancia para

varios cálculos, por lo que su cálculo es absolutamente importante. Uno

de los métodos más útiles para hacerlo es mediante la aplicación de la

fórmula para la distancia no dirigida entre dos puntos y

la cual está dada por:

Aplicación

Determine el perímetro, los ángulos internos y la superficie del triángulo

formado por los puntos: A (4,-3,5)cm , B (3,5,2)cm y C (-2,8,4)cm.


1.2. Vector

Un vector, sobre un espacio tridimensional, es un segmento de recta dirigido

y definido por una terna ordenada (x,y,z) . Además posee características

fundamentales como:

Módulo.- Es la distancia medida

sobre el segmento del vector,

simboliza una magnitud.

Dirección.- Es el ángulo del vector

con respecto a un sistema de

referencia.

Sentido.- Indica cual es el origen y

cual es el extremo final del

segmento. Se lo denota con la

punta de la flecha del vector.

Los vectores representan magnitudes de carácter físico o vectorial como: la

velocidad, el desplazamiento, la fuerza, la

tensión, el torque, etc.

Si el origen del vector coincide con el del

sistema de referencia, se dice que se trata

de un vector de posición absoluta ( ),

mientras que si no lo hace, es decir su

origen se encuentra en cualquier punto

arbitrario en el espacio excepto en el

origen del sistema, se dice que se tiene a

un vector de posición relativa ( ).


1.3. Expresiones Vectoriales Los vectores tienen distintas formas de representación tanto en el plano

como en el espacio que dependen de los parámetros de medidas con

respecto al sistema de referencia.

1.3.1 Coordenadas Cartesianas.

También conocido como perpendicular o rectangular. Es el sistema en el que

a cada una de las componentes de la terna ordenada del vector ,

se le asigna un valor sobre los ejes x, y y z respectivamente.

Cada una de las componentes de la terna, es también asociada a un vector

normalizado o vector base que equivale siempre a 1 unidad. Los ejes x, y, z,

poseen cada uno un vector base característico, así:


Al combinar las coordenadas de una terna ordenada como la proyección

entre sus componentes con la de los vectores normalizados tenemos:

Segmentos dirigidos expresados por las coordenadas espaciales de sus puntos iniciales y finales Segmentos dirigidos asociados a los vectores base

Vector en el espacio tridimensional


1.3.2. Coordenadas polares en

Es un sistema de referencia en el que un

punto dado, está determinado por un

ángulo, y una distancia.

Por lo tanto cada punto del espacio

corresponde a un par ordenado ,

donde es la distancia de al origen o

polo y es el ángulo formado entre el eje

polar y la recta dirigida .

Como generalización de las coordenadas polares para un espacio

tridimensional, tenemos a las coordenadas cilíndricas y a las coordenadas

esféricas.

a. Coordenadas cilíndricas

Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. La

representación en coordenadas cilíndricas de un punto es ,

donde y son las coordenadas polares de la proyección de en el

plano polar, y es la distancia dirigida desde el plano polar hasta .


Al adaptar a un vector a este sistema

de coordenadas, entonces tendremos:

Donde

b. Coordenadas Esféricas

Es una generalización tridimensional de las coordenadas polares. En un

sistema de coordenadas esféricas se tiene un plano polar y un eje

perpendicular al plano polar, con el origen como el polo. Un punto es

localizado mediante tres números , donde , es la

medida del ángulo polar de la proyección de en el plano polar, y es la

medida no negativa del ángulo medido desde la parte positiva del eje a

la recta .


Entonces al expresar un vector en coordenadas esféricas tenemos:

Donde:

1.3.3. Coordenadas Geográficas

Las coordenadas geográficas son un sistema de referencia mediante el cual

se localiza un punto por medio de tres números , donde

el rumbo es el ángulo medido entre el eje y y la proyección del segmento

dirigido sobre el plano xy .


EJERCICIO

Determinar las expresiones vectoriales del vector posición relativa de un

avión situado en el punto con respecto a un barco situado en

el punto .

Coordenadas rectangulares

Coordenadas Cilíndricas


Coordenadas Esféricas

Coordenadas Geográficas


Clasificación de los Vectores

1. Vector Deslizante.- Es el vector que puede ser trasladado a través de su

línea de acción sin modificar su módulo, dirección y sentido.

2. Vector Libre.- Son aquellos que su punto de aplicación puede trasladarse

libremente por el espacio manteniendo sus condiciones originales.


3. Vectores Opuestos.- Son vectores colineales con igual módulo pero

sentido contrario.

4. Vectores Fijos.- Son vectores que no pueden cambiar su punto de

aplicación, es decir están ligados a un punto en particular.


Vector Unitario

Es un vector que tiene por módulo a la unidad, es decir, su módulo es igual a

1.

Características

1.- Lleva la información de la dirección del

vector al que se pertenece y de otros

vectores que compartan su línea de acción.

2.-No tiene unidad de medida

3.- Su módulo es igual a 1

4.- Sus coeficientes directores se llaman

cosenos directores

Los ángulos directores se obtienen de los cosenos directores. Los vectores

unitarios permiten direccionar o expresar en forma vectorial a los módulos

de otros vectores colineales.

Ejercicio


Determinar los vectores aceleración, velocidad y desplazamiento si se

tiene que: , , ,

, y que todos los vectores son colineales.

Ilustración Bidimensional


Operaciones Vectoriales

Suma y Resta. Existen dos métodos para realizar estar operaciones

vectoriales: el método gráfico y el método analítico.

Método gráfico.- Consiste en una interpretación geométrica de la suma de

vectores. Algunas de las variantes del método gráfico son: método del

paralelogramo, método del polígono y método del triángulo (un caso

especial del método del polígono).

1.- Método del paralelogramo.- Permite solamente sumar dos vectores.

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los

orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada

uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así

un paralelogramo. El vector resultado o resultante es la diagonal del

paralelogramo que parte del origen de ambos vectores


2.- Método del Polígono.- Consiste en disponer gráficamente un vector a

continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los

vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel

cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del

último.

Método Analítico.- Consiste en sumar los vectores entre sus respectivas

componentes para obtener un vector resultante mediante procedimientos

algebraicos.

Ejemplo


Productos

1. Multiplicación por un Escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el

producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del

vector.

Una de las aplicaciones de este producto es la representación de un vector

como su módulo por su unitario.

2.-Producto Escalar o Punto

También conocido como producto interior, es una operación vectorial entre

dos vectores que tiene como resultado un escalar.

Si son dos vectores de ,

el producto escalar entre ambos está definido por:

La fórmula no contiene los vectores unitarios debido a:


Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición:

De lo cual se deduce que:

Ejemplos:

Determinar y el ángulo formado entre los vectores sabiendo que

.


Utilizando el producto escalar determinar loa ángulos internos del

triángulo situado entre los vértices .


Proyección de un vector sobre otro

Por la interpretación geométrica del producto escalar tenemos que la

proyección de un vector sobre un vector está dada por las siguientes

fórmulas:

Existen 5 posibles casos de la proyección de un vector sobre otro:

1)

2)


3)

4)

5)


Ejemplo:

El módulo del vector es y su unitario es

y . Determine la proyección de sobre

.


Aplicaciones al movimiento Parabólico

Ecuaciones del movimiento parabólico

El producto escalar es usado en el movimiento parabólico principalmente

para calcular la aceleración tangencial, es decir la proyección de la

aceleración de la gravedad sobre el vector velocidad.


Ejemplo

Se dispara un proyectil con una y un ángulo de tiro de

sobre la horizontal. Determinar>

a) El tiempo de vuelo

b) El tiempo de subida

c) El alcance máximo

d) La posición del proyectil a los 5 s.

e) La velocidad del proyectil a los 5 s.

f) La aceleración centrípeta y tangencial a los 5 s.

a)


b)

c)

d)

=


e)

=

=

f)


2.-Producto vectorial o cruz

También conocido como producto externo, es una operación vectorial entre

dos vectores que tiene como resultado otro vector que es perpendicular a los

dos vectores anteriores.

Si , entonces el prudcto

vectorial está dado por:

O por un determinante de tercer orden:

Al aplicar el producto cruz a los vectores base tenemos:


Interpretación geométrica

La interpretación geométrica del producto cruz se relaciona con el área de

un paralelogramo.

Ejemplos

Determinar un vector perpendicular a los vectores y

.


Encuentre la superficie formada por y

Encuentre una formula para calcular el volumen de un paralelepípedo cuya

superficie de la base es y cuya altura es un vector que es también la

proyección escalar de la arista más próxima a un vector tal que

.

Como tenemos:

Al comparar (1) y (2) tenemos:

lo cual se conoce como el triple producto escalar.


Aplicación en el Movimiento Circular

Ecuaciones Básicas del Movimiento


Ejercicio

Una partícula animada de movimiento circular uniforme parte del punto

y gira alrededor del origen en sentido anti horario describiendo un

ángulo de en 6 segundos. Determinar:

a) La velocidad angular.

b) La posición final e inicial.

c) La velocidad tangencial final.

d) La velocidad tangencial inicial.

e) Las aceleraciones tangencial, centrípeta y total iniciales.

a)

b)


c)

d)


e)


Ejercicios de Aplicación de Geometría Vectorial

1.-Represente en

el triángulo localizado entre los puntos A(5;-2;7)cm,

B(-6;-1;4)cm y C(4;7;5)cm; y determine:

a) El perímetro del triángulo.

b) El área del triángulo

c) Los ángulos internos del triángulo.

d) Las coordenadas de los puntos D, E y F.

e) La medida de los ángulos comprendidos entre: EA y ED; DF y DC; CD y CF.

SOLUCIÓN

a)

Ilustración 1

Ilustración 2


b)

c)

Ilustración 3

Ilustración 4


°

d)

Los puntos D, E y F se encuentran todos sobre el plano xy

Por lo tanto:

D(5;-2;0) F(-6;-1;0)

E(4;7;0)

e)

Ilustración 5

Ilustración 6


2.-Dados los vectores y tal que ,

encuentre los valores de .

Si entonces:

3.- La proyección del vector sobre el plano es y el módulo del vector es .

Determinar:

a) Las dos posibles expresiones de .

b) La proyección del vector en el plano .

c) Los valores de los ángulos directores de .

Ilustración 7

Ilustración 8


a)

b)

c)

4.- Dado el vector , encuentre un

vector cuya magnitud sea de y su dirección sea

paralela a la dirección del vector .


5.- Calcule el ángulo que forman los vectores y , sin usar

ninguno de los productos vectoriales.

6.-La longitud del horero y del minutero de cierto reloj

son y , respectivamente. Determine la

posición del extremo del horero con respecto al extremo

del minutero:

a) A las 12h00

b) A las 4h00


a)

b)

7.- Dados los vectores , y determine el

vector unitario del vector .


8.- Dado el vector determine el vector proyección del vector sobre la recta

que forma un ángulo de 60° sobre el eje x positivo.

9.- La suma de dos vectores es y su diferencia es . Encuentre el ángulo

formado entre los vectores .


10.- Determine el ángulo que forma los vectores y , si los ángulos directores del vector

son y del vector son .


11. El módulo del vector es y su unitario es . El vector

comienza en el punto y termina en el punto . Determine:

a) El ángulo entre los vectores .

b) El vector proyección de sobre .

a)

b)


12.- Los dos vectores , cumplen: y . Determine la

proyección del vector en la línea de acción del vector .

13. Si , determine un vector unitario perpendicular tanto al

vectro como al vector .


14. Encuentre un vector de magnitud que al mismo tiempo sea perpendicular a los

vectores .


15.- El tirante de una torre está asegurado en A mediante un perno. La tensión en el cable es

de . Determinar:

a) Las componentes de la fuerza que actúa sobre el perno A.

b) Los ángulos directores que definen la dirección de la fuerza F.

a)

b)

16. La tensión en el cable es de . Determinar:

a) Los valores de las tensiones que se requieren en

para que los resultantes de la fuerza

ejercida sobre el punto A sea vertical.

b) El ángulo formado por los cables


b)


17. Una carga W está suspendida de tres cables. Como se muestra en la figura. Determinar el

valor de W si la tensión en el cable BD es de .


18. Una partícula gira con M.C.U.V. Si parte del punto con una y en 5

segundos alcanza una . Determinar gráfica y analíticamente en forma vectorial:

a) Posición angular final e inicial

b) Desplazamiento angular

c) Aceleración angular

d) Aceleración centrípeta, lineal y total inicial

e) Aceleración centrípeta, lineal y total final

a)

b)

c)


d)

e)

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