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CINEMATICA DE PARTICULAS

MRP; MCP; 2° LEY DE NEWTON

CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS

La cinemática es la parte de la dinámica que describe el movimiento de los cuerpos sin referencia a las fuerzas que lo causan ni a las que se generan a consecuencia del mismo. Es frecuente referirse a ella como a la “Geometría del movimiento”. El diseño de levas, engranaje, sistemas articulados y otros órganos de máquinas que controlan o producen movimientos previamente determinados y el cálculo de las trayectorias de vuelos de aviones, cohetes y naves espaciales, son algunos ejemplos de los problemas de la cinemática que ocupa la atención de los ingenieros. El conocimiento práctico profundo de la cinemática es un requisito previo imprescindible para estudiar cinética, en la que se estudia las relaciones entre el movimiento y las correspondientes fuerzas que lo causan o acompañan.

MOVIMIENTO RECTILINEO DE PARTICULAS

POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Movimiento rectilíneo

Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento rectilíneo, cuando dicha partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta.

POSICION

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen. La coordenada de posición se expresa en metros (m), según SI.

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Desplazamiento.

Cuando una partícula está en un punto P en un instante determinado , y al cabo

de un tiempo , la partícula se encuentra en otro punto P', la partícula ha

cambiado de posición y se ha producido un desplazamiento . El desplazamiento será positivo o negativo según si P' está a la derecha o a la izquierda de P.

Velocidad

Cuando una partícula se mueve a través de un desplazamiento positivo desde

x hasta x' durante un intervalo de tiempo , obtenemos la velocidad media de la partícula durante ese intervalo de tiempo. La unidad SI de la velocidad media es el metro por segundo (m/s).

Velocidad instantánea.

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos considerar el intervalo de

tiempo tan pequeño como sea posible, cuando el límite tiende a cero.

Pero dicho límite es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t, con lo cual obtenemos la ecuación de la velocidad en un instante determinado.

Si v > 0 => Significa que x aumenta, es decir, que la partícula se mueve en el sentido positivo.

Si v < 0 => Significa que x disminuye, es decir, que la partícula se mueve en sentido negativo.

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Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio.

La unidad SI de la aceleración media es .

Aceleración instantánea

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el

intervalo tiende a cero, que no es otra cosa que la definición de la derivada de v con respecto a t.

 La aceleración, al igual que la velocidad, es representada por un número algebraico que puede ser positivo o negativo.

Si a > 0 => Indica que la velocidad de la partícula aumenta, con lo cual, la partícula se mueve cada vez más rápido en el sentido positivo, ó cada vez más lento en el sentido negativo.

Si a < 0 => Expresa que la velocidad de la partícula disminuye, es decir, la partícula se mueve cada vez más lenta en el sentido positivo, ó bien, cada vez más rápida en el sentido negativo.

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DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

Existen tres tipos de movimientos comunes de la aceleración en función de las variables x, v y t, los cuales son los siguientes:

a = f (t) La aceleración es una función dada de t.

Partiendo de estas dos ecuaciones:

(1) (2)

Despejando dv en la ecuación (1), y sustituyendo a por f (t) obtenemos:

Integrando ambos miembros, resulta la ecuación de v en función de t.

Para definir el movimiento de la partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, es decir, el valor de Vo de la velocidad y el valor de Xo de la coordenada de posición cuando t = 0. Si sustituimos las integrales indefinidas por integrales definidas con unos límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales, resulta:

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Despejando dx, de la ecuación (2) y sustituyendo v, por la ecuación anteriormente obtenida, se tiene:

Integrando ambos miembros, el primero respecto a x entre x = xo y x = x, y el segundo respecto a t entre t = 0 y t = t, obtenemos la coordenada de la posición en función de t, y con lo cual el movimiento queda completamente determinado.

a = f(x). La aceleración es una función dada de x.

Partiendo de las ecuaciones (1) y (2), y despejando dt en la ecuación (1) y sustituyendo en la ecuación (2), resulta:

Sustituyendo a por f(x):

Integrando esta ecuación, y denotando Vo y Xo, respectivamente los valores iníciales de la velocidad y la coordenada de posición, tenemos:

Despejando dt de la ecuación (2), e introduciendo aquí el valor de v recién obtenido, resulta:

A continuación, integramos ambos miembros obtenemos la relación que existe entre x y t.

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a = f (v). La aceleración es una función dada de v.

Partiendo de estas las ecuaciones (1) y (2), y sustituyendo a por f(v), se obtienen las siguientes relaciones:

Integrando la primera ecuación se obtiene una relación entre v y t; integrando la segunda, se obtiene una relación entre v y x. Cualquiera de ambas puede emplearse en combinación con la ecuación 1, para obtener la relación entre x y t que caracteriza el movimiento de una partícula.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Movimiento Rectilíneo Uniforme.

Este tipo de movimiento es aquel que describe una partícula cuando se desplaza a través de una línea recta y su velocidad siempre va a ser constante, con lo cual, la aceleración de la partícula es nula para todos los valores de t.

 

Integrando esta ecuación se obtiene la coordenada de la posición x:

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado

Este tipo de movimiento se presenta cuando la velocidad cambia de manera uniforme, es decir, aumenta o disminuye lo mismo cada segundo. Por tanto, la aceleración es constante. La aceleración puede ser positiva, si la velocidad va aumentando, o negativa, si disminuye.

Integrando la ecuación anterior, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante:

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Partiendo de la siguiente ecuación de la velocidad, y sustituyendo v por la última expresión obtenida, e integrando ambos miembros, resulta:

IMPORTANTE:

Estas tres ecuaciones se emplean únicamente cuando la aceleración de la partícula es constante. Si la aceleración es variable, entonces el movimiento de la

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partícula debe determinarse a partir de las ecuaciones fundamentales indicadas en el punto anterior.

Un caso práctico muy importante de movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de un cuerpo de caída libre. La aceleración de un cuerpo que cae

libremente (habitualmente representada por g) vale .

MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS

VECTOR DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Movimiento curvilíneo

Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una línea que no es recta.

Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector de posición. Vector velocidad. Vector aceleración.

Vector posición r en un instante t

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Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se

encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado en el intervalo de tiempo

Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector

desplazamiento Ar entre el tiempo que ha empleado en desplazarse .

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, es decir, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une

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sucesivamente los puntos P, con los puntos , , tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

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El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en

dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia .

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de

velocidad y el intervalo de tiempo , en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

 Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

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La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Vamos a determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante en un problema de geometría, tal como se ve en la

figura.

1. Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y. 2. Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la

aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

3. Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

4. Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

5. Se determina el ángulo entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes:

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DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

 Estudiaremos la derivada de una función vectorial y se establecerán algunas reglas para la derivación de sumas y productos de funciones vectoriales.

P (u) => P (u) es una función vectorial de la variable escalar u, es decir, el

escalar u define por completo el módulo, dirección y sentido del vector .Si representamos el vector P en un eje de cartesianas, se va a representar siempre con un mismo origen O, haciendo variar el escalar u, y el extremo de P describirá una curva en el espacio.

Dividiendo ambos miembros por Au, y haciendo tender a cero Au, obtenemos la derivada de la función vectorial P (u).

  COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA

ACELEARACIÓN

Partimos del vector de posición r de una partícula en sus componentes rectangulares:

Sabiendo que las coordenadas x, y, z son funciones de t y derivando la ecuación anterior dos veces, obtenemos la velocidad y la aceleración:

Movimiento de un proyectil

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Las componentes de la aceleración para el movimiento de un proyectil, teniendo en cuenta que se desprecia la resistencia del aire, son:

Sabiendo que, , y0, ,

son las coordenadas del arma y , , , son las componentes de la velocidad inicial V0 del proyectil, e integrando dos veces respecto a t las ecuaciones anteriores de la aceleración, obtenemos las ecuaciones del movimiento:

Si el proyectil es disparado desde el origen O, en el plano

xy, se tiene que y y las ecuaciones del movimiento se reducen a:

Estas ecuaciones, indican que el proyectil permanece en el plano xy y que su movimiento en dirección horizontal es uniforme, mientras que en su dirección vertical es uniformemente acelerado.

Por tanto, el movimiento de un proyectil resulta de dos movimientos rectilíneos independientes, que pueden visualizarse fácilmente imaginando que el proyectil

es disparado verticalmente con una velocidad inicial desde una plataforma

que se mueve con una velocidad horizontal constante

La coordenada x del proyectil, es igual a la en todo instante a la distancia recorrida por la plataforma

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Las ecuaciones que determinan las coordenadas x e y de un proyectil en cada instante son las ecuaciones paramétricas de una parábola. Por tanto, la trayectoria de un proyectil es parabólica.

Importante: La definición hecha anteriormente, deja de ser válida cuando se tiene en cuenta la resistencia del aire o la variación de la aceleración de la gravedad con la altura.

SEGUNDA LEY O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA

La segunda ley del movimiento de Newton dice que: el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

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F= ma

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir:

F = dp/dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d (m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

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y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

Tal y como habíamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = dp/dt

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

Ecuaciones de movimiento

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

e es el desplazamiento del móvileo es la posición inicialt es el intervalo de tiempo que estamos considerandovo es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)vf es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)a es la aceleración

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:

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   e = eo + vo·t + ½·a·t²   

vf = vo + a·t

Si el móvil parte del origen de coordenadas

Significa que la posición inicial eo del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

   e = vo·t + ½·a·t²   

Si el móvil parte del reposo

Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

   e = ½·a·t²   

vf = a·t

Si el movimiento es uniforme

Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.

Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

   e = vo·t   

vf = vo

Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.

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