Cinemtica de Partculas 1.1 Introduccin 1.2 Movimiento rectilneo 1.2.1 Movimiento uniforme 1.2.2 Movimiento uniformemente variado 1.2.2.1 Cada libre de los cuerpos 1.3 Movimiento de varias partculas 1.3.1 Movimiento relativo 1.3.2 Movimiento dependiente 1.4 Movimiento curvilneo 1.4.1 Ecuaciones de movimiento curvilneo 1.4.2 Tiro parablico 1.4.3 Componente tangencial y normal 1.4.4 Componente radial y transversal

Cinemtica de Partculas 1.2 Movimiento rectilneo Se denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvil x en el instante t. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.

PosicinLa posicin x del mvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una funcin x=f(t).

Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo t, el mvil se encuentra en posicin x, ms tarde, en el instante t' el mvil se encontrar en la posicin x'. Decimos que mvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

VelocidadLa velocidad media entre los instantes t y t' est definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeo como sea posible, en el lmite cuando t tiende a cero.

Pero dicho lmite, es la definicin de derivada de x con respecto del tiempo t. Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio Una partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instante t est dada por x=5t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m t (s) x (m) x=x'-x 3 2.1 2.01 2.001 2.000 1 ... 46 23.05 21.2005 21.020005 21.00200005 ... 25 2.05 0.2005 0.020005 0.00200005 ...

t=t'-t m/s 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 ... 0 25 20.5 20.05 20.005 20.0005 ... 20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo t0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posicin del mvil en el instante t es x=5t2+1 La posicin del mvil en el instante t+ t es x'=5(t+ t)2+1=5t2+10t t+5 t2+1 El desplazamiento es x=x'-x=10t t+5 t2 La velocidad media es

La velocidad en el instante t es el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicin x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleracin

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del mvil es v, y en el instante t' la velocidad del mvil es v'. Se denomina aceleracin media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.

La aceleracin en el instante t es el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definicin de la derivada de v.

Ejemplo: Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de

La velocidad La aceleracin del mvil en funcin del tiempo.

Dada la velocidad del mvil hallar el desplazamientoSi conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del mvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del mvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una grfica de la velocidad en funcin del tiempo, el rea en color azul mide el desplazamiento total del mvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posicin x del mvil en el instante t, sumando la posicin inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curva v-t o mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.

Ejemplo: Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. est situado en x0=4 m del origen. Calcular la posicin x del mvil en cualquier instante.

Dada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidadDel mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del mvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en funcin del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleracin en funcin del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el rea bajo la curva a-t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo: La aceleracin de un cuerpo que se mueve a lo largo de una lnea recta viene dada por la expresin. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del mvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresin de la velocidad del mvil en cualquier instante

Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilneo son

1.2.1 Movimiento uniforme Un movimiento rectilneo uniforme es aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero. La posicin x del mvil en el instante t lo podemos calcular integrando

o grficamente, en la representacin de v en funcin de t. Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

1.2.2 Movimiento uniformemente variado

Un movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integracin, o grficamente.

Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del mvil entre los instantes t0 y t, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

1.2.2.1 Cada libre de los cuerpos Para entender el concepto de cada libre de los cuerpos, veremos el siguiente ejemplo: Si dejamos caer una pelota de hule macizo y una hoja de papel, al mismo tiempo y de la misma altura, observaremos que la pelota llega primero al suelo. Pero, si arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el experimento observaremos que los tiempos de cada son casi iguales. El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre, para el que se pueda pasar por el otro la resistencia del aire, se resume entonces mediante las ecuaciones: a). v = -gt + v0 b). vm = (vo + v)/2 c). y = -0.5 gt + vo t + y0 d). v= -2gt(y - y0 ) Trayectoria. Es la sucesin de puntos por los que pas el mvil en su recorrido y su valor en el Sistema Internacional es esa distancia, medida sobre la trayectoria, en metro. Es el recorrido total. Posicin. Supuestos unos ejes de coordenadas en el punto de lanzamiento, se llama posicin a la ordenada (coordenada en el eje y) que ocupa en cada instante el mvil. Desplazamiento. Restando de la ordenada de la posicin la ordenada del origen tenemos el desplazamiento. Se representa por un vector con todas las caractersticas del mismo: modulo, direccin, sentido, punto de aplicacin

1.3 Movimiento de varias partculas

1.3.1 Movimiento relativo Cuando varias partculas se mueven independientemente a lo largo de la misma lnea, pueden escribirse ecuaciones de movimiento independiente para cada partcula. Siempre que sea posible, el tiempo debe registrarse desde el mismo instante inicial para todas las partculas y los desplazamientos deben medirse a partir del mismo punto de referencia y en la misma direccin.

Ejemplo 1Un ro fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (ro abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (ro arriba). Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s. Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.

El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)

El tiempo total es

Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.

Ejemplo 2En esta seccin el barco atraviesa el ro. Pueden ocurrir dos casos:

Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea mayor que la de la corriente c Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea menor que la de la corriente c

Primer caso: v>c

Un ro fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.

Cmo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O? Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra. Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte. El resultado de la suma V=v+c es Vj=(vcos i+vsen j)+ci o bien, 0=c+vcos V=vsen

El ngulo se calcula a partir de la primera ecuacin cos=-c/v. La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuacin, o bien, como el cateto V del tringulo rectngulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.

El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje ser

Con los datos del problema,

La velocidad del bote respecto de tierra es de . El ngulo que forma la proa del bote con la direccin este-oeste es =138.6. El tiempo total de viaje ser t=237.6=75.6 s

Segundo caso: v