cap 1 cinemática de partículas 2015

Mecánica

Estudio del movimiento

Cap. 3

Movimiento

Cambio de posición según(punto de vista 4D):

1.- Referencia espacial (objeto 3D)

2.- Referencia temporal (Instante 1D)

Es la suma de dos vocablos latinos: el verbo “movere”, que es sinónimo de “mudar de un lado a otro”, y el sufijo “-miento”, que es equivalente a “acción y efecto”

Mecánica Clásica: Movimiento de cuerpos no muy pequeños y a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

Mecánica Relativista:Movimiento de cuerpos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Mecánica Cuántica:Movimiento de cuerpos pequeños

Mecánica Clásica: Se basa en:

Principios generales establecidos:• Conservación de la masa• Conservación de la energía• Conservación de la carga eléctrica• Relatividad de Galileo (Encerraos con un amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y llevad con vosotros moscas, mariposas, y otros pequeños animales voladores... colgad una botella que se vacíe gota a gota en un amplio recipiente colocado por debajo de la misma... haced que el barco vaya con la velocidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no haya fluctuaciones en un sentido u otro.... Las gotas caerán... en el recipiente inferior sin desviarse a la popa, aunque el barco haya avanzado mientras las gotas están en el aire... las mariposas y las moscas seguirán su vuelo por igual hacia cada lado, y no sucederá que se concentren en la popa, como si cansaran de seguir el curso del barco...)

• Leyes de Newton. • Definiciones propias(Lenguaje).

Planteamiento de problemas de mecánica

• Identificar el objeto de estudio

• Definir el modelo apropiado al problema (Cantidades físicas afines)

• Definición del Sistema de Referencial. Concepto de movimiento. (SR)

• Aplicar al modelo los principios, las leyes y las definiciones Obtener las relaciones existentes entre las cantidades físicas(ecuaciones).

• Resolver las ecuaciones para obtener las respuestas a los problemas planteados.

Modelo

• Representación del objeto de estudio, apropiada para los requerimientos del problema.

• Ejemplos de modelos:• Modelo de partícula: Cuerpo sin dimensiones, representado

por un punto (CF:posición, velocidad, trayectoria,…).• Modelo de cuerpo rígido: Cuerpo formado por varias

partículas(puntos) que conservan su distancia en el movimiento(CF: Ruta, Momento de Inercia, Momento angular,…).

• Modelo de fluido: Cuerpo donde sus partículas pueden deslizarse por capas(CF: densidad, presión,…).

• Modelo de gas ideal: Cuerpo donde sus partículas se mueven libremente sin interaccionar entre ellas(Numero de partículas, Volumen, viscosidad,…).

Cuerpo Rígido en rotación

Modelo de partícula

Sistema Referencial:

• Referencia espacial

• Referencia temporal

• Lenguaje

• Sistema de Referencia Inercial (Galileo): Para este observador el cuerpo no cambia su movimiento en ausencia de interacciones. • Sistema de Referencia No Inercial: Para este observador el cuerpo puede cambiar su movimiento sin la necesidad de interaccionar o con interacciones puede presentar constancia de su movimiento.

Objetos del sistema: Árbol, escuela, campana, reloj, estudiantes, pelota

Planteamiento de un problema de Mecánica

Objeto de Estudio: Pelota en movimiento

Modelo a usar: modelo de partícula (posición, velocidad,…)

RE ObservadorRT Reloj

Lenguaje Coordenadas Rectangulares

y

x

z

SR:

Lenguaje de la Mecánica de partículas

Cantidades Físicas en la Cinemática

ttr

tr

)(: trposición {𝑥=5 sin (4 𝑡)𝑦=5 cos (4 𝑡)

𝑧=3 𝑡

{𝑥=3sin (𝑡)𝑦=3cos (𝑡)

{𝑟=5 cos (3 t)𝜃=3 𝑡

{𝑟=5 cos (3 𝑡)𝜃=3𝑡𝑧=𝑡

{𝑠=3 𝑡2−5𝜃= 𝑓 (𝑡)

(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)

(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)

Ubica al objeto en el espacio-tiempo



ttr

tr

)(: trposición

(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)

(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)

Desplazamiento:

r

)()( trttrr

(0,-4,5)Mide cambios de posición del objeto



ttr

tr

)(: trposición

(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)

(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)

Desplazamiento:

r

r

Cantidades diferenciales:



ttr

tr

)(: trposición

(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)

(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)

Desplazamiento:

r

r

dr

)(:lim0

tvvelocidadtr

dtdr

t

Mide rapidez de movimiento y orientación de movimiento



{𝑥=5 sin (4 𝑡)𝑦=5 cos (4 𝑡)

𝑧=3 𝑡

{𝑥=3sin (𝑡)𝑦=3cos (𝑡)

{𝑟=5 cos (3 t)𝜃=3 𝑡

{𝑟=5 cos (3 𝑡)𝜃=3𝑡𝑧=𝑡

{𝑠=3 𝑡2−5𝜃= 𝑓 (𝑡)

Derivada de una función en un punto Para una función y=f(t) y un tiempo t=a, se define la derivada de f(t) en t=a como el límite siguiente, si es que existe,

Esto lo realizaremos de la siguiente manera:

f ´ (a )=lim𝑡→𝑎

𝑓 (𝑡 )− 𝑓 (𝑎)𝑡−𝑎

=𝑑𝑓𝑑𝑡

(𝑎)

Sea la función f(t) = t2 -2t -1. Queremos calcular la derivada en el punto t=2.

Evaluamos f(t) en t=2s: f(2) = -1

Derivada de funciones

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 : lim𝑡→ 2

𝑓 (𝑡 )− 𝑓 (2)𝑡−2

lim𝑡→ 2

𝑓 (𝑡 )− 𝑓 (2)𝑡−2

=lim𝑡→ 2

𝑡=2→2=𝑑𝑓𝑑𝑡

(2)

Para otra función:


𝑔 (𝑡 )=sin (𝑡 )

La derivada en t=O

Evaluamos g(t) en t=O : g(0) =sin(O)=0

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 : lim𝑡→ 0

𝑔 (𝑡 )−𝑔 (0)𝑡−0

lim𝑡→ 0

𝑔 (𝑡 )−𝑔 (0)𝑡−0

=lim𝑡→ 0

sin (𝑡)

𝑡=11=

𝑑𝑔𝑑𝑡

(0)

Para la función f(t) = t2 -2t -1. Calculemos las derivadas en t=1, en t=3 y en general para cualquier t*.


Comprobar estos resultados:


Función f (Primitiva) Función f´ (Derivada de f)

Atn +C nAt n-1, para todo n ≠ 0

Ae t + C Ae t

Aln t + CA / t

At-n + C -nA t–n-1

Acos t + k - Asin t

Asin t + k Acos t

a t, a>0 ln a . a t

t1/2 ½ t-1/2

At + b A

Comprobar estos resultados:

AntiDerivada de funciones

Función f (Derivada) Función (Primitiva de f)

Atn At n+1/(n+1)+C, n ≠ -1

Ae t Ae t +C

A/t Aln(t)+C

At-n A t–n+1/(-n+1)

Acos t Asin t+C

Asin t -Acos t+C

a t, a>0 a t/ln a

A t-1/2 2A t1/2+C

A At+C

Propiedad lineal de la derivadaPara funciones dentro del dominio de las derivadas

dx

dg

dx

df))x(g)x(f(

dx

d dx

dfAxAf

dxd )(

dx

dfg

dx

dgf)x(g)x(f

dx

d

2g/)dx

dgf

dx

dfg()x(g/)x(f

dx

d

dx

df

df

dg))x(f(g

dx

d

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Regla de la cadena


Otras PropiedadesSi f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es crecienteSi f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decrecienteSi f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un posible extremoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un máximoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un mínimoCurvaturaSi f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es cóncava hacia arribaSi f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es cóncava hacia abajoSi f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.


EJERCICIOS1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza?2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros).3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de area maxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h




ttr

tr

)(: trposición

(4,5 ,−2)(𝑡=5 𝑠)

(4,1,3)(𝑡=8 𝑠)r

dr tV

dt

dr

t

rtVvelocidad

t

lim

0

)(:

mV r

t

rVmediavelocidad m

:

Mide rapidez de movimiento y orientación de movimiento



ttr

tr

)(: trposición

r

dr tV

dtrd

vvelocidad:

ttV

)(: ttVvelocidad

)()( tVttVV tV

amedianaceleració m :

dtdV

tanaceleració )(:Mide rapidez de cambio de la velocidad y la dirección del cambio de la velocidad

Problemas de Cinemática

Posición (t)

Velocidad (t)

Aceleración (t)

P. Dire

cto P.

In

vers

o

Con

d.

Del p

rob

lem

a

EJERCICIO1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.

)(tx

)(ty

)(tz )(),(),(: tztytxposición

,)(:dtdx

tVvelocidad x

dtdy

tVy )(

dtdz

tVz )(

dtdV

tanaceleració xx )(:

dt

dVta y

y )(

dtdV

ta zz )(

y

x

zzyxentodesplazami ,,:

Coordenadas Rectangulares

,)(:dtdx

ttVvelocidad x

dtdy

ttVy )(

dtdz

ttVz )(

EjercicioSi el vector posición de una partícula esta dada por:

k)14t4(jt)7(ti)(t(t)r 232 t

Hallar:1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s7) Su aceleración tangencial en t=2s8) Su aceleración normal en t=2s9) Su radio de curvatura en t=2s

,)(: Vdtds

tVvelocidad

dtdV

taT )(

Ta

a

22

TNaaa

n

0s0s

nV

dtd

Vtanaceleració N 2

)(:

Na

n

)(: tsposición

0s

Coordenadas Naturales

)()(: Vdtd

dtdV

tanaceleració

Coordenadas Polares (2D)

Polo Eje polar

r

𝜃

Posición

Velocidad angular:

El ángulo q en radianes se define como el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r.

Aceleración angular,

Def. Velocidad :

𝑣𝑟=𝑑𝑟𝑑𝑡

𝑣𝜃=𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡

=𝑟 𝜔

re

e

re

e

Coordenadas Polares (2D)

Polo Eje polar

r

𝜃

Aceleracion

𝑑𝑒𝑟𝑑𝑡

=𝑑𝑒𝑟

𝑑𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡

=𝜔𝑒𝜃 )

Coordenadas Cilíndricas (3D)

Polo Eje polar

r

𝜃

Posicion 𝑑𝑒𝜌

𝑑𝑡=𝑑𝑒𝜌


=𝜔𝑒𝜃

𝑣 𝜌=𝑑𝜌𝑑𝑡

𝑣 𝜃=𝜌𝜔𝑣 𝑧=𝑑𝑧𝑑𝑡

)

𝜌

Velocidad

𝑒𝜌𝑒𝜃

𝑘z

Aceleracion

𝑎𝜌=(𝑑2𝜌𝑑𝑡 2 −𝜌𝜔

2)𝑎𝜃=(2𝜔 𝑑𝜌𝑑𝑡

+𝜌 𝑑𝜔𝑑𝑡 )𝑣𝑧=

𝑑2𝑧𝑑𝑡2

Coordenadas Esféricas (3D)

Polo Eje polar

r

𝜃

Posicion

𝜑

Velocidad

𝑒𝑟𝑒𝜃

𝑒𝜑

z

𝜑=

𝑣𝑟=𝑑𝑟𝑑𝑡

,𝑣 𝜃=𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡

,𝑣𝜑=𝑟𝑑𝜑𝑑𝑡

Acceleration

𝑎𝑟=𝑑2𝑟𝑑𝑡 2 −𝑟 (𝑠𝑖𝑛𝜑 [ 𝑑𝜃𝑑𝑡 ]

2

+[ 𝑑𝜑𝑑𝑡 ]2)𝑑𝑒𝜑𝑑𝑡

=𝑑𝑒𝜑


+𝑑𝑒𝜑

𝑑𝜑𝑑𝜑𝑑𝑡

=𝑒𝜃𝑑𝜃𝑑𝑡

−𝑒𝑟𝑑𝜑𝑑𝑡

𝑎𝜃=(2 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑑𝜃𝑑𝑡 +𝑟 𝑑2𝜃𝑑𝑡2 +𝑟

𝑑𝜃𝑑𝑡

𝑑𝜑𝑑𝑡 )

𝑎𝜑=(2 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑑𝜑𝑑𝑡 +𝑟 𝑑2𝜑𝑑𝑡 2 )−𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 [ 𝑑𝜃𝑑𝑡 ]

2

Una particular se mueve sobre una esfera describiendo un circulo.

Ejercicio

q

j REncuentre velocidad en cualquier tiempo:

𝑟=𝑅𝑒𝑟

𝑣=𝑑 𝑟𝑑𝑡

=𝑅𝑑𝑒𝑟

𝑑𝑡=𝑅𝜔𝑒𝜃

𝑣

Encuentre aceleracion en cualquier tiempo:

𝑎=𝑑𝑣𝑑𝑡

=𝑅𝜔𝑑𝑒𝜃

𝑑𝑡=−𝑅𝜔(𝜔 sin (𝜋4 ))𝑒𝑟−𝑅𝜔(𝜔cos ( 𝜋4 ))𝑒𝜑

Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

Ejercicio

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4

m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Ejercicio

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil

vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del

móvil en cualquier instante.

Ejercicio

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

15102150

)15;0()0(102

102

21

21

22

tvtvCC

tvCtvCtv

msamsa

yx

yx

yx

ttytx

CCyx

CttyCtx

155

000)0(0)0(

155

22

43

42

32

Problema indirecto

Ejercicio

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

mtxd

stttmy

x 25)5(

551550 *2**

mtyh

sttttvy

25,6150)5,1(5)5,1(1550)(

5,1101500)(2

max

Distancia horizontal

Altura máxima

Ejercicio

Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:

a) El tiempo que permanece en el aire.

b) Su posición en el instante t = 5 s.

c) La altura máxima alcanzada.

d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s

e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s

Coordenadas Polares: Posición

Velocidad angular:

velocidad radial=0 velocidad azimutal

Movimiento circular

𝑟 (𝑡 )=𝑅=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡→𝑑𝑟𝑑𝑡

=0→𝑣𝑟=0

Aceleracion: aceleracion radial aceleracion azimutal

𝑎𝜃

𝑎𝑟

𝑣

Velocidad:

Movimiento circular uniforme

Movimiento circular

𝜔=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑣=𝑑𝑟𝑑𝑡𝑒𝑟+𝑟 𝜔𝑒𝜃=𝑅𝜔𝑒𝜃

𝑣

𝑎=(𝑑2𝑟𝑑 𝑡2 −𝑟 𝜔

2)𝑒𝑟+(𝑟 𝑑𝜔𝑑𝑡

+2𝜔 𝑑𝑟𝑑𝑡 )𝑒𝜃=−𝑅𝜔

2𝑒𝑟

𝑎𝑟

Movimiento circular uniformemente acelerado

Movimiento circular

𝑣=𝑅𝜔𝑒𝜃=𝑅 [𝜔0+𝛼𝑡 ]𝑒𝜃

𝑣

𝑎= (−𝑟 𝜔2 )𝑒𝑟+(𝑟 𝑑𝜔𝑑𝑡 )𝑒𝜃=−𝑅𝜔2𝑒𝑟+𝑅𝛼𝑒𝜃

𝛼=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑎𝜃

𝑎𝑟

EjemploUna rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manera uniforme en 4s. Calcular:

1. La aceleración angular ω=ω0+αt En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0 α=-π rad/s2

El ángulo girado hasta este instante es

2. La posición y la velocidad angular del móvil en el instante t=1 s θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad ω=4π+(-π)·1=3π rad/s La velocidad lineal v=ω·r v=0.1·3π=0.3π m/s

3. La componente tangencial de la aceleración es at=α·r at=-0.1π m/s2

4. La componente normal de la aceleración es

Movimiento circular

2211

2211

rrvts

rrvc

ba

bicib

babbbab

aacbici

rr

r

v

rr

rrvv

rvv

1

111

1

Movimiento circular acoplado por banda

11

1

1

rr

vvrv

rv a

aa

aa

Movimiento circular

Movimiento circular acoplado por el centro

2

112221121 r

rrrvv

Bicicleta

•Sean dos observadores O y O’ que se desplazan uno respecto al otro con un movimiento rectilíneo.

O

X

Y

Z

Y’

Z’

X’O’R

Ov

r

P(x,y,z) (x’,y’,z’)r

La relación entre la posición de la partícula descrita por O y O’ es

RrrRrr

Relatividad del movimiento (Galileo)

Derivando respecto a t=t´ la expresión anterior

O

vvvdt

Rd

dt

rd

dt

rd

Y derivando nuevamente

OO

aaa

dt

vd

dt

vd

dt

vd

Si O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene que

0OO actev

aa

vvv

Rrr

O

Transformaciones de Galileo

Sistemas de Referencia Inercial

•Los relojes de los dos observadores O y O’ funcionan de igual manera. El tiempo es igual para ambos.


O

X

Y

Z

Y’

Z’

X’O’R

Ov

r

r P(x,y,z)

(x’,y’,z’)

Si el sistema O´ tiene aceleración no es un Sistema de Referencia Inercial

Un avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?


𝑣𝐴 /𝑇

𝑣𝐴 /𝑉

𝑣𝑉 /𝑇

𝑣𝐴 /𝑇

𝑣𝐴 /𝑉𝑣𝑉 /𝑇

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se

dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).

• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es , es decir de 7 m/s.Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es-1 m/s.

El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)El tiempo total es

Con los datos t=800/7=114.3 s.


Un río fluye hacia el este con velocidad de vA/T =3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de vBA =4 m/s.• ¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la

orilla opuesta enfrente de O?• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P

y regresar de nuevo al punto de partida O.El vector velocidad vB/T del barco debe apuntar hacia P. El resultado de la suma vB/T=vB/A+vA/T es vBT =vB/A cosθ0=vA/T-vB/A senθ

smvvvvvv ATBABTBAATBT /.65291622222

5484

652.

.cos

svv

d

v

dt

ATBABT

4775652

20022

22.

.


cap 1 cinemática de partículas 2015

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