dinámica. cinemática de partículas

7/17/2019 Dinámica. Cinemática de partículas.

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UNIDAD 1

CINEMATICA DE PARTICULAS.



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INTRODUCCION

La dinámica forma parte de la mecánica que es una de las ramas en que se

divide la física para su estudio.Podemos representar con el siguiente diagrama las subdivisiones de lamecánica.

La estática estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo. La dinámicaestudia los cuerpos en movimiento.

La cinemática es la parte de la dinámica que estudia la geometría delmovimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que generan dichomovimiento.

La cinética es la parte de la dinámica que estudia el movimiento de loscuerpos, considerando lo que causa dicho movimiento, o sea hay que tomaren cuenta las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.

Tanto la cinemática como la cinética se rigen primordialmente por las leyesde Newton:

1a Ley: Todo cuerpo conservará su estado de reposo o movimiento mientrasno actúe sobre él una fuerza que altere dicho estado.

2a Ley. La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional alproducto de la masa del cuerpo por su aceleración.

3a

Ley: A toda acción (fuerza) que actúa sobre un cuerpo se opone unareacción igual y de sentido contrario



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UNIDADES UTILIZADAS

.

En dinámica se utiliza tanto el sistema internacional de medidas como elsistema ingles.

LONGITUD METRO (m) PIE (ft)

TIEMPO SEGUNDO SEGUNDO

FUERZA NEWTON LIBRA

MASA KILOGRAMO SLUG

EN TODAS ESTAS UNIDADES PUEDEN UTILIZARSE SUS MULTIPLOSY SUBMULTIPLOS. CONFORME SE AVANCE EN EL ESTUDIO SE DARANLAS EQUIVALENCIAS DE CONVERSION.

MOVIMIENTO RECTILINEO

Comenzaremos estudiando cinemática, considerando el movimiento de loscuerpos en línea recta, este se denomina movimiento rectilíneo y es elmovimiento más simple de un cuerpo o partícula.

Una partícula se define como una porción pequeña de materia tal que sudimensión o tamaño no tiene consecuencias en el análisis de un problema

físico.En la mayor parte de los problemas que se presenten consideraremos comopartículas a cuerpos de tamaño finito, como cohetes, proyectiles, yvehículos.

En general la cinemática de una partícula se caracteriza especificando laposición, la velocidad y la aceleración de la partícula.



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La posición, es el lugar en donde se encuentra la partícula, la velocidad es larapidez con que se mueve y si la velocidad de la partícula aumenta odisminuye entonces tiene aceleración.

Para comenzar consideraremos el movimiento absoluto de una partícula, estoes el movimiento medido con respecto a un sistema coordenado fijo.

POSICION (x).

Consideraremos la posición de una partícula con respecto al origen de unsistema de ejes coordenado.

En un instante t la partícula se encuentra en el punto P, situado a unadistancia x del origen (la posición de la partícula es x); un instante t+Δt

después la partícula se movió hasta alcanzar la posición P’ (x+Δx).

Podemos hacerlas siguientes consideraciones:

1º.- La posición de una partícula queda determinada por su distancia al puntode referencia, en este caso el origen del sistema coordenado.

2º.- Cuando la partícula P se desplaza lo hace con una velocidad v que es unacantidad vectorial.

3º.- Si x es positiva la partícula está a la derecha del origen y si es negativala partícula está a la izquierda del origen.

DESPLAZAMIENTO (Δx)

Se define como el cambio de posición de la partícula. Cuando la posición final

P’ de la partícula está a la derecha de P, Δx es positivo. Cuando P’ queda a laizquierda de P, Δx es negativo.



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LA DISTANCIA RECORRIDA POR LA PARTÍCULA ES DIFERENTE DELDESPLAZAMIENTO.

La distancia recorrida por la partícula es la longitud total de la trayectoria

de la partícula y siempre es positiva.Todas estas consideraciones se hacen cuando la partícula se mueve a lolargo de una trayectoria recta, por lo que a este tipo de movimiento se ledesigna como MOVIMIENTO RECTILINEO.

VELOCIDAD (v).

Si consideramos que la partícula se mueve con un desplazamiento positivo

Δx desde P hasta P’ durante un intervalo Δt, entonces la velocidad media dela partícula se define como:

Si tomamos valores mas y mas pequeños de Δt y por consecuencia de Δx,

obtendremos la velocidad instantánea, definida como:

v

Esto es: vdx

Tanto la velocidad media como la velocidad instantánea pueden tenervalores positivos o negativos.

Sus unidades son: v ms t

s

ACELERACION. (a)

Se define aceleración media como:

am v

t



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Y la aceleración instantánea será:

a t

v

t

advdt

La aceleración también podemos expresarla considerando:

Si v dx

dt entonces a

ddxdt

dt

a x

dt

También sabemos que: v dx

dt despejando dt tenemos:

dt dx

v

Sustituyendo en la expresión de aceleración

a

dv

dt dv

dxv v

dv

dx

Si a es positiva; indica que la velocidad aumenta.

Si a es negativa; indica que la velocidad disminuye.

Generalmente la posición de una partícula se puede representar en función

del tiempox (t)

Ejemplo:

x

como v dx

dt entonces v t t

y a t – 8



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a las expresiones anteriores se les llama: ecuaciones del movimiento deuna partícula.

Si tenemos a la posición x, la velocidad v, y la aceleración a como funciones

del tiempo se dice que el movimiento de la partícula está caracterizado, osea que es posible conocer su posición x, velocidad v, y aceleración a encualquier instante.

Ejemplo:

Una partícula se mueve en línea recta y su posición está dada por x = 2t3 – 4t2 + 3, donde x está en metros y t en segundos.

Calcular: a) Los tiempos en los cuales v = 0 y a = 0b) El desplazamiento neto entre t = 0 y t = 2s

c) La distancia total recorrida en el mismo intervalo del incisoanterior.

SOLUCION:

x = 2t3 – 4t2 + 3

v = dv

dt = 6t2- 8t y a = dv

dt = 12t – 8

a) Si v = 0 tenemos 6t2 – 8t = 0

factorizando 2t( 3t – 4) = 0t1 = 0

t2 = 4/3Si a = 0

12t – 8 = 0t = 8/12 = 2/3 s

b) Si t = 0

x = 2(0)3 – 4(0)2 +3

x = 3



8

Si t = 2s x = 2(2)3- 4(2)2 + 3x = 3m

el desplazamiento neto en el intervalo t = 0, t = 2 será:

x –

O sea la partícula está en el mismo lugar en donde se empezó a estudiar sumovimiento.

c) La distancia total depende del sentido de los movimientos y éstecambia cuando v = 0, lo que sucede en t1 = 0 y t2 = 4/3 s

Ya sabemos que si t = 0, x = 3Ahora si t = 4/3 s, tenemos:

x = 2(4/3)3 – 4(4/3)2 + 3 x = 0.63 m

La distancia total recorrida será entonces:

D = xt – xt + xt xt D = . – +

D = 4.74 m



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PROBLEMAS:

1.- La relación que define el movimiento de una partícula es x = 2t3- 8t2 + 5t+ 15 con x expresada en pulgadas y t en segundos. Determínense la posición,

velocidad y aceleración en t = 3 seg.Resp. x = 12 pulg. V = 11 pulg./seg. A = 20 pulg./seg.2

2.- El movimiento de una particular está definido por la relación x = 2t3 – 6t2 + 10, donde x esta expresada en pies y t en seg. Determínense eltiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0.

Resp. T 1 = 0 x = 10 pies a = - 12 pies/seg.2

t2 = 2 seg. X = 2 pies a = 12 pies/seg.2

3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t3 -15t2 + 24t + 4, con x expresada en metros y t en seg. Determínense a) t paraque la velocidad sea cero y b) la posición y la distancia total recorridacuando la aceleración es cero

Resp. t1 = 1 seg. T 2 = 4 seg. X = 1.5 mts. D = 24.5 mts.



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DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA.

En algunas ocasiones la aceleración de una partícula se expresa comofunción de una de las variables: tiempo, posición o velocidad:

a = f(t) a = f(x) a = (v)

si tenemos las ecuaciones correspondientes, estas pueden integrarse paraobtener expresiones que relacionan al tiempo la posición y la velocidad.

En estos casos a k y se tienen como variables independientes, el tiempo(t), la posición (x) y la velocidad (v).

Si a = f (t) usamos la expresión a = dv

dt

De ahí tenemos dv = a dt

dv a dtt

t

vo

Si a = f (x) usamos la expresión a = vdv

dx

De ahí v dv = a dx

v dv a dxx

xo

v

vo

Si a = f (v) podemos utilizar a dv

dt

Utilizando a vdv

dx tenemos dx v

dv

a integrando, se obtiene

una relación entre v y x.

Utilizando cualquiera de las anteriores con v dx

dt se obtiene una relaciónentre x y t, que caracteriza el movimiento de la partícula.



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EJEMPLOS:

1.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = kt2. Sisabemos que la velocidad de la partícula es v = -32 ft/s cuando t = 0 y v =

+32 cuando t = 4s. Determinar el valor de la constante k y escribir lasecuaciones del movimiento, sabiendo que x = 0 cuando t = 4s.

SOLUCION:

a = f (t)

dv a dt t

dt

v t

32 – (-32) = k

64 =

Determinación de las ecuaciones del movimiento.

dv t dtt

v

v – () t t

v + 32 = t3

v = t3 – 32

v

dx

dt dx v dt



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dx dt t t

dt

t

x

x – 0 = t

t tt

x = t

t – x = t

– t +

t t +

Y por supuesto la última ecuación del movimiento es: a = 3t2

2.- La aceleración de una partícula se define por a = - kx-2. La partícula estáinicialmente en x = 800 mm, sin velocidad inicial y se observa que suvelocidad es 6 m/s cuando x = 500 mm.

Determinar: a) el valor de k y b) la velocidad de la partícula cuando x = 250mm

SOLUCION:

a) a = vdv

= -kx-2

v dv - x- dxx

v

v x

x

x

v x

Se sabe que x = 0.5 cuando v = 6 m/s

Sustituyendo y despejando, encontramos que k = 24

b) Sustituyendo en la ecuación para v2 los valores de k = 24 y x = 0.25

Encontramos que v = 11.49 m/s



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3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = - 0.4v, endonde a está en in/s2 y v en in/s. si sabemos que para t = 0 la v = 30 in/s.Determinar:

a) La distancia que la partícula viajará antes de detenerse.b) El tiempo necesario para que la partícula se detenga.c) El tiempo necesario para que la partícula reduzca su velocidad al 1% de suvalor inicial.

SOLUCION.

a) a = vdv

v

Eliminando v y considerando que x = 0 cuando v = 30 in/s

dv -. dxx

v

V – 30 = -0.4 x

Cuando la partícula se detiene v = 0, entonces

0 – 30 = -0.4 x

x in.

b) a = dv

dt v

dv

v

v

dt

t

ln v – ln 30 = -0.4 t

ln 30 – ln v = 0.4 t

Despejando t; t

v

lnv

cuando v = 0 t =

c) para que v = 0.01(30) = 0.3 in/s

t . ln

t . s



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PROBLEMAS

1.- La relación que define a la aceleración de una partícula es a = 9 – 3t2. lascondiciones iniciales de la partícula son: t = 0, con v = 0 y x = 5 mts.

Determínense a) el tiempo para el cual la velocidad es otra vez cero, b) laposición y la velocidad cuando t = 4 seg. y c) la distancia total recorrida porla partícula desde t = 0 hasta t = 4 seg.

Resp. t = 3 seg. v = -28 mts./seg. x = 13 mts. D = 32.5 mts.

2.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -k / x.

Se ha encontrado experimentalmente que v = 5 mts./seg. Cuando x = 200mm. Y que v = 3 mts./seg. Cuando x = 400 mm. Determinar a) la velocidad dela partícula cuando x = 500 mm., b) la posición de la partícula cuando suvelocidad es cero.

Resp. v = 1.962 mts./seg. x = 0.591 mts.

3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = 25 -3x

2

,donde a se expresa en pulg./seg.2 y x en pulgadas. La partícula parte de laposición x = 0 desde el reposo. Determinar a) la velocidad cuando x = 2 pulg.b) la posición donde la velocidad es de nuevo cero y c) la posición donde lavelocidad es máxima.

Resp. v = -+ 9.17 mts./seg. x = 5 mts. x = 2.89 mts.

4.-La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -kv2,donde a se expresa en pies/seg.2 y v en pies/seg..La partícula parte de x = 0con una velocidad de 25 pies/seg. y cuando x = 40 pies se encuentra que suvelocidad es de 20 pies/seg.

Determinar la distancia que la partícula viajará: a) antes que su velocidaddisminuya a 10 pies/seg. y b) antes de detenerse.

Resp. x = 164.3 pies. x =



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MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACION CONSTANTE.

Cuando la aceleración de una partícula no varía con respecto al tiempo sedice que tiene aceleración constante, es decir su aceleración no varíadurante el movimiento.

Cuando esto sucede es posible obtener expresiones matemáticas paraaplicar directamente para resolver el problema sin necesidad de estarrecurriendo al cálculo.

A partir de la expresión a dvdt

podemos deducir:

dv a dt

dv a dtt

v

vo ya que a = constante.

v – vo = at

v = vo + at

También de a = vdv

v dv = a dx

v dvv

vo

a dxv

vo

v vo axxo v vo

ax x v vo

ax x



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A partir de v dx

dt podemos obtener una expresión para la posición de la

partícula:

dx v dt

dx v dtt

x

xo

Sabemos que v = vo + at ; sustituyendo en la ecuación anterior

dx v + at dtt

x

xo

x xo vo t +

at

x xo vot + at

ESTAS ECUACIONES SE UTILIZAN CUANDO a = CONSTANTE YCUANDO a = 0

EJEMPLOS.1.- La aceleración de una partícula es a = - 4 ft/s2. Si sabemos que vo = 24ft/s cuando x = 0 y t = 0.Calcular la velocidad, posición y distanciarecorrida por la partícula cuando t = 8s.

SOLUCION: v = vo + at

v = 24 + (-4)(8)

v = -8 ft/s

x-xo = vot + ½ at2

x – 0 = 24(8) – ½ (4) (8)2

x = 64 ft Esta es la posición de la partícula a los 8s.

Para calcular la distancia recorrida necesitamos saber cuándo (tiempo) ydonde (posición) se detiene.Se detiene cuando la velocidad se hace cero.



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v = 0 = 24 – 4t

t s

Si t = 6s x - xo

x = 72 ft.

x x + x x +

D = 80 ft.2.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado

40 m sobre el agua. Si la piedra golpea el agua 4s después de soltarse,determinar: a) La velocidad con la cual se lanzó hacia arriba y b) La

velocidad con que golpeó el agua.

40m



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SOLUCION:

En este problema la aceleración es constante igual a – 9.81 m/s2 (aceleraciónde la gravedad)

Utilizando la fórmula para diferencia de posiciones:

y - y vot + at

y considerando que y final es cero cuando t = 4s

vo

vo ms

Para calcular la velocidad con que golpea el agua ( un instante antes dehacerlo)

v = vo + at

v = 9.62 + (- 9.81)(4)

v = - 29.62 m/s

3.- Un autobús tiene una aceleración de 0.75 m/s2 al moverse de A hasta B.Sabiendo que su velocidad inicial era de 27 km/h al pasar por el punto A.Determinar a) El tiempo requerido por el autobús para llegar al punto B y b)La velocidad con la que pasa por B.

Vo = 27 km/h

x – xo = vot + ½ at2

x = xo + vot + ½ at2

AB

150 m

a = 0.75 m/s2



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150 = 0 + 7.5t + ½(0.75)t2

Resolviendo para t

t = 12.36s.

v = vo + at

v = 7.5 + 0.75 (12.36)

v = 16.77 m/s



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PROBLEMAS

1.-Un automovilista recorre 1200 pies en 30 seg. con aceleración constantede 1.8 pies/s2. Determinar a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la

distancia recorrida durante los primeros 10 seg.Respuestas: vo = 13 pies/s v = 67 pies/s D = 220 pies.

2.- Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve hacia arribacon una velocidad de 15 pies/s, y alcanza el fondo del pozo en 3 s. a) ¿a quéaltura se encontraba el ascensor cuando se dejó caer la piedra? b) ¿con quévelocidad cae la piedra al fondo del pozo?

Respuestas yo = 99.9 pies. v = 81.6 pies/s3.- Dos automóviles A y B viajan en la misma dirección en líneas contiguas dela carretera. El automóvil B se para cuando es rebasado por A, el cual va auna velocidad constante de 15 mi./h. Si 2 s. después el automóvil B inicia sumovimiento con una aceleración de 3 pies/s2, determinar a) cuando y dondeB rebasará a A, y b) la velocidad de B en ese momento.

Respuestas: t = 18.45 s. xA = xB = 406 pies vB = 33.6 mi./h.

4.- Los automóviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera, y es t = 0 están separados una distancia de 75 pies y sus velocidades son(vA)o = 24 mi./h y

(vb) = 36 mi./h. Sabiendo que el automóvil A tiene una aceleración constantede 1.8 pies/s2 y que el B tiene una desaceleración constante de 1.2 pies/s2.Determinar a) cuando y donde A rebasará a B, y b) la velocidad de cadaautomóvil en ese instante.

Respuestas: t = 15.05 s xA = 734 pies vA = 42.5 mi./h vB =23.7 mi./h.



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MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS.

Sean A y B dos partículas que se mueven sobre la misma línea recta.

xA es la coordenada de posición de AxB es la coordenada de posición de BLa coordenada de posición relativa de B con respecto a A se define como ladiferencia de xB con xA :

xB/A = xB - xA

ó xB = xB/A + xA

Si xB/A es positivo, indica que B está a la derecha de A.

Si xB/A es negativo, indica que B está a la izquierda de A.

Esto es independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen O.

La velocidad relativa de B con respecto a A se designa vB/A y se obtienederivando la fórmula anterior.vB = vB/A + vA

Si vB/A es positivo indica que B visto desde A se mueve en sentido positivo.

Si vB/A es negativo entonces B visto desde A se mueve en sentido negativo.

La aceleración relativa de B con respecto a A se obtiene derivando la

expresión anterior. a B/A = aB – aA

ó aB = aB/A + aA

Para todas las consideraciones anteriores hay que tomar en cuenta que:

xB/A = - xA/B

vB/A = - vA/B

aB/A = - aA/B

X A X B/A

X B



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EJEMPLO: Dos autos A y B se aproximan uno al otro habiendo entre ellosuna distancia de 2 km cuando t = 0. El auto A acelera hacia la derecha a unarazón a = 0.2 m/s2 y en t =0 su v = 15 m/s. E l auto B acelera hacia laizquierda a una razón a = 0.5 m/s2 y en t = 0 su v = 20 m/s. Calcular: a) laposición xm sobre la autopista donde se cruzan los vehículos. b) la velocidadrelativa de A con respecto a B en ese instante.

A B

O 2 km.

Para el auto A: aplicando la ecuación: x -xo vot + at

x t + t

Para el auto B: xB – 2000 = -20t – ½(0.5)t2

t + t t t

0.35t2 + 35t – 2000 = 0

Resolviendo para t, encontramos: t1 = 40.63 s t2 = -140.6 s

el valor negativo se desecha, sustituyendo t1 en cualquier ecuaciónencontramos que xm = 774.53 m

Calculando las velocidades de cada auto con v = vo + at

vA = (vA)o + (0.2)(40.63)

vA = 23.13 m/s

vB = -20 – (0.5)(40.63)

vB = -40.32 m/s

entonces tenemos:

vA/B = vA – vB = 23.13 – (-40.32)

vA/B = 63.44 m/s .



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MOVIMIENTOS DEPENDIENTES

En algunos casos, la posición de una partícula dependerá de la posición deotra u otras partículas, se dice entonces que los movimientos son

dependientes. Observemos la siguiente figura:

Si el bloque B sube, entonces necesariamente el bloque A tiene que bajar.Para analizar el movimiento de ambos bloques hay que escoger un sistema dereferencia y considerar la longitud de la cuerda que une a los bloques,

constante.



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Expresando la longitud de la cuerda en términos de las posiciones de losbloques:

XA + 2XB = L

Derivando esta expresión (Si X fuera función de t)

VA + 2VB = 0 y derivando de nuevo AA + 2 AB = 0

dinámica. cinemática de partículas

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