unidad 4: dinámica de sistemas de partículas. cuerpo
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Unidad 4: Dinámica de sistemas de partículas.Cuerpo rígido. (Parte II)
1 – EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
2 – GRAVITACIÓN
3 – ELASTICIDAD
Es la rama de la Mecánica Clásica que estudia la relación entre: el Movimiento de los cuerpos (cambios de posición) y las Fuerzas que lo producen.
FÍSICA I
1 – EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
Hasta acá hemos visto por qué y cómo los cuerpos rígidos aceleran como respuesta a las fuerzas que actúan sobre ellos.
Pero muchas veces nos interesa asegurarnos de que los cuerpos no aceleren.
la fuerza resultante que actúa sobre ella es cero.Una partícula está en equilibrio si
Un cuerpo rígido está en equilibrio si la suma de los torques alrededorde cualquier punto es cero.
Los cuerpos rígidos no se doblan, estiran ni aplastan cuando actúan fuerzas sobre ellos.
1 – EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
(Se basa en la primera ley de Newton)
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
0F =∑�
Un cuerpo rígido está en equilibrio en un marco de referencia inercialsi el centro de masa del cuerpo tiene aceleración cero cuando la resultante
de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero.
0x
F =∑�
0y
F =∑�
0z
F =∑�
En términos de vectores y componentes:
1 – EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
La suma de los torques debidos a todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, con respecto a cualquier punto específico, debe ser cero.
(Se basa en la dinámica del movimiento rotacional)
0τ =∑�
Alrededor de cualquier punto.
Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio no debetener tendencia a girar alrededor de ningún punto.
Se dice de un cuerpo rígido que está en reposo (sin traslación ni rotación).
Se dice de un cuerpo rígido en movimiento traslacional uniforme (sin rotación).
Ejemplos: avión que vuela con rapidez, dirección y altura constantes.
EQUILIBRIO ESTÁTICO
EQUILIBRIO NO ESTÁTICO
1 – EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
En la mayoría de los problemas de equilibrio, una de las fuerzas que actúa sobre un cuerpo es su peso.
� Necesitamos calcular el torque de la fuerza peso.
Pero el peso no actúa en un solo punto sino que se distribuye en todo el cuerpo.
No obstante, podemos calcular el torque debido al peso, suponiendo que toda la fuerza de gravedad (peso) se concentra en un punto llamado centro de gravedad.
Torque gravitacional total (Torque debido a la fuerza peso):
cgr wτ = ×
� � �
Si trabajamos en el Plano XY, las condiciones de equilibrio resultan:
0x
F =∑�
0y
F =∑�
0z
τ =∑�
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1 – EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad (c.g.) de un sistema de partículas (o cuerpo rígido) es el punto que se comporta de la siguiente manera:
-En el c.g. está aplicada la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre el cuerpo.
Por lo tanto, el torque respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el c.g. es el mismo que el producido por los pesos de todas las partículas que constituyen dicho cuerpo.
Ej. : el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que no pertenece al cuerpo.
El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto dentro del cuerpo.
Válido para todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre.No sucede lo mismo con objetos astronómicos como los planetas.
El c.m coincide con el c.g. cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme.
Cuando el vector aceleración de la gravedad g es de magnitud y dirección constante en todo el interior del cuerpo.
2 – GRAVITACIÓN
¿Por qué la Luna no se cae hacia la Tierra?
¿Por qué los planetas se mueven en el cielo?
¿Por qué la Tierra no sale despedida hacia el espacio exterior, en vez de permanecer en órbita alrededor del Sol?
El estudio de la GRAVITACIÓN responde éstas y muchas otras preguntasrelacionadas.
En el siglo XVII, Newton descubrió que la misma interacción que hace auna manzana caer de un árbol mantiene a los planetas en órbita alrededor del Sol.
Se la denomina Mecánica celeste, es decir, el estudio de la dinámica delos objetos en el espacio.
- nos permite determinar cómo poner un satélite en una órbita deseada alrededorde la Tierra.
- cómo elegir la trayectoria correcta para enviar una nave a otro planeta.
2 – GRAVITACIÓN
Toda partícula de materia en el Universo atrae a todas las demás partículas con una fuerza directamente proporcional al producto de
las masas de las partículas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
1 2
2g
Gm mF
r=
Fg: magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre cualesquiera de las partículas.m1 y m2: masas de las partículas.
r: distancia entre las partículas.
G: constante gravitacional. 11 2 26, 67 10 N.m /kgG−
= ×
LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN
Es la ley universal que rige las interacciones gravitacionales.
La gravedad actúa de la misma manera: entre la Tierra y nuestro cuerpo, entre el Sol y un planeta y entre un planeta y sus lunas.
Se la aplica a fenómenos como la variación del peso con la elevación, las órbitas de los satélites terrestres y las de los planetas alrededor del Sol.
2 – GRAVITACIÓN
LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN
2 – GRAVITACIÓN
1 2
2g
Gm mF
r=
La fuerza gravitacional entre dos partículas disminuye al aumentar la distancia r.
Las fuerzas gravitacionales siempre actúan sobre la línea que une las dos partículas, y forman un par acción-reacción.
La Ley de Newton de la gravitación es válida también para cuerpos esféricamente simétricos(lunas, planetas y estrellas) suponiendo que toda la masa se concentra en su centro.
FUERZAS GRAVITACIONALES
2 – GRAVITACIÓN
¿Por qué son importantes las fuerzas gravitacionales?
- Las fuerzas gravitacionales son insignificantes entre objetos como los que tenemos en nuestras casas, pero son considerables entre objetos del tamaño de las estrellas.
- La gravitación es la fuerza más importante en la escala de planetas, estrellas y galaxias.
- La gravitación mantiene la integridad de la Tierra y las órbitas de los planetasalrededor del Sol.
DIFERENCIAS ENTRE g Y G
2 – GRAVITACIÓN
g ���� aceleración debida a la gravedad. Relaciona el peso w de un cuerpo con su masa m ���� w = mg.
El valor de g varía en diferentes puntos de la superficie terrestre y en la superficie de otros planetas.
G ���� relaciona la fuerza gravitacional entre dos cuerpos con sus masas y la distancia entre ellos.
G es una constante universal porque tiene el mismo valorpara cualesquiera dos cuerpos, sin importar dónde estén.
11 2 26, 67 10 N.m /kgG−
= ×
29,8 m/sg = Superficie terrestre
3 – ELASTICIDAD
Suponer que un objeto es un cuerpo rígido es un modelo ideal sumamente útil.
Los cuerpos rígidos no se doblan, estiran ni aplastan cuando actúan fuerzas sobre ellos:
No cambia el momento de inercia del cuerpo rígido!!!
Sin embargo…
…en muchos casos el estiramiento, el aplastamiento y las torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado importantes para despreciarse.
Vamos a estudiar la relación entre las fuerzas y los cambios de forma en los cuerpos.
3 – ELASTICIDAD
Es una cantidad que se utiliza para caracterizar la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma.
Esfuerzo:
(fuerza por unidad de área)
Describe el cambio de forma resultante. Deformación:
Es la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación si éstos son pequeños.
Módulo de Elasticidad:
ESFUERZO, DEFORMACIÓN Y MÓDULO DE ELASTICIDAD
- Si tiramos con mayor fuerza de algo, se estirará más.
- Si lo aplastamos con mayor fuerza, sé comprimirá más.
Esfuerzo
Módulo de ElasticidadDeformación
= Ley de Hooke
El alargamiento de un resorte ideal es proporcional
a la fuerza que lo estira
3 – ELASTICIDAD
TIPO DE ESFUERZOS
Esfuerzo de tensión:
Esfuerzo de volumen:
Esfuerzo de corte:
Una persona debajo del agua estásometida a esfuerzo de volumen,aplastada por todos lados por fuerzasdebidas a la presión del agua.
Cuerpo sometido a esfuerzo de corte, siendo deformado y finalmente cortado por fuerzas ejercidas por las tijeras.
Esfuerzo de compresión:Si las fuerzas sobre la barra actúan como en la figura, la barra es sometida a esfuerzo de compresión.
Si las fuerzas sobre la barra actúan como en la figura, la barra es sometida a esfuerzo de tensión.
3 – ELASTICIDAD
ESFUERZO DE TENSIÓN
F⊥
�: fuerzas de igual magnitud pero
direcciones opuestas a los extremos (lo cual garantiza que el objeto no tenderá a moverse a la izquierdani a la derecha).
F
Esfuerzo de tensiónA
⊥= [Pa]
21 Pa 1 N/m=
0
0 0
l l l
Deformación por tensiónl l
− ∆= =
Si el esfuerzo de tensión es lo bastante pequeño, el esfuerzo y la deformación son proporcionales:
0 .
lFEsfuerzo de tensión
Deformación por tensión A lϒ
⊥= =
∆
Módulo de Young
[Pa]
3 – ELASTICIDAD
ESFUERZO DE COMPRESIÓN
F⊥
�: fuerzas de igual magnitud pero
direcciones opuestas a los extremos (lo cual garantiza que el objeto no tenderá a moverse a la izquierdani a la derecha).
F
Esfuerzo de compresiónA
⊥= [Pa]
21 Pa 1 N/m=
Si el esfuerzo de compresión es lo bastante pequeño, el esfuerzo y la deformación son proporcionales:
0 .
lFEsfuerzo de compresión
Deformación por compresión A lϒ
⊥= =
∆
Módulo de Young
[Pa]
0
0 0
l l l
Deformación por compresiónl l
− ∆= =
3 – ELASTICIDAD
ESFUERZO DE VOLUMEN Si un objeto se sumerge en un fluido (líquido o gas) en reposo, el fluido ejerce una fuerza uniforme sobre todas las partes de la superficie del objeto, reduciendo su volumen.
F⊥
�: fuerza que el fluido ejerce sobre
la superficie de un objeto sumergido (es perpendicular a la superficie).
F
Esfuerzo de volumen pA
⊥= ∆ = [Pa]
21 Pa 1 N/m=
Presión en un fluido
0
V
Deformación por volumenV
∆=
51 atmósfera 1 atm 1, 013 10 Pa= = ×
Si la presión sobre un cuerpo cambia en una cantidad pequeña, el esfuerzoy la deformación son proporcionales:
0
1
/
Esfuerzo de volumen p
Deformación por volumen V V kΒ
∆= = − =
∆
Módulo de volumen
[Pa]
k compresibilidad
3 – ELASTICIDAD
ESFUERZO DE CORTE
Fuerzas de igual magnitud pero direcciónopuesta actúan de forma tangente a las superficies de extremos opuestos del objeto.
F
Esfuerzo de corteA
=� [Pa]
21 Pa 1 N/m=
x
Deformación por corteh
=
Si las fuerzas son lo suficientemente pequeñas como para que se obedezca laley de Hooke, la deformación por corte es proporcional al esfuerzo de corte.
FEsfuerzo de corte hS
Deformación por corte A x= =
�Módulo de corte [Pa]
F�
�
Únicamente se aplican a materiales sólidos
3 – ELASTICIDAD
MÓDULOS DE ELASTICIDAD
3 – ELASTICIDAD
ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD
La ley de Hooke (la proporcionalidad del esfuerzo y la deformación elástica) tiene un intervalo de validez limitado.
Límite proporcional:
Es el esfuerzo máximo para el que el esfuerzo y la deformación son proporcionales.
Más allá del límite proporcional la ley de Hooke no es válida.
Límite elástico:
Para esfuerzos mayores se presenta una deformación irreversible (deformación plástica). Si se elimina el esfuerzo, el material no vuelve a su estado original.
Hasta este punto la deformación es reversible, y las fuerzas son conservativas; la energía introducida en el material para causar la deformación se recupera cuando se elimina el esfuerzo.
Esfuerzo de rotura o Resistencia límite:
Es el esfuerzo en el que el material se rompe.