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Dinámica de los sistema de partículas. Introducción

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5.1.- Introducción.

5.2.- Sistemas de partículas. Fuerzas internas y externas.

5.3.- Centro de masas.

5.4.- Energía cinética de un sistema de partículas.

5.5.- Cantidad de movimiento.

5.6.- Colisiones.

ESQUEMA DE DESARROLLO

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PUNTOS DE PARTIDA:

1.- Las leyes de Newton junto con las definiciones de la Cinemática nospermiten resolver, en principio, cualquier problema mecánico.

2.- Todo lo visto en temas anteriores es estrictamente válido cuando consideramospartículas puntuales, es decir, partículas sin dimensiones.

3.- Cualquier cuerpo real (con dimensiones) puede ser visto como un conjunto departículas puntuales.

4.- Cuando tenemos sistemas formados por muchas partículas la aplicación de lasleyes de Newton de forma independiente a todas y cada una de las partículas esengorroso y en muchos casos puede resultar irresoluble.

OBJETIVO PRINCIPAL DEL TEMA

Estudiar las propiedades mecánicas de sistemas multipartícula definiendo las magnitudes necesarias para simplificar su estudio.

Dinámica de los sistema de partículas. Introducción

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DEFINICIONES DE PARTIDA:

Sistema de partículas: Cualquier sistema formado por al menos dos partículaspuntuales.

Partícula puntual: Sistema con masa pero sin dimensiones (ocupa un solo puntoen el espacio).

Fuerzas internas: Son aquellas que aparecen como consecuencia de la interacciónentre dos partículas puntuales pertenecientes al sistema. Aplicando la tercera leyde Newton la suma de todas las fuerzas internas de un sistema debe de serigual a cero.

Fuerzas externas: Son aquellas que aparecen como consecuencia de la interacciónentre una o varias partículas puntuales del sistema y otras partículas externas alsistema.

Dinámica de los sistema de partículas. Sistemas de partículas. Fuerzas interiores y exteriores.

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DEFINICIÓN DE CENTRO DE MASAS EN UN SISTEMA DISCRETO DE PARTÍCULAS:

Dinámica de los sistema de partículas. Centro de masas.

1 1 2 2 1 1

1 2

1

......

n n

i i i in n i i

CM nn T

ii

m r m rm r m r m rr

m m m Mm

= =

=

+ + += = =

+ + +

∑ ∑

∑

X

Y

Z 3

2

4

n1

1r

2r

3r

4r

nr

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DEFINICIÓN DE CENTRO DE MASAS EN UN SISTEMA DISCRETO DE PARTÍCULAS:


Ejercicio.- Tres masas puntuales de 2 kg cada una están localizadas sobre el eje x, en elorigen, en x = 0,20 m y en x = 0,5 m. Hallar el centro de masas del sistema.

Ejercicio.- El hacha de piedra de la figura, en donde se muestran sus dimensiones, estáformada por una piedra simétrica de 8 kg atada al extremo de un palo homogéneo de 2,5kg. ¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su centro de masas?

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EXTENSIÓN DE LA DEFINICIÓN DE CENTRO DE MASAS A SISTEMAS CONTÍNUOS.


X

Y

Z

/

1

0lim

TM dm

ii V

CM dmT T

dm r rdmr

M M=

→

⋅= =

∑ ∫

dm

r

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EXTENSIÓN DE LA DEFINICIÓN DE CENTRO DE MASAS A SISTEMAS CONTÍNUOS.


Ejercicio.- Calcular el centro de masas de un triángulo rectángulo homogéneo.

Ejercicio.- Demostrar que el vector centro de masas de una semiesfera maciza homogéneade radio R y masa M es (0,0,3R/8).

b

a

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DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS


VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASAS:

1 1 1

n n ni

i i i i iCM i i i

CMT T T

drm r m m vdr d dtvdt dt M M M

ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASAS:

( )

1 1 1 1

n n n nTi

exi i i i i iCM Ti i i i

CMT T T T T T

dvm v m m a F Fdv d Fdtadt dt M M M M M M

Ejercicio.- Sabiendo que el record de los 100 m lisos es aproximadamente 9,9 s estimecuanto debe valer el record de salto con pértiga.

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ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Dinámica de los sistema de partículas. Energía cinética de un sistema de partículas.

Puesto que la energía es una magnitud escalar, la energía cinética total de un sistema departículas será igual, simplemente, a la suma de las energías cinéticas de todas y cada una delas partículas que lo componen, es decir

Nótese que en general no se puede decir que la energía cinética del sistema de partículas esigual a la energía cinética del centro de masas, es decir

Además es fácil demostrar que la energía cinética del sistema de partículas es siempremayor que la del centro de masas (proponer esta demostración como ejercicio).

Un ejemplo particular que muestra este resultado es el caso de dos partículas de igual masamoviéndose con velocidad de igual magnitud y dirección pero de sentidos contrarios.

2

1 1 2

n nSP i i ic c

i i

m vE E

2

2SP CM T CMc c

M vE E

CM SPc cE E

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CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA MECÁNICO

Dinámica de los sistema de partículas. Cantidad de movimiento.

Hasta ahora nos hemos centrado en analizar el movimiento del centro de masas del sistemaque tiene que ver fundamentalmente con la fuerza neta externa. En este apartado vamos aanalizar la influencia que tienen en el sistema las fuerzas internas. Para analizar estainfluencia vamos a definir una nueva magnitud Física, la cantidad de movimiento omomento lineal. Vamos a demostrar que si no existe una fuerza neta actuando sobre unsistema de partículas está magnitud se conserva, es decir, es una constante del movimiento.Como hemos visto, identificar una magnitud invariante con el tiempo simplificahabitualmente mucho el análisis de algunos problemas (recuérdese la conservación de laenergía mecánica). En concreto la cantidad de movimiento nos va a permitir analizar de unaforma simple, por ejemplo, un problema muy complejo como el de los choques.

Cantidad de movimiento de una partícula puntual: La cantidad de movimiento de unapartícula puntual es el producto de la masa de la partícula por su velocidad, es decir:

Las unidades de esta magnitud serán de masa por longitud dividido por tiempo, y en el casodel sistema internacional serán Kg·m/s.

( ) ( )p t mv t

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CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA MECÁNICO


Extender esta definición al caso de un sistema de partículas es muy simple, teniendo encuenta el concepto de suma vectorial.

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas puntuales: La cantidad de movimientode un sistema de partículas puntuales se define como la suma de las cantidades demovimiento de cada una de las partículas puntuales que forman el sistema, es decir:

Es decir, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas coincide con la cantidad demovimiento de su centro de masas.

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m

Ti i i i i T CM

i i iT

Mp t p t m v t m v t M v tM

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CONSERVACIÓN DE LA ANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA MECÁNICO


Vamos a ver ahora cuales son las condiciones que se tienen que dar para que esta magnitudse conserve en el tiempo. Para ello comenzamos derivando la cantidad de movimiento delsistema respecto al tiempo

Ahora bien si tenemos en cuenta que:

Llegamos a:

es decir, la variación de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a lafuerza neta externa que actúa sobre el mismo. Nótese que este resultado es válido siempreque la masa total del sistema no varíe (básicamente siempre que en el sistema no existanreacciones nucleares o tengamos en cuenta consideraciones relativistas).

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

T CM CM TT CM

CM TT CM

d M v t dv t dMdp t M v tdt dt dt dt

dv t dMM v tdt dt

( )CMT

dv tMdt

( ) exNETA

dp t F Fdt

( )( )

( )

CMCM

exT CM

dv ta tdt

F M a t

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Ejercicio.- La propulsión de cohetes y el cálculo de su velocidad es un ejemplo interesantede esta propiedad de la cantidad de movimiento. Consideremos un cohete que se mueve conuna velocidad relativa respecto a la tierra igual a v. Supongamos que el combustible sequema a una tasa constante y sale a una velocidad por lo tanto, lamasa del cohete en un instante de tiempo vendrá dada por:

Donde m0 es igual a la masa inicial del cohete que incluye el combustible y la carga útil delmismo, mf.

La cantidad de movimiento inicial será igual a

Si consideramos un instante de tiempo ∆t después, la cantidad de movimiento será:

0m m Rt

/R dm dt

ip mv

( ) ( )f combustion

combustion

combustion

p m R t v v R t v vmv m v R tv R t v R tv R tv

mv m v R tv

combustiblev

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La variación de la cantidad de movimiento será

La fuerza neta a la que se encuentra sometido el sistema es únicamente la fuerzagravitatoria por lo que utilizando el resultado que hemos obtenido llegamos a:

Considerando que en el instante inicial la velocidad del cohete es cero nos quedafinalmente:

Si tenemos en cuenta que el proceso de combustión finaliza cuando todo el combustible sequema, es decir, cuanto la masa del cohete es igual a mf, tenemos que el tiempo decombustión total será igual a:

f i combustionp p m v R tv

combustion combustionp v dp dvm Rv m Rvt t dt dt

0

combustioncombustion

Rvdv dvm Rv mg gdt dt m Rt

0

0

lncombustiblem Rtv v gt

m

0 00; lnf fcombustión f combustible

f

m m m mmt v v gR m R

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CONSERVACIÓN DE LA ANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA MECÁNICO

Vamos a ver ahora bajo qué condiciones se conserva esta magnitud física, es decir, estamosinteresados en comprobar bajo qué condiciones la variación temporal de la cantidad demovimiento sea cero:

Es decir, la cantidad de movimiento se va a conservar, o va a ser constante en el tiemposiempre que la fuerza neta aplicada al sistema (sumatoria de las fuerzas externas) sea cero.Como vamos a ver esto nos va a permitir analizar con relativa facilidad el estudio de lascolisiones que analizamos en el siguiente apartado.

( ) 0

( ) 0

exNETA

NETA

dp t F Fdt

p t cte F

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Ejercicio.- Una mujer de 60 kg se encuentra de pie en la parte trasera de una lancha de 6 m delongitud y 120 kg que flota en reposo en aguas tranquilas y sin rozamiento. La balsa se encuentra a 0,5m de un embarcadero fijo, como en la figura.

(a).- La mujer camina hasta la proa de la balsa y se detiene. ¿A qué distancia se encuentra ahora labalsa del embarcadero? (Sol: 2.5 m)(b).- Mientras la mujer camina, mantiene una velocidad constante de 3 m/s relativa a la balsa.Determinar la energía cinética total del sistema (mujer más balsa) y comparar con la energía cinéticaen el caso de que la mujer caminara a 3 m/s sobre una balsa atada al embarcadero.(c).- En tierra firme, la mujer puede lanzar una bola de plomo a 6 m. Situada en la parte trasera de labalsa, apunta hacia delante y lanza la bola de modo que justo cuando sale de su mano, posee la mismavelocidad respecto a ella que cuando la bola fue lanzada en tierra firme. ¿Dónde caerá la bola en labalsa o en el agua?

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Ejercicio.- Una patinadora de 40 kg está entrenándose con dos pesas de 5 kg sobre un patínque pesa 3 kg. Partiendo del reposo lanza las dos pesas, una detrás de la otra desde latabla. Después de cada lanzamiento, la velocidad relativa de cada pesa respecto a lapatinadora y su tabla es de 7 m/s. a) Suponiendo que no existe rozamiento determinar lavelocidad con que sale impulsada la patinadora después de lanzar la segunda pesa: b)determinar lo mismo si lanzara las dos pesas a la vez.Ejercicio.- Se dispara una granada desde el suelo con una velocidad v o y ángulo deelevación ϕ. En el punto más alto de la trayectoria la granada explota en dos fragmentos deigual masa. Si uno de ellos sale con una velocidad v1 en dirección vertical hacia el suelo,calcular: a) la velocidad del otro fragmento en el momento de la explosión; b) la distancia,medida desde el origen de lanzamiento, a que llegará dicho fragmento. Datos: vo = 50 m/s;v1 = 20 m/s; ϕ = 30º

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Dinámica de los sistema de partículas. Colisiones.

Además de las aplicaciones que ya hemos visto, la conservación de la cantidad demovimiento simplifica el análisis del estudio de las colisiones o choques entre partículas.Vamos a analizar, desde un punto de vista de la dinámica, que ocurre durante una colisiónpara lo que vamos a considerar el choque de una pelota contra el suelo.

iv fv

1t 2t 3t

spF

ps spF F

a

ANÁLISIS DINÁMICO

Como vimos en el tema 3, la fuerza de contacto entre la pelota y el suelo es de origenelectromagnético. En el caso de un choque esta fuerza de contacto produce una deformaciónde la estructura molecular de los sistemas mecánicos en contacto. En función de lo elásticoque sea el material esta deformación produce fuerzas internas en la pelota que tienden arestaurar su forma original. Todo esto produce una fuerza neta sobre la pelota, difícil deevaluar, que tiende a detenerla y produce el cambio de su sentido de movimiento.

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iv fv

1t 2t 3t

spF

ps spF F

a

ANÁLISIS DINÁMICO

Lo que es claro, es que si consideramos los sistemas que colisionan (en nuestro caso lapelota y el suelo) como un sistema de partículas, todas las fuerzas durante la colisión sonfuerzas internas, con lo que las fuerzas externas son cero y la cantidad de movimiento delsistema debe de conservarse, es decir, la cantidad de movimiento del sistema antes ydespués del choque debe de ser la misma.

1 1

n ninicial final inicial finalSP SP i i

i i

p p p p

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iv fv

1

21

12c i

t

E mv

2

1elástica no elástica

c d d d

tE E E E

3

22 2 1

12c c

t

E mv E

ANÁLISIS ENERGÉTICO

Desde un punto de vista energético, justo antes del choque la energía del sistema esbásicamente la energía cinética de la pelota. Durante el choque esa energía cinética seconvierte en energía de deformación de los sistemas en colisión (en nuestro ejemploconsideramos la deformación sólo de la pelota). Finalmente, después del choque, la parte deenergía que ha producido una deformación elástica se recupera en forma de energía cinéticamientras la que produce una deformación no elástica ha sido absorbida por los sistemas encolisión. Por eso, en nuestro ejemplo la energía cinética final de la pelota es menor o igualque la inicial. En este tipo de análisis pueden aparecer tres casos:

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iv fv

1

21

12c i

t

E mv

2

1elástica no elástica

c d d d

tE E E E

3

22 2 1

12c c

t

E mv E

ANÁLISIS ENERGÉTICO

1.- CHOQUE PERFECTAMENTE ELÁSTICO

Toda la energía invertida en la deformación es elástica

2.- CHOQUE PERFECTAMENTE INELÁSTICO

Toda la energía invertida en la deformación es no elástica

3.- CHOQUE PARCIALMENTE ELÁSTICO Y PARCIALMENTE INELÁSTICO

Hay que caracterizar lo elástico que es el choque mediante algún parámetro. Suele utilizase elcoeficiente de restitución.

0no elásticad ci cfE E E

0 igual para

todos los sistemas en colisión

elásticad fE v

( )

( )

f

i

vv

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Ejercicio.- Sobre un bloque de madera de 2 kg que se encuentra al comienzo de un planoinclinado de 30º se dispara un proyectil de 100 g con una velocidad de 100 m/s,incrustándose en él. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento en el plano inclinado es de0,1, calcular: a) la distancia que recorre el bloque sobre el plano: b) la velocidad con quellega el bloque al punto más bajo del plano.

Ejercicio.- Se lanza una pelota contra una pared vertical lisa. Inmediatamente antes delchoque la velocidad es de 24 m/s formando un ángulo de 30º con la horizontal. Sabiendoque el coeficiente de restitución es de 0,85, hallar el módulo y dirección de la velocidaddespués del choque. Calcular que cantidad de energía cinética se ha perdido en el choque .

Ejercicio.- Una bola de masa m se mueve con velocidad v hacia la derecha y choca contraun bate mucho más pesado que se mueve hacia la izquierda con velocidad v. Determinar lavelocidad de la bola después del choque elástico con el bate.

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