cep filminas unidad 2 28 03

7/21/2019 Cep Filminas Unidad 2 28 03

http://slidepdf.com/reader/full/cep-filminas-unidad-2-28-03 1/72

UNIDAD 2: CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES

Muchas características de calidad pueden expresarseen términos de una medición numérica.

Por ejemplo el diámetro de un rodamiento, la

viscosidad de un polímero o la concentración de uncontaminante en la fabricación de un producto

químico.

A una característica de calidad susceptible de

medición se le llama variable



uando se trata con una característica de

calidad que es una variable, por lo !eneral es

conveniente monitorear tanto el valor medio

de la característica de calidad como su

variabilidad.

"l control del promedio se hace con la carta

de media o carta



#a variabilidad del proceso puede

monitorearse con una carta de control para la

desviación estándar, llamada carta $ o bien

con una carta de control para el ran!o,

llamada carta %

#a carta % es adecuada cuando los tama&os

de la muestra son i!uales o menores que '.

"n otro caso, pierde eficiencia ( se usa la

carta $.



Cartas de control para y R

$upon!amos que una característica de

calidad tiene una distribución normal con

media ( desviación estándar

donde ambas son conocidas.




$i , es una muestra de tama&o n,entonces el promedio de esta muestra es




A partir del )eorema entral del #ímite, se

conoce que si!ue una distribuciónnormal con media

( desviación estándar




Además la probabilidad es de , de que

cualquier media muestral se localice entre



Por lo tanto, si * ( + son conocidas, las ecuaciones

vistas podrían usarse como límites de control superior

e inferior en una carta de control para las mediasmuestrales.

$e acostumbra sustituir por el valor , a fin de

trabajar con límites tres si!mas.

$i la media de una muestra se locali-a fuera de estos

límites, se trata de un indicio de que la media del

proceso ha dejado de ser i!ual a *



Cartas de control para y R cuando no se conocen

los alores de la !ed"a y la des"ac"#n est$ndar

po%lac"onales

"n la práctica !eneralmente no se conocen losvalores de la media ( la desviación estándar .

Por lo tanto, deben estimarse a partir de la muestra o

sub!rupos preliminares tomados cuando seconsidera que el proceso está bajo control.

"n !eneral estas estimaciones deben basarse en almenos / o 0 muestras



uando no se conocen * ( +

$upon!amos que contamos con m muestras, cada una

de las cuales tiene el mismo tama&o muestral n . $ean

los promedios de cada muestra. "ntonces el mejor

estimador de * , el promedio de la población, es el

!ran promedio,



"ntonces

se usará como línea central de la carta

de control

x



"stimación de la desviación estándar

Para construir los límites de control, es

necesaria una estimación de la desviación

estándar .

"sto puede hacerse a partir de lasdesviaciones estándar o bien de los ran!os

de las muestras.



"stimación de la desviación estándar

uando los tama&os muestrales son

menores que 1, el método del ran!o

proporciona una buena estimación.

Para tama&os muestrales ma(ores que 1, sereempla-ará por el método de las

desviaciones estándar.



uando no se conocen * ( +

"l ran!o de la muestra es la diferencia entre

las observaciones menor ( ma(or2 es decir

$ean los ran!os de las mmuestras. "l ran!o promedio es3

minmax x x R −=

m

R R R R m...21 ++

=

m R R R ,...,

21



"stimador inses!ado de +

4n estimador inses!ado de + es

donde d 2 es una constante que depende del tama&ode la muestra.

$i es el ran!o promedio de las m muestras

preliminares, puede usarse

para estimar .

2/ d R=σ

R

2d

R=σ

σ



#imites de control tres si!mas

Podemos calcular los límites de control

como3

nd

R x

n x x LSC

x2

333 +=+=+= σ

σ

nd

R x

n x x LIC

x2

333 −=−=−= σ

σ



#imites de control tres si!mas

$i se define

#a expresión de los límites ( la línea central

queda

nd A

22

3=

R A x LSC 2+=

x LC =

R A x LIC 2−=



L&!"tes de control de la carta %

#a línea central de la carta % es el ran!o

medio

"l #ímite $uperior de ontrol es3

R

R R LSC σ 3+=




$e sabe que σ σ 3

d R =

+=+=+=+=

2

3

2

33

31333

d

d R

d

Rd Rd R R LSC

R σ σ




$i llamamos

2

34

31d d D +=

4 D R LSC =




Para el #imite 5nferior de ontrol

−=−=−=−=

2

3

2

33

31333

d

d R

d

Rd Rd R R LIC R σ σ

2

33

31

d

d D −=

3 D R LIC =



%esumiendo3 limites de control para la carta %

4 D R LSC =

R LC =

3 D R LIC =



L"!"tes de control de prue%a

uando se utili-an muestras preliminares para

construir las cartas de control ( R , se acostumbra

tratar los límites de control obtenidos como l&!"tes de

control de prue%a'

Permiten determinar si el proceso se encontraba bajo

control cuando se seleccionaron la m muestras

iniciales.

x



Para probar la hipótesis del control pasado, se

!rafican los valores de ( % de cada muestra en

las cartas ( se anali-a la representación resultante.

$i todos los puntos se locali-an dentro de los

límites de control ( no es evidente nin!6n

comportamiento no aleatorio, se conclu(e entonces

que el proceso se encontraba bajo control en el

pasado ( los límites de control de prueba sonapropiados para controlar la producción actual o

futura.

x



Uno o !$s de los alores de o de R se local"(an )uera

de los l&!"tes

Para cado uno de los puntos que quedan fuera delos límites de control es necesario buscar una causa

atribuible o asi!nable.

$i se encuentra la causa asi!nable, se soluciona ( sesupone que no va a producirse en el futuro.

#ue!o ha( que recalcular los límites de control (

observar si otro punto ha salido de control (a que!eneralmente lue!o de eliminar un punto fuera de

control, los límites serán más estrechos.

.



$i otro punto sale de control, se vuelve a anali-ar

si ha( una causa asi!nable.

"sto se reali-a hasta que todos lo puntos estén

dentro de control.

$i no se halla una causa asi!nable, el punto se

conserva.



E*e!plo:

iertas pie-as de polipropileno

manufacturadas por un proceso de moldeode in(ección se someten a una prueba de

resistencia a la compresión.

$e colectan / muestras de cinco partes

cada una ( las resistencias a la compresión

7 en psi8 se presentan en la tabla si!uiente



E*e!plo:

9 Mue :; : : : < : 0 %i $i

9 ; 1,/ 1;, '1,' '0,' '',/ '=,; ', ,=1=<1

9 11,> '1, '1,1 ';,/ 1<, 1/, ;',> >,><'';9 10,' '0,1 1<, '0, 1;,/ 1/,< ;/,0 <,'=;19 < 1/,1 '<,< 1,0 '<,; '0,' '',0 1,< ,11>09 0 1,< '1,< 1,> '1, '1,= 1/, 0, ,<===9 > '0, '=,= 1', 1=,' 1;,1 1,1 ;<,< 0,'''0<9 ' '<,0 '1,/ 1/,1 ',< '=,' '', ',< ,1=

9 1 '=, 1<,< 1;,0 1>,/ '<,0 1;,; ;;,0 <,0=19 = 1/,0 1>, '>, '<,; 1/, '',< ,; <,><'=/9 ;/ '0,' '0, ';,; 1,; '<, '0,' ;;,/ <,/;/<9 ;; 1/,/ 1;,0 '1,< ',1 '1,; '1,< ',' ,1=/;>9 ; 1/,> 1;,1 '=, ',1 1;,' '=,< 1,/ ,;;/<9 ; 1,' 1;, '=,; 1,/ '=,0 1/,= ,> ;,0>01=

9 ;< '=, '<,= '1,> '',' '0, '',; <, ;,=<<9 ;0 10,0 1,; 1,1 ',< ';,' '=,; ;,1 >,;</'9 ;> '1,1 '=,> 1/, '=,; 1/,1 '=,' ,/ /,1;</9 ;' 1,; '1, '0,0 '1, 1,; '=, >,> ,10/'=9 ;1 1<,0 '>,= 1,0 1;, '=, 1;,; ',> ,;/09 ;= '=,/ '',1 1;, 1<,< 1;,> 1/,1 >,> ,0<=0;

9 / 1<,0 ',; '1,> '1,' 1/,> '=,; ;;,< <,;;'><

i x



artas de control

9 ;

191715131197531

85,0

82,5

80,0

77,5

75,0

Muestra

M e d i a d e l a m u

e s t r a

_ _ X=79,43

UCL=84,68

LCL=74,18

191715131197531

20

15

10

5

0

Muestra

R a n g o d e l a

m u e s t r a

_ R=9,11

UCL=19,25

LCL=0

Gráfica Xbarra-R de X1. .... X5



Est"!ac"#n de la capac"dad del proceso

A partir de los datos de la carta de control puede

estimarse la llamada capacidad del proceso ( la

proporción de elementos defectuosos que este

proceso puede producir.

?e la carta % podemos obtener el %an!o medio ( a

partir de este estimar la desviación estándar de la

población

93,3326,2

11,9

2

===d

Rσ



Est"!ac"#n de la capac"dad del proceso

"l índice de capacidad del proceso se define como3

#os límites especificados por dise&o son 11 ( '/ psi

alculamos p

76,092,3.6

7088=

−

=Cp



onclusiones

@eneralmente se recomienda para la p un

valor de ;, o más, con la finalidad de no

tener muchos elementos defectuosos en la

población.

"l valor obtenido es mu( bajo, con lo cual se debe

trabajar sobre el proceso con la finalidad de

disminuir la variabilidad ( aumentar la capacidad

del proceso.



Proporción de elementos defectuosos

)ambién se puede calcular la proporción de

elementos defectuosos. $uponemos que la

distribución de resistencia a la compresión de

la pie-a es normal.

#a media de la resistencia se obtiene de la

carta : media.

$abemos que * '=,< psi ( + ,= psi



Proporción de elementos defectuosos

$i p es la proporción de elementos fuera de especificación,

ada ;/// pie-as, ; estarán fuera de

especificación.

)88()70( psi x P psi x P p +=

)93,3

43,7988()

93,3

43,7970(

−−+

−−=

σ

µ

σ

µ x P

x P p

( ) ( )18,24,2 Z P Z P p +−=

021,00146,000714,0 =+= p



L"!"tes de control+ l"!"tes de espec")"cac"#n y l"!"tes

de toleranc"a natural

$e debe tener claro que no existe relación entre loslímites de control de la carta ( % ( los límites

especificados del producto.

#os primeros sur!en de las condiciones reales del

proceso ( los se!undos provienen de fuera del

proceso 7dise&o, clientes, normas, costos, etc8

x





#os límites de tolerancia natural son los límitesdeterminados por + arriba ( debajo de la media

del proceso.

"stos son los limites que se obtienen cuando el

proceso ha manifestado encontrarse totalmente

dentro de control ( existe una buena estimación

de +.





#os límites de control están re!idos por lavariabilidad de la media muestral (a que se

hallan arriba ( abajo de

la media del proceso.



D"se,o de la carta de control

Para dise&ar las cartas ( %, deben

especificarse el tama&o de la muestra, el ancho delos límites ( la frecuencia de muestreo.

$i uno de los objetivos de la carta que se está

usando es detectar corrimientos de moderados a

!randes de la media 7B8 en el proceso 7por

ejemplo en el orden de + o ma(ores8, muestras

peque&as de tama&o n <, 0, o > son

ra-onablemente efectivas.



"n cambio, si se desea detectar cambios peque&os

en la media del proceso, deberán usarse tama&os

muestrales entre ;0 ( 0.

uando se utili-an peque&os tama&os de muestra, es

más difícil que ocurra un cambio en el procesomientras se toma la muestra.

$i ocurre un cambio durante la toma de muestra, elpromedio muestral podría ocultar ese cambio.



)ama&o de la muestra

9 Para ele!ir el tama&o de la muestra adecuado a nuestras necesidades, se

pueden utili-ar las curvas características de operación.



Amplitud de los límites

#a utili-ación de límites de control de si!mas es

una práctica !enerali-ada que ha dado excelentesresultados. $in embar!o esto puede modificarse

en función de la realidad del proceso.

$i el costo de investi!ación de las falsas alarmas

es mu( alto, los límites pueden hacerse de ,0

si!mas por ejemplo.



Amplitud de los límites

$in embar!o, si el proceso tiene

características tales que las falsas alarmas

se investi!an con facilidad ( a un bajo

costo,se pueden utili-ar límites ,0 si!mas, que

además nos darían la ventaja de descubrir

más rápido los cambios en la media delproceso, es decir se reduce el error tipo 55.



Patrones no aleator"os en las cartas de control

4na carta de control puede indicar una situaciónfuera de control aun cuando nin!6n punto esté

fuera de los límites tres si!mas.

"sta situación se presenta cuando los puntos

!raficados muestran un patrón de comportamiento

que no es aleatorio, es decir que es sistemático.



Patrones no aleator"os en las cartas de control

"l análisis de los patrones no aleatorios, esde interés para el in!eniero de procesos (a

que brindan información sobre las

propiedades del proceso ( su correcta

interpretación a(uda a disminuir la

variabilidad del mismo.



5nterpretación de las cartas de control

Para interpretar patrones en una carta es

necesario determinar primero si la carta % está

o no bajo control.

Muchas veces las causas asi!nables aparecen

tanto en la carta como en la %. x



$i las dos cartas muestran un patrón no aleatorio,

primero se eliminan las causas asi!nables en lacarta %.

"n muchos casos esto conlleva a la eliminación delas causas asi!nables de la carta : media

Cunca deberá interpretarse la carta cuando lacarta % muestre una condición fuera de control.

x



Patrones no aleatorios3 iclos

"ste patrón puede sur!ir de cambios ambientales

sistemáticos tales como la temperatura, fati!a del

operador, rotación re!ular de operadores (Do maquinas o

fluctuación en el voltaje o la presión o en al!una otra

variable del equipo de producción



Patrones no aleatorios3 Me-cla

$e habla de una me-cla cuando los puntos !raficados

tienden a locali-arse cerca o li!eramente afuera de loslímites de control, con relativamente pocos puntos cerca

de la línea central. 4n patrón de me-clado es !enerado

por dos o mas distribuciones de distribución de

probabilidad

C t d t l d S



Cartas de control de y S

$i bien la utili-ación de las cartas ( % se ha

vuelto mu( popular a través de los a&os, enciertos procesos es deseable estimar la

variabilidad del proceso a través de la

desviación estándar del mismo, en ve- dehacerlo más elementalmente a través del

ran!o. "n !eneral se justifica el uso de las

cartas ( $ cuando39 a8 el tama&o de las muestras es ma(or que '

9 b8 el tama&o de la muestra es variable



$i es la varian-a desconocida de la

distribución de probabilidad, entonces un

estimador inses!ado de élla es la varian-a

muestral

( )

1

1

2

2

−

∑=

−

=n

n

i

xi x

S



uando no ha( un valor estándar dado para ,

entonces debe estimarse anali-ando datos

pasados. $i se cuenta con muestras

preliminares, cada una de tama&o n, (

sea ,

la desviación estándar de la iEésima muestra.

el promedio de las m 7cantidad de muestras8

desviaciones estándar es3

iS

∑==

m

iiS

mS

1

1



9 #a línea central de la carta es

9 "l límite superior es

S

S S σ 3+

# d i ió tá d d 2



#a desviación estándar de es

donde c 4 es una constante que depende

del tama&o de la muestra.

%eempla-ando en el límite superior de control

queda

241 c−σ

2

4133 cS S LSC S −+=+= σ σ

4 ti d i d d S



4n estimador inses!ado de σ es

24

14

324

133 cc

S S cS S S LSC −+=−+=+= σ σ

2

4143

2

4133 cc

S

S cS S S LIC −−=−−=−=

σ σ

4C

S



@eneralmente se definen las constantes

24

4

3 131 cc

B −−=

24

4

4 13

1 cc

B −+=



Por lo tanto los parámetros de la carta S

pueden escribirse como

S B LIC

S LC

S B LSC

3

4

=

=

=

t di



arta x media

Para calcular los límites de control de la carta

ha( que tener en cuenta que es un

estimador inses!ado de + .

#ínea central3 x

nc

S x

n

x x LSC x

4

333 +=+=+= σ

σ

nc

S x

n x x LIC

x4

333 −=−=−= σ

σ

4C S



onsiderando la constante , los

parámetros de la carta quedan

S A x LIC

x LC

S A x LSC

3

3

−=

=

+=

La carta de Control de S-e.-art para !ed"c"ones



"nd""duales

"n muchas situaciones, el tama&o de la

muestra usado para monitorear el proceso

es i!ual a ;, es decir que la muestra consta

de un solo elemento. Al!unos ejemplos de esta situación son3

;.$e usa tecnolo!ía de inspección (medición automati-ada, ( se anali-a

cada unidad manufacturada.




p

"nd""duales

. #a velocidad de producción es mu( lenta,

( no es conveniente dejar que se

acumulen tama&os de muestra ma(ores

que ;, antes del análisis.

L t d C t l d S- - t d" "




"nd""duales

. #as mediciones repetidas del proceso

difieren 6nicamente por el error de

medición o con más propiedad en la

incertidumbre de medición, como enmuchos procesos químicos.

%an!o móvil



%an!o móvil

Para estimar la variabilidad del proceso se usa

el ran!o móvil de dos observaciones sucesivas

"l ran!o móvil se define como

1−−= ii x x MR

#ímites de control



#ímites de control

#os límites de control de la carta de mediciones

individuales son

2

2

3

3

d MR x LIC

x LC

d

MR x LSC

−=

=

+=

#í it d t l d l t d ó il



#ímites de control de la carta de ran!o móvil

$on

MR D LIC

MR LC

MR D LSC

3

4

=

=

=

"jemplo



"jemplo

#a viscosidad de una pintura tapaporos para

aviones es una característica de calidad importante.

"l producto se produce por lotes, ( debido a que la

producción de cada lote lleva varias horas, lavelocidad de producción es demasiada lenta para

permitir tama&os muestrales ma(ores que uno.

"n la )abla se muestran la viscosidad de ;0 lotes

anteriores

"jemplo



9 C6mero de muestra Fiscosidad %an!o Móvil9 M%9 ; ,'0

9 ,/0 /,'9 < /,=09 < ,1; /,;=9 0 ,<> /,09 > <,/ /,0>9 ' ,>1 /,<9 1 ,' /,<;9 = ,<= /,9 ;/ ,/ /,=9 ;; ,> /,<9 ; ,// /,>

9 ; ,0< /,0<9 ;< ,; /,<9 ;0 ,1< /,'9

#í it d t l



#ímites de control

$on

24,32128,148,0352,333

52,33

80,34

128,1

48,0352,333

2

2

=−=−=

==

=+=+=

d MR x LIC

x LC

d

MR x LSC

#í it d t l



#ímites de control

$on

0

484,0

58,148,0.267,3

3

4

==

==

===

MR D LIC

MR LC

MR D LSC

arta de control

Gráfica I-MR de !



arta de control

9 a

151413121110987654321

34,5

34,0

33,5

33,0

32,5

Observación

V a l o r i n d i v i d u a l

_ X=33,522

UCL=34,808

LCL=32,236

151413121110987654321

1,6

1,2

0,8

0,4

0,0

Observación

R a n g o

m ó v i l

__ MR=0,484

UCL=1,580

LCL=0

Gráfica I-MR de !

Interpretac"#n de las cartas para !ed"c"ones



"nd""duales

"stas cartas pueden interpretarse en formamu( parecida a una carta de control ordinaria.

4n cambio en el promedio del procesoresultará en un punto 7o puntos8 fuera de los

límites de control o bien en un patrón no

aleatorio representado por una corrida

ascendente o descendente.

/ortale(as y de%"l"dades de las cartas de control tres s"0!as




"stas cartas de control fueron las primeras en

dise&arse ( se han mantenido en uso a través deltiempo por haber demostrado que pueden controlar

un proceso en tiempo real ( en forma bastante

sencilla.

?eben usarse siempre que la característica de

calidad ten!a una distribución de probabilidad normal

( que las muestras no presenten un comportamiento

correlacionado, es decir que sean independientesunas de otras.

.





"stas cartas son eficientes para detectar

cambios en la media del orden de ;,0 + omás pero son ineficientes para detectar

cambios en la media menores a esa

ma!nitud.

Por otro lado tienen un lon!itud media de

corrida de '/, es decir que tendremos una

falsa alarma cada '/ puntos !raficados.

cep filminas unidad 2 28 03

Documents