EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓNTEMA: ANALISIS DE LA INFORMACIÓN

PROPÓSITOS: Que los docentes actualicen sus conocimientos sobre el tema de proporcionalidad y la

planeación de clase, centrado en la resolución de problemas para el desarrollo de competencias matemáticas en el alumno de secundaria.

Que compartan sus conocimientos y habilidades con sus compañeros profesores mediante una relación tutora de intercambio de experiencias y conocimientos respecto al tema.

Que elaboren secuencias a aprendizaje a partir de la experiencia de la resolución de problemas que modele una práctica de enseñanza efectiva.

Relaciones de proporcionalidad

Generalmente estamos tratando con cantidades que varían. Por ejemplo nos interesa saber la talla que tenemos, la cantidad de dinero que gastamos, el ahorro en un consumo de energía, etc.

Concepto de razón.Una razón es el cociente de comparar dos cantidades o magnitudes, por ejemplo:

6 de cada 10 humanos viven en Asia.

2 de cada tres miembros de la familia de Humberto son mujeres.

La razón 2: 7 se lee “2 es a 7”, también la podemos escribir como una fracción así siendo el

primer número el antecedente y el segundo el consecuente.

Las fracciones como resultado de una razón.Todas las razones se pueden expresar como una fracción, por ejemplo 2: 3, que se lee “2 es a 3”, se

puede escribir como y significa la relación entre dos cantidades.

1

Ejemplo: Hice una encuesta sobre los deportes que practican mis amigos:

Descubrí que 3 de cada seis de mis amigos practican fútbol americano.

Esta razón se puede expresar como una fracción:

Este tipo de relaciones ya se estudiaron en la escuela primaria sin embargo, tal vez, los alumnos no recuerden los procedimientos formales, es necesario indagar qué procedimientos conocen al resolver problemas que implican comparar dos o más razones. Ejemplo:

CONSIGNA 1

La tabla siguiente contiene diferentes cantidades de litros de gasolina y sus respectivos precios. Completar los valores que faltan y realizar lo que se indica posteriormente.

Litros de gasolina

1 3 9

Total a pagar 21 42 420

Explica cómo obtuvieron cada uno de los datos faltantes de la tabla. Si usaron más de un procedimiento, anótenlos.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Consideraciones previas.

En este caso es necesario permitir que los alumnos utilicen el procedimiento que deseen, incluso promover que en los equipos utilicen más de uno, con la finalidad de que puedan optar por diferentes caminos.Si a los alumnos se les dificulta identificar las características (propiedades) a partir de la tabla, hacer preguntas como: Si aumenta al doble la cantidad de gasolina, ¿cómo aumenta el precio a pagar? Si divido el total a pagar entre el número de litros, ¿cómo son los resultados? Resaltar el hecho de que estas propiedades se cumplen en una relación de proporcionalidad directa.

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?

Esta tabla es de proporcionalidad directa.

Observa:

2

Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicado por dicho número (o al revés), en consecuencia:

Si bien, los alumnos pueden utilizar cualquier procedimiento para resolver este problema de proporcionalidad simple, la idea es que busquen la forma de generalizar procedimientos para resolver cualquier problema de proporcionalidad directa.

Se debe cuidar que los demás problemas que se propongan a partir de este momento, no se resuelvan fácilmente, de manera que los alumnos busquen nuevos caminos, principalmente el del valor unitario. Cuidando estos detalles, pueden proponerse problemas más complejos como el siguiente, en el cual es necesario realizar conversiones.

Otras consignas: 2: Resuelve los siguientes problemas en parejas:

Rubén recorrió en automóvil 315 km en 3 horas, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas, suponiendo que la velocidad es constante?

Una secretaria puede escribir a máquina 30 palabras en minuto y medio, ¿cuánto tiempo tardará en escribir 80 palabras?

La complejidad adicional de este problema es que el valor unitario no es entero, los alumnos podrán representarlo con decimales o fracciones, explicar que la conveniencia de las fracciones consiste en que permiten expresar el resultado exacto, lo que no ocurre siempre con los decimales.

3: Formen parejas para resolver el siguiente problema: Para pintar una barda, mezclé 8 litros de pintura amarilla con 18 litros de pintura azul, pero la

mezcla fue insuficiente. Si me sobraron 3 litros de pintura amarilla, ¿con cuánta pintura azul debo mezclarla para obtener el mismo tono?

Un reloj se retrasa de manera uniforme 11.5 minutos cada 5 horas. Si fue puesto a la hora exacta un lunes a las 6:00 A. M., ¿qué hora marcará el miércoles a las 6:00 A. M., de la misma semana?

4: En equipos resuelvan el siguiente problema: Para preparar un tipo de chocolate hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6 kg de cacao.

¿Cuánto cacao hay que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? Escriban sus respuestas en la siguiente tabla y respondan las preguntas posteriores.

a) ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de azúcar dé como resultado los kilogramos de cacao correspondientes?_______¿Cuál es?______________

3

kg. de azúcar kg de cacao23 651025

b) ¿Cuántos kilogramos de cacao se necesitan por cada kilogramo de azúcar?_________

c) ¿Qué relación encuentran entre el factor constante que identificaron en a) y el número de kilogramos de cacao por cada kilogramo de azúcar?_______________________________________________________________________.

d) Utilicen el factor constante para calcular los kilogramos de cacao necesarios para 7, 18, 35, 42 y 64 kilogramos de azúcar.

Es posible que los alumnos encuentren los datos de la tabla sin utilizar el factor constante de proporcionalidad, por el que es necesario el planteamiento y análisis de las respuestas de los incisos, a fin de que se percaten de la existencia y uso de este recurso. En este ejercicio el factor es entero. Enfatizar la relación entre el valor unitario y el factor constante de proporcionalidad.

5: Ahora resuelvan el problema siguiente.Para preparar otra clase de chocolate hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 8 kg de cacao. ¿Cuántos kilogramos de azúcar se deben comprar para 6, 15 y 27 kg de cacao? Escribe tus respuestas en la siguiente tabla y responde a las preguntas posteriores.

Kg. de cacao Kg de azúcar68 31527

a) ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de cacao se obtengan los kilogramos de azúcar correspondientes?________¿Cuál es?___________

b) ¿Cuántos kilogramos de azúcar se necesitan por cada kilogramo de cacao?_________

c) ¿Qué relación encuentras entre el factor constante que identificaste en a) y la cantidad de kilogramos de azúcar por cada kilogramo de cacao?_________________________________________________________________________________________________________________________________.

d) Utiliza el factor constante para calcular los kilogramos de azúcar necesarios para 30, 48, 57 y 75 kg de cacao.

Las preguntas de los incisos tienen la finalidad de verificar o promover la identificación y uso del factor constante de proporcionalidad. Justificar el uso de fracción en lugar de número decimal. No olvidar formalizar el cumplimiento de las propiedades estudiadas en una relación de proporcionalidad directa.Es posible que los estudiantes identifiquen que los valores de la columna del azúcar pueden obtenerse también dividiendo entre 3 los valores correspondientes del cacao; aprovechar para distinguir que es lo mismo “multiplicar por un tercio” que “dividir entre 3”

4

También es posible que al resolver problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante, los alumnos utilicen “la regla de tres”, si es así, considerarla como un proceso más, pero evitar inducir la falsa idea de “único camino”.

En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean directamente proporcionales:

Así mismo podemos esquematizar la relación de dos magnitudes que son inversamente proporcionales:

EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES¿Cuál de las siguientes situaciones es de proporcionalidad directa?

a)

b)

c)

d)

5

Esta actividad puede ser utilizada en plenaria con el grupo a manera de retroalimentación y evaluación del aprendizaje esperado. Sin dar la respuesta como acertada o no, hacer reflexionar al alumno sobre la respuesta dada. En el caso de la respuesta a) se pueden utilizar preguntas como las siguientes: ¿Puedes multiplicar la edad de Mateo por un número y obtener la edad de Celia? Si es necesario se les recuerda que se debe utilizar el mismo número en todos los renglones. En caso de que el grupo seleccione la respuesta b) como correcta (antes de validar su respuesta) ampliar el análisis a cantidades mayores, por ejemplo ¿Cuánto cuestan 60 ligas? , Si se triplica el número de ligas, ¿se triplica el costo?, ¿Cuántas ligas se puede comprar con $2.00?, ¿Cuánto cuesta una liga?; este tipo de análisis invita al alumno a reflexionar sobre el conocimiento aplicado y a corregir en caso de haber seleccionado una respuesta errónea.Para muchos alumnos es difícil distinguir la variación proporcional de otras situaciones, anímelos a explicar por qué eligieron cada opción y, al final, comenten lo siguiente:

• Cuando uno de los valores es 0 el otro también tiene que ser 0. • Si uno de los valores aumenta al doble, su correspondiente también debe aumentar al doble. Si disminuye a la tercera parta, su correspondiente también debe disminuir a la tercera parte. • Siempre es posible multiplicar los valores de una columna por un mismo número para encontrar sus correspondientes en la otra columna. • Recalque que se debe MULTIPLICAR por el número buscado.

PROPORCIONALIDAD

        En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"

Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.

1. También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50

Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).

También se cometen errores:

Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.

En matemáticas la palabra Proporción tiene un significado más restringido que trataremos de precisar:

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 16

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.

m2 de valla a pintar 1 1.5 2 4

Litros de pintura empleados 0.33 0.495 0.66 1.32

Ejemplo 2

Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad: 

 Velocidad que lleva (Km/h) 20 40 60 80 100

Distancia total de detención (m) 7 20.5 39.5 64 95

Ejemplo 3

Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.

Base del rectángulo

4

Altura del rectángulo

12

¿Son proporcionales las medidas de los rectángulos?

_______________________________ Argumenta tu respuesta

_________________________________________

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:

7

Tiempo Precio

hasta 1 hora $ 1

hasta 2 horas $ 2

.................. .............

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía   provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.

- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.

- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.

En el ejemplo 3:

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cuádruple base corresponde.... altura.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. doble, a mitad.............. mitad, a triple ............. triple, a un tercio.....un tercio, etc

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".

En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo Precio

30 minutos $ 1

60 minutos $ 1

70 minutos $ 2

140 minutos $ 3

8

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.

¿ Y el ejemplo 2 ? Averígualo y Argumenta tu respuesta.

Regla de tres

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?

Esta tabla es de proporcionalidad directa.

Observa:

Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicado por dicho número (o al revés), en consecuencia:

El cociente entre dos números correspondientes de cada serie es constante:

A esta constante ( en el caso anterior 0.25) lo llamaremos razón de proporcionalidad.

Actividades

1. De las siguientes tablas de valores, identifica cuáles corresponden a una proporcionalidad directa:

2. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razón de proporcionalidad es 3/4.

3. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3.

9

4. ¿ Cuál es la razón de proporcionalidad ?

5. Un estudiante pesó algunas bolas de acero. He aquí los resultados:

¿ Son directamente proporcionales las magnitudes diámetro y peso?_______ comprueba tu conclusión

6. Vertemos diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido medimos la altura del agua y su volumen:

¿ Es el volumen directamente proporcional a la altura ? Argumenta tu respuesta: __________________________________

Consigna : En equipos resuelvan el siguiente problema: Se quiere hacer una reproducción a escala de la figura que se muestra, de manera que el lado que mide 5 cm, mida 12 cm en la figura reproducida, ¿cuánto deben medir los demás lados? Utilicen la tabla para anotar las medidas.

Consigna : Consideren la misma situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado que mide 9 cm en la figura original, mida 3 cm en la figura reproducida, ¿cuánto deben medir los demás lados?

10

Consigna : Consideren la misma situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado que mide 2 cm en la figura original, mida 5 cm en la figura reproducida, ¿cuánto deben medir los demás lados?

Consigna : Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado que mide 5 cm en la figura original, mida la mitad en la figura reproducida, ¿cuánto deben medir los demás lados?

Consigna : Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado que mide 9 cm en la figura original, mida 6.5 cm en la figura reproducida, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.

Consigna : Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado que mide 2 cm en la figura original, mida 2.8 cm en la figura reproducida, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.

Si a los alumnos les cuesta trabajo relacionar el tema de escala con la proporcionalidad, explicar y ejemplificar dichos vínculos.Tanto en el primer como en el tercer problema es válido que los alumnos utilicen una fracción o un decimal para expresar el factor constante de proporcionalidad y es importante explicitar que, por ejemplo, 12/5 y 2.4 son expresiones equivalentes.

11

Es probable que en el segundo problema utilicen la división para obtener los valores que se piden, destacar la equivalencia de dividir entre 3 y multiplicar por un tercio.

En el problema de la consigna 4 el factor puede ser 0.5 o ½ (valores equivalentes), en cualquiera de los casos aprovechar la oportunidad para vincular con las operaciones de multiplicación y división.Por ejemplo, si se toma la razón 5 cm es a 2.5 cm

División: Al intentar encontrar el factor constante de proporcionalidad (2.5 5) Multiplicación: Al utilizar el factor constante de proporcionalidad (5 x 0.5 ó 5 x ½)

En el problema de la consigna 5 el factor de proporcionalidad puede ser 13/18 u otra fracción equivalente. Si usan un factor de proporcionalidad decimal hay que hacer notar que éste es periódico y por lo tanto las medidas de la figura reproducida son aproximadas.

PROPORCIONALIDAD. TABLAS Y GRÁFICAS

Tablas de variación proporcional directa.Una proporción es la igualdad entre dos razones donde se comparan

magnitudes, por ejemplo: si el cambio del dólar está a $ 9.30

mexicanos, completemos veamos la siguiente tabla:

Tabla de proporcionalidad directa

En la tabla anterior vemos que a mayor cantidad de dólares, más pesos nos dan en el cambio. Una representación gráfica de los datos

anteriores es la siguiente:

PRACTICA1. El papá de Francisco vende automóviles y la ganancia por cada 5 autos vendidos es de $

35,000. Si ha llevado un registro de sus ventas en los últimos 5 semanas ayúdale a completar la siguiente tabla teniendo en cuenta la constante de proporcionalidad.

12

Dólares Pesos10 9320 18630 27940 37250 46560 55870 65180 74490 837100 930110 1023120 1116130 1209140 1302150 1395160 1488

0.72

Cantidad de autos vendidos 5 10 15 20 25 38

Ganancia

RETROALIMENTACIÓNa. Compara las respuestas con un amigo de tu clase.

b. En caso que tu amigo tenga errores en las respuestas ayúdale a corregir.

c. ¿Qué estrategia seguiste para encontrar la respuesta en la última columna?

TOMA DE DECISIONES

2. José viaja alrededor de la pista circular de 0.4 km, hace un total de 60 vueltas. Cuando da

diez vueltas ha viajado 4 km, sin embargo, su cuenta kilómetros registra 3.4 km. José se da

cuenta que el cuentakilómetros de su coche se ha descompuesto y continua dando medidas

equivocadas. Ayúdale a José a completar la siguiente tabla:

Número de Vueltas 0 10 20 30 40 50 60Distancia que el cuentakilómetros de José midió (km) 0 3.40

Distancia que Josérealmente viajó (km) 0 4

Encuentra una regla con la que José pueda cambiar sus lecturas del cuentakilómetros en distancias reales que ha recorrido en su coche.

13

RETROALIMENTACIÓNa. Compara las respuestas con un amigo de tu clase.

b. En caso que tu amigo tenga errores en las respuestas ayúdale a corregir.

c. ¿Qué estrategia seguiste para encontrar la regla que convierta las lecturas del cuentakilómetros en

distancias reales?

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa a partir de una gráfica?

Para comenzar realiza estas actividades:

a)    Traza unos ejes cartesianos y dibuja una gráfica con los datos del ejemplo 1.

b)    Haz lo mismo con el ejemplo 3.

Observa la gráfica:

La altura del agua en la probeta es directamente proporcional al tiempo que permanece abierto el grifo.

Dos magnitudes M y M´ directamente proporcionales dan lugar a una gráfica de este tipo:

   Si la gráfica de dos variables es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, entonces una variable es directamente proporcional a la otra.

 

Actividades de proporcionalidad y medida

14

Algo normal

3. Si el policía de la foto mide alrededor de 1'90 m de altura, estima la estatura del más bajo.

En caso de que los alumnos no lleguen a generalizar el procedimiento deseado, este será propuesto por el docente, después de haber agotado todos los procedimientos utilizados por los alumnosAlgunos aspectos que pueden orientar la respuesta de la primera pregunta son:

1. Estructura de los problemas.2. Dependencia entre las magnitudes.3. Comportamiento de las magnitudes.

Algunos aspectos que pueden orientar la respuesta de la segunda pregunta son:1. Número de magnitudes que se relacionan.2. Tipo de números que se emplean.3. La forma directa o indirecta de plantear la proporcionalidad múltiple.4. El procedimiento de resolución más pertinente.5. Dificultad en la interpretación del problema.

Consigna : En equipos, resuelvan el siguiente problema: Al fotocopiar una credencial, primero se amplia al triple y posteriormente la copia resultante se reduce a la mitad. ¿Cuál es el efecto final respecto a la credencial original? Si la credencial es un rectángulo de 10 por 6 cm, ¿qué área tendrá en la primera fotocopia? ¿Y en la segunda? Si necesitan calculadora, pueden utilizarla.

Consigna : En equipos resuelvan el siguiente problema. El triangulo ABC, que aparece abajo, se reprodujo a una escala de 3/2, posteriormente, a partir de esta reproducción se hizo una más con una escala de 1/3

¿Cuál es la escala de la segunda reproducción respecto al triángulo original?

Consigna : En equipos, resuelvan el siguiente problema: Una fotografía se reduce a una escala de 1/3 y enseguida se reduce nuevamente con una escala de 1/4. ¿Cuál es la reducción total que sufre la fotografía original?

En la primera consigna los operadores son enteros, “por 3” y “entre 2”, que al combinarlos resulta el factor 3/2. Ampliar al triple es equivalente a utilizar una escala de 3 a 1 y reducir a la mitad es

15

equivalente a utilizar una escala de 1 a 2, así, el efecto final puede expresarse mediante la escala 3 es a 2 o 3/2.Conviene resaltar que 3/2 también puede interpretarse como “entre 2” “por 3”. Los efectos en la segunda fotocopia serán los mismos si primero se reduce a la mitad y luego se amplia al triple.Tanto para calcular el área de la primera fotocopia como para la segunda, los alumnos tienen que pasar por la medida de los lados, conviene resaltar que cuando ambos lados del rectángulo aumentan al triple el área aumenta nueve veces, mientras que cuando ambos lados se reducen a la mitad, el área se reduce cuatro veces. Vale la pena preguntar por qué sucede esto. Un error muy frecuente es pensar que el área aumenta o disminuye en la misma proporción que los lados. Habrá que ver si los alumnos incurren en él.Si el problema de la consigna 2 resulta complicado, algunas preguntas que pueden orientar a los alumnos son:

a) ¿Cuánto miden los lados de la primera reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores?

b) ¿Cuánto miden los lados de la segunda reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores, considerando los valores de la primera reproducción?

c) ¿Qué factor fraccionario permite obtener directamente las medidas de los lados de la segunda reproducción, a partir de las medidas del triángulo original?

d) ¿Qué relación encuentran entre los factores mencionados en los incisos a) y b) y el mencionado en c)?

Al trabajar con dos factores consecutivos fraccionarios conviene regresar a la descomposición de cada uno. Por ejemplo, por tres medios equivale a por tres entre dos y por un tercio equivale a por uno entre tres. Agrupando las operaciones queda por tres por uno, entre dos entre tres, es decir, por tres entre seis o por 3/6, que es el resultado de multiplicar 3/2 por 1/3.Es conveniente sugerir variantes del problema de la consigna 3, por ejemplo, cuando la fotografía se amplía dos veces consecutivas o cuando se amplía y posteriormente se reduce o viceversa, poniendo énfasis en el caso especial cuando las escalas son inversas, por ejemplo 3:1 y 1:3.Dada la complejidad de este apartado de conocimientos y habilidades es muy probable que haya necesidad de dedicar tiempo a la práctica para consolidar, planteando otros problemas similares.

Consigna: Resolver los siguientes problemas. Pueden utilizar su calculadora.

1. Un mantel circular de cierta tela tiene un costo de $2,000.00. Suponiendo que el costo es proporcional a la cantidad de tela, ¿cuánto costaría otro mantel en el que se utiliza la cuarta parte de esa misma tela?

2. La presión arterial de un individuo sano está en el rango 80-120. La presión arterial de José está en el rango 100-140. El medicamento recetado por el médico disminuye 2.5 unidades de presión por cada miligramo que se ingiere. ¿Cuántos miligramos del medicamento se requieren para normalizar la presión de José?

3. Para desplazarse en automóvil de una ciudad a otra, la familia Aguayo lo hizo en 4 etapas y en todas desarrolló la misma velocidad promedio. La siguiente tabla contiene información de cada recorrido, complétala y después contesta lo que se pide.

16

Etapas 1 2 3 4

Distancia (km)

120 100 80 50

Tiempo (hrs)

1.5

¿Cuántos kilómetros recorrieron en total? ¿Cuánto tiempo emplearon en las cuatro etapas? ¿A qué velocidad promedio recorrieron cada tramo?4. En una tienda departamental se anuncia un descuento del 30% en todos los manteles. El precio

normal de un mantel es $550.00. ¿Cuánto me ahorraría en la compra de 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 manteles? Elaboren una tabla que contenga el número de manteles, el precio sin descuento y el descuento que se obtiene.

5. La siguiente tabla contiene el equivalente en pesos mexicanos de varias cantidades de dólares, complétenla y luego contesten las preguntas.

Pesos($)

216.60

Dólares 3 8 20 50 180

a) ¿Cuánto cuesta un dólar?

b) ¿Cuánto pagarás por 9 dólares?

c) ¿Cuánto pagarás por 16 dólares?

d) ¿Cuántos dólares son 250 pesos?

6. La masa de 5 cm3 de azúcar es de 8 gramos. Completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide.

Volumen (cm3) Masa (g)5 88

143690150

a) ¿Cuál es el volumen de un kilogramo de azúcar?b) Si la densidad de una sustancia representa la masa de 1 cm3 de esa sustancia. ¿Cuál es la

densidad del azúcar?

Es importante analizar los procedimientos que utilizan los alumnos y la manera en que organizan la información, si hacen uso de tablas o no en los dos primeros problemas. Por otra parte, es importante hacer notar la relación de proporcionalidad que existe entre los conjuntos de cantidades, (costo y

17

cantidad de tela; unidades de presión y miligramos de medicamento; distancia y tiempo), en los tres casos se puede verificar que las cantidades aumentan o disminuyen en la misma proporción.Si bien los alumnos podrían utilizar diversos procedimientos, es importante analizar las ventajas de utilizar en particular alguno, por ejemplo si en el problema 3 se empeñan en buscar la distancia recorrida en 1 hora, este es un valor aproximado ( 33.3… ), que al utilizarlo se invierte mucho tiempo y las cantidades de horas obtenidas son aproximadas. Por las características de los problemas de este plan, un procedimiento deseable que podrían utilizar los alumnos es la “regla de tres”, previa explicación de la misma y subrayando que representa una alternativa más y no la única. Si hay dificultades con las fracciones y los decimales hay que detenerse para analizar los errores; retroalimentar los procedimientos para operar con fracciones si es necesario. En los problemas 5 y 6 es pertinente utilizar las técnicas del valor unitario y el factor constante de proporcionalidad.

PROPORCIONALIDAD. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua 50 xGramos de sal 1300 5200

 

Se verifica la proporción: 5200130050 x

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta:(50)(5200)=1300x

Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:  

2001300

5200.505200_____1300____50

5200130050

xglxgl

saldeghabrálxEnsaldeghaylEn

 Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.  Ejemplo 2 Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?

18

1205100.6

______6100______5

xkmxlkml

Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km

Consigna: Resolver los siguientes problemas.

1.- En la tienda de Don José se venden 5 kg de naranjas en $16.00. ¿Cuál sería el costo de 9 kg?, ¿y de 6 kg?, ¿y de un kilogramo?, ¿y de 3 kg? Con los datos anteriores y sus respuestas, completen la siguiente tabla:

KilogramosCosto

¿Qué sucede con el costo al aumentar la cantidad de kilogramos de naranja que se compren? ______________¿Qué sucede con el costo al disminuir la cantidad de kilogramos de naranja que se compren? ______________

2.- Una empresa elaboradora de alimentos para animales envasan su producción en bolsas de 3kg, 5kg, 10kg, 15 kg y 20 kg. Si dispone de 15 toneladas a granel, ¿cuántas bolsas utilizaría en cada caso?. Completa la tabla siguiente con los datos que obtuvieron.

KilogramosNo. Bolsas

¿Qué sucede con el No. de bolsas al aumentar la cantidad de kilogramos en cada una? ______________¿Qué sucede con el No. de bolsas al disminuir la cantidad de kilogramos en cada una? ______________¿Qué observan entre el comportamiento de los datos de la primera tabla con respecto a los de la segunda tabla? ______________________________________________

3. La tabla siguiente muestra el perímetro (P) de un cuadrado de longitud l por lado, para distintos valores de l. Hacen falta algunos datos complétenla:

l 2 6 8P 16 24 40

¿Qué tipo de variación observan en esta tabla? ______________¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ______________

19

En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean directamente proporcionales:

¿Cómo determinaron la constante de proporcionalidad? _________________________

4. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de la base y la altura de un rectángulo cuya área es constante. Anoten los datos que faltan.

Base (b) 2 3 4Altura (h) 24 8 4

¿Cuál es el área del rectángulo? _____________¿Qué tipo de variación observan en esta tabla? ______________¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ______________¿Cómo determinaron la constante de proporcionalidad? ___________________________________________

Consigna: Resuelve los siguientes problemas. Puede usar la calculadora.

5. Una persona da 420 pasos de 0.75 m cada uno para recorrer cierta distancia, ¿cuántos pasos de 0.70 m cada uno necesitaría para recorrer la misma distancia?

6. Un coche tarda 9 horas en recorrer un trayecto siendo su velocidad de 85 km por hora. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto a 70 km por hora?

7. En una fábrica de chocolates se necesitan 3 600 cajas con capacidad de ½ kg para envasar su producción diaria. ¿Cuántas cajas con capacidad de ¼ de kg se necesitarán para envasar la producción de todo un día? ¿Y si se quiere envasar la producción diaria en cajas cuya capacidad es de 300 g?

El alumno ya ha trabajado con proporcionalidad directa. Si el profesor lo considera necesario aprovechará la situación para cuestionar a sus alumnos acerca del factor constante y la expresión algebraica que relaciona las dos variables. En caso de que los alumnos tengan dificultad para contestar la última pregunta, el profesor los puede orientar con preguntas como: ¿Varían de igual forma los datos en ambas tablas? , ¿En qué son diferentes?,etc. El profesor concluirá que al segundo tipo de variación se le denomina “Variación Proporcional Inversa”.

Se espera que para la tabla del problema 3 no presente dificultad puesto que ya han trabajado con proporcionalidad directa. Si tuvieran dificultades el profesor aprovechará para hacer un repaso de la constante de proporcionalidad y la forma de determinarla. Con respecto al problema 4, si los alumnos presentan dificultad en completar la tabla, recordar la forma de obtener el área de un rectángulo y señalar que el área de dicho rectángulo es constante.

Se puede presentar el caso de que los alumnos interpreten los problemas como variación directa, en este caso el profesor deberá dirigir la atención al comportamiento de las variables involucradas en cada problema, en el sentido de que si una aumenta la otra disminuye y viceversa para establecer que se trata de una variación proporcional inversa, además de aprovechar para cuestionar a los alumnos sobre la propiedad de productos constantes.

20

PROPORCIONALIDAD. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Variación proporcional inversaDos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas las otra disminuye o viceversa.

Por ejemplo, que vamos en un viaje y que llevamos en nuestro coche el tanque con 20 litros de

gasolina. Supongamos que el coche consume 1 litros por cada 10 kilómetros recorridos. En la

siguiente tabla vamos a ver la tabla de consumo de gasolina del coche a medida que hacemos el

recorrido:

Tablas de variación proporcional de la cantidad de gasolina consumida.

Cantidad de gasolina 20 19 18 17

Kilómetros recorridos 0 10 20 30

Como podemos ver a medida que aumenta la cantidad de kilómetros recorridos en el viaje,

disminuye la cantidad de gasolina en el tanque del coche. Por esto decimos que estas dos

cantidades varían de manera inversa:

TOMA DE DECISIONESJuan se propuso ahorrar $ 25 diarios. Completa la siguiente tabla, realiza la gráfica de la variación

de la cantidad de dinero a medida que pasa el tiempo y contesta las preguntas que vienen al final:21

Cantidad de pesos ahorrados 9125

Cantidad de días 2 8 100

RETROALIMENTACIÓNDiscute con un compañero de tu clase sobre la manera como resolviste el problema.

a. ¿La variación entre la cantidad de pesos ahorrados y la cantidad de días de ahorro es directa

o es inversa?

b. ¿Cuántos días deben pasar para tener ahorrados más de $2,000?

c. Si en lugar de $25 pesos diarios ahorra 30 pesos diarios, ¿Qué cambios notas con respecto a la grafica de esta variación con respecto a la original?

Problema  Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas? Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son magnitudes inversamente proporcionales. x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas 

Nº de vacas 220 450Nº de días 45 x

 

Se cumple que: 220.45=450.x, de donde 22

45045.220x

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: 

22450

45.220_____450

45____220450

45220

xdíasxvacasdíasvacas

díasxparatienenvacasdíasparatienenvacas

Luego 450 vacas podrán comer 22 días Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa. 

Problema 2 

22

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? 

5032200.8

____32200_____8

x

litrosxtoneleslitrostoneles

Pues la cantidad de vino=8.200=32.x Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

23

Podemos esquematizar la relación de dos magnitudes que son inversamente proporcionales: Esta relación se llama regla de tres simple inversa

Consigna : Resolver el siguiente problema: Tres amigos obtienen un premio de $1000.00 en la lotería, ¿cómo deben repartirlo si uno de ellos aportó $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00 para comprar el boleto?

Consigna : Resolver el siguiente problema: Cuatro amigos ganaron un premio de $15000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto, que costó $100.00. Al primero le tocó $2100.00, al segundo $5700.00, al tercero $3300.00 y al cuarto el resto de los $15000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?

Es probable que algunos resultados dados en la consigna 1, no correspondan a un reparto proporcional, dado que no se establece este tipo de reparto. En tal caso, habrá distintos resultados que pueden ser correctos, siempre y cuando se expliquen los criterios bajo los cuales se obtuvieron. Después de la puesta en común de los procedimientos y resultados al problema anterior se planteará uno más cambiando los datos y precisando que el reparto del premio debe hacerse proporcionalmente a lo que cada amigo aportó. Por ejemplo, se puede decir: en vez de 1000 pesos ahora el premio es de 5000 pesos y las cantidades aportadas son: $35.00, $20.00 y $25.00

En la consigna 2 si se especifica que el reparto es proporcional a lo que cada uno aportó. Es necesario que se analicen con profundidad los procedimientos empleados por los alumnos y que al recapitular, a todos les quede claro que lo que está en juego en este tipo de problemas es averiguar qué parte es una cantidad de otra. Por ejemplo, qué parte de 15000 es 2100. Esta misma parte es lo que le correspondió pagar del boleto a este amigo.

24

PROPORCIONALIDAD. Repartos proporcionales

Actividad resuelta de repartos directamente proporcionales

Un padre regala a sus dos hijos $ 1000 para que se los repartan de forma directamente proporcional a sus edad que son 8 y 12 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?.

Si llamamos x a la cantidad que corresponde al pequeño e y al mayor, x + y = $1,000.

Edad 8 12

Cantidad x y

La anterior es una tabla de proporcionalidad directa por lo que se cumple: con la condición de que  x + y = 1,000.

Se puede resolver utilizando la propiedad En este caso:

Por lo tanto:  y 

El pequeño recibe 400 y el mayor 600.

Resuelve el siguiente problema:

Juegas a la lotería con un cachito (1 de 20) de $ 50, para el que tú pusiste 17 y tu amigo 23. Si obtienen un premio de  $ 180,000 ¿Cuánto debería de corresponder a cada uno?

Repartos inversamente proporcionales

Reparte $24,000 en partes inversamente proporcionales a 2 y 3.

La tabla:25

a.... 2 3

...le corresponde x y

es de proporcionalidad inversa por lo que sus productos son iguales: 2 · x = 3 · y es decir, , y como x + y = 24000, resolviendo, se obtiene que x = 14,400 e y = 9,600.

Algo más sobre repartos proporcionales

Las dos aplicaciones más importantes de los repartos proporcionales son las llamadas reglas de compañía y reglas de aligación:

La regla de compañía tiene por objeto repartir entre varios socios la ganancia o pérdida que ha tenido la sociedad.

Comentaremos dos casos:

Caso 1: Que los capitales aportados sean diferentes y estén el mismo tiempo.

Para crear un negocio tres socios aportan 70,000, 40,000 y 50,000 pesos respectivamente. Si al final obtienen una ganancia de $24,000. ¿Cuál es la parte que corresponde a cada uno?

Aporta 70,000 40,000 50,000 160,000

Gana x y z 24,000

Esta tabla es de proporcionalidad directa, con lo cual:

. Por tanto, x = 10,500; y = 6,000; z = 7,500.

Caso 2: Que los capitales sean iguales y los tiempos diferentes.

Tres socios ponen capitales iguales, el primero por 11 meses, el segundo por 10 y el tercero por 9, sufriendo una pérdida de 15,000 pesos. ¿Cuánto pierde cada uno?

La siguiente tabla es de proporcionalidad directa:

Tiempo 11 10 9

Pérdidas x y z

26

Con lo cual . Despejando, x = 5,500; y = 5,000 ; z = 4,500.

Actividades de práctica

2. Una sociedad formada por 4 socios que han aportado cada uno $ 10,000, ha obtenido el primer año un beneficio de $ 2,500. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

 

3. Dos señores forman una sociedad aportando cada uno $ 4,000 de capital. Al cabo de un año ingresa un tercer socio con el mismo capital y dos años más tarde ingresa un cuarto socio que aporta también $ 4,000. A los 6 años de su fundación se liquida, teniendo un beneficio a repartir de $11,000. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

 

4. Dos socios en el primer año de su negocio, obtienen un beneficio de $30,000. ¿Cuánto corresponde a cada uno si el primero aportó $ 30,000 y el segundo, $ 70,000?

Reglas de Aligación: Mezclas y Aleaciones

Mezclas

Actividad resuelta

Si mezclamos 20 Kg de una sustancia cuyo precio es de $ 500/Kg. con 30 Kg. de otra cuyo precio sea de $300 /Kg. Obtenemos una mezcla. ¿Cuál es el precio del Kg de mezcla?

Evidentemente, el precio de la mezcla ha de ser proporcional a la cantidad de mezcla y, por tanto, (20+30) Kg de mezcla costarían 20x500+30x300 pesos.

Cantidad de mezcla 20+30 1

Precio de la mezcla 20·500+30·300 x

Resolviendo:

También se puede plantear el problema inverso:

Se desean 150 Kg de mezcla de las sustancias anteriores que resulte a 45 pesos el kilogramo. ¿Cuánto deberá ponerse de una y de otra ?.

Llamemos C a la cantidad de la de 50 pesos el Kg. Por lo tanto, 150 - C será la cantidad de sustancia de 30pesos

27

Por (1): y resolviendo, C = 112.5

C = 112.5 Kg de sustancia de 50 pesos/kg y 150 - C = 47.5 Kg de sustancia a 30 pesos/Kg.

Aleaciones

Para mejorar ciertas cualidades de los metales se suelen "alear" con otros, es decir, se funden con éstos hasta constituir masas homogéneas, llamadas aleaciones. Para fijar la proporción en que entran los metales fundidos se suele dar la cantidad de cada metal contenida en cada unidad, o cien o mil unidades, de peso de la aleación, es decir se fijan los tantos por uno, por cien o por mil de cada metal.

Así, por ejemplo, si nos dicen que un bronce tiene el 83% de cobre, el 9% de estaño, el 5% de cinc y el 3% de plomo, significa que:

En cada 100 Kg de aleación hay 83 Kg de cobre, 9 Kg de estaño, 5 de cinc y 3 Kg de plomo.

Actividades resueltas

a) Calcular el peso de cada uno de los metales que debemos tomar para fundir una pieza de bronce de 400 kg de peso y con la composición indicada.

El problema se reduce a repartir proporcionalmente 400 entre las cantidades 83, 9, 5 y 3.

83 9 5 3

x y z t

Por lo tanto x = 4.83, y = 4.9, z = 4.5, t = 4.3.

b) Se han fundido 300 Kg. de una aleación de cobre y cinc que tiene 0.92 por uno de cobre (0.08 de cinc) con 200 Kg. de otra aleación con los mismos materiales con 0.85 por uno de cobre (0.15 de cinc). Calcular los tantos por uno de cobre y cinc de la aleación resultante:

Cantidad de cobre en la 1ª aleación:.... 0.92 · 300 = 276 Kg

Cantidad de cobre en la 2ª aleación:.... 0.85 · 200 = 170 Kg

Cantidad total de cobre........................:................= 446 Kg

Tanto por uno de cobre:............ 446 : (300 + 200) = 0.892

28

Tanto por uno de cinc :............................1 – 0.892 = 0.108

Actividades no resueltas

5. Un almacenista tiene aceites de 120, 90, 60 y 50 pesos por litro y desea mezclarlo para venderlo al precio medio de 77 pesos. ¿En qué proporción efectuará la mezcla? (27,17,13,43)

 

6. Mezclamos 6 kg. de café de 4.2 pesos el kg con cierta cantidad de café de 3 pesos. y queremos que la mezcla resulte a 3.8 pesos el kg. ¿Qué cantidad debemos tomar de la 2ª clase?

 

7. Se mezclan dos líquidos de densidades 1.2 y 0.8 ¿Qué cantidad hay que tomar de cada clase para tener una mezcla de 3 litros y densidad 0.9?

Consigna: Resolver el siguiente problema: Martín fue a una copiadora para reducir una fotografía con la medida indicada a continuación:

x

al recibir la copia, se dio cuenta que la foto ( copia) medía de ancho 6 cm

1- ¿Cuál fue el factor de reducción que aplicó el encargado de las copias?

2- ¿Cuánto mide de largo el original, si en la copia este lado mide 15 cm?

Consigna: Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las medidas indicadas, encuentren las medidas en los segmentos que hacen falta (sin utilizar la regla).

3-

29

8 cm

GD E

B’

G’D’ E’2

4-5-

En el caso de la primera pregunta de la consigna 1, es importante asegurar que los alumnos comprendan que tienen que determinar el factor que multiplicado por 8 resulte 6. Al mismo tiempo es oportuno comentar la equivalencia entre multiplicar por una fracción y dividir entre la fracción reciproca por ejemplo 6 x 4/3 = 6 ÷ ¾. Si los alumnos logran en poco tiempo resolver el problema, se podrá presentar las siguientes situaciones: Queremos que la fotografía se amplíe al tamaño de un cartel que debe medir 45 cm de largo y 18 cm de ancho ¿Cuál es su factor de proporcionalidad? O bien:¿Qué característica debe tener el factor de proporcionalidad cuando sirve para ampliar una figura?, ¿y para reducirla?En la segunda consigna, al realizarse la puesta en común, es importante orientar la discusión hacia el uso del factor inverso, con preguntas como las siguientes:¿Por cuál número es necesario multiplicar la longitud del segmento B’G’ para obtener la medida del segmento BG? Es importante llevar a los alumnos a concluir en la puesta en común la relación que existe entre los dos factores, el de ida y el de regreso y que verifiquen que su producto da uno.

Se pueden manejar otras situaciones como la siguiente: ¿Cómo varía el área y el volumen cuando dos sólidos son proporcionales?

cubo 1 cubo 2

Por lo tanto:

30

  cubo 1 cubo 2 razón de

proporcionalidad

arista a ka

área lateral

volumen

 

 

H A

B

BARCO 1 BARCO2

H’A’

32

4

16

Si la razón entre líneas es k, entonces la razón entre áreas es k2  y la razón entre volúmenes es k3 

Problemas por resolver

1. El nenúfar

Una hoja de nenúfar flota en el centro de un estanque circular. Su área se duplica día a día.

Al cabo de 8 días el área de las hojas es igual a la mitad del área del estanque.

Al cabo de cuántos días, las hojas recubrirán el estanque?

2. Área de un triángulo

La base OU del triángulo BOU está fija y mide 4 cm. El vértice B se desplaza sobre la recta r perpendicular a la base.

.Completa la tabla:

HB 1 2 3 4 5 10 15 20ÁREABOU                

y traza la gráfica representando el área del triángulo BOU en función de la altura HB. ¿Es proporcional el área a la altura?

 

3. Área de un sector circular

En un círculo de radio 4 cm, consideramos un sector circular de ángulo x

31

Completa la tabla y traza una gráfica que represente el área del sector circular en función del ángulo x.

¿Existe proporcionalidad?

Calcula el área de un sector de 70º de un disco de 6 cm de radio.

 

4. El área de una esfera es directamente proporcional al cuadrado del radio. Cierta esfera tiene una superficie de 452 mm2 y un radio de 6 mm. Completa esta tabla:

r 6 4  r2 36    A 452   100

2.1.8. Conocimientos y habilidades: Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

Consigna 1: En una fábrica se elaboran cajas de cartón de diferentes tamaños. En la tabla se muestran las dimensiones de algunas de ellas; si lo desean pueden dibujarlas y/o construirlas con cubos.

Caja Largo Ancho Alto VolumenA 3 dm 2 dm 4 dm 24 dm3

B 6 dm 2 dm 4 dmC 6 dm 6 dm 4 dmD 6 dm 4 dm 8 dmE 9 dm 6 dm 12 dm

Después de obtener el volumen de todas las cajas, analicen lo siguiente: ¿Cómo crecen los volúmenes en relación con las medidas de largo, ancho y alto de las cajas?

¿De los cinco tipos de cajas hay tres que están a escala, ¿cuáles son? ¿Cómo lo saben?

Consigna: Una cadena de tiendas que distribuye perfumes, maneja 3 diferentes tamaños de caja para envasar su producto. La forma de la caja es un prisma triangular como se muestra en la figura.

32

Completa la tabla siguiente:

Consigna : Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

Problema 3.1. Se calcula que se necesitan 20 litros de agua diarios para cada 15 niños que van a una excursión. ¿Cuántos litros se necesitan si 45 niños salen durante 7 días?

Problema 3.2. Al organizar otra excursión el responsable llevó 60 niños y transportó 420 litros de agua ¿Cuántos días podrá durar la excursión, si se conserva el promedio de consumo de agua por cada niño?

Es necesario ayudar a los alumnos a analizar la primera pregunta de la consigna 1, para que encuentren las relaciones entre el crecimiento de una o más dimensiones y el volumen de las cajas.Es posible que los alumnos encuentren cómo se obtuvo la variación proporcional de dos cajas que están a escala, por ejemplo, al comparar los volúmenes de las cajas D y A; debe quedar claro que, por ejemplo, si se duplican las tres dimensiones de la caja, el volumen incrementa 8 veces (2 X 2 X 2 = 8) y sólo si las tres dimensiones aumentan en la misma proporción la caja que resulta está a escala. Si no fuese encontrada esta relación por los propios alumnos, conviene que el profesor la ponga a consideración para que los alumnos la validen.

El profesor deberá estar atento para propiciar la explicación de cada uno de los diferentes procedimientos utilizados por los alumnos, procurando que lleguen a generalizar reglas de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades, mientras el tercer conjunto permanece constante. Por ejemplo, la regla de correspondencia entre agua y niños, si la cantidad de días permanece constante es N = ¾ A, o bien, A = 4/3N.

El profesor podrá plantearle al grupo problemas similares a los presentados, de tal manera que visualice hasta dónde sus alumnos han utilizado procedimientos adecuados para resolverlos.

Ejemplo: Problemas complementarios

33

1. En un taller de carpintería, 6 carpinteros organizados en equipo hacen 60 puertas en 15 días. Si la empresa que los contrató requiere 900 puertas en un máximo de 6 quincenas, ¿cuántos trabajadores más necesitan contratar para entregar a tiempo el pedido, bajo el supuesto de que todos trabajarán al mismo ritmo?

2. En una fábrica de tornillos se sabe que para cubrir un pedido en 20 días se necesitan 3 empleados que trabajen tiempo completo. ¿Cuántos empleados necesitarían para cubrir el mismo pedido en sólo 6 días?

3. Se calcula que se necesitan 8 litros de agua diarios para cada 4 niños que van a una excursión. ¿Cuántos litros se necesitan si salen 12 niños durante 4 días?

PROPORCIONALIDAD. Proporcionalidad múltiple o compuesta

La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen más de dos magnitudes que mantienen entre sí relaciones de proporcionalidad

Un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo.

Proporcionalidad directa entre las magnitudes

Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºC se han necesitado 1000 calorías. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC ¿Cuántas calorías son necesarias?

En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el cambio de temperatura y la cantidad de calorías.

¿Cuál es la relación entre las magnitudes?Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación directa)Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá que usar más calorías (relación directa).Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos a calcular cuantas calorías hacen falta para subir un grado un litro de agua.

34

Lítros de agua Salto térmico Calorías  2 20 1000  

1 20 1000/2 =500 Para calentar un litro de agua 20ºC hacen falta 500 calorías

1 1 500/20=25 Para calentar un litro de agua 1 grado hacen falta 25 calorías

3 50 25x3x50=3750 Luego para calentar 3 litros 50ºC harían falta 3750 calorías

Proporcionalidad directa e inversa entre las magnitudes

Se han necesitado 2000 calorías para calentar 2 litros de agua desde 10ºC a 50ºC. Si a 5 litros de agua a la misma temperatura inicial le suministramos 8000 calorías ¿Qué temperatura alcanzarán?.

¿Cuál es la relación entre las magnitudes?A mayor cantidad de calorías más se calienta el agua (relación directa)Con las misma calorías a mayor cantidad de agua menos se calienta, menor salto térmico (relación inversa).

Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos a calcular cuántos grados sube un litro de agua al que se le aplica una caloría.

Calorías Lítros de agua Salto térmico  2000 2 40  

1 2 40/2000=0.02 Si aplicamos una caloría a 2 litros de agua su temperatura subirá 0.02 grados

1 1 0.02x2=0.04Si en lugar de calentar 2 litros queremos calentar 1 se subirá la temperatura en 0.04 grados

8000 5 0.04x8000/5=64 Luego la temperatura del agua subirá 64ºC y será de 74ºC

Proporcionalidad inversa entre las magnitudes Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días ¿Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla?

¿Cuál es la relación entre las magnitudes?A mayor cantidad de horas hacen falta menos obreros (relación inversa)A más días trabajando hacen falta menos obreros (relación inversa).

Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad.

35

Horas Días Obreros  10 9 4  

1 9 4 x 10 = 40 Si en lugar trabajar 10 horas trabajan 1 haran falta 40 obreros para hacer el trabajo que hacen 4

1 1 40 x 9= 360Si en lugar de hacer el trabajo en 9 días lo queremos hacer en 1, habrá que aumentar la plantilla hasta 360 obreros

6 12 360/(6x12) = 360/72=5 Luego la otra cuadrilla tiene 5 obreros.

Los procedimientos anteriores se pueden generalizar para resolver de manera sistemática cualquier tipo de problemas de proporcionalidad compuesta sea, directa, inversa o mixta. Analiza los gráficos siguientes y establece con tus propias palabras como se aplica cada regla.

Directa

.

Inversa

Mixta

Ejemplo:

Un crucero por el Mediterráneo para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos de alojamiento y comida, 54.000 euros. ¿Cuántos euros gastarán para alojar y alimentar a 250 personas durante 10 días?

G = Gasto en euros (€) P = Nº de personas D = Nº de días

54000 200 personas 15 días

x 250 personas 10 días

Procedimiento: 36

Veamos qué relación de proporcionalidad, directa o inversa, mantiene la magnitud G de la incógnita con las otras dos magnitudes. Es fácil observar que si P es constante entonces "a doble número de días ,doble gasto; o que a triple número de días triple gasto ; o que si reducimos las vacaciones a la tercera parte, el gasto se reducirá a la tercera parte;........ Resumiendo G es directamente proporcional a D.

De igual manera, si D es constante entonces G es directamente proporcional a P.

En la siguiente tabla intentaremos reducir el estudio de las magnitudes conocidas (en este caso personas y días) a uno.

Gastos (€) Personas Días

54000 200 15

 

1

 

15

 

1

 

1

 

1

 

10

 

250

 

10

Por lo tanto:

Escrito de otra forma:

37

b) Con un mismo nº de máquinas, para mover doble o triple cantidad de tierra, se necesitarán el doble o el triple número de días, respectivamente. Por lo tanto la relación de proporcionalidad es directa.

Para una misma cantidad de m3 de tierra, doble o triple cantidad de máquinas tardarán la mitad o la tercera parte, respectivamente. Por tanto, esta relación de proporcionalidad es inversa.

y despejando, x = 12.

Problemas por resolver

Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo fijado?

Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias, para cavar una zanja de 10 m de largo, 6 m de ancho y 4 m de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 15 m de largo, 3 m de ancho y 8 m de profundidad, en un terreno de doble dificultad?

Si18 máquinas mueven 1200 m3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24 máquinas para mover 1600 m3 de tierra?

Un motor funcionando durante 10 días y trabajando 8 horas diarias ha originado un gasto de 1200 ptas. ¿Cuánto gastará el motor funcionando 18 días a razón de 9 horas diarias?.

Con 15 máquinas de escribir durante 6 horas, se escriben 220 folios. ¿ Cuantos folios se escribirán con 45 máquinas durante 12 horas?.

 

Con 14 rollos de moqueta se ha cubierto un pasillo de 16 m. de largo por 75 cm de ancho. ¿Cuál será la longitud del pasillo de otra casa cuya anchura es de 80 cm si se han necesitado 12 rollos?.

38

 

Un caminante recorre 120 Km. andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas necesitará para recorrer 129 Km en 12 días?.

 

Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150 días. ¿Cuántos litros podrán suministrar a 40 familias durante 200 días?.

39