EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

PATRONES Y FÓRMULAS

Problema

Si se tiene que cercar un terreno cuadrado con malla ciclónica, ¿qué tomarías en cuenta del terreno, para comprar la malla suficiente? ......._______________________________

Si el terreno tiene 50 m por cada lado, ¿cuántos metros compras de malla? ___________

Si el lado mide 63.25 m, ¿cuánta malla? ..................................... ___________

Para cualquier terreno con figura cuadrada, ¿qué fórmula usarías cuando necesites protegerlo en su derredor? ................................................. P = ___________

Si la figura no es cuadrada y tiene cualquier otra forma poligonal, ¿qué fórmula utilizarías?

__________________________

ÁREAS

En todo terreno, no sólo se requiere protegerlo en su derredor, sino también es necesario registrarlo como propietario del mismo; por lo cual, se necesita conocer de cuántos metros cuadrados está formado.

¿Cómo se obtendrán los metros cuadrados de los dos terrenos que se cercaron en la actividad anterior?

SUPERFICIE. Es todo aquello que tiene dos dimensiones: Largo y Ancho.

ÁREA. Es la medida interna de una superficie.

Ilumina de rojo la superficie del círculo, de café la superficie del cuadrado, de verde la

superficie del trapecio y de azúl la superficie del triángulo y contesta las siguientes

preguntas.

Realiza cálculos y operaciones y contesta.

¿Cuál figura crees que tenga mayor área? ______________________

¿Cuál crees que tenga menor área? ......... ______________________

Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las fórmulas como números generales y no como simples etiquetas que evocan las dimensiones de las figuras, es necesario plantear preguntas que apunten hacia la generalización de procedimientos. Por ejemplo:

Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco? (nótese que no se trata de calcular el perímetro sino de enunciar el procedimiento).

Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, ¿cómo se determina el perímetro del marco? ¿Y si midiera 35 cm? En general, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?

Como en el caso de las sucesiones numéricas y figurativas, se insiste primero en que los alumnos expresen en forma verbal el procedimiento o fórmula en cuestión y luego algebraicamente.

PROBLEMA: Obtén el perímetro de un terreno irregular que tiene las medidas que la figura indica.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

SIMETRÍA AXIAL

En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades de la simetría axial sin utilizar la nomenclatura formal.

En secundaria se pretende que, dada una figura, analicen las propiedades que se conservan al construir su simétrica respecto de un eje (igualdad de lados y ángulos, paralelismo y perpendicularidad).

Entender lo que es la SIMETRÍA AXIAL, resulta demasiado sencillo si analizamos lo siguiente:

Recordemos que dos números son SIMÉTRICOS, cuando al representarlos en la recta numérica, la distancia de cada número al CERO, es la misma: + 3, es simétrico de - 3; - 8, es simétrico de + 8

Ahora nos damos cuenta, que la palabra AXIAL se refiere a lo que puede ser dividido en dos parte iguales, por medio de un EJE.

Observa los EJES DE SIMETRÍA de un CUADRADO.

Traza con regla y compás los ejes de simetría que tengan cada una de las siguientes figuras.

La SIMETRÍA AXIAL, es pues, una propiedad que tienen las figuras que al trazarles un eje de simetría, éstas se convierten en dos, cuyos puntos al ser dobladas en dicho eje, coinciden perfectamente.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Realiza la siguiente construcción geométrica:1- Dado un punto P, trazar su punto P' simétrico con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy',

utilizando la escuadra.

2.- Dada una figura, trazar su simétrica con respecto a un eje de simetría, con el uso de la

escuadra.

1. Dadas las rectas, traza su SIMÉTRICA con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy'

LAS RECTAS Y LOS ÁNGULOS

La GEOMETRÍA es una de las ramas de las Matemáticas con una aplicación importante. El ingeniero, el mecánico, el sastre, el carpintero, el pintor, usan la GEOMETRÍA para hacer sus

trazos, medidas y cálculos.

CONSIGNA

Con ayuda de tus instrumentos de dibujo y medida, reproduce exactamente igual las siguientes figuras, a la derecha de cada una de ellas.

BLOQUE 2

Utilizando escuadras comprueba que los segmentos de recta MN y CD son paralelos.

Investiga y redacta el procedimiento a seguir para trazar los segmentos paralelos

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________:

Utilizando escuadras, comprueba que los segmentos de recta CD y FG son perpendiculares. Describe el procedimiento para comprobar lo anterior

En el Plan y Programa de Estudios se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos de recta, semirrecta y segmento. En caso de haber confusión, es necesario que el maestro explique cuál es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje común en la clase. En relación con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, se sugiere que los alumnos, a partir del trazo, describan las características de cada una de estas figuras y elaboren definiciones. El maestro puede apoyarlos con preguntas y contraejemplos hasta que logren definiciones precisas. De esta manera, los alumnos podrán utilizar la definición que mejor convenga según el problema que se les presente y argumentar su uso según la situación.

Actividades complementarias

Utiliza tu estuche de geometría para realizar los siguientes trazos por separado.

1.- Traza un segmento de recta de 4 cm de longitud y a sus extremos llámales C y D.

2.- Traza un círculo de 2 cm de radio en el punto C.

3.- Traza una perpendicular al segmento de recta CD en el punto D y llámala "a".

4.- Traza un círculo de 3 cm de radio en el punto medio del segmento CD.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

¿Cómo harías para pasar una perpendicular por el punto medio de un segmento de recta dado?

Prueba con este segmento

¿Qué hiciste? _________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Usaste sólo las escuadras? Sí o No

Actividad complementaria

Haciendo uso de la MEDIATRIZ traza un rombo y un cuadrado, sobre las líneas dadas:

Usando el proceso para trazar una MEDIATRIZ, dibuja: Un triángulo isósceles, sobre la

línea dada; un triángulo isósceles dentro de la circunferencia y un triángulo isósceles

dentro de la elipse.

Define con tus propias palabras ¿qué es la línea que es la MEDIATRIZ?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Traza el eje de simetría del triángulo ABC que pasa por el vértice C; usando regla y compás.

Identifica el punto de intersección del lado AB y el eje simétrico con la letra O

Con base en la figura, completa:

AO = __________

AC = __________ACO = __________, Entonces

ACO = __________

Traza con el compás, el EJE DE SIMETRÍA, a cada uno de los siguientes ángulos. Pregunta a tu profesor cual es el procedimiento correcto.

En todo triángulo isósceles la BISECTRIZ del ángulo diferente siempre es un EJE DE SIMETRÍA (Mediatriz), puesto que divide a la figura en dos partes iguales.

Traza la MEDIATRIZ de cada lado y la BISECTRIZ de cada uno de los siguientes polígonos

¿En qué casos coinciden las diagonales con las mediatrices y bisetrices trazadas?. Explica

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Problema.

Organizados en equipos de tres, realicen las siguientes instrucciones.

a. Usando dobleces construya un triángulo y repase los dobleces con el lápiz, luego nombre los

vértices con letras mayúsculas y los lados opuestos a estos con letras minúsculas.

b. Construya con un doblez la mediatriz en cada lado del triángulo y márquelas con colores.

1.- Que sucedió con las tres mediatrices._________________________________

2.- Expresa tu opinión respecto al punto de corte de las mediatrices. _________________

_________________________

El maestro podría presentar a los alumnos diferentes definiciones de las líneas del triángulo y pedir que las analicen con el fin de establecer su utilidad, o bien, si la definición que se da es satisfactoria. De igual modo, se puede pedir a los alumnos que tracen las medianas de diferentes triángulos y que hagan pasar un hilo por el punto donde se cortan las tres líneas, para comprobar que ése es el punto de equilibrio (baricentro) del triángulo. Otra opción es presentar diferentes afirmaciones y que los alumnos determinen si son verdaderas o falsas y que argumenten para justificar su respuesta. Por ejemplo: cualquiera de las alturas del triángulo siempre es menor que uno de sus lados; la altura de un triángulo es menor que la mediana que corresponde al mismo lado; cuando la mediana correspondiente a un lado de un triángulo es también mediatriz de éste, el triángulo es isósceles.

CONSIGNA :

Organizados en equipo analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una

en la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se

cumplan.

Características Las líneas

son

perpendicula

res a los

lados del

triángulo o a

la

prolongación

de éstos

Las líneas

pasan por un

vértice del

triángulo

Las líneas

cortan los

lados del

triángulo en los

puntos medios

Las líneas

dividen a la

mitad los

ángulos del

triángulo

Las líneas

se cortan en

un punto

Las líneas son

paralelas a los

lados del

triángulo

Las líneas

cortan los lados

del triángulo en

una razón de 2

a 1

Triángulo 1

(mediatrices)

Triángulo 2

(medianas)

Triángulo 3

(alturas)

Triángulo 4

(bisectrices)

Al llenar la tabla se sugiere confrontar las ideas de los alumnos, antes de anotar las características

debe consensarse con el grupo a partir de la siguiente secuencia:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron anotadas por los equipos.

b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que fundamenten su respuesta.

c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay

que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan dos a

un lado de la recta y una al otro lado.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Consigna:

Analizar los puntos donde se cortan la medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un triángulo

cualquiera y anoten una

donde se cumplan las características señaladas y una X donde no se cumplan.

CaracterísticasSiempre se

encuentra en

el interior del

triángulo

Se puede

localizar en

un vértice

del

triángulo

Puede

localizarse

fuera del

triángulo

Es el centro

de un círculo

que toca los

tres vértices

de triángulo

Es el

centro de

un círculo

que toca

los tres

lados del

triángulo

Es el punto

de

equilibrio

de un

triángulo

Está a la

misma

distancia de

los vértices

del triángulo

Se

encuentra

alineado

con otros

puntos

notables del

triángulo

Incentro (punto donde

se cortan las

bisectrices)

Secretaría de Educación

Palacio Nacional

Edificio del Congreso

Baricentro (punto donde

se cortan las

medianas)

Ortocentro (punto donde

se cortan las

alturas)

Circuncentro (punto donde

se cortan las

mediatrices)

Hay que prever que los alumnos tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego de geometría.

Se les indicará a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto de equilibrio del

triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el punto obtenido, sosteniendo el

hilo en forma vertical. Se les puede decir que también recibe el nombre de punto mediano o centroide

(inclusive, en física, le llaman centro de gravedad por ser lugar de equilibrio de tres cuerpos de la

misma masa colocados en los vértices del triángulo). La última columna se refiere a la alineación del

ortocentro, baricentro y circuncentro.

RESOLVIENDO PROBLEMAS.1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distancia del

Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dónde deberán construirlo?

2. Se

tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.

Arania

Mosconia

3. Se quiere construir la estación del tren de tal forma que esté sobre la vía y a la misma distancia del pueblo Arania y del pueblo Mosconia. ¿Dónde debe construirse la estación?

4. Las esferas siguientes representa cuerpos celestes que interactúan entre si para mantenerse unidos por fuerzas de atracción en equilibrio ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad de estos tres cuerpos celestes?

FIGURAS PLANAS

El desarrollo de esta habilidad ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades de las figuras.

Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polígonos. Por ejemplo, haciendo un nudo con una tira de papel; con compás, regla y transportador (a partir de la medida del ángulo central); con regla graduada y transportador (a partir de la medida de un ángulo interior); con regla y compás (se basa en el trazo de mediatrices, bisectrices y perpendiculares); con escuadras graduadas. Ejemplo

Problema.

Construye un HEXÁGONO dentro de una circunferencia que tenga como radio 3 cm. Guíate con la figura de la izquierda y usa los instrumentos de Geometría necesarios.

Después de construido el Hexágono contesta y realiza lo que se pide a continuación:

a) Encuentra el centro del HEXÁGONO.

b) Traza líneas rectas del centro a cada uno de los vértices.

c) ¿Qué figuras formaste al interior del HEXÁGONO? _________________

d) ¿Cuánto medirá cada ángulo que tiene su vértice en el centro? .......... ______

e) ¿Cuánto sumarán todos los ángulos centrales? .............................. ______

f) ¿Qué nombre reciben los polígonos formados dentro del HEXÁGONO?

Actividad complementaria

Teniendo en cuenta la medida del ángulo central en cada polígono; construye polígonos regulares de 3, 4 y 5 lados.

¿Qué proceso seguiste para obtener el valor del ángulo central? .. _______________________

Escribe el proceso que seguiste para construir polígonos .............. _______________________

______________________________________________________________________________

¿Qué nombre especial reciben los triángulos formados al interior de cada uno de los polígonos construidos? ..................................................................................... _______________________

Ángulo central = _______ Ángulo central = _______ Ángulo central = _______

CONSTRUCCION DE POLÍGONOS

En contraste con las construcciones geométricas que se realizan en primaria, se sugiere en este grado que con base en procedimientos específicos, se pruebe y justifique los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Asi mismo se habilite el alumno en comuicsr con claridad procedimientos de construcción para mostrar a los demás sus procesos. Por ejemplo:

Problema

Construye un rectángulo, sabiendo que tiene un área de 24 u². Compara con tus compañeros.

Construye un triángulo de 3, 4 y 7 unidades, en cada uno de sus lados. ¿Se puede? ¿Por qué?

TRIÁNGULOS

A) EQUILÁTEROS

Trazar un triángulo equilátero de 4 cm por cada lado.

1) Se traza con regla el lado AB de 4 cm de longitud.

2) Se abre el compás 4 cm igual que AB.

3) Con centro en A se traza el arco 1

4) Con centro en B se traza el arco 2

5) Se une A con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

6) Se une B con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

B) ISÓSCELESTrazar un triángulo isósceles cuyos lados iguales seande 4 cm y el diferente 3 cm.

1) Se traza con regla el lado MN de 3 cm de longitud.

2) Se abre el compás con un arco de 4 cm que es la

medida de los lados iguales.

3) Con centro en N se traza el arco 1.

4) Con centro en M se traza el arco 2.

5) Se une M con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

6) Se une N con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

CUADRADOS

Trazar un cuadrado de 3 cm de DIAGONAL.

1) Trazamos un círculo con diámetro de 3 cm

2)Trazamos a l círculo otro diámetro perpendicular al anterior.

3) Unimos los extremos de los diámetros para formar el cuadrado.

PROBLEMAS:

1.- Calcula el precio de un terreno que tiene forma rectangular y mide 24.5 m de largo por 12.5 m de ancho a $ 78.50 el metro cuadrado.

2.- El jardín de una casa tiene forma circular y la medida del radio es 6.5 m. Si el jardinero cobra $ 4.50 por cada metro cuadrado de jardín que arregla, ¿cuánto cobra por todo el jardín?

3.- Encuentra el área de un trapecio cuya base menor es la mitad de la base mayor y su base mayor mide 6.8 m si se sabe que la altura es de 3.54 m

4.- Calcula el área que se pide en la siguiente figura compuesta.

Área del rectángulo = _________

Área del círculo = _________

Área de la parte de corcho = _________

5.- Un tapete de forma circular, de cierta tela, tiene un costo de $ 6 000.00. Suponiendo que el costo es porporcional a la cantidad de tela. ¿Cuánto costaría otro tapete en el que se utilizarán las tres cuartas partes de esa misma tela?

6. Los alumnos de la escuela secundaria viajaron en el camión escolar a una misma velocidad promedio, visitando cuatro ciudades. La siguiente tabla contiene información de cada recorrido, complétala

y después contesta lo que se pide.

¿Cuántos kilómetros recorrieron en total? . . . . . . . . . . ___________

¿Cuánto tiempo emplearon en las cuatro etapas? . . . . ___________

Con la variación se pueden establecer vínculos a partir de situaciones como las siguientes:

Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectángulos cuya área es 24 cm2 y calculen el perímetro de cada uno.

Si uno de los vértices de un triángulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, ¿qué sucede con el área de cada uno de los triángulos que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro? ¿Por qué creen que suceda esto?

Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, ¿qué sucede con el área de cada uno de los trapecios que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro?

GEOMETRÍA DEL CÍRCULO.

Problema de construcción

En la parte inferior, se encuentran tres círculos, reunidos en equipo hagan lo que se pide:

a) En el primero, traza su diámetro y una cuerda que a su vez sea el diámetro de otro círculo. Coloreen las distintas áreas que se forman entre los círculos.

b) En el segundo, traza su diámetro y dos cuerdas que sean el diámetro de dos círculos diferentes. Coloreen las áreas que resulten al cruzarse los círculos.

c) En el tercero, traza un círculo en cada una de las cuerdas que se les señalan. Coloreen a su gusto, la figura que les resulte.

El círculo y la circunferencia, ¿son figuras geométricas diferentes? ______ ¿Por qué? ________________________________________________________________

Investiga y escribe el nombre de la recta o segmento marcado sobre el circulo.

Usualmente un círculo se construye a partir de la medida del radio, pero es importante que los alumnos sepan determinar esta medida con base en otros datos y ubicar el centro del círculo para que éste cumpla con ciertas condiciones.

Por ejemplo:

Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene.

Dada una cuerda, construyan el círculo al que ésta pertenece. ¿Es única la solución? ¿Cuántos círculos se pueden construir si se trata de la máxima cuerda?

¿CIRCULO O CIRCUNFERENCIA?

.

Observando cada una de las figuras, acuerda con tus compañeros de equipo, las respuestas correctas.

a) Teniendo en cuenta el número de lados de cada polígono, anota en la línea inferior de la figura, el orden secuenciado, según el número de lados.

b) A medida que crece el número de lados del polígono, ¿cómo es su área, comparada con el área del círculo? ______________________________________________________________

c) ¿En cuál de los polígonos, la diferencia de áreas es mayor? ______________________

d) ¿Cuántos lados tiene el polígono cuya área está más cercana al área del círculo? ______

e) Considerando la cuadrícula como una guía para identificar la unidad de un área, ¿cuál polígono tiene un área más cercana a la del círculo? ______________________

f) Iniciando en el polígono de 5 lados, porque ya conoces el área del triángulo y del cuadrado, localiza el centro de cada círculo y partiendo de él, traza líneas que vayan a cada uno de los vértices. ¿Qué figuras se forman en el interior? _______________, ¿cómo son dichas figuras? _______________, ¿cuántas figuras se forman en cada polígono analizado? ............................................................... ______________________

Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este grado se profundice en el análisis sobre la relación entre la circunferencia y su diámetro y que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas que se pueden plantear. Por ejemplo:

¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del diámetro aumenta al doble? ¿Y si aumenta al triple? ¿Y si aumenta cuatro veces? ¿Qué conclusión se obtiene de este hecho?

PROBLEMAS1. Si conoces que la llanta de un vehículo tiene un radio de 35 cm, ¿cuánto medirá la longitud

del piso de la llanta?

2. Si conoces que el diámetro de un plato de vajilla mide 16.5 cm, ¿cuánto medirá la longitud de una cinta que adorne su derredor?

3. Para poner un listón a una pelota de regalo, se requiere, como mínimo 80 cm. Encuentra la longitud del diámetro de la pelota.

4. Los cinturones que usamos en la cintura tienen un número que indica la talla. Si escoges en el grupo un cinturón cualquiera, ¿qué circunferencia cubrirá?

5. Las llantas de un automóvil tienen un diámetro de 40 cm. Hallar el número de vueltas que da cada llanta, cuando el auto recorra 100 metros.

6. Tres engranes cuyos diámetros son 10, 15 y 20 cm, sucesivamente; ¿cuántas vueltas tiene que dar cada uno, para encontrarse de nuevo en el mismo punto cuando iniciaron su giro?

7. Un neumático de una super máquina, tiene un diámetro que mide 5.5 veces el de un auto normal. Si la longitud del piso de la llanta de la máquina es de 12.5664 metros, ¿cuál será la medida del radio de la llanta del carro normal?

8. Al comparar los diámetros de dos volantes de autos diferentes, se encuentra que uno mide 15 in (pulgadas), mientras que el otro mide 12 in. ¿Qué relación (razón) hay entre las medidas de los diámetros y, entre las longitudes de las circunferencias de los volantes?

9. La decoración de un plato de ornato de 15 cm de radio, se cobra a $ 2.50 pesos el cm². Encuentra el costo del plato decorado.

10. La tapa y base de un tambo cilíndrico de 90 cm de alto, tiene un diámetro de 60 cm. Investiga la cantidad de material necesario para lograr su construcción.

MAS PROBLEMAS DE PERÍMETRO Y ÁREA DEL CIRCULO

Como ocurre con el estudio de las otras figuras, no sólo se trata de calcular el área y el perímetro, sino también, conocidos el perímetro y el área, se debe calcular la longitud del radio o del diámetro, así como resolver problemas de cálculo de áreas sombreadas (corona circular); también se debe analizar la relación entre la longitud del radio y el área del círculo, como punto de contraste con la relación entre la longitud del diámetro y la longitud de la circunferencia.

11. Tomando la medida de una tapa de un recipiente de leche o de jugo, mídele el diámetro y la altura y encuentra la cantidad de material que se usó para construirlo.

12. El empaque de una manguera tiene un diámetro exterior de 2.5 cm y uno interior de 1.5 cm. Encuentra la superficie que protege el empaque.

13. Un vaso de vidrio, tiene un radio de 3.5 cm en su base circular y una altura de 20 cm. ¿Cuál fue la cantidad de lámina de vidrio utilizada para producirlo?

14. Una tuerca de seis caras laterales, tiene una medida de 1 cm en cada una de ellas. Encuentra la longitud de la circunferencia que pasa por todas sus esquinas.

15. Una mesa con base de prisma rectangular, tiene una superficie circular con un diámetro de 1.5 m. Encontrar la cantidad de madera usada en su superficie si tiene un espesor de 3 cm.

16. Al construir un portavaso de forma cuadrada con lados de 12 cm, encontrar la superficie sobrante, para soportar un vaso que tiene un radio de 5 cm.

17. Un anillo matrimonial tiene 2.25 cm en su circunferencia exterior y 1.9 cm en la interior. ¿De qué grosor es el anillo?

18. Una loseta rectangular de 22 por 18 cm, tiene un dibujo de un círculo con radio igual a 7 cm. Encuentra la superficie libre, del área del círculo.

19. Se necesita forrar con tela, 5 botones para cada uno de los 6 uniformes de la escolta escolar. Si cada botón tiene un diámetro de 2 cm, ¿cuál será la mínima cantidad de tela necesaria para lograr el forrado?

20. Se debe construir una caja cilíndrica donde pueda guardarse una jarra que tiene una máxima circunferencia de 62.8318 cm. Encuentra la longitud del radio mínimo que debe tener la caja en su base.

141

CONSIGNA 1. Reconociendo ángulos

En cada una de las circunferencias dadas marquen con azul el arco que subtienden los ángulos

centrales y con rojo el arco que subtienden los ángulos inscritos.

¿En que circunferencias se cumple que el ángulo central subtiende el mismo arco que el ángulo

inscrito?

Midan con su transportador los ángulos centrales y los ángulos inscritos y anoten los datos

obtenidos..

Los lados de cualquier ángulo en una circunferencia, inscrito o central, determinan un arco en la

circunferencia. En estas circunferencias el arco determinado por los ángulos dados esta remarcado,

Se dice que los arcos son subtendidos por los ángulos que los determinan.

A estas alturas de su educación secundaria, los alumnos conocen el ángulo central y sus relaciones con la construcción de los polígonos regulares. Ahora se trata de que, mediante la exploración en el trazado y la medida de diferentes ángulos inscritos cuyos arcos coincidan con el arco de un ángulo central, encuentren que la medida de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, siempre

y cuando los arcos coincidan. Deberán explorar con ángulos inscritos cuyo arco coincida con el diámetro, es decir, con un ángulo central de 180°. Utilizando esta relación, los alumnos podrán concluir que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.

Observa la figura:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?a) La distancia de la recta q al centro O de la circunferencia es igual al radio OV.b) La recta r es la más cercana al centro O de la circunferencia.c) La distancia de la recta s al centro O de la circunferencia es igual a la medida del

segmento OP.d) La recta r es perpendicular al radio OT.

En cada caso anterior justifica tu respuesta mediante dibujos o afirmaciones verbales.

En este reactivo los alumnos deben utilizar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central que subtienden un mismo arco para determinar la medida del ángulo RPS.

PROBLEMAS MAS COMPLEJOS.

El hexágono regular mide 3 cm de lado. El punto P se mueve describiendo una circunferencia con centro en el vértice O que pasa por otros dos vértices del hexágono.

Considera la parte de la circunferencia que es externa al hexágono regular, ¿cuánto mide su perímetro?

Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la situación inicial, puede abrir el espacio `para una discusión en la que pida que dibujen la figura que se forma al mover el punto P.

Los alumnos pueden elegir la opción a) si erróneamente utilizan la fórmula π r para calcular el perímetro de la circunferencia o porque calculan la parte de la circunferencia que es interior al hexágono.

En el caso de los alumnos que elijan la opción b), pida que expliquen sus argumentos para dar esa respuesta. Tal vez, algunos contesten que la parte sombreada es aproximadamente del total. También es posible que

hayan medido el área de la circunferencia y no su perímetro y que luego calculen la medida de la parte de la circunferencia que esté por dentro del hexágono.

Algunos alumnos seleccionan la opción d) porque calculan el área de la circunferencia y no su perímetro. Si no recuerdan la fórmula para calcular el perímetro puede pedirles que la busquen o que señalen en dónde podrían buscarla.

Si lo considera conveniente, puede pedirle a sus alumnos que sustituyan el valor de π por alguna aproximación (3.14 o 3.1416) y que obtengan el perímetro en centímetros.

Observa el dibujo de una fuente y sus dimensiones.

¿Cuánto mide el área de la cara superior de la fuente?

Para contestar correctamente este reactivo los alumnos deben saber que el área de una corona circular es la sección que se forma entre dos circunferencias concéntricas.

Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la situación inicial, puede abrir el espacio para una discusión en la que les pregunté, por ejemplo, cuál es la cara lateral de la fuente o cuánto mide su profundidad. Algunos alumnos pueden considerar que la cara superior de la fuente es la parte en la que se ve el agua y elegir como respuesta el valor del perímetro de la circunferencia, aunque la unidad de m², no corresponde. Otros alumnos pueden creer que es la respuesta correcta porque están considerando toda el área que ocupa la fuente. El cualquier caso serán los alumnos quienes validen lo acertado o no de las respuestas y procedimientos utilizados.

BIBLIOGRAFIA

Programa de Estudios de Matemáticas SEP. Reforma en Secundaria 2006. Segunda edición (México 2009)

Guía Interactiva para Secundaria. (SEP, 2009) Segunda Edición. México 2009 Planes de clase para la Asignatura de matemáticas. (SEP, DGDC 2006) LIBRO DEL MAESTRO. Secundaria. Segunda edición. 2001 (México D.F.) Antología para la Reforma en Secundaria. Matemáticas. Programas de Estudio 2006 Análisis sobre la teoría del estudio de las matemáticas a partir de la resolución de

problemas (Benitez, David, UA de C. 2007) Diplomado en Enseñanza de las Matemáticas Centrado en el Desarrollo de Competencias.

Apuntes. (Benitez, 2008) Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila; Saltillo, Coahuila 2008.

Programa de Estudios de Matemáticas SEP. Reforma en Secundaria 2006. Segunda edición (México 2009)

Guía Interactiva para Secundaria. (SEP, 2009) Segunda Edición. México 2009 Planes de clase para la Asignatura de matemáticas. (SEP, DGDC 2006) LIBRO DEL MAESTRO. Secundaria. Segunda edición. 2001 (México D.F.) Antología para la Reforma en Secundaria. Matemáticas. Programas de Estudio 2006 Análisis sobre la teoría del estudio de las matemáticas a partir de la resolución de

problemas (Benitez, David, UA de C. 2007) Diplomado en Enseñanza de las Matemáticas Centrado en el Desarrollo de Competencias.

Apuntes. (Benitez, 2008) Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila; Saltillo, Coahuila 2008.

Libro Apuntes para la enseñanza.- Matemática. Cálculo mental con números racionales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Curricular.

Materiales de Apoyo para la Práctica Educativa (MAPE), “ Los decimales: más que escritura” ; editado por el INEE

Programa de estudios 2006. Matemáticas. SEP, 2006. México D.F. Libro de sexto año, Secuencias Didácticas para el Profesor editado por la secretaría de

Educación pública, 2009. “Lee, piensa, decide y aprende” desarrollado por la Dirección General de Educación Indígena

y La Dirección General de Materiales Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica, edición 2010.

Antología de Matemáticas para la Reforma de Secundaria, editado por la Secretaría de Educación Pública, 2006.

Apuntes para la enseñanza.- Matemática. Cálculo mental con números naturales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Curricula.

Página de internet www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones.html Página de internet www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html

“El papel de la geometría como herramienta para la didáctica de la matemática” Eduardo Mancera Martínez. Comité Interamericano de Educación Matemática, México. 2005

Libro para el Maestro. Matemáticas. SEP, 1997. México, D.F.

http:// www.redescolar.ilce.sep.gob.mx

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.htm

http://www.es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

http://www.enlace.sep.gob.mx http://www.emathematics.net/es/

http://www.uaq.mx/matematicas/estadistica