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• Resolver problemas aditivos que impliquen el uso de
números enteros, fraccionarios o decimales positivos
y negativos.
• Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz
cuadrada y potencias de números naturales y decimales.
• Resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo
“valor faltante”, en los que la razón interna o externa es
un número fraccionario.
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Secuencia 32Sumas y restas con enteros
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
Sesión 131En esta sesión realizarás operaciones con números enteros.
Recuerda que los enteros son el conjunto de números que incluye a los naturales, sus negativos y al cero.
¿Qué sabes tú?En los torneos de futbol, si un equipo gana un partido se le asignan tres puntos, si empata uno, y si pierde no se le contabiliza nada. Al final del torneo se suman todos los puntos acumulados y el que tenga más es el ganador. Si dos equipos tuvieran el mismo número de puntos se utili-za como criterio de desempate la diferencia de goles, es decir, los goles anotados menos los goles recibidos, de manera que el equipo que tenga un número mayor tendrá mejor posición.
En el mundial de 2010 celebrado en Sudáfrica, la selección mexicana jugó en la primera fase del torneo contra Sudáfrica, Francia y Uruguay. Los dos primeros lugares del grupo clasificaron a la segunda ronda. Los resultados de los encuentros de los equipos del grupo se muestran a continuación.
Sudáfrica 1-1 México
Francia 0-0 Uruguay
Francia 0-2 México
Sudáfrica 0-3 Uruguay
Uruguay 1-0 México
Sudáfrica 2-1 FranciaFuente: FIFA, World Cup South Africa 2010.
¿Cuántos puntos tuvieron al final de la primera ronda cada uno de los equipos?
¿Qué equipos clasificaron a la siguiente ronda?
¿Por qué?
Comenta con tu grupo tus respuestas.
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Manos a la obraEn parejas, realicen las siguientes actividades.
1. A continuación se muestran los tiros penales a favor y en contra marcados a los equipos participantes en el torneo de apertura 2011-2012 del futbol mexicano. Completen la tabla.
Equipo Penales a favor Penales en contra Diferencia
UNAM 2 2 0
Atlante 6 0
Monterrey 6 2
Querétaro 6 3
Puebla 4 4
San Luis 3 4
Guadalajara 3 2
Morelia 3 3
Pachuca 3 1
Jaguares 2 4 −2
Toluca 2 3
Santos 1 2
América 1 0
Tijuana 1 5
UAG 1 5
Cruz Azul 1 1
Atlas 1 3
UANL 0 2Fuente: Federación Mexicana de Futbol.
¿Qué equipos tuvieron más penales a favor?
¿Qué equipos tuvieron más penales en contra?
¿Qué equipos tuvieron la misma cantidad de penales a favor y en contra?
¿Qué equipos tuvieron menos penales a favor que en contra?
Comenten sus resultados con el grupo.
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2. El ingreso y el gasto mensual de cinco familias de cierto poblado se muestran a continuación.
Familia Ingreso Gasto
López $5 000.00 $4 500.00
Hernández $8 500.00 $7 800.00
Pérez $3 500.00 $3 400.00
Rodríguez $6 200.00 $4 950.00
García $7 490.00 $6 325.00
Después de haber realizado sus gastos, ¿qué familia dispone de mayor cantidad de dinero
para hacer frente a alguna eventualidad?
Supóngase que una de estas familias tiene que hacer un desembolso adicional de $900.00
para la atención médica de uno de sus hijos, ¿qué familia podría realizar este pago sin
necesidad de pedir prestado?
Comenten sus respuestas con sus compañeros.
En una adición de dos números enteros, que cuentan con el mismo signo, el resultado mantendrá el mismo signo.
En una adición de dos números enteros con diferente signo, el resultado será positivo si el valor absoluto del número positivo es mayor que el valor absoluto del número negativo; en caso contrario el resultado es negativo, y es cero si ambos valores absolutos son iguales. Por ejemplo:
9 + (–5) = 4, pues |9| > |–5|
–9 + 5 = –4, pues |5| < |–9|
–9 + 9 = 0, pues |–9| = |9|
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Sesión 132En esta sesión resolverás problemas haciendo sumas de números enteros.
Manos a la obra1. En parejas, realicen las siguientes actividades.
a) Un juego de lotería tiene 12 planillas (divididas en 9 casillas) y 52 cartas en las que se encuentran los personajes. Regularmente, para marcar las casillas se utilizan piedras o algunas semillas. Si hay 12 personas jugando, ¿cuántas piedras o semillas se necesitan
para llenar todas las planillas?
b) La familia Martínez adquirió una casa a través de un crédito bancario y cada mes va a pagar al banco $3 500.00, que representan la tercera parte de su ingreso. Por otra parte, el señor Martínez está preocupado porque uno de sus hijos va a estudiar la pre-paratoria y mensualmente requiere $1 500.00 para cubrir sus nuevas responsabilida-des, y además sus gastos habituales por mes ascienden a $4 500.00. ¿Con su ingreso
actual puede cubrir sus gastos?
c) Debido a problemas con el transporte público, Juan casi siempre llega tarde a su traba-jo. Su jefe y él acordaron que cada vez que llegue tarde deberá quedarse más tiempo al final de la jornada, o de lo contrario se le descontará un día por cada hora acumulada. A continuación se muestra el tiempo que Juan llegó tarde en la última semana.
Día Tiempo que llega tarde en minutos
Lunes 68
Martes 43
Miércoles 94
Jueves 16
Viernes 19
¿Cuál fue el total de tiempo que tuvo que reponer Juan en esa semana?
Si no hubiera repuesto el tiempo que llegó tarde, y al día gana $200.00, ¿cuánto dinero
le hubieran descontado?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y coméntenlas.
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Sesión 133En esta sesión realizarás adiciones con enteros.
Manos a la obraPara realizar sumas de números enteros tienes que considerar el valor absoluto de las cifras y sus signos.
1. Resuelve las siguientes sumas de números enteros.
(+427) + (+180) =
(110) + (150) =
(−9470) + (+842) =
(+108) + (−487) =
(−57) + (−84) =
2 ¿Qué número se debe sumar en las siguientes operaciones?
+ (−5792) = 0
+ 4865 = 0
Compara tus resultados con el grupo.
3. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.
Durante el ciclo escolar 2006-2007, en Veracruz había en total 1 628 telesecundarias. Si 489 eran consideradas urbanas, ¿cuántas telesecundarias eran rurales?
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Sesión 134En esta sesión realizarás sustracciones de números enteros.
Manos a la obraResuelve las actividades siguientes.
1. José va a la feria del pueblo a jugar, lleva $125.00 para gastar. Si gastó $60.00 en juegos de destreza y $75.00 en juegos mecánicos, ¿cuánto dinero le queda para seguir jugando?
2. Luis va a presentar un informe de la administración de su edificio; los datos de los movi-mientos del último mes se muestran en la tabla siguiente.
Concepto Entrada Salida
Saldo al cierre del mes anterior $6 530.00
Pago de conserje $1 750.00
Pago de luz $487.00
Pago de agua $230.00
Pago de vigilancia $1 200.00
¿Cuál es el saldo al final del mes?
3. Juan recibe en su tarjeta de débito $1 800.00 por su beca. Durante el mes en curso realiza tres compras, una de $950.00, otra de $300.00 y una más de $250.00, ¿Cuánto será su
saldo para el siguiente mes?
Si antes del corte le depositan $500.00, ¿cuánto tendrá el próximo mes?
4. En equipos, con las siguientes frases construyan un ejemplo para cada una de ellas, com-pleten la información faltante y comenten sus resultados.
Un número positivo “grande” – un número positivo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =
Un número negativo “grande” – un número positivo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =
Un número positivo “grande” – un número negativo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” =
Un número negativo “grande” – un número negativo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” =
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Sesión 135En esta sesión usarás sumas y restas de números enteros para resolver problemas.
Manos a la obraResuelvan en parejas los siguientes problemas.
1. Un vehículo de transporte público recorre su ruta generalmente en una hora. La ruta se conforma de cinco paradas; en la siguiente tabla se muestra el número de pasajeros que utilizaron el vehículo en la ruta de las 9 a las 10 de la mañana del pasado lunes. Completen la tabla.
Parada Pasajeros que suben al vehículo
Pasajeros que descienden del
vehículo
Pasajeros a bordo al dejar la parada
Base 60 0 60
La Loma 15 8
El Centro 25 49 43
El Fuerte 13 21
La Plaza 3 29
Base 0 0
¿Cuántos pasajeros descendieron en total del vehículo durante toda la ruta?
Si el vehículo cobra $8.00 por persona, ¿cuánto llevaba recaudado al salir de El Fuerte?
Comenten sus resultados con el grupo.
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2. En la tabla siguiente se muestran los ingresos y egresos del mes de agosto de una taquería.
Costos $
Ventas de la primera semana 12 000.00
Ventas de la segunda semana 8 000.00
Ventas de la tercera semana 13 500.00
Ventas de la cuarta semana 15 000.00
Renta (mensual) –5 000.00
Agua (bimestral) –200.00
Luz (bimestral) –1 500.00
Pago por seguridad social (mensual) –1 200.00
Salario de tres personas (quincenal) –9 000.00
Materia prima (semanal) –3 500.00
¿Cuál es la ganancia neta del mes de agosto?
Comenten sus respuestas con el resto del grupo.
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• ¿Cuáles de las siguientes operaciones resultan en un número negativo? Subráyalas.
–54 + 53
–38 + (–37)
1 – 2
2 – (3) Ver
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Secuencia 33Notación exponencial
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Sesión 136En esta secuencia aprenderás a representar dichas cantidades en una forma abreviada, llamada notación científica, que ayuda a realizar cálculos con cantidades muy grandes, como la distancia entre la Tierra y el Sol, que es de 149 597 870 000 m; o con cantidades muy pequeñas, como la longitud de una bacteria, que puede ser de 0.000005 m.
¿Qué sabes tú?La imagen muestra las medidas de un abrevadero que se construirá en un rancho.
1. Completa la tabla con las medidas del abrevadero en las unidades que correspondan.
Metros (m) Centímetros (cm) Milímetros (mm)
Largo 10 10 000
Ancho 100
Altura 70
2. Calcula el área de las caras laterales del abrevadero, según la unidad de medida que se
solicita.
a) ¿Cuántos milímetros cuadrados tienen de área las caras laterales del abrevadero?
b) Comparen sus resultados con el grupo.
10m
1000mm
70cm
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Manos a la obra1. Escribe las siguientes potencias como productos y obtén sus resultados.
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
53 = = 125
= 10 × 10 =
35 = =
Recuerda que un número que se multiplica varias veces por sí mismo se representa como una potencia. Por ejemplo: 3 × 3 × 3 × 3 = 34. En la expresión 34, 3 es la base y 4 es el exponente.
2. Calcula las potencias de 10 que se indican en las tablas. Si lo requieres usa números decimales.
Potencia de 10 Cantidad
10–1
10–2
10–3
10–4
10–5 = 1105 = ( 1
10)50.00001
10–6
Potencia de 10 Cantidad
105
104
103
102 100
101
100
a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 103?
b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 1012?
c) ¿Cuántas cifras (ceros y 1) hay después del punto decimal al calcular 10–4?
d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal al calcular 10–15?
3. Analiza tus respuestas y contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué relación hay entre el exponente positivo de la potencia de 10 con el número de
ceros que van después del 1?
b) ¿Qué relación hay entre el exponente negativo de la potencia de 10 con el número de
cifras que van después del punto decimal?
En grupo, comenten sus respuestas y entre todos establezcan sus conclusiones.
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Sesión 137
1. Expresa cada cantidad como una potencia de 10.
1 000 = 0.00001 =
10 000 000 = 0.000000001 =
10 = 0.001 =
100 000 = 0.1 =
a) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna izquierda?
b) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna derecha?
2. Analiza los siguientes casos y responde las preguntas. Justifica tus respuestas.
a) Para escribir 10 000 000 como potencia de 10, Ana recorrió el punto decimal hacia la izquierda hasta llegar a la derecha del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió ese número como exponente de la potencia de 10.
10 000 000 = 107
• ¿Es correcto el procedimiento que siguió Ana?
• ¿Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números naturales?
b) Para expresar 0.00001 como potencia de 10, José recorrió el punto decimal hacia la derecha hasta después del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió ese número como exponente de la potencia de 10, pero con signo negativo.
0.00001 = 10−5
• ¿Es correcto el procedimiento seguido por José?
• ¿Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números decimales?
En grupo, comparen sus respuestas. Entre todos redacten en su cuaderno una regla para escribir la cantidad que le corresponde a una potencia de 10 (consideren que hay exponentes positivos y negativos).
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3. Expresa las cantidades como el producto de un número natural por una potencia de 10.
30 000 =
150 000 =
0.12 =
0.04 =
a) José escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 34
¿Es correcto el resultado de José? Explica por qué.
b) Ana escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 104
¿Es correcto el resultado de Ana? Explica por qué.
4. Expresa cada cantidad como el producto de un número por un múltiplo de 10; y luego como potencia de 10.
a) 200 000 = 2 × 100 000 = 2 × 105
b) 4 000 = × 1 000 = × 103
c) 350 000 000 = 3.5 × =
d) = 1.25 × 1 000 000 =
6. En equipos, comenten lo siguiente.
¿Qué procedimiento se debe realizar para expresar 0.04 en notación científica?
Se le llama notación científica a la forma abreviada de expresar un número muy grande, con una multipli-cación donde uno de los factores es una potencia de 10 y el otro es un número menor que 10, por ejemplo: 351 000 000 se puede expresar como 3.51 × 108 V
ersi
ón d
e ev
alua
ción
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2
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Sesión 138En esta sesión transformarás números muy grandes.
Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.
a) La distancia media entre la Luna y la Tierra es aproximadamente de 380 000 000 m. Expresa esta cantidad en notación científica.
Distancia Luna a Tierra = m
b) La vida media de un muón (partícula elemental similar al electrón) es de 0.0000022 s. Expresa esta cantidad en notación científica.
Vida media del muón = s
2. Escribe cada número en notación científica.
a) 3 640 000 =
b) 0.0000000000000034 =
c) 47 090 000 000 000 000 =
d) 0.000001006 =
e) 21 890 000 000 =
f) 0.00000005402 =
3. En grupo, redacten una regla para escribir números muy grandes o muy pequeños en nota-
ción científica.
En notación científica un número decimal muy pequeño se expresa con una multiplicación donde uno de los factores es una potencia de 10 con exponente negativo, por ejemplo: 0.0000000017 se expresa como 1.7 × 10–9
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Sesión 139En esta sesión utilizarás la notación científica para expresar la resolución de un problema.
Manos a la obra¿Sabías que la luz que nos llega del Sol es historia?, esto se debe a que tarda cerca de 8.3 mi-nutos en recorrer una distancia aproximada de 149 597 870 km que hay entre el Sol y la Tierra. Piensa en cuánto tardará en llegar la luz de estrellas que están a miles de millones de kilóme-tros de nuestro planeta.
1. Resuelve los problemas siguientes.
a) En números redondos, la distancia media entre la Tierra y el Sol es de 150 000 000 000 m, y la distancia entre la Tierra y Neptuno es de 4 308 000 000 000 m.
¿Cuál es la distancia aproximada que hay entre el Sol y Neptuno?
b) Expresa las medidas de las distancias de la Tierra al Sol y a Neptuno en notación científica:
Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m = m
Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m = m
Realiza la suma de las dos cantidades expresadas en notación científica.
¿Qué resultado obtuviste?
c) En grupo, comenten los procedimientos que siguieron y sus resultados. ¿Hubo diferen-tes respuestas? Verifiquen sus resultados escribiéndolos en notación decimal.
2. En parejas, lean los siguientes procedimientos.
Emilio resolvió la suma del problema de la siguiente manera:
• Primero escribió las cantidades como potencias de 10, de manera que ambas tuviesen el mismo exponente en la potencia de 10.
Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m = 1.5 × 1011 m
Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m = 43.08 × 1011 m
• Luego sumó sólo la parte decimal de cada cantidad: 43.08 + 1.5 = 44.58
• Al resultado de esta suma le escribió el producto por la potencia de 10 de las cantida-des en notación científica: 44.58 × 1011
• Al final corrió el punto decimal una cifra hacia la izquierda y cambió el exponente: 4.458 × 1012
a) ¿El resultado que obtuviste es igual al de Emilio?
b) Analiza este procedimiento y determina si es correcto o no. Sigue todos los pasos y verifica la suma: 39 900 000 + 5 470 100 000 = 5.51 × 109
c) En equipos, comenten lo siguiente: ¿se puede aplicar este procedimiento para la resta de cantidades escritas en notación científica? Entre todos propongan un ejemplo y realicen las operaciones necesarias.
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Sesión 140En esta sesión trabajarás con notación científica para resolver problemas con números pequeños.
Manos a la obra¿Sabías que en nuestro cuerpo hay más células bacterianas que células humanas? Se calcula que hay diez veces más, y el mayor número se localiza en el tracto digestivo y en la piel. Las bacterias son microorganismos unicelulares de formas diversas que alcanzan un tamaño que va de algunos milímetros hasta milésimas de milímetro o micrómetros (μm).
No todas las bacterias son perjudiciales para el cuerpo humano; de hecho, necesitamos de ellas para muchas funciones, como la digestión. ¿Qué otros beneficios generan las bacterias?
1. En equipos, contesten lo siguiente.
Se calcula que en un mililitro de agua dulce hay cerca de un millón de células bacterianas, mientras que en un gra-mo de tierra hay hasta 40 millones.
¿Cuántas bacterias habrá en 1 34 litros de agua dulce?
Comenten el procedimiento que siguieron y sus resulta-dos. Verifiquen sus respuestas usando la calculadora.
3. Escribe en el paréntesis de cada operación la letra que corresponda al resultado.
( ) 2.3 × 107 + 608 000 000 =
( ) 971 000 – 77 000 =
( ) 4 806 000 000 + 133 300 000 000 =
( ) 6.501 × 10−11 − 512 × 10−13 =
( ) 3.4 × 10−6 + 0.00000692 =
( ) 778 000 000 − 1.57 × 108 =
( ) 8.22 × 10–10 + 4.51 × 10−10 =
(T) 1.381 × 1011
(I) 6.21 × 108
(U) 1.381 × 10–11
(E) 6.31 × 108
(D) 0.00001032
(S) 8.94 × 105
(A) 0.000000001273
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2. Realiza los siguientes pasos para calcular el producto de 1 000 000 por 1 750:
• Escribe 1 000 000 en notación científica:
• Multiplica 1 750 por la parte decimal (sin la potencia de 10) del número escrito en no-
tación científica: 1 750 × =
• Multiplica el resultado anterior por la potencia de 10 del número en notación científica:
1 750 × =
• Escribe el resultado en notación científica:
a) ¿El resultado que obtuviste fue 1.75 × 107? Si no es así, repasa el procedimiento ante-rior y rectifica.
b) Sigue los pasos anteriores y calcula el producto de 0.000000812 × 1 500.
En grupo, comenten cómo resolvieron los problemas de las actividades 1 y 2. Entre todos propongan un ejemplo y realicen los pasos anteriores para calcular el producto de un nú-mero escrito en notación científica por otro escrito en notación decimal.
3. Usa los datos del problema anterior y calcula la cantidad de células bacterianas que hay en 455 g de tierra.
AutoevaluaciónRealiza en tu cuaderno las siguientes operaciones.
• 6.91 × 10–10 × 585 = • 1 071 000 000 − 4.3 × 108 =
• 590 000 000 + 9 060 000 000 = • 4.04 × 10−11 + 0.000000000839 =
• 5.23 × 105 + 692 000 − 6.7 × 104 = • 38 000 000 000 × 9 500 =
En general, un número está escrito en notación científica si se expresa de la forma a × 10n, donde a es un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10.
Para sumar o restar dos números expresados en notación científica es necesario escribirlos de manera que sus respectivas potencias de 10 tengan el mismo exponente. Por ejemplo:
(4.6 × 108) + (5.7 × 106) = (46 × 107) + (0.57 × 107) = 46.57 × 107 = 4.657 × 108
Un dato interesante…
El número 1 seguido de cien ceros, esto es 1 × 10100, se denomina googol. Para darnos una idea de lo que representa este número: un googol es mayor que el número de átomos en el universo conocido.
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Secuencia 34Raíz cuadrada
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
Sesión 141En esta secuencia estudiarás potencias y la raíz cuadrada.
¿Qué sabes tú?De manera individual contesta lo que se te pide.
1. Una de las primeras fórmulas que aprendiste en tus cursos de Matemáticas es la que se utiliza para calcular el área de un cuadrado. Si la medida del lado de un cuadrado es L, se tiene que su área A se calcula con la fórmula: A = L × L . Esta expresión suele expresarse como A = L2. ¿Sabes cómo calcular la medida del lado de un cuadrado si se conoce la medida de su área?
2. Don Luis va a cercar su terreno para formar parcelas de superficie cuadrada, por lo cual está calculando las medidas que deben tener los lados y el área de diferentes cuadrados.
Calcula las siguientes medidas.
a) Si el lado de un cuadrado mide 2 m, ¿cuánto mide su área?
b) Si el lado de un cuadrado mide 5 m, ¿cuánto mide su área?
c) Si el lado de un cuadrado mide 3 m, ¿cuánto mide su área?
d) Si un cuadrado tiene un área de 16 m2, ¿cuánto mide su lado?
e) Si un cuadrado tiene un área de 36 m2, ¿cuánto mide su lado?
f) Si un cuadrado tiene un área de 32 m2, ¿cuánto mide su lado?
De manera grupal comparen sus respuestas. Comenten cómo calcularon la medida del área de un cuadrado cuando se conoce la medida de su lado.
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Manos a la obra1. La imagen representa parte del terreno que va a cercar don Luis. Se trata de un cuadrado
del cual sólo conoce la medida de la diagonal.
Lado
Contesta las siguientes preguntas.
a) Con una regla traza la otra diagonal del cuadrado, así obtendrás cuatro triángulos rec-tángulos iguales.
¿Cuánto mide el área de cada triángulo?
¿Cuánto mide el área del cuadrado?
¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
b) Mide con una regla la longitud del lado del cuadrado.
Aplica la fórmula del área del cuadrado A = L × L y verifica la medida que obtuviste para el lado del cuadrado.
¿Qué medida del área del cuadrado obtuviste usando la fórmula?
c) Compara los resultados que obtuviste con los procedimientos anteriores y contesta:
De los valores del área que obtuviste con la fórmula, ¿cuál se aproxima más a 32 m2?
¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste de la medida del lado del cuadrado?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
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Sesión 142En esta sesión obtendrás valores aproximados de la raíz cuadrada de números naturales.
Manos a la obraMedida del lado (m) Área (m2)
2
3
16
5
36
5.5
5.6
5.7
5.65
1. Completa la tabla para encontrar valores aproximados de la medi-da del lado del cuadrado con 32 m2 de área.
a) ¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste para la medida
del lado del cuadrado?
b) ¿Crees que se puede encontrar una mejor aproximación para la
medida del lado? , ¿cuál?
Compartan sus respuestas y entre todos establezcan sus conclu-siones con respecto a la obtención del lado de un cuadrado cuan-do se conoce la medida de su área.
2. En parejas, realicen la actividad siguiente.
Un ayudante de don Luis dice que no existe cuadrado alguno que tenga 42 m2 de área; don Luis asegura que sí.
Medida del lado (m) Área (m2)
6 36
6.3
6.4
6.5
6.6
7
a) ¿Cuánto medirían los lados del cuadrado?
b) Encuentra algunas aproximaciones a la medida de los lados que debe tener un cuadrado de 42 m2 de área. Completa la tabla.
c) ¿Qué valor de la medida del lado genera la mejor aproximación
a 42 m2?
d) Determina un valor de la medida del lado de un cuadrado, que se encuentre entre 6.4 m y 6.5 m, cuya área se aproxime más
a 42 m2.
¿Qué valor del área obtuviste?
e) De acuerdo con tu resultado anterior, ¿entre qué valores se encuentra ahora la mejor aproximación a la medida del lado del
cuadrado?
¿Qué valor del área obtuviste?
De manera grupal, comparen sus resultados y los procedimientos que siguieron. Comenten en qué consiste el método que han veni-do empleando para obtener la medida del lado de un cuadrado, cuando se conoce la medida del área.
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Sesión 143
3. Aplica el procedimiento anterior y obtén la mejor aproximación de la medida del lado de un cuadrado que tiene 53 m2.
En las actividades anteriores has visto que al multiplicar un número por sí mismo, como en el cálculo del área de un cuadrado L × L , decimos que se calcula el cuadrado del número o la segunda potencia. La forma de escribir esto es L 2 .
Por otra parte, al calcular el lado de un cuadrado cuando se conoce la medida de su área, decimos que se calcula la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de a es el número que multipli-cado por sí mismo da a. La forma de escribir esto es a .
En esta sesión conocerás un procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número natural.
Manos a la obra1. Completa la tabla. Puedes usar calculado-
ra para verificar los resultados.
Número (x)
Cuadrado del número (x 2)
6
49
8
81
10
11
144
169
14
225
16
2. Anota en el paréntesis la letra que relacione correctamente cada pregunta con su respuesta.
Preguntas Respuestas
( ) ¿Cuánto mide el área de un terreno cuadrado si sus lados miden 15 m?
( ) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 144 ?
( ) ¿Cuál es el resultado de 289 ?
( ) ¿Cuál es el resultado de 142 ?
( ) ¿Cuánto mide el área de un cuadrado de 10 cm por lado?
( ) ¿Cuál es el resultado de 121 ?
a) 100 cm2
b) 196
c) 11
d) 12
e) 225 m2
f) 17
Comparen sus respuestas y verifiquen sus procedimientos.
Un dato interesante…
A lo largo de la historia se han desarrollado y perfeccionado muchos de los procedimientos que en la actualidad empleamos. En el caso del cálculo de la raíz de cuadrada, gracias al Papiro de Ahmes (1650 a.n.e.) se sabe que los antiguos egipcios extraían la raíz cuadrada al resolver problemas geométricos. Las antiguas culturas india y griega también desarrolla-ron conocimiento en este tema.
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Sesión 144
3. Aplica los procedimientos que has practicado a lo largo de la secuencia y obtén una aproxi-mación de la medida del lado de los siguientes cuadrados:
a) Área = 2 cm2
b) Área = 5 cm2
4. Analiza el siguiente ejemplo:
El cuadrado de 12 está dado por: 122 = 12 × 12 = 144
La raíz cuadrada de 144 está dada por: 144 = 12
¿Qué observas?
Cuando un número natural ( n ) se eleva al cuadrado ( n 2 ) y al resultado le aplicas la raíz cuadrada, el resultado que se obtiene es el número original ( n ). Por ello decimos que el cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas.
En esta sesión conocerás otro procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número natural.
Manos a la obra1. Se va a cercar un terreno de forma cuadrada que tiene de 24 m2. ¿Cuál es la medida del
lado del terreno?
Para resolver este problema emplearemos un método desarrollado hace varios siglos.
Sigue los pasos que a continuación se describen. En tu cuaderno construye las figuras que se indican.
Paso 1. Elige dos números que multiplicados den 24, por ejemplo 6 y 4. Estas serán las medidas del primer rectángulo que construirás.
Con ayuda de regla y escuadra, en tu cuaderno constru-ye un rectángulo cuyos lados midan 6 cm y 4 cm. Su área es de 24 cm2 (ilumínalo de amarillo).
Paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los la-dos del rectángulo:6 + 4 = 2
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Paso 3. Ahora debes construir otro rectángulo que ten-ga un lado de 5 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto hay que calcular la medida del otro lado del rectángulo.
El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la medida de sus lados. Llamemos x a la medida del lado desconocida, así obtenemos la ecuación:
5 x = 24
Resuelve la ecuación.
Construye un rectángulo cuyos lados midan 5 cm y 4.8 cm (ilumínalo de verde).
Repite el paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los lados del último rectángulo:
Repite el paso 3. Debes construir otro rectángulo que tenga un lado de 4.9 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto hay que calcular la medida del otro lado del rec-tángulo.
Llamemos x a la medida del lado desconocida, así ob-tenemos la ecuación:
4.9 x = 24
Resuelve la ecuación.
Construye un nuevo rectángulo cuyos lados midan 4.9 cm y 4.89 cm (ilumínalo de azul).
Continúa con este procedimiento para aproximar cada vez más el valor exacto de la raíz cuadrada de 24.
Observa que el rectángulo azul es casi un cuadrado. Sus lados miden 4.9 cm y 4.89 cm, esto significa que la raíz de 24 está entre estos dos números.
El procedimiento que acabas de desarrollar para calcular la raíz cuadrada de 24 es semejan-te al que empleaban los antiguos babilónicos, por lo que se conoce como método babilónico para el cálculo de la raíz cuadrada de un número. El método consiste básicamente en obtener rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de igual medida del área.
2. Calcula lo siguiente (puedes usar calculadora):
• 4.92 =
• 4.892 =
¿Cuál de los dos números es una mejor aproximación
a 24?
3. Los lados del rectángulo verde miden 5 cm y 4.8 cm. Calcula (pueden usar calculadora):
• 52 =
• 4.82 =
Comenta con tus compañeros qué rectángulo da mejo-res aproximaciones a 24, ¿el verde o el azul?
5 + 4.8 = 2
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Sesión 145En esta sesión aplicarás el método babilónico para calcular la raíz cuadrada.
Manos a la obraEl método babilónico se puede emplear para calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Sigue el procedimiento descrito en la sesión anterior y calcula las raíces cuadradas que se in-dican en cada caso.
Usa una calculadora para efectuar las operaciones necesarias y tu juego de geometría para construir los rectángulos.
1. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 11.5?
Paso 1. Se eligen dos números que multiplicados den 11.5 (sugerencia: inicia con 1 y 11.5). Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados tengan esas medidas.
Recuerda que a partir del siguiente paso el objetivo es encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado.
Paso 2. Calcula el promedio de 1 cm y 11.5 cm, ¿cuánto resultó?
Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo.
Paso 3. Calcula la medida del otro lado del rectángulo.
Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 6.25 x = 11.5
Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener.
Se repite el paso 2. Calcula el promedio de 6.25 cm y 1.84 cm, ¿cuánto resultó?
Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo.
Se repite el paso 3. Calcula la medida del otro lado del nuevo rectángulo.
Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 4.045 x = 11.5
Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener.
Continua aplicando los pasos de forma sucesiva hasta que encuentres la mejor aproxi-mación al valor exacto de la raíz cuadrada de 11.5.
¿Cuánto es 11.5 ?
Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico.
2. Calcula la raíz cuadrada de 20. Realiza el procedimiento y las construcciones en tu cuaderno.
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Sesión 146En esta sesión observarás que las potencias y los exponentes ayudan a obtener modelos matemáticos que representan fenómenos biológicos.
Manos a la obra¿Sabías que las células se reproducen por división? La división es parte importante del ciclo celular, pues en ella sucede que una célula inicial se divide para formar células hijas, luego éstas se dividen para formar otras, y así sucesivamente.
1. Existe un tipo de división celular que presentan bacterias y amebas, llamada bipartición, la cual consiste en que una célula madre se divide en dos células hijas idénticas a la célula madre.
Llamemos nivel 0 a la etapa en que está solamente la célu-la madre, sin dividirse.
• Llamemos nivel 1 a la etapa en que la célula madre se ha dividido en dos células.
• Llamemos nivel 2 a la etapa en que las dos células se dividen cada una en otras dos. Y así sucesivamente.
a) Dibuja las células que se formarán en el nivel 3.
b) ¿Cuántas células hay en el nivel 4?
c) ¿Cuántas células hay en el nivel 6?
d) Si hay 128 células, ¿en qué nivel se encuentra la división
celular?
e) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite obtener el número de células en el nivel 7?
• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Comparen sus respuestas y expliquen sus procedimientos.
Comenten cómo calcularían el número de células que habrá en el nivel 20, o en el nivel 50.
2. Expresa las multiplicaciones como potencia:
a) 3 × 3 × 3 × 3 =
b) 5 × 5 × 5 =
c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =
d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 =
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3. Fernanda decidió poner en práctica una forma de enviar buenos deseos a muchas perso-nas. Para iniciar, ella enviará buenos deseos a tres amigos. Luego, cada uno de éstos ten-drá que enviar buenos deseos a tres amigos más, quienes también enviarán buenos deseos a otros tres, y así sucesivamente. Cada persona tendrá que enviar tres buenos deseos.
a) Completa el diagrama de árbol hasta el nivel 3 de envíos de buenos deseos.
b) Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 3?
c) ¿Cuántos buenos deseos hay en el nivel 5?
d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de envíos de buenos deseos en el nivel 10?
• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Expresa la multiplicación correcta como una potencia:
e) Si en vez de enviar buenos deseos a tres personas se envían a cinco, ¿cuántos envíos
de buenos deseos hay en el nivel 4?
f) ¿Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 7?
g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de envíos de bue-nos deseos en el nivel 11?
• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
Expresa la multiplicación correcta como una potencia:
Las potencias permiten expresar multiplicaciones de manera breve. Por ejemplo, 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 se abrevia al escribir 36; y se lee “la sexta potencia de 3”.
Nivel cero (Fernanda inicia el envío)
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
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Sesión 147En esta sesión obtendrás potencias y raíces cuadradas de números naturales y decimales.
Manos a la obra1. Completa la tabla con los números y potencias que
faltan.
a) ¿Qué número multiplicado tres veces por sí mismo
da 2 197?
b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 16?
c) ¿Qué número tiene raíz cuadrada igual a 10?
d) ¿Qué número tiene segunda potencia igual a 25?
f) ¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 0.1296?
g) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000?
h) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?
i) La raíz de 1.44 es 1.2.
j) ¿Cuál es la raíz cúbica de 3.375?
k) ¿Cuál es la raíz cuarta de 0.0081?
l) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1?
m) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0?
2. Resuelve lo siguiente.
Considera que la raíz cúbica de 27 es 3 y que la raíz cúbica de 64 es 4. Obtén una aproximación de la raíz cúbica de 40, con una cifra decimal. Puedes utilizar tu calculadora.
Número x
Cuadrado x 2
Tercera potencia x 3
Cuarta potencia x 4
4 256
5 125
100
0.36 0.216
1.2
169 28 561
0.3 0.027
0 0
1
1.5 2.25
16
225 50625
La raíz cúbica de 125 es 5, porque 53 = 125. La raíz cúbica de 125 se expresa como 3 125 .
De forma general, la raíz cúbica de un número n es aquel número que tiene tercera potencia igual a n.
La raíz cuarta de 1 296 es 6, porque 64 = 1 296. La raíz cuarta de 1 296 se expresa como .
De forma general, la raíz cuarta de un número n es aquel número que tiene cuarta potencia igual a n.
AutoevaluaciónCalcula en tu cuaderno la raíz cuadrada de 53 empleando el método babilónico.
4 1 296V
ersi
ón d
e ev
alua
ción
23/
04/1
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Secuencia 35
Sucesiones con progresión aritmética
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
Sesión 148En esta sesión aprenderás a obtener la regla para determinar
los términos de una sucesión dada.
¿Qué sabes tú?Dibuja los siguientes dos términos que completan la sucesión.
Manos a la obra1. Escribe los términos que faltan en la siguiente sucesión numérica.
−5, −2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28,
31, , 37, , …
a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?
c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen qué estrategia siguieron para encontrar la regla de esta sucesión.
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2. Subraya cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar tres al término anterior.
−15, −11, −7, −3, 1, 5,… 3, 6, 9, 12, 15, 18,…
−4, −1, 2, 5, 8, 11,… −8, −3, 2, 7, 12, 17,…
−7, −4, −1, 2, 5, 8, 11,… −12, −9, −6, −3, 0,3,…
−14, −6, 2, 10, 18, 26,…
3. En parejas, respondan las preguntas.
a) ¿Con la regla suma cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesiones o
una sola sucesión?
b) Propongan un ejemplo de una sucesión que se obtenga con esta regla.
c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que propusieron es: sumar cinco al
término anterior y el primer término es
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontra-
ron en el inciso b)?
d) Obtengan tres sucesiones en las que se cumpla la regla: la diferencia entre dos términos
consecutivos es 7.
En grupo, comparen sus respuestas.
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4. Completen lo que falta en las siguientes expresiones y respondan las preguntas.
a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35,… es: sumar seis al término
anterior y el primer término es
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
b) Una regla para obtener la sucesión −12, −10, −8, −6, −4, −2,… es sumar
al término anterior, y el primer término es
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
c) Escriban la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y el
primer término es −14 :
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
5. En parejas, contesten lo siguiente.
Anoten el primer dígito de la sucesión siguiente y completen la regla.
, −9, −3, 3, 9, 15,…
La regla es sumar al término anterior y el primer término es .
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
Comparen sus resultados con los de otras parejas.
La regla para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo: en la sucesión −8, −3, 2, 7, 12, 17,… la diferencia entre dos términos consecutivos sería
.
Por lo tanto, la regla sería: sumar 5 al término anterior, y el primer término es −8.
Es importante indicar cuál es el primer término de una sucesión, ya que de lo contrario se pueden obtener muchas sucesiones usando la misma regla.
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Sesión 149En esta sesión estudiarás la relación que hay entre un término en la sucesión y la posición que ocupa en ella.
Manos a la obraEn parejas, contesten.
1. Para la siguiente sucesión de números: −11, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13,…
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
b) ¿Cuál es la regla?
2. Para esta sucesión de números: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,…
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
b) ¿Cuál es la regla?
Para las siguientes sucesiones, n indicará el lugar que ocupa un término en ellas.
Obtengan los términos faltantes en la tabla que corresponden a la sucesión establecida por la expresión algebraica 4n − 2.
Lugar que ocupa el término (n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Expresión algebraica 4n − 2
4 × 5 − 2 = 18
Término 18
Comparen los términos obtenidos en la tabla con
los de la sucesión anterior, ¿qué observan en ellos?
¿Las sucesiones son distintas?
¿Por qué?
¿Cómo es la regla que establecieron en el inciso b) respecto a la dada por la expresión algebraica?
En grupo, comparen sus respuestas.
Cuando hay varias reglas para obtener la misma sucesión de números se dice que son reglas equivalentes. Por ejemplo, las siguientes reglas son equivalentes:
a) Sumar 5 al término anterior y el primer término es 12,
b) La regla dada por la expresión algebraica 5n + 7, donde n representa el lugar que ocupa cada término en la sucesión.
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Sesión 150En esta sesión encontrarás expresiones equivalentes
para obtener una sucesión.
Manos a la obra1. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n − 7.
a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar al término
anterior y el primer término es .
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40?
c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término?
d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 48?
2. En parejas, respondan.
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16,…?
Observen las dos sucesiones y respondan.
3, 6, 9, 12, 15, 18,… 1, 4, 7, 10, 13, 16,…
¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la primera sucesión?
En las sucesiones en que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante (k), podemos obtener la expresión algebraica: multiplicando el lugar del término (n) por la diferencia de los términos consecutivos (k) y sumando o restando, según sea conveniente, la diferencia (r) entre k y el primer término de la sucesión, esto es, kn ± r.
Por ejemplo: en la sucesión 2, 7, 12, 17,… para encontrar la expresión algebraica que la define obtenemos la diferencia entre dos términos consecutivos, que es k = 5. Ahora obtenemos la diferencia entre k = 5 y el primer término de la sucesión, que es 2, por lo que r = 3. De aquí la expresión algebraica podría ser 5n + 3 o 5n − 3; para determinar cuál es la expresión conveniente calculamos el valor del primer término empleando las dos expresiones. En este caso la expresión conveniente es 5n − 3.
Subrayen la operación que debemos hacer para pasar de un término en la primera sucesión a su correspondiente tér-mino en la segunda sucesión:
Restar 2 Sumar 2
¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la segunda
sucesión?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten qué hicieron para encontrar las expresiones algebraicas.
3. En parejas, encuentren la regla y la expresión algebraica para obtener la sucesión −11, −6, −1, 4, 9, 14,…
4. Realicen lo siguiente en parejas. Obtengan la expresión al-gebraica que defina la sucesión −3, 2, 7, 12, 17, 22,…
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Sesión 151En esta sesión completarán sucesiones.
Manos a la obraTrabajen en equipos para realizar las siguientes actividades.
1. Encuentren los primeros diez términos de la sucesión que se obtiene con la regla 9n − 3
2. Completen la siguiente sucesión de números:
6, 2, , , −10, , −18, −22, ,
, …
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
Comenten cómo hicieron para encontrar la diferencia entre dos términos consecutivos.
Comparen con sus compañeros sus respuestas.
3. Dada la regla 7n − 5 obtengan los términos que se encuentran en los lugares 20, 21, 32, 100, 150.
4. Completen la siguiente tabla.
Lugar del término 4 n + 6 4 n − 2 4 n – 5
35
45
74
324
En grupo, comparen y comenten sus respuestas. Ver
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Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula y busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema:
Concepción Ruiz y Sergio Régules, El piropo matemático, de los números a las estrellas, México, sep-Editorial Lectorum, 2003 (Libros del Rincón).
Entra a la página del Proyecto Descartes <http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_aritmeticas.htm>, y explora las actividades del interactivo “Sucesiones geométricas con Logo”.
Sesión 152En esta sesión aplicarás lo aprendido en sesiones anteriores.
Manos a la obraEn parejas, den una expresión algebraica que determine las siguientes sucesiones.
a) −12, −7, −2, 3, 8, 13,…
b) 5, 10, 15, 20, 25, 30,…
c) 9, 22, 35, 48, 61,…
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• Determina una expresión algebraica y encuentra los primeros diez términos de la suce-sión dada por la regla sumar 15 al término anterior y el primer término es 3.
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Secuencia 36Área y perímetro del círculo
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
Sesión 153En esta sesión resolverás problemas usando la fórmula del perímetro del círculo.
¿Qué sabes tú?En la siguiente figura marca con rojo el contorno del círculo y su superficie con azul; traza con verde el radio y con negro el diámetro.
Contesta las siguientes preguntas.
¿A qué se le llama π?
¿Cuál es un valor aproximado de pi?
¿Cómo se calcula el perímetro de un círculo?
¿Qué datos se necesitan para calcular el perímetro del círculo?
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Manos a la obra1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes círculos.
2. Completen la tabla, tomen π = 3.14
CírculoRadio
R
Diámetro
DPerímetro
1 5 cm
2 22 cm
3 103.30 cm
4 40.8 cm
¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 3?
¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 4?
3. Resuelve los problemas siguientes.
a) Ernesto es herrero y le pidieron que hiciera con perfil redondo dos aros para tableros de basquetbol. Uno de ellos debe tener 27 cm de radio y el otro 27 cm de diámetro.
¿Qué cantidad de perfil debe cortar para ambos aros?
b) Para reforzar un barril se necesitan tres cinturones de acero inoxidable de 4 cm de an-cho. Dos de los cinturones tienen 60 cm de diámetro, mientras que el radio del cinturón que se coloca a la mitad del barril es 4.5 cm más grande que el de los otros dos. ¿Qué cantidad de lámina se necesita para reforzar medio centenar de barriles?
Comparen sus procedimientos y respuestas, verifiquen que sean correctas. Si hay algún proce-dimiento diferente verifiquen que sea efectivo.
10 cm 22 cm 32.9 cm 40.8 cm
Para calcular el perímetro de un círculo podemos usar la fórmula P = 2rπ, donde r es el radio del círculo, o P = D π, si recorda-mos que el diámetro es dos veces el radio.
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Sesión 154En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del perímetro del círculo.
Manos a la obra1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Tomen π = 3.14
a) ¿Cuál es la longitud de la línea AB?
157.39 m
36.5
0 m
9.76 m 9.76 m
73.0
0 m
92.5
2 m
9.76
m9.
76 m
BA
b) La imagen anterior corresponde a la ciclopista del deportivo de la comunidad. Edna la recorre diaria-mente con su bicicleta hasta 9 veces, mientras que Braulio sólo recorre 5 km.
¿Quién de los dos da más vueltas al circuito?
¿Cómo resolvieron los problemas anteriores?
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2. En parejas, diseñen una figura empleando círculos del mismo diámetro y planteen un pro-blema que se resuelva tomando como base su diseño.
¿Cuántos círculos completos tienen en su diseño?
¿Cuánto mide su radio?
¿Cuál es el perímetro?
Intercambien su problema con alguno de sus compañeros y verifiquen que la solución sea correcta.
Para resolver problemas por medio del cálculo de períme-tros de figuras compuestas con círculos de un mismo radio, debemos determinar la cantidad de círculos que forman la figura para multiplicarla por su perímetro.
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Sesión 155En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.
Manos a la obra1. Calcula el área del siguiente círculo.
¿Cómo se determina el área de un círculo?
Si sólo se conoce el diámetro del círculo, ¿cómo se calcula el área?
2. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Usen 3.14 para π.
a) Una tapa de forma circular de 18 cm de diámetro se empleó para marcar una circun-ferencia sobre un pedazo de tela de forma cuadrada de 20 cm por lado. Después de recortar el círculo de tela, ¿cuál es el área de la tela que se desperdicia?
b) En el patio de la secundaria el profesor de Educación Física trazó tres círculos para pintarlos de color amarillo, rojo y azul, como se muestra en la imagen.
Alberto dice que el área de los círculos pequeños es igual a la del círculo azul. ¿Tiene
razón? ¿Por qué?
Para que el área del círculo amarillo, más el área del círculo rojo, sea el área del azul,
¿cuánto tendrá que medir el radio del círculo amarillo?
1 m 1 m80 cm
6 cm
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c) Reyna decora tablas circulares como las de la imagen para usarlas como portarretratos.
Le han solicitado media docena de cada modelo, ¿cuál es el área total que pintará de
azul?
¿Cómo determinaron el área de la superficie azul?
¿Qué portarretrato tiene la mayor superficie pintada de azul?
Para calcular el área de un círculo se emplea la formula A= π r2, donde el radio se multiplica por sí mismo y luego por π. Cuando un círculo está dentro de otro, sin importar si tienen o no el mismo centro, una forma de calcular el área limitada entre las dos circunferencias es restar los cuadrados de los radios y la diferencia multiplicarla por π. Por ejemplo, para calcular el área limitada entre un círculo cuyo radio mide 4 cm que está dentro de otro cuyo radio mide 6 cm es: 20π = 62.8 cm2, dado que 36 – 16 = 20.
3 cm
3 cm
5 cm
5 cm
6 cm 2 cm
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Sesión 156En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.
Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.
¿Cuál es área de cada una de las siguientes figuras?
¿Cómo calcularon el área de la figura naranja?
¿Qué figuras forman la figura verde?
¿Qué figuras forman la figura azul?
¿Cuál de las figuras está formada por más círculos?
2. Resuelvan los problemas.
12 cm
6 cm
40 cm
1.2 m
30 cm
80 cm1.2 m
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a) La siguiente figura es el modelo de un aspa que se fabrica en acero, ¿cuál es el área del
aspa?
b) Para una ruleta se cortó un círculo de 60 cm de radio y se decoró como se muestra en
la imagen. ¿Cuál es el área de la superficie en rojo?
c) ¿Cómo determinaron el área solicitada?
d) ¿Cuál es el área de la superficie en negro?
e) Con respecto al problema del aspa y al de la ruleta, ¿cuántos círculos forman las figuras?
¿Cómo resolvieron ambos problemas?
3. Resuelve el problema.
60 cm
60 cm
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Alexa es pintora y las obras de arte que muestra a continuación están hechas sobre un cuadra-
do de 90 cm por lado. ¿En cuál de ellas utilizó más pintura?
¿Por qué?
AutoevaluaciónContesta lo siguiente.
• ¿Cómo determinarías el perímetro de la siguiente figura?
• ¿Y el área de la superficie naranja?
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Secuencia 37Proporcionalidad múltiple
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
Sesión 157En esta sesión reconocerás y resolverás problemas que implican el uso de distintos tipos de proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana.
¿Qué sabes tú?Para organizar su convivio, los 25 alumnos de 1º A llevaron tostadas y agua de jamaica. Como la mamá de uno de ellos tiene una fonda les dio la siguiente información:
• Un paquete de tostadas tiene 20 piezas.
• 3 12 vasos de crema alcanzan para cubrir 40 tostadas.
• 1 kg de pata de res es suficiente para 10 tostadas.
• 14 kg de queso rallado alcanza para 50 tostadas.
• 1 kg de pechuga de pollo es suficiente para 25 tostadas.
Si quedaron de acuerdo en que se llevaría lo necesario para que cada quien comiera dos tos-
tadas de pata y dos de pollo, ¿qué cantidad de tostadas se deben comprar?
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Manos a la obra1. En parejas, con la información del problema de las tostadas, completen la tabla.
Ingredientes Cantidad que se requiere
Paquetes de tostadas
Kilogramos de pata
Vasos de crema
Queso rallado
Kilogramos de pechuga de pollo
a) ¿Usaron el mismo procedimiento para encontrar la cantidad de cada ingrediente que se
necesita?
b) Para la kermés de la escuela el grupo decidió preparar todas las tostadas que salieran con 9 kg de pechuga, ¿qué cantidad de queso rallado se necesitará para las tostadas
que se preparen?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y escriban el procedimiento que siguie-ron para obtener la respuesta de la última pregunta.
De manera grupal, verifiquen sus procedimientos y reflexionen sobre el uso de distintos tipos de proporcionalidad para la solución de este problema.
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) En una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que, en prome-dio, 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. ¿Cuántos litros de agua hay
que llevar a una excursión de 3 días, si van a ir 60 niños?
b) Rubén tiene 5 vacas, cada una de ellas produce 6 litros de leche diariamente; con 15 litros de leche obtiene 2.5 litros de crema y vende 2 litros de crema por $75.00. Si destinó la producción de dos semanas para obtener crema, ¿cuánto dinero recibirá por
la venta de toda la crema producida en el tiempo mencionado?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Cuando se usan la proporcionalidad directa y la inversa
en la solución de un mismo problema, se dice que este problema es de proporcionalidad múltiple.
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Sesión 158En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en situaciones como el cálculo de perímetros y áreas.
Manos a la obra1. En parejas, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.
Tracen en hojas blancas tres rectángulos con las siguientes medidas y recórtenlos: Rectán-gulo 1: 3 cm de base y 4 cm de altura.
Rectángulo 2: 6 cm de base y 8 cm de altura.
Rectángulo 3: 15 cm de base y 20 cm de altura.
Calculen el perímetro y el área y completen la tabla.
Rectángulo 1 Rectángulo 2 Rectángulo 3
Base 3 15
Altura 8 20
Perímetro
Área
¿Cuántas veces es mayor la base del rectángulo 2 con respecto a la base del rectángulo 1?
¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 2 con respecto al perímetro del rec-
tángulo 1?
¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 1 y el área del rectángulo 2?
¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 3 con respecto al perímetro del rec-
tángulo 1?
¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 3 y el área del rectángulo 1?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y reflexionen sobre la forma en que au-mentan el área y el perímetro de un rectángulo cuando aumentan las medidas de sus lados.
2. Contesta lo siguiente.
Los lados de un rectángulo han aumentado tres veces su tamaño, ¿cuál será la razón
entre los perímetros de los rectángulos?
¿Cuál es la razón entre las áreas de los rectángulos?
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Sesión 159
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) A un cuadrado de 4.5 cm por lado se le triplicó la longitud de cada uno de sus lados,
¿cuánto mide el perímetro del nuevo cuadrado?
b) Se reproduce un rectángulo con perímetro de 35 cm y 75 cm2 de área hasta obtener otro rectángulo con un perímetro de 157.5 cm, ¿cuánto mide el área de la figura repro-
ducida?
c) Se tienen dos círculos, uno de 4 cm de radio y otro de 12 cm de radio, ¿cómo es el
perímetro del segundo círculo con respecto al perímetro del primero?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y reflexionen si al duplicar o triplicar las medidas de los lados en un polígono regular su perímetro y su área también se duplican o triplican, respectivamente. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.
En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en diferentes contextos.
Manos a la obra1. En equipos, observen el prisma.
¿Cuántos cubos verdes tiene?
¿Cuántos cubos en total lo forman?
a) Si se aumentan al doble los cubos del ancho, del largo y de la altura, ¿cuántos cubos formarán
el nuevo prisma?
b) ¿Cuántas veces será mayor el número de cubos del prisma nuevo con respecto al de la ilustración?
c) ¿Habrá alguna forma directa de conocer el número de cubos sin contarlos uno a uno?
Si al prisma de la ilustración se le triplican los cubos del ancho, del largo y de la altura,
¿cuántos cubos formarán el nuevo prisma?
¿Cuántas veces es mayor el número de cubos de este nuevo prisma con respecto al de
la ilustración?
Largo
Ancho
Alto
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2. Se sabe que para construir un muro de 3 m de largo y 2 m de altura se necesitan 150 ta-
biques, y que para construir 2 m2 de barda se necesitan 34 de un bulto de cemento.
Si el albañil mezcló tres bultos, ¿cuántos tabiques pegará con esa mezcla?
Si en la construcción del baño se ocuparon 600 tabiques, ¿cuántos bultos se emplearon
para levantar las bardas del baño?
Para la cocina se levantaron tres bardas de 12 m2 y una de 9 m2, ¿qué cantidad de tabiques
y de bultos se emplearon?
3. Damián es un granjero que se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolotes consumen aproximadamente 120 kg de alimento durante tres días. También sabe que cada bulto de alimento contiene aproximadamente 50 kg. ¿Cuántos bultos deberá comprar para
alimentar por tres semanas a las tres docenas de guajolotes que tiene?
Comparen sus resultados con los de otros compañeros, verifiquen que sean correctos y reflexionen en qué otros contextos se pueden encontrar problemas de proporcionalidad múltiple.
En esta secuencia observamos que las situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque dos o más cantidades están relacionadas proporcionalmente. Una proporción múltiple se denota como:
a : b : : c : d : : e : f , o también se representa como ab = c
d = ef , y cumple que
ad = bc = cf = de = af = be
Consulta en…
Entra al sitio: <http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/MATEGENERAL/t5geometria/Geometria/node9.html>, y consulta la información sobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas.
AutoevaluaciónPlantea en tu cuaderno un problema de proporción múltiple.
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Sesión 160
Evaluación
1. En un congelador se registraron las siguientes variaciones de temperatura: −7°, 12°, −5°, −10°, 6°; si la temperatura inicial era de −20°, en cuántos grados quedó la temperatura.
a) 40° b) 18° c) −22° d) −24°
2. La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Señala cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica.
a) 525 × 10 6 km b) 5.25 × 10 8 km c) 5.25 × 10 9 km d) 525 × 10 8 km
3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene de área 289 cm 2?
a) 72.25 cm b) 28.9 cm c) 28 cm d) 17 cm
4. Si una persona cuenta una historia a tres personas, y cada una de éstas, a su vez, la cuen-tan a otras tres, y éstas hacen lo mismo, ¿cuántas personas escucharon la historia?
a) 9 b) 18 c) 27 d) 81
5. ¿Cuál es la regla que forma la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,…?
a) 2 x + 1 b) 2 x c) x + 2 d) x − 2
6. ¿Qué operación debe realizarse para obtener el área de un círculo con 15 cm de diámetro?
a) 15 × 3.14 b) 7.5 × 3.14 c) 15 × 15 × 3.14 d) 7.5 × 7.5 × 3.14
7. Si el perímetro de un cuadrado aumenta al doble, su área aumenta:
a) al doble b) al triple c) al cuádruple d) al séxtuple
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Hoja para las familias
Seguimiento de los avances de los niños en la escuela
Estimada familia y tutoresCon el propósito de fortalecer su participación en la escuela para impulsar las actividades escola-res y extraescolares que sus niños y niñas realizan, les presentamos el siguiente cuestionario en el cual pueden registrar sus avances y tomar decisiones junto con los docentes para mejorar el apro-vechamiento escolar.
Algunas recomendaciones:• Si a usted se le dificulta el llenado del cuestionario, solicite ayuda a un familiar o
amigo para responderlo e interpretar el resultado. Recuerde que es muy importante dar seguimiento a los avances y logros de su niña o niño.
• asesoría sobre cómo apoyar al niño en su formación académica.
• Si al revisar las tareas y ejercicios del niño no están registradas las calificaciones o algún dato que le permita responder cuestionario, pida ayuda al maestro para determinar con él cómo puede dar seguimiento a los resultados del niño.
• Recuerde que este cuestionario no es una evaluación o examen, es un registro que sirve para reconocer y ayudar a las niñas y los niños a nuestro cargo de una manera oportuna y eficaz.
Para dar seguimiento a los avances de los niños es importante que:• Revise con atención las tareas, los ejercicios y las actividades del libro de texto y del
cuaderno de trabajo al menos cada dos meses (duración aproximada de un bloque).• Observe su conducta al realizar las actividades extraescolares y ponga atención en lo que
platica de sus actividades en la escuela.
CuestionarioCon base en sus observaciones sobre el trabajo del niño, marque la respuesta que corresponde a cada pregunta.
A. Excelente B. Bueno o bien C. Mal o malo D. No lo he observado
N˚ ReactivosBloque
i ii iii iv v
1Las calificaciones obtenidas en las tareas del libro de texto reflejan que su trabajo fue
2Las calificaciones obtenidas en los ejercicios realizados en su cuaderno reflejan que su trabajo fue
3 Al realizar actividades fuera de la escuela su desempeño fue
Desempeño del niño Ver
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Cuando su desempeño no sea óptimo, usted puede acudir a la escuela para recibir
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N˚ ReactivosBloque
i ii iii iv v
4 He observado que trabaja en equipo y lo hace
5 Las actividades de estudio extras las hace
6 Su actitud para sistir a la escuela generalmente es
Mi desempeño
N˚ ReactivosBloque
i ii iii iv v
1 Su asistencia a la escuela es
2 Su puntualidad en la escuela es
3 Su aseo personal y de sus útiles para asistir a la escuela es
Recomendaciones para contribuir a mejorar el desempeño de su niño
Si obtuvo de 7 a 10 respuestas
A. Excelente
Se recomienda felicitar a su niño o niña y
preguntarle sobre el tipo de apoyo que requiere para seguir con ese
avance y mantener los buenos resultados.
Si obtuvo de 5 a 7 respuestas
B. Bien, aunque necesita apoyo
Se recomienda poner atención en aquellas
actividades en las que se obtuvo esta valoración y acompañar a los niños para repasar las tareas
y/o ejercicios en los cuales no obtuvo un buen desempeño. Si
tiene dudas al respecto, es recomendable que se acerque con el maestro
de grupo.
Si obtuvo en más de 4 preguntas
C. Mal. Requiere apoyo urgente
Se recomienda consultar con el maestro de su hijo o hija sobre cómo puede
ayudarlo a mejorar el desempeño educativo.
Si en 2 o más preguntas respondió
D. No lo he observado
Recuerde que en el buen desempeño de sus hijos en la escuela también influye la familia. Le
recomendamos contribuir con la escuela estando al pendiente de sus avances. V
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