limites continuidad - web viewcalcula: solución: ejercicio nº 2.-calcula el siguiente...

Ejercicio nº 1.-

Calcula: 2

23a) xlim

x

xlimx

21b)8

xsenlimx

2

c)

Solución:

2553a) 22

2

xlim

x

54116121b)8

xlimx

12

lim)2

senxsencx

Ejercicio nº 2.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:

xxxlim

x 212

20

Solución:

212

212

020

xx

xlimxx

xlimxx

Calculamos los límites laterales:

xx

xlimxx

xlimxx 2

12212

2020

Ejercicio nº 3.-

Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

13354

23

2

1

xxxxxlim

x

Solución:

1

Evaluación: Fecha:

213123

2

1 1

5

1

51133

54

xxlim

x

xxlim

xxxxxlim

xxx

Ejercicio nº 4.-

funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x y representa la información que obtengas:

3

421 2 xxxf

Solución:

3421

3421 22 xxlimxxlim

xx

Ejercicio nº 5.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

xxlim

x 353a)

xxlim

x 353b)

Solución:

133

353a) x

xlimx

2

135

3b) x

xlimx

Ejercicio nº 6.-

:xf función la de gráfica la es Esta

46

8

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

6

Y

X

a) ¿Es continua en x = 2?b) ¿Y en x 0?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Solución:

a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

b) Sí es continua en x 0.

Ejercicio nº 7.-

Calcula a para que la función fx sea continua en x 1:

si 1si 12

x + 3 xf x

2x a x

Solución:

11

2

11

3 2

2 2

1 2

xx

xx

lim f x lim x

lim f x lim x a a

f

3

1 1

Para que sea continua en 1, 1 . Por tanto, 2 2 0x x

x lim f x lim f x f a a

Ejercicio nº 8.-

Dada la función:

12

12

xx

xf

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

Solución:

2 2 1 0 1x x x Solo tiene una asíntota vertical: x 1

Posición de la curva respecto a la asíntota:

22 1

112

1

xxx

2121 1

1

1

1

xlim

xlim

xx

Ejercicio nº 9.-

representa yfunción siguiente la deycuando infinitas, ramas las Halla xxlos resultados obtenidos:

xxxxf 223

23

Solución:

xxxlim

xxxlim

x

x

223

22323

23

4

Ejercicio nº 10.-

Dada la función:

313

xxxf

resultados los representa ycuando ycuando infinitas, ramas sus halla ,xx obtenidos.

Solución:

313

xxlim

x

313

xxlim

x

Ejercicio nº 11.-

yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x representa los resultados que obtengas:

112

2

2

xxxf

Solución:

2112

2112

2

2

2

2

xxlim

xxlim

x

x

5

Con calculadora podemos comprobar que:

Dando valores muy grandes y positivos , la curva va por debajo de lax asíntota y 2.

Dando valores muy grandes y negativos , la curva va por debajo de lax asíntota y 2.

Ejercicio nº 12.-

a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

223 2

xxxf

b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:

a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

23 2 103 6 Asíntota oblicua: 3 62 2

x x y xx x

10Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.2

xx

10Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.2

xx

• Representación:

2

6

y x= 3 6

Ejercicio nº 13.-

Estudia la continuidad de la función:

6

2

1 si 12

si 1 22 si 2

xx

f x x x xx

Solución:

1El primer tramo de función no está definido en 2, valor que pertenece a la2

y xx

semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x 2.

En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas en todo .Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura:

• x 1:

2

11

2

11

1 1 1 2

1 1 12 1 2

1 1 2

xx

xx

f

lim f x limx

lim f x lim x x

1

No existe , luego la función es discontinua en 1.

Se produce un salto en 1.xlim f x x

x

• x 2:

2

2 22

22

2 2

2 2 2

2 2x xx

xx

f

lim f x lim x x lim f x f

lim f x lim

La función f x es continua en x 2.

Luego fx es continua en todo excepto en x 2 y x 1.

Ejercicio nº 14-

Calcula estos límites:

1b)13a) 92

xelímxxlím

x

xx

Solución:

29

92 13a) xlímxxlímxx

7

0011

)b

xelím

xelím

x

x

x

x

Ejercicio nº 15.-

Halla los límites:

xxxxlímxxxlím

xx 213b)325a)

6

22

Solución:

xxx

xxxxxxlímxxxlím

xx 325

325325325a)

2

22

2

xxx

xxlímxxx

xxxlímxx 325

24

325

9252

2

2

22

02

13

2

13b)6

2

6

2

xx

xxlímxx

xxlímxx

Ejercicio nº 16.-

Calcula los siguientes límites:

1

2322b)

2312a)

2

x

x

x

x xxlím

xxlím

Solución:

032

2312

2312a)

22

x

x

x

x xxlím

xxlím

25

23551·

232322

1·123

221

2322b)

eeee

xxlím x

xlímx

xxx

límxx

xlímx

xxxx

Ejercicio nº 17.-Halla el valor del siguiente límite:

43102

23

2

2

xxxxlím

x

Solución:

)0(

921

5221

25243

10222223

2

2

xxxlím

xxxxlím

xxxxlím

xxx

Hallamos los límites laterales:

2152;

2152

22 xxxlím

xxxlím

xx

Ejercicio nº 18.-Calcula el límite:

8

13

21 642

x

x

x xxxlím

Solución:

)1()6(

)3()23(1

3·

6

642

13

·16

421

3

21

2

2

12

2

121

642 xxx

xxxlím

xx

xxxxxlím

xx

xxxlímx

x

x

xxx eeexx

xlím

21

63

6

)2(3)1()6(

)1()2(32121 eeee xx

xxlím

xxxxxxlím

xx

Ejercicio nº 19.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

103

8232

2

xxxxxf

Solución:

25

243103

8232

2

xxxx

xxxxxf

Dominio {5, 2}

f (x) es continua en {5, 2}.

Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:

:laterales límites los Hallamos .)0(

11543

55

x

xlímxflímxx

xflímxflímxx 55

;

Discontinuidad de salto infinito en x 5.

7

10543

22

x

xlímxflímxx

Discontinuidad evitable en x 2.

Ejercicio nº 20.-

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

2si1321si2

1si32

xxxabxx

xaxxf

Solución:

Dominio

9

Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x 1:

abf

ababxxlímxflím

aaxlímxflím

xx

xx

21

22

33

2

11

11

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:

3 a 2 b a 2a b 1

En x 2:

72

713

282

22

2

22

f

xlímxflím

ababxxlímxflím

xx

xx


8 2b a 7 a 2b 1

Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:

1;133142121221

1212

baaaaaaab

baba

Ejercicio nº2 1.-

Halla los límites siguientes:

13 a) 22

xx

xlimx

xlimx

36b)1

xloglimx 1

c)

Solución:

71

1241

13

22

xx

xlimx

a)

3936361

xlimx

b)

011

logxloglimx

c)

Ejercicio nº 22.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:

22 21

x

xlimx

10

Evaluación: Fecha:

Solución:

222222 2

1

2

1

2

1

xxlim

xxlim

xxlim

xxx

Ejercicio nº 23.-

Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

4242

2

xxlim

x

Solución:

2

24

22

2222

424

22

2

2

xlimx

xxlimx

xlimxxx

Ejercicio nº2 4.-Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

24a) xlimx

24b) xlimx

Solución:

24a) xlimx

24b) xlimx

Ejercicio nº25.-

, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla x x y representa los resultados que obtengas:

11

31

2x

xxf

Solución:

0

1

201

233

x

xlimx

xlimxx

Ejercicio nº26.-

A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

Solución:

En x = 0, sí es continua.En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

Ejercicio nº2 7.-


4si15

4si3

1

2 xx

xxxf

Solución:

Si x 4, la función es continua.Si x 4:

4 4

2

44 4

1lim lim 13

lim lim 15 1 También es continua en x 4 porque lim 4 .

4 1

x x

xx x

xf x

f x x f x f

f

12

Ejercicio nº2 8.-

Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

2

32

xxxxf

Solución:

2

11 1 82 0

22

xx x x

x

Las asíntotas verticales son x 1 y x 2.

• Posición de la curva respecto a las asíntotas:

213

23

2

xx

xxx

x

2

32

32121 xxxlim

xxxlim

xx

2

32

32222 xxxlim

xxxlim

xx

2 1

Ejercicio nº 29.-

:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

x

3

2xf x

Representa gráficamente los resultados obtenidos.

Solución:

3

lim2x

x x

3

lim2x

x x

13

Ejercicio nº 30.-

yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x representa los resultados que obtengas:

1

22

4

x

xxxf

Solución:

1

22

4

xxxlim

x

1

22

4

xxxlim

x

Ejercicio nº 31.-

Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y cuando x :

xxxf

2

31

Solución:

32

31

313

231

xxlim

xxlim

x

x

3

Ejercicio nº 32.-

Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y cuando x . Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a ella:

12

3

xxxf

14

Solución:

3

2 2 Asíntota oblicua: 1 1

x xx y xx x


xxx


xxx


1

1y x=

Ejercicio nº 33.-

Halla la asíntota horizontal de dada una de las funciones siguientes:

a y 1 3x b y 3x 1 c y 0,7x 2 d y 0,5x 1

Solución:

a) 1 3 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x

xlim

1 3 1; 1 es asíntota horizontal hacia .x

xlim y

1b) 3 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x

xlim

1 3 0; 0 es asíntota horizontal hacia .x

xlim y

c) 0,7 2 2; 2 es asíntota horizontal hacia .x

xlim y

0,7 2 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x

xlim

1d) 0,5 0; 0 es asíntota horizontal hacia .x

xlim y

1 0,5 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x

xlim

Ejercicio nº 34.-

Calcula los siguientes límites:

1

3b)a) 2x3

x

xlímx logxlím

x

15

Solución:

x logxlím

x

3a)

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

001

31

3b) 22

xlím

xlím

x

x

x

x

Ejercicio nº 35.-

Calcula los límites:

212b)213a)

4

3 52

xxlímxxlím

xx

Solución:

xx

xxlímxx

xxxxlímxxlím

xxx 213

413

213

213213213a)

2

22

2

22

2

xx

xlímx 213

12

2

02

12

2

12b)4

3 5

4

3 5

x

xlímx

xlímxx

Ejercicio nº 36.-

Halla:

13

2 2

5324b)

5425a)

x

x

x

x xxlím

xxlím

Solución:

54

1512

151212

32

·54

54253

2·1

5425

32

5425a)

eeeee

xxlím x

xlímx

xxxlímx

xxlím

x

xxxx

34

5324

5324b)

11 22 x

x

x

x xxlím

xxlím

Ejercicio nº 37.-

Calcula el límite:

123

23

2

1

xxxxxlím

x

Solución:

16

)0(

511

2311231

123

12123

2

1

xx

xlímxxxxlím

xxxxxlím

xxx


1123;

1123

11 xxxlím

xxxlím

xx

Ejercicio nº 38.-

Halla el límite:

x

x xxxlím

32

0 1513

Solución:

15833·

1583·

1515133·1

15133

2

0

0

2

0

2

0

2

0

1513 xx

xxlímxx

xxlímxxxxxlím

xxxxlímx

x

xxxx eeeex

xxlím

2415

830

ee xx

límx

Ejercicio nº39.-Estudia la continuidad de la función:

1si 410si13

0si2

xxlnxx

xexf

x

Solución:

Dominio


En x 0:

.0 en continua es

10

113

1

2

00

00

xxf

f

xlímxflím

elímxflím

xx

x

xx

En x 1:

.1 en continua es

41

1 4

413

11

2

11

xxf

f

xlnlímxflím

xlímxflím

xx

xx

17

Por tanto, f (x) es continua en .

Ejercicio nº 40.-

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

1si531si2

2 xaxxaxf

x

Solución:

Si x 1 la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x 1:

af

aaxlímxflím

aalímxflím

xx

x

xx

21

3653

22

2

11

11


2 a 6 3a 4a 4 a 1

Ejercicio nº 41.-

3. en y 1 en 23

función la de límite el Calcula4

xxxxxf

Solución:

61

21

31

23

4

1

xxlimx

251

2327

23

4

3

xxlimx

Ejercicio nº 42.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:

91

23 xlimx

Solución:

331

91

323

xxlim

xlim

xx

Calculamos los límites laterales:

18

Fecha:

9

19

12323 x

limx

limxx

Ejercicio nº 43.-

Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

618122

2

2

3

xxxxlim

x

Solución:

0

232

2332

618122

3

2

32

2

3

x

xlimxx

xlimxxxxlim

xxx

Ejercicio nº 44.-

tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x la información que obtengas:

122

a)3

xxxf

5

23b)32 xxxf

Solución:

1

22a)

3xxlimx

523b)

32 xxlimx

19

Ejercicio nº 45.-

Halla los siguientes límites y representa los resultados obtenidos:

311a)x

limx

2

33b)x

xlimx

Solución:

0

1

1a)3

x

limx

2

33b)x

xlimx

Ejercicio nº 46.-

:xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La

4

6

8Y

X

2

6 82 4 2 8 6 2

4

6

4

20

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

Solución:

En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que

1 1 lim lim .

x xf x f x

En x 2 sí es continua.

Ejercicio nº4 7.-


0si2

20si12 2

xxxx

xf

Solución:

Si x 0, la función es continua.

.0 porque0 en continua Es

10

12

2

112

000

2

00

fxflimx

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx

Ejercicio nº 48.-

Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

112

2

xxxf

Solución:

2 1 0 1 ; 1.x x x Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.

• Posición de la curva respecto a ellas:

112

1112

211 xxlim

xxxlim

xx

1

12112

2121 xxlim

xxlim

xx

21

Ejercicio nº49.-

la representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x información que obtengas:

42a) xxf 2b) xxxf

Solución:

42a) xlimx

2) xxlimbx

Ejercicio nº 50.-

:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx

x

xxxf

12 3

Representa la información obtenida.

Solución:

xxxlim

xxxlim

x

x

12

12

3

3

22

Ejercicio nº 51.-

ycuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,xx representa las ramas que obtengas:

22

12

xxxf

Solución:

022

1

022

1

2

2

xxlim

xxlim

x

x

Asíntota horizontal y=0

Ejercicio nº 52.-

La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:

122

x

xxxf

Solución:

2 2 11 Asíntota oblicua: 11 1

x x x y xx x


xx


xx


1

1

y x+= 1

Ejercicio nº 53.-

Calcula los siguientes límites.

23

2 3

2

2 1 2a) b) 5 5

xx

x x

x xlim limx x

29 1 2 1c) d) 2 2 3x x

x xlim limx x

Solución:

22 33a) 2 1 2 1 2 0

5 5 5

xx

x

x limx

x x

x xlim limx x

2

b) 2 2 25x x

x xlim limxx

2 2 3c) 9 1 9 3 2 2 2 2x x x

xx xlim lim limx x x

d) 2 1 2 1 1 12 3 2x x x

x xlim lim limx x

Ejercicio nº 54.-Calcula:

2

42 3b)1a)

x logxxlímxelím

xx

x

Solución:

1a) 2xelím x

x

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

2

4

2

4 33b)x log

xxlímx log

xxlímxx

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

Ejercicio nº 55.-Calcula los siguientes límites:

xxxlímxx

xlímxx

23b)135

23a) 2

2

Solución:

553

53

135

23a)2

xx

xlímx

xxx

xxxxxxlímxxxlímxxxlím

xxx 23

23232323b)

2

22

22

24

xxx

xxlímxxx

xxxlímxx 23

33

23

432

2

2

22


21

2

232

323b)12a)

x

x

x

x xxlím

xlím

Solución:

021212a)3232

x

x

x

x xlím

xlím

132

3b) 064

222

1·32

3232

1·132

32

1

2

222

22

2

2

eeeex

xlím x

xlímx

xxxlímx

xxlím

x

x

xxx

Ejercicio nº57.-Halla el límite:

3

19

223 x

xx

xlímx

Solución:

33

34233

31231

92 2

3323 xxxxxlím

xxxxxlím

xx

xxlím

xxx

)0(18

33322

3

xx

xxlímx


3332;

3332 2

3

2

3 xxxxlím

xxxxlím

xx


32

2

3 4412

xx

x xxxlím

Solución:

3

2·

44352

32

·44

44123

2·1

4412

32

2

3

2

3

2

3

2

3

4412 x

xx

xxlímxx

xxxxlím

xx

xxxlímx

x

xxxx eee

xxxlím

25

8

211642

44212

3442312

33 eeee xxxlím

xxxxxlím

xx

Ejercicio nº 59.-

de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103

5153 función la Dada 2

23

xx

xxxxf

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

Solución:

25

135103

5153 2

2

23

xxxx

xxxxxxf

Dominio {5, 2}

f (x) es continua en {5, 2}.

Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:

776

776

213 2

55

x

xlímxflímxx

Discontinuidad evitable en x 5.

:laterales límites los Hallamos .)0(

132

13 2

22

x

xlímxflímxx

xflímxflímxx 22

;

Discontinuidad de salto infinito en x 2.

Ejercicio nº60.-

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

2si321si4

1si22

2

xbxxbaxx

xxaxxf

Solución:


En x 1:

baf

babaxxlímxflím

axaxlímxflím

xx

xx

41

44

22

2

11

2

11

Para que f (x) sea continua x 1, ha de ser:

26

a 2 4 a b b 6

En x 2:

02

063

21064

22

2

22

f

xlímxflím

aaxxlímxflím

xx

xx


10 2a 0 2a 10 a 5

Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6.

27

limites continuidad - web viewcalcula: solución: ejercicio nº 2.-calcula el siguiente...

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