limites trigonométricos
TRANSCRIPT
![Page 1: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/1.jpg)
LÍMITES Y CONTINUIDAD
MATEMÁTICA 1
![Page 2: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/2.jpg)
límx 2
f(x)01. Calcular si existe, el , donde:
x3 - 2x2 - 4x + 8
x - 2|
límx 2
02. Halle: (x + x2 - x3 + 1 )límx
3
Trabajo grupal
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
![Page 3: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/3.jpg)
c) Tercer caso: Indeterminación -
01. Determine el valor de:
límx 2
![Page 4: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/4.jpg)
02. Halle: límx/2
![Page 5: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/5.jpg)
03. Calcule: (csc x - cot x)límx 0
![Page 6: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/6.jpg)
d) Cuarto caso: Indeterminación 0.
01. Halle: límx -3
![Page 7: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/7.jpg)
02. Halle: límx 0
sen (3x) . csc (3x)
![Page 8: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/8.jpg)
03. Halle: límx 2
![Page 9: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/9.jpg)
04. Halle: límx/2
tg (x) . cos (x)
![Page 10: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/10.jpg)
Funciones trigonométricas (F.T.)
F.T = (x; y)RR / y = RT(x)
Se denomina función trigonométrica al conjunto de
pares ordenados (x; y), tal que la primera
componente “x” es la medida de un ángulo
trigonométrico en radianes (número real) y a segunda
componente “y” es el valor de la razón
trigonométrica de x.
![Page 11: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/11.jpg)
Función seno
f (x) = (x; y)RR / y = sen(x), x R
O simplemente:
y = f (x) = sen x, xR
Dsen x = R
Rsen x = -1; 1
![Page 12: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/12.jpg)
f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x R
O simplemente:
y = f (x) = cos x, xR
Dcos x = R
Rcos x = -1; 1
Función coseno
![Page 13: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/13.jpg)
f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ
O simplemente:
y = f (x) = tan x
Dtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ
Rtan x = R
Función tangente
![Page 14: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/14.jpg)
Líneas
trigonométricas
E(1; tg )
Q(ctg ; 1)
P(cos ; sen )
![Page 15: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/15.jpg)
Líneas
trigonométricas
C(sec ; 0)
D(0; csc )
![Page 16: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/16.jpg)
Resumen de las características de las
funciones trigonométricas
![Page 17: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/17.jpg)
i) Si y = f (x) = c = 0d( y)
dx
Algunas reglas de derivación
ii) Si y = f (x) = x = 1d( y)
dx
iii) Si y = f (x) = xn = nxn-1d( y)
dx
iv) Si y = f (x) + g(x)d( y)
dx
![Page 18: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/18.jpg)
v)
Si y = f (x). g(x) = f (x).g’(x) + f ’(x).g(x)d( y)
dx
vi)
Si y =g(x). f ’(x) - f (x).g’(x)d( y)
dx
f (x)
g(x)=
[g(x)]2
Si f (x) y g(x), son funciones derivables en x y g(x) ≠ 0,
entonces f /g es diferenciable en x.
Derivación del cociente de dos funciones
Derivación del producto de dos funciones
![Page 19: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/19.jpg)
vii)
d
dx[(f o g)(x)] = f ’[g(x)].g’(x)
=
Si la función f (x) es diferenciable en u = g(x) y la
función g es diferenciable en x, entonces la composición
y = (f o g)(x) = f [g(x)] es diferenciable en x.
Derivación de una función compuesta (Regla
de la cadena)
En forma equivalented(y)
dx
d(y)
du
d(u)
dx.
![Page 20: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/20.jpg)
Derivada de funciones trigonométricas
Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:
i) Si y = sen[f(x)]
ii)
iii)
= cos[f(x)].f’(x)]d( y)
dx
Si y = cos[f(x)] = -sen[f(x)].f’(x)]dx
d( y)
Si y = tan[f(x)] = sec2[f(x)].f’(x)]dx
d( y)
![Page 21: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/21.jpg)
Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:
iv) Si y = cot[f(x)]
v)
vi)
= -csc2[f(x)].f’(x)]d( y)
dx
Si y = sec[f(x)] = sec[f(x)].tan[f(x)]. f’(x)]dx
d( y)
Si y = csc[f(x)] = -csc[f(x)].cot[f(x)]. f’(x)]dx
d( y)
Derivada de funciones trigonométricas
![Page 22: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/22.jpg)
límx 0
sen xi).
Límites trigonométricas
x = 1
límx 0
tan xii).
x = 1
límx 0
1 - cos xiii).
x = 0
límx 0
1 - cos xiv).
x2=
12
![Page 23: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/23.jpg)
límx 0
sen (2x)01. x
![Page 24: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/24.jpg)
límx 0
1 – cos (x)02.
sen (x)
![Page 25: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/25.jpg)
límx 0
sen (6x)03.
x
límx 0
sen (ax)04.
sen (bx)
![Page 26: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/26.jpg)
límx 2
sen(x - 2)05.
3x - 6
![Page 27: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/27.jpg)
límx 1
sen(1 - x)06.
x - 1
![Page 28: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/28.jpg)
límx 0
tan (x) – sen (x)07.
x3
![Page 29: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/29.jpg)
límx 0
6x – sen (2x)08.
2x + 3 sen (4x)
![Page 30: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/30.jpg)
límx 0
cos (mx) – cos (nx)09.
x2
![Page 31: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/31.jpg)
límx 0
1 + sen (x) – cos (x)10.
1 - sen (x) – cos (x)
![Page 32: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/32.jpg)
límx 0
sen (7x) - sen (3x)11.
x.cos (x)
![Page 33: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/33.jpg)
límx /3
1 - 2cos (x)12.
- 3x
![Page 34: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/34.jpg)
límx 0
cos (x) - cos (sen x)13.
x2
![Page 35: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/35.jpg)
límx 0
1 – cos sen (4x)14.
sen2 sen (3x)
![Page 36: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/36.jpg)
límx /4
sen (2x) - cos (x) - 115.
sen (x) - cos (x)
![Page 37: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/37.jpg)
límx 1
arc sen (x – 1/2)16.
arc tan (x)
![Page 38: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/38.jpg)
Trabajo grupal
01. Halla el límite de:
02. Calcula el límite de:
![Page 39: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/39.jpg)
Límite de funciones exponenciales
a) Función exponencial
Si b > 0 b 1, entonces una función
exponencial es:
y = f(x) = bx
El dominio de una función exponencial es elconjunto de números reales. Df = R
Rf = 0, +
El eje x, es decir, y = 0, es una asíntota
horizontal para la gráfica de f.
![Page 40: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/40.jpg)
Ejemplo 1
Grafique la
función: y = f(x)
= 2x.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x
Cuando la base b > 1
límx -
bx = 0
límx +
bx = +
Asíntota horizontal
![Page 41: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejemplo 2
Grafique la
función: y = f(x)
= (1/2)x.
Cuando la base
0 < b < 1
límx -
bx = +
límx +
bx = 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x
Asíntota horizontal
![Page 42: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/42.jpg)
b) Función logarítmica
La función logarítmica con base b > 0 b
1, se define por:
y = logb(x), si y sólo si, x = by
Dominio: Df = 0; + Rango: Rf = R
El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota
vertical para la gráfica de f.
La función f es uno a uno.
![Page 43: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/43.jpg)
Utilizando la propiedad principal,
y = logb(x), si y sólo si, x = by
y = logb(x) = logb(by)
x = blogb(x)
se infieren:
2 = 10log2(10)
![Page 44: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/44.jpg)
c) Logaritmo natural
Es el logaritmo con base e > 0 e 1, y se
define como:
y = ln(x), si y sólo si, x = ey
Además:
ln(1) = 0, si y sólo si, e0 = 1
ln(e) = 1, si y sólo si, e1 = e
![Page 45: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/45.jpg)
Gráfica de y = f(x) = log2(x)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x
Cuando la base
b > 1
límx + logb(x) = +
límx 0 = -logb(x)
Asín
tota
vertic
al
![Page 46: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/46.jpg)
d) El número e
Ideado por John Napier en 1618 y
popularizado por Leonard Euler (1736).
e también es límite de la sucesión:
Haciendo: h = 1/x, si x tiende , h tiende a 0.
![Page 47: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/47.jpg)
e) Cálculo de los límites de la forma:
f) Para funciones logarítmicas:
![Page 48: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/48.jpg)
Calcula los siguientes límites:
01)
![Page 49: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/49.jpg)
02)
![Page 50: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/50.jpg)
03)
![Page 51: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/51.jpg)
04)
![Page 52: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/52.jpg)
05)
![Page 53: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/53.jpg)
06)
![Page 54: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/54.jpg)
07)
![Page 55: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/55.jpg)
08)
![Page 56: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/56.jpg)
09)
![Page 57: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/57.jpg)
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)d( y)
dx
ii) Si y = ln[ f(x)]f ’(x)d( y)
dx f (x)=
iii) Si y = axd( y)
dxax.ln(a)=
iv) Si y = a f(x)d( y)
dxa f(x). f ’(x).ln(a)=
![Page 58: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/58.jpg)
Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
i) ln(ex) = x ii) eln(x) = x
1x1 +( )
xlím
x +∞= eiii)
1 + x( )1/x
límx 0
= eiv)
x1 +( )
xlím
x +∞= ev)
![Page 59: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/59.jpg)
Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
ax - 1x( )lím
x 0= ln(a)vi) Si a >1 a 1
ex - 1x( )lím
x 0= 1vii)
![Page 60: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/60.jpg)
10) 7x - 1x
límx 0
( )
![Page 61: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/61.jpg)
11) 7x - 5x
xlímx 0
( )
![Page 62: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/62.jpg)
12) 9x - 7xlímx 0
( )8x - 6x
![Page 63: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/63.jpg)
13) ex - exlímx 0
( )x
![Page 64: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/64.jpg)
14) ex - exlímx 0( )sen x – sen x
![Page 65: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/65.jpg)
15) sen 2xlímx 0( )ln (1 + x)
![Page 66: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/66.jpg)
16) límx /2
(1 + cos x)3.sec x
![Page 67: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/67.jpg)
17) límx 0
(1 + 3.tan2 x)cot2 x
![Page 68: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/68.jpg)
18)
![Page 69: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/69.jpg)
01)
Trabajo grupal
02)
![Page 70: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/70.jpg)
Asíntotas de una funcióna) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo
largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la
recta L y el punto A de la curva tiende a cero,
cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la
recta L se denomina asíntota de la curva C.
![Page 71: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/71.jpg)
b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la
curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) límx a
f(x) = ±∞
ii) límx a+
f(x) = ±∞
iii) límx a-
f(x) = ±∞
-∞
+∞
![Page 72: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/72.jpg)
c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de
la curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) límx +∞
f(x) = k
ii) límx -∞
f(x) = k
iii) límx ∞
f(x) = k
Asíntota horizontal
![Page 73: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/73.jpg)
d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua
de la curva C: y = f(x), si se cumple que:
i) límx +∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
ii) límx -∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.
f(x)límx ±∞( )xm =
[f(x) – mx]límx ±∞b =
![Page 74: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/74.jpg)
01. Halla las asíntota de la función:
x2 + x - 1x - 3y = f(x) =
![Page 75: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/75.jpg)
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gráfico de la función: y = (x2 + x -1)/(x - 3)
Curva Asíntota oblicuaAsí
nto
ta v
ert
ical
Asíntota vertical:
x = 3
Asíntota oblicua:
y = x + 4
Asíntota horizontal:
No existe
![Page 76: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/76.jpg)
02. Halla las asíntota de la función:
2x2 – 5x + 3
x - 1y = f(x) =
![Page 77: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/77.jpg)
03. Halla las asíntota de la función:
2x2 + 5x - 8
x + 3y = f(x) =
![Page 78: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/78.jpg)
04. Halla las asíntota de la función:
x2 + 2x - 8
x2 - 4y = f(x) =
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Gráfico
![Page 79: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/79.jpg)
05. Halla las asíntota de la función:
x + 3
x + 2y = f(x) =
![Page 80: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/80.jpg)
06. Halla las asíntota de la función:
6x2 + 8x - 3
3x2 + 2y = f(x) =
-3
-2
-1
0
1
2
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfica de la función
Asíntota horizontal
![Page 81: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/81.jpg)
01.
Halla las asíntotas de las funciones y
representa gráficamente:
Trabajo grupal
x2
2 - xy = f(x) =
02.2x2
x + 3y = f(x) =
![Page 82: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/82.jpg)
Una función real f es continua en un
número x = a si:
Continuidad de una función
límx a
f(x) = f(a)
Si f es continua en a, entonces debe cumplir:
i) f (a) esta definida (esto es, a pertenece al dominio de f )
ii) límx a
f(x) Existe
iii) límx a
f(x) = f(a)
![Page 83: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/83.jpg)
Si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la
gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica.
Así que no existe ninguna brecha en la curva
![Page 84: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/84.jpg)
Discontinuidad evitable o removible.
Tipos de discontinuidad
lím
x af(x)i)
Una función real de variable real f: R R,
tiene una discontinuidad evitable y removible en
un punto x = a, si:
a)
Existe
ii) El número aDf, o bien aDf se tiene que:
límx a f(x) ≠ f(a), en este caso redefinimos f:
F(x) =f(x), si x ≠ a
x af(x), si x = a
lím
![Page 85: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/85.jpg)
Discontinuidad no evitable o removible.
i) Discontinuidad de primera especie una
función real es discontinua cuando tiene
límites laterales son infinitos y diferentes.
b)
ii) Discontinuidad de segunda especie de una
función real es discontinuidad en el punto x
= a, si no existe , o si, uno de los
límites laterales es infinito (±∞)x alím f(x)
![Page 86: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/86.jpg)
Ejemplos:
¿Dónde es discontinua cada una de las
siguientes funciones?
a)x2 – x - 2
x - 2f(x) =
1)
![Page 87: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/87.jpg)
b)
1
x2
f(x) =1, si x = 0
, si x ≠ 0
![Page 88: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/88.jpg)
c)
x2 – x - 2
x - 2f(x) =
1, si x = 2
, si x ≠ 2
![Page 89: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/89.jpg)
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
x4 – 81
x2 - 9f(x) =
2)
![Page 90: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/90.jpg)
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
x3 – 2x2 – 11x + 12
x2 – 5x + 4f(x) =
3)
![Page 91: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/91.jpg)
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
3x3 + 2x2 – 6x + 1
x2 – xf(x) =
4)
![Page 92: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/92.jpg)
x3 - x2 + 2x - 2
x – 1f(x) =5) , para x ≠ 1
4, para x = 1
![Page 93: Limites trigonométricos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021416/58f01e931a28ab5d4d8b45e3/html5/thumbnails/93.jpg)
3x2 - 7x + 2
x – 2f(x) =6) , para x ≠ 0
3, para x = 0