vectorial 2

Instituto de Fısica

Universidad de Guanajuato

Analisis Vectorial

Dr. Miguel Sabido Moreno, Celia Escamilla-Rivera,Josue Trejo Alonso

Leon, Guanajuato.

Indice general

1. Introduccion 5

2. Integrales de lınea 72.1. Caminos e integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Otras notaciones para las integrales de lınea . . . . . . . . . . 102.3. Propiedades funadamentales de las integrales de lınea . . . . . 102.4. El concepto de trabajo como integral de lınea . . . . . . . . . 112.5. Integrales de lınea con respecto a la longitud de arco . . . . . 152.6. Otras aplicaciones de la integrales de lınea . . . . . . . . . . . 162.7. Conjuntos conexos abiertos. Independencia del camino . . . . 172.8. Segundo teorema fundamental del calculo para integrales de

lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.9. Aplicaciones a la Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.10. El primer teorema fundamental del calculo para integrales de

lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.11. Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vec-

torial sea un gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12. Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un

gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.13. Metodos especiales para construir funciones potenciales . . . . 222.14. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer

orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.15. Funciones de potencial en conjunto convexos . . . . . . . . . . 24

3. Integrales multiples 273.1. Integral doble de una funcion escalonada . . . . . . . . . . . . 273.2. Definicion de integral doble de una funcion definida y acotada

en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

4 INDICE GENERAL

3.3. Integrales dobles superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . 293.4. Calculo de una integral doble por integracion unidimensional

reiterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5. Integrabilidad de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 303.6. Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades . . . 313.7. Integrales dobles extendidas a regiones mas generales . . . . . 313.8. Aplicaciones a areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . 323.9. Otras apliaciones a las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . 343.10. Dos teoremas de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.11. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.12. Algunas aplicaciones del teorema de Green . . . . . . . . . . . 353.13. Condicion necesaria y suficiente para que un campo vectorial

bidimensional sea un gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.14. Teorema de Green para regiones multiplemente conexas . . . . 363.15. Cambio de variable en una integral doble . . . . . . . . . . . . 373.16. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Integrales de superficie 394.1. Representacion parametrica de una superficie . . . . . . . . . 394.2. Producto vectorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Area de una superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . 404.4. Teorema de Stokes y Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . 41

5. Algunos problemas de Electromagnetismo 43

Capıtulo 1

Introduccion

A partir del siglo XVII, con el estudio del movimiento, es decir, al estudiarla velocidad de los cuerpos al caer al vacıo ya que cambia de un movimientoa otro, la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta ladistancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeno, se empezo elestudio del calculo infinitesimal, el cual es la rama de las matematicas quecomprende el estudio y aplicaciones del calculo diferencial y del integral.

Conforme el tiempo transcurrıa los progresos en matematicas fueron elresultado de problemas fısicos que se presentaban, con ello fue necesario ex-pander los conceptos ya desarrollados de tal manera que se pudiera unirconcretamente para la hallar la resolucion de estos ultimos. El calculo dife-rencial se unifica y simplifica con la algebra lineal, la cual es muy utilizadaen ciencias naturales y sociales, ademas de su tratamiento de la geometrıa yel analisis. De ahı se empleo el uso de herramientas como los campos escala-res y vectoriales y las aplicaciones a las ecuaciones diferenciales en derivadasparciales. Gracias al calculo integral se realizaron estudios a fondo de las inte-grales de lınea, integrales multiples y de superficie con aplicaciones al analisisvectorial, que es basicamente el seguimiento logico del curso de Analisis Vec-torial. La base firme de este curso es la nocion de los teoremas de Stokes y deGauss y la utilizacion de campos escalares y vectoriales para la resolucion deproblemas fısicos (que en esencia se presentan en Electromagnetismo). Porlo tanto, dividiremos el curso en tres capıtulos importantes:

Integrales de Lınea. Las cuales son de gran importancia en Matematicapura y aplicada, y se presentan al estudiar el trabajo, problemas ter-modinamicos y otras cuestiones en las que aparece un campo escalar ovectorial a lo largo de una curva.

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Integrales Multiples. Ahora consideraremos el caso anterior desde unpunto de vista bidimensional, asi como el analisis de problemas queimpliquen el calculo de areas, volumenes, masas, centros de gravedady conceptos relacionados con todos estos, ademas de ver el caso deextender el espacio a n-dimensiones.

Integrales de Superficie. Trataremos aquı la aplicacion de las integralesde superficie que es como el equivalente en dos dimensiones a una in-tegral de lınea siendo la region de integracion una superficies en lugarde una curva.

Capıtulo 2

Integrales de lınea

2.1. Caminos e integrales de lınea

Definicion 1 Sea ~α una funcion vectorial definida en el intervalo J = [a, b] ∈R y sea t un parametro que recorre J, la funcion ~α(t) traza ciertos puntosconocidos como la grafica de la funcion. Si ~α es continua en J, la grafica seconoce como curva.

Nota 1 Si existen diferentes ~α que describen la misma curva, se dice queson diferentes parametrizaciones de la funcion.

Ejemplo:~α(t) = cos(t)~ı+ sin(t)~

0 6 t 6 2πdonde x = cos(t) y y = sin(t)Ejemplo:x2 + y2 = a2

~α(t) = a cos(t)~ı+ a sin(t)~0 6 t 6 πy =

√a2 − x2

~α(t) = t~ı+√a2 − x2~

a 6 t 6 −a

Definicion 2 Sea J = [a, b] un intervalo cerrado de R. Una funcion ~α : J →Rn que es continua en J se conoce como curva continua en Rn

7

8 CAPITULO 2. INTEGRALES DE LINEA

Figura 2.1:

Si la derivada ~α′ es continua en (a,b) entonces el camino es regular. Si elintervalo no es regular pero puede subdividirse en un numero finito de su-bintervalos regulares, se denomina regular a trozos.

Definicion 3 Integrales de Lınea (Camino). Sea ~L un camino regular a tro-

zos en Rn, definido en el intervalo y acotado en ~L. La integral de lınea de ~fa lo largo de ~L se denota ∫

C

~f · d~α (2.1)

y define como ∫C

~f · d~α =

∫ b

a

~f(~α(t)) · ~α′(t)dt (2.2)

2.1. CAMINOS E INTEGRALES DE LINEA 9

Figura 2.2:

Ejemplo 2.1:

Sea ~f un campo vectorial en R2 definido por ~f(x, y) = xı + (x + y3).Calcule la integral de lınea

1. A lo largo de la recta y = x entre (0,1) y (1,1)

α(t) = tı+ t~f(~α(t)) = tı+ (t+ t3)

~α′ = ı+ ∫ 1

0(tı+ (t+ t3)) · (ı+ )dt = 5

4

2. x = t, y = t3, 0 6 t 6 1~f(~α(t)) = tı+ (t+ t3)

t2ı+ t3


~f(~α(t)) = t2ı+ (t2 + t4)~α′ = 2ı+ 3t2∫ 1

0[t2ı+ (t2 + t9)] · (2tı+ 3t2)dt = 27

20

Ejemplo 2.2:Sea ~f =

√yı+ (x3 + y)

1. x = t, y = t, 0 6 t 6 1α(t) = tı+ t~f(~α(t)) =

√tı+ (t3 + t)

~α′ = ı+ ∫ 1

0[√tı+ (t3 + t)] · (ı+ )dt = 17

12

2. x = t2, y = t3, 0 6 t 6 1~α = t2ı+ t3~f(~α(t)) = t

32 ı+ (t6 + t3)

~α′ = 2tı+ 3t2∫ 1

0[t

32 ı+ (t6 + t3)] · [2tı+ 3t2] = 17

12

2.2. Otras notaciones para las integrales de

lınea

Si C representa la grafica de α, la integral de lınea∫~f · d~α tambien se

representa por∫~f · d~α y se llama integral de ~f a lo largo de C.

Si ~a = ~α(a) y ~b = ~α(b) representan los puntos extremos de C, a veces la

integral de lınea se expresa poniendo∫ b

a~f o

∫ b

a~f · d~α y se denomina integral

de lınea de ~f desde ~a a ~b a lo largo de α. Cuando ~a = ~b el camino se llamacerrado.

2.3. Propiedades funadamentales de las inte-

grales de lınea

Es lineal∫c(a~f + b~g) · d~α = a

∫c~f · d~α+ b

∫c~g · d~α

2) Aditividad

2.4. EL CONCEPTO DE TRABAJO COMO INTEGRAL DE LINEA 11∫c~f · d~α =

∫c1~f · d~α+

∫c2~f · d~α+ · · ·+

∫cn

~f · d~α

Definicion 4 Caminos equivalentes. Sea ~α : [a, b] → Rnuncaminocontinuo, yu :[c, d] → [a, b], una funcion de variable real, con u′ 6= 0 en [c,d] tal que el re-

corrido de U es [a,b] entonces ~β = ~α(u(t)) es un camino continuo que tienela misma grafica de ~α.

Entonces ~α y ~β son equivalentes pero con diferentes representaciones.

Teorema 2.1 Sean ~α y ~β caminos equivalentes regulares a trozos, entonces∫c

~f · d~β = ±∫

c

~f · d~β (2.3)

Demostracion: ∫c~f · d~β =

∫~f(β) · βdt

β(t) = α(u(t))β′(t) = α′(u(t))u′(t)∫~f(u(t))α′(u(t))dt

sea v = u(t) y dv = v′(t)dt entonces∫~f(α(v)) · α′(v) =

∫~f · dα

Teorema 2.2 Comportamiento de una integral de lınea frente a un cam-bio de parametro. Si α y β son dos caminos equivalentes regulares a trozos,entonces se tiene ∫

c

~f · dα =

∫c

~f · dβ (2.4)

si α y β se originan en la misma direccion; y∫c

~f · dα = −∫

c

~f · dβ (2.5)

si α y β originan C en direcciones opuestas.

2.4. El concepto de trabajo como integral de

lınea

Consideremos una partıcula que se mueve a lo largo de una curva bajo laaccion de un campo de fuerzas ~f . Si la curva es la grafica de un camino ~α,


Figura 2.3: (∫~f(nδ~d) · δ~s =

∫c~f · d~s)

regular a trozos, el trabajo realizado por ~f se define por la integral de lınea∫~f · d~α.

Ejemplo 2.3:∫c

dx+dy|x|+|y|

~α(t) = xı+ y

~α′(t) = dxı+ dy

Evaluando por C1

1 6 t 6 −1

x = 1− t

y = t

~α(t) = (1− t)ı+ t

2.4. EL CONCEPTO DE TRABAJO COMO INTEGRAL DE LINEA 13

Figura 2.4: (∫

cdx+dy|x|+|y|)

dx = −dt y dy = dt∫ 1

0−dt

1−t+t+ dt

1−t+t= 0

Evaluando por C2

0 6 t 6 1

x = −ty = 1− t

~α(t) = −tı+ (1− t)

dx = −dt y dy = −dt∫ 1

0−2dtt+1−t

= −2

Evaluando por C3

0 6 t 6 1


x = −1 + t

y = −t~α(t) = (−1 + t)ı− t

dx = −dt y dy = −dt∫ 1

0~f · d~α′ = 0

Evaluando por C4

0 6 t 6 1

x = t

y = −1 + t

~α(t) = tı+ (1 + t)

dx = dt y dy = dt∫ 1

02dt

t−t+1= 2

por tanto∫c

dx+dy|x|+|y| = 0

Ejemplo 2.4:

Un campo bidimensional ~f(x, y) = Cxyı+x6y2 donde C es una constantepositiva. Si la trayectoria a seguir para ir de (0,0) a la recta y = a es y = axb

con a ≥ 0 y b ≥ 0. Encontrar el valor de a en funcion de c para que∫

c~f · d~α

sea independiente de b.

Sea x = t y y = atb en 0 6 t 6 1 entonces

~α(t) = tı+ atb~f(α(t)) = ctatbı+ t6a2t2t

∫ 1

0(actb+1 + a3bt3b+5)dt = a

b+2(a2b

3)

Haciendo c+ a2b3

= (b+ 2)α y despejando a

a =√

3c2

Ejemplo 2.5:

Una partıcula de masa m se mueve a lo largo de una curva c bajo la accionde ~fr. Si la velocidad de la partıcula es v(t) y su energıa cinetica es 1

2mv2

demostrar W = ∆k

W =∫

c~f · d~r =

∫m~v′(t) · d~r

~f(~r(t)) = m~r′′(t) = m~v′(t)

W = m∫~v′(t) · ~r′(t)dt = m

∫v′(t) · ~vdt

2.5. INTEGRALES DE LINEA CON RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO15

Figura 2.5:

sea v′ · v = 12~v′ · ~v + 1

2~v · ~v′ = 1

2ddt

(~v · ~v) = m∫~v′(t) · ~vdt = m

2

∫d~v2

dt=

12mv2

f − 12mv2

0

2.5. Integrales de lınea con respecto a la lon-

gitud de arco

Definicion 5 Sea φ un campo escalar que va φ : Rn → R y ~α(t) una para-metrizacion para c entonces la integral de lınea respecto a la longitud de arcoes: ∫

c

φds =

∫ b

a

φ(~α)||α′(t)||dt (2.6)


Figura 2.6:

Este tipo de integrales se manejan corrientemente en la teorıa de flujo deflujos.

2.6. Otras aplicaciones de la integrales de lınea

Las integrales de lınea con respecto a la longitud de arco se presentantambien en problemas relativos a las distribucion de la masa a lo largo deuna curva. Tambien se pueden utilizar para definir el momento de inercia deun alambre o hilo con respecto al eje.

Sea M =∫ρ(x, y, z)dv si φ representa la densidad →M =

∫φ(x, y, z)ds

Para el momento de inercia xiM =∫

cxiρ(x, y, z)ds

2.7. CONJUNTOS CONEXOS ABIERTOS. INDEPENDENCIA DEL CAMINO17

Ejemplo 2.6:Calcular la masa M de un muelle en forma de helice y cuya ecuacion es~α = a cos tı+ a sin t+ btk para 0 6 t 6 2π y la densidad es φ(x, y, z) =

x2 + y2 + z2

~α(t) = a sin tı+ a cos t+ bk||α′(t)|| =

√a2 + b2∫ 2π

0(a2 + b2t2)

√a2 + b2dt =

√a2 + b2(2a2π + 8

3π3b2

Para el momento de inerciazM =

∫ 2π

0bt(a2 + b2t2)

√a2 + b2dt

z = b√

a2+b2[2a2π2+4b2π4]

(√

a2+b2)2a2π+ 83b2π3

Ejemplo 2.7:Considere un alambre semicircular uniforme de radio a1) Demostrar que el centroide esta situado en el eje de simetrıa a una

distancia 2aπ

del centro.2) Demostrar que el momento de inercia del eje que pasa por los extremos

es 12Ma2, donde M es la masa.1) Sea ~α(t) = a cos tı+ a sin t en 0 6 t 6 π, entoncesM =

∫φ(x, y)ds = ρ0

∫ π

0ds = πaρ0

~α′(t) = −a sin tı+ a cos t y ||α′(t)|| = aPor tanto x = a

M

∫ π

0a cos t · ρ0dt = 0

y = aMρ0

∫ π

0a sin tdt = 2a

π

2) Sea IL =∫ π

0y2ρ0ds = ρ0

∫ π

0a2 sin2 t · adt = a2M

2

2.7. Conjuntos conexos abiertos. Independen-

cia del camino

Definicion 6 Sea S un subconjunto de Rn. Sean A y B 2 puntos ∈ S. Siexistes un conjunto regular a trozos α : [a, b] → Rn ∈ α(a) = A, α(b) = B ysu grafica esta en S. Entonces S es conexo.

En la siguiente figura se observa a)solido elipsoidal, b)solido poliedrico y c)solido torico, en donde en cada caso se considera solo los puntos interiores,las figuras a), b) y c) son ejemplos de conjuntos conexos y en la reunion dedos discos circulares disjuntos vemos un conjunto no conexo S.


Figura 2.7:

2.8. Segundo teorema fundamental del calcu-

lo para integrales de lınea

Teorema 2.3 Si φ es un campo escalar diferenciable con gradiente continuo∇φ en un conjunto conexo abierto en S ∈ Rn, entonces para dos puntos A yB unidos por un camino regular a trozos ~α : [a, b] → Rn∫ B

A

∇φ · d~α = φ(B)− φ(A) (2.7)

Demostracion: ∫∇φ · d~α =

∫ B

A∇φ(α(t)) · α′(t)dt

2.9. APLICACIONES A LA MECANICA 19

Sea g(t) = φ(α(t))g(t)dt

= g′(t) = ∂φ∂di

dαi

dt= ( ∂φ

dα1e1 + ∂φ

dα2e2 + . . .+ ∂φ

dαnen)(dα1

dte1 + . . .+ dαn

dten) =

∇φ · dαdt

= ∇φ · ~α(t)∫ B

Ag′(t)dt = g(B)− g(A) = φ(α(B))− φ(α(A)) = φ(B)− φ(A)

Ejemplo 2.8:Dado un campo vectorial ~f(x, y, z) = P (x, y, z)ı+Q(x, y, z)+R(x, y, z)k

tal que ∂P∂y

,∂P∂z

,∂Q∂x

,∂Q∂z

,∂R∂x

,∂R∂y

son continuas en S. Si ~f(x, y, z) = ∇φ(x, y, z),mostrar

∂P∂y

= ∂Q∂x

,∂P∂z

= ∂R∂x

,∂Q∂z

= ∂R∂y

Hagamos

~f = ∂φ∂xı+ ∂φ

∂j+ ∂φ

∂zk

P = ∂φ∂x

Q = ∂φ∂y

R = ∂φ∂z

∂P∂y

= ∂2φ∂y∂x

, ∂Q∂x

= ∂2φ∂x∂y

como φ ∈ c2∂2φ∂x∂y

= ∂2φ∂y∂x

→ ∂P∂y

= ∂Q∂x

∂P∂z

= ∂2φ∂x∂z

, ∂R∂z

= ∂2φ∂z∂x

→ ∂P∂z

= ∂R∂z

∂Q∂z

= ∂2φ∂z∂y

, ∂R∂y

= ∂2φ∂y∂z

→ ∂Q∂z

= ∂R∂y

2.9. Aplicaciones a la Mecanica

Ejemplo 2.8:a)Hallar el trabajo realizado al moverse (-1,0) (1,0) a lo largo de la parte

superior de la elipse b2x2 + y2 = b2 si ~f(x, y) = (3y2 + 2)ı+ 16xb)¿Para que valor de b se hace el mınimo trabajo?a)Dividimos entre b2 la ecuacion de la elipse

x2 + y2

b2= 1 y hacemos x = a cos(t) y y = b sin(t)

~α(t) = a cos(t)ı+ b sin(t)~α′(t) = a− sin(t)ı+ b cos(t)

f(α(t)) = (3b2 sin2(t) + 2)ı+ (16 cos(t))∫ 0

π(3b2 sin2(t) + 2)ı+ (16 cos(t)) · (− sin(t)ı+ b cos(t))

Con lo que la integral es igual a W = 4b2 + 4− 8πbb) Para hallar el mınimo trabajo W derivamos e igualamos a cero


dWdb

= 8b− 8π = 0, entonces b = π

Ejemplo 2.9:a) Mostrar que el trabajo a lo largo de α(t) = f(t)ı+g(t) para a 6 t 6 b

depende de f(a), f(b), g(a), g(b).b) Hallar el trabajo si f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3, g(b) = 4a) Sea.f(α(t)) = [f(t)− g(t)]ı+ [f(t)− g(t)]α′(t) = f ′(t)ı+ g′(t)∫ b

a[f(t) − g(t)]f ′(t) + [f(t) − g(t)]g′(t) =

∫ b

af(t)f ′(t) +

∫ b

af(t)g′(t) −∫ b

ag(t)g′(t) = f2

2

b

a− g2

2

b

a− fgb

a = 12[f 2(b) + g2(a)− f 2(a)− g2(b) + f(b)g(b)−

g(a)f(a)]b) Sustituyendo los valores en a) W = 3

2.10. El primer teorema fundamental del calcu-

lo para integrales de lınea

Teorema 2.4 Sea ~f un campo escalar vectorial continuo en un conjuntoconexo abierto S de Rn y supongamos que la integral de lınea de ~f es inde-pendiente del camino. Sea ~a un punto fijo de S y definimos el campo escalarφ en S

φ(~x) =

∫ x

a

~f · d~α (2.8)

en donde ~α es regular a trozos en S y une ~α con ~x. Entonces existe ∇φ = fpara toda x ∈ S

2.11. Condiciones necesarias y suficientes pa-

ra que un campo vectorial sea un gra-

diente

Teorema 2.5 Si ~f es un campo vectorial continuo en un conjunto conexoabierto S ∈ Rn entonces son equivalentes

2.12. CONDICIONES NECESARIAS PARA QUE UN CAMPO VECTORIAL SEA UN GRADIENTE21

1. f es gradiente de un potencial

2. La integral de ~f es independiente de S

3. La integral de lınea de ~f alrededor de todo camino cerrado regular atrozos contenido en S es nula.

Ejemplo 2.10:Determinar si f(x,y) es conservativo:f(x, y) = xı+ y sobre una circunferencia de radio arbitrario.Sea x = a cos(t) y y = a sin(t)~α(t) = a cos(t)ı+ a sin(t)f(α) = a cos(t)ı+ a sin(t)∮ 2π

o

= 0 Lo cual cumple con 2 y 3 del teorema 2.5

Como ∂P∂y

= ∂Q∂x

entonces se cumple 1 del teorema 2.5. Por tanto f(x,y) esconservativo.

2.12. Condiciones necesarias para que un cam-

po vectorial sea un gradiente

Teorema 2.6 Si ~f = f1e1+. . .+fnen es un campo vectorial diferenciable concontinuidad en un conjunto abierto S ∈ Rn si f es gradiente en S, entonces

Difj = Djfi (2.9)

Demostracion:

∇φ =n∑

i=1

∂φ

∂xi

ei

Diφ = ∂φ∂xi

fi = DjφDifj = DiDjφDjfi = DjDiφ

Puesto que las derivadas parciales son continuas en S, las dos derivadasparciales mixtas deben ser iguales en S.


2.13. Metodos especiales para construir fun-

ciones potenciales

Si ~f es un gradiente continuo en un conjunto conexo abierto S, la integralde lınea de ~f es independiente del camino en S. Por tanto podemos encontrarun potencial en S. Por lo tanto podemos encontrar un potencial φ integrando~f desde un punto fijo en a hasta un punto cualquiera x de S, siguiendo uncamino regular a trozos situado en S. El campo escalar que ası se obtienedepende de la eleccion del punto inicial en a. Si empezamos en otro puntoinicial en b, obtenemos un nuevo potencial ψ. Pero, en virtud de la propiedadaditiva de las integrales de lınea, φ y ψ pueden diferir unicamente en unaconstante, siendo esta la integral de ~f entre a y b.

Ejemplo 2.11:

Supongamos que un campo vectorial tridimensional ~f = (f1, f2, f3) es elgradiente de una funcion potencial φ en un conjunto abierto S de R3. Tenemosentonces

∂φ∂x

= f1

∂φ∂y

= f2

∂φ∂z

= f3

en todo conjunto S. Empleando integrales indefinidas e integrando la pri-mera de esas ecuaciones respecto de x encontramos

φ(x, y, z) =∫f1(x, y, z)dx+ A(y, z),

en donde A(y,z) es una constante de integracion que hay que determinar.Analogamente, si integramos la tercera ecuacion respecto a y y a la ecuaciondos respecto de z obtenemos las relaciones

φ(x, y, z) =∫f2(x, y, z)dy +B(x, z),

φ(x, y, z) =∫f3(x, y, z)dz + C(x, y),

en las que B(x, z) C(x, y) son funciones que tienen que determinarse. En-contrar φ significa tres funciones A(y, z), B(x, z), C(x, y) tales que las tresecuaciones obtenidas para φ(x, y, z) tengan sus segundos miembros coinci-dente.

2.14. APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN23

Figura 2.8: Dos caminos poligonales que unen (a,b) con (x,y)

2.14. Aplicaciones a las ecuaciones diferen-

ciales exactas de primer orden

Algunas ecuaciones diferenciales de primer orden pueden resolverse pormedio de funciones potenciales. Supongamos que tenemos una ecuacion di-ferencial de la forma

y′ = f(x, y) (2.10)

Si multiplicamos ambos miembros por un factor no nulo Q(x,y) transfor-mamos la ecuacion 2.10 en otra de la forma Q(x, y)y′ − f(x, y)Q(x, y) = 0.Si ponemos P(x,y) en lugar de −f(x, y)Q(x, y) y empleamos la notacion deLeibniz para las derivadas, escribiendo y′ en la forma dy

dx, la ecuacion diferen-


cial adopta la forma

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (2.11)

Teorema 2.7 Supongamos que la ecuacion diferencial

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (2.12)

es exacta en un conjunto abierto S, y sea φ un campo escalar que satisface∂φ∂x

= P ; ∂φ∂y

= Q

en todo S. Entonces toda solucion y=Y(x) de 2.12 cuya grafica esta si-tuada en S satisface la ecuacion φ[x, Y (x) = C] para un cierto valor de C.Recıprocamente, si la ecuacion φ(x, y) = C define y como funcion implıci-ta diferenciable de x, entonces esta funcion es una solucion de la ecuaciondiferencial 2.12

2.15. Funciones de potencial en conjunto con-

vexos

Teorema 2.8 Sea S un intervalo cerrado en Rn con interior no vacıo ysea J=[a,b] un intervalo de R. Sea Jn+1 en Rn+1. Cada punto de Jn+1 lorepresentamos por (x,t), donde x ∈ Rn y t ∈ J .

Supongamos que φ es un campo escalar en Jn+1, tal que la derivada parcialDkφ es continua en Jn+1 donde k = 1, · · · , n, definamos

φ(x) =

∫ b

a

φ(x, t)dt (2.13)

Entonces

Dkφ(x) =

∫ b

a

Dkφ(x, t)dt (2.14)

Teorema 2.9 Sea ~f = (f1, · · · , fn) un campo vectorial diferenciable con con-

tinuidad en un conjunto conexo abierto S de Rn. El campo ~f es un gradienteen S si y solo si

Dkfj(x) = Djfk(x) (2.15)

para cada x de S y todos los ındices k, j = 1, 2, · · · , n.

2.15. FUNCIONES DE POTENCIAL EN CONJUNTO CONVEXOS 25

Demostracion:Supongamos por el teorema 2.6 que las condiciones son necesarias y su-

pongamos 2.14 y construyamos un potencial φ en S

φ(x) =∫ 2

1~f(t~xdt) =

∫ 1

0φ(~x, t)dt Dkφ(~x) =

∫ 1

0Dkφ(~x, t)dt

Dkφ(~x, t) = ~f(t~x) ·Dk~x+Dk(~f(t~x)) · ~x Dkφ(~x, t) = fk(t~x) + t∇fk(t~x) · ~xg′(t) = ∇fk(t~x) · ~x Dkφ(~x, t) = g(t) + tg′(t)

Dkφ(~x) =∫ 1

0Dkφ(~x, t) =

∫ 1

0g(t)dt+

∫ 1

0tg′(t)dt Dkφ(~x) = g(1) = fk(~x)

Esto demuestra que ∇φ = ~f en S.

Capıtulo 3

Integrales multiples

Definicion 7 Funcion escalonada: Sea f una funcion que va de f : Q → Rcon Q = [a, b]

⊗[c, d] tal que f es constante en cada segmento de Q. Si f

y g son dos funciones escalonadas definidas en un rectangulo dado Q, lacombinacion lineal c1f + c2g tambien es una funcion escalonada.

3.1. Integral doble de una funcion escalonada

Sea f una funcion escalonada en Q y Cij el valor de f enQij = (xi−1, xi)⊗

(yi−1, yi)de Q. La integral de f sobre Q, se define como∫ ∫

f =n∑

i=1

m∑j=1

Cij(xi − xi−1)(yi − yi−1) (3.1)

Si f = k ∫ ∫Q

= k(b− a)(d− c) (3.2)

prescindiendo de los valores de f sobre los lados de Q la ecuacion 3.2 puedeescribirse como∫ ∫

Q

f =

∫ d

c

[

∫ b

a

f(x, y)dx]dy =

∫ b

a

[

∫ d

c

f(x, y)dy]dx (3.3)

Si aplicamos la ecuacion 3.3 cuando f es una funcion escalonada del tipo antesdescrito, podemos escribir∫ ∫

Qij

=

∫ yj

yj−1

[

∫ xi

xi−1

f(x, y)dx]dy =

∫ xj

xi−1

[

∫ yj

yj−1

f(x, y)dy]dx (3.4)

27

28 CAPITULO 3. INTEGRALES MULTIPLES

Figura 3.1: Grafica de una funcion escalonada definida en un rectangulo Q

Teorema 3.1 LINEALIDAD. Cualesquiera qu sean los numeros reales c1 yc2 tenemos∫ ∫

Q

[c1s(x, y) + c2t(x, y)]dxdy = c1

∫ ∫Q

s(x, y)dxdy + c2

∫ ∫Q

t(x, y)dxdy

(3.5)

Demostracion:Sea

dij = [c1sij + c2tij]∫ ∫Qf =

∫ ∫Q(c1 + c2tij) =

∑∑(c1sij + c2tij)(xi − xi−1)(yj − yj−1)

=c1∑∑

sij(xi − xi−1)(yj − yj−1) + c2∑∑

tij(xi − xi−1)(yj − yj−1)

3.2. DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE DE UNA FUNCION DEFINIDA Y ACOTADA EN UN RECTANGULO29

=c1∫ ∫

Qs+ c2

∫ ∫Qt

Teorema 3.2 ADITIVIDAD. Si Q esta subdividido en dos rectangulos Q1

y Q2, ∫ ∫s(x, y)dxdy =

∫ ∫Q1

sdxdy +

∫ ∫Q2

sdxdy (3.6)

3.2. Definicion de integral doble de una fun-

cion definida y acotada en un rectangulo

Definicion de la integral de Riemmann. Si existe un numero I y solo unotal que ∫ ∫

Q

6 I 6∫ ∫

Q

t (3.7)

para todo par de funciones escalonadas s y t que satisfacen s(x, y) 6 f(x, y) 6t(x, y) para todo (x,y), entonces I se llama la integral doble de R sobre Q yse denota por ∫ ∫

Q

f (3.8)

o∫ ∫Q

f(x, y)dxdy (3.9)

Cuando existe el numero I se dice que la funcion f es integrable en Q.

3.3. Integrales dobles superior e inferior

Supongamos que f acotada es un rectangulo Q y sean s y t dos funcio-nes escalonadas que satisfacen s(x, y) 6 f(x, y) 6 t(x, y). Decimos que sesta por debajo de f, y t esta por encima de f, y escribimos s 6 f 6 t. De-signemos con S el conjunto de toods los numeros

∫ ∫Qs obtenidos al tomar

como s todas y cada una de la funciones escalonadas por debajo de f, y seaT el conjunto de todos los numeros

∫ ∫Qt obtenidos al tomar como t todas

y cada una de las funciones escalonas por encima de f. De aquı el siguienteteorema:


Teorema 3.3 Si una funcion f acotada en un rectangulo Q tiene una integralinferior y una integral superior, la funcion f es integrable en Q si y solo sisus integrales superior e inferior son iguales, entonces:∫ ∫

Q

= I(f)inf = I(f)sup (3.10)

3.4. Calculo de una integral doble por inte-

gracion unidimensional reiterada

Para la integracion unidimensional, el segundo teorema fundamental delcalculo proporciona un metodo para calcular integrales sin exigir la definicionde integral en cada caso.

Teorema 3.4 Sea f una funcion definida y acotada en un rectangulo Q =[a, b]

⊗[c, d], y supongamos que f es integrable en Q. Tendremos:∫ ∫

Q

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

[

∫ b

a

f(x, y)dx]dy (3.11)

3.5. Integrabilidad de funciones continuas

Teorema 3.5 Si una funcion f es continua en un rectangulo Q = [a, b]⊗

[c, d],entonces f es integrable en Q. Ademas, el valor de la integral puede obtenersepor integracion sucesiva,∫ ∫

Q

=

∫ d

c

[

∫ b

a

f(x, y)dx]dy =

∫ b

a

[

∫ d

c

f(x, y)dy]dx (3.12)

Demostracion:Sea

S(x, y) 6 f(x, y) 6 T (x, y)∫ b

aS(x, y)dx 6

∫ b

af(x, y)dx 6

∫ b

aT (x, y)dx∫ b

aS(x, y)dx 6 A(y) 6

∫ b

aT (x, y)dx∫ d

c

∫ b

aS(x, y)dxdy 6

∫ d

cA(y) 6

∫ d

c

∫ b

aT (x, y)dxdy∫ ∫

QS 6

∫ d

cA(y)dy 6

∫ ∫QT∫ ∫

QS 6 I 6

∫ ∫QT

Por tanto, I =∫ ∫

Qf =

∫ d

cA(y)dy =

∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy

3.6. INTEGRABILIDAD DE FUNCIONES ACOTADAS CON DISCONTINUIDADES31

3.6. Integrabilidad de funciones acotadas con

discontinuidades

Definicion 8 Sea A un subconjunto acotado del plano. Se dice que el con-junto A tiene contenido nulo si para todo ε > 0 existe un conjunto finito derectangulos cuya reunion contiene A y cuya suma de areas no supera ε.

Propiedades de los conjuntos acotados de contenido nulo:

Cualquier conjunto finito de puntos del plano tiene contenido nulo.

La reunion de un numero finito de conjuntos acotados de contenidonulo tambien es de contenido nulo.

Todo subconjunto de un contenido nulo tiene contenido nulo.

Todo segmento de recta tiene contenido nulo.

Teorema 3.6 Sea f una funcio definida y acotada en un rectangulo Q =[a, b]

⊗[c, d]. Si el conjunto de discontinuidades de f en Q es un conjunto de

contenido nulo existe la integral doble∫ ∫

Qf .

3.7. Integrales dobles extendidas a regiones

mas generales

Definamos un nueva funcion f en Q, del siguiente modo:

f(x, y) =

{f(x, y) si (x, y) ∈ S0 si (x, y) ∈ Q− S

Luego consideremos primero el conjunto S de puntos del plano xy defini-dos:

s = (x, y)|a 6 x 6 byφ1(x) 6 y 6 φ2(x), en donde las φ son funcionescontinuas en un intervalo cerrado [a, b] que satisfacen φ1 6 φ2. Este es unejemplo de una region tipo I (como se muestra en la figura 10).

Figura 3.2: Region S tipo I


Un ejemplo de la region tipo II se muestra en la figura 11 y se define dela siguiente manera:

T = (x, y)|c 6 y 6 d y ψ1(y) 6 y 6 ψ2(y), en donde las φ son continuasen el intervalo [c,d] siendo ψ1 6 ψ2

Figura 3.3: Region S tipo II

Teorema 3.7 Si φ es una funcion real continua es un intervalo [a,b], en-tonces las graficas de φ tienen contenido nulo.

Teorema 3.8 Sea S una region del tipo I, comprendida entre las graficas deφ1 y φ2. Supongamos que f esta definida y es acotada en S y que es continuaen el interior de S. Existe entonces la integral doble

∫ ∫Sf y puede calcularse

mediante integracion unidimensional reiterada.∫ ∫S

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

[

∫ φ2(x)

φ1(x)

f(x, y)dy]dx (3.13)

3.8. Aplicaciones a areas y volumenes

Ejemplo 1.Un solido esta limitado por z = x2 − y2, el plano xy y los planos x = 1 y

x = 3, encontrar el volumen. V =∫ 3

1

∫ x

−x(x2 − y2)dydx

Figura 3.4: Ejemplo 1

V = 2∫ 3

1

∫ x

0(x2 − y2)dydx

V = 2∫ 3

1(x2y − y3

3)30 = 2

∫ 3

1(x3 x3

3)dx

V = 803unid3

Ejemplo 2Una piramide esta acotada por 3 planos coordenados y el plano x+ 2y+

3z = 6 calcular el volumen

3.8. APLICACIONES A AREAS Y VOLUMENES 33


V =∫ 6

0

∫ 6−x2

06−2y−x

3dydx

V =∫ 6

0

∫ 3−x2

06−2y−x

3dydx

V =∫ 6

0(2y − xy

3y2

3

3−x2

0)

V = 6unid3

Ejemplo 3Cambiar el orden de integracon de∫ −6

2

∫ 2−xx2−4

4

f(x, y)dydx


∫ 8

0

∫ 2−y

−2√

y+1f(x, y)dxdy +

∫ 0

−1

∫ 2√

y+1

−2√

y+1

Ejemplo 4Cambiar el orden de integracon de∫ 4

0

∫ y−42

−4√

4−yf(x, y)dxdy


∫ 0

−2

∫ 2(x+2)

4−x2 f(x, y)dydx

Ejemplo 5Demostrar que I =

∫ ∞0

e−x−e−2x

x= ln2

I =∫ ∞

0

∫ e−x

e−2x1xdydx

I = lımb→∞∫ b

0

∫ e−x

e−2x1xdydx

I = lıma→0

∫ 1

a

∫ −lny

− 12lny

1xdydx


I = lıma→0

∫ 1

a−lny

− 12lnydy

I = lıma→0(1− a)ln2

3.9. Otras apliaciones a las integrales dobles

En las secciones anteriores se ha visto que las integrales dobles puedenusarse para calcular areas de regiones planas y volumenes de solidos. De igualmanera utilizaremos esta herramienta para calcular momentos de inercia,centros de gravedad, etc.

Si la funcion densidad f es integrable en S, definimos la masa total m(S)de una cierta lamina mediante la formula

m(S) =

∫ ∫S

f(x, y)dxdy (3.14)

entonces la densidad media de la lamina es el cociente:

masa

area=

∫ ∫Sf(x, y)dxdy∫ ∫

Sdxdy

(3.15)

El centro de gravedad de la lamina, definido oomo una cantidad calculadateoricamente que representa un punto de equilibrio del sistema, es determi-nado por

xm(S) =

∫ ∫S

xf(x, y)dxdyym(S) =

∫ ∫S

yf(x, y)dxdy (3.16)

Si L es una recta en el plano de la lamina y representamos con δ(x, y) ladistancia desde el punto (x,y) de S a la recta L, el numero IL lo definimos

IL =

∫ ∫S

δ2(x, y)f(x, y)dxdy (3.17)

es el momento de inercia de la lamina respecto a L.

3.10. Dos teoremas de Pappus

El teorema de Pappus establece que el volumen de S es igual al productode la longitud de esa circunferencia multiplicada por el area de Q

v(S) = 2πya(Q) (3.18)

3.11. TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO 35

3.11. Teorema de Green en el plano

El segundo teorema fundamental del calculo para las integrales de lıneaestablece que la integral de lınea de un gradiente ∇f a lo largo de un caminoque une dos puntos a y b puede expresarse en funcion de los valores f(a) y f(b).Existe un teorema analogo que relaciona una integral doble de una region Scomo una integral de lınea a lo largo de la curva cerrada de la frontera de S,este teorema es llamado Teorema de Green:∫ ∫

S

(∂Q

∂x− ∂P

∂y)dxdy =

∮C

Pdx+Qdy (3.19)

3.12. Algunas aplicaciones del teorema de Green

Ejemplo 1.

f(x, y) = (y + 3x)ı+ (2y − x)

Sea 4x2 + y2 = 4 una elipse

Utilizando x = cos θ y y = 2 sin θ∫ 2π

0[(2 sin θ + 3 cos θ)ı+ (4 sin θ − cos θ)][− sin θı+ 2 cos θ]dθ = −4π

∂P∂y

= 1 y ∂Q∂x

= −1∫ ∫∂Q∂x− ∂P

∂y=

∫ ∫(−2)dA = −2A(R)

donde A(R) es el area de la elipse A(R) = πab

3.13. Condicion necesaria y suficiente para

que un campo vectorial bidimensional

sea un gradiente

Teorema 3.9 Si ~f(x, y) = P (x, y)ı+Q(x, y) es un campo vectorial deriva-ble con continuidad en un conjunto abierto simplemente conexo S del plano,entonces ~f es un gradiente si y solo si tenemos

∂P

∂y=∂Q

∂x(3.20)

en todos los puntos de S.


3.14. Teorema de Green para regiones multi-

plemente conexas

Teorema 3.10 Sean C1, · · · , Cn n curvas de Jordan regulares a trozos quecumplen que:

Dos cualesquiera de esas curvas no se cortan

Todas las curvas C2, · · · , Cn estan situadas en el interior de C1

La curva C1 esta en el interior de la curva Cj con la porcion del interiorde C1 que no esta dentro de cualquiera de las curvas C2, C3, · · · , Cn.

Sean P y Q derivables con continuidad en un conjunto abierto S que contieneR. Tenemos que∫ ∫

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y)dxdy =

∮C1

(Pdx+Qdy)−n∑

k=2

∮Ck

(Pdx+Qdy) (3.21)

Figura 3.8: Region multiplemente conexa

Teorema 3.11 Sean P y Q derivables con continuidad en un conjunto abier-to conexo S del plano, y tengamos en cuenta el teorema 3.9. Sean C1 y C2

dos curvas de Jordan regulares a trozos situadas en S y que satisfacen:

C2 esta en el interior de C1

Los puntos interiores a C1 que son exteriores a C2 pertenecen a S

con esto tenemos que∮C1

Pdx+Qdy =

∮C2

Pdx+Qdy (3.22)

recorriendose ambas curvas en el mismo sentido

3.15. CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DOBLE 37

3.15. Cambio de variable en una integral do-

ble

El metodo de sustitucion en integrales dobles es mas laborioso que en lassimples debido a que existen dos sustituciones formales a efectuar, una conrespecto a x y otra con respecto a y del siguiente modo:

x = X(u, v)y = Y (u, v)Si nos fijamos en la figura 3.5 vemos que el radio vector ~r esta definido

por~r = X(u, v)ı+ Y (u, v)o como aplicacion inversau = U(x, y)v = V (x, y) Entonces la formula para la transformacion de integrales

dobles es:∫ ∫S

f(x, y)dxdy =

∫ ∫T

f [X(u, v), Y (u, v)]|J(u, v)|dudv (3.23)

donde J(u,v) es el jacobiano el cual es: J(u, v) =

∣∣∣∣ ∂X∂u

∂Y∂u

∂X∂v

∂Y∂v

∣∣∣∣Figura 3.9: Aplicacion definida por la ecuacion para ~r

3.16. Ejemplos

Volumen de una esfera n-dimensional. Sea Sn(a) la esfera n-dimensionalde radio a dada por

Sn(a) = (x1, · · · , xn|x21 + · · ·+ x2

n 6 a2)

Vn(a) =∫

Sn(a)· · ·

∫dx1 · · · dxn,

Para toda a mayor que cero tenemos

Vn(a) = anVn(1)

si hacemos un cambio lineal de variable ~x = a~u


Vn(a) =∫

Sn(a)· · ·

∫dx1 · · · dxn =

∫Sn(1)

· · ·∫andu1 · · · dun = anVn(1)

Observemos que x21 + · · ·+ x2

n 6 1 y solo si

x21 + · · ·+ x2

n−2 6 1− x2n−1 − x2

n

x2n−1 − x2

n 6 1

Escribimos Vn(1) como la iteracion de una integral de (n-2)multiple yuna integral doble

Vn(1) =∫ ∫

x2n−1−x2

n61[∫

x21+···+x2

n−261−x2n−1−x2

ndx1 · · · dxn−2]dxn−1dxn

si extendemos a la esfera (n-2) dimensional Sn−2(R) entonces:

Vn−2(R) = Rn−2Vn−2(1) = (1− x2n−1 − x2

n)n2−1Vn−2(1)

haciendo la sustitucion x = xn−1 y y = xn obtenemos

Vn(1) = Vn−2(1)∫ ∫

x2+y261(1− x2 − y2)

n2−1dxdy

transformando a coordenadas polares la anterior integral

Vn(1) = Vn−2(1)∫ 2π

0

∫ 1

0(1− r2)

n2−1rdrdθ = Vn−2(1)

2πn

donde vemos que los numeros Vn(1) satisfacen la formula de recurrencia

Vn(1) = 2πnVn−2(1) si n > 3

Capıtulo 4

Integrales de superficie

4.1. Representacion parametrica de una su-

perficie

Un superficie es el lugar de un punto que se mueve en el espacio condos grados de libertad. Para anlizar este tipo de casos podemos utlizar tresmetodos, el primero es la representacion implıcita en el que se considera unasuperficie como un conjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen una ecuacionde la forma F (x, y, z) = 0. Otro metodo es encontrar una representacionexplıcita que es cuando despejamos en la ecuacion una de las coordenadas enfuncion de las otras dos. El tercer metodo es la representacion parametricao vectorial dada de la siguiente manera:

x = X(u, v); y = Y (u, v); z = Z(u, v) (4.1)

Si definimos el radio vector ~r, que une el origen a un punto generico (x,y,z)de la superficie, podemos obtener una ecuacion parametrica de la forma:

~r(u, v) = X(u, v)ı+ Y (u, v)+ Z(u, v)k (4.2)

Por ejemplo, las ecuaciones parametricas de una esfera son:

Figura 4.1: Representacion parametrica de una superficie

x = a cosu cos v

39

40 CAPITULO 4. INTEGRALES DE SUPERFICIE

y = a sinu cos vz = a sin vy para un cono son:x = v sinα cosuy = v sinα sinuz = v cosα

4.2. Producto vectorial fundamental

Considerando la ecuacion 4.2, si X, Y y Z son derivables en T podemosconsiderar:

∂~r∂u

= ∂X∂uı+ ∂Y

∂u+ ∂Z

∂uk

∂~r∂v

= ∂X∂vı+ ∂Y

∂v+ ∂Z

∂vk

donde ∂~r∂u× ∂~r

∂vse denomina producto vectorial fundamental.

Si (u,v) es un punto en T en el cual ∂~r∂u

y ∂~r∂v

son continuas y el productovectorial fundamental no es nulo, el punto ~r(u, v) se llama punto regularde ~r. Los puntos donde estas parciales no son continuas o bien el productovectorial fundamental es nulo se llaman puntos singulares de vecr

4.3. Area de una superficie parametrica

Definicion 9 El area de S, que se representa como a(S), se define por laintegral doble

a(S) =

∫ ∫T

||∂~r∂u

× ∂~r

∂v||dudv (4.3)

o de igual manera

a(S) =

∫ ∫T

√∂(Y, Z)

∂(u, v)

2

+∂(Z,X)

∂(u, v)

2

+∂(X, Y )

∂(u, v)

2

dudv (4.4)

Teorema 4.1 Otro teorema de Pappus. Supongamos una curva C que giraalrededor del eje z. Sea z = f(x), su ecuacion en el plano xz, donde a 6 x 6 b,a > 0. La superficie de revolucion S ası formada puede representarse por laecuacion

~r = u cos vı+ u sin v+ f(u)kdonde (u, v) ∈ [a, b]× [0, 2π]

4.4. TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE GAUSS 41

Con esto podemos calcular el producto vectorial fundamental:∂~r]∂u× ∂~r

∂v= −uf ′(u) cos vı− uf ′(u) sin v+ uk

y al sacar la norma del producto anterior obtenemos:|| ∂~r

∂u× ∂~r

∂v|| = u

√1 + [f ′(u)]2du

Entonces la ecuacion 4.3 se convierte en:∫ 2π

0[∫ b

au√

1 + [f ′(u)]2du]dv = 2π∫ b

au√

1 + [f ′(u)]2duesta integral puede expresarse como

∫Cxds que es una integral de lınea

respecto de a la longitud del arco tomada a lo largo de C.

4.4. Teorema de Stokes y Teorema de Gauss

Definicion 10∫ ∫

∇× ~F · nds =∮~F · d~α

Definicion 11 Si V es un solido en R3 limitado por la superficie cerrada Sy n es el vector norma unitario extendido a S y si ~F es un campo vectorialdefinido en V, entonces∫ ∫ ∫

∇ · Fdv =∮ ∮

~F · nds

42 CAPITULO 4. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Capıtulo 5

Algunos problemas deElectromagnetismo

Este capıtulo es con la finalidad de ensenar al lector como aplicar lo vistoen las secciones anteriores en problemas fısicos, para este caso nos centrare-mos en Electromagnetismo, donde veremos las aplicaciones de los teoremasde Stokes, de la divergencia y otros.

Ejemplo 1. Carga en una esfera∫ ∫E · nds =

∫ ∫ ∫ρdv

E(4πr2) = 1ε0

∫ ∫ ∫rnr2 sin θdrdθdφ

4πEr2 = 4πε0

rn+3

n+3

E = rn+3

ε0(n+3)

Ejemplo 2. Se da una carga lineal infinitamente larga que tiene una den-sidad de carga uniforme λ por mitad de longitud. Por integracion directa,encuentre el campo electrico a una distancia ρ de la lınea.

Sea dq un elemento diferencial de carga de la carga lineal infinita, enton-ces, dq = λdl, donde dl es el elemento diferencial de longitud.

d ~E = 14πε0

dq

|~r−~r′|3(~r − ~r′)

Si colocamos a la carga lineal sobre el eje z, en coordenadas cilındricastenemos

d ~E = 14πε0

( ρdz′

ρ2+(z−z′)2

32 ρ+ (z−z′)dz′

ρ2+(z−z′)2

32 k)

43

vectorial 2

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