Espacio vectorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

Los elementos: se llaman vectores.

Los elementos: se llaman escalares.

Con la operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

Operación externa tal que:

5) tenga la propiedad:

6) tenga elemento neutro 1:

Que tenga la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

8) distributiva por la derecha:

Observación

Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.

Si no se dice lo contrario, .

Notaciones

Un -espacio vectorial es un espacio vectorial sobre un cuerpo .

también .

se distingue del escalar cero por el contexto.

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

Supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo

Supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo

Supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si

Si a=0 es cierto. Si

u = 0.

Signos equivalentes:

.

Notación

.

Primer ejemplo con demostración al detalle

Queremos ver que es un espacio vectorial sobre

Veamos pues que juega el papel de y el de :

Los elementos son, de forma genérica, u=(x,y), es decir, pares de números reales.En defino la operación u+v = (x1,y1) + (x2,y2) := (x1+x2,y1+y2) = (x3,y3) que pertenece a , esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.1)u+v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) = (x2,y2) + (x1,y1) = v+u, es decir u+v=v+u.2)u+(v+w) = u + ((x2,y2) + (x3,y3)) = u + (x2+x3,y2+y3) = (x1,y1) + ( (x2+x3) , (y2+y3) ) = (x1+(x2+x3),y1+(y2+y3)) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3), ahora véase que (u+v)+w es lo mismo, es decir u+(v+w)=(u+v)+w.3)u+(0,0) = (x,y)+(0,0) = (x+0,y+0) = (x,y) = u, es decir (0,0)=0 cero de V.4)u = (x,y), u+(-x,-y) = (x,y)+(-x,-y) = (x-x,y-y) = (0,0) = 0, es decir -u:=(-x,-y) en general.defino la operación au = a(x,y) := (ax,ay) = (x2,y2) que pertenece a , esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.

a) a(bu) = a(b(x,y)) = a(bx,by) = (a(bx),a(by)) = ((ab)x,(ab)y) = (ab)(x,y) = (ab)u, es decir a(bu)=(ab)u.

b) 1u = 1(x,y) = (1x,1y) = (x,y) = u, es decir 1u=u.c) a(u+v) = a((x1,y1)+(x2,y2)) = a(x1+x2,y1+y2) = (a(x1+x2),a(y1+y2)) = (ax1+ax2,ay1+ay2) = (ax1,ay1)+(ax2,ay2) = au+av, es decir a(u+v)=au+av.d) (a+b)u = (a+b)(x,y) = ((a+b)x,(a+b)y) = (ax+bx,ay+by) = (ax,ay)+(bx,by) = au+bu, es decir (a+b)u=au+bu.

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Representación de espacios vectoriales

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello veamos las notas:

Llamaremos vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremos).

La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.

El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.

Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo(final) del primer vector con el extremo que no lo tiene(origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

Examinemos cada uno de los casos que aparecen en la definición:

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector 0 tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.

La definición producto por escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.

Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

Por un lado la representación del producto en el caso modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Ejemplos de espacios vectoriales

Los cuerpos

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

es un espacio vectorial sobre .

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

es un espacio vectorial sobre .

es un espacio vectorial sobre .

Sucesiones sobre un cuerpo

El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n -tuplas , es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:

(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).

Las sucesiones infinitas de K son espacios vectoriales con las operaciones:

(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).

El espacio de las matrices , , sobre K, con las operaciones:

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplo tenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo

El conjunto de las aplicaciones , K un cuerpo y un conjunto, también forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:

(f + g)(w): = f(w) + g(w),(af)(w): = a(f)(w).

Los polinomios

Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.

El espacio vectorial K [x] formado por funciones polinómicas, veámoslo:

Expresión general: ,donde los coeficientes , considérese .

, donde

y ,

.

Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos términos distintos de cero.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:

Expresión general:

,

.

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

o equivalentemente

simplificado como

Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es

siempre una solución, es decir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:

Si

Si .

Veamos que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz , es

decir, , son también un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:

Si

Si .

Definición de subespacio vectorial

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

i)ii)

Consecuencias

hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .

Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.

Resultados internos

Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial.

Combinación lineal

Veremos que cada vector u es combinación lineal de forma única

Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinación lineal de los

vectores de si existen escalares tales que

Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de .

Proposición

Dado un espacio vectorial y , el conjunto es el subespacio vectorial más pequeño contenido en y que contiene a .

Demostración

Supongamos lo contrario, que existe uno más pequeño

contradicción, ya que u está generado por elementos de a causa de la buena definición de las dos operaciones, por tanto

.

Nota

En este caso diremos que es un sistema de generadores que genera a .

Independencia lineal

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de , es decir:

Si .

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.

Proposición

son linealmente dependientes

Demostración

Linealmente dependientes

tomando

.

Si donde y por tanto linealmente dependientes.

Base de un espacio vectorial

Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base

a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,

donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación

a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0

sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

Base formalmente

v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse

Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes.

Proposición

Dado un espacio vectorial es una base

.

Proposición

Dado un espacio vectorial linealmente independientes y

es linealmente independiente.

Teorema

Todo sistema de generadores tiene una base.

Teorema Steinitz

Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.

Corolario

Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.

Observación

Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.

Dimensión

Dado un espacio vectorial sobre :

Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.

Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

Notación

Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:

Si tiene dimensión lo indicaremos como .

Si tiene dimensión como subespacio de lo indicaremos como

.

Intersección de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lo notaremos como:

.

Observaciones

Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la notaremos como:

.

Observación

Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

Teorema Fórmula de Grassmann

Dado dos subespacios vectoriales de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:

.

Suma directa de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma directa si y lo notaremos como:

.

Cociente de espacios vectoriales

Dado un subespacio vectorial , diremos espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencias tales que están relacionados módulo si y lo notaremos como:

.

Es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

Expresión general: .

Construcciones básicas

Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.

Suma directa de espacios vectoriales

Dado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma directa

al espacio vectorial , veamos que están bien definidas las dos operaciones:

,

.

Espacios vectoriales con estructura adicional

Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.

Espacios normados

Un espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.

Artículos principales: Espacio vectorial normado y Norma (matemáticas)

Espacio métrico

Un espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.

Proposición

Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por:

d(x,y) = | | x − y | |

Toda distancia inducida por la norma es una distancia.

Espacios vectoriales topológicos

Dada una topología sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:

es una topología vectorial sobre ,

es un espacio vectorial topológico.

Proposición

Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado.

Proposición

Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.

Espacios de Banach

Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.

Espacios prehilbertianos

Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y

es un producto a escalar.

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.

Morfismos entre espacios vectoriales

Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro de dichos espacios.

Aplicaciones lineales

Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación es lineal si:

,