Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Computo

Análisis Vectorial

Listas de Ejercicios 1 y 2

CRUZ HERNÁNDEZ GUILLERMO

DURÁN RODRÍGUEZ DAVID

RAMALES HERNÁNDEZ OBED

1CV8

PROF: Rangel Guzmán Alfredo

Completar lo cálculos en los ejercicios del 1 al 14

1.- (-2 , 23) – (? , 6) = (-25 , ?) (-21 , 23) – (-19 , 6) = (-2, 17)

2. 3(133 ,−0.33 ,0)+(−399 ,0.99 ,0)=(? ,? ,?) .(399 ,−0.99 ,0)+(−399 ,0.99 ,0)=(? ,? ,? ).(399−399 ,−0.99+0.99 ,0+0)=(0 ,0 ,0) .

3. (8a, -2b, 13c) = (52, 12 ,11) + 12(? ,? ,?)

Efectuando el producto con el escalar, después sumando componente a componente para luego igualar los resultados.

52 + 12x = 8a - - - - -(1)

12 + 12

y = -2 b - - - - -(2)

11 + 12z = 13 c - - - - -(3)

Por lo tanto:

(8a, -2b, 13c) = (52, 12 ,11) + 12(16 a−104 ,−4b−24 ,26c−22)

4.- (2, 3, 5) -4i + 3j = (?,?,?) (2, 3, 5) – (4i +3j +0k) = (-2i + 0j + 5k)

En los Ejerciccios del 5 al 8, Dibujar los vectores dados y en el mismo dibujo trazar las operaciones de dichos vectores

5. v=(2,1) y w=(1 ,2). v+ w=(2+1,1+2 )=(3,3) v−w=(2−1,1−2 )=(1 ,−1)

De (1)

52 + 12x = 8a

12x = 8a – 52

x = 16a – 104

De (2)

12 + 12

y = -2 b

12

y = -2b -12

y = -4b – 24

De (3)

11 + 12z = 13 c

12z = 13 c – 11

z = 26c – 22

6. v=(0,4 ) y w=(2 ,−1 )7- Dibujar los vectores dados y trazar los vectores v+ w y v−w

v=(2, 3, -6) ; w=(-1, 1, 1) a) (v+w)= (2, 3, -6) + (-1, 1, 1) = (1, 4, -5)b) (v-w)= (2, 3, -6) - (-1, 1, 1) = (3, 2, 7)

8.- v=(2 ,1 ,3) y w=(−2 ,0 ,−1)

v+ w=(2+(−2 ) ,1+0,3+(−1))=(0,1 ,−2)v−w=(2−(−2 ) ,1−0,3−(−1))=(4,1,4)

9. ¿Qué restricciones deben tener x , y y z para que la terna (x , y , z) represente un punto sobre el eje y?Respuesta:Para que la terna solo represente un punto en el eje y, x y z deben ser iguales a cero. Esto nos dará un punto de componentes 0 en x y z, además que con y ≠0, siendo la representación del punto (0 , y ,0).

10- Generalizar la construcción geométrica para demostrar que si:a) v1=(x, y, z) y v=(x1, y1, z1) entonces (v+v1)=(x+x1, y+y1, z+z1)

b) Usando un argumento basado en triángulos semejantes probar que αv=(αx, αy, αz) cuando v=(x, y, z)

En los ejercicicos del 11 al 17 usar la notación conjuntista, la vectorial o ambas para describir los punto squ eestan en las siguientes configuraciones.11. el plano generado por v1=(2 ,7 ,0) y v2=(0 ,2 ,7)

12. El plano generado por v1=(3 ,−1 ,1 ) y v2=(0 ,3 ,4 )Respuesta:Se dice que el plano generado por v y w, es el plano que pasa por el origen y que contiene a v y w. Entonces: v−0=(3 i− j+ k ) y w−0=(0 i+3 j+4 k )

13- La recta que pasa por el punto (-1, -1, 1) y tiene dirección j

Como la recta va en dirección de j entonces decimos que que j es un vector paralelo a la recta y por lo tanto su ecuación es:

(x, y, z) = (-1, -1, -1) + t(0,1,0)

x=−1y=−1+tz=−1 } Ecuaciones paramétricas

14. La recta que pasa por (0 ,2 ,1) y tiene la dirección 2 i−k

15. La recta que pasa por los puntos (−1 ,−1 ,−1) y (1 ,−1 ,2)Respuesta:Como la recta que pasa por dos puntos es un segmento de recta dirigido, esto es, si los vectores son ay b, entonces:

ab=b−a=⟨b1−a1 ,b2−a2 ,b3−a3 , ⟩Por lo tanto si a=(−1,−1 ,−1) y b=(1 ,−1 ,2). Entonces: ab=(2 ,0 ,3) ó ab=(2 i+0 j+3 k ).

15. La recta que pasa por los puntos (−1 ,−1 ,−1) y (1 ,−1 ,2)Respuesta:Como la recta que pasa por dos puntos es un segmento de recta dirigido, esto es, si los vectores son ay b, entonces:

ab=b−a=⟨b1−a1 ,b2−a2 ,b3−a3 , ⟩Por lo tanto si a=(−1,−1 ,−1) y b=(1 ,−1 ,2). Entonces: ab=(2 ,0 ,3) ó ab=(2 i+0 j+3 k ).

16- La recta que pasa por los puntos (-5, 0,4) y (6, -3, 2)

p=(-5, 0, 4)p0=(6, -3, 2)

(p-p0)= (-11, 3, 2)

Dado que un vector es paralelo a si mismo se tiene que:

(x, y, z) = (6, -3, 2)+ t( -11, 3,2)

x=6−11 ty=−3+3tz=2+2 t } Ecuaciones paramétricas

−x−611

= y+33

= z−22

Ecuaciones simétricas

17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores i+3 k y −2 j

18. Hallar los puntos de intersección de la recta x=3+2 t, y=7+8 t, z=−2+t , es decir, l ( t )=(3+2 t ,7+8t ,−2+t ) con los planos coordenados.

Respuesta:1) l(t) se intersecta con el plano xy, i j, si y solo si la componente k=0.

Entonces:

z=−2+t , pero z=0, luego 0¿−2+t , por lo tanto t=2 .Sustituyendo a t en x y y:

Por lo tanto, se intersecta con el plano xy en (7 ,23 ,0)

2) l(t) se intersecta con el plano yz, j k , si y solo si la componente i=0. Entonces:

x=3+2 tx=3+2(2)

x=7

y=7+8 ty=7+8(2)

y=23

x=3+2 t, pero x¿0, luego 0=3+2 t , por lo tanto t=−32

.Sustituyendo a t en y y z:

Por lo tanto,

Por lo tanto se intersecta con el plano yz en (0 ,−5 ,−72)

3) l(t) se intersecta con el plano xz, i k, si y solo si la componente j=0. Entonces:

y=7+8 t, pero y¿0, luego 0=7+8 t , por lo tanto t=−78

.Sustituyendo a t en x y z:

Por

Por lo tanto, se intersecta con el plano xz en (54,0 ,−23

8)

19- Demostrar que no exisen puntos (x, y, z) que satisfagan 2x-3y+z -2=0 y están en la recta: v=(2, -2, -1) + t(1, 1, 1) ------ 1

Despejando a (x, y, z) de 1 encontramos las ecuaciones paramétricas de la recta

x=2+ty=−2+tz=−1+t } Ec. Paramétricas

Usando x, y, z en 2x-3y+z -2=0

2(2+t)-3(-2+t)+(-1+t)-2=04+2t+6-3t+t-1-1=08=0

y=7+8 t

y=7+8(−32

)

y=−5

z=−2+t

z=−2+(−32

)

z=−72

x=3+2 t

x=3+2(−78

)

x=54

z=−2+t

z=−2+(−78

)

z=−238

20. Demostrar que cualquier punto de la recta v=(1 ,−1,2)+t(2,3 ,1) satisface la ecuación 5 x−3 y−z−6=0

Dado que la igualdad es falsa podemos decir que no existen puntos en la recta que satisfagan la ecuación.

22- ¿Se intersectan la rectas (x, y, z)= (t+4, 4t+5, t-2) y (x, y, z)=(2s+3 s+1, 2s-3)?

Para saber si las rectas se intersectan las rectas buscaremos las soluciones a las ecuaciones formadas por las rectas, igualando cada componente de la recta y despejando a t y s; sabiendo que estos valen los mismo en la intersección

x=t+4x=2 t+3}t+4=2t+3 t+4-2t-3=0 t=7

y=4 t+5y=t+1 }4 t+5=t+1 4t-t+5-1=0 t=- 4/3

z=t−2z=2 t−3}t−2=2t−3 t-2-2t+3=0 t=1

Por lo tanto las rectas se intersectan en el punto (7, -4/3, 1)

23. El paralelepípedo con aristas a, b y c que sale del origen. El área de la base es igual es igual a:A=|b x c|La altura es igual a:h=|a|cosθY el volumen es igual a :

V=Ah=|b x c||a|cosθV=|a||b x c||cosθ|V=|a ∙(b x c)|

Sabemos que:a ∙ b=|a||b|cosθ

24. Los puntos dentro de un paralelogramo con vértice en (x0 , y0 , z0) y con lados que salen de ese vértice iguales en tamaño y sentido a los vectores a y b.Sean los vectores P0(x0 , y0 , z0), a (a1 , a2 , a3) y b (b1 , b2 ,b3). Entonces, para formar el

paralelogramo necesitamos de los segmentos de recta P0a, P0b, a y b. Como:P0a(a1−x0 , a2− y0 , a3−z0) P0b(b1−x0 ,b2− y0 , b3−z0) a (a1 , a2 , a3) y

b (b1 , b2 ,b3). Los cuales forman dicho paralelogramo.

25- En el plano formado por los puntos (x0, y0, z0), (x1,y1,z1), (x2, y2, z2)

26. El segmento que une los puntos medios de dos de los lados de un triángulo es paralelo y tiene la mitad de la longitud que el otro lado.

Se observa que D y E son los puntos medios de los lados BA y CA. Si BC=a y BA=b entonces por definición de adición de vectores y de negativo de un vector, tenemos que:

CA=BC+ BA=−a+b=b−a

Pero observamos en la figura que BD=12b y.CE=1

2CA=b−a Por lo tanto, el

segmento que une a D y E es:DE=BE−BD

¿ BC+CE−BD

¿ a+ 12

( b− a )−12b

¿ 12a

¿ 12BC ,

Lo cual demuestra que DE es paralelo a BC y tiene la mitad de su magnitud.

27. Si PQR es un triángulo en el espacio y b>0 es un número, existe un triángulo con lados paralelos a los de PQR con longitudes b multiplicado por las longitudes de PQR.

De la figura anterior sea PQ y QR dos segmentos de recta dirigidos. Entonces PQ+QR=PR , luego, multiplicando la igualdad anterior por un escalar b≠0, esto es :b ( PQ+QR=PR)

b ( PQ )+b (QR )=b( PR) .Por lo tanto la aseveración es cierta.

28- Las medianas de un triangulo se intersectan en un punto y este divide a cada mediana a razón de 2:1

29. Escribir la ecuación química CO+H 2O=H 2+C O2 como una ecuación con ternas ordenadas (x1 , x2 , x3) donde x1 , x2 , x3 son el número de átomos de carbono, hidrógeno y oxigeno, respectivamente en cada molécula.x1=Carbono(C )x2=Hidrógeno (H )x3=Oxígeno (O)(x1 , x3 )+(2 x2 , x3 )=(2 x2 )+(x1 ,2x3)

1. Calcular (3 i+2 j+k ) ∙ ( i+2 j−k ) .¿3 (1 )+2 (2 )+1 (−1 )¿3+4−1¿6

30. Escribir la ecuación química pC3H 4O3+qO2=rC O2+s H 2O como una ecuación con ternas ordenadas con coeficientes desconocidos p ,q , r y s.Solución:Sea C=i , H= j y O= k. Entonces:p (3 i+4 j+3 k )+q (0 i+0 j+2 k )=r (1 i+0 j+2 k )+s (0 i+2 j+k )

31- Encontrar una recta que este completamente contenida en el conjunto definido por la ecuación x2+ y2−z2=1

1. Calcular (3 i+2 j+k ) ∙ ( i+2 j−k ) .¿3 (1 )+2 (2 )+1 (−1 )¿3+4−1¿6

2. Calcular a ∙ b donde a=(2 i+10 j−12 k ) y b=(−3 i+4 k )Solución: a ∙ b=(2 ) (−3 )+ (10 ) (0 )+(−12)(4) a ∙ b=−6−48=−54

3- Hallar el ángulo entre 7j+19k y -2i-j

Sean :a=7 j+19k b=−2 i− j

|a|=√02+72+192=√410 |b|=√(−2)2+(−1)2+02=√5

Haciendo el producto punto de los vectores a y b

a . b=(0 i+7 j+19k ) . (−2i− j+0k )=−7 Sabemos que el producto punto esta dado por la siguiente ecuación:

a . b=|a||b|cosθ donde teta es el ángulo entre los vectores.

Sustituyendo en la ecuación los datos obtenidos se tiene:

−7=(√410 ) (√5 )cosθ despejando a teta obtenemos el ángulo entre los vectores

θ=cos−1 −7(√410)(√5) = 98.89° es el ángulo entre los vectores.

En los ejercicios hallar |v|,|u|y v .u

4. Calcular u ∙ v, donde u=√3 i−315 j+22k y v=u

‖u‖

v= u‖u‖

=√3 i−315 j+22 k√¿¿¿

v=√3 i−315 j+22 k8√1558

u ∙ v=(√3 i−315 j+22k )∙( √3 i−315 j+22 k8√1558 )

u ∙ v=3+99225+4848√1558

= 997128√1558

=

12464

√1558∗√1558

√1558=12464√1558

1558=8√1558

5.¿Es ‖8 i−12 k‖∙‖6 j− k‖−|(8 i−12k ) ∙(6 j−k )| igual a cero? Explicarlo.Respuesta:De hecho, el producto punto entre dos escalares no está definido, por lo que esta operación anterior no puede efectuarse.

6.- Sean:

v=15 i−2 j+4 k u=πi+3 j−k

|v|=√152+(−2)2+42=7 √5

|u|=√π 2+32+(−2)2=4.45

v . u= (15 i−2 j+4k ) . ( πi+3 j−k )=15π−6−4=32.7

7. u=2 j−i , v=− j+ i‖u‖=√(2)2+(−1)2

‖u‖=√5

u ∙ v=(2 j−i )∙(− j+ i)¿2 (−1 )−1 (1 )¿−2−1

¿−3

8. u=(5 i− j+2 k ), v=( i+ j− k )Respuesta:‖u‖=¿ 2√(5)2+(−1)2+(2)2= 2√25+1+4=2√30‖v‖=¿ 2√(1)2+(1)2+(−1)2=2√3u ∙ v=(5 ) (1 )+(−1 ) (1 )+(2 ) (−1 )=5−1−2=2

‖v‖=√(−1)2+(1)2

‖v‖=√2

9.- Sean:

v=−i+3 j+k u=−2i+3 j−7k

|v|=√12+(3)2+12=√11

|u|=√(−2)2+¿¿

v . u= (−i+3 j+k ) . (−2 i+3 j−7 k )=2−7−9=−14

10. u=−i+3 k, v=4 j‖u‖=√(−1)2+(3)2

‖u‖=√10‖v‖=√(4 )2

‖v‖=4u ∙ v=(− i+3 k )∙(4 j)¿−1 (0 )+0 (4 )+3(0)u ∙ v=0 podemos concluir que estos dos vectores son ortogonales

11.u=(−i+2 j−3 k ), v=(−i−3 j+4 k )‖u‖=¿ 2√(−1)2+(2)2+(−3)2= 2√1+4+9=2√14‖v‖=¿ 2√(−1)2+(−3)2+(4)2=1+9+16= 2√26u ∙ v=(−1 ) (−1 )+(2 ) (−3 )+(−3 ) (4 )=1−6−12=−17

12- Normalizar los vectores del ejercicio 6 al 8

6)

v

¿ v∨¿=πi+3 j−2k

√π2+32+(−2)2=

π4.45

i+34.45

j−14.45

k ¿

v

¿ v∨¿=15 i−2 j+4 k

√152+(−2)2+42=157√5

i+−27√5

j+47√5

k ¿

v

¿ v∨¿=πi+3 j−2k

√π2+32+(−2)2=

π4.45

i+34.45

j−14.45

k ¿

13. Hallar el ángulo que forman los vectores de los ejercicios 9 a 11. Si es necesario, se pueda expresar en términos de arccos.9) u=−i+3 j+ k

v=−2 i−3 j−7 kEncontrando los valores para u ∙ v, |u| y |v|u ∙ v=(− i+3 j+ k ) ∙ (−2 i−3 j−7 k )

¿−1 (−2 )+3 (−3 )+1(−7)¿2−9−7¿−14

|u|=√(−1)2+32+12

¿√11|v|=√(−2)2+¿¿¿√62sustituyendo los valores

cosθ= u ∙ v|u||v|

= −14(√11 ) (√62 )

=

−14√682

∗√682

√682=−14√682

682=−7√682

341

θ=arccos−7√682341

10) u=−i+3 k v=4 jEncontrando los valores para u ∙ v, |u| y |v|u ∙ v=(− i+3 k )∙ (4 j )

¿−1 (0 )+0 (4 )+3(0)u ∙ v=0

‖u‖=√(−1)2+(3)2

‖u‖=√10‖v‖=√42‖v‖=4cosθ= u ∙ v

|u||v|= 0

(√10 ) (4 )= 04 √10

=0

θ=arccos 0

11) u=−i+2 j−3 kv=−i−3 j+4 kEncontrando los valores para u ∙ v, |u| y |v|u ∙ v=(− i+2 j−3 k ) ∙ (−i−3 j+4 k )

¿−1 (−1 )+2 (−3 )−3(4)¿1−6−12

u ∙ v=−17‖u‖=√(−1)2+(2)2+(−3)2

‖u‖=√1+4+9‖u‖=√14

‖v‖=√(−1 )2+¿¿‖v‖=√1+9+16‖v‖=√26

cosθ= u ∙ v|u||v|

= −17(√14 ) (√26 )

=

−17√364

∗√364

√364=−17√364

364

θ=arccos−17√364364

14.Hallar la proyección de u=(−i+ j+k ) sobre v=(2 i+ j−3 k )Solución:

Proyu v= u ∙ v

|v|2v=

[ (−1 ) (2 )+ (1 ) (1 )+(1 ) (−3 ) ] (2 i+ j−3 k )

( 2√ (2 )2+ (1 )2+(−3 )2)2=

(−4) (2 i+ j−3 k )14

=¿

Proyu v=−4 i7

−2 j7

+ 6 k7

15.- Hallar la proyección de v=2 i+ j−3k sobre u=−i+ j+k

proy uv :v . u

¿ v∨¿=(2+1−3 ) .(−1+1+1)

√22+1−3=−2+1−3

√14= 4

√14¿

proy v u :v . u

¿ u∨2 ¿ v=(2+1−3 ) .(−1+1+1)

(√22+1−3)2=−2+1−3

14=4(2+1−3)

14= 814

i+ 414

j−1214

k ¿

16. ¿Qué valores debe tomar el escalar b para que el vector 2 i+b j sea ortogonal a a) u=−3 i+2 j+ ky b)v k?

Para que sean ortogonales debe cumplirse que u ∙ v=0u ∙ v=(2 i+b j ) ∙ (−3 i+2 j+ k )=0¿−6+2b=0desp ejamosa b2b=6

b=3Para comprobar sustituimos a b=3 y realizamos el producto puntou ∙ v=(2 i+3 j ) ∙(−3 i+2 j+ k )¿−6+6u ∙ v=0

17. Hallar dos vectores ortogonales a (1,1,1) que no sean paralelos.Respuesta:

Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si: a ∙ b=0 ,entonces, a ∙ b=|a||b|cos π2 .

Sea b un vector arbitrario b=(X i+Y j+Z k ), luego ab=(b1−1 , b2−1 , b3−1), entonces: a ∙ b=(b¿¿1−1)+(b¿¿2−1)+(b3−1)=b1+b2+b3=3¿¿, y para que suceda esta igualdad, b1=3−(b¿¿2+b3)¿----(1) ó b2=3−(b¿¿1+b3)¿ ----(2) ó b3=3−(b¿¿2+b1)¿ ----(3). Por lo tanto, para hallar dos puntos en el plano, daremos un valor arbitrario a b2y b3en (1), y a b1y b3en (2). Esto es, para un primer vector b1=3−(b¿¿2+b3)¿ ; b1=3−(3+5); b1=−5; entonces a b1=(−5−1 ,3−1 ,5−1); a b1=(−6 ,2 ,4). Para hallar un segundo

vector b2=3−(b¿¿1+b3)¿ ; b2=3−(−5+2); b2=6; entonces a b2=(−5−1 ,6−1 ,2−1); a b2=(−6 ,5 ,1). Por lo tanto los vectores que cumplen la característica de

ortogonalidad con a son:a b1=(−6 ,2 ,4) y a b2=(−6 ,5 ,1)

18.- Hallar la recta que pasa por (3,1,-2) y que intersecta y es perpendicular a la recta x= -1+ty= -2+tz= -1+t

Si Xo, Yo, Zo es el punto de intersección se tiene que ese punto es un punto de la recta, ya que conocemos ese punto podemos encontrar un vector con esos dos puntos

Po= (-1, -2, -1)P= (3, 1, -2) P-Po= (3, 1, -2)-(-1, -2, -1)= (4, 3, -1)

Con la ecuación de la recta en el espacio: (x, y, z) = (-1, -2, -1) + t(4, 3, -1)

x= -1+4t y= -2+3t (Ecuaciones paramétricas)z= -1 – t

x+14

= y+23

= z+2−1 (Ecuaciones Simétricas)

19. Un barcos situado en la posición (1, 0) en una carta náutica (que tiene el norte en la dirección positiva del eje y) avista una roca en la posición (2, 4). ¿Cuál es el vector que una el barco con la roca? ¿Cuál es el ángulo θ qué forma este vector con la dirección norte? (a este ángulo se le llama la orientación de la roca desde el barco) Solucion. Formamos un vector con los puntos dados

V= AB= ⟨2−1,4−0 ⟩V= ⟨1,4 ⟩r0=⟨2,4 ⟩r=r0+t V

r=⟨2 i+4 j ⟩+ t ⟨ i+4 j ⟩r=(2+ t ) i+(4+4 t) j

21.- Un avión esta en el punto (3,4,5) y viaja a (400i +500j –k ) km/h y el piloto avista un aeropuerto a (23,29,0).

a) ¿ A que hora pasara sobre el aeropuerto?

Solucion: Para saber a que distancia se encuentra el avión del aeropuerto restaremos de la posición del aeropuerto la posición actual de la aeronave teniendo un vector el vector de posicion el cual nos servirá para calcular a partir de la ecuación de posicion ( X=Xo+Vot+ 1/2at^2)

Xo= 5,4,5X= 23, 29, 0v=400 ,500 ,−1

de la ecuación física

x=x0+v0t+12a t2→Despejando a t→

x−x0v

te tiene que t=x−x0

v=

(23 ,29 ,0 )−(5 ,4 ,5)(400 ,500 ,−1)

=5.095horas

b)Cual ser la altura cuando pase sobre (23, 29, 0)

22. La velocidad del viento v1 es de 40 kilómetros por hora (km /h¿ de este a oeste mientras que un avión viaja con una velocidad en el aire v2 de 100km/h en dirección norte. La velocidad del avión con respecto al suelo es el vector suma v1+ v2.a) Encontrar v1+ v2.v1+ v2=(−40 i+0 j )+(+0 i+100 j)v1+ v2=−40 i+100 jb) Haz un dibujo a escala

23. Una fuerza de 50 Kp forma un ángulo de 50° con el eje horizontal y apunta hacia la derecha. Determina sus componentes horizontal y vertical. Ilustrar los resultados con un dibujo.Comp ab=|b|cosθ; Comp ab=50cos50 °=¿¿Comp ba=|a|cosθ; Comp ba=50cos 40 °=¿¿

26. Supongamos que sobre un objeto que se mueve en la dirección i+ j actúa una fuerza dada por el vector 2 i+ j. Expresar esta fuerza como la suma de una fuerza en la dirección del movimiento y otra perpendicular a éste.Solución:Sea el vector o=i+ jy el vector f=2 i+ j. Entonces, el vector suma s= o+ f=( i+ j )+ (2 i+ j ); s=3 i+2 j.Para el vector perpendicular a esta suma de fuerzas, se tiene que dos vectores son perpendiculares si el producto escalar de ambos es igual a cero, entonces:

s ∙ p=s1 p1+s2 p2+s3 p3=3 p1+2 p2+0 p3=0, luego p1=−2 p23

, ahora para encontrar ese

vector asignaremos un valor arbitrario a la igualdad anterior, esto es, sí p2=3, entonces p1=−2. Por lo tanto el vector perpendicular a la suma de fuerzas es: p=−2 i+3 j+0 k .

24.- Dos personas tiran horizontalmente de dos cuerdas atadas a un poste y el angulo entre las cuerdas es de 60 grados. La persona A tira con una fuerza de 150 kp, tientras que la persona B lo hace con una fuerza de 110 kp

a) Dibujo a Escala

b) Usando trigonometría encontrar las componentes de dos fuerzas en un sistema de coordenada elegido convenientemente. Hacer la suma algebraica y determinar el ángulo de la fuerza resultante forma con la fuerza A.

Sea el vector resultante la suma de las dos fuerzas R R=A+B

A=¿B=−¿A+ B=¿

A+ B=20i+225.1 j

θ=tan−1 20225.1

=5.07 grados

El ángulo entre el vector A y el vector R es: 174.92 grados

25. Una masa de 1 kilogramo (1 kg) situado en el origen cuelga de dos cuerdas fijadas en los puntos (1, 1, 1) y (-1, -1, 1). Si la fuerza de la gravedad tiene la dirección del vector –k, ¿Cuál es el valor que describe la fuerza a lo largo de cada cuerda? [INDICACIÓN: Usar la simetría del problema. Un kilogramo de masa pesa 9.8 Newtons (N).]F1=C1− g¿(1,1,1)−(0,0,1)F1=(1,1,0)F2=C2− g¿(−1,−1,1)−(0,0,1)F1=(−1 ,−1,0)

27.- Una fuerza F de 6N forma un angulo de π /4 radianes con el eje xy apunta hacia la derecha. La fuerza actua en contra del movimiento de un objeto que se mueve a lo largo de la recta que une a dos puntos que son: p1: (1,2) ; p2=(5,4)

a) Hallar una formula para el vector F

F=¿

Sea D la distancia del punto uno al dos:D=p1−p2=(5,4 )−(1,2 )=(4,2 )

b) El ángulo entre D y F es:

D .F

|D|∨F∨¿=cosθ=¿(4,2 ) .(3√2 ,3√2)

(√42+22 )¿¿¿¿

c) El trabajo realizado es : |W||D|=√42+22=√20

2. Calcular los determinantes

a) |2 −1 04 3 23 0 1|=2|3 2

0 1|− (−1 )|4 23 1|+0|4 3

3 0|¿2 (3−0 )+1 (4−6 )+0¿6−2¿4

b) |36 18 1745 24 203 5 −2|=36|24 20

5 −2|−18|45 203 −2|+17|45 24

3 5 |¿36 (−48−100 )−18 (−90−60 )+17 (225−72 )¿36 (−148 )−18 (−150 )+17 (153 )¿−5328+2700+2601¿−27

c) |1 4 94 9 169 16 25|=1| 9 16

16 25|−4|4 169 25|+9|4 9

9 16|

¿1 (225−256 )−4 (100−144 )+9 (64−81 )¿1 (−31 )−4 (−44 )+9 (−17 )

¿−31+176−153¿−8

d) | 2 3 57 11 1317 19 23|=2|11 13

19 23|−3| 7 1317 23|+5| 7 11

17 19|¿2 (253−247 )−3 (161−221 )+5 (133−187 )¿2 (6 )−3 (−60 )+5 (−54 )¿12+180−270¿−78

3. Calcular a× b, donde a=i−2 j+k , b=2 i+ j+ k .

a× b=|i j k1 −2 12 1 1|

a× b=i [ (−2 ) (1 )−(1 ) (1 ) ]− j [ (1 ) (1 )−(2 ) (1 ) ]+ k [ (1 ) (1 )−(−2)(2)] a× b=i [−2−1 ]− j [1−2 ]+ k [1+4 ]=−3 i+ j+5 k

a× b=−3 i+ j+5 k

4- Calcular a .( b X c) donde a=(i−2 j+k ) , b=(3 i+ j+k ) , c=3 i− j+2k

-Primero hacmeos el producto vectorial de b y c:

i j k2 1 13 −1 2

=(2+1 ) i – (4−3 ) j+(−2−3 ) k=3 i− j−5k

-Una ves que se tiene el resultado aplicamos el producto punto entre a y (bXc)

(b X c ) . a=(3 ,−1 ,−5 ) . (1 ,−2 ,1 )=3+2−5=0

5. Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores a=i−2 j+k , b=2 i+ j+ kPara encontrar el área es:

Área=|a× b|=| i j k1 −2 12 1 1|=(−2−1 ) i− (1−2 ) j+(1+4 ) k

¿−3 i+ j+5 kA=|a× b|=√(−3)2+(1)2+ (5 )2=√9+1+25=√35Por lo tanto el área del paralelogramo es igual a √35u2

6. Un triángulo tiene vértices (0,0,0), (1,1,1) y (0,-2,3). Hallar su área.Solución:Para hallar el área de una figura triangular se puede encontrar utilizando el triple producto vectorial, esto es, ( a× b )× c=( a ∙ c )b−(b ∙ c )a, sean los vectores a=(1,1,1 ), b=(−1 ,−3,2 )y c=(0,2 ,−3)entonces, el área es

área=( a ∙ c )b−(b ∙ c )aárea=[ (1 ) (0 )+ (1 ) (2 )+(1 ) (−3 ) ] √14−[ (−1 ) (0 )+(−3 ) (2 )+(2)(−3)]

área=−√14+12

7.- ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo con lados a=(2 i+ j−k ) , b=(5 i−3k ) , c=i−2 j+k

-Primero hacmeos el producto vectorial de b y c:

i j k5 3 01 −2 1

=(3+0 ) i – (5−0 ) j+(−5−3 ) k=3 i−5 j−8k

-Una ves que se tiene el resultado aplicamos el producto punto entre a y (bXc)

(b X c ) . a=(3 ,−5 ,−8 ) . (2,1 ,−1 )=6−5+8=9

8. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados a=i, b=3 j− k y c=4 i+2 j− k?

El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b y c es la magnitud del triple producto escalar.

Área=|b× c|=| i j k0 3 −14 2 −1|=−i−4 j−12 k

Volumen=Área∗altura

Volumen=|a× b× c|=|1 0 00 3 −14 2 −1|=1 (−3+2 )−0 (0+4 )+0 (0−12)

¿1 (−1 )¿|−1|

Sabemos que:a ∙ b=|a||b|cosθ

¿1Por lo tanto el volumen del paralelepípedo es igual a 1u3

9. i , j.Solución:Se dice que dos vectores son ortogonales si y solo si el ángulo entre ambos es un ángulo recto, para obtener este vector lo podemos encontrar utilizando el producto cruz entre estos dos vectores.Sea en vector a=i y b= j, entonces:

a× b=| i j k1 0 00 1 0|=0 i+0 j+ k

Por lo tanto el vector ortogonal es k .

10.- Describir los vectores ortogonales unitarios a los vectores dados a=(5 i+9 j−4k ) , b=(7 i+8 j+9k )

-Haciendo el producto cruz obtenemos los vectores ortogonales y para que se unitario lo dividimos entre su norma:

a X b=i j k5 9 −49 8 9

=(81+32 )i−(45+36 ) j+(40−81 ) k=113 i−81 j+−41k

para encontrar el vector unitario tenemos que encontrar la norma del vector

μ= a X b

¿ a X b∨¿=113 i−81 j+−41k

√1132+812+412=113145

i− 81145

j− 41145

k¿

11. a=−5 i+9 j−4 k , b=7 i+8 j+9 k

c=|a×b|=| i j k−5 9 −47 8 9 |=(81+32 ) i — (−45+28) j+(−40−63) k

¿113 i+17 j−103 kc

|c|= 113 i+17 j−103 k

√(113 )2+(17)2+(−103)2=113 i+17 j−103 k

7√483

Todos los posibles vectores unitarios son los múltiplos escalares del vector c

12.2 i−4 j+3 k , −4 i+8 j−6 k.

Solución:Se dice que dos vectores son ortogonales si y solo si el ángulo entre ambos es un ángulo recto, para obtener este vector lo podemos encontrar utilizando el producto cruz entre estos dos vectores.Sea en vector a=2 i−4 j+3 k y b=−4 i+8 j−6 k , entonces:

a× b=| i j k2 −4 3

−4 8 −6|=0 i+0 j+0 k

Esto quiere decir que no hay vectores ortogonales a ambos vectores, ya que

estos dos vectores a y b, son equivalentes, es decir uno es un múltiplo escalar del otro, son paralelos.

13.- Calcular u+ v ,u . v ,|u|,|v|,u X v Donde u=(3i+ j−k ) v=2 i− j+2

u+ v=(3 i+ j−k )+(2 i− j+2k )=5i+ku . v= (3 i+ j−k ) . (2i− j+2k )=5−1−2=1

|u|=√32+1+1=√12|v|=√22+22+1=√5

|u|X|v|=i j k3 1 −12 −1 2

=(2+1 ) i−(6+3 ) j+ (−3−2 ) k=3 i−9 j−5 k

14. Repetir el Ejercicio 13 para u=3 i+ j−k , v=−6 i−2 j−2 ku+ v=(3−6 ) i+ (1−2 ) j+(−1−2)k

¿−3 i− j−3 ku ∙ v=(3 i+ j−k ) ∙(−6 i−2 j−2 k )|u|=√32+12+(−1)2=√11|v|=√(−6)2+(−2)2+(−2)2=√44=2√11

u× v=| i j k3 1 −1

−6 −2 −2|= (−2−2 ) i — (−6−6) j+(−6+6) k

¿−4 i+12 j15. Encontrar una ecuación del plano que:a) Es perpendicular a v=(1,1,1)y pasa por (1,0,0).Solución:Para encontrar la ecuación de un plano necesitamos un vector perpendicular y un punto dentro de este mismo. Entonces, la fórmula para hallar la ecuación de este plano es:n ∙ ( r−r 0 )=0 O bien a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0 ,entonces,1 ( x−1 )+1 ( y−0 )+1 ( z−0 )=0; x+ y+z−1=0 Ecuación del plano

b) Es perpendicular a v=(1,2,3)y pasa por (1,1,1).Solución:Para encontrar la ecuación de un plano necesitamos un vector perpendicular y un punto dentro de este mismo. Entonces, la fórmula para hallar la ecuación de este plano es:n ∙ ( r−r 0 )=0 O bien a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0 ,entonces,1 ( x−1 )+2 ( y−1 )+3 ( z−1 )=0; x+2 y+3 z−6=0 Ecuación del plano

c) Es perpendicular a la recta l (t )= (5,0,2 )t+(3 ,−1,1) y pasa por (5,-1,0).Solución:De la recta sabemos que r=r0+t v, siendo v un vector paralelo a r, entonces este mismo vector es perpendicular al plano, luego, n=(5,0,2)n ∙ ( r−r 0 )=0 O bien a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0 ,entonces,5 ( x−5 )+0 ( y+1 )+2 ( z−0 )=0; 5 x+2 z−25=0 Ecuación del plano

d) Es perpendicular a la recta l ( t )= (−1,−2,3 ) t+(0,7,1) y pasa por (2,4,-1).Solución:De la recta sabemos que r=r0+t v, siendo v un vector paralelo a r, entonces este mismo vector es perpendicular al plano, luego, n=(−1 ,−2 ,3)n ∙ ( r−r 0 )=0 O bien a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0 ,entonces,−1 ( x−0 )−2 ( y−7 )+3 ( z−1 )=0; −x−2 y+3 z+11=0 Ecuación del plano

16- Hallar una ecuación para el plano que pasa por a) (0,0,0) , (2,0,-1), (0,4,-3)

-Primero encontramos dos vectores desde un punto de referencia para posteriormente hacer el producto vectorial de ambos y así encontrar el vector paralelo al plano.

a=(2,0 ,−1 )−(0,0,0 )= (2,0 ,−1 )b=(0,4 ,−3 )

a X b=i j k2 0 −10 4 −3

=(0+4 ) i−(−5−0 ) j+(8−0 ) k=4 i+5 j+8 k

-Teniendo el vector paralelo solo usamos los datos en la ecuación del plano

a (x−x¿¿0)+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0¿

4 ( x−0 )+5 ( y−4 )+8 (z+3 )=04 x+5 y+8 z=−3

b) (1,2,0), (0,1,-2), (0,4,1) -Primero encontramos dos vectores desde un punto de referencia para posteriormente hacer el producto vectorial de ambos y así encontrar el vector paralelo al plano.

a=(0,1 ,−2 )−(1,2,0 )=(−1 ,−3 ,−2 )b=(0,4,1 )− (1,2,0 )=(−1,2,1)

a X b=i j k

−1 −3 −2−1 2 1

=(−3+4 ) i−(−1−3 ) j+ (−2−3 ) k=i+4 j−5k

-Teniendo el vector paralelo solo usamos los datos en la ecuación del plano

a (x−x¿¿0)+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0¿

1 ( x−0 )+4 ( y−1 )−5 (z+2 )=0

x+4 y−5 z=14

c) (2,-1,3), (0,0,5), (5,7,-1)

-Primero encontramos dos vectores desde un punto de referencia para posteriormente hacer el producto vectorial de ambos y así encontrar el vector paralelo al plano.

a=(0,0,5 )−(2 ,−1,3 )= (−2,1,2 )b=(5,7 ,−1 )−(2 ,−1,3 )=(3,8 ,−4)

a X b=i j k

−2 1 23 8 −4

=(−4−16 ) i− (8−6 ) j+ (−16−6 ) k=−20i−2 j−22k

-Teniendo el vector paralelo solo usamos los datos en la ecuación del plano

a (x−x¿¿0)+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0¿

−20 ( x−0 )−2 ( y−0 )−22 ( z+5 )=0−20 x−2 y−22 z=110

17. a) Demostrar que dos planos paralelos o bien son idénticos o bien tienen intersección vacia.

b) ¿Cómo se intersecan dos planos que no son paralelos?

18. Hallar la intersección de los planos x+2 y+z=0 y x−3 y−z=0.Solución:De estas dos ecuaciones de los planos sabemos que el producto cruz las rectas normales a estos nos dará un nuevo vector perpendicular a estas dos y paralelo a los planos, luego, la rectas normales son:n1= i+2 j+ k y n2=i−3 j− k

n1×n2=|i j k1 2 11 −3 −1|=i−2 j−5 k

Por lo tanto la intersección de los planos es la recta o vector i−2 j−5 k

21. a) Probar las dos identidades del triple producto vectorial( a× b )× c=( a ∙ c )b−(b ∙ c )a y a×(b× c)= ( a ∙ c ) b−(a ∙ b )cSolución: Para ( a× b )× c=( a ∙ c )b−(b ∙ c )aSean a=a1 i+a2 j+a3 k , b=b1 i+b2 j+b3 k ,c=c1 i+c2 j+c3 k

Entonces ( a× b )× c=| i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

|×(c1 i+c2 j+c3 k)

¿ [ (a2b3−a3b2 ) i+(a3b1−a1b3 ) j+(a1b2−a2b1) k ]×(c1 i+c2 j+c3 k)Procedemos a hacer el producto cruz de estos dos vectores resultantes, esto es:

¿| i j ka2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1

c1 c2 c3|

¿ [ (a3b1−a1b3 ) (c3 )−(a1b2−a2b1 ) (c2 ) ] i+ [ (a1b2−a2b1 ) (c1 )−(a2b3−a3b2 ) (c3 ) ] j+[ (a2b3−a3b2 ) (c2 )−(a3b1−a1b3 ) (c1 ) ] k=¿

¿ [a3b1c3−a1b3 c3−a1b2 c2+a2b1 c2 ] i+ [a1b2 c1−a2b1 c1−a2b3 c3+a3b2 c3 ] j+ [a2b3 c2−a3b2c2−a3b1 c1+a1b3c1 ] kY porotro lado ( a ∙ c ) b−( b ∙ c )a

( a ∙ c ) b−( b ∙ c )a=(a1c1+a2c2+a3 c3 ) (b1 i+b2 j+b3 k )−(b1 c1+b1 rotro ladohacer el productocruz de estosdos vectores resultantes ,esto es : 2c2+b3 c3)(a1 i+a2 j+a3 k )

( a ∙ c ) b−( b ∙ c )a=a1c1b1 i+a2c2b1 i+a3 c3b1 i+a1 c1b2 j+a2 c2b2 j+a3c3b2 j+a1c1b3 k+a2 c2b3 k+a3 c3b3 k−(b1 c1a1 i+b1rotro ladohacer el producto cruz deestos dosvectores resultantes , estoes : 2 c2a1 i+b3 c3a1 i+b1 c1a2 j+b1 rotro ladohacer el productocruz de estosdos vectores resultantes ,esto es : 2c2a2 j+b3 c3a2 j+b1 c1a3 k+b1 rotro ladohacer el productocruz de estosdos vectores resultantes ,esto es : 2c2a3 k+b3c3a3 k )

( a ∙ c ) b−( b ∙ c )a=(a2c2b1+a3 c3b1−b1 rotro ladohacer el productocruz deestos dos vectoresresultantes , estoes :2 c2a1−b3 c3a1 ) i+(a¿¿1c1b2+a3 c3b2−b1c1a2−b3 c3a2) j+(a1 c1b3+a2c2b3−b1 c1a3−b1 rotro ladohacer el productocruz de estosdos vectores resultantes ,esto es : 2c2a3)k ¿Por lo tanto como:(a2c2b1+a3c3b1−b1 rotro ladohacer el productocruz deestos dos vectoresresultantes , esto es :2 c2a1−b3 c3a1 ) i+(a¿¿1c1b2+a3 c3b2−b1c1a2−b3 c3a2) j+(a1 c1b3+a2c2b3−b1 c1a3−b1 rotro ladohacer el productocruz de estosdos vectores resultantes ,esto es : 2c2a3)k=[a3b1c3−a1b3 c3−a1b2 c2+a2b1 c2 ] i+ [a1b2 c1−a2b1 c1−a2b3 c3+a3b2 c3 ] j+ [a2b3 c2−a3b2c2−a3b1c1+a1b3c1 ] k ¿

( a× b )× c=( a ∙ c )b−(b ∙ c )a Es cierta

19- Hallar la intersección de los planos x+ y+z=1 ,−x+ y−z=−1

Sea L una recta formada por la intersección de dos planos, se tiene que los vectores normales a cada plano forman la recta de intersección por lo tanto se tiene que:

n1 X n2=i j k1 1 1

−1 1 −1= (−1−1 ) i−(0 ) j+(1+1 ) k

por lo tanto la recta formada por la intersección de los dos planos es: (-2i+2k)

20. Hallar la intersección de los dos planos cuyas ecuaciones son n1=3 (x−1 )+2 y+z=0 y n2=(x−1)+4 y−( z+1 )=0Para hallar n1=3x+2 y+zn2=x−4 y−z

n1×n2=|i j k3 2 11 −4 −1|=(−2+4 ) i−(−3−1 ) j+(−12−2) k

¿2 i+4 j−14 k23. Comprobar la regla de Cramer.

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas: 

{¿3x−2 y=1x+5 y=3

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A  b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

x y b 

A ⋮ b=(3 −2 ⋮ 11 5 ⋮ 3)

  El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

 det ( A )=|3 −21 5 |=15+2=17

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

x=|1 −23 −5|17

=5+617

=1117

y=|3 11 3|17

=9−117

= 817

Ahora comprobamos con otro método 

{¿3x−2 y=1…….(1)x+5 y=3……….(2)

Despejamos a x de (2)

x=−5 y+3Sustituimos en (1)

3 (−5 y+3 )−2 y=1−15 y+9−2 y=1−17 y=−8

y= 817

Sustituyendo a y en (1)

3 x−2( 817 )=13 x=2( 817 )+1

x=( 1617 )+13

x=

331731

x=3351

x=1117

Por lo cual hemos comprobado la regla de Cramer

25.- Hallar la ecuación del plano que pasa por le punto (1,2,-3) y es perpendicular a la recta v= (0, -2,1)+ t(1,-2,-3)

-Sabemos de la ecuación de la recta que el vector perpendicular a dicha recta es: (1, -2, -3) y con el punto dado sustituimos en la ecuación del plano:

a (x−x¿¿0)+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0¿1 ( x−1 )−2 ( y−2 )−3 (z+3 )=0

x−2 y−3 z=o

26. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 ,−2 ,−3 ) y es perpendicular al plano 3 x− y−2 z+4=0

p= (1 ,−2 ,−3 )n=(3 ,−1 ,−2 )r=(1,−2 ,−3 )+t (3 ,−1 ,−2 )r=(1+3t ) i+ (−2−t ) j+(−3−2 t) k

x=1+3 ty=−2−tz=−3−2 tx−13

= y+2−1

= z−3−2

28- Calcular la distancia del punto (2,1,-1) al plano x- 2y + 2z = -2

29. Hallar una ecuación del plano que contiene la recta v=(−1,1,2 )+t (3,2,4) y es perpendicular al plano 2 x+ y−3 z+4=0Como la recta está contenida en el plano, entonces el vector director de la recta, será un vector paralelo al plano y el punto de la recta, pertenece al plano

x=−1+3 ty=1+2 tz=2+4 td=(2,1 ,−3)L=(3,2,4)R0=(−1,1,2)

n=d × L=|i j k2 1 −33 2 4 |=(4+12 ) i−(8+9 ) j+(2−3 )k

¿16 i−17 j−kn ∙ ( R−R0 )= (16 ,−17 ,−1 ) ∙ ( x+1, y−1 , z−2 )

¿16 ( x+1 )−17 ( y−1 )−(z−2)

¿16 x+16−17 y+17−z+2

¿16 x−17 y−z+35……. Ecuación del plano

32. Dados dos vectores a y b, ¿es cierto que las ecuaciones x× a=b y x ∙ a=‖a‖ determinan un único vector x? Razonar geométrica y analíticamente