ejercicios de geometria vectorial
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ejercicios resueltos de geometria vectorialTRANSCRIPT
TAREA # 1
PRESENTADO POR: DAYSI ASTUDILLO.
1.1.PROBLEMAS SOBRE VECTORES EN EL PLANO.
1) Encuentre la magnitud y dirección del vector dado.
a) = (4,-4)
Módulo:
| | √( ) ( )
√ √
Ángulo:
(
)
Representación gráfica
Figura 1.
b) = (√ , 1)
Módulo:
| | √(√ ) ( )
√
Ángulo:
(
√ )
Representación gráfica
Figura 2.
c) = (-1, -√ )
Módulo:
| | √( ) ( √ )
√
Ángulo:
( √
)
Representación gráfica
Figura 3 .
2) Encuentre la magnitud y dirección del vector cuyo punto inicial P está en (2,
3) y punto final Q está en (5, 8).
Módulo:
| | √( ) ( )
√
Ángulo:
(
)
Representación gráfica
Figura 4.
3) Sean = (2, 3) y = (-5, 4).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Representación gráfica
Figura 5.
4) Sean =2 -3 ; = - +2 ; = 7 -2 , encuentre un vector unitario que tenga la
misma dirección del vector dado:
a) .
( )
√ ( )
( )
√ ( )
√
√
√
Representación gráfica
Figura 6.
b) 2 -3 .
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
√ ( )
( )
√ ( )
√
√
√
Representación gráfica
Figura 7.
c) 3 +8 .
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
√( ) ( )
( )
√ ( )
√
√
√
Representación gráfica
Figura 8.
5) Encuentre un vector que tenga la magnitud y dirección dadas. a) =8, α =
.
Desarrollo.-
Sabemos que √ (1)
También sabemos que ( )
donde
luego se tiene que (
)
√
Þ √ (2)
Luego reemplazando (2) en (1)
√ (√ ) √ √
Þ Þ reemplazando este valor en (2)
Tenemos que √ .
Luego el vector será: ( √ ) o √ .
Gráficamente tenemos la siguiente figura:
Figura 9.
b) = 6, α =
.
Sabemos que √ (1)
También sabemos que ( )
donde
luego se tiene que (
)
√
Þ √ (2)
Luego reemplazando (2) en (1)
√ ( √ ) √ √
( ) (√ ) Þ
Þ Þ Þ puesto que
Reemplazando este valor en (2), tenemos que √ .
Luego el vector será: ( √ ) o √ .
Gráficamente tenemos la siguiente figura:
Figura 10.
6) Determine el ángulo entre los vectores:
a) = 5 +3 ; = -4 +3 .
( )( )
√ √( )
√ √
√
Þ (
√ )
Representación gráfica
Figura 11.
b) = +3 ; = 3 - .
( )( )
√ √ ( )
√ √
Þ ( )
Representación gráfica
Figura 12.
7) Diga si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas.
Dibuje cada par.
a) =3 +5 ; = -6 -10 .
( )( )
√ √( ) ( )
=
√ √
Þ ( )
Vectores paralelos pero de sentido
contrario
Representación gráfica
Figura 13.
b) =2 +3 ; = 6 +4 .
( )( )
√ √( ) ( )
√ √
Þ (
)
Vectores ni paralelos, ni ortogonales
Representación gráfica
Figura 14.
c) =4 ; = -7 .
( )( )
√ √( ) ( )
√ √
√
Þ ( )
Son vectores ortogonales
Representación gráfica
Figura 15.
8) Sean =3 +4 ; = +α . Encuentre α tal que:
a) y sean ortogonales.
( )( )
√ √( ) ( )
√ √ ( )
Þ 3 + 4
Þ
Representación gráfica
Figura 16.
b) y sean paralelos
( )( )
√ √( ) ( )
√ √ ( )
Þ √ ( )
Þ
Þ
( )
Þ
Representación gráfica
Figura 17.
9) Muestre que para cualquier par de números reales , los vectores = + y = - son ortogonales.
Desarrollo.-
Sea el ángulo entre = + y = - , y sean números reales
diferentes de cero, luego se tiene que:
| || |
( )( )
√ √( ) ( )
Pero se sabe que para y sean ortogonales se debe cumplir que y
también que , teniendo entonces que
√ √( ) ( )
Þ
Podemos decir entonces que es la condición sobre para que y sean
ortogonales.
Particularizando, sea y aplicando la condición demostrada se tiene que
( )( ) ( )( )
Luego los vectores formados tomando en cuenta que y serán
= + = (1,2) y = - = (2,-1); Probaremos ahora que son ortogonales es decir
que el .
| || |
( )( )
√ √( ) ( )
√ √
Þ
Lo que implica que y son ortogonales
Gráficamente también se demuestra que y son ortogonales
Figura 18.
10) Demuestre que el vector = b -a es paralelo a la recta
Demostración.-
Sea , una recta cualquiera; y el vector definido así: = b -a
Consideremos la pendiente de la recta l:
, y también
(1),
donde es la dirección del vector . Sabemos además que la pendiente de la recta l y
la tangente del ángulo son iguales.
Ahora escribamos de manera distinta la ecuación de la recta l:
; podemos
ver que la pendiente es:
(2)
Comparando (1) y (2), logramos ver que las pendientes son iguales, por lo que implica
que la recta l y el vector son paralelos.
Particularizando, tomemos valores para a, b y c tales como a = 3, b = 2 y c = 1, por lo
tanto el vector y la recta . Podemos verificarlo mediante
la construcción de su grafico como se muestra en la siguiente figura.
Figura 19.