capitulo ii algebra vectorial i (2).ppt
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CAP –I -ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y
CÁLCULO VECTORIAL Facultad de Ciencias Físicas –UNMSM-UNI-UNTECS. Msc. San Bartolomé Montero Jaime.H.
UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL SUR -UNTECSDEL SUR -UNTECS
INGENIERIA ELECTRONICA Y INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES TELECOMUNICACIONES
FISICA -IFISICA -I
Magnitud escalar. Es Aquella cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa(m), la temperatura(T), la presión(P),la carga eléctrica(Q),etc.
Magnitud vectorial. Es Aquella en la que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por el ángulo entre una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector.Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio , el campo eléctrico.
1.Magnitud escalar y vectorial :
)(ˆ)(
)(ˆ)(ˆˆˆ
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
2eléctricocampor
rqkrE
gravedadkgg
fuerzakFjFiFF
velocidadktzjtyitxtv
zyx
2.Concepto de vector :Vectores en el Plano2.Concepto de vector :Vectores en el Plano
A
'Aa
dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como :Se define como un segmento orientado caracterizado por:• Un origen o punto de aplicación. Punto A.• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, ángulo que subtiende al segmento AA’.• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a ó a
aa ó
Recta soporte
Punto de aplicación
3.Las Coordenadas Rectangulares3.Las Coordenadas Rectangulares
Los puntos en el plano cartesiano se grafican con dos valores abscisa y ordenada. La abscisa es el valor x o Dominio y la ordenada es el valor y ó Rango.
Y = Rango; X = Dominio
A=(1,1)
B=(x,y)
4.Las Coordenadas polares.4.Las Coordenadas polares.
Las coordenadas polares tienen la forma P(r, θ), donde r = radio, es la distancia desde el origen (0, 0) al punto P un punto dado en el plano y θ la magnitud el ángulo. Si el lado móvil del ángulo se mueve en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj considerando el eje x entonces la dirección del ángulo es positiva. Si el lado móvil del ángulo se mueve siguiendo el movimiento de las manecillas del reloj, entonces la dirección del ángulo es negativa. Donde : x = r Coseno(θ) ; y = r Seno (θ) ;por lo tanto el Vector
P=
jrSenirCospo ˆ)(ˆ)(
j
i
Coordenadas CartesianasCoordenadas Cartesianas
Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo , dos vectores son iguales si sus respectivas componentes son iguales :
BA
),(),(2121 bbaaBA
A) IGUALDAD :
B)Vectores Colineales y CoplanariosB)Vectores Colineales y Coplanarios
Los vectores son Colineales ,si se encuentran en una misma recta soporte y tienen los mismos sentidos
A
B
Los vectores son coplanarios , si se encuentran en un mismo plano ó forman dicho plano.
a
b
A
B
C
1. Vectores libres : Aquellos que no tienen una posición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.
2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.
3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación
1)Considere dos vectores A y B como se muestra.
El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .
La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de Cosenos
La dirección mediante la ley de Senos
2 22 cosR A B A B
( )
AR B
sen sen sen
MODULO DEL VECTOR RESULTANTEMODULO DEL VECTOR RESULTANTEDado dos vectores y Para hallar el módulo del vector resultante se utiliza la LEY DE COSENOS.
a b
c a b
a
b
c
a
b c
bSen
bCosDe la figura : En el Δ ACD ; Por Pitágoras se tiene :
AB C
D
CDBCABcADc 222 )cos(2
cos222
2222
abbac
senbbac
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos2 cos2 cos
abc a baca b cacb a c
Y como ф= -γCosф=Cos(-γ)=-Cosγ
DIRECCION DEL VECTOR RESULTANTEDIRECCION DEL VECTOR RESULTANTE
Para hallar la dirección de la resultante se necesita conocer la medida del ángulo (α );para lo cual usamos la LEY DE SENOS .
A B C
D
E
a
b
c
csen
bsencsenCDbsenCD
Análogamente :
asen
bsenasenEBbsenEB
Y como ф= -γSenф=Sen(-γ)=Senγ
a b csen sen sen
2)Suma de 2)Suma de mas de dos mas de dos
VectoresVectores
BA
R
BA
C
CLey del
polígonoR A B C
“El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el
extremo del ultimo”
A
B
C
D
Entonces si se tiene los siguientes vectores
El vector resultante de la suma de todos ellos será:
A B
C
D
DCBAR
R
Propiedades vectoriales:Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
000 :nulo elemento vii) : vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi) :escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:producto el para asociativa v) es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)
0 :suma la para neutro elemento iii) :suma la para aconmutativ ii)
:suma la para asociativa i)
ababaaaa
aaababbaba
aaabba
cbacba
.
1. Conmutatividad.
2. Asociatividad
Considere dos vectores A y B como se muestra.
El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .
La magnitud del vector diferencia D es
La dirección mediante la ley de Senos
2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B
( )
AD B
sen sen sen
MAGNITUD Y DIRECCION DE UN VECTOR EN EL PLANOy
xx1 x2
y1
y2
p1
p2
v
Sea el vector :
Si el vector tiene por punto inicial en el origen de coordenadas ,se le denomina Vector de posición ó radio vector ,entonces el vector
Luego para cada vector =(x,y) є R², existe un escalar ó número ,llamado Norma ó Módulo de ,denotado por Talque = (x²+y²)½ .
A cada vector =(x,y) ,no nulo que є R²,le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo .Luego tenemos : y
Y 0º≤ m( )≤360º,por lo tanto tenemos :
= (x,y) = ( Cos , Sen ) .
Un vector queda determinado por su Magnitud y su dirección .
v)( 12,121221 yyxxppvpp
o vjyixyxv
2222 ),(
v vv
v
(x,y)v
yxy
vySen
22
yxx
vx
22cos
v v r = r(t)
Es un vector colineal con el vector original Tiene un módulo igual a la unidad Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆAAeA
ˆAA A e
Aplicaciones :
6.-Las dos fuerzas P(60N) y Q(40N) actúan sobre el perno A de la figura . Determinar el módulo y la dirección de su resultante.
7.-Determinar el módulo y la dirección de la resultante de las fuerzas mostradas en la figura .
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de el vector original. La descomposición puede ser en un plano o en el espacio.
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
2. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO:
ˆ ˆ
ˆ ˆcosˆ ˆ(cos )
ˆ
ˆ ˆˆ (cos )
x y
x y
A
A
A A A
A A i A j
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
e i sen j
2 2x yA A A
y
x
AAtg
Módulo
Dirección
En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
Si La resultante FRFR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje del tronco(eje x+) y tiene una magnitud de 5kN. a)Determine la fuerza de cada remolque si θ=45° .b)El valor de ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FBFB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?
Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante
Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
yx
z
zyxP ,,
Y
X
Z
z
Coordenadas cilíndricas
Y
X
Z
Coordenadas esféricas
9.Sistemas de coordenadas en el espacio :9.Sistemas de coordenadas en el espacio :
Sistemas de coordenadas tridimensional:
ρϕ
P(ρ,ϕ,z)ϕ
rP(r,θ,ϕ)
x=ρcosϕy=ρsenϕz=z
x=rsenθcosϕy=rsenθsenϕz=rcosθ
A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios
Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.
ˆˆ ˆ, ,i j k
ˆˆ ˆi j k = 1
3. En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes.
4. En el espacio.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cosˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
2 2 2 2x y zA A A A
cos xAA
cos yAA
cos AzA
Cosenos directores
ˆˆ ˆr OP xi yj zk
El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.
cos. BABA
7. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos
8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares
. 0A B A B
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.
6. Producto escalar de dos vectores
Geométricamente esta situación se muestra en la figura
Producto escalar de dos vectores.
cosb
ab
cosbaba
Propiedades.
kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjiibababa
bababcacbac
abba
zyxee
, , ia,consecuencEn . vii)
vi)
0 ,1 v) 0y 0, si iv)
:escalares a respecto asociativa iii) :vadistributi ii) :aconmutativ i)
Propiedades del Producto Escalar :Propiedades del Producto Escalar :
.cos a ba b
Producto escalar de dos vectores.
a
cosb
b
cosabba
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa
Ángulo que forman dos vectores.
abbababa
abba zzyyxx
cos
Angulo entre dos vectores :Angulo entre dos vectores :
Aplicaciones:
6.Sabemos que los vectores y cumplen que y Además, si y entonces : . ¿Cuál es el producto escalar ?
u v 5u 8v
vua 2 vub 23
14. ba vu .
7.Sabemos que los vectores y cumplen que y . Además, si y entonces : . ¿Qué ángulo forman y ? .
u v 6u
3v vua 2 vub 32
8. ba u v
8.Determina un vector que sea perpendicular al vector (6,-2) y tenga módulo √10.
uv
9.Dados los vectores (1,2) y (-3,1) y los vectores y , calcular x para que los Vectores y sean perpendiculares.
u vvua vuxb
a b
PRODUCTO VECTORIAL :
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por
.
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer
girar
• Módulo dado por :
ba y
ba sobre
senabbac
Propiedades.
bababa
bcacbacbababa
cbacbaabba
|| 0y 0, Si v) :suma la a respecto vodistributi iv)
:escalarun por producto el para asociativo iii) :asociativo-no ii)
:ativoanticonmut i)
c
ij
k
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.
ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )
x y z y z z y x z z x x y y z
x y z
i j kAxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B
B B B
( ) ( )Area AxB A Bsen A h
Producto mixto de tres vectores.
Triple producto escalar :
Y
X
Z
a
b
c
ba
cos).( abcsenbxac
Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores
Propiedades.
acbbaccba :cíclica i)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbababbbaaaccc
bac
Lic:San Bartolomé Montero Jaime.H.
Volumen =
a b
c
).( bxacbac
Momento de un vector con respecto a un punto.
r a
d
OM
OP
araMO
)(daarsenMO
El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte.
Momento de un Vector :
Cálculo vectorial :Función vectorial con respecto a un escalar (λ ):
1a
2a
kajaiaaa zyx
12 aaa a
aaa
2
1
12
Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
a
a
a
a
dad
dad
dad
dad
aalímalímdad
00
aaa
aaa
Se define laDerivada como:
La derivada es una recta tangente a la trayectoria
Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
j
dda
id
daja
límialím
jaa
límiaalím
aalímalímdad
yxyx
yyxx
00
00
00
Lic:San Bartolomé Montero Jaime.H.
ja yiaa x )()()(
Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dtad
dtad
dtad
kdttdaj
dttda
idttda
talím
dttad zyx
t
0
kdttdaj
dttda
idttda
talím
dttad zyx
t
0
“Vemos que la derivada de una función vectorial es un vector tangente a la curva en cualquier punto”
Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
dbdab
dadba
dd
dbdab
dadba
dd
ddfa
dadfaf
dd
dλbd
dλadλbλa
dλd
:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)
:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)
:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)
: vectoresde suma la de Derivada i)
Cálculo vectorial22.-
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
auaa
Si iii)
|| Si ii)
general,En i)
aa
aaa
aa
udad
duda
dadctea
udadu
dda
dadcteu
dudau
dda
dad
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Cálculo vectorial23.-
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dadba
Propiedades:
1
2
2
1
2
1
2
1
v)
:y Si iv)
:, Si iii)
: Si ii)
:y Si i)
21
dada
dd
dada
dadacte
dadada
dakdakctek
dbdadbabbaa
Cálculo vectorial24.-
Integral en función de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kdajdaidada zyx
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dadba
Tema 2 APLICACIONES DEL ÁLGEBRA
Y CÁLCULO VECTORIAL
Facultad de Ciencias Físicas-UNMSM