REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS

INTEGRANTES:EDIMER CASTRO

JORGE SOLORZANOLUIS THERAN

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CONTENIDO

LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES.

TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH.

DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA

FRECUENCIA.

FUNCIÓN DELTA DE DIRAC.

TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS.

TRANSMISIÓN DE SEÑALES A TRAVÉS DE SISTEMAS LINEALES.

TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES

DEFINICION

• La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).

• La transformada de Fourier nos permite extender las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas.

EJEMPLO

• Considerando el siguiente Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

• Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:

• El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

)()(

20

20p

p

n nnsen

Tpc

ww

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

cn

Si el periodo del tren de pulsos aumenta...

...el espectro se "densifica".

En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5p = 1, T =

t

f(t)

Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:

(T), el espectro se vuelve "continuo":

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p = 1, T =

t

f(t)

Lo anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w.Así, la serie:

al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

n

tinnectf 0)( w

ww w deFtf ti)()( 21Identidad de Fourier o

antitrans - formada de Fourier:

dtetfF tiww )()(Transformada de Fourier:

NOTACIÓN

A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir

f̂

dtetffFtfF tiwww )()(ˆ)()]([la expresión para obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

www w deFtfFF ti)()()]([ 211

Ejemplo: Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente:

-p/2 0 p/2

1 f(t)

t

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:

tt

ttf

p

pp

p

2

22

2

010

)(

Integrando:

2/

2/

)()(p

p

titi dtedtetfF www

2/

2/

1 p

p

tii e

ww )( 2/2/1 pipi

i ee www

Usando la fórmula de Euler:

ieepsen

pipi

2)2/(

2/2/ ww

w

)2/(sinc2/

)2/()( ppp

psenpF wwww

tt

ttf

p

pp

p

2

22

2

010

)(

En forma gráfica, la transformadaes:

)2/(sinc)( ppF ww

-50 0 50

0

0.5

1F(w) con p=1

w

F(w

)

El par de Transformadas de Fourier es:

INTEGRAL DE FOURIER

Ejemplo: Encontrar la transformada de Fourier de la señal

Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

f(t)

t

Series de Fourier. 22

Funciones Pares e Impares

En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

f(t)

t

TRANSFORMADAS DE FOURIER DE FUNCIONES PARES, F(T) = F(-T):

dttff e tiww )(ˆ

0

0

)()( dttfdttf ee titi ww

0 0

)()()(ˆ dttfdttff ee titi www

0

)( dttf ee titi ww

0

)cos()(2ˆ dtttff ww

Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

dttff e tiww )(ˆ

0

0

)()( dttfdttf ee titi ww

0 0

)()()(ˆ dttfdttff ee titi www

0

)( dttf ee titi ww

0

)()(2ˆ dttsentfif ww

Propiedades de las transformadas de Fourier:

Propiedades de las transformadas de Fourier:

EJEMPLOS

La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.

)}({)}({)}()({

tgbFtfaFtbgtafF

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función

f (t)

0 , t a2

1 , b2 t

a2

2 , t b2

; a b 0

La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo

f (t) g(t) h(t)

donde g(t) 0 , t a

21 , t a

2

; h( t)0 , t b

21 , t b

2

Luego:

ˆ f (w ) ˆ g (w) ˆ h (w)

2b2bsen

2b

2a2asen

2a)(f̂

w

w

w

w

w

Efecto de la propiedad de escalado

Pulsocorto

Pulsomedio

Pulsolargo

Mientras más corto es el pulso, más ancho es el

espectro.

Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.

w

w

w

t

t

t

Si determine la transformada de Fourier de

SOLUCIÓN:Se aplica la propiedad de desplazamiento en el tiempo

Encontrar la transformada de la señal

SOLUCIÓN: La propiedad de desplazamiento en frecuencia dice:

la potencia total de una señal periódica se puede asociar con la suma de las potencias contenidas en cada componente de frecuencia (teorema de Parseval).

la misma clase de resultado es de esperar en el caso de señales no periódicas representadas por sus transformadas de Fourier.

con esta definición el integrando se expresa como una intensidad de energía variante en el tiempo.

TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH

este es el “teorema de rayleigh”; también conocido como “teorema de plancherel”. establece que la energía contenida en una señal x(t) es igual al área bajo el cuadrado del módulo de la transformada de x(t), es decir, |x(f)|2.

la cantidad |x(f)|2 se denomina “espectro de energía” o “densidad espectral de energía” de la señal x(t), y |x(f)|2 df es la energía contenida en un ancho de banda infinitesimal df.

para poder aplicar este teorema solo necesitamos conocer el espectro de amplitud |x(f)| de la señal.

el espectro de energía, más que el espectro de potencia, es la caracterización más apropiada para señales que poseen una transformada de Fourier.

en el sentido físico, el teorema de rayleigh indica que “la energía de una señal no depende del modo de representación de la señal”. la energía es un invariante y es la misma así se tenga una representación temporal o una representación espectral de la señal.

DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

• si la descripción en el tiempo de una señal es cambiada su descripción en la frecuencia es alterada en forma inversa.

• Si una señal es estrictamente limitada en frecuencia, su definición en el tiempo se puede expandir indefinidamente. Una señal es estrictamente limitada en frecuencia o de banda limitada si su transformada de fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. En el caso contrario (señal estrictamente limitada en tiempo) sucede lo mismo.

DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

• El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales respecto a su frecuencia.

• Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencial muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Una representación frecuencial incluye también la información sobre el desplazamiento de fase que debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la señal original.

• El dominio de la frecuencia está relacionado con las series de Fourier, las cuales permiten descomponer una señal periódica en un número finito o infinito de frecuencias, en caso de señales no periódicas, está directamente relacionado con la Transformada de Fourier.

IMPULSO (DELTA)

0,0)( tt

• La función Delta tiene las siguientes características:

y

1)(

dtt

• Sin embargo, es imposible para cualquier función convencional tener estas propiedades, pero es posible aproximarla considerando el límite de una función convencional cuando el parámetro se aproxima a cero.

FUNCIÓN IMPULSO DELTA

• Tiempo Continuo

• Tiempo Discreto

EN TÉRMINOS GENERALES La teoría de la transformada de Fourier es aplicable solo a funciones en el tiempo que satisfacen las condiciones de Dirichlet. Tales funciones incluyen señales de energía.

Podemos considerar la función delta como la forma limite de un pulso de área unitaria cuando la duración del pulso tiende a cero.

Ejemplo: desde punto de vista físico.

• Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesario será menor. En el límite cuando t tiende a cero tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de gran fuerza. De esta forma definimos la Delta de Dirac como una "función" que vale cero en todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya área vale 1.

PROPIEDADES• Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos

miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

APLICACION

Esta función se usa para el muestreo o discretizacion de señales análogas .

TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS

INTRODUCCION

Es bien sabido que al utilizar la serie de Fourier, una señal periódica puede representarse como una suma de exponenciales complejas. Asimismo, en un sentido limitado, es posible definir las transformadas de Fourier mediante exponenciales complejas. Por lo tanto, parece razonable representar una señal periódica en términos de una transformada de Fourier, siempre y cuando se permita que esta transformación incluya funciones delta.

TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS

Considere a continuación una señal periódica de periodo . Representando a en términos de la serie de Fourier exponencial compleja tenemos:

Donde es el coeficiente de Fourier complejo definido por;

Y es la frecuencia definida como el reciproco del periodo ; es decir,

Sea g(t) una función similar a un pulso, que es igual a sobre un periodo y cero en cualquier otro lado; es decir,

La señal periódica puede expresarse ahora en términos de la función g(t) como una sumatoria infinita, según indica

Con base en esta representación, podemos ver g (t) como una función generatriz, que genera la señal periódica .

La función g(t) es transformable de Fourier. Por tanto, es factible reescribir la fórmula para el coeficiente de Fourier complejo del siguiente modo:

Donde es la transformada de Fourier de g(t) evaluada a la frecuencia . Consecuentemente podemos reescribir la fórmula para la reconstrucción de la señal periódica como,

O, de modo equivalente, de acuerdo con la ecuación anterior,

Esta ecuación es una forma de la fórmula de poisson.

Se puede observar que la función g(t), la cual constituye un periodo de la señal periódica , tiene un espectro continuo definido por la señal G(f). Por otro lado, la propia señal periódica tiene un espectro discreto. Por tanto, se puede concluir que la periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efecto de cambiar la descripción o espectro en el dominio de la frecuencia de la señal en una forma discreta definida en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

TRANSMISION DE SEÑALES ATRAVES DE SISTEMAS LINEALES

INTRODUCCIONEn la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos analizar, afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una clasificación, esa clasificación es la de sistemas lineales, los cuales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisis, por tal razón es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema lineal.

¿QUE ES UN SISTEMA?

• Es un proceso que produce una señal de salida en respuesta a una señal de entrada

• Es una entidad que manipula una o mas señales para llevar a cabo una función, produciendo de ese modo nuevas señales.

• Se refiere a cualquier dispositivo físico que produce una señal de salida en respuesta a una señal de entrada. Usualmente se refiere a la señal de entrada como la excitación y a la señal de salida como la respuesta.

SistemaSeñal de Entrada Señal de Salida

x(t) y(t)=H{x(t)}

EJEMPLOS

Sistema de Reconocimiento

de Voz (DSP)

Señal de Voz Identidad del Hablante

Sistema de Comunicación

Señal de Voz/datos

Estimación del mensaje original

SISTEMAS LINEALESLos sistemas lineales están caracterizados por el principio de superposición; es decir la respuesta de un sistema lineal a varias excitaciones aplicadas en forma simultánea es igual a la suma de las respuestas del sistema cuando cada excitación se aplica individualmente.

Ejemplo:Si r1(t) es la respuesta a la función f1(t) y r2(t) es la respuesta a la función f2(t):Entonces la respuesta a la función: f1(t) + f2(t) será: r1(t) + r2(t).

El postulado del principio de superposición es:"En general, la respuesta de un sistema lineal a la función de excitación f1(t) + f2(t) está dada por r1(t) + r2(t) donde; α y son constantes arbitrarias".

SISTEMAS LINEALES

Respuesta del sistema (Vo) a la función de excitación (Vin).

Ilustración de la respuesta individual (r1 y r2) de unsistema lineal a entradas individuales (f1 y f2).

INVARIABILIDAD EN EL TIEMPO• Significa que mover la señal de entrada en el tiempo

produce un movimiento idéntico en la señal de salida• Si x[n] produce y[n] entonces

x[n + t] produce y[n + t]

TRANSMISIÓN DE SEÑALES

Los sistemas de transmisión de señales que se considerarán en las comunicaciones son:

• Sistemas lineales.

• Sistemas invariantes con el tiempo.

En el dominio del tiempo, un sistema lineal se describe en términos de su respuesta al impulso, la cual se define como la respuesta del sistema (con condiciones iniciales cero) a un impulso unitario o función delta aplicado a la entrada del sistema.

Si el sistema es invariante con el tiempo, entonces la forma de la respuesta al impulso es la misma sin que importe cuando se aplicó al sistema el impulso unitario. Por tanto suponiendo que se aplica el impulso unitario en el tiempo t = 0, podemos denotar la respuesta al pulso de un sistema lineal invariante con el tiempo por medio de h(t). Consideremos que el sistema está sujeto a una excitación arbitraria x(t). la respuesta y(t) del sistema se define en términos de la respuesta al impulso h(t) por medio de la siguiente expresión,

La cual recibe el nombre de integral de convolución como la convolución es conmutativa es posible escribir,

TRANSMISION DE SEÑALES

TRANSMISION DE SEÑALES

Están implicadas tres escalas diferentes: tiempo de excitación , tiempo de respuesta t y tiempo de memoria del sistema . Esta relación constituye la base del análisis en el dominio del tiempo de sistemas lineales invariantes con el tiempo. De acuerdo con la ecuación (integral de convolución).

El valor presente de la respuesta de un sistema lineal invariante con el tiempo es una integral ponderada sobre la historia pasada de la señal de entrada, ponderada a su vez de acuerdo con la respuesta al impulso del sistema. De esta manera la respuesta al impulso actúa como una función de memoria del sistema.

BIBLIOGRAFIA SISTEMA DE COMUNICACIONES (HAYKIN) http://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac http://www.diac.upm.es/acceso_profesores/asignaturas/tdi/t

di/transformadas/pdf/fourier1.pdf http://es.wikiversity.org/wiki/La_Transformada_de_Fourier#Tr

ansformada_de_Fourier_de_una_se.C3.B1al_periodica

GRACIAS!