Ecuaciones de primer grado y funciones lineales

Unidad 1Ecuaciones y Funciones Lineales

Elaboro: Arturo Yl MartnezObjetivos especficos de la unidad.

En esta unidad debe lograrse que los alumnos sean capaces de:

1. Definir e identificar la ecuacin lineal (o de primer grado), as como de reconocer la relacin entre ecuacin y funcin lineal.

1. Resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones que pueden transformase en ellas, aplicando los procedimientos algebraicos estudiados.

1. Definir (ya sea como modelo matemtico, o como relacin de dependencia entre variables), graficar y aplicar las funciones lineales . As como definir, calcular e interpretar el cero de una funcin lineal, y la relacin existente entre el clculo de ceros y la resolucin de ecuaciones de primer grado. Definir y calcular la pendiente m de una funcin lineal cuando se conocen dos puntos de su grfica. Determinar la funcin lineal (y su ecuacin lineal correspondiente) conocidos dos puntos de su grfica.

1. Plantear y resolver problemas que se resuelven mediante una ecuacin o funcin lineal, o que se puedan transformar en stas.

Captulo I. Ecuaciones y funciones lineales

Introduccin

En esta unidad se estudiarn los conceptos bsicos y los mtodos de resolucin concernientes a las ecuaciones lineales, tambin se estudiarn los conceptos y formas de representacin de las funciones lineales, ponindose nfasis especial en el planteo y resolucin de problemas matemticos y extra-matemticos que requieren de modelos matemticos como las ecuaciones y funciones lineales.

1.1 Planteamiento y resolucin de problemas que dan origen a una ecuacin de primer grado con una variable

Problema 1 (de economa y negocios). Un taxista cobra $120 por "tarifa mnima" y luego $20 por cada kilmetro de recorrido. Un segundo taxista no cobra tarifa mnima, pero cobra $60 por cada kilmetro.a) Plantear la "ecuacin de cobro por viaje" correspondiente a cada taxista. b) Determinar en cul taxi es ms econmico viajar una distancia de 4 kilmetros. c) En qu distancia ambos taxistas cobran lo mismo? Resolucin: (a) Si representamos por n el kilometraje recorrido y por C al costo por viaje, las ecuaciones son:

Primer taxista: C = 120 + 20 x n

Segundo taxista: C = 60 x n

(b) Si los taxistas son honestos (hiptesis necesaria para los clculos), el primer taxi cobrara C = 120 + 20 x 4 = $200 , y el segundo taxi cobrara C = 60 x 4 = $240, por lo tanto, resulta ms econmico viajar en el primer taxi.

(c) Igualemos los cobros: C= C 120 + 20 x n = 60 x n, por lo tanto los taxistas cobrarn lo mismo cuando hayan recorrido .

Problema 2 (de carreras entre amigos). Un atleta da a un amigo (que no es atleta) una ventaja de 10 metros en una carrera de 100 metros. Si el que tiene ventaja recorre 6 metros en cada segundo y el atleta recorre 8 metros en cada segundo determinar:a) En cunto tiempo alcanzar el atleta a su amigo?b) En cunto tiempo terminar cada uno la carrera? c) Durante cunto tiempo de la carrera el atleta va detrs del amigo? d) Durante cunto tiempo de la carrera el atleta va delante del amigo? e) En qu tiempo de la carrera el atleta va perdiendo por 3 metros? f) En qu tiempo de la carrera el atleta va ganando por 8.5 metros? Resolucin por el mtodo 1:(a) Un mtodo de resolucin plausible puede ser elaborar una tabla numrica de entradas y salidas como la siguiente:

Tiempo transcurridosen segundos: tDistancia recorridapor el atleta: DDistancia recorridapor el amigo: d

0 seg.8x0=0 metros10+2x0=10 metros

2 seg.8x2=16 metros10 +2x6=22 metros

3 seg.8x3=24 metros10+3x6=28 metros

4 seg.8x4=32 metros10+4x6=34 metros

5 seg.8x5=40 metros10+5x6=40 metros

8 seg.8x8=64 metros10+8x6=58 metros

10 seg.8x10=80 metros10+10x6=70 metros

De donde se observa que el atleta alcanza a su amigo a los 5 segundos.

b) Recordando la frmula de fsica que establece que: . Es fcil calcular que el atleta demorar en recorrer los 100 metros, de acuerdo a la velocidad o rapidez con que corre. Mientras que el amigo demorar en recorrer los 90 metros (considerando la ventaja de 10 m).Las preguntas (c) y (d) se pueden contestar fcilmente en base a los clculos realizados en la tabla: Cules son las respuestas?________________________.

Sin embargo, las preguntas (e) y (f) no pueden contestase directamente a partir de la tabla, pero, s con los resultados de la misma se dibuja un grfico que relacione la distancia recorrida respecto del tiempo empleado se obtiene una grfica parecida a la siguiente:

A partir de la cual se pueden responder estas preguntas con una buena aproximacin, a condicin de que dicha grfica se elabore de la mejor manera en una hoja milimtrica. Tarea 1: elabora dicha grfica y contesta en base a ella estas preguntas y, despus, compara tus respuestas con las obtenidas por tus compaero(a)s Resolucin por el mtodo 2:Por supuesto que todas las preguntas anteriores pueden responderse aumentando el nmero de entradas y salidas numricas en la tabla correspondiente. Pero tambin pueden ser respondidas de manera ms directa, aunque tal vez por un camino algo ms complicado, construyendo los modelos o ecuaciones que representan la problemtica y realizando los clculos sobre la base de dichos modelos tal como se ilustra a continuacin:(a) Para determinar en cunto tiempo el atleta alcanza al amigo se puede plantear en base al enunciado del problema (o del patrn de los clculos de la tabla) las ecuaciones: D = 8t y d = 10 + 6t .

As, cuando el atleta alcanza a su amigo ambas distancias son iguales, lo cual es equivalente a tener que: 8t =10 + 6t 2t = 10. De donde, se determina que: t =10 / 2 = 5 segundos. O sea, el atleta alcanza a su amigo a los 5 segundos despus de iniciada la carrera.(b) Para calcular los tiempos de culminacin de la carrera para ambos, usamos respectivamente las ecuaciones anteriores:Tiempo del atleta: 100 = 8t , de donde: t = 100 / 8 = 12.5 segundos.Tiempo del amigo: 100 = 10 + 6t , de donde: t = (100 10) / 6 =15 segundos.

(c) y (d) De las respuestas anteriores est claro que el atleta va detrs en la carrera cuando 0 < t < 5 y va delante cuando 5 < t 12.5 (Por qu?).

(e) Que el atleta vaya perdiendo por 3 metros, significa que: d D = 3, de donde, (10 + 6t) 8t = 3 10 2t = 3 10 3 = 2t t= 7 / 2 = 3.5 seg. Por tanto, exactamente a los 3.5 seg. de iniciada la carrera el atleta va perdiendo la carrera por 3 metros de diferencia.

(f) Que el atleta vaya ganando con 8.5 metros, significa que: D d = 8.5, de donde, 8t (10 + 6t) = 8.5 8t 10 6t = 8.5 2t 10 = 8.5 t= (8.5 + 10) / 2 = 9.25 seg. Por tanto, exactamente a los 9.25 seg. de iniciada la carrera el atleta va ganando la carrera por 8.5 metros de ventaja.

Problema 3 (de numerologa y detectives). Eres capaz de encontrar tres nmeros enteros consecutivos tales que su suma sea 42? Intntalo primero t solo, o con tus compaeros, antes de ver las diferentes vas de solucin mostradas a continuacin!

Resolucin por el mtodo de tanteos:Suponiendo que el nmero ms pequeo de los buscados es el 10, en consecuencia los que siguen son 11 y 12, pero como 10 + 11 + 12 = 33 < 42, entonces debemos probar con otro nmero inicial mayor. Cul nmero sugieres?

Sea 14 el nuevo nmero, por tanto los consecutivos que le siguen son 15 y 16, pero 14 + 15 + 16 = 45 > 42. De donde, como la suma de los nmeros excede en tres unidades a 42, se infiere que los nmeros buscados son menores que los propuestos.Resulta fcil ahora encontrar los nmeros, pues basta con restarle la unidad a cada uno de los nmeros anteriores que fueron propuestos como posible solucin para que la suma sea exactamente 42. Finalmente, pues, se encuentra que los nmeros buscados son 13, 14 y 15, ya que 13 + 14 + 15 = 42.

Resolucin por el mtodo de cancelacin:Como los nmeros buscados son consecutivos, otra forma de pensar y resolver este problema es considerar que estos forman un progresin aritmtica y suponer que k es el numero del medio, o sea que: (k-1) + k + (k+1) = 3k = 42. Por tanto, el nmero k es el entero que multiplicado por 3 da como resultado 42, y este es el 14. De donde, los nmeros buscados son 13, 14 y 15, pues 13 + 14 + 15 = 42.

Resolucin por el mtodo de las ecuaciones:Sean a , b , c los nmeros enteros buscados, entonces a + b + c = 42 . Y como son consecutivos entre s, entonces tambin los podemos representar por: a = x , b = x + 1, c = x + 2De donde, se puede plantear la ecuacin: x + (x+1) + (x+2) = 42. Cuya solucin es:

x + x + 1 + x + 2 = 42 3x = 39 x = 39/3 = 13

Por tanto: a = 13 b = 13 + 1 = 14 c = 13 + 2 = 15Comprobacin: 13 + 14 + 15 = 4242 = 42Respuesta: Por tanto los nmeros buscados son 13 , 14 y 15.

Evaluacin breve de los mtodos: si haces una comparacin de los mtodos anteriores usados, tal vez pienses que resolver problemas mediante la formulacin y resolucin de una ecuacin es con mucho ms complicado, sin embargo, aunque tal vez puedas tener razn para estos problemas en particular, en realidad el mtodo de modelacin a travs de ecuaciones resulta ms conveniente cuando los problemas resultan ms complejos. Es por esto que se justifica el gran esfuerzo que requiere su aprendizaje.

Por ejemplo, y para convencerte de lo anterior, intenta resolver sin, y con, ecuaciones los siguientes problemas:

Problema 4 (de compras). El Sr. Martnez compr un automvil de agencia en $146,000.00. Si dicho costo incluye un 14.5 % de impuesto, Cul era el precio del automvil sin agregar el impuesto?

Problema 5 (de comercio). Un comerciante vende dos clases de frijoles, el primero de $6.00 el kilo y el segundo de $7.20 el kilo. Cuntos kilos hay que poner de cada clase de frjol para obtener 60 kilos de mezcla a $7.00 el kilo?

Actividades de aprendizaje

Resuelve individualmente o en equipo, y por cualquier mtodo, los siguientes ejercicios y/o problemas, y si te es posible encuentra un modelo matemtico (ecuacin) que te facilite su resolucin. Adems, compara la eficacia de tu mtodo de resolucin con los encontrados por los dems compaeros y compaeras.A1) Lee el siguiente poema, del famoso escritor ingles Rudyard Kipling (1865-1936), titulado NO DESISTAS:

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* Cuando vayan mal las cosascomo a veces suelen ir,cuando ofrezca tu caminosolo cuestas que subir,cuando tengas poco haberpero mucho que pagar,y precises sonreraun teniendo que llorar,cuando ya el dolor te agobiey no puedas ya sufrir,descansar acaso debas!pero nunca desistir!.

** Tras las sombras de la dudaya plateadas, ya sombras,puede bien surgir el triunfono el fracaso que temas,y no es dable a tu ignoranciafigurarte cuan cercano,pueda estar el bien que anhelasy que juzgas tan lejano.

*** Lucha, pues por ms que tengas en la brega que sufrir, cuando todo est peor, ms debemos insistir.Y comenta con tu maestro o maestra, compaeros y compaeras sobre la siguiente cuestin: En que crees te puede ayudar la lectura de este poema al momento de resolver ejercicios y/o problemas matemticos?

A2) Determinar el valor de k (k) en cada uno de los siguientes casos para que la igualdad sea verdadera:

a) 9x 9= 9; k =______ b) (8)= 8 ; k =_______

A3) Determinar tres enteros consecutivos tales que su suma sea 72.

A4) Determinar 3 nmeros enteros consecutivos impares tales que su suma sea 69.

A5) Cul es el nmero que, al aumentar en 20, se triplica?

A6) Cmo se pagara una deuda de $700 con 52 monedas, unas de $20 y otras de $10?

A7) Cunto mide el lado de un cuadrado cuyo permetro es igual a 70 metros?

A8) Una granja tiene cerdos y gallinas, en total hay 35 cabezas y 116 patas. Cuntos cerdos y gallinas hay?

A9) Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. Cunto tiempo tardarn en hacerlo por separado si uno es el doble de rpido que el otro?

A10) Dos amigos van a jugar al Casino con $84,000 en total. Cuando el primero de ellos pierde $16,000 y el segundo gana $20,000, quedan con la misma cantidad de dinero. Con qu cantidad iniciaron jugando cada uno?

A11) Un tren sale de una estacin A para otra estacin B con una velocidad de 45km/h. Una hora despus sale otro tren del mismo punto y en la misma direccin que el anterior, con una velocidad de 50 km/h. Suponiendo que B est suficientemente lejos de A, dentro de cunto tiempo y a qu distancia de A alcanzar el segundo tren al primero?

A11) Un ladrn un cesto de naranjas del mercado rob y por entre la gente al campo escap; al saltar una cerca, la mitad ms media naranjas perdi; perseguido despus por un perro, la mitad menos media naranjas abandon; y luego tropez en una cuerda, y la mitad ms media naranjas desparram; ya en su guarida a salvo, dos docenas de naranjas guard. Cuntas naranjas rob el ladrn?

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1.2 Problemas resueltos de ecuaciones de primer grado12Halla el valor de los tres ngulos de un tringulo sabiendo que B mide 40 ms que C y que A mide 40 ms que B.C x B x + 40 A x + 40 + 40 = x+ 80x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 40 80; 3X = 60; X= 20 C = 20 B = 20 + 40 = 60 A = 60 + 40 = 100

Igualdades y ecuaciones: conceptos y definiciones bsicas

Al resolver los problemas anteriores, posiblemente, obtuviste algunas igualdades o ecuaciones (modelos matemticos) como las siguientes:

De ah que una ecuacin pueda ser conceptualizada como un modelo matemtico que se origina en la representacin simblica de una problemtica real. As, la ecuacin sirve para modelar matemticamente la cuestin Cul es el nmero que, al aumentar en 20, se triplica?

Por supuesto que una ecuacin tambin puede ser conceptualizada como una igualdad entre dos expresiones algebraicas, donde la expresin que se antepone al signo = se llama el primer miembro de la ecuacin o miembro izquierdo (M.I.), y la expresin que sigue al signo = se llama el segundo miembro de la ecuacin o miembro derecho (M.D.). As, en la ecuacin , el primer miembro es y el segundo miembro es .

Si ambos miembros de una ecuacin son polinomios reducidos o simplificados, se llama grado de la ecuacin al mayor de los grados de estos polinomios, o al grado comn de los mismos en caso de que estos polinomios sean del mismo grado y de que los trminos que determinan el grado sean diferentes. De donde, la ecuacin es de primer grado, mientras que la ecuacin es de segundo grado.

Nota: En esta unidad slo nos ocuparemos de la resolucin de ecuaciones de primer grado o lineales y de los problemas que conducen al planteamiento y resolucin de ecuaciones de este tipo. En la unidad cuatro nos ocuparemos de la resolucin de ecuaciones de segundo grado.

Las variables que intervienen en las ecuaciones reciben el nombre de incgnitas, y los valores que pueden tomar estn generalmente restringidos a un dominio o sistema numrico. Todos los nmeros del dominio dado, que al hacer la sustitucin convierten a la ecuacin dada en una igualdad numrica (donde ambos miembros de la igualdad planteada adquieren el mismo valor numrico), se denominan soluciones o races de la ecuacin. El conjunto de todas las soluciones de una ecuacin se denomina tambin conjunto solucin.

Resolver, por tanto, una ecuacin es hallar su conjunto solucin. As, pues, resolver una ecuacin consiste en determinar, dentro del dominio de la variable, los nmeros que al sustituirse por la variable transforman la igualdad algebraica en una igualdad numrica.

As, como ejemplos de ecuaciones con una sola incgnita, tenemos las ecuaciones y , donde la primera ecuacin solamente se satisface para x = 9 mientras que la segunda slo se cumple para x = 3.

Las ecuaciones pueden tener ms de una incgnita, por ejemplo la ecuacin tiene dos incgnitas y solamente la satisfacen aquellos nmeros cuya suma algebraica sea 10, por ejemplo: x = 1, y = 9 ; x = 14 , y = 4 ; x = 2 , y = 12 ; x = 0.5 , y = 9.5 , etctera. De hecho hay una infinidad de valores que satisfacen esta tercera ecuacin, pero no todo par de valores la satisface; por ejemplo, para x = 1, y = 9.5 la igualdad no se cumple.

El conjunto solucin de una ecuacin puede ser finito o infinito. Recibe el nombre de ecuacin determinada la que tiene un nmero finito de soluciones. Es ecuacin indeterminada toda ecuacin con infinitas races, tal es el caso por ejemplo de:

x y = 2 algunas soluciones:x = 2 , y = 0 ; x = 3 , y = 1 ; ...

conjunto solucin :

conjunto solucin :

conjunto solucin :

Antes de continuar insistiremos en la necesidad de considerar el dominio de las variables o incgnitas para determinar el conjunto solucin de una ecuacin, sean por ejemplo las siguientes ecuaciones:

No tiene solucin en el conjunto de los nmeros naturales, en el conjunto de los nmeros enteros es la solucin.

Tiene como soluciones en , pero, en el conjunto de los nmeros naturales x = 4 es la solucin nica.

Tiene como soluciones x = 2 y x = 1 en , pero, en el conjunto de los nmeros naturales x = 1 es la nica solucin.

Tiene como soluciones en , pero, en el conjunto , x = 6 es la solucin nica y en el conjunto de los nmeros naturales no tiene solucin.

= x + 2Hay ecuaciones tales como:

= 5x 10=

que se verifican cualesquiera sean los valores numricos que se atribuyan a cada una de las variables o incgnitas, ellas reciben el nombre de identidades. Obsrvese que una identidad puede considerarse como un caso particular de ecuacin indeterminada.

En algunos casos es conveniente destacar que una igualdad es una identidad, se utiliza entonces, en sustitucin del signo de igual, el signo que se lee idntico a. As puede escribirse: a + b b + a ; x + y + z x + (y + z).

Ecuacin imposible es aquella que carece de solucin, sean por ejemplo:

x + 1 = x , = 3 , 7x 3 = 7x + 4

Hay que enfatizar que la clasificacin de determinada, indeterminada o imposible dada a una ecuacin es con respecto a un cierto dominio numrico, como se pudo apreciar en ejemplos anteriores. As, pues, el hecho de que una ecuacin sea o no resoluble, no depende slo de la ecuacin en s, esto depende tambin del dominio de las variables. En lo adelante, si no se hace referencia en las ecuaciones a un dominio para las variables, entonces debe considerarse como tal al conjunto de los nmeros reales.

1.2.1 Propiedades de la igualdad

Ya que una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones que contienen variables, es muy importante para la resolucin de ecuaciones precisar y recordar las siguientes propiedades fundamentales de la igualdad.

1. Si a + c = b + c , entonces a = b (Se resta c a ambos miembros)2. Si ac = bc y c 0 , entonces a = b (Se divide ambos miembros por c)Dos consecuencias importantes del principio de sustitucin son las reglas inversas de estas dos reglas, que son las leyes de cancelacin para la suma y la multiplicacin.

Estas propiedades de la igualdad junto a las propiedades bsicas de los nmeros reales estudiadas en Matemticas I se utilizarn a continuacin para resolver ecuaciones.

1.3 Ecuaciones lineales o de primer grado con una incgnita: conceptos, definiciones y proceso o algoritmo de resolucin

Toda ecuacin lineal o de primer grado con una incgnita es de la forma bsica o estndar:

O se puede reducir a esta forma aplicando transformaciones algebraicas.

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales o de primer grado con una incgnita:

a) b) c)

d) e) f)

As, de las ecuaciones anteriores las dos primeras estn en la forma bsica, mientras que las restantes no lo estn pero pueden reducirse a dicha forma, por lo cual todas son lineales o de primer grado con una incgnita.

Las soluciones de algunas ecuaciones lineales son inmediatas pero otras no. Por ejemplo en las ecuaciones de primer grado: y , resulta fcil determinar por simple inspeccin que la solucin de la primera ecuacin es , en tanto que resulta mucho ms complicado determinar en lo inmediato la solucin de la segunda ecuacin.

De donde, pues, es necesario disponer de principios y procedimientos para resolver una ecuacin cuya solucin no sea inmediata; con otras palabras, cmo debe procederse para saber si la ecuacin tiene o no soluciones y si las tiene, de qu manera pueden calcularse.

En este sentido, para comenzar la construccin y descubrimiento de dicho procedimiento o algoritmo de resolucin es necesario primero conceptualizar y definir las ecuaciones y transformaciones equivalentes. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir, si toda solucin de una de ellas lo es tambin de la otra y recprocamente.

Ejemplo de ecuaciones equivalentes lo son:

2x = 6 y 3 + x = 0

puesto que la nica solucin ( x = 3) de la primera ecuacin es tambin la nica solucin de la segunda; en cambio, ninguna de las ecuaciones anteriores es equivalente a:

porque esta ecuacin tiene, adems de la solucin comn x = 3 , la raz x = 3.

De hecho, como se estudiar en el prximo apartado, para resolver una ecuacin se efectan en sta sucesivas transformaciones hasta lograr una ecuacin equivalente y de solucin inmediata. Las transformaciones que conducen a ecuaciones equivalentes a las dadas, se llaman transformaciones equivalentes.

Son transformaciones equivalentes las siguientes:

1) Si se intercambian los miembros de una ecuacin dada, se obtiene una ecuacin equivalente.

Ejemplo: 7 = x + 3 (es equivalente a) x + 3 = 7

2) Si en una ecuacin se efectan las operaciones indicadas en cada uno de sus miembros, se obtiene una ecuacin equivalente.

Ejemplo: 3x + x = 2(x + 1) 4x = 2x + 2

As pues, si los miembros de una ecuacin a resolver no estn ambos en forma polinomial por tener operaciones indicadas o signos de agrupacin, se comienza por reducirlos a esta forma siguiendo el orden de las operaciones o el procedimiento para eliminar estos signos.

3) Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuacin un mismo nmero o una misma expresin algebraica entera (donde la variable no puede aparecer en un denominador), se obtiene una ecuacin equivalente.

Ejemplos: 7x + 4 = 2 x 7x + 4 + 9x = 2 x + 9x 16x + 4 = 2 + 8x

3x 10 = x 3x 10 + 10 = x + 10 3x = x + 10

5x = 16 + x 5x x = 16 + x x 4x = 16

2x + 5 = x 8 2x + 5 5 = x 8 5 2x = x 13

2x = x 13 2x x = x 13 x x = 13 Una consecuencia muy til de esta transformacin es la siguiente regla de transposicin de trminos:

Si en una ecuacin se suprime un trmino en uno de sus miembros y se suma al otro miembro el opuesto del trmino suprimido, se obtiene una ecuacin equivalente.

Esta regla ya nos permite resolver algunas ecuaciones de primer grado sencillas como la siguiente: 2x + 5 = x 8 .

Si se transpone o pasa 5 al segundo miembro, es decir, se suprime el trmino 5 en el primer miembro y se suma 5 al segundo miembro, se tiene la ecuacin equivalente:

2x + 5 = x 8 2x = x 8 5

y realizando las operaciones indicadas en el segundo miembro se obtiene:

2x = x 13

Y si ahora se transpone o pasa x al primer miembro, es decir, se suprime el trmino x en el segundo miembro y se suma x al primer miembro, se tiene la ecuacin equivalente:

2x x = 13

Y realizando las operaciones en el primer miembro se obtiene finalmente la ecuacin equivalente que muestra la solucin o raz de la ecuacin original:

x = 13

Una consecuencia de lo anterior es que: si en una ecuacin se suprime un mismo trmino en ambos miembros se obtiene una ecuacin equivalente. As, por ejemplo, son equivalentes:

2x 8= 3 (x + 1) 8y 2x= 3 (x + 1) 4 (x + 2) 3 + 2x= 2 (x 3) + 2x 5y 4 (x + 2) 3= 2 (x 3) 5

4) Si en una ecuacin se multiplican o dividen ambos miembros por un mismo nmero diferente de cero, se obtiene una ecuacin equivalente.

As en la ecuacin 3x = x + 2 al multiplicar o dividir sus miembros por 3 se obtienen respectivamente las ecuaciones equivalentes:

3x = x + 2 9x = 3x + 6

Es importante destacar la siguiente consecuencia de esta transformacin que constituye la llamada regla de transposicin de factores o divisores:

Si en una ecuacin se suprime un nmero que es factor (o divisor) de todo un miembro, y se divide (o multiplica) al otro miembro por el nmero suprimido, se obtiene una ecuacin equivalente.As, por ejemplo, son equivalentes:

= x + 3 2x + 1= 4(x + 3) 2x +1= 4x + 12

3(x + 7) = 9x + 21 = =

Por qu en la ecuacin es incorrecto trasponer el divisor 2 de esta manera: x + 1 = (3) (2) ? y Cul es la manera correcta de hacerse? ___________.

Cuando los trminos de una ecuacin a resolver tienen divisores, suele ser prctico como primer paso a dar, eliminar o suprimir dichos divisores, es decir, encontrar una ecuacin equivalente cuyos trminos carezcan de divisores. Para ello se multiplican ambos miembros de la ecuacin por un mltiplo comn (el ms conveniente es el m.c.m) de los divisores de los trminos.

Por ejemplo, en la ecuacin se multiplica por 18 (m.c.m de 9 y 6) y se obtiene la ecuacin equivalente sin denominadores: 2x 18 = 15.

En resumen: Resolver una ecuacin es llevarla paso a paso, aplicando transformaciones equivalentes, hasta la forma x = c , cuando esto ocurre se dice que se ha despejado la incgnita y c es la solucin de la ecuacin. De modo que, despejar la incgnita y resolver la ecuacin son expresiones equivalentes. Por ltimo, se recomienda siempre realizar la comprobacin de las soluciones obtenidas.

Con las transformaciones equivalentes y las reglas de transposicin de trminos estamos ahora en condiciones de resolver ecuaciones de primer grado aplicando convenientemente en forma sucesiva dichas transformaciones equivalentes.

A continuacin resolveremos algunas ecuaciones en las que habr que aplicarse los procedimientos algebraicos estudiados y que conducen a ecuaciones lineales o de primer grado con una incgnita.

Ejemplo 1. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Se resta 6 en ambos trminos de la ecuacin (lo cual es equivalente a transponer el 6 al segundo miembro de la ecuacin)

+ 6 6

o tambin como:

Ejemplo 2. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Se suma 2 en ambos trminos de la ecuacin (lo cual es equivalente a transponer el 2 al segundo miembro de la ecuacin)

2 + 2

o tambin como:

Ejemplo 3. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Primero se suma 2 en ambos trminos de la ecuacin y despus se dividen entre 3 los trminos de la ecuacin equivalente que resulta.

Por transposicin de trminos el proceso sera:

2 + 2

3 3

Ejemplo 4. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Primero se suma 2 en ambos trminos de la ecuacin y despus se multiplican por 3 los trminos de la ecuacin equivalente que resulta.

Por transposicin de trminos el proceso sera:

2 + 2

3 3Otra forma de resolver esta ecuacin sera: primero multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el m.c.m de los denominadores, que es 3, y despus transponer el trmino numrico que resulta en el miembro izquierdo:

Ejemplo 5. Resolver la ecuacin: x(x + 2) + 5 = (x + 7)(x 3).Resolucin:

Para resolver esta ecuacin se efectan primeramente las multiplicaciones indicadas en cada miembro:

Despus se suprimen los trminos que estn en cada miembro:

2x + 5 = 4x 21

Ahora se traspone el trmino 5 al segundo miembro y el trmino 4x al primer miembro (as la variable aparece slo en el primer miembro de la ecuacin):

2x 4x = 21 5 (enseguida se reducen los trminos semejantes)

2x = 26 (enseguida se traspasa el factor 2)

x = (finalmente se calcula el cociente)

x = 13 (y se obtiene la posible solucin)

Nota: En los ejemplos anteriores no se ha comprobado que las soluciones obtenidas sean las correctas, sin embargo, para estar seguros de que la solucin obtenida es la correcta se puede hacer la comprobacin. Para esto se sustituye el valor de x en ambos miembros de la ecuacin original y se realizan las operaciones indicadas para ver si coinciden los valores numricos de ambos miembros, en caso afirmativo el valor de x encontrado ser la solucin de la ecuacin. Para este ejemplo la comprobacin ser:

M.I. : 13 (13+ 2) + 5 = (13) (15) + 5 = 195 + 5 = 200M.D. : (13 + 7)(13 3) = (20) (10) = 200

Por tanto, como M.I. = M.D. , entonces, x = 13 es la solucin.

Ejemplo 6. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Se eliminan los parntesis aplicando el procedimiento estudiado, obtenemos: 9x 5x + 2 x = 8 + 4 2x 3x + 2 = 12 2x

3x + 2x = 12 2 5x = 10 x = 10 / 5 x = 2 Comprobacin:

la solucin es: x = 2 M.I.: (9)(2) [(5)(2) 2] 2 = 18 8 2 = 8M.D.: 8 + [4 (2)(2)] = 8 + 0 = 8

Ejemplo 7. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Primero hay que calcular el producto indicado:

=

= 7x + 9= 10x 7x + 10x= 9 3x= 9 x= 3

Comprobacin: M.I. = M.D.

=

=

x = 3 = 48 = 48

Ejemplo 8. Resolver la ecuacin: .Resolucin: Primero se eliminan los signos de agrupacin y luego se resuelve la ecuacin resultante.

= 7x Comprobacin:

= M.I. = M.D.

=7x =7(1) x 7x= 6 = 7

6x = 6= 7

x = 1 x= 13 4= 7 7= 7

En resumen:

Una ecuacin de primer grado con una incgnita es una ecuacinque puede ser reducida a la forma o modelo: (a , b ; a 0)y cuya solucin nica es: .

Actividades de aprendizaje

A1) Resuelve las ecuaciones siguientes, y comprueba la solucin:a) 2x (1 6x) = 15b) 9 (2m 3 ) = 20 4mc) n + (n + 7) = 27 2nd) 7p + (7 p) (p + 22) = 0e) 4 + (y + 3) = 2y (5y 27)f) 2w 8 = 3(w 2) + w g) 8(v +7) 2v = 5v (3v 4)h) 6(r +10) + 3(2r 7) = 45i) 8t +4(t 2) = 2 6 (2t + 9)j) (x + 5)(x 1) =

A2) Resuelve, o despeja la incgnita en, las ecuaciones siguientes:

1.3.1 Aplicacin de las ecuaciones lineales a la resolucin de problemas

En este apartado se vern problemas cuyo planteo y resolucin conducen a ecuaciones de primer grado con una incgnita. La resolucin de estos problemas no siempre es fcil y se requiere, por ende, de mucha prctica y, sobre todo, de actitudes positivas respecto a los problemas, adems de conocimientos y competencias en el uso de estrategias generales y particulares de resolucin.

Con relacin a las actitudes positivas requeridas para enfrentar y aprender eficazmente la resolucin de problemas matemticos en particular, y de la vida en general, te recomendamos una prctica escolar cotidiana tal como la sugiere la lectura del poema NO DESISTAS, del escritor ingles Rudyard Kipling. Recuerda siempre que la actitud con que enfrentas la resolucin de un problema juega un papel importante en los resultados que obtengas.

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Por ejemplo, si tienes curiosidad, disposicin de aprender, gusto por los desafos, confianza en ti mismo, eres paciente y constante, ests ansioso por resolverlo y, adems, tus condiciones fsicas o de salud son las ptimas, es casi seguro que tendrs xito en su resolucin, en cambio, si estas en una situacin contraria a todo lo anterior, lo ms probable es que fracases. La mayora de los problemas matemticos escolares que enfrentars en este curso, y en los siguientes, no requieren de muchos conocimientos para su resolucin. Sin embargo, s requieren de saber y poder razonar correctamente, adems de tranquilidad, confianza y , sobretodo, constancia en la accin. As pues, si en el proceso de resolucin te quedas atorado en algn momento no abandones inmediatamente el problema (no desistas como dice el poema cada problema requiere su tiempo y tal vez la solucin ya casi est a tu alcance). Sin embargo, si ya has evaluado y valorado que el plan de resolucin del problema no te lleva por buen camino, concntrate ms en lo que estas haciendo y piensa en una nueva estrategia o en un nuevo planteamiento o enfoque de resolucin del problema. Como ya te habrs dado cuenta, aprender a resolver problemas es una actividad mental compleja que demanda de todas nuestras facultades mentales y fsicas. En general, este proceso de aprendizaje es lento al principio, pero en la medida que se desarrolla y empieza a dar sus frutos proporciona grandes habilidades y satisfacciones que te ayudarn a pensar mejor, y a ser mejor estudiante y persona.

Aun cuando no existen reglas que aseguren el xito en la solucin de problemas, ni tampoco existe un camino nico para resolverlos, el siguiente Plan Heurstico General de Resolucin de Problemas de George Polya (1887-1985), te proporciona un plan de accin compuesto por una serie de etapas metodolgicas generales cuyas sugerencias de seguro te sern tiles en la formulacin y resolucin de los mismos:

ETAPA 1. Comprende el problema: Lee una o varias veces el enunciado del problema, hasta estar seguro de haber comprendido en qu consiste, o sea, hasta que tengas claro cuales son los datos, las incgnitas o las preguntas y las condicionantes de solucin. Para lograr esto y poder enfrentar con altas posibilidades de xito el problema es imprescindible que identifiques y discrimines bien la informacin relevante de la irrelevante.

ETAPA 2. Elabora un plan de accin: Una vez comprendido bien el problema y teniendo identificados los datos, las incgnitas y las condiciones, ha llegado el momento de seleccionar o elaborar una estrategia que consideres adecuada para resolverlo. Para un buen plan de accin necesitas conocer y practicar con un arsenal de estrategias, algunas de las cuales se presentan a continuacin:E1) Buscar semejanzas con otros problemas que hayas resuelto anteriormente E2) Hacer un dibujo o un esquema que muestre lo ms relevante E3) Incorporar alguna incgnita o un trazo auxiliar E4) Elegir una buena notacin que te facilite establecer las relaciones y realizar los clculos E5) Trabajar mediante ensayo y error E6) Reducir lo complicado a lo simple E7) Considerar casos particulares del problema E8) Estudiar todos los casos posibles E9) Aprovechar las simetras E10) Trabajar hacia atrs o de lo desconocido a lo conocido E11) Trabajar mediante razonamiento indirecto o por reduccin al absurdo E12) Usar tcnicas generales, como el principio de Induccin Matemtica o el Principio del Palomar (si quieres repartir n palomas en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos palomas)

ETAPA 3. Desarrolla el plan de accin: Ya que tienes el plan de accin ahora tienes que llevarlo a cabo. Trabaja la estrategia con decisin y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas para nada a la solucin, revisa tus ideas y los clculos realizados hasta este momento, y si es necesario vuelve al paso anterior e intenta con una nueva estrategia, regularmente no se acierta al primer intento. Ya que tengas resultados o soluciones plausibles revsalos crticamente y mediante estimaciones breves cercirate de que has llegado a soluciones congruentes con el enunciado del problema.

ETAPA 4. Verifica las soluciones, redacta las respuestas a las preguntas formuladas y, finalmente, reflexiona retrospectivamente y autocrticamente sobre todo el proceso: Si has resuelto ya el problema..? Felicidades! Sin embargo, verifica o comprueba bien de que has llegado a la solucin correcta. No son pocas las veces que creemos haber resuelto un problema y luego nos damos cuenta de que estamos equivocados. Ya con las soluciones correctas, esfurzate por redactar las respuestas a las preguntas, y de todo el proceso de resolucin, de forma clara y ordenada, tal que pueda ser comprendida con facilidad por tu maestro(a) o compaero(a)s. Por otro lado, si has pasado un largo rato intentndolo con ganas y sumo inters, y has acabado por no resolverlo, tambin en este caso Felicidades! A veces se aprende mucho ms de los problemas no resueltos, que de los que se resuelven fcilmente. Descansar acaso debas Ya despus seguro que lo intentars de nuevo. Tambin en este caso, hacer una redaccin describiendo el proceso que has seguido te ayudar a mejorar. Por ltimo, antes de abandonar el problema, scale el mximo provecho al proceso de aprendizaje qu has vivido, y que tanto te ha costado. Para ello has una reflexin metacognitiva y un anlisis retrospectivo global sobre los aciertos y errores.Una buena estrategia es que te formules y contestes preguntas como las siguientes: Cmo he llegado a la solucin? Por qu funcion la estrategia? Qu me hizo seleccionar la estrategia correcta?Se puede resolver de otro modo ms directo y sencillo? O, por qu no he llegado a la solucin? Si empec bien al principio, dnde y por qu me equivoqu? Por qu no pens en esta otra estrategia? Qu es lo que me oriento al escoger la estrategia equivocada? La reflexin crtica repetida en torno a estos cuestionamientos te permitir revisar el proceso de resolucin del problema desde un principio tratando de comprender bien no slo qu funciona y por qu funciona, sino tambin, lo que no funciona. Adems, te familiarizara conscientemente con el mtodo o estrategia de resolucin, a fin de que puedas utilizarlo en problemas anlogos futuros. Y tambin, esto es lo ms importante, tomars conciencia sobre tus propios procesos de pensamiento y estilo de aprendizaje, as como de tus gustos, potencialidades y limitaciones lo que redundara en el futuro en un mayor autoconocimiento y desarrollo personal e intelectual.

A continuacin ilustramos con un problema particular la aplicacin de algunas de las ideas anteriores.

Problema (ilustrativo) 1:

Para cercar un terreno rectangular con tres vueltas de alambre se utilizan 1530 metros. Determinar la superficie del terreno, si se sabe que el largo mide el doble que el ancho.Proceso de resolucin:Fase 1. Comprender el problema: despus de hacer una lectura de comprensin del problema, es claro que la incgnita principal es la superficie o rea del terreno mientras que los datos son: el triple del permetro del terreno, o sea 1530 metros, y adems de que el largo del terreno es igual al doble del ancho. Podemos visualizar o representar grficamente la situacin planteada con el siguiente dibujo o esquema:

Fase 2. Elaborar un plan de resolucin o accin: Esto implica definir la o las incgnitas. Por ejemplo: si llamamos "x" al ancho del terreno, y como el largo mide el doble que el ancho, entonces el largo debe quedar determinado por "2x". Tambin implica llegar a determinar cul o cules son las relaciones y operaciones matemticas y la estrategia necesaria para resolver el problema. La estrategia en este caso es simple y directa: usaremos la frmula para calcular el permetro del rectngulo en funcin de sus lados de tal manera que, con el dato y las incgnitas sustituidas en ella, obtengamos de ah la ecuacin que nos relacione los datos con las incgnitas. Posteriormente resolvemos la ecuacin para conocer las incgnitas secundarias (lado y ancho) de donde calcularemos la superficie del terreno.Fase 3. Desarrollar el plan: esto es, relacionar los datos (del permetro) y las incgnitas en torno a la frmula del permetro para plantear la ecuacin resultante, as como, realizar las operaciones necesarias para resolverla. En este caso: Una vuelta de alambre equivale a un permetro del rectngulo y resulta de sumar dos anchos (x) y dos largos (2x), o sea: Permetro: x + x + 2x + 2x = 6x Por lo tanto tres vueltas de alambre equivalen a : (3) (6x) = 18x Y esta longitud total de alambre, 18x, equivale al dato dado en el problema, o sea: 18x = 1530 m, de donde: x = 1530 / 18 = 85 m. Fase 4. Verificar los resultados, dar respuesta a la pregunta y reflexionar sobre el proceso de resolucin: Recordemos que "x" representa el ancho del terreno, y 2x el largo, por lo tanto las dimensiones del terreno seran "85 metros de ancho y 170 metros de largo", ya que (comprobacin): (3)[(2)(85)+(2)(170)]=1530. Se concluye que el valor x = 85 es correcto.Por tanto, ya que la pregunta del problema es sobre la extensin de la superficie del terreno, con las dimensiones ya determinadas la calculamos: Superficie o rea del terreno = (85 m) ( 170 m) = 14, 450 m2

Finalmente, algunas reflexiones del proceso de resolucin: en realidad este problema fue relativamente sencillo de resolver y se lleg pronto y en forma directa a la solucin, sin embargo, no hay que olvidar que regularmente no sucede as. Por lo cual sera bueno que te formularas y respondieras preguntas como las siguientes: Cmo se lleg a la solucin? Por qu funcion la estrategia?Se podr resolver de otro modo ms directo y sencillo utilizando otra estrategia?

Nota: en los problemas resueltos siguientes las diversas etapas del proceso de resolucin estn de forma implcita, por lo que sera bueno que hicieras el esfuerzo de explicitarlas en la medida que vas siguiendo dicho proceso.

Problema 2: Un automvil parti desde Culiacn (205 km. al norte de Mazatln) hacia Los Mochis, con una velocidad promedio de 80 km / h. Determina: (a) La ecuacin general de su desplazamiento, (b) A qu distancia de Mazatln se encuentra luego de una hora y media de viaje? y (c) Cunto tiempo demora en llegar a Los Mochis, ciudad que se encuentra a 415 km. de Mazatln?Resolucin:(a) De la fsica y geometra del problema consideramos que se trata de un movimientorectilneo uniforme donde la distancia oposicin final d (respecto a Mazatln) en que d0 v0 t se encuentra el automvil despus de d desplazarse durante un tiempo t, partiendo de una posicin d0 ( = 205) y con una velocidad (o rapidez) promedio v0 ( = 80) viene dada en general por la ecuacin: d = d0 + v0 t . Por tanto, la ecuacin general de movimiento es: d = 205 + 80 t (b) Por tanto, despus de hora y media de viaje est a: d = 205 + (80) (1.5) = 325 km. de Mazatln. (Respuesta)(c) Cuando llega a Los Mochis d = 415, por tanto, 415 = 205 + 80 t ; de donde, el tiempo transcurrido fue de: t = (415-205) / 80 = 2.625 horas de viaje. (Respuesta)

Problema 3. Un autobs sale de una ciudad A para otra ciudad B con una velocidad promedio de 80 km/h. Una hora despus sale otro autobs de la misma ciudad A y en la misma direccin y destino que el anterior, con una velocidad promedio de 90 km/h. Dentro de cunto tiempo y a qu distancia de la ciudad A alcanzar el segundo autobs al primero?

Resolucin:

Tiempo (en horas) para el alcance: t

Distancia recorrida por el primer autobs en t horas: d = 80t

Distancia recorrida por el segundo autobs en t horas: d= 90tCuando sali el segundo autobs (una hora despus), el primero le llevaba 80 km de ventaja. Por tanto el planteamiento y resolucin de la ecuacin es:

d= 80 + d 90t = 80 + 80t 10t = 80 t = 8Comprobacin: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720

Respuesta: El alcance ser 8 horas despus de la salida del segundo autobs, y ser a una distancia de 720 km de la ciudad A.

Problema 4. El Sr. Martnez compr un automvil de agencia en $146,000.00. Si dicho costo incluye un 14.5 % de impuesto, Cul era el precio del automvil sin agregar el impuesto? Resolucin:Sea P el precio del automvil sin el impuesto e i el impuesto, por tanto:

P + i = $ 146, 000.00 P + (P)(0.145) = 146 000

1.145P = 146 000

P = 146 000 / 1.145 = 127 510.9Respuesta: El precio del automvil sin agregar el impuesto es $ 127,510.90.

Problema 5. Encontrar tres enteros consecutivos tales que su suma sea 72.Resolucin:Sean a , b , c enteros tales que a+b+c = 72Los designamos por: a=x , b=x+1, c=x+2Planteamiento de la ecuacin: x + (x+1) + (x+2) = 72Solucin de la ecuacin: x + x + 1 + x + 2 = 72 3x = 69 x = 69/3 = 23 Luego: a = 23 b = 23 + 1 = 24 c = 23 + 2 = 25Comprobacin: 23 + 24 + 25 = 7272 = 72Respuesta: Los nmeros buscados son 23 , 24 y 25.Problema 6. Encontrar 3 nmeros enteros consecutivos impares tales que su suma sea 69.Resolucin:Sean a , b , c enteros impares tales que: a + b + c = 69Los designamos por: a = x , b = x + 2 , c = x + 4Planteamiento de la ecuacin: x + (x+2) + (x+4) = 69Solucin de la ecuacin: x + x + 2 + x + 4 = 69 3x + 6 = 69 x = (69 -6 ) / 3 x = 21Luego: a = x = 21 , b = 21 + 2 = 23 , c = 21 + 4 = 25Comprobacin: 21 + 23 + 25 = 69Respuesta: Los nmeros son 21 , 23 y 25.

Problema 7. Cul es el nmero que, al aumentar en 20, se triplica?Resolucin: Nmero pedido: xEl nmero aumentado en 20: x + 20El triple del nmero pedido: 3xPlanteamiento de la ecuacin: x + 20 = 3x

Solucin de la ecuacin: 20 = 2x 20 / 2 = x 10 = x x = 10 Comprobacin:10 + 20 = 3(10)30 = 30Respuesta: El nmero es 10

Problema 8. Cmo se pagara una deuda de $700 con 52 monedas, unas de $20 y otras de $10?Resolucin:Nmero de monedas de $20 : xNmero de monedas de $10 : 52 xValor de las monedas de $20 : 20xValor de las monedas de $10 : 10(52-x)Planteamiento y resolucin de la ecuacin: 20x + 10(52-x) = 700

20x + 520 10x = 700 10x = 180 x = 180/10 = 18Comprobacin: 20(18) + 10(52 18) = 360 + 340 = 700Respuesta: La deuda se pagara con 18 monedas de $20 y 34 monedas de $10.

Actividades de aprendizaje

Resolver los siguientes problemas que conducen al planteo y resolucin de ecuaciones de primer grado con una incgnita.

A1) Las calificaciones parciales de una alumna de Matemticas II, en una escala del 0 al 100, son 78, 92, 85 y 80. Con un excelente resultado en su quinto examen parcial tendr posibilidades de obtener un promedio de 90?

A2) Una persona destin una tercera parte de su salario mensual para comprar alimentos y la mitad del salario para diversos pagos; si le quedaron $500.00 para ahorrar, Cunto gana mensualmente?A3) Repartir $3000.00 entre Arturo, Vernica y Carlos, de tal manera que la parte de Vernica sea el doble que la de Arturo, y la de Carlos sea el triple de la de Arturo. Cunto le corresponde a cada uno?

A4) La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan es el triple de la de Enrique, y la de Eugenio es el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 aos. Qu edad tiene cada uno?

A5) Un camin de volteo carga siempre 2 toneladas ms de su capacidad normal y en 36 viajes acarrea 252 toneladas de arena. Cul es su capacidad normal?

A6) Un comerciante dice: Si lograra duplicar mi dinero y pagara $5,200.00 que debo, me quedaran $8,000.00. Cunto dinero tiene el comerciante?A7) La renta producida por dos casas en un ao fue de $157,000.00. Cul es la renta mensual de cada una, si entre s difieren en $2,500.00 y la de renta ms alta estuvo desocupada 2 meses?

A8) Calcular los tres ngulos de un tringulo, sabiendo que el primero es el doble del segundo, y el tercero mide 12 ms que el segundo. Cunto mide cada ngulo?

A9) Un obrero tena $20.00. Despus de cobrar una semana (siete das) de trabajo, gasta 2/3 de su haber; pero diez das despus vuelve a recibir su salario y posee $426.00. Cunto gana ese obrero diariamente?

A10) El nmero de graduados de una preparatoria durante tres aos consecutivos fue de 420 alumnos. En el segundo ao se graduaron 40 alumnos ms que en el primer ao y en el tercer ao tantos alumnos como los dos aos anteriores. Cuntos alumnos se graduaron cada ao?

A11) Un hacendado ha comprado doble nmero de pollos que de patos. Por cada pollo pag $70.00 y por cada pato $85.00. Si el importe de la compra fue de $2,700.00. Cuntos pollos y cuntos patos compr?

A12) Un capataz contrata un obrero por 50 das pagndole $3,000.00 por cada da de trabajo con la condicin de que por cada da que el obrero deje de asistir al trabajo perder $2,000.00 . Al cabo de los 50 das, el obrero recibe $90,000.00 . Cuntos das trabaj y cuntos das no trabaj?

A13) Una torre de perforacin en el Golfo de Mxico se coloca de manera que un quinto de su altura est en arena, 20 pies estn en el agua y 2 tercios en el aire. Cul es la altura total de la torre?

A14) Un galgo persigue a una liebre que est a 60 metros de distancia. Si el galgo recorre 6 m/seg y la liebre 4 m/seg, y suponiendo que ambos animales se mueven sobre una misma trayectoria recta, Cunto tardar el galgo en alcanzar a la liebre?

A15) Dos jvenes (A y B) parten al mismo tiempo de dos poblaciones distintas caminando el uno hacia el otro. Si B camina 1 km/h ms aprisa que A, entonces se encuentran al cabo de 6 horas. Si la velocidad de A aumenta hasta igualarse con la de B (la velocidad de B permanece constante), entonces se encuentran al cabo de 5 horas. Calcular la distancia entre las dos poblaciones.

A16) Una persona cerc un terreno rectangular de 60 metros de frente y 400 metros de permetro a un costo de $37,200.00. Si el costo de la cerca de frente fue $20.00 mayor por metro que el costo de los otros tres lados, Cul es el precio por metro en cada caso?

A17) La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m. Si la longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m el rea se disminuye en 150 m2. Hallar las dimensiones del rectngulo.

A18) Cuntos gramos de sal tenemos que agregar a 57 gramos de agua para obtener una solucin con el 5% de sal?

A19) Una tienda que est liquidando sus mercancas anuncia que todos los precios fueron rebajados en un 30%. Si el precio de un artculo es de $186.00. Cul era su precio antes de la liquidacin?

A20) Cul es el precio que un vendedor debe poner a un artculo que a l le cuesta $1,200.00, para poder ofrecerlo con un descuento del 20% sobre el precio sealado y, todava ganar en la operacin un 25% sobre el precio de venta?

1.3.2 Ecuaciones fraccionarias reductibles a ecuaciones lineales

En este apartado se resolvern ecuaciones que contienen fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellas); a estas ecuaciones se les llaman ecuaciones fraccionarias. Se trata del caso de ecuaciones fraccionarias que conducen a ecuaciones lineales o de primer grado.

Por ejemplo, la ecuacin: es fraccionaria.

En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformndolas en ecuaciones enteras, para lo que es necesario eliminar los denominadores.

Para eliminar los denominadores en una ecuacin fraccionaria se procede de la manera siguiente:

Se halla el mcm de los denominadores.Se multiplican ambos miembros de la ecuacin por el mcm de los denominadores.

Ejemplo 1. Resolver la ecuacin: ;

Resolucin: Como el mcm de los denominadores es 3x, se multiplican ambos miembros de la ecuacin por 3x, de donde resulta la siguiente ecuacin entera:

Ahora bien, la operacin que hemos efectuado de multiplicar ambos miembros por elmcm de los denominadores, equivale a dividir el mcm de los denominadores porcada denominador y multiplicar cada cociente por el numerador respectivo. As, en laecuacin anterior resulta:

Por tanto, multiplicando los numeradores por los factores de ampliacin:

Nota: Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuacin fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuacin equivalente a la dada, siempre que la solucin obtenida no anule algn denominador de la ecuacin original.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuacin siguiente: .

Resolucin: Desde un inicio suponemos x 1, puesto que anula un denominador. El mcm de los denominadores es 5(x + 1). Dividiendo el mcm 5(x + 1) por cada denominador y multiplicando los numeradores por los factores de ampliacin, resulta:

=

Resolviendo esta ecuacin tenemos que:

5x 15= 3x + 3 5x 3x= 15 + 3 2x= 18 x= 9Comprobacin:

Luego: x = 9

Ejemplo 3. Resolver la ecuacin: .

Resolucin: El mcm de los denominadores es 6x y adems x 0.

= 12 + x= 15 x= 15 2 = 3

Luego: x = 3Comprobacin: (M.I.) = (M.D.)

=

Ejemplo 4. Resolver la ecuacin : .

Resolucin: Como , luego el mcm es: . Al suprimir los denominadores resulta:

= 16

= 16 4x= 16 8 4x= 8 x= 2

Como puedes observar, el valor x = 2 es solucin de la ecuacin transformada 4(x + 2) = 16. Sin embargo, la ecuacin original no tiene sentido para x = 2 y x = -2 ya que al sustituir por estos valores se anulan los denominadores y la divisin por cero no est definida.

En este caso, al suprimir los denominadores decimos que se ha introducido una raz extraa, es decir, un valor que es solucin de la ecuacin transformada, pero que no lo es de la ecuacin original. Luego, la ecuacin original y la transformada no son equivalentes. Por tanto, la ecuacin original es imposible ya que no tiene solucin.

Ejemplo 5. Resolver la ecuacin: .

Resolucin: Factorizando el trinomio , luego el mcm es ; adems x 1, x 6. Al suprimir los denominadores resulta:

= 5x

= 5x 7x 5x= 18 + 4 2x= 22 x= 11

x =11Al comprobar en la ecuacin original obtenemos: M.I. = M.D. = verifquelo!Luego:

Nota: Para tener certeza de que una ecuacin est correctamente resuelta ya se dijo que debe siempre realizarse la comprobacin de la solucin hallada en la ecuacin original, esto es an ms importante en las ecuaciones fraccionarias, donde la ecuacin transformada corre mayor riesgo que en otros casos de no ser equivalente a la ecuacin original.

1.3.3 Aplicaciones de las ecuaciones fraccionarias

Ejemplo 1. Un obrero puede hacer un trabajo en 3 das, mientras que otro obrero puede hacer el mismo trabajo en 5 das. En qu tiempo lo harn trabajando conjuntamente? (Entindase das como jornadas de trabajo diarias).

Resolucin: Designemos a los dos obreros con A y B, respectivamente y consideremos como x la cantidad de das que demoran en hacer el trabajo conjuntamente. Entonces:

Das que demoran enParte del trabajo que hacenhacer el trabajoen un daA :31/3B :51/5A y Bx1/xPuesto que la parte que hace el obrero A en un da ms la parte que hace el obrero B en un da es igual a la parte del trabajo que hacen ambos en un da, resulta la ecuacin:

1/3 + 1/5 = 1/xSuprimiendo los denominadores se tiene: 5x + 3x = 15

8x = 15 x= 15/8 (das trabajando en conjunto)

Comprobacin: sumando las partes del trabajo que hacen en un da cada uno por separado se tiene: 1/3 + 1/5 = 8/15. Mientras que la parte del trabajo que hacen en un da conjuntamente es: . Ya que son iguales los resultados, se concluye que el trabajo lo terminarn conjuntamente en: 1 da, ms 7/8 de otro da. Ejemplo 2. La velocidad de la corriente de un ro es 3 km/h. Un bote tarda el mismo tiempo en navegar 8 km a favor de la corriente que en navegar 5 km en contra de la corriente. Cul es la velocidad del bote en agua tranquila?

Resolucin: Suponiendo que el bote navega con movimiento uniforme, podemos trabajar con la relacin ya conocida v = d / t. Por tanto, si designamos con x la velocidad del bote en agua tranquila, entonces cuando navega a favor de la corriente (ro abajo) la velocidad es x+3 y en contra de la corriente (ro arriba) es x-3. De donde:

DistanciaVelocidadTiempoRo abajo: 8 x+3 8 / (x+3)Ro arriba: 5 x-3 5 / (x-3)Puesto que el bote tarda el mismo tiempo en navegar 8 km ro abajo que en navegar 5 km ro arriba, se obtiene la ecuacin: 8/(x+3) = 5/(x-3)

Suprimiendo los denominadores, resulta:8(x-3) = 5(x+3)8x-24 = 5x + 158x-5x = 24 + 15 3x = 39 x = 13Comprobacin: Navegando ro abajo el bote demora 8/(13+3) = 1/2 hora. Navegando ro arriba el bote demora 5/(13-3) = 1/2 hora .

Por tanto (Respuesta): La velocidad del bote en agua tranquila es de 13 km/h .

Ejemplo 3. El denominador de una fraccin es 4 unidades mayor que el numerador. Si a cada trmino de la fraccin se le agregan 5, la fraccin resultante es equivalente a 2/3 . Cul es la fraccin original?

Resolucin: Si representamos por x el numerador de la fraccin original, el denominador se podr representar por x+4 . Si agregamos 5 unidades a cada uno, el nuevo numerador ser x+5 y el nuevo denominador, x+9 . Es decir:

Fraccin originalFraccin modificadaNumerador: xx + 5Denominador:x + 4 (x + 4) + 5 = x + 9

Como la fraccin resultante es equivalente a 2/3, resulta la ecuacin:

=x + 5 2 x + 9 3

Suprimiendo denominadores en la ecuacin fraccionaria anterior, se obtiene: 3(x+5) = 2(x+9) 3x+15 = 2x+18 3x-2x = 18-15 x = 3

Por tanto, el numerador de la fraccin original es 3 y el denominador 3+4=7.

Comprobacin: sumando 5 al numerador y al denominador de la fraccin 3/7 se tiene que: . Por tanto, la fraccin original es 3/7.Actividades de aprendizaje

A1) Resuelve las ecuaciones siguientes, y comprueba la solucin:

a) =b) =

c) = d) =

e) = 1 f) =

g) =h) =

i) =j) =

A2) Determina el valor de la variable que satisface las ecuaciones siguientes:

a)b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

A3) Dos bombas trabajan simultneamente para llenar un estanque. La primera bomba trabajando sola, lo llenara en 100 minutos; la segunda bomba en 5/2 horas. En cunto tiempo lo llenan trabajando juntas?

A4) Cierto trabajo puede ser efectuado por Aarn en 4 das, y por Arturo en 6 das. Cunto tiempo necesitarn para hacer todo el trabajo juntos?

A5) Una llave puede llenar un tanque en 2 horas, una segunda llave puede llenarlo en 3 horas, y otra llave puede vaciarlo en 6 horas. Si el tanque est inicialmente vaco y se abren simultneamente las tres llaves. Cunto tiempo se necesitar para llenar el tanque?

A6) Aarn tard en manejar 48 kilmetros el mismo tiempo que le llev volar 620. La velocidad media del avin fue de 20 km/h, menos que 13 veces la velocidad del automvil. Cul fue la velocidad media del avin?

A7) La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m. Si la longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m el rea se disminuye en 150 m2 . Hallar las dimensiones del rectngulo.

1.4 Ecuaciones literales lineales y despejes de frmulas

Despeje en frmulas

Como ya sabes una frmula no es ms que una igualdad entre expresiones algebraicas que expresan algn principio, regla o resultado general de ndole matemtico, fsico o relativo a cualquier otra ciencia.

Desde grados anteriores ya has trabajado con frmulas, ya sea en Matemticas o en otras asignaturas como la Fsica. Por ejemplo, ya conoces frmulas como las siguientes:

FRMULAS DE REAS Y VOLMENES

cuadradoA = a2tringuloA = B h / 2

rectnguloA = B hromboideA = B h

romboA = D d / 2trapecioA = (B + b) h / 2

polgono regularA = P a / 2 crculoA = R2P = 2 R

corona circularA = (R2 r2)sector circularA = R2 n / 360

cuboA = 6 a2V = a3cilindroA = 2 R (h + R)V = R2 h

ortoedroA = 2 (ab + ac + bc)V = a b cconoA = R2 (h + g) V = R2 h / 3

tetraedro regularA = a2 3V = a2 2 / 12esferaA = 4 R2V = 4 R3 / 3

En la prctica, se presenta muchas veces la necesidad de despejar un elemento particular en una frmula dada para determinar su valor. Ahora bien, toda frmula constituye una ecuacin. Luego, despejar una variable en una frmula no es ms que resolver una ecuacin donde la incgnita es la variable que se va a despejar.

Ejemplo 1. Calcular la altura (h) de un cono de radio en su base de 3cm y cuyo volumen es de 340 cm.

Resolucin: De la tabla anterior se observa que el volumen del cono puede ser calculado con la frmula: V = R2 h / 3. Por tanto, para poder calcular la altura del cono primeramente se tiene que despejar sta de la frmula anterior. Para hacerlo consideramos dicha frmula como una ecuacin lineal donde la incgnita es precisamente la altura h. O sea:

Ejemplo 2. Se sabe que la pendiente de una recta que pasa por los puntos y es igual a 2. Qu valor tiene la ordenada ?

Resolucin: Primeramente hay que despejar la ordenada de la frmula de la pendiente, y posteriormente sustituir los datos en la frmula despejada y finalmente realizar los clculos correspondientes. O sea:

Ejemplo 3. El primer trmino de una progresin aritmtica es 0.8, la diferencia 0.3 y el ensimo trmino es 3.8, hallar el nmero n de trminos.

Resolucin: Del curso de Matemticas I sabes que el ensimo trmino de una progresin aritmtica est determinado por la frmula:. Por tanto, considerando la frmula como una ecuacin lineal con incgnita n, su resolucin o despeje sera:

Nota: En este apartado aunque se resuelven problemas sencillos de Fsica donde se enfatiza la manipulacin algebraica, no debes quedarte con la impresin de que la Fsica es solamente una acumulacin de frmulas, donde se sustituyen datos y se realizan clculos. La Fsica es mucho ms que eso ya que en ella, partiendo de observaciones, razonamientos y experimentos se elaboran predominantemente explicaciones o descripciones tericas de lo que ocurre en la naturaleza.

MAGNITUDES FSICAS DE MECNICAFrmulas del Movimiento Rectilneo UniformeFrmulas del Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado

Posicin final: s(t)s(t)= so+ vts(t)= so+ vot + at2

Velocidad final: v(t)v(t) = vov(t) = vo + at

Aceleracin: a(t)a(t) = 0a(t) = ao

As, pues, cuando los fsicos analizan problemas de la naturaleza utilizan como herramienta principal a la matemtica y, bajo ciertas condiciones e hiptesis, deducen expresiones o frmulas (como las de las tablas de abajo) que relacionan unas magnitudes con otras.

OTRAS MAGNITUDES FSICAS DE MECNICA Frmulas del Movimiento Rectilneo Acelerado y de Dinmica

Velocidad media escalar(Rapidez)

Velocidad instantnea escalar(Rapidez instantnea)

Aceleracin media

Aceleracin instantnea

Fuerza = Masa x AceleracinF = m a

EnergaE = m c

Ejemplo 4. Cul es la aceleracin media de un automvil que en un tiempo de 4segundos vara su velocidad de 20 km/h a 100 km/h ?

Resolucin: Este problema puede ser resuelto directamente con la frmula de la

aceleracin media: . Tambin, suponiendo que durante el tiempo que vari la velocidad la aceleracin fue

constante, el problema puede ser resuelto despejando la aceleracin () de la

frmula . O sea:

Ejemplo 5. La temperatura es una magnitud fsica escalar referida a las nociones comunes de fro y calor (por lo general entre ms "caliente" est un material, tendr una temperatura mayor y viceversa) y est determinada por una funcin creciente del grado de agitacin, o de energa cintica media, de las partculas moleculares que componen los objetos. Y se mide con termmetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a diferentes puntos de referencia, lo que origina diversas escalas de medida que dan lugar a las unidades de medicin de la temperatura. En el mbito cientfico, y en el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura es el kelvin. Sin embargo, en la vida cotidiana, el uso de otras escalas de temperatura es comn como es el caso del uso de la escala Celsius (o centgrada) en Mxico, y la escala Fahrenheit en los pases anglosajones.

En la clase de termodinmica se establece que las escalas de temperaturas en grados Celsius () y grados Fahrenheit () estn relacionadas por la ecuacin lineal: . Con base en esta informacin, determinar si a una persona que piensa viajar de la ciudad de Culiacn a la ciudad de Seattle, en EEUU, le conviene llevar mucha ropa de invierno, una vez que el servicio meteorolgico de ese pas pronostica una temperatura promedio de 50 durante su estancia en dicha ciudad.

Resolucin: Para que la persona pueda tomar una decisin razonable en este caso, necesita saber, adems de sus reacciones personales frente a las temperaturas, a cuntos grados centgrados equivalen 50, para esto basta despejar los de la ecuacin lineal dada como dato y hacer la sustitucin y operaciones correspondientes:

Actividades de aprendizaje

A1) Despeja en cada frmula o expresin, todas y cada una de las variables o constantes que aparecen en ellas:

a) v = b) = c) s = d) =

e) = f) s = g) R = h) s =

i) = j) = k) l)

A2) En las siguientes igualdades, despeja las variables que se indican y calcula su valor numrico para los valores que se dan en cada caso:

1.5 Introduccin a las funciones y funciones lineales

En este captulo estudiaremos un tipo de relacin matemtica, muy importante en las aplicaciones, denominadas funciones o modelos lineales, las cuales son de inters no slo en matemticas sino tambin en administracin, economa, fsica, ingeniera y en otros campos del conocimiento. Por ejemplo, al determinar el salario de un vendedor, para planificar la ruta y tiempo de vuelo de un avin o para calcular la distancia recorrida por un automvil y, en biologa, para estudiar el crecimiento de algunos organismos.

Antes de continuar es pertinente conocer y reflexionar en: Qu es en general una funcin matemtica? y Qu papel cumplen las funciones matemticas en la interpretacin de los diversos aspectos de la realidad? El mundo natural y social est lleno de relaciones. Por ejemplo: la velocidad de un auto es funcin de la distancia recorrida y del tiempo empleado, la lluvia depende de variaciones de la presin baromtrica y lo bueno que eres bailando, jugando o estudiando matemticas depende, entre otras variables, del esfuerzo que pongas y del tiempo que practiques. Las funciones matemticas, en el sentido ms simple y amplio, son relaciones numricas que sirven para representar o modelar las relaciones existentes en el mundo. As, cuando una magnitud variable depende de otra, decimos que la primera es funcin de la segunda. Desde este punto de vista, la funcin puede concebirse como una relacin de dependencia.

La funcin tambin puede concebirse como mquina, ya que existe una relacin entre la entrada y la salida de una mquina, donde la salida depende de la entrada. As la mquina-funcin recibe la entrada y la transforma en la salida.

S formalizamos y simbolizamos las ideas anteriores tenemos que una funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades variables. As, si las dos variables y estn asociadas de tal forma que al asignar un valor a entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a , se dice que es una funcin de . La variable , a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable, cuyos valores dependen de la , se llama variable dependiente.El conjunto de valores permitidos de constituyen el dominio de definicin de la funcin y el conjunto de valoresposibles para constituye su recorrido, codominio o contradominio.

Resumiendo: Una funcin () de dominio A y contradominio B (, se lee de A en B) es una relacin que le hace corresponder a cada elemento uno y solo un elemento , llamado imagen de bajo , y que se denota como . Es decir que para que una relacin de un conjunto A en otro B sea funcin, debe cumplir dos condiciones, a saber: (1) Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen en B. (2) La imagen de cada elemento debe ser nica. Es decir, ningn elemento del dominio puede tener ms de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos que son imagen de algn elemento del dominio se denomina tambin conjunto imagen de .La funcin lineal es de las ms simples dentro de las formas que puede adoptar una relacin entre variables, pero desempea un importante papel en la formulacin y resolucin de una gran variedad de problemas tal como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Si analizamos la relacin funcional que existe entre el nmero () de telfonos celulares vendidos diariamente por un vendedor, y el sueldo diario () que percibe por dicha venta la funcin ingreso es: Donde: 50 es el salario (en pesos) mnimo diario del vendedor y 20 es la comisin (en pesos) por cada celular vendido. La funcin ingreso es una funcin lineal, cuya representacin tabular y grfica es: Nmero de celulares vendidospor da: xSalario diarioen pesos y = f(x)

0$50.00

170.00

290.00

3110.00

4130.00

5150.00

6170.00

10250.00

15y = ?

De la tabla y de la grfica se puede observar que: Al aumentar el nmero de telfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. O sea, es una funcin creciente. El salario mnimo diario del vendedor es, cuando no vende nada, de $50.00 El conjunto de valores permitidos para x (dominio de la funcin) son solamente enteros positivos, o sea el dominio de la funcin es: . De ah que la grafica de arriba en realidad no deber ser continua (por qu). El conjunto de valores posibles para y (codominio) es: .

La tasa de crecimiento () es constante:

Una problemtica importante, aparentemente diferente, es cuando una compaa de aviacin planifica cunto combustible necesitarn los aviones para los vuelos.

Ejemplo 2. Un Jet Boeing, que ha sido abastecido antes del despegue, contiene cerca de 28,000 litros de combustible y usa cerca de 5,000 litros por cada hora de vuelo. Aunque otros factores frecuentemente tienen un efecto, se puede considerar que la cantidad de combustible que tiene este avin est en funcin del tiempo de vuelo.

Se puede inferir, a partir de algunos clculos particulares, una frmula o funcin que d lo que le queda de combustible al avin, como funcin del tiempo. As:

Tiempo t enhorasLitros de combustible en el avin y = f(t)

028000

128000 5000 x 1 = 23000

228000 5000 x 2 = 18000

tf(t)=28000 5000t

Usa esta frmula para responder lo siguiente.a) Completa la siguiente tabla que da lo que le queda de combustible al avin como funcin del tiempo transcurrido de vuelo.Tiempo ten horasLitros de combustible y = f(t)Tiempo ten horasLitros de combustible y = f(t)

0.0280003.5

0.5255004.0

1.04.5

1.55.0

2.05.5

2.56.0

3.06.5

b) Dibuja un par de ejes coordenados parecidos a los que se muestran en la figura, y grafica en el los pares de datos (tiempo, litros de combustible), de la tabla anterior.

c) Usa la frmula, tabla o grfica para responder las siguientes preguntas acerca del combustible empleado por el Jet. Cuando sea apropiado, escribe una ecuacin o desigualdad que pueda ser usada para responder a la pregunta dada.

1. Qu tanto combustible queda despus de 4.5 horas de vuelo?

2. Qu tanto tiempo tomar para que se consuma la mitad del combustible?

3. A qu tasa decrece el combustible del avin? Es decir, cul es el decrecimiento del combustible por cada hora adicional de vuelo?

4. Qu tiempo de vuelo deja al menos 5000 litros de combustible en el avin (por seguridad)?

5. Si el avin viaja a 800 kilmetros por hora, cul es el viaje ms largo que puede hacer, permitindole un margen de seguridad de 5 000 litros?

Ejemplo 4. La funcin lineal que relaciona el precio del boleto (p) y la asistencia (a (p)) a un festival escolar puede ser representada por la regla:

a (p) = 10p + 800 (donde: a = 10 y b = 800)

y por la siguiente tabla o grfica de pares de datos (precio, asistencia).Precio p del boleto (pesos)Asistencia a(p)

0.00800

10.00700

20.00600

30.00500

40.00400

50.00300

60.00200

70.00100

80.000

a(p) = 10p + 800

A partir de estos ejemplos podemos definir a una funcin lineal como una relacin matemtica que tiene la forma general:

Las funciones lineales se caracterizan porque tienen una tasa de cambio o pendiente constante () y un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). Esto se puede demostrar, por ejemplo, para el primer ejemplo del vendedor de celulares

As pues, las funciones lineales relacionan varias clases diferentes de variables de diversas situaciones problemticas, y pueden ser representadas por tablas, grficas, frmulas o ecuaciones, y, adems, comparten algunas propiedades importantes, como las siguientes:1. En una tabla de valores (entrada, salida), de una funcin lineal, el incremento de la variable de salida (y) se incrementa o (disminuye) a una tasa constante al incrementarse la variable de entrada (x).2. La regla que relaciona las entradas y salidas de una funcin lineal puede ser escrita de varias maneras simblicas diferentes, pero cada una es equivalente a la forma estndar: f(x) = ax + b, donde, a y b son nmeros que son determinados por la situacin problemtica especfica.3. Los puntos de la grfica de una funcin lineal yacen sobre una lnea recta.

Un modelo matemtico relacionado con la funcin lineal es el que surge al estudiar la proporcionalidad directa entre dos magnitudes variables. Recuerda que en la primera unidad del curso de Matemticas I, aprendiste que si la variable est relacionada en forma directamente proporcional a la variable , entonces su razn o cociente indicado es una constante, o sea:

De donde, la relacin matemtica y = k x , es un caso especial de la funcin lineal mediante la cual se representan muchas situaciones de la vida cotidiana, la ciencia y la ingeniera.

Ejemplo 5. Si para cocer medio kilogramo de verduras se requiere agregarle 25 gramos de sal. Cuntos kg de verdura se necesitan para ocupar 1 kg de sal?

Resolucin: Primero se establece la proporcin o ecuacin lineal que muestre la relacin entre la cantidad de verdura y la cantidad de sal necesaria para un cocimiento de este tipo. Si representemos por a los gramos de verdura y por a los gramos de sal. Y recordando que medio kilogramo equivale a 500 gramos, entonces:

Por tanto, los kilogramos de verduras requeridos para un kilogramo de sal son:

.

Ejemplo 6. Segn la Ley de Boyle, cuando la presin de un gas es constante, entonces el volumen () que ocupa es directamente proporcional a su temperatura absoluta (): . Por tanto, si a una temperatura de 60 un gas ocupa un volumen de 30 , cul es el volumen que ocupara a una temperatura de 180 ?

Resolucin: para poder calcular el volumen con el modelo matemtico se necesita primero conocer la constante con los datos proporcionados:

Por tanto, el volumen que ocupara el gas sera de: .

Ejemplo 7. La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamao del alargamiento (o compresin) vara de forma directamente proporcional segn sea la fuerza que se le aplique. Si una fuerza de 20 libras alarga el resorte 4 pulgadas:

a)Escribir una ecuacin que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.b)Cunto alargar el resorte una fuerza de 30 libras y una fuerza de 100 libras?Resolucin:

a) Si es la distancia que se alarga el resorte en pulgadas y es la fuerza en libras. Como la distancia vara en forma directamente proporcional con la fuerza , y y , entonces: . De donde, la ecuacin que relaciona la distancia y la fuerza es: .

b) Por tanto, cuando libras, la distancia que se larga el resorte es: pulgadas. Y cuando libras, la distancia correspondiente es: pulgadas.

Actividades de aprendizaje

A1) Un vendedor de una empresa tiene un sueldo base semanal de n pesos y adems por cada artculo vendido recibe una comisin de m pesos. Determinar el modelo matemtico que permite calcular el salario semanal (y) del vendedor cuando vende x artculos por semana.

A2) Aplicando el modelo matemtico obtenido en la actividad anterior, calcula la distancia () recorrida en un tiempo () de 3 horas por un automvil que se desplaza a la velocidad constante () de 95 k / h.

A3) Inventa una situacin problemtica que pueda resolverse con el modelo matemtico de la actividad uno.A4) La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamao del alargamiento (o compresin) vara de forma directamente proporcional segn sea la fuerza que se le aplique. Si una fuerza de 60 libras alarga el resorte 12 pulgadas: a)Escribir la funcin lineal que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.b)Cunto alargar el resorte una fuerza de 45 libras?

A5) En la prctica de la medicina es comn que la dosis de un medicamento (y) vare en forma directamente proporcional con el peso corporal (x) del paciente. Si a una persona de 56 kg se le suministran 250 mg de ampicilina, calcular la dosis recomendada a un paciente de 80 kg.

A6) En un recipiente con agua a 0c se aplica calor para ir incrementando la temperatura. En dicho recipiente se encuentran al mismo tiempo, para medir la temperatura, un termmetro Celsius y uno Fahrenheit. La variacin de la temperatura en ambos termmetros est registrada en la siguiente tabla, y partiendo de ella obtener la funcin lineal que relaciona la temperatura en ambas escalas.

Grados centgrados

Grados Fahrenheit

032

133.8

235.6

541

100212

1.5.1 Definicin y grfica de la funcin lineal

Una funcin lineal es una relacin matemtica, o modelo matemtico, que a cada x le hace corresponder un y = a x + b , donde: a y b son nmeros reales dados y, adems, a0.

En la funcin lineal el parmetro a recibe el nombre especial de pendiente. Es comn representar las funciones lineales tambin con el modelo . Por lo cual: . En este texto usaremos ambas expresiones.

As, los siguientes modelos matemticos son ejemplos de funciones lineales:

y = 50x + 1200 (a = 50 ; b = 1200) y = --2x + 3 (m = 2 ; n = 3) y = 95x (a = 95 ; b = 0) y = 4 (m = 0 ; n = 4) y = 0 (a = 0 ; b = 0)

Cuando en una funcin lineal se quiere especificar la determinacin de la variable y para un valor particular de la variable x resulta conveniente el uso de la notacin funcional y = f (x). As, los valores de y correspondientes para x = 4, x = -3 y x = 8.5 en la funcin y = -2x + 3 pueden ser representados y calculados como: y = f (4) = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5 y = f (-3) = --2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 y = f (8.5) = -2(8.5) + 3 = --17 + 3 = -14

En una funcin lineal, el conjunto de valores que puede tomar la variable x (llamada tambin como variable independiente) se denomina dominio de la funcin. Mientras que el conjunto de valores que puede tomar la variable y (llamada tambin como variable dependiente) se conoce como contradominio de la funcin. As, en una funcin lineal el dominio y el contradominio es el conjunto de los nmeros reales .

Para representar grficamente una funcin lineal se determinan mediante la ecuacin y = ax + b (o y = mx + n) las coordenadas x y y de al menos dos puntos P(x , y) de su grfica y se localizan en un sistema de coordenadas rectangulares.Ejemplo 1. Representa grficamente las funciones lineales definidas por:

a) y = 2x 1b) y = 2xc) y = 2

Resolucin: Primero determinamos en una tabla las coordenadas de algunos puntos de cada grfica y, segundo, los representamos utilizando un sistema de coordenadas rectangulares y, finalmente, los unimos por una lnea continua (ver fig. 1).

xy = 2x + 1y = -2xy = 2

-2-342

-1-122

0102

0.52-12

13-22

Figura.1

Como se observa en la Fig.1., si proyectamos sobre el eje Y las grficas de las dos primeras funciones obtenemos como imgenes el conjunto , mientras que en el caso de la funcin del inciso c obtenemos como imagen el conjunto . En los 3 casos se pudo trazar una recta que pasa por los puntos representados.

25

Si para otro valor cualquiera de x obtenemos el valor correspondiente de y mediante las ecuaciones dadas, podemos comprobar que los puntos que tengan estas coordenadas tambin pertenecen a las rectas trazadas, por lo que llegamos a la conclusin siguiente: la grfica de una funcin lineal es una recta.

Si observas las ecuaciones correspondientes a las funciones lineales del ejemplo 1, notars, en base al modelo y=mx+n, que en el inciso a) m>0, en el b) m 0 la recta se inclina hacia la derecha, si m0 la recta se eleva de izquierda a derecha, y los valores de la funcin correspondiente aumentan a medida que aumentan los valores de x, se dice entonces que la funcin es creciente. Por el contrario, si observas la recta representada en el ejemplo 4 (fig.5), notars que esta desciende de izquierda a derecha. La pendiente de esta recta es m = - 2 0 y los valores de la funcin correspondiente decrecen a medida que aumentan los valores de la variable x, se dice en este caso que la funcin es decreciente.

Luego para m 0 solo se presentan estos dos casos, es decir, las funciones lineales o son crecientes (m 0) o son decrecientes (m 0).

Tambin hay que observar que la pendiente nos muestra la variacin que hay en el eje y a medida que aumenta una unidad en el eje x. As, la pendiente m=3, nos indica que por cada unidad que aumenta en el eje x hay un aumento de tres unidades en el eje y.

Ejemplo 5. Determina si las funciones lineales siguientes son crecientes o decrecientes: a) b) y = - x + 4 c) y = 12 - 3x

Resolucin:a) m = 2 > 0, luego la funcin es creciente.b) m = -1 < 0, luego la funcin es decreciente.c) m = -3 < 0, luego la funcin es decreciente.

Ejemplo 6. Determina la ecuacin de la funcin cuyo grfico aparece en la figura 7.

Resolucin: Del grfico se obtiene que n = -2, luego y = mx - 2 y para x = 2 , y = 0 de donde 0 = 2m - 2 : por tanto m = 1. As, la ecuacin de la funcin es: . Figura 7.

Actividades de aprendizaje

A1) La grfica de una funcin lineal pasa por el punto M ( 2 , 4) y por el origen de coordenadas. (a) Escribe la ecuacin que corresponde a dicha funcin. (b) Est situado el punto B (2 , 4) sobre la grfica de la funcin?A2) Determina la ecuacin de una funcin lineal cuya grfica pasa por los puntos P(0 , 2) y Q (1 , 3).

A3) En la funcin y m x 3. Cul debe ser el valor de m para que el punto P(2, 14) pertenezca a su grfico?

A4) Calcula el valor de n si se sabe que el grfico de y 3x + n pasa por el punto:a) P (2 , 4)b) R (5 , 2).

A5) Traza en un mismo sistema de coordenadas rectangulares las grficas de las funciones y 0.5x 2; y 2x 5.a) Indica en cada caso 3 valores del dominio para los cuales las imgenes correspondientes sean positivas y 3 valores para los cuales sean negativas.

A6) Calcula el cero, en caso que exista, de cada una de las funciones lineales siguientes:

a) y xb) y 2xc) y 12x 36 d) y 10x 8e) y 5 xf ) y 4 2x

g) y 5x 2h) y 0.8x 16i ) y x 0.3

j ) y k) y 2 l ) y 0

A7) Dada la funcin y 4 2x a) Represntala grficamente.b) Calcula el rea de la figura formada por los ejes coordenados y la grfica de la funcin.c) Calcula la longitud del lado mayor de la figura determinada en el inciso b.

A8) Determina para qu valores de x la funcin:a) y 5x 8 toma el valor 4.

b) y 12 x toma el valor b) y 2x 5 toma el valor 0.4

c) y x toma el valor

A9) Sea la funcin y 2x 4 a) Calcula su cero. b) Represntala grficamente.

A10) De una funcin lineal se sabe que su cero es 4 y que interseca al eje y en el punto de ordenada . Represntala grficamente.

A11) En la figura 8 estn representadas dos funciones lineales. Apoyndote en el grfico determina las ecuaciones de dichas funciones.

a) b) Fig. 8 A12) Representa grficamente la recta de ecuacin:a) x +3y -5 =0b) y 3x -y -12 = 0

A13) Halla la pendiente de las rectas que pasan por cada uno de los pares de puntos siguientes y represntalas grficamente.

a) (2 , 5) y (6 , 11)b) (2 , -5) y (0 , 0)c) (1, ) y ( , )d) (0 , 0) y (1 , 4)e) (3 , 1) y (8 , 1) f ) (2 , 4) y (2 , 0 )

A14) Por qu no existe la pendiente de las rectas determinadas por los siguientes pares de puntos?a) A (3 , 1) y B(3 , 4)b) M (0 , 0) y N (0 , 5)

A15) Calcula la pendiente de las siguientes rectas:a) 4x + 2y + 8 = 0b) 5x + y 2 =0c) x - y - 3 = 0d) 3y = x

1.5.3 Modelacin matemtica y aplicaciones de las funciones y ecuaciones lineales

Un modelo matemtico es una descripcin o relacin cuantitativa, desde el punto de vista de las matemticas, de un hecho o fenmeno del mundo real o cientfico, como pueden ser la descripcin del crecimiento de la poblacin de un ecosistema o la descripcin del movimiento de un cuerpo fsico, o hasta la descripcin de fenmenos sociales, econmicos y administ