unidad+2 mate

8/2/2019 Unidad+2 Mate

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FuncionesDefinicin:

Una funcin f : A B es una relacin que acada elemento del conjunto A le hacecorresponder un nico elemento del conjunto B.

El conjunto A se llama Dominiode la Funcinyel conjunto Bes el Rango o Codominio.

A Bf

1

2

m

n

p


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Para indicar que a un elemento x de Ase le hace corresponder un elemento y de B,

se escribe y=f(x) y se lee:

y es igual a f de x.

o bien:

y es la imagen de x.

o bien: x es una preimagen de y.


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Veamos si las siguientes figuras representan funciones


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Es el conjunto de valores de la variable x, para loscuales la funcin existe.El dominio viene caracterizado por el tipo de funcin.

Ejemplos:

Sea ; el dominio es

Sea ; el dominio es

Dominio de una funcin numrica

32)( xxf ),( Df

xxf )( ),0[ Df


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Es el conjunto de elementos del Codominio, que sonimagen de algn elemento del Dominio.El Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio.

Ejemplos:

1)Sea

2)Sea

Conjunto Imagen

32)( xxf RCod ),(

xxf )(

0),0[Im UR

R ),(Im

RCod ),(


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Formas de expresar una funcin:

Mediante GrficasMediante Tablas

Analticamente


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La siguiente es la grfica de un beb que al nacer pes 3,300 kg.

a)Qu ocurre en los primeros das de vida? Interpreta el punto P.

b) Qu das el nio pes 150 g menos que al nacer?

c) En algn momento de la segunda quincena la madre cambi el pechopor la mamadera. Le gust el cambio al nio?


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d) Indica el aumento de peso durante la primera, segunda y tercera quincena.

e) Indica el mximo y mnimo peso que dio el nio durante el mes y en qu das.

f) Indica los mximos y mnimos locales, y absolutos.


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FUNCIONES EXPLCITAS

Una funcin es explcita cuando est definida de la formay = f(x), es decir, est despejada la variable dependiente yen trminos de la variable independiente x.

Ejemplos: y = f(x) = 3x2 +2x+1 ; y=sen(x)

FUNCIONES IMPLCITAS

Una funcin est dada en forma implcita cuando est escritade la forma f(x,y) = 0, es decir, no est despejada la variabledependiente y.

Ejemplos: f(x,y) = y2 - 2xy + 7x2 - 1 = 0 ; 3y - 4x = 7


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Representacin grfica de funcionesUn punto cualquiera del plano est representado por un

par ordenado de nmeros (x,y).La coordenada xse llama abcisa y la coordenada ysedenomina ordenada.

Ejemplos:


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Teorema de Pitgoras

Primero recordemos que untringulo rectngulo es aquelque tiene...

...un ngulo recto, es decir,de 90 grados.

El Teorema de Pitgoras dice que:

en todo tringulo rectngulo se cumpleque el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de loscatetos.


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Distancia entre dos puntos

Para hallar la distancia entre dospuntos del plano, por ejemploentre P1 y P2, podemos aplicar elTeorema de Pitgoras, ya que seve claramente que los puntos P1,P2 y Q forman un tringulo

rectngulo. 22

2

1

2

21 QPQPPP

121 xxQP Como:

122 yyQP y

entonces: 2122

12

2

21 yyxxPP

2

12

2

1221 yyxxPPd


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Funcin Constante

2)( xfy

1)( xfy

kxfRRf )(/:

donde kes un valor real


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La funcin linealbxmxfRRf .)(/:

mes la pendiente y bes la ordenada al origen.


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Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) quepertenecen a la recta, la pendiente mse

puede calcular as:

12

12

xx

yym

siempre que

12 xx

La pendiente de una recta es independiente delorden en que consideramos dos puntos en ella.

21

21

12

12

xxyy

xxyy


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Para hallar la ecuacin de una recta que pasapor dos puntos P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2)hacemos:

12

1

12

1

yyyy

xxxx

Por ejemplo, dados P1=(3;4) y P2=(-2;6), la rectaque pasa por ambos puntos ser:

46

4

32

3

yx

2

4

5

3

yx

5423 yx 20562 yx

yx

5

2062

5

26

5

2 xy


17/425

26

5

2 xy


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Para hallar la ecuacin de una recta, dadosun punto (x1,y1) y la pendiente m, hacemos:

)( 11 xxmyy

Ejemplo: Hallar la recta de pendiente 3 que pasa porel punto (1;-4).

)1(34 xy

73

xy


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Dos rectas son paralelas si tienen la mismapendiente.

Dos rectas son perpendiculares si suspendientes son inversas y de signo opuesto.

21

1

mm

Rectas Paralelas y Perpendiculares

21 mm


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Funciones definidas por partesLas llamamos as a las funciones que estn definidas por

intervalos.Ejemplo:

3

22

)(

x

x

xf1

1

x

x

Estas funcionespueden definirse endos o ms intervalos.

Sobre ecti a No in ecti a No sobre ecti a In ecti a


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Sobreyectiva No inyectiva No sobreyectiva Inyectiva

Biyectiva No sobreyectiva No inyectiva


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Funcin Inversa

Una funcin biyectiva admite funcin inversa.Si la funcin es f a su funcin inversa la llamaremos f-1

Las grficas de una funcin y su inversa son simtricas

respecto a la recta identidad, es decir, a la recta y = x.

La funcin azul es y=ln(x)

La funcin verde es y= ex

La funcin violeta es larecta identidad y = x


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La funcin azul es y=3x+4

La funcin verde es y= 1/3 x 4/3

La funcin violeta es la recta identidad y = x


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La siguiente es la grfica de la funcin y = x2

Esta funcin tiene inversa?


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Funcin Valor Absoluto

xxf )(

Equivale a

x

xxxf )(

Si

Si 0

0

x

x


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Funcin Valor Absoluto

xxf )(


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Una funcin es PAR si cumple que: f(x) = f(-x), para todos los x

del dominio.)()(: xfxfDx

Funcin Par

Es decir si su grfica

es simtrica respectodel eje yCon lo que seproduce unasimetra.

Las funciones paresdefinidas porpolinomios de gradopar, no tienen

funcin inversa.


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Una funcin es IMPAR si cumple que: f(x)= -f(-x), para todos

los x del dominio.)()(: xfxfDx

Funcin Impar

Con lo que se

produce unasimetra conrespecto al origende coordenadas.De la mismamanera para todafuncin impardefinida en elpunto "0" se tiene

que f(0)=0.


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Funcin Polinmica

012

21

1 ...)( axaxaxaxaxfn

nn

nn

n

Si n=0 se tiene entonces funcin constante

Si n=1 se tiene entonces funcin lineal

Si n=2se tiene entonces

funcin cuadrtica

0)( axf

01)( axaxf

01

2

2)( axaxaxf


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Funcin Cuadrtica

cbxaxxf 2)(

Usaremos para este caso una notacin muy comn

Ejemplos


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Funcin Cuadrtica54)( 2 xxxf )5)(1( xx 9)2(

2 x


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Funciones Racionales

)(

)()(

xQ

xPxf

Siendo y funciones polinmicas)(xP )(xQ

F i P idi


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Funcin PeridicaFuncin que repite el mismo valor a intervalos regulares dela variable.

Una funcin f(x) es peridica si existe un nmero p tal quepueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x.

Donde P es el perodo.

)()( Pxfxf

Ejemplo:


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Funciones Trigonomtricas

Una funcin trigonomtrica, tambin llamada circular,es aquella que se define por la aplicacin de una razntrigonomtrica a los distintos valores de la variable

independiente, que ha de estar expresada en radianes.

Existen seis clases de funciones trigonomtricas:

seno, coseno, tangente, cotangente, secantey cosecante

Funcin Seno


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Funcin SenoSe denomina funcin seno, y se denota por f (x) = sen(x), a laaplicacin de la razn trigonomtrica seno a una variable independiente x

expresada en radianes. La funcin seno es peridica, acotada y continua, ysu dominio de definicin es el conjunto de todos los nmeros reales.

Perodo: Df: Im: [-1,1]2 ),(

Funcin Coseno


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Se denomina funcin coseno, y se denota por f (x) = cos(x), a laaplicacin de la razn trigonomtrica coseno a una variable independiente xexpresada en radianes. La funcin coseno es peridica, acotada y continua,y su dominio de definicin es el conjunto de todos los nmeros reales.

Perodo: Df: Im: [-1,1]

Funcin Coseno

2 ),(


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Funcin Tangente)cos(

)()tan(

x

xsenx

No es continua. No se define en todos los reales, ya que hayvalores para los cuales no existe. Su perodo es y suimagen son todos los reales.


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Funcin Exponencial

xaxf )(

Se llaman funciones

exponenciales a lasfunciones de la forma

10 aya

1a

10 aRDom RIm

x

xf 2)(

x

xf

2

1)(


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Funcin Logartmica

Se llaman funcioneslogartmicas a lasfunciones de laforma

donde "a" esconstante (un

nmero) y sedenomina la basedel logaritmo.

Y = logax

xxfa

log)(

10 aya

Composicin de Funciones


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Una funcin compuesta es una funcin formada por la

aplicacin sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplicasobre el argumento la funcin ms prxima al mismo, y alresultado del clculo anterior se le aplica finalmente la funcinrestante.Formalmente, dadas dos funciones f: X Yy g: Y Z, donde

la imagen de fest contenida en el dominio de g, se define lafuncin composicin (g f): X Zcomo (g f)(x) = g(f(x)),para todos los elementos x.

zyx

))(()( xfgxfx A g fse le llama composicin de f y g.Nota: se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el

orden en que se aplican las funciones a su argumento.



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Composicin de FuncionesTambin se la llama Funcin Compuesta.

El dominio de la funcin compuesta es igual aldominio de la primera funcin que aplicamos.

Ejemplo: f o g

Dadas:2

)(/:)(/),0[: xxfRRfxxgRg

xxxgfxfogRfog 2

)())(())(/(),0[:)(

DfRIg ),(),0[

Observacin: D(f o g)=Dg


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xxgRgxxfRRf )(/),0[:)(/:2

Ejemplo: g o f (Vamos a usar las mismas funciones delejemplo anteriorDadas:

)()( foggof

No existe (gof) es decir no existe2))(( xxfg

Observacin: DgIf ),0[)0,(

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