gorucroNEMosfRIANGUTCg

r .¿ " . ¡3s '&i* . t *4,*1

OBIICUANGUT

OBIETTVO

Proponer soluciones a situa-ciones probleniáticas del en-torno. cn l rs cuaies sc requierela resoiución de triángulosoblicuíngulos aplicando 1osteoremas ciei seno y del co-seno, valorando la opinión deios demás.

ht tp: / /u 'w-rv.zonavir tual . , j

o lg/ [5sc't rs I n rerl cti vas/

Escenas_Interactivas.htm lBtrsca tr iqononletr ía e ingresaen el rcorenr l del seno y delcoseno.

R cal iza las ¡ct iv id¿des pro-

pu cstas.

;;r;*;*r.dsiidi:É**!]!]M;*;:i.rr;:i#;;;#*e*#s

-

[Jn faro ,4 se encuentra a 12 km al oriente de un faro B. (Jn bote parte delfaro A y navega 9 km hacia el noreste; en ese instante, desde el faro B, el botese observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42" con la di-rección este-oeste. Determina la distancia del bote al faro B.

óo

. i

.o

€

I

z

=z

r55 O

re;*.

Resuelto en la página

ffi1. Encuentra la rnedida del ángulo que falta en

cada &iingulo y luego nórnbralos de acuer-do con la rnedida de sus ángulos.

F:

2. Explica qué es el teorema de Pitágoras y des-cribe algunas de sus utilidades prácticas.

Uttlizarás, con seguridad y precisión, el teorema delseno, al solucionar ejercicios sobre triángulos obli-cuángulos.

Resolverás problemas con actitud propositiva yperseverante, aplicando el teorema del seno traba-jando en equipo.

3. Resuelve.

a. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

b. En la intersección de dos calles dos automóvilesparten al mismo tiempo y recorren en línea rec-ta 150 my 120 m respectivamente. Si se sabe queel ángulo formado por ambas calles en la inrersec-ción es de 75", ¿a qué distancia están los automóvi-les entre sí?

4. Resuelve el triánguloinforrnación dada.

a.b:5,F:25"

b.a:6,F:45o

c. b: 4,ot : 12"

rectángulo usando la

d.a:5,cr :30ó

e.c:10,ct :40"

Utllizarás, con seguridad y precisión, el teoremadel coseno, al solucionar ejercicios sobre triángulosoblicuángulos.

Resolverás problemas con actitud propositiva y per-severante trabajando en equipo, aplicando el teore-ma del coseno.

e-

Eó

3l

=o

I

z

:Fz

o

' , t t

Escribe los nombres que reci-ben los triángulos según la me-dida de sus ángulos.

Es conveniente recordar trespropiedades de los triángulos:

1.La suma de los ángulos inter-nos de un triángulo es 180".

2.En un triángulo, a mayor ladose opone mayor ángulo.

3.Un lado de un triángulo esmenor que la suma de losotros dos y mayor que su di-ferencia.

Figura 1, r , c: I

h:bsenC

En LADB, se tiene:

, rn n: !h:csenB Q)

lliiüi;iiiliÍi:TRIÁNGUIOS OBLTCUÁNGULOS

Resolver un triángulo es encontrar el valor de sus ángulos y de sus lados, co-nociendo ciertos datos. En este tema se estudiará la solución de triángulos enlos cuales ninguno de los ángulos es recto. Este tipo de triángulos se deno-minan oblicuángulos.

En la resolución de triángulos oblicuángulos se presenran cuaffo casos:

. Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos 1 y 2 seusa la ley del seno.

' Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos 3 y 4 seusa ley del coseno.

TEOREMA O LEY DEL SENO

En todo triángulo, el seno de los ángulos y la medida de los lados res-pectivamente opuestos a dichos ángulos son directamente propor-cionales. a

Es decir, dado LABC se cumple que:

Para demostrar el teorema del seno es necesario verificar la igualdad de lasrazones mencionadas en un triángulo acutángulo y en un triángulo obtu-sánsulo.

Sobre A,,4BC ffiguray LADB.

En LADC,se riene:

I , ' i i l i :

1.) , se traza la altura /¡ sobre el lado a para generar LADC

senA senB senC c

abc

óE

'áó€

E

I

z

=z

@O

. : . r j ; i , . , ' . , , ' , . : r :

Se conocen un lado y dos ángulos. Se conocen dos iados y el ánguloopuesto ¿ uno de ellos. A

Se conocen dos lados y el ángulocomprendido entre ellos. ,

' : l : ' i I ' i :

:

Se conocen los tres lados.

-$i:-É-i R."otu-iento lógico matemático

$ comonicación con lenguaje matemático

! elfcación de la Matemática al entorno

i l r ' . , : : , , ' t . , . ; , t i ; j i ! - . t ; , : I i r i . , , : : - . . , , : : . , ' r : i : . . : , ,1 i ' i ,

Sobre A,4B C ffigura 4),se úaza la altura fu sobre el lado a para genetar LADC

y LADB.Explica qué datos debes co-

nocer en un triángulo acu-

tángulo para poder resolverlo

aplicando la ley de senos.

Ser(180" - a) : sen a

v

En LADC, se tiene:

hser(180"-C): i

h:bsen(1.80"-q

Puesto que:ser(180" : q : sen C,entonces,

h:bsenC C

Al igualar O V @se tiene b sen C :

sen C sen BDedonde,- , : - -

Ahora sobre A,4BC se traza la alturah.

sen A : ?.po. tanto. f t r : b sen A

h,sen B : ' 'ot ,po, tanto. ft, -- a sen B

b senA: a sen B

De donde, *f

Por tanto, -#

Los anteriores razonamientos constituyen la demostración del teorema del

seno.

, i : .1, : : r - . r I i ! . . I : , . " i r - : . . r : ! , : r i , :

1. Resuelve el triángulo DEF delafigura 6,en el cual D : 40o ,d : 5 crn y

e: 2 cf ia.

,. Para determinar la medida de -8, se uttliza la 1ey del seno.

sen D sen E

sen 40" - sen E^ Se reemplazan los datos.

^ 2 sen 40"sen E : ff : 0.2571 Se despeja sen L.

Por tanto. i:, , E : sen-l 0.2571 : 14" 53',53"

sen-| 0.2571, también es igual a 165" 6'7". Sin embargo, esta no puede ser

la medida de E porque como D mide 40", la suma de los ángulos interio-

res del triángulo excedería los 180'.

La medida de F se obtiene mediante la expresión:

D + E I F : 180",portanto,40" + 14" 53'53" + F : 180"

Luego, F:125'6 '7".

En LADB, se tiene:

, rnn: !

h:csenB@

csenB

/r, sobre el lado c ffigura 5) y se tiene:

sen Bt)

sen B sen C1-oL

ó€

.g

€

I

z

=z

o

Figura 4

Figura 5

ffi nuroru-ienro lógico matemático j$ Co-ori"ución con lenguaje matemático

I antcaclót de la Matemática al entorno

Para determinar \a medida del lado J se utiliza nuevamente la ley del seno.Así:

sen I) _ sen F sen 40" sen i25" 6' 7"-T-T'r ' - -5- : - - - -

r ta-oz)-))JSenrzJ o /t : -

J_ 6.36 crnsen 40

Luego, la solución del triángulo es:

d: 5 crn,e:2 cnt , f : 6.36 crn,D: 40",8: 1,4" 53'53"y F: 125" 6,36,, .

Se denomina caso ambiguo a la solución de triángulos oblicuángulos cuan-do se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Se le llama asídebido a que:

' Los datos generan dos triángulos.'u Los datos no generan ningún triángulo.

' Los datos generan un triángulo rectángulo.

2.Resuelve.

lJn faro,4 se encuentra a L2 km al oriente de un faro B. un bote parte delfaro A y navega 9 km hacia el noreste; en ese instante, desde el faro B,el botese observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42" con la di-rección este-oeste. Determina la distancia del bote al faro B ffigura Z).

'1r : : : I i . i ! l : j I

. Primero se determina la medida de C:

lllls : Yll j XlC - sen 42ocb129

12 sen 42"sen C: : 0.8922 C -

' Luego, se determina la medida de,4:

sen-' 0.8922 : 63" 9' 42"

¿Existe otra posibilidad pata lasolución del problema? ¿Cuáles?

A + B * C : 180",1uego A + 42" + 63" 9' 42" : i.80"

Por tanto, A: 74" 50'56".

Luego, se determina la medida del lado a:

sen A _ sen B sen 74" 51' 8" _ sen 42" 9 sen 74" 5 l ' g"o

: b d

: 9 a: , r r42

: i l

La distancia del bote al faro B es de13 km.

o

E

.-

o

p€

I

z

=z

o

ffi Resuelve cada triángulo.

I Resuelve.

En un automó-vil, la maniveladel cigüeñal tie-

7 62

ne 7.62 cm delongitud y la biela tiene 22.86 cm. Cuando elángulo OPA es de 15", ¿qué tan lejos está el pis-tón P del centro O del cigüeñal?

cm

É

dí+i¿lffi

\*l \t \/ 4o'r\

B---T-A

¿Se puede resolver el triánguloutilizando la ley de senos?

TEOREM.A O LEY DEL COSENO

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados esigual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados,menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del án-gulo comprendido entre ellos.

Es decir, dado LABC, se cumple que:é:b2-fa2-2abcosCb2:a2+C*2accosBa2: b2 + ?-2bccosA

Para demostrar el teorema del coseno es necesario verificar las isualdadesmencionadas en un triángulo.

En LABC,delafgura 8,h esla altura sobre el lado f C . pn LABD,se cum-ple que:

l : h2 + DBzy en el AADC,se cumple que:

b2 : h2 + Dcz.de donde. h2 : b2 - DCz

¿Por qué?

Como DE : a- CD !:i¡ i

Por tanto se tiene:

&:h2+DBzP: b2- DCz I a2-2aCD + CDzP: b2 * a2-2aeDf:b2 la2-2abcosC

Si se toma la altura sobre el lado AB, se obtiene:

b2:a2*?-2accosB.' Si se toma la altura sobre el lado AC- , se obtiene:

a2:b2*?-2bccosA

Estos razonamientos constituyen la demostración del teorema del coseno.La ley del coseno se puede uttlízar para resolver triángulos cuando se cono-cen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos o cuando se conocen lostres lados del triángulo (casos 3 y 4,página 150).

l.Resuelve LDEF de la figura 9, en el cual, il : 5 cm, e : 4 crÍrf :6crn.

'" Para encontrar la medida de D se aplica la ley del coseno.

f r :&-f f -2efcosD

52:42+62-2.4.6c0sD

25:16+36-48cosD

16 136-2scosD: - :0.5625

D: co{1 0.5625 : 55" 46', 1,6"

- , t

DB" : \a- CD)' : a" - 2aCD + CD"

Se reemplaza.Se simplifca.eD:bcosC

Figura 8

Fígura 9

v:

o

'o

óo

€

I

z

=z

o

ff ffi Rurotu*iento lógico matemático

S comoni.ación con lenguaje matemático

I enlicación de la Matemática al entorno

¿Por qué el teorema de Pitágo-ras es un caso particular de la leydel coseno?

Figura 10

, Para hallar la medida de -E se utlhzala ley del coseno, aunque es posible de-terminarla mediante la aplicación de la ley del seno.e2:&+ft-2dfcosE

42 : 52 + 62 -2. 5. 6 cos E : , ; ," , , L6 : 25 + 36- 60 cos E)F, - l 7A - 1^

cos E : -1é-'" : u.75 E : cos-i 0.75 : +1" 24' 35"

Para encontrar la medida de F, se tiene:

D + E - l F: 180' f , r , , r 55"46'L6" + 41,"24' ,34" * F: 190.

De donde, F : 82" 49' 10"

Luego, la solución del triángulo es:

d: 5 cm, e:4cm,f :6cm,D:55"46'16",8:4I"24'34"y F:82" 49'9".

2.Determina la medida del lado b pata AABC de la figura 70, en la cualB:130",a:70cmyc:5cm.

Se utiliza la ley del coseno, así:

b2 : a2 + ?-2atcos B,u, : : ; b2 : I02 + 52_2,b2: +

10'5 ros 130'¿os 130o

L_

El lado ü mide cm, aproximadamente.

3.Resuelve.

Dos balsas, A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal maneraque la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo de 42" con larecta sobre la que se mueve la balsa A,cuya velocidad es el doble de la bal-sa C. Determina la distancia que las separa cuando la balsa C ha recorrido1.5 km.., Puesto que la balsa A se mueve con el doble de rapidez que la balsa C,

cuando la balsa C ha recorrido 1.5 km, la balsa á recorre 3 krn ffigura 11).Para encontrar la distancia que las separa se utiliza la ley del coseno.

b2 : a2 + ? - 2ac cos B ,i:i.;' b2 :

1,2 - b ,,,.

La distancia que separa la balsakm.

Cdela balsa A es, aproximadamente,

! ' . i i -

O

.si

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=E

I

z

=z

o

ffi R"ro"lve cada triángulo.

Áto, / tn" \/ \, / \

,(* \-c

c"

\\\ \' \zo\

[__\

Deterrnina la medida de los ángulos deC

I

Resuelve.

Un sólido rectangular tiene la-dos como se indica en la figura.Encuentra {CAB.

ffi,,*\i2:

Explica qué datos debes conoceren un triángulo para resolverloaplicando la ley de cosenos.

El área de un triángulo de baseb y altura fo se calcula mediante:

. b.hA= 2

Flerón de Alejandría(siglo II a. de C.)

Contribuyó al desarrollo tem-prano de la mecánica. Entre susinventos se cuenta el odóme-tro, que consiste en un sistemade engranajes combinados quesirve para contar las vueltas deuna rueda; en su versión mo-derna, este es el dispositivo delque están provistos los automó-viles para contar el número derevoluciones del motor.

En matemáticas desarrolló unmétodo para calcular la niz c6-bica de 100 con una aproxima-ción menor que 0,02 y planteóla formula para determinar elírea de un triángulo cuando seconoce la medida de sus tres la-

Reemplazando esta expresión en

A

Y si se toma la altura sobre el

ALuego,

I

área, se tiene que:

lii'r,t¡ii;il+iül

Ánpe DE uN rRrÁNcuroEs posible deducir expresiones para determinar el área de un triángulo en lossiguientes casos:

: , , Se conocen las medidas de dos lados y del ángulo comprendido en-tre ellos.

Sien LXYZ,xy ysonlados y ZelánguIo comprendido entre xy y, el área

de LXYZ se expresa como:

vx sen ZA_fn- 2

Para demostrar este hecho, se procede así:

En LXYZse tiene qu- e: !

Donde I es la altura sobre el lado y.Además,

11senZ:; , luego,h:xsenZ z

della formulyx sen Z

' ' ' .TzA_

Lo cual demuestra la expresión dada.

En forma análoga, si se toma la altura trazada sobre z, se tiene que el área

de AXYZ se exDresa mediante:

_ yzsenX2

lado x, el área se expresa como:

xz sen Y:____T

! =' :=;í2 - A"XYZ es

n_xzsenY A_^- 2 n-

. Se conocen las medidas de los tres lados.

La formula que determina el valor del área de un triángulo cuando se cono-cen los tres lados se denominá formula de Herón y se enuncia así:

El área del LXYZ está determinada oor:

a: @donde s:+@+y+z)

s se llama el semiperímetro del triángulo.

La demostración de este resultado requiere el uso de identidades trigonomé-tricas, las cuales se estudian en la siguiente unidpd.

yz sen Xz

óo

E

.É-'-

€

==

I

==z

l -b+l

ffi nu"oru-iento lógico matemático

f[ Co-ori"ución con lenguaje matemático

I afücación de la Matemática al entorno

ji:- ¡ {:i! 1 i¡ 1; i,':rl r. ::rr.i l-1,r -l iiili

l .Determinaelárea de ARSTsi r : 4 crr : . ,s: 5 crn y T:125".

'o como se conoce la medida de dos lados, r y s, y el ángulo comprend.idoentre ellos, T, se aplica la expresión

-¿R

^ _ rs senT 4 cm. 5 cm sen125"A:2-:-- !___T-

A: 8.1.9 cm,

El área del ARSf es 8.19 cmr.

2.Determina el área del LABC cuyosb:4.5 crrry c:5 ctn ( f iguraI2).

Secalculaelsemiperímerrcs: +e+ b + d: te. t+ 4.5 + 5)cm: 6.5 cm

El área es:

¿:@

, : :

El área del L¿nC es _ cm2.

s--=;;

lados rniden

T

a : 3.5 cm,

b: 4.5 cm

a=3.5cm

Fígura 12

C

ffi Encuenta el irea de cada triángulo.

- Observa los datos en los dibujos y resuelve.

a.El diagrama muestra las di-mensiones de una vela para unmodelo de bote. . 45cm

Encuentra el irea de la vela.

b.Encuentra el irea del seg-mento circular DE.

Resuelve.

a. Las dimensiones de un lote triangular son 300 m,150 m y 225 m. Si el precio del rerreno es de$200.00 por metro cuadrado, ¿cuánto cuesta ellote?

b. Si se duplican las dimensiones del lote, ¿en cuán-' to se incrementa el costo del mismo?

o

'd

o

E

I

z

=z

@

Completa el mapa de conceptos.

por la medida de susángulos se clasifican en

f :,3 ;_l ¡li,¡ ¡+ r.l i1 i;t i.', i,i l,' firt ¡,. i $ i. ¡ :r

"'obtusángulo. .LLA

'oblicuángulos'Ley del seno.,LLL

" Rectángulo

'Ley del coseno

'acutángulocuando ninguno de susángulo es recto se llaman

I

Ise pueden resolver pormedio de dos teoremas

Ise utiliza cuando los

triángulos cumplen lascondiciones

Encuentra la rnedida de los lados y los ángu-los de cada triángulo.

B

Ise utiliza cuando los

triángulos cumplen lascondiciones

a.

b.o

.g

I

z

tsz

@

fifr Soluciona cada triángulo urilizando la ley de

AC:

4ACB:

+ABC :

senos.

a.a: 8, A : 49", B: 57"

b.A : L07", a : 1.7,2, c : J.2,24 C

o 4 AB: j a.u:7oo,c:58", a:g4

ffi Ru"otu-iento lógico matemático

@ comunicución con lenguaje matemático

! arucacion de la Matemática al entorno

Determina el triángulo que se forrna paracada condición. Justifica tu respuesta con undibujo y un argurnento.

Suponiendo que en el triángulo no rectánguloABC,h: b sen A.

a.albsenA

b.a:bsenA

c.a1úybsenA<a

d.a> b

Realiza un dibujo que represente la situación.Luegoo dernuestra la afirrnación propuesta.

Si una circunferencia de radio r se circunscribe en

un triángulo de vértices P, Q y.F1, entonces:

q - h - . . .

sen P sen Q sen H

Resuelve.

En el punto B de un bosque se encuentra ubica-do un guardabosques.A 15 km se localíza el pun-

to C donde se encuentra otro guardabosques. Los

dos observan un incendio en el punto A.El gtar-

dabosques que se encuentra ubicado en el punto B

registra el ángulo ABC con una medida de 40" y elque se encuentra ubicado en el punto C registra elángulo BCA igual a 80.5".

¿A qué distancia de cada uno de los guardabosques

está el incendio?

-ó

O

€

'á

6

€E

I

=Fz

o

Encuentra la rnedida de los ángulos y los la-dos de cada uno de los triángulos.

b.

AC:

CB=

4ACB:

AC:

4ACn:

4BAC:

AC:

AB:

4ABC:

triángulos utilizando la ley de

c.Á

,/r \ r ,A,\

¡ -B

Resuelve loscosenos.

a. c : 4 crn, a : 2 crn, /iB : 45"

b. a: 2 crn,b : 2 cfi ' t, ziC : 50"

c. a : 10 cm, b : 7 crn,c : 9crn

d.b : ' l cm,r : 3 cm, zrA : 80"

ffi Utiliza.la leV de cosenos para demostrar laexpresron.

a2lb2lc2 cosA , cosB:o-b--2abc

cos Cc

R.ro.hn.

¡. Un ümbre dc 60 pulgdes de lergo e¡ dobl¿-do cn form¿ & triángulo. Si doo dc lo¡ l¿doo deltriángulo midcn 20 pulgdal y 2{ pulgadrs. rer-pectiramcntc.¿cuát c l¿ mcdid¡ del ángulo qucform¿n?

b.l,:s dirgonelcs de un panlclognmo tc con¡nmun¡¿mcnte cn p¡ner iguelet. Si un¡ dc l¿s di¡-gondcs mide 5 cm.l¿ otn dirgoml midc ó cmy el ángulo guc !. form¡ en¡rr cll¿s cs dc fl".¿cuá| es l¡ mcdid¿ de loo l¿doe dcl prnlclogrr-mo?

E -*t

ol l¡o¡ do crd¡ cllryulo.

a. nf = ócm.& = . l cnr. *Z = Uf

b.¿ = 9cm.ü = 7 cm.r = l0cnr

c. P = 3 cm.g = 2 cnr. 4R = l l (1"

d. f=4cm.[=3cm.i=ócm

I nocrt-ür ol arr d. cdr trilngulo.

.. ,\

/ \

f'- A Árc¡--'r

I Ocnrm¡¡¡ ortllFn.to d toonm¡ d. Hoóo.

En ¡odo triángulo ABC

- Ata = Lrort, _rrC

Itl I r-.dm|ó¡r:o adco I cocc.a|r co h¡r{r cu.o I errcraLdr b r¡nrdo rt ¡¡cr

I

b.

TtITtIfT3

Id

ia

te

w

E R¡.t¡zr lo qoc r i¡dlcr.

Tonu como b¡sc cl riguiente procedinriento p¿ri¡demoor¡r ler igud&del de c¡d¡ lirenl.

Ip=]G*t*r)2P= a+ t + t *-2P- la= a r b * c - 2a

2(P-al= 'a*b . t

t .2(P-ü)=a'h+c

b.z(P-d=a+b' t

R¡¡uolw.

hn c¡lcul¡r el ár¡ epluimeü dc un lego. un ro-pógnfo c¡nún¿ por todo cl pcrímetro del lago y¡om¡ l¿s mcdid¡s que sc nrue$&¡n. ¿Cuál cs cl áre¡apruimdr del lego?

Sugerencia: utiliz¡ le lcy de loe cosenoo en loo trettriánguloo quc rc muc$n¡n. Lucgo. determin¡ l¡¡um¡ de l¡s áre¡s.

$| ree y resuelve.

Pisa es una ciudad de Italia ubicada a orillas delcurso inferior del río Arno, a 10 km aproximada-mente de la costa Ligur. Pisa es principalmente uncentro cultural y universitario.Allí hay una gran in-dustria de construcción de maquinarias. Támbiénes un centro muy conocido por algunas construc-ciones arquitectónicas. En la denominada piazzadeí Miracoli se encuentra un conjunto monumen-tal formado por la catedral rornánica (1068 -1118)donde se guardan notables obras de arte; el cam-panile o torre de Pisa (s.XII - XIII) cuya planra escilíndrica, con seis pisos de arcadas y presenta unainclinación hacia el lado sur; el baptisterio (i153)edificio circular que está decorado con gabletes ypináculos y el cementerio o camposanto en el quese contempla gran variedad de frescos.

La torre de Pisa fue construida sobre un subsuelodébil, a ello se debe su inclinación.Originalmente la torre de Pisa tenia 56.235 rn delongitud.De acuerdo con la siguiente figura, encuentra elángulo CAB.Luego, averigua la distancia más cor-ta de C ala recta AB.

o

ó

.E-

€

E

I

z

=z

@37.49 m

ffi arnbientalResuelve.

La lluvia ácida se produce por emisiones de gases,formados por la actividad industrial y por el tráfi-co vehicular.El agua de la atmósfera se torna ácida porque ab-sorbe dióxido de azufre (SOr) (producido por lacombustión del carbón y del petróleo) y dióxidode nitrógeno (NO2) (contenido en los gases pro-ducidos por los vehículos en movimiento). A1 ab-sorber estos compuestos, en el agua se producenprocesos químicos que forman el ácido sullúricoy ácido nítrico, los cuales son altamente tóxicos ycorrosivos.Cuando llueve, los ácidos que están disueltos en elagua causan daños en el follaje y las raíces de los ár-boles, las edificaciones y las piedras calizas, ademástienen efectos nocivos en los suelos y ríos.En las zonas del planeta donde hay mayor indus-trializaci6n y concentraciones urbanas los árbolespierden su follaje y los bosques tienden a desapa-recer.Este es el modelo de una finca que sirve para estu-diar eGctos de la lluvia ácida

950m u

a. ¿Cuál es la medida del ángulo ABD?

b. ¿Cuál es la longitud del segmento BC?

c. Si se utlliza un aparato para medir la acidez delagua cada 30 nf , ¿cuántos aparatos se utilizanaproximadamente para medir la acidez del aguaen la finca?

lJn satélite de vigilancia da vueltas alrededor de laTierra a una altura de ft millas por encima de ia su-perficie.

Imagina que d es la distancia, en millas, sobre la su-perficie de la Tierra que puede ser observada desdeel satélite.

o

o.' I

o

.a

8. ¿Cuál es la probabilidad de que caigan 4 caras?

9. En este experimento binomial, los resultados posiblesy excluyentes son

u. Érito y fracaso.

c. Cara y Escudo.

10. La variable de este experimento no es:

(a.^

IU

5c.-to

a. Discreta

c. Aleatoria

a. 0.9696

c. -0.9696

a. (x - l)/s

c. x * x /s

b.+CrU

d.+

b. 3 caras y dos escudos.

d. Las cinco monedas.

b. Continua

d. Binomial

b.0.4696

d. -0.4696

b. x- i /s

d. x- (x) /s

. Completa los enunciados del 7l al t3 con base enla siguiente información.

La distribución de las noras de Matemática de cierto grupode estudiantes es simiiar a la distribución normal estándar,por lo que el profesor decide hacer algunos cálculos conbase en ella. La media es de 68 puntos y la desviación están-dar es de 8 puntos.

L1. Luis tiene la nota más alta y es de 83 puntos , ¿eué áreade la curva normal le corresoonde?

12. ¿Cuáles la expresión para cd,cuTar z?

oo

.o-

E

I

z

F-z

o

13. ¿Cuál de las siguientes no es una característica de ladistribución normal estándar?

a. Atraigual 1.

b. Es asimétrica.

c. Es una distribución de probabilidad.

d. Genera tablas para su cálculo.

. Completa los enunciados del 14 al 16 con base enla siguiente información

Sea el triángulo MNO: M

1,4. La ley de los cosenos para n se expresa de la forma:

a. n2 : m2 + o2 - 2mo cosN

b. n2 : m2 + o2 I 2mo cosNmln*o

C. rUi,\ : --^ -¿mo

[_--Tl t - (os1

d. rosN : -l- 1,1-v 2

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta paracal-cular el área del triángulo MNO cuyo semiperímetroes p?

^ mlnI , ;a. d: - - , ,+n

b. A: 2ph

c. A:

d. A= l *o,rnx

p(p - m)(p -

1.)

3.

".O b.O ".Oa.O'.O b.O..Od.O

".O b.O..Od.O".O b.O..Oa.O".O b.O..Od.O

6. u.O u.O..O¿.O7. u.O u.O ".O a.Os. u.O u.O ..O a.Oe. u.O u.Q c.Q a.Q

10. a.Q ¡.O ..O a.O

11. a.Q u.Q c.Qa.Q12. a.Q u.O..O¿.O13. a.Q u.O ".O ¿.Ola. a.Q u.O ".O¿.O15. a.Q u.O ".O¿.O

ffiOrcuia los triángulos y calcula sus áreas y perímetros.

a. lJn triángulo tiene dos lados que miden 4 crn cadauno y el ángulo entre ellos es de 22".

I Resuelve los problemas.

a. Halla la altura del árbol y el ancho del río. Desde,4hasta C hay 40 metros.

c. Calcula la altura del edificio.

É ffi Dibuja y resuelve los problemas.

_q a. Halla la altura de un poste sabiendo que el ángu-.E-rr l

3 lo de elevación es de 25" en un punro y de 35" al

€ acercarse 60 metros a la base.;

E

-I

ziFz

o

b. Un triángulo cuyos lados9 cm.

miden 3 crn,7.5 cn:r. y

b. En la figura halla BC si m : 60o,cx. :50o,n:74",F:52"yd:100m.

D

d. Encuentra la altura de la pirámide de Keops. Lado(t) : 221 m, sombra proyectada 24.5 m.

b. Una rampa para personas discapacitadas no pue-de tener una inclinación mayor de 10o. ¿Cuál es elmínimo largo de la rampa, si se necesita elevar a 1metro y medio del suelo?

E

2.

Marca la respuesta para cada caso en el recuadro que se encuentra al final de la siguiente página. Rellena elcírculo que ubica la respuesta correcta.

INCoRRECTo: ".O b.@ ".@ d.O coRRECro' a.O b.O ..O d.O

. Completa los enunciados del 1 al 4 con base en lasiguiente información

Se le pide a una persona que pruebe tres fipos de refrescosde las marcas A, B y C. Luego se le solicita que al probar lastres bebidas, las clasifique en orden de preferencia.

1. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?

a. {(ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA)}

b. {A,8, C}

c. {(ABC), (BAC), (CAB)}

d.{A, B, C, (AB), (AC), (BA), (BC), (CA), (CB),(ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA))

¿Cuál de los siguientes no es un evento posible en esteexperimento aleatorio?

a. Ordenamientos donde estén marcas A y B.

b. Ordenamientos donde el tercer lugar lo ocupe lamarca A.

c. Ordenamientos donde no esté la marca C.

d. Ordenamientos donde esté la marca B.

¿Cuál es la probabüdad de que la bebida marca A nosea clasificada de primera?

a. 0.6666

b. 66.66 %aL

c.;

d. Las opciones a, b y c son correctas.

¿Cuál es la probabilidad de que la bebida marca A seaclasificada de primera y la bebida marca B sea clasifi-cada de segunda?

1,

2

3.

4.

b.+o

d.+

. Completa los enunciados del 5 al 7 con base en lasiguiente información

La tabla de la siguiente columna muestra dos tipos detransacciones bancarias que realizan varios usuarios de uncajero automáttco y su distribución por género

Tipo de transacción

Genero Retiro Consulta de saldo

Hombres 30 20Muieres t2 15

5. Si llega un nuevo cliente al cajero automático y realizaun retiro, la probabilidad que sea mujer es de:

^a+za' 77

12c' 42

1)b.-

g.ñAL

6. La probabilidad de que la persona que se acerque alcajero sea hombre es de:

^. ta' 77

50c' 77

7. La probabiJidad de que un hombre llegue al cajero yhaga una consulta de saldo es de:

30 30a'

77 D'

50

3 ,30c' 77

d" 42

. Completa los enunciados del 8 al 10 con base enla siguiente información.

Si se lanza cinco veces una moneda, su distribución bino-mial se esquematiza en el gráfico.

b.#?n

d' 77

10R

lli .

0

o

'€.E

:o

rg: .s i

=:9. l

z, fFz

.o

Al igualarCV@set iene:

b sen C : c sen B,de donde, sen C - ser! B

c-b

Ahora, sobre a,4BC se traza la altura L, sobre el lado c(figura 2) y se tiene:

sen A: T.ro, ranto,hr: b senA

sen B : 4,ro, tanto,h, : a sen B

b senA: a sen B..- a sen B sen A sen BDedonde. T:_T a : f f :

. l . r i r ¡ r r i :n l : l ¡ l i ¡ ¡ ¡ .11 ¡1q.! ; , ; . ;

l .Resuelve LABC d,e lafigura J, en el cual A: 55", B : 4!" ya: 4.5 crn.

'' Para determinar la medida del lado b, se utlliza la ley del seno. así:sen A sen B

q0

--o / ta

sen J) sen + |4.s b Se reemytlazan los datos.

4 \ co. / ,1"b : 'ffi : 3.6 crn Se despejab.sen 55

La medida de C se determina a continuación.

A+Bf C:180". ' , 55"+41" +C:180"É,.g1|* C:84"

. Para determinar la medida del lado c, se utiliza la lev del seno. así:sen C sen B-:_

ch

sen 84" sen 41"^-:-( J.O Se reemplazan'los datos,

3.6 sen 84'c :

-;;Zf

: 5.-16 cm Se despeja c.J(r¡ T I

Así, las medidas de los elementos del triángulo ABC son:

a: 4.5 crn;b:3.6 crn,c: 5.46 crn

A:55",8:4I"yC:94".

sen CFigura 2

a.

o

. i

ó

p

=I

z

z

o

$ R".o"lwe cada triángulo. Resuelve.

Determina la dis-tancia entre lospuntos AyBenlas orillas opues-tas de un lago, co-mo se indica en elgráfico. Aproximatu respuesta a metros.

COMPRENDER DIFERENTES REPRESENTACIONES

1. Un submarino :utlliza un sonarpara determinar que un barco seencuentra a 4 millas al este y queviaja a L0 mi/h con dirección no-roeste 62". Si el submarino viaja a18 milh, ¿en qué dirección debedesplazarse para interceptar al bar-co y en qué tiempo 1o interceptará?

2. El oiloto de un

3. El ángulo de elevación de la cima de una montañadesde un punto sobre la tierra es de 42".Desplazán-dose 304.6 metros más del punto anterior, el ángulode elevación es de 31". Calcula la altura de la montaña.

. i . r r : : r : - :

4. Dos remolques que están separados por 36 me-tros tiran de un contenedor, como se muestra enla figura. Si la longitud de uno de los cables es de64 rn y la del otro es de 69 metros, determina el án-gulo que forman entre ellos.

7. Dos de los lados de un triángulo miden 400 m y600 m respectivamente. Si el ángu1o entre ellos mide46.3",encuentra el áreay e7 perímetro del triángulo.

8. La base de un triángulo isósceles nide 22 cm y la me-dida del ángulo opuesto a la base es 36". Encuentra superímetro.

9. Determina el perímetro del triángulo isósceles,4BC,si su base mrde 22 cm v f B : 26".

10. El círculo Q mostrado en la figura tiene un radio de15 cm. Los dos radios Q,4 y QE forman un ángu-1o de 123".Encuenffa la longitud de la cuerda deter-minada Dor los extremos de los radios.

62"24',

-"6aY"*,7conoclmlento que

vuela sobre el mara una altura de2 500 metros, di-visa dos embar-caciones que .se

encuentran en un mismo plano vertical con ángu-los de depresión 62" 24' y 37" 18', respectivamente.Calcula la distancia que separa una embarcación de laotra.

OBTENER D.ATOS DE UN DIBU'O

5. Una persona sostiene dos co-metas que están volando. Auna de las cometas le ha solta-do 1 000 metros de pita y a Iaotra 800 metros. Si el ánguloque forman ambas pitas es apro-ximadamente 30", ¿a qué distan-cia está una cometa de la otra?

6. Ties círculos con radios de 3 cm, 4 cm y 5 cm sontangentes entre sí. Encuentra eI área de la región som-breada.

I 2500 m

r l

óo

'd

€o

I

zt1Fz

o

. i

I Calcula el valor de los lados y ángulos que faltan en cada triángulo.

a.

6cm

T40m

1

b. Un pedestal de 1,5

m de altura sostie-ne una estatua de

3 m de altura. ¿Aqué distancia delpie del pedestal se

3m

PI

/

puede ver la parte más alta de la estatua y del pedes-

tal con ángulos iguales a 40o?

@ Out""-ina si cada enunciado es verdadero o falso.Justifica tu respuesta.

a. En un triángulo obtuso la suma de sus tres ángulosinternos ouede ser mavor que 180".

b. Algunos triángulos que pueden resolverse por el

teorema de los s'enos pueden también solucionarsepor el teorema de los cosenos. De ser verdadero, da

un ejemplo.

c. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sonsuDlementarios.

d. Si se conocen las medidas de los tres lados de un

triángulo no rectángulo, puede resolverse por elteorema de los senos.

o

.g

=

I

2

z

(9

400 m

@ Resuelve.

a. Calcula x y oL, si M es punto medio.