unidad de aprendizaje 1 mate

ADMINISTRACIÓN BANCARIA Y

FINANCIERA

ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS

INTERNACIONALES

MATEMÁTICA

UNIDAD 1 – CONJUNTOS

PROFESOR:

FREDDY BEGAZO ZEGARRA

AREQUIPA - 2014

Conjuntos Lic. Freddy Begazo Zegarra Unidad I

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CONTENIDOS

Introducción

………………………. 03

Noción de conjunto

………………………. 04

Relación de pertenencia ………………………. 04

Determinación de un conjunto ………………………. 04

Conjuntos numéricos ………………………. 06

Conjuntos especiales ………………………. 06

Relación entre conjuntos ………………………. 07

Conjunto potencia ………………………. 07

Operaciones entre conjuntos ………………………. 08

Problemas con conjuntos ………………………. 12

Bibliografía ………………………. 15


3

INTRODUCCIÓN

El profesional de la carrera de Administración Bancaria y Financiera y de

Administración de Negocios Internacionales, en muchas circunstancias de trabajo o

investigación requerirán de conocimientos matemáticos, como el de cálculo y de

estadística. Este curso les proporcionará los conceptos básicos, propiedades y

operaciones que le servirán de herramientas para el desarrollo de dichos cursos.

En esta primera unidad analizamos y desarrollamos conceptos básicos de Conjuntos,

imprescindible en el estudio básico de las matemáticas como complemento de los

estudios secundarios.

Se inicia con la noción de conjunto y la determinación de un conjunto, así como el

estudio de la relación que se da entre un elemento y un conjunto y las relaciones que

se dan entre conjuntos.

Se realiza un estudio de las operaciones entre conjuntos, concepto que se empleará

para la solución de problemas.


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CONJUNTOS

1. Noción de Conjunto

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos

de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados elementos del conjunto.

Notación Los conjuntos se escriben entre llaves { } y se denotan con letras mayúsculas, como, A, B, C…, Z; sus elementos son cada uno de los objetos que forman parte de un

conjunto, se les representa con letras minúsculas, a, b, c,…x, y, z.

2. Relación de pertenencia Si un elemento está en un conjunto dado, se dice que el

elemento pertenece al conjunto, se usa el símbolo

Ejemplo:

Sea el conjunto 7;5;3;2;2A

A3 ; el elemento 3 está contenido en el conjunto A

A1 ; el elemento 1 no está contenido en el conjunto A

3. Determinación de un conjunto Un conjunto se dice que está bien determinado o bien

definido si se conoce con precisión los elementos que contiene, hay dos formas de determinar un conjunto:

3.1. Por extensión Cuando se nombra a cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos están escritos por extensión:

7;5;3;1A

iretamB ;;;;;

3.2. Por comprensión Cuando se dan propiedades o características que caracterizan

a los elementos del conjunto.

Ejemplo:

Los siguientes conjuntos están escritos por comprensión:

41/12 xZxxA

materia palabra la de letras sonxxB /


5

Ejemplo:

Escriba por extensión los conjuntos dados por comprensión

a) 41/12 xZxxA

Determinamos los valores de la variable x ; 4;3;2;1x

Luego, determinamos los elementos del conjunto A , con la relación 12 x

71)4(2;4

51)3(2;3

31)2(2;2

11)1(2;1

x

x

x

x

Finalmente: 7;5;3;1A

b)

43/3

2xZxZ

xB

Determinamos los valores de la variable x ; 4;3;2;1;0;1;2;3 x

Luego, determinamos los elementos del conjunto A , con la relación Zx 32

Zx

Zx

Zx

Zx

Zx

Zx

Zx

Zx

3/83/)4(2;4

23/)3(2;3

3/43/)2(2;2

3/23)1(2;1

03)0(2;0

3/23)1(2;1

3/43)2(2;2

23)3(2;3

Finalmente: 2;0;2B


6

c)

43/3

2xZx

xC

Determinamos los valores de la variable x ; 4;3;2;1;0;1;2;3 x

Luego, determinamos los elementos del conjunto A , con la relación 32x

3/83/)4(2;4

23/)3(2;3

3/43/)2(2;2

3/23)1(2;1

03)0(2;0

3/23)1(2;1

3/43)2(2;2

23)3(2;3

x

x

x

x

x

x

x

x

Finalmente:

3

8;2;

3

4;

3

2;0;

3

2;

3

4;2C

4. Conjuntos numéricos

4.1. El conjunto de los números naturales ...;4;3;2;1;0N

4.2. El conjunto de los números enteros ...;3;2;1;0;1;2;3... Z

4.3. El conjunto de los números racionales

0,/ bZbab

aQ

4.4. El conjunto de los números irracionales QxxI /

4.5. El conjunto de los números reales IQR

5. Conjuntos especiales

5.1. Conjunto vacío o nulo: Es el conjunto que no tiene elementos, se denota por

o .

Ejemplo:

21/ xZxxA

5.2. Conjunto unitario: Es el conjunto formado por un solo elemento. Ejemplo:

231/ xZxxB


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5.3. Conjunto finito: Es el conjunto con una cantidad limitada de elementos.

Ejemplo:

5;4;3;2;1C

5.4. Conjunto infinito: Es el conjunto con una cantidad ilimitada de elementos.

Ejemplo:

NxxD /

5.5. Conjunto Universal: Es el conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, es aquel conjunto que sirve de base para definir

otros conjuntos, se denota por; U

6. Relación entre conjuntos

6.1. Relación de inclusión:

Un conjunto A está incluido en otro conjunto B , sí y sólo sí, todo elemento de

Aes también elemento de B y se denota por BA .

En este caso el conjunto A se dice que es subconjunto de B .

Propiedades de la relación de inclusión:

a) Reflexiva: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, AA b) Transitiva: Si CACBBA entonces y ,

6.2. Relación de igualdad:

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos:

ABBABA

6.3. Conjuntos disjuntos:

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en común.

7. Conjunto Potencia

Dado el conjunto A , el conjunto potencia de A o conjunto de partes es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A , denotado por )(AP .


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Ejemplo:

;;;;;;;;;;;;)(

;;

cbacbcabacbaAP

cbaA

EntoncesSi

Observaciones:

1. Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tiene n2 elementos.

2. El conjunto vacío es subconjunto del conjunto A .

8. Operaciones entre conjuntos 8.1. Unión:

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos conjuntos. Se denota por BA

BxAxUxBA /

8.2. Intersección:

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B , es decir, los

elementos comunes a ambos conjuntos. Se denota por BA

BxAxUxBA /


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8.3. Diferencia:

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenece a B . Se denota por BA

BxAxUxBA /

8.4. Diferencia simétrica:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define por:

BAxBAxUxBA /

También: ABBABA


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8.5. Complemento:

El complemento del conjunto A , denotado por cA es el conjunto formado por

todos los elementos de U que no pertenecen al conjunto A .

AUA

AxUxA

c

c

/

Propiedades de las operaciones:

1. AAA 2. UUA

3. AA

4. AAA 5. AUA

6. A

7. AAcc

8. cU

9. UAA c

10. cAA


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Ejemplo:

Sean los conjuntos:

23/2

33/2

4;3;0;1

52/

xZxUx

C

xZxUxB

A

xZxxU

Determine las siguientes operaciones

ACBb

CBAa

c

)

)

Primero encontramos los conjuntos por extensión

1;1

0;1;2

4;3;0;1

4;3;2;1;0;1;2

C

B

A

U

Calculamos las operaciones

0

1;10;1

1;10;1;24;3;0;1

)

CBAa

4;3;0

4;3;0;11

4;3;0;14;3;2;0;20;1;2

4;3;0;11;10;1;2

)

c

c ACBb


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9. Problemas con conjuntos

Ejemplo:

1. En un grupo de 70 estudiantes se encuentran 25 estudiantes de matemática y 40 de comunicación.

a) ¿Cuántos estudiantes llevan ambas materias? b) ¿Cuántos estudiantes llevan solo matemática?

Solución: En el siguiente problema se explica los pasos a seguir en la solución de

un problema de conjuntos.

Se realiza el esquema de conjuntos y se escriben los datos del problema:

Se plantea la ecuación y se determina el valor de la variable.

x

x

xxx

5

7075

704035

Se reemplaza el valor de la variable en el problema.


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Se responde las preguntas formuladas:

a) ¿Cuántos estudiantes llevan ambas materias?

5 alumnos llevan ambas materias

b) ¿Cuántos estudiantes llevan solo matemática?

30 alumnos llevan solo matemática

2. De 110 deportistas se sabe que 45 practica fútbol, 40 básquet y 55 atletismos; 10

practican fútbol y básquet; 15 practican fútbol y atletismo; 18 practican básquet y atletismo, además son 3 los que practican las tres disciplinas.

a) ¿Cuántos deportistas practican solo fútbol b) ¿Cuántos practican fútbol y atletismo pero no básquet?

c) ¿Cuántos no practican disciplina alguna? d) ¿Cuántos no practican básquet?

Solución:

Se realiza el esquema de conjuntos y se escriben los datos del problema. Considere primero la intersección de los tres conjuntos, luego la intersección

de dos conjuntos y finalmente complemente de los conjuntos.

Responder las preguntas formuladas apoyados por el esquema:

a) ¿Cuántos deportistas practican solo fútbol

23 deportistas practican solo fútbol


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b) ¿Cuántos practican fútbol y atletismo pero no básquet?

12 deportistas practican futbol y atletismo pero no básquet.

c) ¿Cuántos no practican disciplina alguna?

Son 10 deportistas que no practican estas disciplinas

d) ¿Cuántos no practican básquet?

70 son los deportistas que no practican básquet.


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BIBLIOGRAFÍA

- Matemática Básica – Eduardo Espinoza Ramos – 2º edición 2005

- Matemática Básica – Ricardo Figueroa García – 9ª Edición 2006

- Introducción al Análisis Matemático – Armando Venero – 1987

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