ADMINISTRACIN BANCARIA Y

FINANCIERA

ADMINISTRACIN DE NEGOCIOS

INTERNACIONALES

MATEMTICA

UNIDAD 4 DERIVADAS

PROFESOR:

FREDDY BEGAZO ZEGARRA

AREQUIPA - 2014

Nmeros Reales Unidad II

2

CONTENIDOS

Introduccin

. 03

Definicin de la derivada

. 04

Reglas de derivacin . 05

Anlisis Marginal . 06

Regla de la cadena . 09

Propiedades de la derivada de funciones

logaritmo y exponencial . 11

Derivadas de orden superior . 12

Bibliografa . 14

Nmeros Reales Unidad II

3

INTRODUCCIN

En los Negocios Internacionales un elemento fundamental es el manejo

adecuado de los envases y embalajes, para lograr as una gestin eficiente en la

cadena logstica, que permita brindarle a los productos una mayor seguridad y

proteccin.

En esta primera unidad para poder lograr lo antes mencionado debemos tomar

en cuenta la factores y riesgos del manipuleo de carga, los cuales varan en cada

una de las operaciones de negocios internacionales, el primer factor de esta variacin

se debe a la naturaleza de la carga por esto se entiende si la carga es considerada

como Perecedera, Seca, Frgil, Alto Valor y Peligrosa.

El segundo factor a tomar en cuenta es el tipo de carga segn la forma de

envo de la misma, pudiendo ser carga a Granel y Unitarizada, este anlisis nos

permitir elegir el mejor medio para la proteccin de la carga y entrega en los plazos

establecidos, siempre debemos de tomar en cuenta que la eficiencia en la cadena

logstica se mide en tiempo y no en costos.

Como tercer factor debemos comprender y aplicar los conceptos fundamentales

relacionados con los pesos y dimensiones de la carga como son peso neto, peso

bruto, peso volumen y cubicaje con estos datos lograremos determinar el factor

de estiba ms adecuado, factor que nos permitir conocer como estibar la

mercadera en los diferentes tipos de contenedores que se utilizan actualmente en

los negocios internacionales.

Nmeros Reales Unidad II

4

DERIVADAS

1. Definicin de la derivada

Sea )(xfy una funcin. La derivada de y con respecto a x , denotada por dxdy / , se

define por

x

xfxxfLm

dx

dy

x

)()(

0

La operacin de calcular una derivada es llamada diferenciacin. Si la derivada de una funcin existe en un punto particular, decimos que y es diferenciable en

tal punto.

La derivada de )(xfy con respecto a x tambin se denota por uno de los siguientes

smbolos:

)(;);(;;)( xfyfdx

d

dx

dfy

dx

d

1.1. Interpretacin geomtrica: Si ))(;( xfxP y xxfxxQ ; son los puntos sobre la grfica de )(xfy , entonces la razn

x

xfxxf

x

y

)()(

Representa la pendiente del segmento PQ , a medida que x se hace ms pequeo, el

punto Q se aproxima cada vez ms a P y el segmento secante PQ est cada vez ms

cerca de ser tangente. Cuando 0x , la pendiente de la secante PQ se aproxima a

la pendiente de la lnea tangente en P . As que

dx

dy

x

yLmx

0

Representa la pendiente de la lnea tangente a )(xfy en el punto ))(;( xfxP

Nmeros Reales Unidad II

5

2. Reglas de derivacin:

Sean las funciones )();( xgxf y las constantes kc; se tiene:

a) cxf )( entonces 0)( xf

b) nxxf )( entonces 1)( nnxxf

c) nkxxf )( entonces 1)( nknxxf

d) )()()( xgxfxf entonces )()()( xgxfxf

e) )()()( xgxfxf entonces )()()()()( xgxfxgxfxf

f)

)(

)()(

xg

xfxf entonces

)(

)()()()()(

2 xg

xgxfxgxfxf

Ejemplo:

Halle la derivada de las funciones siguientes.

12)() xfa

0)( xf

43)() xxfb

312)( xxf

Nmeros Reales Unidad II

6

2453)() 24 xxxxfc

41012)( 3 xxxf

1

23)()

x

xxfc

2

2

2

1

16)(

1

2313)(

1

123123)(

x

xxf

x

xxxf

x

xxxxxf

3. Anlisis Marginal:

En la aplicacin de la derivada en administracin y la economa la palabra marginal se utiliza para indicar la derivada de funciones econmicas.

1. Costo marginal: Consideremos el costo requerido para producir un producto o realizar un servicio.

Si )(xC es el costo por la produccin de x artculos o unidades, se define el

costo marginal como la derivada )(xC .

Ejemplo:

El fabricante de cierto producto ha determinado que para producir x unidades

de este producto en la semana, est dado por 2002.0250)( xxC soles,

Por ejemplo si se producen 120 unidades el costo est dado por:

soles125

)120(002.0250)120( 2

C

Si calculamos la derivada de la funcin:

xxC 004.0)(

Calculamos el costo marginal con 100x

Nmeros Reales Unidad II

7

4.0)100( C

Lo cual nos dice que al incrementar una unidad en la produccin de la semana el costo disminuye en 0.4 soles, debera entenderse en particular que si se produce

la unidad 101 el costo disminuye en 0.4 soles

2. Ingreso Marginal

Ahora consideremos los ingresos derivados de la venta de un producto o

servicios de una empresa. Si )(xR denota el ingreso en dlares por la venta de

x artculos, definimos el ingreso marginal como la derivada )(xR

Ejemplo:

Si la funcin de ingreso est dada por 201.010)( xxxR , en soles, donde xes

el nmero de artculos vendidos, determine el ingreso marginal. Evale el ingreso marginal cuando x=200

Calculamos la derivada de la funcin:

xxR 02.010)(

Calculamos el ingreso marginal con 200x

6)200( R

El resultado nos indica que al incrementar en una unidad las ventas el ingreso incrementa en 6 soles.

3. Ingreso Marginal

La utilidad que una empresa obtiene est dada por la diferencia entre sus

ingresos y sus costos. Si la funcin de ingreso es )(xR cuando se venden x

artculos y si la funcin de costo es )(xC al producirse esos mismos x artculos,

entonces la utilidad )(xU que se obtiene por producir y vender x artculos est

dado por:

)()()( xCxRxU

La derivada )(xU se denomina la utilidad marginal. Representa la utilidad

adicional por artculo si la produccin sufre un pequeo incremento.

Nmeros Reales Unidad II

8

Ejemplo:

La ecuacin de demanda de cierto artculo es 801.0 xp y la funcin de costo

es xxC 205000)( , en dlares. Calcule la utilidad marginal cuando se

producen y venden 150 unidades y tambin en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades.

La funcin de ingreso est dada por:

21.080)1.080()( xxxxxpxR

La utilidad generada por la produccin y venta de x artculos est dada por:

5000601.0)(

2050001.080)(

)()()(

2

2

xxxU

xxxxU

xCxRxU

Determinamos la utilidad marginal

602.0)( xxU

Evaluando

S 150x , tenemos

30)150(

60)150(2.0)150(

U

U

Cuando se produce 150 unidades, la utilidad marginal, la utilidad extra por

unidad adicional cuando la produccin se incrementa en una unidad es de $30

S 400x , tenemos

20)400(

60)400(2.0)400(

U

U

Cuando se produce 400 unidades, la utilidad marginal, la utilidad decrece en $20

cuando la produccin se incrementa en una unidad.

Nmeros Reales Unidad II

9

4. Regla de la cadena:

Sea )(ufy una funcin de u y )(xgu una funcin de x entonces se puede escribir

)(xgfy que es la funcin compuesta de f y g . Las derivadas de funciones compuestas pueden calcularse mediante la llamada regla de la cadena.

Regla de la cadena: Si )(ufy una funcin de u y )(xgu una funcin de x entonces:

dx

du

du

dy

dx

dy

Ejemplo:

Halle dx

dy cuando

52 )1( xy

Empleando la regla de la cadena, tenemos; que y puede expresarse como la

composicin de dos funciones, donde:

5uy Donde 12 xu , se sigue

45udu

dy Y x

dx

du2

Por la regla de la cadena

42

42

4

110

215

25

xxdx

dy

xxdx

dy

xudx

dy

dx

du

du

dy

dx

dy

Si )(ufy otra manera de escribir la regla de la cadena es:

dx

duuf

dx

dy)(

Nmeros Reales Unidad II

10

En particular si 1)(;)( nn nuufuuf , as tenemos el siguiente caso de la regla de la

cadena.

Si nxuy )( entonces dx

dunu

dx

dy n 1

Ejemplo:

Halle dx

dy cuando

52 )1( xy

Considerando la propiedad nxuy )( entonces dx

dunu

dx

dy n 1

52 )1( xy

42

42

242

)1(10

2)1(5

1)1(5

xxdx

dy

xxdx

dy

dx

xdx

dx

dy

Ejemplo:

133)( xxf

132

9)(

3)13(2

3)(

133)(

2/1

2/1

xxf

xxf

xxf

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5. Propiedades de derivadas de funciones exponenciales y logartmicas:

a) xexf )( entonces xexf )(

b) kxexf )( entonces kxkexf )(

c) )()( xuexf entonces )()()( xuexuxf

d) )ln()( xxf entonces x

xf1

)(

e) ))(ln()( xuxf entonces )(

)()(

xu

xuxf

Ejemplo:

Halle la derivada de las siguientes funciones:

14ln)() 2 xxxfa

14

42)(

2

xx

xxf

3 213ln)() xxfb

13

2)(

13

3

3

2)(

13ln3

2)(

13ln)(3/2

xxf

xxf

xxf

xxf

xxexfc 42

)()

xx

xx

exxf

exxxf

4

42

2

2

42)(

4)(

Nmeros Reales Unidad II

12

xexfd x 21ln)() 12

xxxexf

xexexxf

xexexf

x

xx

xx

21

221ln2)(

21

221ln2)(

21ln21ln)(

1

11

11

2

22

22

6. Derivadas de orden superior:

Si )(xf es una funcin diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y

con respecto a x . Si la segunda derivada es una funcin diferenciable, su derivada se denomina la tercera derivada de y y as sucesivamente.

Las derivadas de orden superior se denotan de la siguiente manera.

)()()()(

...

...

)(

3

3

2

2

xfxfxfxf

yyyy

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

dy

n

n

n

n

Ejemplo:

Halle las derivadas indicadas:

)(;1434)() 25 xfxxxxfa

68)(

4620)(

3

4

xxf

xxxf

Nmeros Reales Unidad II

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fexfb x ;)() 32

23

33

33

3

42)(

222)(

22)(

2)(

2

22

22

2

xexf

xexexf

exexxf

xexf

x

xx

xx

x

)();ln()() xfxxfc

3

3

2

1

2)(

2)(

)1()(

)(

1)(

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

Ejemplo:

Dada la funcin de costo: 1000403.0001.0)( 23 xxxxC

El costo marginal es 406.0003.0)( 2 xxxC

La segunda derivada es 6.0006.0)( xxC

Si 150x , el costo marginal es 5.17)150( C , as mismo 3.0)150( C

Se interpreta que por cada unidad adicional producida conduce a un incremento de 0.3 en el costo marginal.

Nmeros Reales Unidad II

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BIBLIOGRAFA

- Matemticas aplicadas a la Administracin Arya / Lardner / Ibarra 5 Edicin

2009

- Anlisis Matemtico I Eduardo Espinoza Ramos 4 edicin 2005