unidad de aprendizaje 2 mate

ADMINISTRACIN BANCARIA Y

FINANCIERA

ADMINISTRACIN DE NEGOCIOS

INTERNACIONALES

MATEMTICA

UNIDAD 2 NMEROS REALES

PROFESOR:

FREDDY BEGAZO ZEGARRA

AREQUIPA - 2014

Nmeros Reales Unidad II

2

CONTENIDOS

Introduccin

. 03

Nmeros reales

. 04

Expresiones algebraicas . 04

Polinomios . 05

Leyes de exponentes . 07

Operaciones algebraicas . 09

Productos notables . 10

Factorizacin . 13

Fracciones algebraicas . 15

Ecuaciones . 17

Inecuaciones . 24

Problemas de aplicacin . 27

Bibliografa . 32


3

INTRODUCCIN

En esta segunda unidad analizamos y desarrollamos conceptos bsicos de nmeros

reales, los cuales estarn descritos por las propiedades, axiomas, definiciones y

teoremas que establece la parte fundamental de la matemtica.

Se requiere de conocimientos bsicos del algebra escolar tales como operaciones

algebraicas, productos notables y factorizacin, conceptos que estarn orientados a

mejorar tcnicas para la resolucin de ecuaciones e inecuaciones, que sern aplicados

en la solucin de problemas.


4

NMEROS REAALES

1. Sistema de Nmeros Reales

Es un conjunto ,R dotado de dos operaciones, adicin y multiplicacin y una relacin de orden "" que se llama menor que y que satisface o cumple los siguientes axiomas.

Axiomas de la adicin:

RbaRbaA ;;1 :clausura de Ley

abbaRbaA ;;2 :aconmutativ Ley

cbacbaRcbaA ;;;3 :asociativa Ley aaaRRaA 00/0!;4 :aditivo Neutro del unicidad y Existencia

0/)(!;5 aaaaaRaA :aditivo inverso del unicidad y Existencia

Axiomas de la multiplicacin:

RbaRbaM ;;1 :clausura de Ley

abbaRbaM ;;2 :aconmutativ Ley

cbacbaRcbaM ;;;3 :asociativa Ley aaaRRaM 11/1!;4 :tivomultiplica Neutro del unicidad y Existencia

1/)(!;05 111 aaaaaRaM :tivomultiplica inverso del unicidad y Existencia

Leyes distributivas

cbcacba

cabacbaRcbaD

:;;

2. Expresiones algebraicas Una expresin algebraica es la combinacin de nmeros y

letras (variables) que se relacionan por las operaciones bsicas de suma, resta,

multiplicacin, divisin, potencia y radicacin.

Ejemplo:

Las siguientes expresiones, son expresiones algebraicas:

554)

5

233)

2

432

aab

xyxyyxa


5

Un trmino algebraico, es la combinacin de nmeros y letras relacionadas por las operaciones de multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, es decir, los trminos

algebraicos estn separados por los signos de suma y diferencia en la expresin algebraica.

Ejemplo:

En el trmino: 323 yx se observan las siguientes partes

literal parte

ecoeficient

signo

:

:3

:

32yx

Un factor es cada uno de los componentes del trmino algebraico.

El grado de un trmino algebraico, es la suma de los exponentes de las variables; el grado de una constante es cero.

Se denominan trminos semejantes, aquellos trminos que tienen la misma parte literal

3. Polinomios Un polinomio es una expresin algebraica que presenta las siguientes caractersticas:

i. Un polinomio presenta un nmero finito de trminos. ii. Los exponentes de las variables de un polinomio son enteros positivos

Un polinomio en x es:

011

1 ...)( axaxaxaxPn

nn

n

Ejemplo:

xyyxyxyxPb

xxxPa

2232

2

4),()

243)()

En el primer caso el polinomio P depende la variable x ; en el segundo caso el polinomio P depende de las variables yx e

Ejemplo:

Determine si es polinomio o no, en las siguientes expresiones algebraicas

243)() 2 xxxPa Si es polinomio


6

xxxxPb 224)() No es polinomio

...1)() 5432 aaaaaaPc No es polinomio

33

4)() 3 y

yyPd No es polinomio

24)() 32

xxxPe No es polinomio

3.1. Valor numrico de un polinomio Es el valor que toma el polinomio cuando se reemplaza en l valores asignados a sus variables.

Ejemplo:

a) Sea el polinomio 142)( 2 xxxP ; halle )3(P

31

11292

13432)3(2

P

b) Sea el polinomio 22 23);( yxyyxyxP ; halle )2;1(P

6

44213

2212213)2;1(22

P

3.2. Cambio de variable en un polinomio Es la expresin que se obtiene al cambiar la variable del polinomio por otra.

Ejemplos:

a) Sea el polinomio 33)( 2 xxxP ; halle )( xP

33

33)(

2

2

xx

xxxP

b) Sea el polinomio 42)( 2 xxxP ; halle )1( yP

14

42212

4121)1(

2

2

2

yy

yyy

yyyP


7

4. Leyes de los exponentes

La potencia n-sima de ""a , es na con n entero positivo; donde aaaaaan .... ; n veces

Algunas propiedades sobre exponentes que sern de utilidad en el curso son:

1. 0;10 aa si

2. mnmn aaa

3. 0; aaa

a mnm

n

si

4. mnmn aa 5. nnn baba

6. n

nn

b

a

b

a

7. 0,1

;1

aaaa

a nnn

n si

8. 0;;

baa

b

b

ann

si

9. mnn mnmnn aaaaa //1 ;

Ejemplos:

1) Simplificar las expresiones siguientes; dar la respuesta sin parntesis y los exponentes con signo positivo.

a) 32223 32 yxyx

y

x

yx

yxyxyxyx

12

112

364632223

108

108

27432


8

b)

3

31

222

21

12 3

3

2

by

ax

ba

yx

9

542

942

566

9

366

24

24

3

9

3662

2

2

3

3

222

2

23

31

222

21

12

4

243

4

243

27

4

9

27

2

3

3

3

23

3

2

b

yax

bxa

yax

b

yax

ax

yb

b

yax

ax

yb

b

yax

yb

ax

by

ax

ba

yx

2) Simplificar las siguientes expresiones:

a) 1122

1212

3535

3535

mmmm

mmmm

B

515

143

143

1

5

1135

3

1535

335535

335355

3535

3535

2

2

1122

122

1122

1212

mm

mm

mmmm

mmmm

mmmm

mmmm

B


9

b) 2

23

168

422

m

mxx

xA

2222

222

2222

2222

22

222

168

42

432

433

8463

423

8463

423

2

23

2

mx

mx

mx

mxx

mx

mxx

m

mxx

xA

5. Operaciones algebraicas 5.1. Suma y resta de expresiones algebraicas: Para sumar y restar expresiones

algebraicas, se suma o resta los coeficientes de los trminos semejantes

Ejemplos:

a) Efectuar: 13453353 22 aaaaa

Suprimiendo los signos de agrupacin:

13453353 22 aaaaa

Efectuando los trminos semejantes

1112 aa

b) Efectuar: 1423532352 222332232 xyyyyxyxyxyyx

Suprimiendo los signos de agrupacin:

31262106352 222332232 xyyyyxyxyxyyx

Efectuando los trminos semejantes

3517410 23223 yxyyxyx


10

5.2. Multiplicacin de expresiones algebraicas: Para multiplicar dos expresiones algebraicas debe emplearse la propiedad distributiva y leyes de los exponentes

Ejemplo:

a) Efectuar: 2233132 2 xxxxx

Suprimiendo los signos de agrupacin y aplicando la propiedad distributiva repetidas veces

426339362 2223 xxxxxxxx

Efectuando

742

4433832

3

223

xx

xxxxx

b) Efectuar: 1243132312 2 aaaaaaaa

Suprimiendo los signos de agrupacin y aplicando la propiedad distributiva

11016

8822916132

18262063472

148239323362

23

22323

2223

22223

aaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

6. Productos Notables: Son aquellos productos directos y que se reconocen fcilmente. Los

principales productos notables son:

6.1. Cuadrado de una suma o diferencia:

222

222

2

2

bababa

bababa

6.2. Diferencia de cuadrados:

22 bababa


11

6.3. Cuadrado de un trinomio::

bcacabcbacba 2222222

6.4. Cubo de una suma o diferencia:

32233

32233

33

33

babbaaba

babbaaba

6.5. Suma o diferencia de cubos:

3322

3322

babababa

babababa

6.6. Identidades de Legendre:

abbaba

bababa

4

2

22

2222

Ejemplo: 1) Efectuar los siguientes productos notables:

a) 223 x

4129

2232323

2

222

xx

xxx

b)

2

23

2

ba

43

2

9

4

223

22

3

2

23

2

22

222

baba

bbaaba


12

c) 33yx

64223

64223

322222332

27279

279333

333333

yxyyxx

yyxyxx

yyxyxxyx

d) 3232 3434 yxyx

64

23223232

916

343434

yx

yxyxyx

e) 3232 3434 yxyx

33

3322

12527

532515953

ba

babababa

f) 232232 22 yxyx

32

32232232

8

2422

yx

yxyxyx

g) 2424 4343 baba

82

82

2422424

3218

1692

4324343

ba

ba

bababa

h) 232 cba

bcacabcba

cbcabacbacba

641294

32223223232

222

2222


13

2) Simplifique las siguientes expresiones aplicando productos notables.

a)

22

222222 4422

baba

bababa

abab

ba

ab

ba

ab

baba

ab

baba

ab

baba

baba

bababa

164

64

4

444

4

444

4

4444

4

44424422

22

22

222222

222222

222222

22

222222

b) Si 814 2 ba Calcule 22 2222 babababa

36

94

814

44

224

2242222

2

22

ba

baba

babababababa

7. Factorizacin: La factorizacin es un proceso algebraico que consiste en describir una expresin algebraica en forma de producto.

7.1. Factor comn: Se utiliza cuando todos los trminos del polinomio tienen un factor en comn que puede ser un monomio o un polinomio


14

Ejemplo:

1) Factoriza las siguientes expresiones.

a) 32223 842 abbaba

baaababbaba 422842 2232223 b)

643345 804032 yxbxyx

3233643345 10548804032 xyyxyxyxyxyx

c) xaxaxa 3323 23

126693

13233

33233323

22

2

2323

xaxaxaxa

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

7.2. Agrupacin de trminos: Se agrupan los trminos en binomios o trinomios, se

descomponen en dos factores aplicando el mtodo de factor comn monomio y finalmente el mtodo de factor comn polinomio.

Ejemplo:

a) bybxayax 326

bayxyxbyxa

bybxayaxbybxayax

23

332

326326

b) byaybxax 4386 22

yxbabaybax

byaybxaxbyaybxax

2

2

2222

243

43432

43864386


15

7.3. Identidades: Emplea principalmente los siguientes productos notables:

2233

2233

22

babababa

babababa

bababa

Ejemplo:

a) 728 2 a

338

98728 22

aa

aa

b) 63 278 ay

4222

32363

96432

32278

ayayay

ayay

8. Fracciones algebraicas: Una fraccin algebraica se define como la razn de dos polinomios, se llaman tambin expresiones racionales.

Ejemplo:

a) 9

134 2

x

xx

b) 22

2 43

ba

bab

En esta oportunidad, estudiaremos la simplificacin de las fracciones algebraicas y de

operaciones entre fracciones algebraicas:

Ejemplo: Simplifique las expresiones siguientes

a) ax

xaax

46

23 22

2

)23(2

23(

46

23 22

ax

ax

axax

ax

xaax


16

b) 22

33

xa

xa

xa

xaxa

xaxa

xaxaxa

xa

xa

22

22

22

33

)(

c) 54

322

2

xx

xx

5

32

)5(1

132

54

322

2

x

x

xx

xx

xx

xx

Ejemplo: Efecte las siguientes operaciones.

a) 152

6

4

822

2

2

2

xx

xx

x

xx

5

4

53

23

22

24

152

6

4

822

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

b) 154

151323

23

2

2

a

aaa

aa

aa

a

a

aaa

aaa

aa

aa

aaa

aaa

aa

aa

a

aaa

aa

aa

32

1

11

15

532

11

1

15

532

154

15132

2

2

23

23

2

2


17

c) 4

12

1

3

x

x

x

41132

41

122123

41

11243

4

12

1

3

2

2

xx

x

xx

xxxx

xx

xxx

x

x

x

d) 1

4

2

1

23

122

xx

x

xx

x

1284

12

841212

12

241112

1

4

2

1

12

12

1

4

2

1

23

12

2

2

2

xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

9. Ecuaciones: Una ecuacin es una igualdad de expresiones algebraicas, que se verifica

para uno o varios valores de la variable.

La solucin de una ecuacin es el valor o valores que satisfacen la ecuacin, el conjunto que contiene a estos valores se denomina conjunto solucin.

9.1. Clasificacin: Las ecuaciones se pueden clasificar como:

a) Segn su estructura: 1. Ecuaciones polinmicas:

Ejemplo:

0143 23 xxx


18

2. Ecuaciones fraccionarias

Ejemplo:

03

4

12

x

x

x

x

3. Ecuaciones irracionales

Ejemplo:

xx 312

b) Segn su naturaleza:

1. Compatibles: Son las que admiten alguna solucin

a. Determinadas: tienen un nmero finito de soluciones.

Ejemplo:

11

33

523

CS

x

x

x

b. Indeterminadas: tienen un nmero infinito de soluciones.

Ejemplo:

RCS

xx

xxx

22

2323

2223

2. Incompatibles: Son las ecuaciones que no admiten solucin

Ejemplo:

CS

xx

xxx

23

23

223


19

c) Segn sus coeficientes:

1. Numricas: Cuando todos sus coeficientes son nmeros.

Ejemplo:

0263 2 xx

2. Literales: Cuando sus coeficientes son letras.

Ejemplo:

0243 22 babxxa

9.2. Ecuaciones de primer grado con una variable:

Son ecuaciones que pueden reducirse a la forma Rbabax ;;0 , se conocen

tambin como ecuaciones lineales

Ejemplo: Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones

a) 4231 2 xxxx

3

5

3

553

053

42312

423122

2

CS

x

x

x

xxxxx

xxxx


20

b) 412 xxxx

3

2

3

223

023

42

41222

CS

x

x

x

xxxx

xxxx

9.3. Ecuaciones de segundo grado:

Son ecuaciones que pueden reducirse a la forma 02 cbxax , donde Rcba ,;0 ,

se conocen tambin como ecuaciones cuadrticas

La expresin acb 42 se conoce como el discriminante de la ecuacin cuadrtica

02 cbxax , por el cual se puede definir la naturaleza de las soluciones o races de la ecuacin.

a) Si 0 , la ecuacin tiene dos races reales y adems iguales. b) Si 0 , la ecuacin tiene dos races reales y distantes. c) Si 0 , la ecuacin tiene dos races complejas y conjugadas, en los

nmeros reales, la ecuacin no tiene solucin.

9.3.1. Solucin de ecuaciones cuadrticas: Las siguientes propiedades y/o frmulas

de los nmeros reales permiten y ayudan en la solucin de ecuaciones cuadrticas o de segundo grado.

1. Empleando la propiedad: bababaSiRba 22;;

Ejemplo: Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) 092 x

Solucin:

3;333

9

092

2

CS

xx

x

x


21

b) 165 2 x Solucin:

9;119

5454

45

1652

CS

xx

xx

x

x

c) 422 2 x Solucin:

22;222222

22

222

CS

xx

x

x

2. Empleando la propiedad: 000;; babaSiRba


a) 0162 x

Solucin:

4;444

0404

044

0162

CS

xx

xx

xx

x


22

b) 0352 2 xx Solucin:

2

1;3

32

1

03012

0312

0352 2

CS

xx

xx

xx

xx

c) 4123213 xxxxxx

Solucin:

111

0101

011

012

4226232

4123213

2

222

CS

xx

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxxxx

3. Empleando la formula general (ecuacin general)

a

acbbxcbxaxSi

2

40

22


23


a) 0232 xx Solucin:

2

173;

2

173

2

173

2

173

2

173

)1(2

)2)(1(4)3()3(

231

023

2

2

CS

xx

x

x

cba

xx

b) 324132 xxxxx Solucin:

6;12

75

2

75

2

495

)1(2

)6)(1(4)5()5(

651

065

032432

324132

2

2

22

CS

xx

x

x

cba

xx

xxxxx

xxxxx


24

c) 0852 xx Solucin:

CS

x

x

cba

xx

4

395

)2(2

)8)(2(4)5()5(

852

0852

2

2

10. Inecuaciones: Una inecuacin es toda desigualdad que contiene una o ms variables y que se cumple para ciertos valores de las variables.

10.1. Propiedades de las desigualdades: sean Rcba ;; , entonces se tiene:

1. Si 0a entonces a es positivo 2. Si 0a entonces a es negativo 3. Si ba entonces baba

4. Si 0ba entonces 0000 baba 5. Si 0ba entonces 0000 baba 6. Si bac 0 entonces cbca

7. Si bac 0 entonces cbca

10.2. Inecuaciones de primer grado: Es aquella desigualdad que se puede reducir a

la forma:

0

0

0

0

bax

bax

bax

bax

Para resolver una inecuacin se debe aplicar propiedades de los nmeros reales y de

intervalos.


25

Ejemplo: Resuelva las siguientes inecuaciones.

1. 4314 xxxxx

Solucin:

;0

0

07

4343

431422

CS

x

x

xxxxx

xxxxx

2. 43121 2 xxxx Solucin:

;8

3

8

3

038

038

4315

432312

4312122

2

CS

x

x

x

xx

xxxxx

xxxx

10.3. Inecuaciones de segundo grado: Es aquella desigualdad que se puede reducir a la forma:

0

0

0

0

2

2

2

2

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax


26

10.4. Mtodo de los puntos crticos: Mtodo empleado para resolver inecuaciones de segundo grado.

1. Valor crtico es el valor de la variable que hace cero la expresin algebraica 2. Se colocan los valores crticos sobre la recta numrica, con lo cual se divide la

recta numrica en intervalos. 3. Se asigna los signos positivo y negativo de forma alternada de derecha a

izquierda, empezando a la derecha del mayor valor crtico. 4. El conjunto solucin est determinado por aquellos intervalos con signo

positivo si la inecuacin es mayor o mayor igual a cero, o la unin de

intervalos con signo negativo si la inecuacin final es menor o menor igual a cero.

Ejemplo: Resuelva las siguientes inecuaciones.

a) 0273 2 xx

Solucin:

3

1;2

23

1

0213

0273 2

CS

xx

xx

xx

b) 01272 xx Solucin:

;34;

34

034

01272

CS

xx

xx

xx


27

11. Problemas de aplicacin: En esta seccin mostraremos algunas aplicaciones a la economa, que es de inters en nuestro curso.

Algunos conceptos que debemos considerar en las aplicaciones

a) Costo total (C): es la suma del costo fijo ms el costo variable; el costo fijo (coste fijo) es aquel costo que permanece invariante a cualquier cambio en las actividades del negocio o empresa, mientras que el costo variable es el que cambia segn la

variacin que se da en la produccin, el costo variable es el precio de costo del

producto "" p y del nmero de unidades producidas ""x .

b) Ingresos (I): Se refiere al capital recibido por un negocio o empresa por la venta

de productos, el ingreso es igual al precio de venta del producto, "" p y del nmero

de unidades producidas ""x . c) Utilidad (U): tambin llamada ganancia o beneficio, es el resultado de restar los

ingresos (I) menos los costos (C), luego CIU .

Ejemplo: Resuelva los siguientes problemas.

a) Una compaa puede vender ""x unidades de su producto a un precio de

"" p dlares cada uno, en dnde xp 5800 . Si le cuesta a la compaa

8000200 x dlares producir ""x unidades. Cuntas unidades debera

producir y vender cada semana para lograr utilidades semanales de $ 9500?

Solucin: Para resolver los problemas se sugiere que sigas los siguientes pasos:

1. Nos piden determinar el nmero de unidades para que la utilidad sea de $9

500, por lo cual se plantea la siguiente ecuacin:

9500U

2. Encontrar la ecuacin de utilidad CIU , para ello definamos la ecuacin de ingreso y de costo total.

8000200 xC

258005800 xxxxxpI


28

80006005

58008000200

2

2

xxU

xxxU

3. Reemplazamos el dato de la parte 2 en la ecuacin de la parte 1. Y resolvemos la ecuacin.

4080

0)40)(80(

01600120

080006005

2

2

xx

xx

x

xx

4. Escribimos la respuesta del problema: Para lograr una utilidad de $ 9 500, la empresa debe producir y vender 40

u 80 unidades.

b) Un administrador analiza los modelos econmicos de su negocio y encuentra

que la ecuacin de demanda est determinada por la ecuacin: xp 3600

donde "" p representa el precio de venta y ""x las unidades que se venden;

adems conoce que el costo fijo de su inversin es de $10 000, y que el

precio de costo por unidad producida es de $ 63.

Solucin:

i. Si este administrador solo puede tener en costos $26 317, cuntas

unidades debe producir?

259

1631763

263176310000

26317

x

x

x

C

Debe producir 259 unidades para poder tener costos de $26 317


29

ii. Si requiere tener una utilidad equivalente a $ 23 840 Cuntas unidades

debe producir y cul sera el precio de venta?

14180

011280221

0338406633

84023100006633

8402363100003600

84023

84023

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xxx

CI

U

Respuesta:

Debe producir y vender 80 o 141 unidades para poder tener una utilidad

de $23 840.

Como el precio del producto est dado por la relacin:

xp 3600 tenemos:

Si 80x unidades, entonces 360)80(3600 p , el precio del

producto es de $360 la unidad.

Si 141x unidades, entonces 177)141(3600 p , el precio del

producto es de $177 la unidad.


30

c) Una empresa que comercializa repuestos de maquinaria pesada presenta las

siguientes ecuaciones econmicas: el costo total de produccin est dada

por 3000030010 2 xxC en dlares, donde ""x representa el nmero de

unidades y la ecuacin de demanda dada por xp 203000 donde "" p

representa el precio de venta.

1. Determine el nmero de unidades que debe vender para que el ingreso

sea igual a $112 000

2. Determine el nmero de unidades que debe producir y vender para que la

utilidad sea de al menos $ 24 000

Solucin:

1. Determine el nmero de unidades que debe producir para que el ingreso

sea igual a $112 000

8070

08070

05600159

0112000300020

000112203000

000112

000112

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xp

I

Respuesta:

Debe vender 70 u 80 unidades para poder tener un ingreso de $112 000.

2. Determine el nmero de unidades que debe producir y vender para que la

utilidad sea de $ 24 000

Solucin:

00024300003001020300000024C-I

00024

2

xxxx

U


31

60;30

06030

0180090

054000270030

240003000030010203000

2

2

22

x

xx

xx

xx

xxxx

Respuesta:

Debe producir y vender desde 30 hasta 60 unidades para lograr una

utilidad de al menos $24 000.


32

BIBLIOGRAFA

- Matemticas aplicadas a la Administracin Arya / Lardner / Ibarra 5 Edicin

2009

- Matemtica Bsica Eduardo Espinoza Ramos 2 edicin 2005

- Matemtica Bsica Ricardo Figueroa Garca 9 Edicin 2006

- Introduccin al Anlisis Matemtico Armando Venero 1987

- Algebra y Trigonometra con Geometra Analtica - Swokowski, Earl W. 2006

Mxico, Internacional Thomson.

unidad de aprendizaje 2 mate

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