M6dulo 3

OBJETIVOS ESPECIFICaS

Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:'

1. SeAalarAen qué consiste una recta numérica.2. Explicar' la orientaci6n positiva y negativa dt; una recta numérica..3. Explicará cuáles SOfllos llamados n6meros racionales.

.4. Duda una serie de pU,ntos.determinará sus coordenadas.S. Dadtl Untlserie c;lecoordenadas. graticará los puntos correspondientes.

, 6. Mcn~ionaráen qué consisteel valorabsoluto. '7. Ob~cndrá valores absolutos de diferentes puntos de la recta numérica.~.Definirá el concepto de distanCia entre dos pu.ntos9. Resolverá problemas relativos a la distancia entre dos puntos.

ESQUJMA RESUMEN

Representaci6n geométrica de los n6m~ros reales:

La recta numérica'

}Orientación positivaOrientaf=ión'negativa

sistema coordenado lineal

Valor absoluto

, Distanciaentre dospuntos en la rectanumérica.

Detiniciones de valor absoluto.

a~c E:R Y c > Ola 1= c<=:>a= c 6 a = -cIal> e<=>a > e 6 a < -cla I < c<::> -c < a < c

37

, Elconjunto depunto.ssobreuna recta

3.1 Representacióngeométrica de los números reales

Hemos utilizado el criterio de 'inducción o inducción matemática

para establecer un orden entre los eJementos del conjunto E, que a su veznos ha servido, junto con los teoremas 5-8 y 5-9, para establecer un ordenentre 10; elementos del conjunto D. Si.consideramosque un.aUnearectaes un conjunto de puntos que cumplen con UJ;1acondici6n y llamamos aese conjunto A, podemos es~ablecer una correspondencia biunivoca entre

los elementos de R y los de A, empezando por establecer lacorrespondencia entre un elemento' 'de A y el elemento O de R.

Podemos escribir los números enteros en. el orden definido, es:cribiendo el uno a la derecha del cero o a la izquierda deLcero antes deestablecer la correspondencia; en el primer caso, decimos que se le daorientación positiva y en el segundo caso, orientación negativa. La orien-tación positiva es la aCQstumbrada y será la que consideraremos nos-otros, de modo que los números positivos quedan a la derecha del,cero y los números negativos a la izquierda y cualquier número a laderecha de otro es mayor que él. ' '

Los númerosIrracionales enla recta

38

Las cabezas de flecha indican lo mis~o que los puntos suspensivos

en los c~>njuntos,es decir, que se sigue hasta infinito, ,

Si dividimos el espacio entre O y 1 o entre dos enteros consecutivoscualesquiera en "q" divisiones iguales, podemos estable~er la correspon-

dencia entre un punto de la recta A y cualquier número racional, !!.., yq

siguiendo este procedimiento nos encontraremos de que aun con lapropiedad densidad de los números racionales, nos quedan muchisimos"huecos" en la recta, á menos que tomemos en cuenta a los elementos delconjuntoD' ,los Irraclonales, que vendrian a "llenar esos huecos" corno seve en la gráfica anterior con los números Irraclonales ../2, y fr.

Al conjunto .de puntos qúe forman la rect~ (A) 10 llamamos rectanumérica y al punto én correspondencia con el número O, por habernos.servido de base' para la correspondencia, 10 llamamos origen. De estemodo cualquier 'puntoP, estará en' correspondencia con un número n ydecimos de ellos 10siguiente:

"P es la gráfica o representaci6n geométrica del número nU o tambiénqueUnes la coordenada deP" 10 cual simbolizamos P(n), que se lee"P en n "

.,..

(-) ... I (+)3 1 1

R ={ -4, -3, -2, 2 -1,. ,- 2 0, "2 1,.J2 2. 3, fr, 4.. .}* * * * * * * * *, * * * * '*

A = {. . . . . . . , , , O , . O ,. , }T O A 1M

b) La coordenada de T es - .!2

entonce!i ! (-.¡ ) T

A= +-1-2

M(3),se lee M en 3 y significaq~e 3 es la coordenada de M o

. también que M es la gráficadel 3.

.-1 o

c) B (~2).. El punto B se puede situar ~eométricamente como semuestra en'eldibujo.

Todos los números reales pueden escribirse en su forma decimal

(los irracionales tendrán una parte decimal infinita y no peri6dica), y .esta forma nos permite localizar, en forma aproximada; la posici6n de lagráfica de cualquier número real sin necesidad de construccionesgeométricas dificiles y engorrosas. Por 10anterior, podemos decir que: Acada número real le corresponde un punto en la recta numérica y a cadapunto le corresponde uno y sólo un número real.~emp.o:

Localice n = 2.743..., número irracional'

1<2<3

39

emplos:

a) MA: , I I I . )

O 3

\\\\\\

A =. ;/ I I

1 B 2o

2.6 < '2.7 < 2.8 2 3

2.7 < 2.74 < 2.8 2.6

2.74 < 2.743 < 2.75 .2.7

ti+-t2.74 2.7S

.2.8

Se puede observar que la exactitud de la gráfica de n depende delnúmero de subd'lvisiones que baga~os y consecuentemente del tamai'iodel dib1:1jo,el error entre la gráfica y el valor exacto de la coordenadapuede hacerse tan pequefto como se desee. escogiendo la escala losuticientemente grande

DeOnlclón:

SistemaCOordenadoUnear

A esta correspondencia uno a uno o biunivoca entre los puntos de A y loselementos de R le llamaremos sistema ceordenado lineal.

Valores.absolutos en larecta numérica

3.2. V~lorabsoluto. En la recta numérica las coordenaaas de cada punto nos 10sitúan, a

una determinad~ distancia del origen, a la derecha, si el número espositivo o a la izquierda. si es negativo, por ejemplo: La gráfica delnúmero 6 está 6 unidades a la derec::hadel O, en cambio la gráfica de-6 está a 6 unidades a la izquierdadel O.En amboscasos decimosque l~distanciaentrecualquierade losdos puntos y el origen,es de 6 unidadesy aqui no nos interesa el signo. que sólo nos sirvió pal'asaber en quésentido medIr la dIstancia,en otras palabras. al hablar de distancia nosinteresaelvalórsinconsiderarelsigno.o también podemosdecirque nosinteresaque elvalorsiemprelIeapositivo;la coordenada nosda entoncesel valorde la distancia al origeny.no tomamosen cuenta su signo, perocuando consideramosla dlltucla entre dos puntos cualquiera, la ntta -de sus coordenadas nos)proporciona ese valor, pero tampocodebemosconsiderarel signo.Ejemplo:La distanciaentre A(6) y B(-2) nos lada la resta, (6) - (-2) = 8 6 (-2) - (6) = -8, en donde el valor

es 8. Para evitar el, inconveniente del signo o el de buscar la coorde-

40

nada mayor para testarle la menor y obtener. un resultado siempre.positivo. se ba inventado lin :término que aclara la situaci6n; .aIor.lOlúto; el simbolo para representado son dos lineas verticales una acada lado del número o de la expresi6n que 10 represente. Ejemplos:

. 'a), 1x Ise lee el valorabsolutode x.b) 1(6-) - (-2).1se lee el valor absoluto de la .testá.e) 1(- 2) - (6) I se lee el valor absoluto de la resta.

La definición del valor absoluto de cualquier númeró real nos diceque es el mismo número cuando éste sea positivo o' que tomemos elinverso del número en caso de que sea negativo ,o que es cero si éste es .cero. En pocas palabras, el valor absoluto siempre' es positivo; lasdisyunciones que esttlblece la definici6n las simbolizamos. con el

~orchete = {

{

5 .

lilemplo: x = -1 x es igual 115 n es igual a3. -1 ()-l'Sigunl a 3

/r/

//

El valor abs?lut~ de un númer9 realx,.esxsi el número es po~itivo o es - xI

,11valor absolutosi el númeroesnegati\tooesOsielnúmeroeselO. '. de un nQmero

e8...

{

X, si x > O;t e R,Ix I = -x, si .t < o

x, si x = o

Ejemplos:a) 13 1=3, porque 3 > -o

b) 1-3 I = - (-3)=3. porque-,3 <: o tomamos su inverso,

{X"':' 1, si'(x - 1) > O

e) Ix-tl= -(X-l),~(x.-l)<O. O, SI (~- 1)=O

.. .

d). Si Ixl = 3 entonces x .= 3 Ó x ==--3 'por incisos a) y b)anteriores. .

e) Ix-l'I=5 ~ x-l=S~x-1.=-.5x-l=5' ::::::::>x=6x-l=-5 ===:»x=-4

Ix-ll=5 ~ x=6 6 %=-4Ix ~ > 7 ~ x> 7 6 x <:-7, Lasegundaproposici6nde la disyunci6n (x < -7) la desigualdadestá invertida ¿por qué?V~rteorema 5.1 . ,

o

41

.~g) Ixl < 7 =:::> ...?.. ..................

De los ejemplos anteriores podemos deducir las siguientes defi.niciones:

4, e E R Y e > O (Recuerde que a, e pueden ser expresion~s algebraicas)Ia I = c* a = e ó a =- elal>c*a>c ó a<-c

Ial" < e * - e < a < e

e < a < e ,esuna forma de escribir la conjunciónde a > - e '

ya<cUsando la definición de valor absoluto diga si la siguiente

proposici6n es falsa o verdadera y explique. Ixl < - l. 111

3.3. Distanciaentre dos puntos en la recta numérica.

La distancia de cualquier punto'P(x) al origen será Ixl , ya queI'x-Ol = Ixl

La distaricia entre dos puntos cualquiera A (~) y B(y) será el va'orabsoluto de la resta de sus coordenadas en el orden que se prefiera,Ix -y I =IY - x l.

El concepto de valor absoluto nos evita inconvenientes con los signos.

en el manejo de la distancia en el sistema coordenado line8;1.Ejemplos:

a) Distancia entre A(6) y B(-3)

AB = I (6) - (-~) I = 1(-3) - (6) I La recta sobre las letras AB= 16 + 31 == I - 3 - 6 I significao representa: longitud~ 191 = I - 91 del segmento de recta entre= 9 .A Y B.

b) Distancia,entreC(- .!) YD(- .!!.) .2 5-

CD'= I - .! - (- .!!.) I = I - .! + !.!.I = I -5-+22I = I~ I =".!!2 5 ~'5 10 ' 10 10

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

1. Si las coordenadasde los puntos A y B son respectivamente2 y 6 de.muestre que la coordenada del punto medio P, es la-media aritmética

/ de las coordenadas de los extremos. (También se le llama promedio).A(2) Y B(6) ~ P(4)

*Por definici6n, ningún valor absoluto es neeativo, de donpe Ixl. < .1 esuna propo.sici6n falsa. '

42

2. Encuentre las coordenadas de los 'puntos medios entrea) 3 y -3 b} 2.1 Y - 5.1 .

Escriba el valor numérico más simple para x.a) x = -112 I b) x =1-121

d) x = 1 .!. - ! I e) x =1 .!. I - I - ! I.3 3 I 3 .3 ,

Demuestreque para todo a E R, - la 15. a 5. 1al. Indicación:Use ladefinición de valor absoluto.

c) .7 Y 3.43.

c) x = - 1- 12I

4.

5. Escriba con sus palabras la interpretación geométrica de las siguientesexpresiones:a) x > y Solución: Geométricamente o 10 que es 10 mismo sobre

la recta numérica x es un número a la derecha de y.b) la - 61 ~ 1 c) 1al> 5 d) 1a - 21 = 4 e) la I < 5

f) 3.14 < 1T< 3.15 . g) 1a + 3 I > '1 11) a > O

6. Demuestre que Ia + b I ~ Ia I + 1b I

7. Efectúe las operacionesindicadas.a) 5 + 1- 31 b) 161 + 141d) 1-31. I -41 e) 171 -1 -21

c) I -41 + I4 - 5 I

8. Determineel valor de x en las expresiones:a) 1xl = 2 ' b) Ix - 21 = 5d) 1x + 5 I > 2 e) Ix + 5 I < 2g) I5x + rl 5. 2

c) 13 -xl = 6f) I 3 ~ 2x I ~ 5 .

9. Determinar las distancias entre cada par de puntos dadas sus coordenadas.

a) A (3), B (7) b) M (-2), N (4)

43

M6dulo 4

OBJETIVOS ESPECIFICaS

Al terminar de estudiar este m6dulo. el alumno:1. Explicará qué es un intervalo.2. Explicará a qué se le llama intervalo abierto.3. Explicará a'qué se le llama intervalo cerrado.4. Graticará conjuntos numericos.5. Diferenciará intervalos abiertos y.cerrados después de resolver una lista de desiguald~des

6. Explicará la diferencia entre intervalo abierto e intervalo cerrado.'7. Identificará .en un gráfico un intervalo abiert~,Y un intervalo cerrado.

8. Indicará un in~ervalocerrado utilizando los 'conceptos de igualdades y desigualdades.

"

.ESQUEMA RESUMEN

GRAFICA DE UN CONJUNTO NUMERICO

¡-ÁBIERTO

INTERV ALO -'. CERRADO

L. .

45

Intervalo

x<6~

46

4..1 ' Gráfi'ca de un conjunto numérico

Hemos dicho que la gr~ca de unnÚDIero real e¡ un punto en elsistema coordenado lineal, por tanto la gráfica de un conjunto de

nÚmeros será un conjunto de puntos.Algunos conjuntos numéricos pueden expresarse simbólicamente

utilizando el valor absoluto.Por ejemplo:a) Ixl =3, -seinterpretará como~lconjunto de puntos que están a

3 unidades de origen. 1X 1 =3 <=> X = 3 Ó X =- 3Solución: {3} U {-3} = {3, -3}GrMica. ~. 1 , I t " . ..

-3 O 3

b) ,1X + .1\ ,= 5. se puede inter.pretar como el conjunto 4e pun.-tos que están a S unidades de -1. IX + 11 =1X - (-1) 1= 5

Ix+l\=s<=>x+l=s óx+l=-sSolución:

{x I 1x - (-1)'1 = S} = {x Ix + 1 = 5 es x + 1.= ~5} = {4, "","ó}

Grática: ~-6

r I I 1 I I I I . , I ..O 4

Deftnlclón:

Ala gl'át1ca de un conjunto numérico, expresado con el valor absoluto ymenor que, o su col\lunción equivalente, se le llama un Intervalo.

c) 1x + 1 1 < 7 se interpretacomoel conjuntod~'puntoscuya'distanciaal punto'de coordenada-1 es menor de 7' unidades.

{x I Ix - (- 1)I < 7}1x + 11 < 7 <=>-7 < X + 1.< 7

<=>- 8 < X < 6 Postulado 5.3

Solució~:{x1-8 < x. < 6} = {x1-8 < x} (j {x\x < 6}

El conjunto es 'infinito. incluye a todos los números reaIés mayoresque .8 en un caso, y a los menores que 6 en el otro, pero no 'incluyen a

esos números (-8 y 6).Gráfica

~-8O

O.-o

6..

-x>~oLos puntos correspondientes al -8 y al 6 se dibujan "huecos" para

indicar que no forman parte del conjunto de puntos.

A los Intervaloscomoel del ejemploc), que no inc1uyeillosextremosseles nombra Intervalos abiertos, ya que por la propiedad de densidad

siempre encon~raremos otro número entre el6 y el menor más próximo aÓqu~ se nos pueda ocurrir, lo mismo sucede en cuanto al extremo en-8.

Intervaloabierto

d) Ix - 2 I $. 3. Reeuerdeque $. es la disyunción' <. ó = .Estaproposición se puede interpretar como el conjunto de puntos cuyadistancia a 2 es'01enor o ig~al a 3 unidades. ' {x I 1x - 2 I ~ 3}

Ix-21$.3*x-2~3 y 2~-:-3* x$.5 y x~-l

Solución: {x 1x $. 5 Y x ~ .- 1} = {x Ix$. S} () {x 1x. ~ - 1}

En este caso los extremos del intervalo, el S y el-l si están incluidospor el signo = y en la gráfica aparecerán "llenos".

Intervalocerrado

A los interva~oscomo el del.ejemplo d), en los que los extremos estánincluidos se les nombra intervalo cerrado.

Los conceptos Intervalo abierto, Intervalo cerrado adquieren unvalor extraordinario en el estudio del cálculo en unidades posteriores.

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

1. Determine todos los valores posibles para x en las expresiones siguientes,escríbalos como conjunto solución y grafíquelos.

a) . 1x I = 10

d) 1x + 4 I < 1

b) Ix - 1r= 3

e) I 3 - x I =:= 6

c) Ix + 41 > 1

f) 12-xl S. 2

-2. Determinelos conjuntos solución o de verdad de los conjuntos que Se.dan y dibuje su gráfi~a en' 'Ia recta numérica. .Considere el c~mjuntode reemplazamiento in~icado en cada problema.

,47

Gráfica \

. X 5....

.x> -1.. .. . ' ...

51-1 o

'-

a) {x E El - 3 < x < I} Respuesta. En el conjunto so-{x E E Ix> -3 Y x < 1} = {-2, -l,"'O} lución sólo tendremos ente-

ros por lo que sólo hay 3 I

, elementos en el conjunto.. ..-3 -2 -1 o

b) {x E R ,1x < 2 Y x < 6}

d) {x ~ R Ix < 2 ó x < 6}f) {x E R Ix> 3 Y X < - I}

c) {x E E I - 2. < x < .!}2, 4

e) {x E R Ix> - 1 Ó X < 3}g) {x E R I Ix + 3 I 5 l}

3., .'

De ,acuerdo con las definiciones dadas, al final del tema valor a.bsoluto,emplee los postulados y teoremas sobre desigualdades para resolver lassiguientesdesigualdades.Diga si la gráficaes Q no' un Intervalo,en casoafirmativo 'si es cerradoo abierto.'a) I2x +- 6 I > 4c) I 3 - 2x I < 1

b) I 5x - l I 5 9d) 15 + 3xl < 3

4. Use. los postulados de orden, definiciones y te~remas necesarios para¡:esolver las siguientes desigualdades. .GraOqae en el sistema coordenado line~l el conjunto solución que en- .cuentre, no es necesario justificar. ' "

a) -2x > 4 b) 3x + 5 < 7x + 4 - . c) . 3x - 3 .$. 4d) 3y - 5 > 4 - (v - 1) e) 6(z - 2)'? 2(z - 4)

...

1) Ix - 1I > 8 g) 14'- YI ~ 6 h) 1 > 3x;7

BIBLIOGRAFIA D~ ESTA UNIDAD"ALGEBRA" Recs. Sparks. Ed. Reverte. 1973. "

..ALGEBRA". Florence Lovaglia. Meritt Elmore, Donald Conway. Ed. Harla. ~973.

./

48

Paneles de verlflcacl6n

MODULO 1 -VALlDACION

ó o < o y b < o => ob >' oJ

Dado. o < O Y b < OPostulado 5-4 b < O=>"-b > O

0(- b) < O(- b)-ob < O

ob> O

l. Si o > O Y b >. Oo>Oyb>O

o.b> O..bob >'0

2.

T~orema 5-1

Postulado 54

Teorema 5-1

aE R Y o =1= O =>02 > O Cualquier número real diferente de O multi-plicado por si mismo da un producto positivo.

Dado .

Tricotom ía y o =1=O'HipótesisPostulado 5-4

oEko>O'óo~Oo> O

a.o>O.o'02 > O

0<00.0>0'0

02 > O

HipótesisTeorema 5-4

5. a)b)c)d)e)t)g)h)i)

Definición de númerOs negativos.Definición eJe.números positi~oso =1= b Yo <b =t- a > b. TricotOInÍa.''Teorema 5-2 o definición de "mayor que".-S < 3 Y ~ =1= 3 =>5 > 3. Tricotomía.x > O Y x < O =>x = O. Tricot<;>mía.Postulado 5-2_.Transitivo.Postulado 5-4. Multiplicativo.Problema 2. La conclusiób obtenida en este problema se puede enun-ciar como sigue; "El conjunto P es cerrado para la multiplicación"Postulado 5-2. Transitivo.' .

49

3. a) 9 - 6 E P .ó 9 - 6 > O d) 8 < 5.b) (-1) -""(-S)EP (-1) - (-5) > O e) -1 < -3c) -4 < -2 f) 7 < 14

{. , 4. a) 6 - 9 E P d) 5 > 8

b) (-5) - (-l).E P e).-3>.-1c) - 2> .....4 f) 14 > 7

Teorema 54. a > b Y e < O ~ ae < be .

. a > b, e < O Dado'..e < O ~ -e > O Definiciónde número negativoó Teorema5-1

a(-e) > b(-e) . Postulado 5-4-ae > -be

ae <' be Teorema 5-1

6.

7. a.> b, e > d ~. a + e > b + dDado

. Postulado 5-3Dado. .

Postulado 5-3

Teorema S-S.a > b

a+e'.> b+e,,e > d

b+e> b+da+e>b+e>b+d.a+e> b+d Postulado 5-2 transitivo

8. Teorema5-6. a,b, e,d E P a > b, e > d ~ ae > bd.a > 1:1,e > O Dadoae > be Postulado 54e > d, b > O Dado.

be > bd Postulado5-4ae > be > bdae> bd . Postulado 5-2

9. 2x + 1 > 3 Resueltoen el texto.

10. . 2x - .! > 3x + !. 2, 3

(2x '- 1.) + 1. > (3x + !) + .!2 2 3 2

2x>3x+2.'6

72x + (-3x) > (-3x) + (3x -+ -)6

-x > 2.6

X < - 2.'6

. .

11. 3x-+37< 1

(-3)' 3X_~ 7 > (-3) 13x + 7 > -3

(3x + 7) + (-7) > -3 + (-7)3x > -10

50

Postulado 5-3

Postulado 5-3

Teorema 5-1

Teorema 54

Postulado 5-3

(1) 3x > (1) (-10)3 3

x>-..!! 3

Postulado 5.4'

. 12. -4x < 3x + 7-4x +.(-3x) .<,(-3x) + (3x + 7)

. -}x <-7\ tI'(- -) (-7x) > (- -) 777,

X >,-1

Postulado 5.3

Teorema 5.4

13.,' ~ > - 5x + !2 3

2 .~ > 2 (- 5x + .!)2 3

X > -10x + i3

Postulado 5-4

,/

x + 10x > 10x + (-'10x + i)3 Postulado 5.3

MODULO 2 .1VALlDACION

1. Empezamos por ordenar s~paradamente los negativos y los positivos, des-pués 'de escribirlos en forma de fracción.

2 8 - 28 .7' - 76 - 52- --- 6-- 52--. 10" 10" 10

- 28 < - .!! : E > - 2.10 S. 5' 2

(-28)5 t (-12)10 (-12)2 t (-7)5':"140< -120 -24 > ':"35

- 28 > - 2. -' ~ < - i10 2 5 4

(-28)2 t' (-7)10 (-12)4 t (-3)5

- 56 > - 70 - 48 < - 1~

1. < g <. 76 - 1. < - 28 < - .!! < - !8 10 10 . 2 10 5 4

S 1 .6 '{ 7 12 3 7

}o UCln. - 2"' - 2.8, - s' - ¡, i" 5.2, 7.6.

2. 1 - 1 O1 - 1 12 - 12 123 - 123. - 10" - 100" - 100" - 1000

012 - 12 1235 - 1235. - '1000' . - ""iOOOO

51'

Siempre que sea práctico úsese un ~IGmuhdenominador antes de com,parar.1235 120' 1230 1200 100 .1000'

10000' 1000'0' .0000' 10000' 10000' 10000

Solución: {l, .1235, .123, .12, .~, .012" .01, O}

3. a> b ~ a> a + b > b ~ d > á +.b Y ~ > b2 .: . 2 2(1 > b Dado

a + a > a + b Postulado S-3

i ... 2a > i (a + b) Postulado 5.4

a > a + b2

u > ba+b>b+b

! (a + b) > 1. . 2b22

a +b > b2

4. 1 3 .-<-<12, 4

1 < 2

:!. . l < ! '. 22 2

1. < 12

! < Il Y ~ < l2 4 4

Orden de los enteros

Postulado 5.4

.1. + I.! < 1..- < 12' 2

3

1. <',! < 12 . 2

Problema 3 anterior

, 5. 2 < ~?: < 72 . .

media aritmética .U 2. = .?2 2

a)

b) -3 + 5 = 1.2

- 3.6+ 2.S. = ~ = - !!2 2 ' 20e)

- d) .'

I 3 -2+3-,... +- -2 4 - \4. - 1

2 - ~- - "8

,! '+ 3 !!3 -- = .2. = l!.

'2 2 6e)

52 .

6. Teorema5.9. w.X,y, z e R y, z > o; =- > ~ .. xz .> wyv . z

xz > YW, y, Z > o '

) 'z>O.!. .!.>O, y , z

. .( »0y ,

(xz)(! . .!.) > (yw) (1. . .!.) Postulado5-4, y '.-' y.

x..!.:>w..!.y, z .

=->~, z

)-7 O -7' 7 P 7 O . 7

Pa - > porque- = - e y - - =-e-s. -s s s ~b). 1.301 > 1..30011porque 1.3010 - 1.3001=0.0009 e P

e) -27< - ¡ , porque (-7)4 == - 28 < (-9)2 =-18, -18 ~. (~28) =10 E 'p

d) - 1- < -¡ porque(-;-1)4= - 4 < (- 1)3= - 3, - 3 - (- 4) = 1E P

e) _35- < O porque =!. =_! y O - (- !) ='! 'e P, 3 3' 3 , 3

f) ~ > t porque 5. 5 > 7. 3, 25 - 21 =4 e.p'

)16 -4 .'

g -12 =, 3" porque, (- 16)3 =- 48 ~ (-4)12 .

h) -3 . -s. -3 3 3 S) (

3 S P. --'.- > -- Porque - =- Y - - (- - =. - + -) E; -5 ,7' -s ss - 7 S 7 .

i) , -3.002 > - 3.020 porque -3.002 - (-.3.020) =0.Ol8 E P

=->~ Y z>Oy z' I

Y . z > .0'yz . =-> yz . -~y z

.xz:: yw

7.

Dado . IProblema 6 inciso i) de los Problemas V.I

Postulado 5-4

Dado

Cerradura de P

, MODULO 3 -VALlDACION

Comprobación

AP =BPpor ser P el punto medioAP = I 2 - 4 1:= 2

BP = I 6 - 41 = 2

53

1. ler. Mé.todo

2 < 6

2<<6 2

2<4<6

.o.

.A(2)

AP=2=BP12-x 1= 2 Y 2 =16-xl

{x I 2 - X = 2 ó 2 - x = - 2} n {x.I6 - x = 2 ó 6 - x = -2}{x Ix = Oó x = 4} n {x Ix =4 ó x =:~}

. l' I . .- ' {O,4} n {4, 8}P(x) B(6) {4}

2<x<6 x=4

Comprobación: I 2 - (4) I = 2 Y 2 = I 6 - (4) I

20. Método

AB=12-61=41 - 1-.AB= -.4=22 2. l.

2. .a)' A(3) y B(-3) x = 3 + (-3)2

~a p(x) el punto medio ~ .¡ =OSolución P(O). Compruéb.ela".. .b) P{x):

Problema 1

{ Teorema 5-8

x = 201 + (-5.1)2

= .=!:,.o- - 32 - - "2

Problema 1

SoluciónP(- t)

c) P(x): x = 7 +23.4 = 10~4 = 5.2Soluciónp(5.2). Compruébela

3. a) x = -"}2 b) x =. 12

). - 1- 5 I - I 4 l. - 4d x -1.- - - - -"!-

3 ' '3 3

c) x = -12

e) x =.! - ! - - 4. 3 . 3 - "3

4. - Ia I ~ (1~ Ia I es la conjunción-1 a I ~ a y a ~ Ia IPara esta demostraciónusamos casi exclusivamentela defmiciónde valor

. absoluto en. donde tenemosa E R - la I ~ O. .

Demostrar: a' ~ Ia Ila. parte

. a ~ O - a =Ia..1

2a. parte

Definición de valor absoluto

a<Oylal~Oa<O~lal,a < la I PO$tulado. 5-2 (

;

Conclusión: Para todo a E R, a ~ Ia I

54

De11l0strar:- la I 5 a .

la. parte

a ~ O=>'I a I = a y -a < O- 1a I = -a-lal<05a."- 1al < a

Definición de va10r absoluto

PO'stulado 5.2

2a. partea < O ~ Ia I =-a

-la 1= aConclusión:Para todo a E R, - la 1 5 a

Definici6n de valor absoluto

5. a) Resuelto en el texto.b) Ia - 6 I = l. La distanciaentre a y el punto de coordenada6 es 1.c) "1al> 5. a es un punto cuya distancia' al origen es mayor que S,.

"d) la - 2 I = 4. La distancia entre a y el punto de coordenada 2 es 4.e) la I < 5. a es un punto cuya distancia al origen es menor que 5."f) 3.14 < 1f< 3.15. 1f es, la coordenada de un punto entre los de

, coordenada 3.14 y 3.15.g) Ia + 3 I > l. La ~istancia entre a y - 3 es mayor que la unida4.h) a). O. a es un punto a la derechadel origen.

6. Demostrar: Ia + b"1 ~ 1a I + 1b 1

.1a. parteDe acuerdo con :el problema 4 anterior

- la 1 5' a 5 I'a 1-Ibl~ b 51bl--

- (Ial + Ibl) ~ a+b 51al + Ibl Teorema 5.5

2a. parte.Por definición de valor absoluto debemos demostrar las dos posibilidades

'a+b~Oya+b<O

a+b~O~la+bl=a+bla+bl 5 lal + Ibl Primera parte de esta demostra.

ción y sustitución de la igualdad

a -+ b < O ~" 1 a + b I = - (a + b)-(Ial +lbl)5a+b Primera parte de esta de.

mostraciónIa 1 + Ib 1~ - (a + b) Teorema 54

I a + b 15 1á I + Ib I Sustituciónde la igualdad

55

-'

7. a) 5+1':"31=5+3=8 b) 161+141=6+4= 10e) 1-4 1 + I4 - 5 1='4.+ 1~ 1 1::: 4 + 1 = 5 . .d) 1- 3 I . I-4 1 = 3. 4 = 12, e) I 7 1-1 - 2 I = 7.- 2 ~ 5

8. a) Ixl = 2 ~ x = 2 ó x = -2{-2,.2}

b) '1x - 2 1= 5 ~ x - 2 = 5 ó ;x- 2 = -5x "=7 ó x = -3 '

{-3,7} .

e) I3 -x I = 6 ~ 3 : x = 6 Ó 3 - x = -6x ::: -3 Ó x = 9

{-3,9}d) 1x + 5 I :> 2 ~ x + 5 > 2 ó x + 5 < - 2

. x > -3 Óx < -7{x E R Ix> 3 ó x < - 7}

e) 1XI+ 5 I < 2 ~ x + 5 < 2 Y x + 5 > - 2x < -3 Y x > -7 .

. . - {x E R I -7 < x < - 3}f) 13 - ZxI :2 5 ~ 3 - 2x L 5 Ó 3 - 2x $. -5

-2x ~ 2 Ó -2x $. -8x$.-lóx~4

{x E R Ix.$. 1 Ó x '~4} .g) 15x + 11 $. 2 ~ 5x + 1 $. 2 Y 5x + 1 ~ ~ 2

5x ~,1 Y 5x ~ - 31 . 3

x~s y x~-s, 3 1{X E R 1 - - < x < - }

- . s - - s

a) AB = \.7 - 31 = 14 1= 4b) MN'=! 4-(~2)I'=\ 4+21=6

, " e) AB " 1~- ~1

=1 30 - 7,

I

=\~I

= ~. 7 ' 2' I 14 ! 14, 14

- -1 _..:.-~I

=,1

-8 -91

- I - ~I

~ ~d) TS - I 3 4 ,12. ~ I 12 - 12

el AB =1- : -51=\ -3;20'1 = .2:

f) MN=I

-~- (-,~)I

=I

i-~+~I

=\--~

I

= ~" 4 . . 7 4 7 28 .28

MODULO 4 - VALlDACION

\

9.

1. a) Ixl =..10{x 1x = 10ó x = -lO} ::: {lO, - lO} .. I . I " I . I 1".-10 O 10

56

b) 1x - 11 ;::: 3 {X Ix - t =3 ó x - 1 = .-3} =={x Ix = '4 ó ::¡= -2} = {4,- 2}-+---

-2f-O

...4

c) Ix +41> l' {xlx',+4 > 1 ó x +4 < -l} = {xix> -3 ó x < -5}

~-s -3

.O

d) Ix + 41 < 1 {x I - 1 < x +-.4 <. 1} = {x I ~ 's < x < -3}

e. . e-5- -3 ~O

e) 13- x 1,=6 {x I3 - x = 6 Ó3 - x = -6} = {x Ix = -3 ó x =9} ::;:.{-3, 9}

4-t-3

+ t fO

+---,--¡ .......9

o I2 -:x I .~ 2 {x I - 2 ~ 2 - x .$.2} ~ {x I -4 $..- x ~ O}= {x I4 ~ x ~ Ol

~. -..---.o 2

43

. ....4

2. a) Resuelto en el textob) {x E R Ix < 4 y x < 6

{x Ix < 2} n {x Ix < 6}

El cOfljunto solución es infinito, por loque queda definido por las condiciones.

x < 2...x< 6'4-

{x Ix < 2} ~:

e) {X E E I - 2. < x < ! }. . 2 . 4

.{x Ix> -.2., x E E} n {x Ix < !, x E E} = {-'3, -2, - 1.O, 1, 2}2 . " 4 .

-7/2 9/4+-J-,-.-... . .'. I .-4 -3 O 2 ~

d) {x E R Ix < 2 ó x < 6}

{x IX <i 6}

57.

oO

..:; I I I I I ....o 2 6

x<2 -{).x<6 O

---t . . Q I I la-- o 2 4 6 8

.e) {x E R Ix> - 1 ó x < 3}x< 3 ~

R ... .4-2

o~ x > -1o--:

.-1'

. .'.3

,O {x E R Ix> 3 Y x < - 1} {x Ix> 3} n {x I x < - 1} = l/J '

o.

.,2

x < -i~ o. -x>3

I I I I 1..-i o 1 2 3

g) {x E R I Ix + 3 l' ~ 1} I Conjunto solucióninfinito{x I - 1 ~ x + 3 ~ 1} = {xl - 4 ~ x ~ - 2}

3, a) I 2x +' 6 I > 42x + 6, > 4 ó 2x + 6 < -4

2x > -2 2x < -lO,x :> -1 ó x < '-5

,' b) I 5x - 11 ~ 95x - .1 ,~ 9 Y Sx- 1 ~ - 9

5x ~ 10 '5x ~ - 88

x~2 y x.~-s

.¡

c) I 3 - 2x I < 13 - 2x < 1 Y 3 - 2x > -1,

-2x < -2 -2x > -4,~>1 Y x<2.

'. d) I 5 + 3x I < 35 + 3x < 3 Y 5 + 3x > -3

3x < -2 3x > -82 8

x<-'3 y x>-'31 , ,

8 . 2--<x<--3, 3

58

No es intervalo,{x Ix> - 1, ó x < - S}

Si es intervalo y. es cerrado

{x I~$ 2 Y x ? - '¡ }

{x I ! . < x. < 2},, s - - ,

Si es intervaloy es abierto{xIx> 1 Y x < 2}{x I 1 < x ~ 2}

Si es 'intervalo y es abierto

8 '2{x I - -:- < X < - -}3 3

x -2. .. ... x -4

.. t. 4' I I 1"

-4 -3 -2 -1 o

Ix-ll > 8. x -1 > 8 Ó ' x -1 < -8

x > 9 Ó ',x < - 7{x E R Ix). 9} U {x E R Ix < - 7)

4. a) -2x > 4

, (- +)(-2x) < (- +)4

x < -2 ,

{x ,E R Ix < - 2}

) ...-2 -1 o

e) 3x - 3,~ 43x~4+3

x < 2- 3

{x I x ~ ~}

4---i7/3

I f I I I ..1 2 3 4, o

e) 6(z - 2) ~ ~(z - 4)6z -, 12 ~ 2z - 86z - 2z ~ -8 + I 2

4z ~ 4z 2: 1 '

{z Iz ~ 1}f)

.... 8h2

--eo J

~

,3 ' .I t }) I

-7

, '

g) I4 - Y I ~ 64-y~6y 4-Y~-6

-y ~ 2 -y ~ -10, Y 2:' - 2 Y.$ 10

{y E RI y ~ - 2} n {y ,E R Iy ~ I O}

--e-2 o - 8-+

10

'b) 3x + 5 < 7x + 43x - 7x < 4 - '5

- 4x < -14x > 1

x > 2-4

{x Ix> .¡}

Elo 2.

4

.

d) 3y.- 5 > 4 - (y - 1)3y - 5 > 4 - Y + 13y + y > 5 + 5

'4y :>10

> ,5Y -2

{y'y>f}

. I I , OO 1 2 5/2/

~, I I la;'o 9

h) 1 3x + 7>-3

3>3x+73 - 7 > 3x '

3x < -4

x < - ~3

{x.E R Ix < - 4/3}

~ . ]-+-4-2 -' -1' O3

.'

~

~

-

. 59