Prof.AndresPerezMatematicasIIUniversidad Nacional Experimental Politecnica Antonio Jose de SucreVice-RectoradoLuisCaballeroMejasDepartamentodeCienciasBasicasMatematicasII(11025) Requisito: MatematicasI(11015)PracticasdeMatematicasIIProf.: Andres PerezCaracas,Octubrede2008UNIDADIPracticas: 1 y 2La integral de Riemann: Aplicaciones a Familia de Curvas Sumas de Riemann Integrales denidas Metodos Numericos4Universidad Nacional Experimental Politecnica Antonio Jose de SucreVice-Rectorado Luis Caballero MejasDepartamento de Ciencias BasicasMatematicas II (11025) Perodo Lectivo: 2008-2Practica1AplicacionesaFamiliadeCurvas Prof. AndresPerez1. Determine la funcion que describe la posicion de una partcula, si la funcion aceleracion viene dada pora(t) = t2+1, lavelocidad inicial esv(0) = 4 y la posicion inicial esta dada pors(0) = 0.2. Seestimaquedentrodetmeses, lapoblaciondeunaciertaciudadvariaraarazonde4 + 5t2/3personas/mes. Si lapoblacion en el primer mes es de10.000 personas, entonces diga, cual sera la poblacion de esta ciudad dentro de 8 meses?.3. Una estadstica prueba que una cierta ciudad crece a un ritmo proporcional a la raz cuadrada de la poblacionPen elinstantet. Silapoblacionerade4.000personashace10a nos, yhoydahay9.000personas. Cuantotardaraencrecerhasta 16.000 habitantes?4. La razon de cambio del volumenVde una bola de nieve que se derrite es proporcional a la supercieS de la bola. Si elradio de la bola esr = 2, cuandot = 0 yr =12, cuandot = 10. Demuestre quer(t) = 320t +2.5. Una compa na estima que el costo marginal (en dolares por artculo) para producirx artculos es de1, 92 0, 002x. Si elcosto de produccion de un artculo es de 562 dolares, encuentre el costo de producir 100 artculos.Ayuda: Si la funcion costo se denota porC(x), entonces el costo marginal esta dado pordCdx.6. El incremento respecto al tiempo de una cierta magnitudq es proporcional al valor de dicha magnitud. Sabiendo que enel instante inicial, se tienen 25 unidades y que a los dos minutos se observan 75 de las mismas, hallar el valor deq a los 6minutos.7. Encuentre la ecuacion enx ey de la curva que pasa por(1, 2) y cuya pendiente en cualquiera de sus puntos es cuatroveces su coordenada enx.8. Unabolaesarrojadahaciaarribadesdeunplanetadondelaaceleraciondelagravedadesk(unaconstantenegativa)pies por segundo cuadrado. Si la velocidad inicial esv0, demuestre que la altura maxima es justamentev202k.9.En la escena de un accidente, el investigador de la polica determina que tan rapido iba el conductor a partir de las marcasdejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro freno con una desaceleracion de15mseg2. A que velocidadiba el auto cuando aplico los frenos, si recorrio 75 m antes de detenerse?10. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produceuna desaceleracion constante, cual es esa desaceleracion?Durante cuantos segundos continuara el derrape?11. La velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje coordenado esta dado porv(t) = (2t 3)3, en metros porsegundo. Si el desplazamiento ent = 0 es de 4 metros, encuentre el desplazamiento dos segundos mas tarde.12. Inicialmente se tenan 100 mg. de sustancia radiactiva (torio 234). Al cabo de 6 horas, la cantidad inicial disminuyo en3 %. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva.13. Un cultivo tiene inicialmente una cantidadN0de bacterias. Pasada una hora la cantidad de bacterias es3N0/2. Si larapidez de multiplicacion es proporcional al n umero de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el n umerode bacterias se triplique.514. Cuando un objeto absorve o despide calor en el medio que lo rodea, se verica la LeydeEnfriamientodeNewton,que establece que: La variacion de la temperatura de un cuerpo,es proporcional a la diferencia entre la temperatura delcuerpo y la temperatura del medio.Supongaqueunapeque nabarrademetal, cuyatemperaturainicialesde20C, sedejacaerenunrecipienteconaguahirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorara en alcanzar los 90C, si se sabe que su temperatura aumento 2C enun segundo. Cuanto demorara la barra en alcanzar los 98C?.15. Unreactorgenerativotransformaeluranio238,queesrelativamenteestable,enelisotopoplutonio239. Despuesde15 a nos, se determina que0.043 % de la cantidad inicial A0de plutonio se ha desintegrado. Determine la semivida de esteisotopo.16. Al sacarunpastel del horno, sutemperaturaes 300F. Tresminutosdespuessutemperaturaes200F. Cuantodemorara en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70F?.17.Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamosqueunfabricanteestimaqueunnuevooperarioproduciraAobjetosel primerdadetrabajo, yqueamedidaquevaadquiriendo experiencia, producira los objetos mas rapidamente hasta que produzca un maximo deM objetos por da. Seaf(t), lacantidaddeartculosproducidosel dat, parat 1. Supongaqueel ritmodeproduccionf

, esproporcional aMf(t). Entonces:17.1) Deduzca una formula para calcular la cantidad de artculos producidos en un da cualquiera.17.2) Suponiendo queM = 30,f(1) = 5 yf(2) = 8. Estime el n umero de artculos producidos el vigesimo da.18. El carbono14(C14), es unasustanciaradioactivaquetieneunavidamediadeaproximadamente5600a nos. Esimportante en arqueologa porque elC14existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. Determinarel tiempo transcurrido desde la muerte de un animal, si la concentracion deC14en sus restos, es igual a la tercera parte dela que corresponde con un animal que vive actualmente.19. Se analizo un hueso fosilizado y se encontro que contena la centesima parte deC14. Determine la edad del fosil.20. Muchos creen que el sudario de Turn que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucicado es la mortaja deJes usdeNazareth. En1988,elVaticanootorgoautorizacionparaquesefecharaelcarbonodelmanto. Treslaboratorioscientcos independientes llegaron a la conclusion de que el manto tiene unos 660 a nos. Edad que coincide con su aparicionhistorica. Con esta edad, determine que porcentaje de la cantidad original deC14le quedaba en 1988?.21. Unapeque nabarrademetal, cuyatemperaturainicialesde20C, sedejacaerenunrecipienteconaguahirviendo.Calculeel tiempoquedichabarrademoraraenalcanzarlos90C, si sesabequeaumento2Cenunsegundo. Cuantodemorara la barra en alcanzar los98C?22. Un termometro que esta en el interior de una habitacion se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de5F.Despues de un minuto el termometro marca55F y despues marca30F. Cual es la temperatura inicial de la habitacion?23. Un termometro queindicauna temperaturade70F secolocaenunhornoprecalentado a temperaturaconstante. Atraves de una ventana de vidrio del horno, un observador se percata que la temperatura que registra el termometro despuesde12minuto es de110F y al minuto de introducido registra una temperatura de145F. A que temperatura esta el horno?24. A las 9:00 am. un termometro marca70F, se lleva al aire libre donde la temperatura es15F. A las 9:05 am. marca45F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitacion donde la temperatura se mantiene a70F. Si a los 5minutos sube20F, cuanto marca a las 9:20 am.?Lossiguientessonproblemasparadivertirse625. Suponga que despues de un caluroso partido de Softball, usted que se encuentra en envidiables condiciones fsicas, perohediondo a mono, estaba lo sucientemente sediento como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la quesu respectiva progenitora lo ha rega nado toda la vida). Al llegar a la cocina y abrir la nevera se da cuenta que el agua queasumimos es ltrada no estaba muy fra (unos15C), toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intension deque otro beba su saliva. A los 5 minutos, vuelve a abrir la nevera e ingiere un poco del ya no tan preciado lquido, que estabaun poco mas fro (unos10C). Pasados otros cinco minutos, realiza un ultimo intento y el agua ya se encontraba a8C. Aquetemperaturaseencontrabalanevera?, asumiendoquelavariaciondelatemperaturadelaguaduranteeltiempoqueestuvo pegada a su boca es despreciable.26. Hace algunos a nos (no precisare cuantos, ya que podran ser muchos), unos arqueologos usaron unos trozos de maderaquemada(entiendasechamuscada),esdecir,decarbonvegetal(peronoparahacerparrilla),parafecharlaspinturaspre-historicas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Seg un estos tipos, las pinturas esas eranburda de bonitas. Determine entonces, cuantos a nos tenan estos trozos de carbon, si ellos lograron observar que habanperdido el85.5% del carbonoC14.27.A un amigo mo, hace alg un tiempo se le murio su suegra (q.e.p.d), este era el unico disponible para retirar un documentoque tiene que ver con la declaracion de muerte en la jefatura, para efectos de una herencia. Este pana, odiaba a su suegra ypor supuesto se dirigio a la jefatura con una sonrisa que no le caba en la cara (el muy desgraciado). Al entrar, un empleadode la jefatura le pregunta la fecha en que fallecio la occisa y este se acordo (ya que en alg un momento de su vida paso por launiversidad) que existe un profesor (como el de ustedes) que alguna vez le resolvio unos problemas que tenan que ver condatadefosilesycomoasusuegralaconsiderabaunfosil,intentosacarlacuenta. Sedevolvioadondeestabaelcadaver(cementerio adentro) y le midio la concentracion deC14, notando que le faltaba el 0.015 % de la concentracion original. Sedevolvio a la jefatura, a eso de las 9:30 am. y le dijo al efectivo que haba muerto seis meses atras. El efectivo, le dijo que eraun mentiroso y no le dio el papel (este muchacho tambien paso por la universidad). Podra determinar usted, hace cuantotiempo murio la se nora.28. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los das. Para ir a la construccion, este se nor debe abordar eltren del metro en la estacion Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estacionSabanaGrande. Comotodossabemos, elmetroeselgrandesastredeCaracasyporsupuestoestamosenuna epocadela no donde los calorones son propios de menopausica prematura. El obrero, aborda el vagon en el que el aire no funciona ycon toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al se nor, le da una yeyera entre Colegio de IngenierosyPlazaVenezuela,debiendoaccionarlaalarmarespectiva,muyapesardelosinsultosdelosdemasviajeros. Cuandoesatendido dentro del mismo vagon (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontrabaen los39C y el operador de la estacion (ironico el muchacho) le maniesta que realmente esta enfermo, ya que el vagon seencuentra a unos confortables19C. A los 5 minutos, ya el se nor tena39.5C. Determine si el se nor estaba quebrantado desalud al entrar al vagon.29. Supongaqueeldadeayerfuealmercadoconsurespectivamadreyenelajetreo, lasbolsasytodasesascosas, sele ocurrio la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en los comerciales de T.V (cosa que nadiecree que es malta). El portu de la esquina,le vendio una fra y la otra caliente,ya que se le da no la nevera. En realidad,la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de23C. Cuando usted llego a su casa, lo primero quehizofueintroducirlaenelfreezer(entiendasepartesuperiordesunevera), queseencontrabacomoDiosmandaaunatemperatura de envidiables2C bajo cero. Como usted tena mucha sed, abrio la nevera a los 10 minutos y se percato quela lata a un estaba en los10C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumosa, si lamejor temperatura para ingerirla es de4C.30. Durante un da claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar,inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las3:45pm. y que la temperatura se encuentra a23C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estabamuerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de27C. Interrogando a los curiosos del lugar(que nunca faltan) encontro a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polica le dijo: al pasar una hora de escucharlos disparos sal con mi termometro y Juansito tena35C y la lengua afuera, no tena zapatos y faltaba su cartera, pobremuchacho, el era de su casa. Al escuchar el relato fue directamente donde el detective y le dijo: ya se a que hora murio elocciso. Determine aproximadamente, a que hora murio Juansito.731.Sabemos que en las carceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un da haciendo una pesquisa en YareI, determinaron que en el pabellon de la muerte (Pabellon B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal olienteque sople mueren de asxia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca seg un el chavo) y este deca, que lehaba pasado algo con la tension. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los39.5C, lo cambiaronal pabellon de las locas (Pabellon G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuyo en2C. Por si acaso, le volvieron amedir la temperatura pasados 2 minutos mas (para ver si no era chachara del man este) y tena37C.A que temperaturase encontraba el Pabellon G?32. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro comobandera. Un cierto da, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado Er Chino (se pareca a Yoshi Toshia - el dela propaganda -). Este, vena de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga),bueno, el asunto es que el tipo vena super amotinado y se encontro a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le hametido la mama de las patadas, por supuesto, el perro estiro la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia Er iluminao (noera Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canada (estuvo preso), subiendo las escaleras, miro al matorral y hallo bienaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, deca: Chamo pana mo!!!, te dieron bollo, snif, snif, snif (lloriqueabael muchacho). Este antisocial, era bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban delos motines) y se puso a medirle elC14al canido en cuestion y determino con sus equipos rudimentarios que haba perdidoel0.0015% del C-catolce (como el deca). Determine usted hace cuanto Er Chino le dio bollo al Rin Tin.33*. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edicios, contrata a una matraca de gordo de unos 160Kg., donde, el arnes al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, despues de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) separtio en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vaco (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos3.5m). Determineaproximadamente, eltiempoquetardoelgordoenvolversepapilla, considerandoquelaresistenciaalaire de tama na humanidad es de 2 veces la velocidad instantanea.8Universidad Nacional Experimental Politecnica Antonio Jose de SucreVice-Rectorado Luis Caballero MejasDepartamento de Ciencias BasicasMatematicas II (11025) Perodo Lectivo: 2008-2Practica2SumasdeRiemannIntegralesDenidasMetodosNumericos Prof. AndresPerezParteI: Estimacion con sumas nitas1. Calcule las sumas de Riemann seg un se indique, en las particiones que se presenten.1.1) f(x) =x 1, con la particion dada porP ={3, 3.75, 4.25, 5.55, 6, 7} y considerando los puntos: w1=3, w2=4,w3= 4.75,w4= 6,w5= 6.5.1.2) f(x) = x2+3, con la particion dada porP = {3, 1.3, 0, 0.9, 2} y considerando los puntos: w1= 2,w2= 0.5,w3= 0,w4= 2.1.3) f(x) =x22+1yelintervalo[1, 2],sedivideenseissubintervalos iguales,dondewk,eselpunto mediodel k-esimosubintervalo.1.4) f(x) =x32+2x +2yelintervalo[0, 2],sedivideenochosubintervalosiguales,dondewk,eselpuntofronteradelaizquierda delk-esimo subintervalo.1.5) f(x) = 2x4+7x +5 y el intervalo[1, 4] se divide en diez subintervalos iguales, dondewk, es el punto frontera de laderecha delk-esimo subintervalo.2. Para el primer recuadro, delimitar el area de la region sombreada aproximando las sumas superior e inferior, empleandorectangulos de base 1. Para el segundo recuadro, utilizar sumas superiores e inferiores para aproximar el area de la regionempleandoel n umerodadodesubintervalosyconsiderandolasfunciones y=x, y=x + 1, y=1xyy=1 x2,respectivamente.93. Utilice la regla del punto medioA n

k=1f_xk +xk12_xconn = 4, para aproximar el area de la region limitada por la graca de la funcion y el ejex, sobre el intervalo dado.3.1) f(x) = x2+3 [0, 2] 3.2) f(x) = x2+4x [0, 4]3.3) f(x) = tan x_0,43.4) f(x) = senx_0,24. Halleuna aproximacion delassiguientes integrales denidaspormediodelas sumasdeRiemann,empleandoelpuntomedio parawky el valor establecido paran.4.1)

11(x2+3x +1) dx con n = 4 4.2)

86dxx +1con n = 54.3)

62ex4dx con n = 5 4.4)

2.41.2(3x4+4x2+3x +7) dx con n = 64.5)

8.73.5x2+3x +5x5+6x3+3dx con n = 4 4.6)

e2e1ln x dx con n = 5ParteII: Sumas de Riemann con lmite5. Determine el area de la region entre la graca de la funcion y el ejem, sobre el intervalo indicado. Dibuje la region.5.1) f(m) = 3m 0 m 2 5.2) f(m) = m20 m 35.3) g(m) =12m 2 m 4 5.4) h(m) = 4mm21 m 25.5) g(m) = 4m2m31 m 3 5.6) h(m) = m3+1 1 m 26.Calcule las siguientes integrales denidas utilizando la denicion de Riemann. Luego verique el resultado por el TeoremaFundamental del Calculo.6.1)

40(x2+2) dx 6.2)

31(3x2+5x 1) dx 6.3)

50(2x +3) dx6.4)

83(3x3+5x2+7x +6) dx 6.5)

21(2x2+5) dx 6.6)

50(2x3+3x28x +9) dx6.7)

/20sen2x dx 6.8)

83dx1 +x26.9)

/4/6sec2x dx7. UtiliceladeniciondeRiemannenel intervalo[0, 5], paracalcularlaintegral delasfunciones f(x)dadasatrozosycompruebe el resultado usando formulas apropiadas de geometra plana.7.1) f(x) =x , si0 x 11 , si1 < x 32x +3 , si3 < x 57.2) f(x) =

x +2, si0 x < 26 x, si2 x 5108. Use la formulan

k=1sen kx =cos_2_ cos__n +12_2 sen_2_para calcular 20sen x dxcon una particion uniforme.9. Utilice la denicion de Riemann, para calcular

badxx2Ayuda: Considerewk=xkxk1.ParteIII: Integrales Denidas10. Utilice el Teorema Fundamental del Calculo, para hallar las siguientes integrales.10.1)

30(ax2+bx +c) dx 10.2)

364dxx10.3)

81_4x13+2x13_dx10.4)

01x2_x3+1 dx 10.5)

/20sen23x. cos 3x dx 10.6)

141 x4x2dx10.7)

3/20(4x +3 + cos x) dx 10.8)

31x2+1x3+3xdx 10.9)

01dxx2+2x +210.10)

3/4/4cos x1 + cos x dx 10.11)

10cosec 2x2xdx 10.12)

/402 sen xsec x + (sec x sen x)2dx11. Encuentre la derivada de las siguientes funciones.11.1) F(x) =

x6(2t +1) dt 11.2) F(x) =

x0sen4t tan t dt ; 2< x 211.6) F(x) =

x5t2+3t +51 +t2ln(3t +8)dt11.7) F(x) =

x2+112 + sen t dt 11.8) F(x) =

x3x_1 +t4dt12. Utilice el Teorema de Comparacion y Acotamiento para demostrar las siguientes desigualdades.12.1) 0 0.13. Utilice el ejercicio 12, para:13.1) Calcular(1),(2),(3).13.2) Demuestre que(p +1) = p(p). Ayuda: Integre por partes.14. Unafunciondedensidaddeprobabilidad, sedenecomounafuncion: I R, quecumplelassiguientescondiciones:i) (t) > 0, para todot I y(t) = 0 en otro caso.ii)

I(t) dt = 1.14.1)Consideref: R R,denidaporf(x)=cecx,parax 0yc R+y0enotrocaso. Demuestrequef,esunafuncion de probabilidad en R.14.2) Calcule el promedio =

xf(x) dx14.3) Calcule la desviacion estandar =_(x )2f(x) dx_1/215. Sif(t) es una funcion continua pata todot 0, la TransformadadeLaplace def, es una funcionF, denida porF(s) =

0f(t)estdtdonde el dominio deF, es el conjunto de todos los valoress, para los cuales converge la integral. Encuentre la Transformadade Laplace de las siguientes funciones:15.1) f(t) = k, k R 15.2) f(t) = ekt, k R 15.3) f(t) = tk, k N15.4) f(t) = sen kt, k R 15.5) f(t) = cos kt, k R 15.6) f(t) = senh kt, k R35Universidad Nacional Experimental Politecnica Antonio Jose de SucreVice-Rectorado Luis Caballero MejasDepartamento de Ciencias BasicasMatematicas II (11025) Perodo Lectivo: 2008-2Practica9Sucesionesnumericas Prof. AndresPerez1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la formula del terminon-esimoan, e indique para que valor den iniciadicha formula.1.1) 1, 2, 3, 4, . . . 1.2) 1, 3, 5, 7, . . . 1.3) 2, 4, 6, 8, . . . 1.4) 3, 6, 9, 12, . . .1.5) 3, 5, 7, 9, . . . 1.6) 1, 8, 27, 64, . . . 1.7) 1, 14, 19,116, . . . 1.8)12, 23, 34, 45, . . .1.9) 7, 9, 11, 13, . . . 1.10) 0, 1, 0, 1, 0, . . . 1.11) 2, 6, 18, 54, . . . 1.12) 2, 3, 5, 8, 11, . . .1.13) 2, 4, 6, 8, 10, . . . 1.14)13, 45, 97, 169, . . . 1.15)13, 45, 97, 169, . . . 1.16)52, 74, 96, 118, . . .1.17)12, 16,112,120, . . . 1.18)12, 24, 38,416, . . . 1.19)47, 79, 1011, 1313, . . . 1.20)11 3,13 5,15 7, . . .1.21)12 5,15 8,18 11, . . . 1.22)21 3,42 5,63 7, . . . 1.23) 1 3, 2 9, 3 27, . . . 1.24) 5, 10, 17, 26, . . .2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza unaaltura equivalente a23de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en eln-esimo rebote.3.Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies duranteel segundo instante de tiempo, 80 pies durante el tercero y as sucesivamente. Cuanto recorre el objeto durante el sextosegundo?4. Sea{an}n1, una sucesion innita con termino generalan. Determine cual de las siguientes sucesiones converge o divergey en caso de que converjan halle su lmite.4.1) an=15n4.2) an= 4n 4.3) an=n21n2+14.4) an=4n 33n +44.5) an=n2n +14.6) an= arctan 2n 4.7) an= cos_n2_4.8) an= (1)nn21 +n34.9) an=_3_n4.10) an=3 + (1)nn24.11) an= n2_1 cos1n_4.12) an=4n3+3n2+15n3+34.13) an= n2n4.14) an=ln(2 +en)3n4.15) an= 1 + (1)n4.16) an=sen n2n4.17) an=n +8 n 4.18) an=cos2n2n4.19) an=2n3n+14.20) an=5 2n6 +4n4.21) an= ln(n +1) ln n 4.22) an=_1 4n_n4.23) an=enenen+en4.24) an= 5 +5n3n364.25) an= 10(n+1)/n4.26) an=nn 4.27) an= n2/(n+1)4.28) an=n(n +1 n)4.29) an=cos 2nn4.30) an=enn44.31) an= (1)ncos nn24.32) an=_3mnm_2m(n +1)_nm4.33) an= n_n +22n 3_1n1 4.34) an=_n +1n 1_2n144.35) an=2nn!4.36) an=_12_n+14.37) an=

n11xpdx 4.38) an= sen 2nn4.39) an=ln2nn4.40) an=13+23+ +n3n44.41) an=_12+16n_n4.42) an=ln 2nln 3n4.43) an=senn3n4.44) an= (2n +1)1n4.45) an=n2/3sen n!n +14.46) an= n3sen_2n3_4.47) an=n5+14n24.48) an=n_n2+n5. SucesiondeFibonacci:5.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es fertil al mes.Si comenzamos con una pareja de recien nacidos. Demuestre que siF1= 1 yF2= 1, entonces la sucesion de Fibonacci,{Fn}1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .esta dada por la formula recurrenteFn+1= Fn +Fn1, n 35.2) Verique que el termino general de la sucesion esFn=15_1 +52_n15_1 52_ndemostrando que esta expresion satisface la formula recurrente.5.3) Seafn=Fn+1Fn. Demuestre quefn1= 1 +1fn2.5.4) Sea{Fn} la sucesion de Fibonacci, dada en (5.2). Demuestre quelimnFn+1Fn=1 +526. Calcule el lmite de la siguiente sucesion

2,_22,_2_22, . . .

7. Se nale si las siguientes sucesiones son monotonas.7.1) an=13n +57.2) an= 3 +(1)nn7.3) an=n 2n +27.4) an=n +15n +38. Demuestre que si xn+1=12_xn +2xn_, paran 1 y ademas limnxnexiste, entonces la sucesion{xn} converge a 2 obien a2.379. Sia1= 3 yan+1=1an, para todon 1. Calcule limnan.10. Sia1=2 yan+1=1 +an, para todon 1. Calcule limnan.11. Sia1= 2 yan+1=12(an +4), para todon 1. Calcule limnan.12. Demostrar que

2,_2 +2,_2 +_2 +2, . . .

converge a 2.13. Demostrar que si{an} es una sucesion que converge a cero y{bn} es una sucesion acotada, entonces{anbn}, converge acero.14. Sean{an}, {bn} y{cn} sucesionestalesque limnan= limncn=1yan bn cn, paratodon. Demostrarquelimnbn= 1.15. Demuestre que si{an} y{bn} son dos sucesiones divergentes, entonces la sucesion{an +bn}, tambien diverge.16. Sean{an} y{bn} dos sucesiones convergentes. Demostrar quelimn(an +bn) =limnan +limnbn17. Dar ejemplos de sucesiones{an} y{bn} tales que limnan=limnbn= 0, pero17.1) limnanbn= 0 17.2) limnanbn= +17.3) limnanbnno existe 17.4) limnanbn= 18. Demostrar que si{an} es una sucesion convergente y{bn} es una sucesion tal quebn =0, para todon y limnbn= ,entonceslimnanbn= 019. Demostrar que la sucesion

n!nn

n1, converge a cero.20. Utiliceel teoremadesucesionesmonotonasyacotadasparahacerunestudiodelaconvergenciadelassiguientessucesiones20.1)

1 3 5 (2n 1)2nn!

n120.2)

n!1 3 5 (2n 1)

n121. Dada la sucesion{an} denida poran= arn1, dondea yr son constantes. Se dene la sucesion{Sn} porSn= a1 +a2 + +an21.1) Deducir que:Sn=a arn1 r21.2) Demostrar que{Sn} converge si y solo si|r| < 1.APENDICE1Repaso de Lmites y Derivadas39Universidad Nacional Experimental Politecnica Antonio Jose de SucreVice-Rectorado Luis Caballero MejasDepartamento de Ciencias BasicasMatematicas II (11025) Perodo Lectivo: 2008-2RepasoRepasodeLmitesyDerivadas Prof. AndresPerezParteI:Lmites1. Calcule en caso de que existan, los siguientes lmites.1.1) limx32x2+x5x +11.2) limx416 x24 x1.3) limx53x +1 4x 2 31.4) limx0eaxebxsen ax sen bx1.5) limx1x3+x2x 12x33x +11.6) limx11 +3x1 +5x1.7) limx0sen(x +h) senxh1.8) limx01 + sen x 1 sen xx1.9) limx0tan x sen xx1.10) limx0sen2xx1.11) limx21 + tan2xcos2x1.12) limx41 tan xsen x cos x1.13) limx32 cos2x + cos x 14 cos2x +4 cos x 31.14) limx0cosh x 1x1.15) limx_x +1x 1_x1.16) limx_x2+33x2+1_x21.17) limx0(1 +ax)bx1.18) limx4ln(tan x)1 cotan x1.19) limx3x 1 3x +1 1.20) limx0x +x2|x|1.21) limx05x2x4x2x1.22) limx2(x2x 2)20(x312x +16)101.23) limx1x32x +1x52x +11.24) limx131 x321 x21.25) limxx31x211.26) limx41 +2x 3x 21.27) limx23x 6 +2x3+81.28) limx89 +2x 53x 21.29) limx164x 2x 41.30) limx03x +1 1x1.31) limx3_x3+x2+1 3_x3x2+1 1.32) limx0x +1 2x1.33) limxx +3 x1.34) limx62 senx+sen x 12 senx3 sen x +11.35) limx0x cotan 3x 1.36) limx0_tan_4x__cotan x401.37) limx_x2+1x22_x21.38) limxx[ln(x +1) ln x] 1.39) limx0(1 +x2)cotan2x1.40) limx24 x23 x2+51.41) limx3_x3+3x2_x22x 1.42) limx1x2+x 2(x 1)21.43) limx1x 1x2+3 21.44) limx0x cos_1x_1.45) limx31 2 cos xsen_x 3_1.46) limx0tan 5xcos 6x1.47) limx0tan x senxx31.48) limx_x 4x +1_x+31.49) limx3x327x291.50) limxx2xx211.51) limx26 x 23 x 11.52) limx38x3+x +1x 11.53) limxsen_x +1x_ sen x 1.54) limx1e2x(e2x+1)1.55) limx3x +x 2e100+x31.56) limx01 exsen x1.57) limxx2+ cos xx5+ex1.58) limxx4ex+3 sen xex+4x2+11.59) limxx4cos x3(x6+1)21.60) limxx5+x2(x +1)3+11.61) limxsenxx 1.62) limx0sen axsen bx1.63) limx2(1 + cos x)3 sec xParteII:Derivadas2. Utilice la denicion de la derivada, para calcular la derivada de las siguientes funciones.2.1) f(x) = x22.2) f(x) = x32.3) f(x) =1x2.4) f(x) =x2.5) f(x) =3x 2.6) f(x) = tan x 2.7) f(x) = ln x 2.8) f(x) = ex2.9) f(x) = cos x 2.10) f(x) =xx 52.11) f(x) = x23x 2.12) f(x) =2x +13. Use las reglas de la suma producto y cociente de la derivada, para hallar la derivada de las siguientes funciones.3.1) f(x) =2x1 x23.2) f(x) =1 +x +x21 +x x23.3) f(x) =1x+1x+13x3.4) f(x) = x2cos x x sen x 3.5) f(x) = ex(x22x +2) 3.6) f(x) = 3x37x2413.7) f(x) = senx sec x 3.8) f(x) = (4x2+x +1)(1 x4) 3.9) f(x) = (2x3+1)_1x+2_3.10) f(x) = excosh x 3.11) f(x) = cosec x senh x 3.12) f(x) = 4 sen x +3 cos x tan x3.13) f(x) =3 sen x x4x3cos x3.14) f(x) = logax 3.15) f(x) =1 sen x1 + sen x4. Use Regla de la Cadena, para hallar la derivada de las siguientes funciones.4.1) f(x) = ln_1x+ ln_1x+ ln_1x___4.2) f(x) = ln_ex+_1 +e2x_4.3) f(x) = ln_tan_x2__4.4) f(x) =_2 +3 sen2xx4_+ cos_1 +1 x2x_4.5) f(x) = x[sen(ln x) cos(ln x)] 4.6) f(x) = ln(ex+ cos x)4.7) f(x) = (5x2+2x 8)34.8) f(x) = tan_x21x +4_4.9) f(x) = ln_sec3_tan (e3x)_4.10) f(x) = cosec(cotan x2)4.11) f(x) = etan(2x1)+ sen4_1x_4.12) f(x) = senh(x21)5. Use la derivada de funciones inversas, para calcular la derivada de las siguientes funciones.5.1) f(x) = arcsen x 5.2) f(x) = arccos x 5.3) f(x) = arctan x5.4) f(x) = arcsenh x 5.5) f(x) = arccosh x 5.6) f(x) = arctanh x5.7) f(x) = arccosec x 5.8) f(x) = arcsec x 5.9) f(x) = arccotan x6. Utilice las derivadas calculadas en el ejercicio anterior, para calcular las derivadas de las siguientes funciones.6.1) f(x) = x arcsen_xx +16.2) f(x) = 1 +_1 x2arccos x6.3) f(x) = arctan_sen x + cos xsen x cos x_6.4) f(x) =2a2b2arctan__a ba +b tan_x2__6.5) f(x) = arccos_1cosh x_6.6) f(x) = arccos_cos2x sen2x_6.7) f(x) = arccosh_x +1x 1_6.8) f(x) = arcsec[ln(1 +x4)]427. Utilice derivacion logartmica para hallar la derivada de las siguientes funciones.7.1) f(x) = [senx]cos x+ [cos x]sen x7.2) f(x) =[ln x]xxln x7.3) f(x) = (exx)arcsen x7.4) f(x) =_x6+7x2+3_arctan x47.5) f(x) = 2tan(1x)7.6) f(x) = x +xx+xxx7.7) f(x) = arctan x ln2_sec_23x__7.8) f(x) = (ln x)ex+ (cosh x)tan x7.9) f(x) = ax+xax7.10) f(x) =_arcsen(sen2x)arccos(cos2x)_arctan2xAPENDICE2Coordenadas Polares