guia mate 7°

2

página

Presentación y jornalización 3

Planificaciones didácticas 4

Unidad 1. Apliquemos los números enteros.

Unidad 2. Utilicemos unidades de superficie y agrarias

Guía No 1. Unidades métricas de longitud (el metro, múltiplo y submúltiplos) 22

Guía No 2. Unidades métricas de superficie (metro cuadrado, múltiplos y submúltiplos) 24

Guía No 3. Medidas agrarias 27

Unidad 3. Operemos con números racionales

Guía No 4. Representación de números racionales en la recta 28

Unidad 4. Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas

Guía No 5. Unidades de capacidad 29

Guía No 6. Unidades de volumen y capacidad (volumen de cuerpos geométricos) 30

Guía No 7. Medidas de peso 31

Guía No 8. Relación entre capacidad y volumen 32

Unidad 5. Utilicemos proporcionalidad

Guía No 9. Plano cartesiano 34

Guía No 10. Regla de tres compuesta 35

Unidad 6. Conozcamos y utilicemos el álgebra

Guía No 11. Generalidades algebraicas, concepto, signos de operación, agrupación y relación. 37

Guía No 12. Expresiones algebraicas, concepto, término, monomios, polinomios 38

Guía No 13. Grado de un monomio: absoluto y relativo; grado de un polinomio: absoluto y relativo 39

Guía No 14. Términos semejantes, definición, reducción, ejercicios. 40

Guía No 15. Valor numérico de expresiones algebraicas 41

Unidad 7. Utilicemos los exponentes

Guía No 16. Potenciación en Z (potenciación con base entera y exponente natural) 43

Guía No 17. Notación científica 44

Guía No 18. Operaciones con números en notación científica 45

Unidad 8. Operemos con monomios

Guía No 19. Suma de monomios, resta de monomios, suma y resta combinada 46

Guía No 20. Supresión e introducción de signos de agrupación 47

Guía No 21. Multiplicación, división, productos y cocientes notables 48

Guía No 22. Multiplicación de polinomio por monomio, regla, ejercicios 49

Guía No 23. División de un monomio entre otro monomio 50

Guía No 24. División de un polinomio entre un monomio 51

Guía No 25. Operaciones combinadas con monomios 52

Unidad 9. Conozcamos y apliquemos los radicales

Guía No 26. Propiedades de los radicales 53

Guía No 27. Radicales semejantes 54

Guía No 28. Adición y sustracción de radicales semejantes 55

Guía No 29. Multiplicación de radicales 56

Guía No 30. División de radicales 57

3

PRESESENTACIÓN Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben abarcar el 80% de los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de los contenidos desarrollados en los textos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados bajo el enfoque por competencias y el modelo constructivista. Ante ello, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma responsable, el trabajo que realiza el personal docente que en la actualidad utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativa pedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la actual propuesta curricular del MINED (los programas de estudio) y con ello, volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa.

De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de: • Jornalización para cada asignatura tomado en consideración: tiempo, unidades, contenidos y sistemas de

evaluación trimestral que indica el MINED. • Planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en competencias:

contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; indicadores de logro; y orientaciones metodológicas y de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras.

• Desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubre o que desarrolla de forma parcial, o que necesitan ampliación.

Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio. Jornalización

Total de horas

anuales

Total de horas

semanales

Nº de unidades

Nº de horas

clase por unidad

Unidades Fecha de

inicio Fecha de

finalización

Evaluación trimestral

(fecha probable de exámenes)

15 1. Apliquemos los números enteros 15 de enero 04 de febrero

15 2. Utilicemos unidades de

superficie y agrarias 05 de febrero 25 de febrero

20 3. Operemos con números

racionales 26 de febrero 25 de marzo

19 al 25 de

marzo

20 4. Calculemos áreas circulares y

utilicemos medidas 26 de marzo 29 de abril

25 5. Utilicemos proporcionalidad 30 de abril 29 de mayo

20 6. Conozcamos y utilicemos el

álgebra 01 de junio 26 de junio

23 al 26 de junio

25 7. Utilicemos los exponentes 29 de junio 31 de julio

25 8. Operemos con monomios 03 de agosto 08 de septiembre

200

5 10

35 9. Conozcamos y apliquemos los radicales

09 de septiembre 27 de octubre

22 al 27 de octubre

4

Planificación de unidad didáctica

Unidad 1. Apliquemos los números enteros Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Resolver con interés las operaciones básicas de los números enteros, utilizando las reglas y propiedades que permitan realizar correctamente dichas operaciones, para

aplicarlas en la resolución de situaciones numéricas del entorno.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana

− Números enteros − Identificación de las características y utilidad de los números enteros.

− Confianza al identificar características y utilidad de los números enteros. 50-51

− Gráfica − Ubicación gráfica de los números enteros en la recta numérica.

− Seguridad al ubicar los números en la recta numérica 53

− Valor absoluto − Aplicación del valor absoluto en los números enteros.

− Confianza al aplicar el valor absoluto en los números enteros. 54

− Operaciones: suma, resta, multiplicación y división

− Resolución de ejercicios y problemas de suma, resta, multiplicación y división de números enteros.

− Seguridad al aplicar la ley de los signos en la suma, resta, multiplicación y división de números enteros.

De 62 a 67 De 74 a 77

− Operaciones combinadas − Resolución de ejercicios y problemas aplicando operaciones combinadas.

− Interés de la resolución de ejercicios y problemas aplicando operaciones combinadas. 68-78

Sugerencias metodológicas: • Inicie con la actividad introductoria de ampliación del conjunto de números naturales de la página 50 del libro de texto. • Motive acerca del uso de los números enteros en aplicaciones de la recta real. • Pídales que, en equipos de trabajo, presenten diversas aplicaciones de los números enteros. Indicadores de logro: 1.1 Resuelve con confianza ejercicios y problemas aplicando el valor absoluto. 1.2 Determina y explica con seguridad la ley de los signos para la suma, resta,

multiplicación y división de números enteros. 1.3 Resuelve con interés ejercicios y problemas que involucren suma, resta,

multiplicación y división de números enteros.

Actividades de evaluación: Diagnóstica: − Se desarrollará una evaluación individual, a través de un laboratorio escrito, para

conocer el manejo de conceptos básicos de números naturales, entre los que se destacan el dominio con precisión de las operaciones básicas.

5

Formativa: − La integración en equipos de trabajo para el desarrollo de ejercicios y su participación

propositiva. Sumativa: 1. Entrega individual de 3 actividades cortas desarrolladas en el cuaderno de

tareas. 30% − Indicadores de logro: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14 Criterios: - Contenido completo: 20% - Orden, aseo y puntualidad: 20% - Solución correcta: 60%

2. Prueba escrita individual. 40% − Indicadores de logro: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14

3. Exposición de las aplicaciones de los números enteros. 30% − Indicadores de logro: 1.1, 1.2 Criterios: - Creatividad: 40% - Claridad: 40% - Orden y aseo: 20%

6


Unidad 2. Utilicemos unidades de superficie y agrarias Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Utilizar, con seguridad, las unidades de media longitud, unidades métricas de superficie y unidades agrarias, aplicando sus equivalencias al resolver problemas del entorno.


− Unidades métricas de longitud: metro, múltiplos del metro, submúltiplos del metro y conversiones

− Conversión de unidades métricas de longitud. − Resolución de problemas de conversión de unidades

métricas de longitud.

− Seguridad al convertir unidades métricas de longitud.

− Perseverancia en la resolución de problemas

de conversión.

Guía de contenido

No. 1

− Unidades métricas de superficies: metro cuadrado, múltiplos del metro cuadrado, submúltiplos del metro cuadrado y conversiones

− Conversiones

− Identificación y determinación de múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.

− Conversión de unidades métricas de superficie. − Resolución de problemas de conversión de unidades

métricas de superficie.

− Seguridad al identificar y determinar múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.

− Confianza al convertir unidades métricas de

superficie.

Guía de contenido

No. 2

− Unidades Agrarias: manzana, caballería, área, hectárea y conversiones

− Identificación y conversión de unidades agrarias. − Resolución de problemas de conversión de unidades

agrarias utilizadas en el país.

− Seguridad al resolver problemas de conversión de unidades agrarias. Guía de

contenido No. 3

Sugerencias metodológicas: • En esta unidad se darán los conceptos básicos, de forma paulatina, de las diversas unidades métricas de: longitud, superficie y agrarias. Luego en pajeras o tríos

presentaran de manera creativa, cada una de esas unidades. Después, se presenta una variedad de ejemplos de conversaciones y sus respectivas aplicaciones, generando con esto los conceptos básicos necesarios para que los y las estudiantes puedan desarrollar, en equipos de trabajo, las actividades de las guías de contenido número 1, 2 y 3.

• Indique que elaboren en cartulina un metro que muestre sus respectivos submúltiplos. • Pida que construyan un metro cuadrado con sus respectivos submúltiplos. • Plantee ejercicios de conversiones y aplicaciones.

7

Indicadores de logro: 2.1 Resuelve con perseverancia problemas de conversión de unidades métricas de

longitud. 2.2 Convierte con confianza unidades métricas de superficie. 2.3 Identifica y convierte con interés las unidades agrarias.

Actividades de evaluación: Formativa: − La participación activa en la presentación de las diversas actividades trabajadas en

equipos.

Sumativa: 1. Entrega individual de los ejercicios de las guías de contenido números 1, 2 y 3,

presentadas en el cuaderno de tareas. 30% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Criterios: - Contenido completo 20% - Orden, aseo y puntualidad 20% - Solución correcta 60%

2. Laboratorio escrito en pareja. 40% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

3. Exposición del trabajo construido sobre unidades de medida. 30% Criterios: - Creatividad 40% - Claridad 40% - Aseo y puntualidad 20%

8


Unidad 3. Operemos con números racionales Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 20 horas

Objetivo de unidad: X Aplicar las operaciones de números fraccionarios comunes y decimales, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver

situaciones problemáticas en su entorno.


− Números racionales (fraccionarios)

− Representación geométrica

− Identificación y representación de números racionales positivos y negativos en la recta numérica.

− Precisión y seguridad en las representaciones en la recta numérica de los números fraccionarios.

104

Guía de contenido No. 4

− Fracciones equivalentes − Identificación de fracciones equivalentes positivas y negativas.

− Seguridad en la determinación de fracciones equivalentes.

105

− Amplificación y simplificación de fracciones

− Obtención de fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de amplificación y simplificación.

− Curiosidad e interés por encontrar fracciones equivalentes. 107

− Operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división

− Realización de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y operaciones combinadas de números fraccionarios positivos y negativos con igual y/o diferente denominador.

− Valoración del trabajo individual como una forma de desarrollar la confianza en sí mismo y la autonomía ante situaciones concretas.

De 114 a 125 De 127 a 135

− Fracciones complejas − Resolución de problemas y ejercicios con fracciones complejas positivas y negativas.

− Orden y aseo en la simplificación de fracciones complejas.

− Perseverancia en la resolución de operaciones combinadas con fracciones complejas.

126

− Fracciones decimales − Números decimales − Conversión de fracción decimal

a número decimal y viceversa

− Transformación de fracciones en decimales y decimales en fracciones.

− Interés para convertir fracciones en decimales y viceversa

De 136 a 144

9

− Operaciones con fracciones decimales

− Realización de las cuatro operaciones fundamentales con números decimales positivos y negativos.

− Seguridad al realizar operaciones con números decimales positivos y negativos. De 144 a 147

Sugerencias metodológicas: • Comente con el grupo la actividad de la página 100 del libro de texto. Luego se desarrolle un trabajo en forma dirigida, en el cual se les proporcionará una página de papel

de reciclaje para que la doblen en partes iguales y escriban el número fraccionario que representan. Se fortalecerá esta actividad a través de las páginas 104 y 154 del libro de texto. Se presentarán diversas actividades como el dominio de fracciones equivalentes, trabajando en equipo de la página 105 hasta la 108. Se trabajaran las operaciones con fracciones y decimales distribuyendo ejercicios en equipo y elaborando cuadros comparativos. Página 114 a la 116, 122 a la 126, 140 a la 148. Se fortalecerá a través de las diversas actividades presentadas con el tema de los números racionales de las páginas 154 a la 160 del libro de texto y la guía de contenido Nº 4.

• Desarrolle, como actividad introductoria, el uso de papel de reciclaje para formar fracciones, en la cual los y las estudiantes son protagonistas. Deberán ser conducidos por el o la docente.

• Sugiera que, en equipos de trabajo, resuelvan las guías de ejercicios propuestas en el libro de texto.

Indicadores de logro: 3.1 Obtiene con interés fracciones equivalentes positivas y negativas

aplicando los procesos de amplificación y simplificación. 3.2 Resuelve ejercicios con operaciones combinadas de los números

fraccionarios. 3.3 Resuelve con seguridad problemas aplicando las operaciones

fundamentales de los números fraccionarios positivos y negativos. 3.4 Simplifica con orden y aseo fracciones complejas. 3.5 Resuelve ejercicios y problemas con operaciones combinadas de

fracciones complejas positivas y negativas. 3.6 Resuelve problemas con números decimales positivos y negativos, y

valora el aporte de los demás miembros de su equipo.

Actividades de evaluación: Diagnóstica: − Se desarrollará un coloquio sobre la actividad: “Recuerda y Practica” de la página 102 del

libro de texto.

Formativa: − La dedicación, esmero y solidaridad en la participación de las diversas actividades

contribuirán a la formación integral del o la estudiante.

Sumativa: 1. Presentación de 7 actividades de ejercicios. 35%

− Páginas 103, 110 a la 113,118 a la 121, 128 a la 131, 138 a la 139, 150 a la 153, 162 a la 165.

− Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Criterios: - Contenido completo: 20% - Orden, aseo y puntualidad: 20% - Solución correcta: 60%

2. Evaluación escrita individual de la página 134 a la 135. 35% − Indicadores de logro: 3, 4, 5, 6 y 7

3. Evaluación escrita, en pareja de la página 168 a la 169. 30% − Indicadores de logro: 8, 9, 11, 12, 13.

10

Planificación de unidad didáctica Unidad 4. Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas Competencias:

• Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 20 horas

Objetivo de unidad: X Utilizar los elementos de la circunferencia, al determinar medidas de superficie con forma circular, en la solución de problemas de su entorno. X Aplicar las medidas y estimaciones de volumen, capacidad y peso, al proponer soluciones a situaciones problemáticas de su cotidianidad.


− Circunferencia − Elementos: radio, diámetro, cuerda y arco − Longitud

− Identificación de los elementos de una circunferencia.

− Deducción de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia.

− Interés por identificar los elementos de la circunferencia.

− Seguridad en la deducción de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

265 – 266

− Círculo: perímetros y áreas

− Relación entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del círculo.

− Cálculo del área del círculo. − Resolución de problemas aplicando las

fórmulas del área y del perímetro.

− Esmero al aplicar las fórmulas de área y perímetro.

267

− Medidas de capacidad − Unidades: kilolitro, hectolitro, decalitro, litro,

decilitro, centilitro, mililitro

− Identificación de las medidas y unidades de capacidad.

− Resolución de problemas de aplicación de medidas de capacidad.

− Interés por identificar unidades de capacidad, volumen y peso.

− Seguridad al resolver problemas de aplicación de las medidas de capacidad utilizando las equivalencias.

Guía de contenido

No. 5

− Medidas de volumen

− Unidades: decímetro cúbico, centímetro cúbico, milímetro cúbico, decametro cúbico, hectómetro cúbico, kilómetro cúbico

− Conversión entre unidades de volumen.

− Conversión de unidades de volumen a unidades de capacidad.

− Destreza para convertir unidades de volumen a unidades de capacidad.

Guía de contenido

No. 6

11

− Medidas de peso − Unidades: kilogramo, hectogramo,

decagramo, gramo, decígramo, centígramo y miligramo

− Conversión entre unidades de peso. − Destreza para convertir unidades de peso. Guía de

contenido No. 7

− Relación entre unidades de capacidad, volumen y peso

− Conversión de unidades

− Resolución de problemas utilizando las unidades de capacidad, volumen y peso.

− Certeza al resolver problemas donde se apliquen conversiones.

Guía de contenido

No. 8

Sugerencias metodológicas: • Genere una discusión por medio de preguntas y actividades como: 1) ¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo? 2) Definir y ejemplificar los siguientes elementos de la circunferencia: centro, radio, cuerda y diámetro. 3) Identificar y ejemplificar de las siguientes posiciones relativas de una recta y una circunferencia: recta exterior, tangente o secante a una circunferencia. 4) ¿Cómo se encuentra el área y perímetro del círculo? Ejemplos página 265 a la 268 y 272 del libro de texto. • Trabaje con material concreto las unidades de capacidad, volumen y las medidas de peso, con su respectivo trabajo en equipo en las guías de contenido número 5, 6, 7 y 8. • Utilice un depósito con agua y el peso de una caja cuadrangular para presentar el círculo, las medidas de capacidad de volumen y de peso. Luego las y los estudiantes, en

equipos, elaborarán carteles con las respectivas unidades de capacidad, volumen y peso. Indicadores de logro: 4.1 Calcula con seguridad el área de un círculo con figuras planas. 4.2 Resuelve con esmero problemas aplicando la fórmula del área y del perímetro. 4.3 Resuelve con certeza problemas donde se aplique conversiones.

Actividad de evaluación: Formativa: − Se observará el entusiasmo y desempeño en clase y en su respectivo trabajo en

equipo, así como la responsabilidad y aseo en la presentación de la tarea asignada.

Sumativa: 1. Presentación de tarea de investigación. 20% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 Criterios:

- Contenido completo: 20% - Orden, aseo y ortografía: 20% - Solución correcta: 60%

2. Laboratorio individual escrito. 50% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15.

12


Unidad 5. Utilicemos proporcionalidad Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Resolver problemas de la vida cotidiana aplicando con seguridad proporciones, regla de tres y tanto por ciento, valorando la opinión de los demás.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Proporcionalidad − Razones

− Aplicación de las razones en ejercicios y problemas.

− Entusiasmo al determinar y ejemplificar las razones. 174 - 175

− Proporciones − Planteamiento e interpretación de las proporciones.

− Interés por identificar las proporciones. 176

− Propiedad fundamental de las proporciones

− Deducción y utilización de la propiedad fundamental de las proporciones.

− Orden en la aplicación de proporciones. 176 – 177

− Plano cartesiano: par ordenado y su gráfico en el plano cartesiano

− Localización de pares ordenados en el plano cartesiano.

− Orden y exactitud al ubicar pares ordenados. Guía de contenido

No. 9

− Proporcionalidad directa − Utilización y explicación de la proporcionalidad directa en ejercicios y problemas.

− Seguridad al utilizar y explicar la proporcionalidad directa. 184 – 185

− Proporcionalidad inversa − Utilización y explicación de la proporcionalidad inversa en ejercicios y problemas.

− Seguridad al utilizar y explicar la proporcionalidad inversa. 186 - 187

− Regla de tres simple: directa, inversa

− Resolución y explicación de ejercicios y problemas usando regla de tres directa e inversa.

− Interés por aplicar la regla de tres. 188

− Tanto por ciento (porcentaje) − Resolución y explicación de problemas de porcentajes.

− Valora la utilidad del tanto por ciento. 194 – 195

− Regla de tres compuesta − Resolución y explicación de problemas utilizando la regla de tres compuesta.

− Seguridad en la resolución de problemas utilizando la regla de tres compuesta. Guía de contenido

No. 10

13

Sugerencias metodológicas: • Analice con el grupo la actividad planteada en la página 170 del libro de texto y utilice el mapa de conceptos de la página 171 para hacer un bosquejo general de la unidad.

Para definir: razón, razón aritmética, fundamentales de las proporciones; presente primero una problematización de la vida cotidiana para luego definirlos en forma participativa, para concluir esta primera parte con las respectivas actividades de las página 173 a la 178. El plano cartesiano se trabajará a través de la guía de contenido Nº 9.

• Dirija un coloquio para definir qué es magnitud y luego pídales que presentaran dos gráficos de magnitudes que se relacionen de manera directa o inversa, auxiliándose de los ejemplos y ejercicios de las páginas del texto 173, 184 a la 187. La regla de tres simple directa e inversa se desarrollará con la propuesta de la página 188 del libro de texto, la regla de tres compuesta con la guía de contenido Nº 10 y el tanto por ciento con las página 194 a la 195.

• Asigne actividad de investigación previamente y que se socialicen las respuestas. • Utilice aplicaciones de la vida cotidiana para ser resueltas de manera individual y colectiva. • Proporcione tareas para ser desarrolladas en casa (actividades no presenciales). Indicadores de logro: 5.1 Aplica las razones en ejercicios y problemas. 5.2 Utiliza con orden las proporciones en ejercicios y problemas de aplicación. 5.3 Explica con seguridad el plano cartesiano y sus elementos y lo traza con aseo,

a partir de la recta numérica. 5.4 Utiliza y explica con seguridad la proporcionalidad directa en ejercicios y

problemas. 5.5 Resuelve y explica con interés ejercicios y problemas usando la regla de tres

directa e inversa. 5.6 Resuelve y explica problemas de porcentaje, valorando su utilidad. 5.7 Resuelve y explica problemas utilizando la regla de tres compuesta, con

seguridad y confianza.

Actividades de evaluación: Formativa: − Se observará la participación propositiva en las diversas actividades desarrolladas en

equipo y la calidad de los aportes en las discusiones propuestas.

Sumativa: 1. Presentación de tres actividades de ejercicio propuestas en las páginas 180 a la

183, 190 a la 193, 198 a la 201 y presentadas en equipos de trabajo. 30%

− Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9,10, 11, 12 y 13. Criterios: - Contenido completo: 20% - Orden, aseo y puntualidad: 20% - Solución correcta: 60%

2. Evaluación escrita individual de las páginas 204 a la 205 del libro de texto. 50%

− Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 y 10. 3. Actividad no presencial sobre el plano cartesiano y la regla de 3 compuesta. 20%

− Indicadores de logro: 6,7 y 14. Criterios: - Contenido completo: 20% - Orden y puntualidad: 10% - Solución correcta: 80%

14


Unidad 6. Conozcamos y utilicemos el algebra Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 20 horas

Objetivo de unidad: X Interpretar y convertir informaciones del entorno al lenguaje algebraico —del valor numérico— con el fin de proponer con seguridad soluciones a situaciones cotidianas.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Álgebra: notación,

nomenclatura

− Signos algebraicos: de operación, de agrupación y de relación

− Interpretación, aplicación y explicación de la parte literal, como elemento fundamental dentro de la nomenclatura algebraica.

− Identificación de los signos algebraicos.

− Valora la importancia de las letras para expresar, de forma general y simple, diversas expresiones matemáticas.

− Seguridad al identificar signos algebraicos.


− Expresiones algebraicas: término, monomios y polinomios

− Identificación y explicación de los elementos de un término.

− Diferenciación y explicación del término monomio y polinomio.

− Seguridad al reconocer y explicar el “término” en expresiones algebraicas y sus elementos.

− Seguridad al expresar un monomio de un polinomio.


− Grado de un monomio: absoluto y relativo

− Determinación del grado relativo y absoluto de un monomio.

− Seguridad al describir las reglas para obtener el grado absoluto y relativo de los monomios.


− Términos semejantes: reducción

− Simplificación de términos semejantes.

− Resolución de problemas utilizando resolución de términos semejantes.

− Seguridad al simplificar términos semejantes.

− Seguridad al desarrollar ejercicios de reducción de términos semejantes.


− Valor numérico: monomio − Utilización del valor numérico de ejercicios aplicación.

− Interés por determinar el valor numérico de un monomio.


Sugerencias metodológicas: • Inicie esta unidad con un trabajo de investigación en equipos de trabajo sobre la historia del álgebra con las siguientes preguntas generadoras:

- ¿Qué es el álgebra? - ¿Qué aportes se hicieron a lo largo de la historia en esta rama de la Matemática? ¿y quiénes fueron? - ¿Cuál es la diferencia entre álgebra y aritmética?

15

• Oriente la socialización de las diferentes participaciones de los equipos expositores. Utilice la propuesta de las guías de contenido 11, 12, 13, 14 y 15 para desarrollar, de manera participativa, los contenidos de introducción al álgebra en el que debe dársele preponderancia al trabajo en equipo que desarrollarán los y las estudiantes para solventar cualquier duda surgida en la solución de las diversas actividades.

• Asigne ejercicios para ser desarrollados en trabajos colectivos e individuales. Indicadores de logro: 6.1 Interpreta, aplica y explica con interés el uso de la parte literal como

parte de la nomenclatura algebraica. 6.2 Establece y explica, con interés, el “valor numérico” que puede

tomar la parte literal. 6.3 Resuelve problemas utilizando nomenclatura algebraica. 6.4 Determina con seguridad el grado absoluto y relativo de los

monomios. 6.5 Simplifica con seguridad términos semejantes. 6.6 Resuelve problemas utilizando la reducción de términos

semejantes. 6.7 Interpreta y explica con interés el valor numérico de un monomio. 6.8 Utiliza el valor numérico en el desarrollo de ejercicios. 6.9 Resuelve con precisión y orden problemas de valor numéricos.

Actividades de evaluación: Formativa: − Se observará el entusiasmo, dedicación y esmero en el desarrollo de las diversas actividades, así

como los aportes propuestos en las diferentes actividades.

Sumativa: 1. Presentación de las “actividades de ampliación” propuestas en la Guía de contenido 5,

que deberán ser presentado en forma individual. 30% − Indicadores de logro: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. Criterios:

- Contenido completo: 20% - Orden, aseo y puntualidad: 20% - Solución correcta: 60%

2. Recopilación de cinco actividades cortas, que deberán ser presentadas en equipos de trabajo. 30% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. Criterios:

- Contenido completo: 20% - Ortografía y puntualidad: 20% - Solución correcta: 60%

3. Laboratorio individual. 40% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18.

16


Unidad 7. Utilicemos los exponentes Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Proponer soluciones a problemáticas del aula y del entorno utilizando la potenciación y sus propiedades, respetando la opinión de los demás.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Potenciación: exponentes

enteros positivos, exponentes ceros, exponentes enteros negativos

− Deducción y aplicación del significado del exponente cero.

− Simplificación de cantidades numéricas y

monomiales, positivas o negativas, elevadas a una potencia entera (positiva o negativa).

− Seguridad al explicar el significado del exponente cero.

− Seguridad al realizar simplificaciones.

210 -211 Guía de contenido

No. 16

− Propiedades de los exponentes: producto de bases iguales, cociente de bases iguales, potencia de otra potencia, potencia de un producto y potencia de un cociente

− Simplificación de cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.

− Seguridad, confianza y orden al aplicar las propiedades de los exponentes.

212-213-214

− Notación científica − Conversión de notación decimal

a científica − Calculadora científica − Conversión de notación

científica a decimal

− Determinación y explicación de la utilidad de la notación científica.

− Conversión de cantidades en notación científica a

notación decimal sin y con calculadora. − Conversión de cantidades en notación decimal a

notación científica sin y con calculadora.

− Seguridad al explicar la utilidad de la notación científica.

− Seguridad en la conversión de notación

científica a notación decimal. Guía de contenido

No. 17

− Operaciones básicas en notación científica

− Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de cantidades en notación científica, sin y con calculadora.

− Aplicación de la notación científica a problemas de

la vida diaria.

− Confianza al resolver problemas de aplicación que envuelvan la notación científica.


17

Sugerencias metodológicas: • Inicie la unidad haciendo uso del mapa de conceptos de la página 207 del libro de texto, para hacer un bosquejo general de la potenciación. También se utilizará la actividad

introductoria de la página 209. Las diferentes actividades introductorias de las páginas 210 a la 214 y 218 a la 219, del libro de texto se fortalecerán con las guías de contenido número 16, 17 y 18, en las que se utilizará el método participativo, tanto en la definición de conceptos como en el trabajo cooperativo de equipos, para el desarrollo de los ejercicios propuestos.

• Presente, en un cartel, una situación problemática que involucre la potenciación. • Asigne, como tarea individual, la construcción de su árbol genealógico en páginas de papel bond. • Desarrolle los ejercicios propuestos en el libro de texto páginas de la 210 a la 217 y en las guías de contenido No. 17, 18 y 19. Indicadores de logro: 7.1 Deduce y aplica con claridad los exponentes negativos. 7.2 Define con claridad y explica la utilidad de los exponentes mediante su

notación apropiada. 7.3 Simplifica con seguridad cantidades numéricas y monomiales negativas

elevadas a una potencia entera (positiva o negativa). 7.4 Simplifica con confianza cantidades numéricas y monomiales elevadas a

la potencia cero. 7.5 Simplifica cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la

aplicación de dos o más propiedades de los exponentes. 7.6 Determina y explica con confianza la utilidad de la notación científica. 7.7 Aplica con confianza la notación científica en la resolución se problemas.

Actividades de evaluación Diagnóstica: − Se asignará en parejas de trabajo la actividad de la página 209 del libro de texto para

conocer los alcances que poseen los estudiantes.

Formativa: − La cooperación y deseo de hacer bien las cosas en la solución de las diferentes guías

contribuirán a la formación integral de los/as estudiantes.

Sumativa: 1. Presentación, en parejas de las páginas 216 a la 217 del libro de texto. 30% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Criterios:

- Contenido completo 20% - Orden, aseo y puntualidad: 20% - Solución correcta: 60%

2. Evaluación escrita individual de las págs. 220 y 221 del libro de texto. 40% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.

3. Actividad no presencial, en pareja, sobre notación científica. 30% − Indicadores de logro: 13, 14, 15,16, 17, 18 y 19. Criterios:

- Contenido completo: 10% - Orden y puntualidad: 10% - Solución correcta: 80%

18

Planificación de unidad didáctica Unidad 8. Operemos con monomios Competencias:

• Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Utilizar, con seguridad, las operaciones con momios, con el fin de encontrar soluciones a situaciones problemáticas escolares y del entorno.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Operaciones básicas con

monomios: suma, diferencia y suma y resta combinadas

− Resolución de sumas y restas de monomios y operaciones combinadas.

− Seguridad al resolver sumas, diferencias y operaciones combinadas de monomios. Guía de contenido

No. 19

− Supresión e introducción de signos de agrupación

− Resuelve problemas aplicando operaciones combinadas con signos de agrupación.

− Interés por comprender y dominar las reglas para introducir y suprimir signos de agrupación.


− Potencia de monomios con exponentes enteros

− Multiplicación de monomios por

monomios

− Resolución de ejercicios con monomios. − Seguridad al aplicar potencia de in producto y multiplicación de monomio por monomio.


− Multiplicación de monomio por polinomio

− Realización de productos de monomios por polinomios aplicando las propiedades de los exponentes.

Guía de contenido

No. 22

− División de un monomio entre un monomio y de un polinomio entre un monomio

− Obtención de cociente entre monomios y de un polinomio entre monomio.

− Esmero en la solución de cociente de monomio entre monomio y por polinomio entre monomio.

Guía de contenido No. 23 y 24

− Operaciones combinadas entre monomios

− Resolución de problemas algebraicos utilizando operaciones combinadas entre monomios.

− Esmero y seguridad al resolver operaciones combinadas.


19

Sugerencias metodológicas: • Inicie con una retroalimentación de la reducción de términos semejantes, después de haber aplicado un taller que desarrollaran en forma individual. Desarrolle los contenidos

con base en la propuesta didáctica de las guías metodológicas 19, 20, 21, 22, 23, 24 y 25. Para el trabajo en equipo de cada guía asigne tutores, quienes coordinaran la actividad asignada en ese momento. El o la docente verificará el trabajo de cada equipo y retroalimentará tantas veces sea necesario.

• Hacer una retroalimentación de las propiedades de la potenciación y las partes que posee un monomio. • Solicite que desarrollen, en equipos de trabajo, los ejercicios de las guías 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 26.

Indicadores de logro: 8.1 Resuelve con satisfacción operaciones combinadas de sumas y diferencias de monomios. 8.2 Resuelve problemas aplicando operaciones combinadas con signos de agrupación. 8.3 Resuelve con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de un cociente. 8.4 Convierte con seguridad expresiones con exponentes negativos a expresiones con

exponentes positivos y viceversa. 8.5 Realiza con esmero productos de monomio por monomio aplicando propiedades de los

exponentes. 8.6 Realiza con esmero productos de monomio por polinomio aplicando propiedades de los

exponentes. 8.7 Resuelve con seguridad problemas algebraicos utilizando operaciones combinadas entre

monomios.

Actividades de evaluación: Formativa: − Trabajo cooperativo desarrollado en las diversas actividades propuestas. Sumativa: 1. Actividad no presencial desarrollada en equipos de trabajo, coordinadas

por los tutores. 40% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 y 14. Criterios:

- Contenido completo: 10% - Orden y puntualidad: 20% - Solución correcta: 70%

2. Laboratorio individual. 30% − Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

3. Laboratorio en parejas. 30% − Indicadores de logro: 10, 11, 12, 13 y 14.

20


Unidad 9. Conozcamos y apliquemos los radicales Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la Matemática al entorno

Tiempo: 35 horas

Objetivo de unidad: X Aplicar, con destreza, la radicación y sus propiedades, al proponer soluciones a situaciones del ámbito escolar y social.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Radicación − Raíces exactas: cuadradas y

cúbicas

− Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas exactas. − Seguridad al calcular las raíces.

226-227-228-233-234

− Propiedades de los radicales: raíz de un producto y de un cociente, raíz de otra raíz

− Aplicación de las propiedades de los radicales. − Confianza al aplicar las propiedades de los radicales.

231 Guía de contenido

No. 26

− Radicales semejante. Simplificación

− Simplificación de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos enteros numéricos o algebraicos.

− Cálculo de la sumas y restas de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos enteros numéricos y algebraicos.

− Confianza al simplificar radicales.

− Orden al sumar y restar los radicales. Guía de contenido

No. 27

− Operaciones con radicales de cantidad subradical entera (suma, resta, multiplicación y división)

− Cálculo de la multiplicación y división de radicales cuadrados y cúbicos con radicales enteros numéricos y algebraicos.

− Autonomía al multiplicar los radicales.

− Seguridad al calcular los cocientes de radicales.

Guía de contenido No. 28, 29 y 30

Sugerencias metodológicas: • Comente con el grupo la actividad de la página 222 del libro de texto. Luego se hará una presentación general de la radicación usando el mapa de conceptos de la página

223. El diagnóstico se desarrollará en equipos de trabajo usando las páginas 224 y 225 para luego socializar los resultados y retroalimentar lo que sea necesario. La propuesta metodológica de las páginas 226 – 228, 231, 233 – 234 del libro de texto se fortalecerá con las guías de contenido número 26,27, 28, 29 y 30.

• Introduzca la radicación con la actividad de la página 225 del libro de texto y en equipos de trabajo desarrollar las actividades de la páginas 236 hasta la 239 del mismo libro.

21

Indicadores de logro: 9.1 Resuelve problemas aplicando ordenadamente las raíces

exactas. 9.2 Simplifica ordenadamente las raíces cuadradas y cúbicas

con radicandos enteros, numéricos y algebraicos. 9.3 Simplifica con confianza los radicales cuadrados y cúbicos

semejantes con radicandos enteros numéricos y algebraicos. 9.4 Calcula con orden la suma y resta de radicales cuadrados y

cúbicos semejantes con radicandos enteros numéricos y algebraicos.

9.5 Calcula con autonomía la multiplicación de radicales cuadrada y cúbica con radicandos enteros numéricos y algebraicos.

9.6 Calcula con seguridad los cocientes de radicales cuadrados y cúbicos con argumentos enteros numéricos y algebraicos que den respuestas exactas.

Actividades de evaluación Diagnóstica: − Se asignará, en equipos de trabajo, la actividad de las páginas 224 y 225 del libro de texto, para

retroalimentar lo que sea necesario.

Formativa: − Se observará la dedicación y esmero en el desarrollo del trabajo en equipo.

Sumativa: 1. Presentación en equipo de ejercicios propuestos en el libro de texto de la pág. 236 a 239. 20%

− Indicadores de logro. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12. Criterios: - Contenido completo: 10% - Orden, aseo y puntualidad: 15% - Solución correcta: 75%

2. Tarea extra aula en parejas. 20% − Indicadores de logro: 9, 10, 11 y 12. Criterios: - Contenido completo: 10% - Orden y puntualidad: 10% - Solución correcta: 80%

3. Prueba escrita individual. 60% − Indicadores de logro: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12.

22

UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD

EL METRO. MÚLTIPLO Y SUBMÚLTIPLOS El metro es la unidad básica de longitud y corresponde a la diezmillonésima parte del cuadrante de un meridiano terrestre. Se simboliza m. Existen unidades superiores al metro llamadas múltiplos; se nombran anteponiendo los prefijos: miria-, kilo-, hecto- y deca- a la palabra metro.

Múltiplo Símbolo Equivalencia en metros

Miriámetro mam 10 000 m

Kilómetro km 1 000 m

Hectómetro hm 100 m

Decámetro dam 10 m

También existen unidades inferiores al metro llamadas submúltiplos; se nombran anteponiendo los prefijos: deci-, centi- y mili- a la palabra metro.

Submúltiplo Símbolo Equivalencias en metro

decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

milímetro mm 0.001 m

El decímetro equivale a la décima parte del metro, el centímetro a la centésima parte y el milímetro a la milésima parte. CONVERSIONES Generalmente, los múltiplos del metro se emplean para medir longitudes grandes, como distancias entre lugares, y los submúltiplos se emplean para medir longitudes pequeñas, como el tamaño de un objeto. Sin embargo, a cualquier medida dada en una unidad se le puede hallar su equivalencia en las otras unidades. Por ejemplo, la luz recorre 300 000 km en un segundo. Esta distancia equivale a 300 000 000 m (trescientos millones de metros) y a 3 000 000 000 dm (tres mil millones de decímetros). La siguiente tabla muestra en orden los múltiplos y los submúltiplos del metro:

mam km hm dam m dm cm mm Para hallar la equivalencia de una unidad de orden mayor a una unidad de orden menor, se multiplica por 10, 100, 1,000, etcétera. mam km hm dam m dm cm mm Para hallar la equivalencia de una unidad de orden menor a una unidad de orden mayor, se divide entre 10; 100; 1,000; etcétera. mam km hm dam m dm cm mm

Toma nota La barra de platino e iridio, en la cual se hicieron dos marcas separadas a una distancia de un metro, se conoce como metro patrón y se puede observar en el Museo de Pesas y Medidas de París.

Piensa ¿Cuál es la equivalencia de una milimicra?

Matemáticos del siglo XVIII Joseph Louis Lagrance Francia (1736-1813) Matemático y astrónomo que estuvo a cargo de la comisión que estableció un nuevo sistema de pesas y medidas del cual surgió el sistema métrico decimal. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII.

23

En el siguiente ejercicio se plantea el procedimiento para hacer este tipo de conversiones. Ejemplo resuelto Halla las equivalencias de las siguientes longitudes. a. 32 hm en cm b. 12 000 mm en m Solución: a. El ejercicio plantea una conversión de una unidad mayor (Hm) a una unidad menor (cm). Por lo tanto, se debe multiplicar por 10,000, pues hay cuatro casillas entre Hm y cm (figura 1). Luego, la equivalencia de 32 hm en cm es: 32 x 10 000 = 320 000 En conclusión, 32 hm = 320 000 cm. b. Como en este ejercicio se plantea una conversión de una unidad menor (mm) a una unidad mayor (m) se debe dividir entre 1,000, pues hay tres casillas entre mm y m (figura 2). Así que la equivalencia de 12,000 mm en m es: 12 000 ÷1 000 = 12 m Por lo tanto, 12 000 mm = 12 m.

1. Realiza cada conversión. a. 30 km a m

b. 159 dam a cm

c. 349 dm a mm

d. 490 hm a m

e. 1.954 dam a cm

f. 4.250 dam a dm

g. 5,31 km a dam

h. 16,34 hm a cm

2. Convierte de unidad menor a unidad mayor. a. 630 m a dam

b. 749 dm a hm

c. 3.900 mm a m

d. 4.600 cm a dam

e. 3.400 hm a mam

f. 196.5 m a dam

g. 189,32 cm a hm

h. 1.43 dm a hm

3. Determina si la equivalencia es correcta, si no lo es corregirla. a. 650 km = 650.00 m

b. 27 hm = 0.27 mam

c. 48 mam = 4.800 dm

d. 35 m = 0.035 hm

e. 9.7 km = 970 hm

f. 6.24 cm = 0.0624 km

g. 195.4 dam = 1.954 m

h. 19.6 mm = 0.00196 m

i. 37.21 hm = 0.3721 km

j. 3.24 mam = 0.324 km

k. 0.624 km = 62.4 dam

l. 195.63 m = 19563 hm

m. 245.61 m = 0.74561 km

n. 35.4 dm = 3.54 m

4. Ordena de menor a mayor cada grupo de cantidades. a. 37 km; 64 m; 124 cm; 0.35 mam; 243 mm

b. 1.49 m; 1.65 dm; 0.34 mam; 124.32m; 1.71 cm

c. 32.29 km; 129.38 m; 121.3 m; 6.29 km; 2 m

d. 4.35 m; 121 km; 2.51 m; 6 mam; 5.3 mm

e.7.31 dm; 6.31 mm; 6.34 dm; 5.31 cm; 6.8 dam

Toma nota ×10 ×10 ×10 ×10 hm dam m dm cm × 10,000 Figura 1

÷10 ÷10 ÷10 dam m dm cm mm ÷100

Figura 2

24

UNIDADES MÉTRICAS DE SUPERFICIE

METRO CUADRADO. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS En el sistema métrico decimal la unidad básica es el metro cuadrado. Un metro cuadrado es el área de un cuadrado de 1 metro de lado. Se nota simbólicamente m2. El metro cuadrado tiene unidades de orden superior y de orden inferior llamadas múltiplos y submúltiplos. Entonces, para nombrar los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado se usan los mismos nombres de las unidades de longitud y se acompañan de la palabra cuadrado; así:

Múltiplos Símbolo Equivalencia en m2

Miriámetro cuadrado mam2 100.000.000 m2

Kilómetro cuadrado km2 1.000.000 m2

Decámetro cuadrado dam2 100 m2

Submultiplos Símbolo Equivalencia en m2

Decímetro cuadrado dm2 0.01 m2

Centímetro cuadrado cm2 0.0001m2

Milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2

La siguiente tabla muestra, en orden, los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado; cada uno de ellos es 100 veces menor que la unidad de orden inmediatamente superior y 100 veces mayor que la unidad de orden inmediatamente inferior.

mam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Por ejemplo, en la tabla se observa que el dam2 es la unidad de orden inmediatamente superior al m2, entonces, 1 dm2 es 100 veces 1m2 (1 dm2 = 100m2). De la misma manera 1 dam2 es la unidad de orden inmediatamente inferior a 1 hm2 por lo cual 1 dam2 es 100 veces menor que 1 hm2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == 222 01.0

100

11 hmhmdam

Ejemplos resueltos 1. Si la figura A tiene un área de 3 cm2 y la figura B un área de dm2, ¿cuál de las dos figuras tiene mayor área? Solución: La figura B tiene mayor área, porque los decímetros cuadrados son unidades de orden superior que los centímetros cuadrados. 2. Si la superficie del lote A mide 96m2 y la del lote B mide 150m2, ¿cuál lote es más extenso? Solución: El lote B es más extenso.

Realidad y curiosidad

El área de los cinco continentes se registra en la siguiente tabla.

Continente Área América 42.262.142 km 2 África 30.365.000 km 2 Asia 44.614.000 km 2 Europa 10.530.740 km 2 Oceanía 8.505.700 km 2

25

CONVERSIONES Un decímetro cuadrado corresponde al área de un cuadrado que mide 1 dm de lado. Al construir un cuadrado de 1 dm de lado y recubrirlo con centímetros cuadrados se puede verificar que 1 dm2 = 100 cm2 Ya que hay 10 cm2, 10 veces, así: 1 dm2 = 10 cm cm2×10 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2

Un centímetro cuadrado corresponde al área de un cuadrado que mide 1 cm de lado. De la misma manera, al construir un cuadrado de 1 cm de 1 dm de lado y recubrirlo con centímetros cuadrados, se puede verificar que 1 cm2 equivale a 100 mm2 (figura 1).

1 cm2 = 10 mm2 ×10 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2

En general Para hallar equivalencias entre unidades métricas de área cualesquiera, se procede así: De una unidad de orden mayor a una unidad de orden menor se multiplica por 100, 10 000, 1.00.00, etcétera. Por ejemplo, para convertir 15 km2 en m2 se multiplica por 1 000 000, así: 15 × 1 000 000 = 15 000 000 Así, 15 km2 = 15 000 000 m2 ×100 ×100 ×100

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2

×1 000 000 De una unidad de orden menor a una unidad de orden mayor se divide entre 100, 10 000, 1 000 000, etcétera. Por ejemplo, para convertir 2.48 dm2 a dam2 se divide entre 10 000, así: 2.480 ÷ 10 000 = 0.248. Por lo tanto, 2.480 dm2 = 0.248 dam2

÷100 ÷100

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2

÷10 000

1 cm 2 1mm 2

1cm = 10mm Figura 1

Piensa ¿Una hectárea equivale a

10,000 m 2 ? ¿Por qué?

26

Ejemplo resuelto El Principado de Mónaco tiene un área de 1.95 km2 y la República de Nauru tiene 1 945 hm2 más que Mónaco. ¿Cuántos hm2 de área tiene la República de Nauru? Solución: Primero se busca la equivalencia de 1.95 km2 en hm2 multiplicado por 100. Así: 1.95 * 100 = 195 Por lo que, 1.95 km2 = 195 hm2 Ahora, como la República de Nauru tiene 1945 hm2 más que Mónaco, se resuelve la suma: 1 945 hm2 + 195 hm2= 2 140 hm2

Por lo tanto, la República de Nauru tiene 2 140 hm2 de área.

1. Convierte a la unidad dada.

a. 5 km2a hm2

b. 49 m2 a mm2

c. 9 dam2 a m2

d. 56 mam2 a km2

e. 16 m2 a dm2

f. 2,651 dm2 a hm2

g. 138 dam2 a hm2

h. 125 dm2 a cm2

i. 168 cm2 a mm2

j. 4.25 m2 a dm2

k. 216.2 m2 a cm2

l. 0.01 dm2 a hm2

m. 0.0085 hm2 a km2

n. 0.0097 m2 a dm2

o. 0.0612 cm2 a dam2

p. 5.21 dam2 a mm2

q. 0.133 cm2 a mm2

r. 3.7 dm2 a hm2

s. 3.24 dam2 a km 2

t. 16.4 mm2 a cm2

2. Lee y responde. En la tabla siguiente se registraron las superficies de los continentes:

Continente Área

América 42 262 142km2

África 30 365 000km2

Asia 44 614 000km2

Europa 10 530 740km2

Oceanía 8 505 700 km2

a. ¿Cuántos Dm2 es la superficie de los cinco continentes? b. ¿Cuál de los continentes tiene mayor superficie? c. ¿Cuántos Hm2 más de superficie tiene hacia que

América? d. ¿Cuántos Dm2 más tiene África que Oceanía? e. Ordena de menor a mayor en Hm2 la superficie de los

continentes.

Principado de Mónaco

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Algunas unidades de área toman diferentes nombres cuando se refieren a medidas agrarias. Este es el caso del hectómetro cuadrado, llamado hectárea y el decámetro cuadrado llamado área. También, entre estas medidas, están la caballería y la manzana.

Nombre Símbolo Equivalencia en el SMD

Hectárea ha 1 hm2 Área a 1 dam2

Caballería ca 427 956.35 m2 Manzana ma 6 989 m2

Ejemplo resuelto Una finca se ha dividido en tres parcelas para sembrar maíz, arroz y fríjol. La parcela destinada al cultivo de maíz tiene un área de 200 hectáreas; la parcela del arroz tiene 50 hectáreas más que la parcela del maíz y la parcela del fríjol tiene 70 hectáreas menos que la del arroz. ¿Cuál es el área de cada parcela? Solución: Como la parcela del maíz mide 200 ha y la de arroz 50 ha más que ella, se tiene que la parcela del arroz mide: 200 ha + 50 ha = 250 ha Y como la parcela del frijol mide 70 ha menos que la del arroz, entonces, la parcela del sorgo mide: 250 ha – 50 ha = 180 ha Por lo tanto, A (maíz) = 200 ha; A (arroz) = 250 ha; y A (fríjol) = 180 ha. Conversiones Expresar 2 caballerías en hectáreas. Solución: Como una caballería es 427 956.75 m, dos caballerías serán 2(427 956.75 m) = 855,913.5 m. Luego se divide este dato en 10 000 m, que tiene una hectárea, y obtenemos 85.59 ha; por lo tanto, 2 caballerías equivalen a 85.59 hectáreas.

1. Desarrolla en tu cuaderno cada ejercicio y completa las siguientes igualdades.

a. 5 a = ____________ ma

b. 7 Ma = ____________ ha

c. 4.6 ha = ____________ a

d. 4.3 Ca = ____________ ma

e. 9.5 ha = ____________ ca

f. 0.133 Ma = ____________ a

g. 3.7 ha = ____________ ma

h. 3.24 a = ____________ ha

i. 6.7 Ma = ____________ ca

j. 5.89 Ca = ____________ ha

2. Lee cada situación y responde la pregunta. Justifica cada respuesta.

a. Sobre un terreno de 2 ha ¿es posible construir una

piscina de 3 m x 4 m?

b. Don José compró un terreno de 87 m2

. ¿Es cierto que tiene 87 ha?

c. Un arquitecto necesita recubrir una habitación que

tiene 0.5 ha. ¿Es cierto que necesita 30 baldosas cuadradas de 30 m de lado?

d. Felipe tiene un cultivo de tomate en una ha de su

finca. ¿Cuántos m2

tiene cultivados?

Realidad y curiosidad

La Ciudad del Vaticano es un Estado independiente y es el más pequeño del mundo.

La plaza del mercado más grande del mundo es la “Central de Abastos” de México. Su superficie mide 328 ha.

MEDIDAS AGRARIAS

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REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

REPRESENTACION DE UN NÚMERO RACIONAL POSITIVO SOBRE LA RECTA Para ubicar sobre la recta numérica un número racional positivo se debe considerar la fracción que lo representa: si es propia o si es impropia. a) Si es propia, se divide la unidad de 0 a 1 en partes iguales según indique el denominador, y a partir de 0 se cuenta hacia la derecha tantas partes como indique

el numerador. Por ejemplo, observa la representación gráfica de 7

2.

…-2 -1 0 7

2 1 2…

b) Si es propia, se transforma la fracción en un número mixto, se cuenta hacia la derecha la parte entera que indica el número mixto, y a partir de ahí se toma del siguiente segmento la parte fraccionaria. Por ejemplo, fíjate en la representación

gráfica de 4

9

4

1

9 | 4___ 9 = 2 1/4 2 1 2 4

…-3 -2 -1 0 1 24

9 3…

REPRESENTACION DE UN NÚMERO RACIONAL NEGATIVO SOBRE LA RECTA Para ubicar sobre la recta numérica un número racional negativo, se debe considerar la fracción que lo representa: si es propia o si es impropia. a) Si es propia, se divide la unidad de 0 a -1 en tantas partes iguales como indica el denominador, y a partir de 0 se cuenta hacia la izquierda tantas partes como indica

el numerador. Por ejemplo, observa la representación gráfica de 6

5−

6

5−

… -2 -1 0 1 2… b) Si es impropia, se transforma la fracción en un número mixto, se cuenta hacia la izquierda la parte entero que indica el número mixto, y a partir de ahí se toma del siguiente segmento la parte fraccionaria. Por ejemplo, fíjate en la representación

gráfica de 5

8− .

5

3− 1

8 | 5 5

8− =

5

31−

3 1 ...-2 5

8− -1 0 1 2…

1. Calcula, ¿dónde se representarán en la recta

numérica los números racionales 8

3

−−

y 5

4, a la

derecha o a la izquierda de 0? ¿Y las fracciones 11

8−

y 15

4

−?

2. Escribe tres fracciones que se representen en cada uno de los puntos señalados en cada recta.

..-3 -2 -1 0 1 2 3... A B C D E F

3. Representa los siguientes números racionales en una recta numérica.

a. 2

3− f.

7

8

−−

b. 4

1− g.

10

27−

c. 5

0− h.

5

16−

d. 3

1 i.

4

11

e. 3

7 j.

27

81−

Recuerda Los números positivos se representan en la recta numérica a la derecha del 0 y los números negativos, a la izquierda del 0.

Piensa ¿Entre qué números enteros quedaría representado el número

racional 6

25

− en la recta

numérica?

25 |6 1 4

29

UNIDADES DE CAPACIDAD

Cuando la sustancia que puede contener un cuerpo se trata de líquidos o gases, se acostumbra emplear la medida de capacidad en litros. El litro (Ɛ) es la unidad principal de capacidad del sistema métrico decimal y se define como la capacidad que tiene un cubo cuya arista mide 1 dm. Los múltiplos del litro son: el kilolitro (kƐ), el hectolitro (hƐ), y el decalitro (daƐ). Y los submúltiplos del litro son: el decilitro (dƐ), el centilitro (cƐ), y el mililitro (mƐ). En la siguiente tabla se aprecia la equivalencia entre estas medidas:

Múltiplos del litro Unidad

principal Submúltiplos del litro

1000Ɛ 1kƐ

100 Ɛ 1hƐ

10 Ɛ 1da Ɛ

1 Ɛ 0.1 Ɛ 1dƐ

0.01 Ɛ 1cƐ

0.001 Ɛ 1m Ɛ

Considerando esta tabla de equivalencias, ¿cuántas botellas de un litro se necesitarán para vaciar un tonel de un hectolitro? Como 1 hƐ = 100 Ɛ, entonces se necesitan 100 botellas de un litro. Al igual que las unidades de longitud, las unidades de capacidad van de 10 en 10. Para pasar de una unidad mayor a una menor, se multiplica por la unidad seguida de ceros; para pasar de una unidad menor a una mayor, se divide entre la unidad seguida de ceros. ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 1kƐ

1hƐ 1daƐ

1Ɛ 1dƐ

1cƐ 1mƐ

÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 Fíjate, por ejemplo, como se realiza la reducción de 4 cƐ a daƐ: Como 1 cƐ es una unidad menor a 1 daƐ, se debe dividir 4 entre 1 000 y como 4÷1 000 = 0.004, entonces, 4 cƐ = 0.004 daƐ.

• Reduce a las unidades indicadas.

a. 18 cm 3 a dm 3

b. 2.5 dm 3 a m 3

c. 3.2 mm 3 a dm 3

d. 50 m 3 a dm 3

e. 20 hl a ml

f. 96 kl a l

g. 79 ml a dal

h. 15.4 kl a ml

i. 22 cm 3 a dm 3

j. 3.5 dm 3 a m 3

k. 2.3 mm 3 a dm 3

l. 24 m 3 a dm 3

m. 15 hl a ml

n. 18 kl a l

o. 53 ml a dal

p. 3.8 kl a ml

Piensa ¿Cómo se convierte 40h a c?

30

UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS En muchas ocasiones se encuentran problemas en los cuales es necesario calcular la cantidad de espacio que ocupa un sólido o cuerpo geométrico. Por ejemplo, para saber cuántas cajas caben en la cava de una camioneta se debe tomar en cuenta el espacio que ocupa cada caja y el espacio disponible en la cava; luego, se puede dividir el espacio disponible en la cava entre el espacio que ocupa cada caja. El volumen de un sólido es la cantidad de espacio que ocupa el sólido. La medida del volumen de un sólido depende de la unidad elegida. El volumen de un sólido se obtiene al calcular el número de unidades cúbicas que contiene. Por ejemplo, observa los cuerpos A, B, C Y D; si se elige como unidad el cuerpo A, entonces el volumen del cuerpo b es 5 unidades A, del C es 3 unidades A y del D es 5 unidades A. Fíjate, además, en que los cuerpos B y D son diferentes, pero tienen el mismo volumen. UNIDADES DE VOLUMEN Se pueden usar diferentes unidades cúbicas para medir el volumen de un sólido, la principal es el metro cúbico.

Un metro cúbico (m 3 ) es el volumen de un cubo de arista igual a un metro. Los cubos que tienen como arista un submúltiplo del metro son los submúltiplos

del metro cúbico, estos son: el decímetro cúbico (dm 3 ), el centímetro cúbico

(cm 3 ) y el milímetro cúbico (mm 3 ). Luego:

• 1 dm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 dm.

• 1 cm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 cm.

• 1 mm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 mm. Los cubos cuya arista es un múltiplo del metro son los múltiplos del metro

cúbico, los cuales son: el decámetro cúbico (dam 3 ), el Hectómetro cúbico (hm 3 )

y el kilómetro cúbico (km 3 ). Entonces:

• 1 dam 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 dam.

• 1 hm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 hm.

• 1 km 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 km. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico van de 1 000 en 1 000.

• Reduce a las unidades indicada. a. 20 m3 a dm3

b. 15 cm3 a dam3

c. 146 mm3 a km3

d. 10 hm3 a m3

e. 0.8 dam3 a hm3

f. 120 m3 a mm3

g. 0.96 km3 a m3

h. 300 dm3 a dam3

i. 40 dm3a m3

j. 25 dam3 a cm3

k. 124 km3 a mm3

l. 30 m3 a hm3

m. 0.5 hm3 a dam3

n. 115 mm3 a m3

o. 0.28 m3 a km3

p. 296 dam3 a dm3

Recuerda El volumen de un cubo de lado Ɛ es

igual a Ɛ 3 .

A

B

C

D

31

MEDIDAS DE PESO

La masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo. No debe confundirse con el peso que es la fuerza con que la tierra atrae los cuerpos.

Una unidad es el gramo, que equivale a la masa de 1 cm 3 de agua pura a la temperatura de 4° C. La unidad básica de las unidades de masa se simboliza por 1 g (gramo). Múltiplos y submúltiplos Los múltiplos y submúltiplos del gramo varían de 10 en 10. Es decir, cada unidad de masa es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior y 10 veces menor que la inmediatamente superior. Así, podemos hallar las siguientes equivalencias. 1 decigramo = 1 dg = 0.1 g Submúltiplos 1 centigramo = 1cg = 0.01 g 1 miligramo = 1mg = 0.001 g

1 decagramo = 1 dg = 10 g Múltiplos 1 hectogramo = 1hg = 100 g 1 kilogramo = 1kg = 1000 g Conversión de unidades de masa Dado que las unidades de masa van de 10 en 10 para pasar de una unidad mayor a una menor se multiplica por 10, 100, 1000, etcétera, hasta que la unidad corresponda recíprocamente; para pasar de una unidad menor a una unidad mayor se divide entre 10, 100, 1000, etcétera, hasta encontrar la unidad que se requiere. Por ejemplo, 0.25 kg se multiplica por 1 000 para obtener gramos. Así: 0.25 kg = 250 g. Adición y sustracción de unidades de masa Para sumar o restar unidades de masa se expresan las magnitudes en la unidad que se requiere y se efectúan las operaciones indicadas. Por ejemplo, 0.3 kg – 5 cg + 1.23 g equivalen a 301.18 g.

1. Expresa en la unidad indicada la cantidad que se da.

a. 138 cg a g

b. 12.57 kg a mg

c. 3.25 g a kg

d. 127.31 mg a Dg

e. 0.0032 Hg a g

f. 1.2345 g a mg

PESO Y MASA Peso y masa son dos conceptos distintos: mientras la masa es la misma en cualquier lugar, el peso del cuerpo puede variar, ya que la gravedad no es la misma en todas partes.

UNIDADES DE MASA

1 libra = 2

1kg

1 quintal = 100 kg 1 tonelada = 1,000 kg 1 arroba = 25 libras 1 onza = 28.35 g

2. Desarrolla las siguientes operaciones dando la respuesta en gramos.

a. kgkggdg2

1)189025.0(

5

42.0

2

56 +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

b. kgcgdgkgdghg2

12)1.72(

3

1)158.23(3 −++−−

32

RELACIÓN ENTRE CAPACIDAD Y VOLUMEN

PIENSA Si un recipiente A tiene un cubo de arista 10 dm y un recipiente B tiene un cubo de arista 1 m, ¿en cuál de los dos recipientes caben

más cubos de 1cm 3 ?

Lengua y matemática Un centímetro cúbico (1cm 3 ) se puede expresar como 1cc; de manera que 1 ml = 1 cc.

Como la capacidad y el volumen son dos magnitudes que están relacionadas se pueden expresar en las mismas unidades de medida. Si se toma un cubo cuya arista mide 1 dm y se añade un litro de agua, se observará que el cubo se llena completamente con el litro de agua. Es decir, el volumen del cubo de un dm de arista es igual a un litro. Un litro es la capacidad que tiene un cubo de 1 decímetro cúbico.

1Ɛ 1dm 3 1Ɛ 1dm 3 Con base en esta equivalencia se pueden establecer relaciones entre las medidas de capacidad y volumen.

1m 3 = 1 000 dm 3 = 1 000 Ɛ = 1kƐ 1 m 3 = 1kƐ Análogamente,

1cm 3 = 0.001 dm 3 = 0.001 litros = 1mƐ 1 cm 3 = 1mƐ Fíjate en la equivalencia entre las unidades de volumen y capacidad. Unidades de volumen

1m 3 1dm 3 1cm 3

Unidades de capacidad

1kƐ 1hƐ 1daƐ 1Ɛ 1dƐ 1cƐ 1mƐ

Por medio de estas equivalencias se puede pasar de una magnitud a otra. Conversión de unidades de capacidad a unidades de volumen Para pasar de una unidad de capacidad a una de volumen, primero se lleva la unidad de capacidad a la unidad de capacidad que tenga un equivalente a una unidad de volumen y, luego, se realiza la conversión a la unidad de volumen.

Por ejemplo, para pasar 8 hƐ a cm 3 , se pasan los hƐ a mƐ así: 8 * 100 000 = 800 000 8 hƐ = 800 00 mƐ

Luego, se convierten los mƐ a cm 3 así:

Como 1 mƐ = 1 cm 3 , entonces 800 000 mƐ = 800 000 cm 3 Fíjate en el siguiente ejercicio:

Convertir 6.4 daƐ a dm 3 .

6.4 daƐ = 64Ɛ = 64 dm 3 Cada unidad de volumen es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior. Conversión de unidades de volumen a unidades de capacidad Para pasar de una unidad de volumen a una de capacidad, primero se expresa la unidad de volumen a la unidad de volumen que tenga un equivalente a una unidad de capacidad y luego, se realiza la conversión a la unidad de capacidad.

Por ejemplo, par pasar 0.5 m 3 a mƐ, se pasan los m 3 a cm 3 así:

0.5 × 1 000 000 = 500 000 ⇒ 0.5 m 3 = 500 000 cm 3

Entonces, 500 000 cm 3 = 500 000 mƐ

Piensa ¿Cuántos litros de agua caben en un tanque cuya capacidad

es de 1km 3 ?

33

Fíjate ahora en el siguiente ejercicio: Un recipiente de forma cilíndrica contiene un litro de agua como se muestra en la figura. Si se introduce una piedra en el recipiente, el nivel de agua sube hasta 1.5

litros. ¿Cuál es el volumen de la piedra en dm 3 ?

1Ɛ 1.5Ɛ El volumen de la piedra es igual al volumen de agua desplazado.

El volumen de agua desplazado = 1.5Ɛ - 1Ɛ = 0.5 Ɛ = 0.5 dm 3 Si una medida de volumen está expresada en las distintas unidades se puede expresar en una misma unidad reduciendo cada medida a una misma unidad o sumando las medidas obtenidas. Por ejemplo, si un depósito tiene una capacidad de

2.5 kƐ 6.3 hƐ, 68 daƐ, ¿cuál es su capacidad total expresada en litros? y ¿en m 3 ? Primero se reducen todas las medidas a litros así: 2.5 * 1 000 = 2 500 2.5 kƐ = 2 500 Ɛ 6.3 * 100 = 630 6.3 hƐ = 630 Ɛ 68 * 10 = 680 68 daƐ = 680 Ɛ Luego, se suman los valores en litros correspondientes así: 2.5 kƐ, 6.3hƐ, 68 daƐ = 2 500 Ɛ + 630 Ɛ + 680 Ɛ = 3 810 Ɛ

Además, como 3 810 Ɛ = 3 810 dm 3 = 381 m 3 , entonces:

2.5 kƐ 6.3 hƐ 68 daƐ = 3.81 m 3 Ahora, observa la capacidad que corresponde a los tanques 1, 2 y 3: ¿cuántos kilolitros de agua pueden almacenar los tres tanques juntos?

8.765 dam 3 = 8 765 m 3 = 8 765 kƐ

7.5 dam 3 = 7 500 m 3 = 7 500 kƐ

0.0058 hm 3 = 5 800 m 3 = 5 800 kƐ

8.765 dam 3 + 7.5 dam 3 + 0.0058 hm 3 = 8.765 dam 3 7.5 dam 3 0.0058 hm 3 = 8 765 kƐ, + 7 500 kƐ, + 5 800 kƐ, = 22 065 kƐ, Entonces, los tres tanques pueden almacenar 22 065 kƑ, de agua.

Lengua y matemática Arquímedes descubrió la primera ley hidrostática: “Un cuerpo que flora pierde de peso una cantidad igual a la del líquido que desaloja”.

1. Expresa en litros las siguientes medidas.

a. 3.85 kƐ,= b. 0.08 hƐ,= c. 2 dm3= d. 0.3 m3= e. 56 mƐ = f. 80 cm3= g. 82 mƐ 2.43 dƐ 17.5 cƐ = h. 6 m3 863 mƐ 13.54 kƐ=

2. Calcula en m3 las medidas dadas. a. 4.5 cm3 b. 800 Ɛ c. 250 dam3 d. 25 hƐ

e. 34 000 mƐ f. 2.5 Ɛ g. 10 dm3 h. 4 kƐ i. 4 000 kƐ j. 0.002 11 dam3 4 890 dm3 k. 5 Ɛ 42 daƐ 900 cƐ l. 2 dam3 500 daƐ 9 Ɛ

3. Resuelve.

a. ¿Cuántos cubos de madera de 2 cm de arista se necesitan para llenar una caja de 50 cm de largo, 40 de ancho y 80 de alto?

b. ¿Cuántas botellas de 1 Ɛ y medio se obtienen con un depósito lleno de agua con capacidad

de 2.55 m 3 ?

34

PLANO CARTESIANO

RELACIÓN En la vida diaria es usual establecer relaciones entre personas, lugares u objetos. Por ejemplo, cuando se dice: “Juan es hijo de Luisa”, se establece una relación familiar entre Juan y Luisa (“ser hijo de”). Esta relación se estableció entre un elemento del conjunto de los hijos y un elemento del conjunto de las madres. Otro ejemplo cotidiano de relación es “ser empleado de”. En ella se relaciona el conjunto de los trabajadores con el conjunto de las empresas.

PLANO CARTESIANO De manera similar se pueden establecer relaciones entre conjuntos de números. Esta idea fue la que usó Renato Descartes, matemático y filósofo francés, quien creó un sistema de representación en el cual todos los puntos del plano tienen una ubicación. A este sistema de representación se le conoce como plano cartesiano, en honor a su creador. El plano cartesiano está formado por una recta horizontal y una recta vertical que se interceptan en un punto llamado origen. La recta vertical recibe el nombre de “eje y” y la recta horizontal, “eje x”. En cada eje se establece una escala, como se muestra en la figura 1. Cada punto en el plano cartesiano se representa por una pareja ordenada de números (a,b), a se ubica en el eje x y b en el eje y. Entonces, a recibe el nombre de primera componente o abscisa y b, de segunda componente u ordenada. Por ejemplo, en la figura 2 se ubicaron las parejas ordenadas (1,1), (-1,1), (-1,-1) y (2,-3).

Ejemplo resuelto Ubicar en el plano cartesiano A = (-2, -1), B = (2, -4), C = (1, 2) y D = (-2, 1). Solución: Primero, se construye el plano cartesiano. Luego se ubican los puntos A, B, C, y D.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y NUMERICO

Figura 1

Toma nota El eje de las x, también recibe el nombre de eje de las abscisas y al eje de las y se le llama de las ordenadas.

1. Ubica en un mismo plano cartesiano los pares ordenados de cada literal.

a. (-2, 3); (-6, -4); (3, 4);

b. (3, -1); (2, 0); (-4, 0); (0, 5); (0, -4)

c. (20, 30); (-40, 60); (10, -40); (-70, -80)

d. (1/2, 4); (-2, ¾); (0, 7/3); (-11/5, -3).

Figura 2

2. Determina las coordenadas del siguiente plano.

A

B

C D

35

REGLA DE TRES COMPUESTA

Toma nota Magnitud

x Magnitud

y Magnitud

z m q r n q t

Tabla 1

Para responder Poner un ejemplo de tres magnitudes en las que una de ellas sea inversamente proporcional a las otras dos.

REGALA DE TRES COMPUESTA En algunas situaciones de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes. Por ejemplo, del alojamiento en un hotel depende del número de personas y del número de noches de alquiler. Para resolver problemas relacionados con estas situaciones se utiliza la regla de tres compuesta.

PROPIEDAD FUNDAMENTALDE LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Si x, y, y z son magnitudes, m y n son valores de la magnitud x que corresponden respectivamente a los valores p y q de la magnitud y, y a los valores r y t de la magnitud z (tabla 1), entonces, se pueden presentar los siguientes tipos de proporcionalidad:

1. x es directamente proporcional a y y a z, entonces, t

r

q

p

n

m×=

2. x es inversamente proporcional a y y z, entonces, r

t

p

q

n

m×=

3. x es directamente proporcional a y y x es inversamente proporcional a z, entonces,

r

tx

q

p

n

m=

Los problemas de regla de tres compuesta se resuelven por medio de análisis, como los que se hacen en los problemas de regla de tres simple, comparando cada magnitud con la magnitud en la que se encuentra la incógnita. Para solucionar un problema de regla de tres compuesta se procede así:

1. Se ordenan los datos en una taba. 2. Se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las magnitudes

restantes para determinar el tipo de proporcionalidad que hay entre ellas, manteniendo constantes las otras magnitudes.

3. Se plantea la proporción teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta y se halla el término desconocido.

Por ejemplo, nueve máquinas realizan la producción requerida trabajando ocho horas diarias durante nueve días. ¿Cuántas horas deben funcionar siete máquinas para realizar la misma producción en siete días? Primero se comparan las magnitudes horas diarias y número de máquinas. A más horas diarias de trabajo se necesitan menos máquinas. Luego, se comparan las magnitudes horas diarias y número de días. A más horas diarias de trabajo se emplearán menos días en hacerlo. Luego, las magnitudes son inversamente proporcionales. En la tabla 2 se registran los datos para las tres magnitudes.

Toma nota Máquinas Horas Días

9 8 4 7 7 6

Tabla 2

36

Ejemplos resueltos 1. Cuatro máquinas impresoras imprimen 40 afiches en cinco minutos. ¿Cuánto tiempo se

requiere para imprimir 80 afiches con dos impresoras? Solución:

Número de impresoras Número de afiches Tiempo

4 40 5

2 80 t

La magnitud de tiempo es inversamente proporcional al número de impresoras y es directamente proporcional al número de afiches. Por lo tanto,

80

40

4

25×=

t Propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta

4

15=t

Se resuelven las operaciones indicadas

1 × t = 5 × 4 Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones t = 20 Se halla el valor t Las dos impresoras imprimen 80 afiches en 20 minutos. 2. Para cortar el césped de un complejo urbanístico, ocho hombres tardan cinco días

trabajando ocho horas diarias. Si la administración del conjunto pide que esa misma labor se realice en cuatro días, pero trabajando solo siete horas diarias, ¿cuántos hombres se deben contratar?

Solución: La tabla de al lado muestra la relación entre las magnitudes. Se tiene que

8

7

5

48×=

m de donde m = 11.4

Para el contexto del problema la respuesta 11.4 hombres no tiene sentido. Así que, se necesitan 12 hombres para hacer la labor.

Algo importante

Si t

rx

q

p

n

m= , entonces,

=m n × p × r q × t

Inversamente proporcionales Hombres Días Horas 8 5 8 m 4 7 Inversamente proporcionales

• Resuelve. 1. Cuatro operarios producen 320 sacos en 10 días.

¿Cuántos sacos producirán 10 operarios en 16 días?

2. Si ocho pintores tardan 20 días en pintar cuatro casas, ¿cuántos días tardarán 10 pintores en pintar seis casas con las mismas características?

3. Para copiar las memorias de un evento se contratan cinco

secretarias que trabajan ocho horas diarias y copian 600 páginas.

¿Cuántas horas deben trabajar ocho secretarias para copiar un libro de 1 200 páginas?

4. 12 obreros terminan una obra en nueve días en

jornadas de seis horas. ¿Cuántos obreros se necesitan para realizar la misma obra en tres días pero en jornada de ocho horas?

5. Si 270 kg de comida alcanzan para seis personas durante 12 días, ¿cuántos días pueden abastecer

330 kg de comida a un grupo de cinco personas?

37

GENERALIDADES ALGEBRAICAS. CONCEPTO. SIGNOS DE OPERACIÓN, AGRUPACIÓN Y RELACIÓN

Toma nota 3 cm 6 cm

Área = 18 cm 2

Lengua y matemática Álgebra. Palabra que procede del árabe (alyabra) y significaba “regla para transformar igualdades”. El álgebra permite manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Las cantidades desconocidas se llaman incógnitas, variables o indeterminadas y se representan mediante letras.

LAS LETRAS COMO NÚMEROS GENERALIZADOS Como sabes, los números expresan de forma precisa una cantidad o la medida de una magnitud; así decimos: “Ana tiene 15 años” o “el área del rectángulo es 18 cm2”. Sin embargo, cuando se requiere indicar un número no conocido, una cantidad o la medida de una magnitud de forma general, se utilizan letras. Así, si x es un número cualquiera, entonces: • 2 × x, o bien, 2x designa su doble x2 designa a su cuadrado • x + 3 designa a la suma del número y 3 x3 designa a su cubo; si l es la longitud

del lado de un cuadrado cualquiera, entonces: • 4l expresa el perímetro del cuadrado l2expresa el área del cuadrado Si l es menor que 3cm, entonces: l < 3 cm, 4l < 12 cm y l2< 9 cm2 Álgebra: es la rama de la matemática que estudia las propiedades de las operaciones definidas en un conjunto.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS A las letras se les denomina variables. Se pueden utilizar todas las letras del alfabeto: a, b, c,…..x, y, z. Los signos de operación conocidos: +, -, ÷. Los signos de agrupación son: ( ), [ ], { }. Los signos de relación son: >, <, ≤ , ≥ , =. En general, una expresión algebraica es una representación de cantidades mediante números, variables y signos de operación o agrupamiento, por ejemplo:

a. 2

12 b. yx −2

c. yxxy

+−+−

322

52

d. 22223 baabab −−

Observa:

)(3 2 yx−

Z Coeficiente Término Factor literal numérico

1. Forma tres expresiones algebraicas, la primera de dos términos, la segunda de tres términos y la tercera de cuatro términos, con los números -2, 5,

4

3, 5− y las variables x, y, z.

2. Resuelve. Dibuja y expresa el largo de una alfombra, nombrando debidamente su ancho con un literal, para cada caso. a. El largo es el doble del ancho. b. El largo es el triple del ancho. c. El largo es igual al ancho más su tercera parte. d. El largo es el triple del ancho más su mitad.

38

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CONCEPTO. TÉRMINO. MONOMIOS. POLINOMIOS

Toma nota Clasificación de expresiones algebraicas Enteras Expresiones algebraicas Racionales Irracionales

a Volumen = a 3

V = a 3

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se clasifican, en función de las operaciones que se deben realizar con sus variables, en los siguientes grupos: • Expresiones algebraicas racionales. Son aquellas en las que no aparece

ninguna variable bajo el signo radical. Ejemplos:

bca2

13 2 − ;

4

32 yx −;

2

3

+−y

x; 22

4

3

5

1yx − ; yx

5

13 3 −

Las expresiones racionales, a su vez, pueden ser de dos tipos. a. Expresiones algebraicas enteras. Son aquellas en las que no aparecen

variables en los denominadores. Ejemplos:

yx 25

1 2 + ; 22 3yx − ; zyx 287 −+ ; yx5

13 3 −

b. Expresiones algebraicas irracionales. Son aquellas en las que aparece

alguna variable bajo el signo radical. Las siguientes expresiones son irracionales. Ejemplos:

y

x3; az− ; 725 +− yx ; z

y

xxzy +

−− ; zyx 2 .

Las expresiones algebraicas indicadas en los siguientes ejemplos se llaman monomios. Positivos x, ab, 2 1/5 ab, 3xy Monomios

Negativos -2 1/3, -5abc, -3xyz Una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios con diferentes factores literales, se llama polinomio. Por ejemplo: Binomio: dos términos 3ª + 5ab Polinomios Trinomio: tres términos 3x + 2x + 11 Polinomio: cuatro o más términos 3ª – 2b + 3ab + c – 2

1. Clasifica cada una de las expresiones algebraicas, como racionales o irracionales.

a. z

yyx

23

2

3+−

b. 2

132 2 +− xu

c. 3

112 +−b

a

El volumen del cilindro de radio r y altura h se calcula usando la fórmula:

V = 2rπ × h

2. Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 3 m y cuya altura mide 4 m.

39

GRADO DE UN MONOMIO: ABSOLUTO Y RELATIVO. GRADO DE UN POLINOMIO: ABSOLUTO Y RELATIVO

Figura 1 x x Figura 2 y x

Toma nota Grado relativo de un monomio es siempre con relación a una

letra, así 522 nm , es de 2° grado con respecto a m y 5° grado con respecto a n.

MONOMIOS ¿Cuál es el área de las figuras 1 y 2 del margen?

El área de la figura 1 es 5x 2 , por ser cinco cuadrados de lado x. El área de la figura 2 es 4xy reciben el nombre de monomios. En el monomio 5x 2 , el número 5 es el coeficiente y x 2 es la parte literal. Diremos que

5x 2 es un monomio en la variable o indeterminada x. Grado de un monomio El grado de un monomio se obtiene sumando los exponentes de los factores de la parte literal. Ejemplos:

1. El monomio 5x 2 es de grado dos o segundo grado.

2. El monomio 7x 2 y 3 z es de 6° grado, ya que la suma de los exponentes de los factores 2 + 3 + 1 = 6, a esto se le llama grado absoluto.

3. Como 8 = 8x 0 = 1, decimos que 8, o cualquier constante distinta de de cero, es un monomio de grado 0; con grado absoluto 0.

. POLINOMIOS Son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de monomios. Grado de un polinomio: con respecto a una variable es el mayor exponente de la misma; si se refiere a dos o más variables, se suman los exponentes de cada una en todos los términos; el número mayor determina el grado absoluto. Ejemplos:

1. Dado un polinomio x 3 -x 2 y 2 + 5y

x 3 -x 2 y 2 +5y - x 2 y 2 5y

Grado absoluto 3 4 1

Con respecto a x 3 2 0

Con respecto a y 0 2 1

Entonces: grado absoluto 4 Respecto a x:3 Respecto a y:2

2. El polinomio 5223 854 yxyxx −+ tiene grado absoluto 6, su grado respecto a x es 5 y su grado respecto a y es 2.

Se pueden representar en orden creciente: 3685 23 −−− aaa ; o en orden

decreciente: 32 5863 aaa +−−− .

1. Indica en cada caso el grado del monomio y del polinomio.

a. 322 yx = ____________________________ b. -4abc = ______________________

c. rqp 23

3

2 =______________________

d. 2xz + 8z 3 - 4x 2 = _____________________

e. 22 458 mmm −+− = ____________________

f. xxx +++ 32 353 = ______________________

2. Escribe las expresiones algebraicas que satisfaga a. Grado absoluto 5 = _______________________

b. Grado respecto a z es 4 = __________________

El monomio nulo Como:

0 = 0 0x ; 0 = 0 1x ; 0 = 0 2x ;… 0 es el monomio cero o nulo que tiene por coeficiente 0 y que no tiene grado.

40

TÉRMINOS SEMEJANTES. DEFINICIÓN. REDUCCIÓN. EJERCICIOS

Toma nota Suma de monomios semejantes

mmm xbabxax )( ±=±

Figura 1

0

50

x x Figura 2

TÉRMINOS Las partes de un término algebraico son: • Signo: positivo o negativo • Coeficiente: número que multiplica una o más variables. • Pare literal: todas las variables con sus exponentes. Ejemplo:

–5x 2 y 3 ; signo – ; coeficiente – 5; parte literal x2 2 y son términos semejantes. Reducción de términos semejantes Para reducir términos semejantes se suman o restan los coeficientes y el resultado se antepone a la parte literal. Ejemplos:

a. 3m2n + 5m2n = (3 + 5 + 1)m2n = 9m2n b. – 5ab + 7ab + 8ab – 9ab = ( - 5 +7 + 8 – 9) ab = ab

Observa: ¿Cuál es el volumen total de las figuras 1 y 2 del margen? Fíjate en que el volumen de los dos ortoedros se expresa por monomios semejantes y que: Volumen de la figura 1 = 21 VV +

Volumen de la figura 1: 8x 2 + 2x 2 = (8 + 2) x 2 = 10x 2 Para sumar estos monomios semejantes hemos restado sus coeficientes. Volumen de la figura 2 = volumen ortoedro A – volumen ortoedro B

Volumen de la figura 2: 7x 2 - 3x 2 = (7 – 3) x 2 = 4x 2 Para restar estos polinomios semejantes hemos restado sus coeficientes. La suma algebraica de monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene por coeficiente la suma algebraica de los coeficientes de los sumandos. Este proceso se conoce como reducción de términos semejantes. Ejemplo:

De la suma de 2a 2 con 3xy 2 , restar la suma de xy 2 con – 3 a 2 b. Escribimos el planteamiento como se sugiere, empleando signos de agrupación.

(2a 2 b + 3xy 2 ) – (xy 2 - 3a 2 b) Eliminamos los paréntesis aplicando la regla de los signos de la multiplicación y reducimos términos semejantes entre sí.

2a 2 b + 3xy 2 - xy 2 + 3a 2 b = 5a 2 b + 2xy

1. Reduce términos semejantes en:

a. xy 2 - xy 2 - x 2 y 2 - 5x 2 y + 2x 2 y 2

b. 23232323 2335322 zxzxzxzx −+−

c. 888

3

2

36

64

3

7yyy −+

d. 0.2 a + 3b – 2.5b – 0.5 a

2. Suprime signos de agrupación y reduce términos

semejantes en:

a. 5xy – [ 2xy + ( - 4xy – 2 ) + 5] + 3xy

b. – { - 0.02x – [ 0.4x 2 + (0.05x 2 + 0.7x ) ] } – x

c. 13m2n + (-2m2n) + m2n =

d. – (5ab – [+ 7ab + 8ab] – 9ab) + 15 ab

41

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Toma nota

En lenguaje común

En un tortuguero había cierta cantidad de tortugas

Dejaron libres a 100

El número de tortugas se duplicó.

Quedaron 250 tortugas

En lenguaje algebraico

x x-100

2 (x - 100) 2 (x – 100) = 250

Cuando en una expresión algebraica las variables se sustituyen por valores numéricos específicos, al resultado obtenido se le denomina valor numérico de la expresión algebraica. Se afirma entonces que:

• El valor numérico de 3x 2 para x = 3 es 27

• El valor numérico de 3x 2 para x = 3

12 es

3

116

• El valor numérico de 3x 2 para x = 7 es 21 Otros ejemplos son los siguientes.

a. Se desea hallar el valor numérico de la expresión 5 43124 cbm , para m =

2

1

b = 2, c = 3.

5 43124 cbm Expresión original

( 4 ) ( )5 43 )3()2(122

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Se sustituyen las variables por los valores dados

1262777625 =∗= Se procede a resolver las operaciones indicadas

Por lo tanto, el valor numérico de 3 43124 cbm para m = 2

1, b = 2, c = 3 es 12.

b. se desea hallar el valor numérico de la expresión m

cb

2

6433 63

, para b = 2

1,

c = 3

1, m = 2.

)2(2

3

1

2

164*3

6

3

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

se sustituyen las variables por los valores dados

4

729

1

8

164*3 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Se realizan las operaciones indicadas en la expresión

para obtener el resultado final

6

1

49

3*3

4

9

2*3

4

729

8*3 3

3

3

3

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Por lo tanto, el valor numérico de m

cb

2

6433 63

es 6

1

• Halla el valor numérico de las expresiones algebraicas,

para a = 3, b = 3

2, c =

5

1− , d = -3.

a. cba 3224

b. 3 333

24

cd

ab

a. 2212 cba

b. 32

32

31

18

cb

ba

42

ACTIVIDADES DE AMPLICACIÓN 1. Indica el grado absoluto y relativo de cada monomio.

a. – 5a 3 b 2 c

b. 10xy 5 z 2

c. 0.25m 3 n 3

d. 3

2pqr

e. 432 yx

f. 2ax 3 y 2. Determina cuál es la expresión que debe sumar para que

el resultado sea igual a cero. a. 2 a – 3b

b. x 2 y + 2

1xy 2

c. mm2

1

5

3+−

d. 2 a – 3b + 5c e. 5c – 3b + 2 a

3. Reduce los términos semejantes.

a. 2h – 3p + 5p -2q – 4h + 3q b. 2 a – 3b – 5 a – 6b + 7 a – 8b

c. 2

3pq -

4

3p 3 q 2 -

5

2p 3 q +

3

2p 3 q 2 -

4

3 pq

d. 2x 2 - x – 3x - x 2 + 2x 2 - 3x

e. 5m 2 n + 6 mn 3 - 7m 2 n + mn 3 - 2mn + m 2 n

f. 3

2ab -

4

3a 2 b 2 -

3

1a 2 b 2 - 0.75ab + 0.5a 2 b 2

g. 0.2mn + 0.75 mn 4 - 0.03 mn + 0.8 mn 4

4. Calcula el valor numérico de las variables, aplicarla en cada caso los valores asignados.

a. d = v i * t + 2

* 2ta

si v i = 8; t = 4; a = 3

d: distancia v i : rapidez inicial

t tiempo a: aceleración

b. E p = m * g * h

si m = 0.8; h = 15; g = 9.8 E p : energía potencial

m: masa; h: altura; g: aceleración de gravedad

c. E c = 2

* 2vm

si m = 4.5; v = 10 E c : energía cinética; m: masa; v: rapidez.

d. Q = m * c e * Δ t si m = 6; c e = 0.2 y Δ t =

35 Q: cantidad de calor m: masa; c e = calor específico; Δ t = variación de

tiempo

e. T = f

1

si f = 0.8 T: período; f: frecuencia 5. Calcula el valor numérico de cada expresión algebraica; ten en

cuenta que: a = 2; b = 5; c = 3; d = -1; f = 0

a. 5a 2 - 2bc – 3d i. 7 a 2 c – 8d 3

b. 6 a 3 f j. 2 a 2 - b 3 - c 3 - d 5

c. 3 a 2 -2a 3 + 5 a 5 k. (b + c) a

d. d 4 - d 3 - d 2 + d 1 l. (c – d + 2 a) f

e. 3(a – b) + 2(c – d) m. 2 (c – a) – 3 (d – b) 2

f. 253

abc−+ n.

72

badc ++

−

g. fbca8

7

2

1

5

2

4

3+−− o.

f

c

a

b+

2

h. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

d

c

b

a

d

bf

3

1

6. Agrupa entre los monomios aquellos que sean semejantes e

indica los que sean opuestos.

a. yzx 22 e. 5xyu 2 v 3

b. -5xyu 2 v 3 f. 5 xyu 2 v 3

c. 2 xy 2 uz g. 2 xy 2 uz

d. -3x 2 yz h. -3x 2 yz 7. Si x es la edad de Sergio, expresa en lenguaje algebraico.

a. La edad que tenía hace 5 años. b. La edad que tendrá dentro de 5 años. c. Los años que faltan para que cumpla 70 años. d. Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años

que tiene ahora. 8. Completa la tabla. Binomio Polinomio términos Coeficiente

zyx 23 3 X X x3

,3y2

x

352 2 +− xx

y + 3

zzz 234 23 −+

yx 45 3 +

222 zyx ++

y + z

abccba 3333 −++

43

POTENCIACIÓN EN Z

Completa Calcula los siguientes exponentes enteros.

2 4 =

3 2 =

5 4 =

6 0 =

POTENCIA CON BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL Una potencia con base entera y exponente natural es un producto de factores iguales.

La expresión a n , co a Ζ∈ y n Ν∈ , es una potencia en notación exponencial. Está formada por la base y por el exponente.

base a n exponente La expresión a n se lee: la enésima potencia de a” o “a elevado a la n. En las potencias con base entera y exponente natural, la base es el factor que se multiplica por sí mismo y el exponente expresa la cantidad de veces que se repite ese factor. Si a es un número entero y n es un número natural, se define la potencia de base a y de exponente n como el producto de n factores iguales a a; es decir:

a n = a * a * a *… * a (a multiplicado por sí misma n veces) Ejemplos:

• La potencia 52 se lee: “la quinta potencia de dos” o “dos elevado a la quinta”. La base es 2. El exponente es 5. Como producto de factores se escribe así: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 y el resultado es 32.

• La potencia 2)3(− se lee “la segunda potencia de menos tres” o “menos tres elevado a la segunda potencia” La base es -3. El exponente es 2. Como producto de factores se escribe así: -3 * -3 y el resultado es 9.

Potencia con exponente cero Si decides dos potencias que tengan la misma base y el mismo exponente, aplicando la propiedad correspondiente obtienes el exponente cero; observa:

23 ÷ 23 = 3 22− = 3 0 =?

Como 23 = 9 entonces 23 ÷ 23 = 9 ÷ 9 = 1; en forma general:

a 0 = 1, para todo a distinto de cero. Potencia con exponente negativo

Observa: 5 2 ÷ 5 3 = 325 − = 5 1− =? Al representar la división utilizando la notación con fracciones, tenemos:

5

1

5*5*5

5*5

5

53

2

== , entonces 5

15 1 =−

En general: n

n

aa

1=−

1. Expresa todos los resultados con exponente positivo

a. 35− b. 210

1−

c. x−2 d. 4−x

e. 22 )( −−b f. 32 )( −y

2. Escribe el resultado de las siguientes expresiones:

a. 53 b. 32

1−

c. 23

2− d.

2

4 3−

e. )36(2

5− f.

5

4

2

2−

−

44

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Toma nota Utilizando calculadora encuentra

3 x 10 2 y

2.4 * 10 3− , así: • 3 2 = 300

• 2.4 +− 3 = 0.0024

Lengua y matemática En notación científica un millón

(1 000 000) se escribe 10 6 ; un

millardo (mil millones), 10 9 ; un

billón (un millón de millones), 10 12 ; un trillón (un millón de billones),

10 18 ; etcétera. ¿Cómo se llamará el

número 10 100 ? El sobrino del matemática Edward Kasner inventó el término “gúgol” para designar este número (un 1 con 100 ceros).

En los estudios científicos es común encontrarse con cantidades sumamente grandes, por ejemplo, la masa de la Tierra es de aproximadamente:

5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg

Del mismo modo hay cantidades extraordinariamente pequeñas, tales como la masa del electrón que es de aproximadamente:

0.0 000 000 000 000 000 000 000 000 910 953 g Operar aritméticamente con estas magnitudes resulta trabajoso y hasta algunas veces complicado. En estos casos los números se expresan en notación científica. Un número está escrito en notación científica cuando se expresa como un producto de una potencia de 10 por un número que tiene un valor absoluto mayor o igual a 1 y

menor que 10, y es de la forma a * 10 b .

Por ejemplo, la masa de la Tierra se puede expresar como 5.972*10 24 kg; y la masa

del electrón como 9.109 53 * 10 28− g. Para expresar un número entero o decimal en notación científica, el punto decimal se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda hasta que quede una sola cifra en la parte entera y se multiplica por 10 elevado al número de lugares que se desplazó el punto: si fue hacia la izquierda, el signo del exponente debe ser positivo, por ejemplo:

• 523.47 = 5.234 7 * 10 2

• -50 500 000 = -5.05 * 10 7 En cambio, si el movimiento del punto fue hacia la derecha, el signo del exponente debe ser negativo. Observa:

• 0.000 319 6 = 3.196 * 10 4−

• -0.0045 = -4.5 * 10 3− Para expresar un número escrito en notación científica como un número entero o decimal se observa el signo del exponente de la potencia de base 10: si es negativo, el punto decimal del número se desplaza hacia la izquierda y se completa con ceros si es necesario; pero si es positivo, el punto se desplaza hacia la derecha, y también se completa con ceros si es necesario. Fíjate en los siguientes ejemplos.

• -8.521 * 10 7 = -85 210 000

• -7 * 10 5− = -0.000 07

1. Expresa los siguientes números en notación científica.

a. 0.000 23 = b. 567.032 2 = c. -0.000 17 = d. -781 902 000 = e. 2 750 000 000 = f. -0.000 062 5 = g. 34 310 000 000 000 =

2. Escribe las siguientes medidas en expresiones decimales.

a. Tamaño de los glóbulos rojos: 7.5 × 10 6− m

b. Tamaño de una bacteria: 2 × 10 6− m

c. Tamaño de un virus: 0.5 × 10 6− m

d. Diámetro del ADN: 2 × 10 9− m e. Superficie de la tierra: 5.10 × 1011

EXP

EXP

45

OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Recuerda Algunas propiedades de la potenciación son:

mnmn +=⋅ 101010 mnmn −=÷ 101010

( mnmn −= 10)10(

Piensa ¿Cuánto es 6 trillones más 3 trillones? Entonces, ¿cuánto es

1818 103106 ⋅+⋅ ?

Para realizar operaciones con números expresados en notación científica es necesario considerar que:

• (a · 10 n ) · (b · 10 m ) = (a · b) · 10 mn+

• (a · 10 n ) ÷ (b · 10 m ) = (a ÷ b) · 10 mn−

• (a · 10 n ) m = a m · 10 mn⋅ Recuerda que al final los resultados deben quedar expresados en notación científica. Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios.

a. (2.4 * 10 5 ) * (5.3 * 10 3 ) = (2.4 * 5.3) * 10 35+ = 12.72 * 10 8 = 1.272 * 10 9

b. (4.8 * 10 3 ) ÷ (7.5 * 10 7 ) = (4.8 ÷ 8.5) * 10 73− = 0.64 * 10 4 = 6.4 * 10 5−

c. (6.5 * 10 4 ) 3 = (6.5) 3 * 10 3*4 = 274.625 * 10 12 = 2.746 25 * 10 14 Efectuar la adición o sustracción de dos números expresados en notación científica, cuando ambos tienen el 10 elevado al mismo exponente, se puede realizar considerando lo siguiente:

• a · 10 n + b · 10 n = (a + b) · 10 n

• a · 10 n - b · 10 n = (a - b) · 10 n Pero si los exponentes difieren es necesario realizar un ajuste previo en uno de los términos para que en ambos aparezca la misma potencia de 10. Por ejemplo:

3.47 * 10 9 + 5. 6 * 10 7 = 3.47 * 10 9 + 0.056 * 10 9 Observa que en el factor 5 el 6 se desplazó el punto dos lugares hacia la izquierda, lo que equivale a dividir entre 100; pero esto se compensó con el aumento del 10 en dos unidades. Luego:

3.47 * 10 9 + 5. 6 * 10 7 = (3.47 + 0.056) * 10 9 = 3.526 * 10 9 Fíjate ahora en el siguiente ejemplo de operaciones combinadas:

(1.35 * 10 5− - 9.2 * 10 6− ) 2 = (1.35 * 10 5− - 0.9.2 * 10 5− ) 2

= (0.43 * 10 5− ) 2

= (0.43) 2 * 10 10−

= 0.184 9 * 10 10−

= 1.849 * 10 11−

1. Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en notación científica.

a. (3.7 × 10 9 ) * (1.8 × 10 4 ) =

b. (1.748 × 10 3 ) ÷ ( 3.8 × 10 7 ) =

c. (5.7 × 10 8 ) ÷ (1.5 × 10 5 ) =

d. (1.4 × 10 6 ) 2 =

e. (2.6 × 10 3 ) 4 =

f. (3.1 × 10 5 ) 3 =

g. 3.585 × 10 7 + 4.5 × 10 6 =

h. 4.2 × 10 5 + 1.241 68 × 10 9 =

2. Expresa los términos en notación científica y resuelve; luego, escribe el resultado en notación científica.

a. 0.000 408 * 0.000 000 2 =

b. 0042.0*)10*27(

)10*210(*)10*54(1*0001.01

329

−

−

=

c. 00005.0

00000443.0000000675.0 +=

d. 14 * 107 – 40 * 104 =

e. 0.08 × 16 000 000

0.04 .032

f. =3

32

10*2

)32000(*00021.0(

46

SUMA DE MONOMIOS. RESTA DE MONOMIOS. SUMA Y RESTA COMBINADA

Toma nota Observa cómo se encuentra el área de la siguiente figura.

xy + xy + xy = 3xy

SUMA DE MONOMIOS Para sumar monomios primero expresamos en forma indicada la suma de dichos monomios y luego se reducen los términos que no son semejantes. Si los términos no son semejantes se dejan únicamente expresados. Ejemplos resueltos Sumar 1. 4m, 5m, 7m, 10m 4m + 5m + 7m + 10m = (4 + 5 + 7 + 10)m = 26m 2. -6b, -4b, -c, -2c -6b + 4b – c + 2c (-6 + 4)b = -2b (-1 + 2)c = -3c La respuesta es -2b + c RESTA DE MONOMIOS Para restar monomios efectuamos la suma del minuendo y el sustraendo, pero se le cambia el signo al sustraendo, pero se le cambia el signo al sustraendo. Ejemplos resueltos

1. de 20x 2 restar 5x 2

20x 2 - 5x 2 = (20 – 5) x 2 = 15x 2 2. restar -4w de -7w -7w + 4w = ( -7 + 4)w = -3w SUMA Y RESTA COMBINADAS Ejemplos resueltos 1. de -5ab restar la suma de 3ab y -10ab 3ab – 10ab = (3 – 10)ab = -7ab -5ab + 7ab = (-7 + 4)ab = 2ab 2. Restar 5m de la suma de m – 4n – 7m - m – 7m = (-1 – 7)m = -8m -8m – 4 – 5m = - 13m – 4 n 0

1. Suma. a. -3x, -10x, -20x b. 25y, -20y, -25x

c. 3

1− m,

9

4m,

6

1− m

d. 7

3b,

7

6− b 2 ,

2

3− b,

6

7b 2

e. 2

1x 2 , 3

5

3x− , x 3

2. Resta.

a. 2m de 2m b. 6h de 2x

c. f5

2− de f

4

3−

d. abc de abc e. – x de x

3. Opera. De: a. 15 restar b b. 7x restar 7y

c. f5

2− restar

3

2−

d. xm5

3restar xm

3

1−

4. Resta a de la suma de 3 a con – 5ª.

5. Resta de la suma de 3

2 2b− con 2

6

5b la suma de

2

8

3b con 2

5

3b− .

47

SUPRESIÓN E INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Toma nota

Paréntesis Redondos ( ) Llaves { } Corchetes [ ]

Toma nota En algunos casos se usa la barra – o vínculo, cuando en una expresión algebraica ya se uso ( ), { }, [ ]. Ejemplo

5(24[2{ −xx ]})64 xx +−

Signos de agrupación Los símbolos o signos de agrupación que se utilizan con más frecuencia en álgebra son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Se usan para señalar de forma sencilla más de una operación, por ejemplo, cuando nos referimos al binomio 2x + 3y, como (2x + 3y) queremos indicar la suma de 2x y 3y como una sola cantidad. La expresión: m – (p + q), significa que la suma de p y q se va a restar de la cantidad m. “Siete veces a menos tres veces la suma de b y c” al traducirlo al lenguaje algebraico, lo expresamos en la forma: 7 a – 3 (b + c) Cuando alguien escribe usa signos para agrupar o separar frases, de lo contrario, cada persona daría una interpretación diferente. En el lenguaje algebraico sucede lo mismo; si las expresiones no se separan adecuadamente, pueden malinterpretarse. ¿Cómo escribirían el doble del cuadrado de un número, menos cinco, dividido entre tres?

3

)52( 2 −x

Supresión o eliminación de signos de agrupación Suprimir o eliminar signos de agrupación significa realizar las operaciones indicadas por ellos. La estrategia consiste en suprimir los signos de un en uno, comenzando por el que esté ubicado más adentro y siguiendo el orden correspondiente a las operaciones que hay que realizar. En general, las operaciones encerradas entre paréntesis se efectúan primero, luego se suprimen los corchetes y por último las llaves. A continuación ilustramos el procedimiento con algunos ejemplos. Ejemplo 1 Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes. 5x – [ 3x – 2 (3y – 4x) ] 5x – [ 3x – 6y 8x] eliminamos primero el paréntesis y multiplicamos por 2 5x – 3x + 6y – 8x suprimimos el corchete cambiando el signo cada uno

de los términos - 6x + 6y reducimos términos semejantes Ejemplo 2 Suprimir signos de agrupación y reducir términos semejantes. 2 a – {3b +[ 5 – (2 a – b) + (3 a – 1) ] } primero elimina los paréntesis 2 a – { 3b + [ 5 – 2 a + b + 3 a -1] } a continuación los corchetes 2 a – { 3b + 5 – 2 a + b + 3 a – 1} por último las llaves 2 a – 3b – 5 +2 a – b – 3 a +1 A – 4b – 4 reduce términos semejantes

• Suprime o elimina signos de agrupación y reduce los términos semejantes.

a. 2m – (3m – 5m)

b. – 2(x – 3y) – 3(2x + 5y)

c. – 2(x – 3[2y – 2(x – y)

e. – 3(x – y) – [x – 2(x + y)

f. a – {b – [a – (a – b) ] }

g. 2[m – (n – m) ] – 3[n+ 2(3 – n)

h. 2y – { - [ - y + 2(y – 5 ) ] ] – 3 y

48

MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR MONOMIO ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura? Volumen = área base × altura

Volumen = 3x 2 × 2x

= 3 ×2 (x 2 ×x)

= 6x 3 Observa que para hallar el producto de estos monomios multiplicamos y aplicamos a sus variables el producto de potencias de la misma base. Ejemplos:

1. 352132232 66)2(*)3( yxyxyxyx ==−− ++

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 22

3

2*

3

4*

2

7ayzbxzabx = 21121111

18

56 ++++ yzxba

= 3322

9

28yzxba

POTENCIA DE UN MONOMIO Teniendo en cuenta que la potencia es un caso particular del producto (en el que todos los factores son iguales), se tiene que: Para elevar un monomio a una potencia de exponente natural, se eleva el coeficiente a dicho exponente y cada indeterminada o variables se eleva al producto de su exponente por el de la potencia. Ejemplos:

1. 4128443424432 16)(*)(*)(*)2()2( zyxzyxzyx =−=−

2. 9363333233

32

27

8)(**)(*

3

2

3

2xbaxbabxa −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Toma nota Potencia de un monomio

mnnm xaax =)(

1. Calcula los productos.

a. (-5m 2 ) (3m)

b. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−− 43

3

2)6.0( xx

c. )4.0)(05.0)(5.0( 3423 babba−

d. zxyyxyx 22321

4

1)4)(5.2( −−−

2. Encuentra las potencias indicadas.

a. 2

432

2

3⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− zyx

b. [ ]242 )( nyx

c. [ ]34222 )()( baab−

d. [ ]223 )3(2 yx−− 3. Completa la tabla.

M(x) N(x) M(x)*N(x)

- 2x - 3x (-2x) * (-3x) = 6x 2

5x 2 - 4x

-x 2 6x 2

49

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO. REGLA. EJERCICIOS

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN BINOMIO ¿Cómo puedes abreviar la expresión (a +2b) + (a + 2b) + (a + 2b)? Observa: (a +2b) + (a + 2b) + (a + 2b) = 3 (a + 2b) (a +2b) + (a + 2b) + (a + 2b) = a + 2b + a + 2b + a + 2b al suprimir los paréntesis de manera; luego; a a + 2b + a + 2b + a + 2b = 3ª + 6b de manera que 3 * (a + 2b) = 3 a + 6b. En forma similar en la figura se observa que el área del rectángulo ABCD es la suma del cuadrado verde y el rectángulo azul. Lo anterior se expresa algebraicamente así:

(x + 4) * x 2 + 4x Observa que para calcular el producto hemos aplicado la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio se obtiene aplicando la propiedad distributiva. Ejemplos:

1. 8a( 5a 2 - 2a+ 1) = (8a* 5a 2 ) – (8a*2a) + (8a*1) = 40a 3 - 16a 2 +8 a

2. (3 – 2x + x 2 ) * (-3x 3 ) = (-3 * 3x 3 ) + (2x * 3x 3 ) – (x 2 * 3x 3 ) = -9x 3 +6x 4 -3x 5 Observa en los ejemplos anteriores que:

• M(a) = 8 a es de grado 1, N(a) = 5a 2 - 2 a + 1 es de grado 2 y el producto. M(a) * N(a) es de grado 1 + 2 = 3

• P(x) = 3 – 2x + x 2 es de grado 2, Q(x) = -3x 3 es de grado 3 y el producto P(x) * Q(x) es de grado 2 + 3 = 5

• En general si P(x) es de grado m y Q(x) es de grado n, entonces P(x) *Q(x) es de grado (m + n).

Toma nota Producto de monomios

211* xxxa == +

bababaa 42222 *)(* == +

yxyxx 43 10)5(*)2( −=−

Piensa La suma de monomios cumple la propiedad conmutativa. ¿Cumple también esta propiedad la resta de monomios?

1. Desarrolla en tu cuaderno los productos.

a. x (x 2 + x) b. 2 a ( a – b )

c. 3(x 2 + y 2 )

d. 3x (x 2 y + xy 2 )

e. -2x 3 (x 2 - 3y) f. ab (ab + ac)

g. 3m (2m – 3m 2 ) 2. Opera.

Dado P(x) = 5x 2 - 3x + 1, calcula los siguientes productos e indica su grado. a. P(x) * x b. P(x) * 3x

c. P(x) * x 2

d. P(x) * 4x 2

e. P(x) * 4x 2 f. P(x) * (-x) g. P(x) * (-5x)

h. P(x) * (-x 2 )

i. P(x) * (-4x 2 ) 3. Resuelve.

Dado el binomio Q(x) = 3x – 9, escribe un monomio tal que su producto por Q(x) tenga.

a. Grado 2 b. Grado 3 c. El mismo grado que Q(x)

50

DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE OTRO MONOMIO

Volumen del ortoedro

V = 6x * 2x * 4x = 48x 3

2x

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente numérico del dividendo por el coeficiente numérico del divisor. De forma análoga se divide los respectivos factores literales. En la división de los factores literales se aplica la ley de potencias que dice: “Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los

exponentes nmnm aaa −=÷ ” Observa:

a. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷− cdbacba 5332

3

23

[ ] ))()()((2

9)()(

3

23 053325332 ddccbbaacdbabcba ÷÷÷÷−=÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷−

dabdcbadcba

3

102110115332

2

9

2

9

2

9 −=

−=

− −−−−−−−

b. (6x 3 yx 2 z) ÷ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 222

5

4zyx

( ) ( )[ ] ( )( )( )2222322223

4

30

5

46 zzyyxxzyxzyx ÷÷÷=÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷ =

z

xzxy

2

15

2

15 10 =−

¿Cuál es el volumen del ortoedro de la figura del margen?

Volumen del ortoedro → 6x * 2x * 4x = 6 * 2 * 4 * x * x *x = 48x 3 Observa que el producto de dos o más monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y de parte literal el producto de las partes literales de los factores. ¿Cuántas veces contiene el ortoedro el cubo de la figura? Volumen del ortoedro 48x 3 = 48 * x 3 = 6* x 33− = 6*x 0 = 6.

Volumen del cubo 8 x 3 8 x 3 En general, para dividir dos monomios. Se dividen por un lado sus coeficientes, aplicando la ley de signos, y por otra las indeterminadas o variables de la parte literal, aplicando el cociente de potencias de la misma base. Ejemplos:

1. zyxzyxyxzyx 221324234

2

3

2

3)2()3( −=−=−÷ −−

2. 2

2

5

3 66

2

12

xx

x

x== −

1. Halla el cociente de los monomios.

a. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 242263

3

2

9

22zyxzyx

b. (- 5x 3 y) ÷(-25x 2 )

c. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−÷ 232

2

3)( abccab .

2. Realiza las divisiones.

a. 232

396

3

12

zyx

zyx

−

b. 50

1026

7

49

npm

pnm

−−

c. 233

324

3

12

1

cba

cba

−

−

51

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Piensa Cuando se divide un polinomio entre un monomio, ¿qué condiciones se deben cumplir para que el polinomio resultante tenga coeficientes que sean números enteros?

Toma nota

mnxb

a

bx

ax mn

m

n

≥= − ,*

De la misma manera, para que la división de un polinomio entero por un monomio sea otro polinomio entero, es necesario que todos los términos del polinomio dividendo sea divisible entre el monomio.

Ejemplo: )5()20815( 23423223 zxyzxyzyxzyx −÷+−

= 222

2

34

2

232

2

23

45

83

5

20

5

8

5

15zyxyzx

zxy

zxy

zxy

zyx

zxy

zyx−+−=

−+

−−

−

Se ha divido cada término del polinomio por el monomio aplicando la propiedad distributiva y obteniendo como cociente exacto otro polinomio entero. Por tanto: para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio entre dicho monomio. En el caso de que algún término no fuera múltiplo del monomio divisor, el cociente correspondiente quedaría expresado en forma de fracción algebraica. Ejemplo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

3

2

5

2

35

5

4

5

3

5

43

x

x

x

x

x

xx

= 2325

5

4

5

3 −− − xx

= xx5

4

5

3 3 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−÷−ab

ab

ab

baababba

3

9

3

12)3()912(

2222

= 12111112 34 −−−− +− baba = ba 34 +− De manera que:

= 22 912)34(3 abbabaab −=+−−

1. Realiza en tu cuaderno las divisiones.

a. 22

3223

20

2040

nm

nmnm −

b. 2

345

4

16128

r

rrr +−

c. zt

ztzttz

8

765 22 −−

d. )2()46810( 22346 xxxxx −÷−+−

e. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−−

ab

ababab

7

1195

f. 2

246

2

842

y

yyy +−

g. 2

12

x

xxx nnn ++−

h.

2

112 24 ++− aaa

2. Realiza las divisiones.

a. )3()123912( 22346 xxxxx −÷−+−

b. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ 22423324

5

37

2

35 babababa

52

OPERACIONES COMBINADAS ENTRE MONOMIOS

COMBINACIONES DE SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Para operar monomios que incluyen suma y resta simultáneamente, se debe tener en cuenta la simplificación de signos de agrupación y la reducción de términos semejantes. Ejemplo resuelto Plantear y resolver las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes enunciados:

a. De 7a 2 restar la suma de 3a 2 con – 14a 2

b. De la suma de x 2 y con – 5x 2 y restar la suma de – 11xy 2 con – 9x 2 y c. Restar x 2 de la suma de 4 con x 2

Solución: Se plantea cada enunciado utilizando signos de agrupación:

a. 7a 2 - [ ( 3a 2 ) + ( - 14a 2 ) ]

= 7a 2 - [ 3a 2 - 14a 2 ]

= 7a 2 - 3a 2 + 14a 2

=18a 2

b. [ (x 2 y ) + ( - 5x 2 y) ] – [ ( - 11xy 2 ) + ( - 9x 2 y)]

= [x 2 y – 5x 2 y ] – [ - 11xy 2 - 9x 2 y ] = 5x 2 y – 5x 2 y + 11xy 2 + 9x 2 y

= 5x 2 y

c. [ ( 4 ) + ( x 2 ) ] – ( 0.8x 2 - 7.9y 2 )

= [ 4 + x 2 ] – ( x 2 )

= 4 + x 2 - x 2

1. Encuentra el monomio que resulta en cada expresión si: A = 4a 2 B = 8a 2

C = - a 2 D = - 9b 2 +12ab

a. A – B + C b. D – C – B + A c. D – ( B – C ) d. ( B – D ) + ( A – C )

2. Marca un en los ejercicios que fueron realizados

correctamente. Corregir los que no.

a. [ - ( 5x) – ( 8x ) ] – [ - 9x + ( 4x ) ] = - 8x

b. [ ( 7a4

) + 5a3

] – [ - ( 11a4

) ] = 18a4

+ 4a3

c. [ - ( -5z) – ( - 7z ) ] + [ - 2w ] = 12z

d. [15bx2

] – [ - 7bx2

] = 18bx2

e. [ - 7p2

q ] – [5p2

q = 12p2

q

3. Resuelve.

a. ¿Qué monomio se debe sumar a 14x 2 y para

obtener 8x 2 y? b. Si el minuendo es 7x y la diferencia es -8x, ¿Cuál

es el sustraendo?

c. De la suma de * 8m con 5m 2 restar la suma de

14m 2 con – 2m

d. Restar de – 10xy la suma de xy – 6y 2 con 8xy

53

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Toma nota Para introducir un factor dentro de un radical se eleva a dicho factor al índice de la raíz.

nnn baba ÷=÷ Ejemplo:

3636 ÷=÷ Para dividir radicales del mismo índole se conserva el mismo índice y se dividen los radicandos.

Propiedades de los radicales

1. si a, b∈ +Ζ y si n es par nnn baba *=−

Ejemplos:

a. 272*4924998 ==−=

b. 3333 25010*2510*25 ==

333 2*1252125 =−=

= 3 25

c. babaa 22*2 22 == 2. si a, b∈ +, n es par

n

n

n

b

a

b

a=

Ejemplos:

a. 2

3*27

8

81

8

81 3

3

3

3 ==

2

33

2

3*27 333

==

b. 5

5*3*4

5

5*3*4

5

60

5

60===

323*4 =

3. si a, m y n ∈ +Ζ nmm n aa *=

Ejemplos:

a. 63 33 =

b. 4 xx =

c. 12 36 4 3 xx =

• Aplica la propiedad correspondiente y simplifica.

a. 5 34ba

b. 5 25 * xc

c. 3 8/33

d. mm

m

y

x3

2

e. y

f. 3 p

g. 2/1

h. 5 1024

54

RADICALES SEMEJANTES

Toma nota Recuerda que:

1001010*10

100*10010000422 ===

=Ca

da número puede descomponerse también en sus factores primos.

Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical. Ejemplos:

1. 3)( ba + y 3b− , son radicales semejantes.

2. 3 4x y x4 , no son radicales semejantes ya que no tienen el mismo índice

3. 4 23a y 4 22b , no son radicales semejantes ya que las cantidades subradicales son diferentes.

4. 18*50 y 32 , son semejantes ya que:

252*550 2 == ; 232*318 2 == ;

242*232 4 == Tienen el mismo subradical En general; dos o más radicales son semejantes si el índice y la cantidad subradical son iguales, observa:

nn xbxa = si ba = de tal forma que: nnn xbaxbxa )( −=− Ejemplos:

1. 22 5*247*25504985 −=+

220235 += como ambos sumandos tienen 2 son semejantes.

De manera que 255504985 =+

2. 34

62

3

43*4

4

32*4

3

212

4

38

3

2−=−=− como

2 y 3 no tienen la misma cantidad subradical no son semejantes

3. 22222*42*8816 333 +=+=+

3 2 y 2 son raíces de diferente índice por lo tanto no son semejantes.

4. yxyyxyxyxyxyx +−=+− 23242

Los tres términos contienen el mismo radical y ; por lo tanto son semejantes.

• Simplifica.

a. 205 ; 3003 y 2 80

b. 35 ; y 367

c. 159 ; 33− y 184

d. 205− ; 54 y 306

e. yayyx −+ 32

f. 205

112

3

18

2

1+−

55

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES

Toma nota

00 =

=n

n aa

Para cualquier 0≠n

Al igual que las expresiones algebraicas, para que varios radicales se puedan sumar o restar es necesario que sean semejantes. Ejemplos: Se reducen radicales semejantes.

1. 3 23 23 23 2 )572(572 yxyxyxyx −+=−+

= 3 24 yx • Reducción de términos semejantes

2. aaa 2724108 3 45 −− • Primero simplificamos los

radicales

aaaaaa 3633*2*3*2108 225325 ===

33 433 4 32*3*224 aaaa ==

aaa 33327 3 ==

aaaaaaaa 3332362724108 323 45 −−=−− • Asociando radi cales semejantes

= ( ) 32 323336 aaaaa −− =

( ) 32 32336 aaaa −− Así: la adición y sustracción de radicales semejantes se efectúan mediante la suma o resta de sus coeficientes.

Realiza: 633 642316 −+ Observa que estos radicales a simple vista no son semejantes, por tanto se transforman, si es posible:

6 633 3 2232*2 −+

22522322 333 −=−+

• Simplifica y reduce radicales si es posible en cada ejercicio.

a. 19224353632 +−

b. 27

1

3

1

3

71473 −−

c. 3 33 33 3 683272 yxcyxbyxa −−+

d. xbaxaxa 5)4(57320 2 −−−

e. 33 3527813 +−+

f. 84 24 aaa −+

g. 32

32

3

y

xy

y

x

y

x−−

h. ba

baba

baba

ba

baba

−−+

+−

+−−+

−1

)22()()(

56

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

Toma nota Obtención de potencias y raíces con calculadora. • Para obtener cuadrados

y raíces cuadradas se utilizan las teclas:

2x y a

• Para la potenciación: yx

• Para la radicación: yx /1 . Esto significa que las raíces deben expresarse como potencias de exponente

fraccionario:y yax /1=

. • La tecla −+ / cambia el

signo del último número introducido.

La multiplicación de radicales del mismo índice, o que pueden reducirse al mismo índice, se fundamenta en la siguiente propiedad de radicales:

nnn baba ** = Considera dos casos:

1. Si los radicales tienen el mismo índice

En este caso se aplica la propiedad: nnn baba ** = Ejemplos: simplifica.

a. ( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 3 3

23

233 2 14

5

52

5

175 a

a

aa

aaa • Multiplicando y

nnn baba ** =

= 33 1414**4

1

a

aa −=− • Simplificando el ra-

dical y multiplicando

= 3 14− • Simplificando la Fracción

b. ( ) 3*62*6326 +=+

= 3*33*21812 22 +=+ • nnn baba ** =

= 2332 + • Simplificando

c. ( )( ) ( ) ( )22dcbadcbaacba −=−+ • 22))(( bababa −=−+

= ( ) ( )2222 dcba − • nnn baba *)*( =

= dcba 22 − • Si a > 0 y n es par aan n =

2. Si los radicales tienen distinto índice Primero se convierten los radicales a índice común y luego se procede como en los casos anteriores.

Ejemplo: simplifica

64 33 2 5*7*3*5 x

Observa cómo se convierte a índice común 5 ; 1 23 ; 4 37 ; 6 5x . Se halla el m.c.m. de los índices dados y se toma como índice común m.c.m. ( 2; 3; 4; 6 ) = 12 A continuación se multiplican los radicales convertidos a índice común:

64 33 2 5*7*3*5 x = 12 2212 912 812 6 5*7*3*5 x

= 12 22986 *5*7*3*5 x = 12 2988 *7*3*5 x

1. Efectúa las operaciones siguientes en tu cuaderno de trabajo.

a. 4 54 *aba

b. 54 3 * xx

c. 32*2* 4 23 xx

d. 44 2 * aa

2. Resuelve las operaciones siguientes en tu cuaderno de trabajo.

a. 3 2*3 b. 34 * yx

c. 3

3

1*

2

1 d. mn yx *

d. mn yx * e. 3* nn yx

57

DIVISIÓN DE RADICALES

Toma nota La radicación no es distributiva con respecto a la adición ni a la sustracción.

nnn baba+−

+− ≠

Toma nota

Como 1=k

k

a

a entonces

n

m

kn

km

k

k

n

m

a

a

a

a

a

a

a

a== +

+

*

Para dividir radicales se procede exactamente en la misma forma como para la multiplicación de radicales. El proceso de la división de radicales se fundamenta en la propiedad:

nn

n

b

a

b

a;= 0≠b

Ejemplos: simplifica.

1. 444

4

63

2

5

30

3

2

53

302== • n

n

n

b

a

b

a=

2. 32

2

3

22

3

22

*4

*4

*4

z

z

z

xy

y

x

xyz

yx

y

x

xyz

yx

y

x x

== • nn

n

b

a

b

a=

Y simplificando el radical

= 33

24

z

xyz

y

x = 3 24

xyzyz

x

3. 124

4

8

312 4212 334

3

3*

3

2)3(292 =÷=÷ • Reduciendo índice común

12 43

12 43

3*23

1

3

3*2== n

n

n

b

a

b

a=

12 6483

1= • Simplificando el radical

• Realiza las operaciones y expresa el resultado en su forma simplificada en cada uno de los siguientes ejercicios.

a. 92

83

b. 8

12

c. 433 abba ÷

d. 33

34

81

xx÷

e. ( ) ( )6 3226 543 318 zyxzyx ÷

f. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 43 50

3

28

4

3xx

i. ( ) ( )n nnn baab ÷

j. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 6 416

4

12

2

1xx

k. ( ) ( )65512513 ÷−

l. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ n xx n a

na

1

8

1

m. ( ) ( )2352 328 qpqp ÷

n. ( ) ( )5 625 10 24364 yxyx ÷

o. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

33

12

2

1

guia mate 7°

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