guia funciones mate 1

MAT100-Matemática I

GUÍA DE APRENDIZAJE

“Funciones en iR”

(Apuntes y ejercicios)

ProfESORA Erika Sagredo C.

MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 1 de 36

Presentación

Las Guías de Aprendizaje para estudiantes de Administración Pública

de la Universidad de Chile, han sido elaboradas para apoyar el proceso

enseñanza - aprendizaje de las cátedras de Matemática, que forma

parte de los contenidos de formación general de la malla curricular de

la carrera.

En el caso de Matemática I se han escogidos los cinco ejes temáticos

siguientes:

Elementos de Lógica Proposicional.

Introducción a la Teoría de Conjuntos.

Funciones en R.

Sucesiones y Series

Introducción a las Matrices.

En cada Guía de Aprendizaje, se presenta un resumen de los conceptos

fundamentales, las propiedades centrales de cada eje temático, un

conjunto de ejercicios resueltos y propuestos para poner en práctica

los conocimientos adquiridos durante la clase lectiva, además se

entrega una bibliografía para complementar y profundizar el

aprendizaje.


Contenidos de la unidad

Concepto de función, dominio y recorrido

Gráfico de funciones.

Combinación de funciones

Composición de funciones

Propiedades de funciones :funciones inyectivas, sobreyectivas y

biyectivas

Función inversa

Tipos de funciones :Función lineal y función cuadrática y

Aplicaciones de las funciones lineales y cuadrática a la economía.

Objetivos generales de la unidad

Determinar el dominio y recorrido de una función real

Graficar funciones

Combinar funciones ya sea mediante la adición, multiplicación,

cociente o la composición.

Determinar si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva

Determinar la función inversa de una función biyectiva.

Aplicar las funciones lineales y cuadráticas para resolver

problemas en el ámbito de la economía.


3. Funciones en IR

Introducción

El concepto de función surge con fuerza en el campo de las ciencias y

de la aplicación de la Matemática al estudio y resolución de problemas

concretos en biología, administración, economía y ciencias sociales. Su

estudio constituye uno de los sustentos de la matemática actual. Se

relaciona con la necesidad de considerar situaciones en la que distintas

magnitudes variables están relacionadas entre sí, sabiendo que los

valores que toman alguna de ellas dependen y están ligados a los

valores de los demás.

La noción de correspondencia y la necesidad de establecer relaciones y

dependencias, se presenta con frecuencia en nuestro quehacer diario:

El consumo de bencina de un automóvil está en función de la

velocidad del mismo.

El número de personas que contraen una enfermedad, depende del

tiempo trascurrido desde que se detectó una epidemia.

La demanda de un producto varía según al precio al que se venda.

La cuenta mensual de agua, está en función de los metros cúbicos

gastados

Con frecuencia las funciones pueden utilizarse para modelizar

problemas del mundo real. Por ejemplo un fabricante desea conocer la

relación entre la ganancia de su empresa y sus nivel de producción, un

biólogo se interesa por el cambio del tamaño de cierto cultivo de

bacterias con el paso del tiempo. Al desarrollar un modelo matemático

como representación de datos reales la idea es poder predecir el

comportamiento de estos valores en el futuro.


3.1 Definición de función

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un

conjunto A, exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B

El conjunto A se llama dominio de la función. y B el conjunto de

llegada. El número f(x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El conjunto

imagen o recorrido de f , es el conjunto de todos los valores posibles de

f(x), conforme x varía en todo el dominio A.

Una función puede representarse mediante un enunciado verbal, por

medio de una tabla de valores, por medio de una expresión algebraica

o mediante una representación gráfica, y es importante el pasaje de

una forma a otra para interpretarla mejor.


Ejemplo: cuatro maneras de representar una misma función

Mediante un enunciado verbal A cada número le asociamos su cuadrado, más 2

Mediante una fórmula algebraica f(x) = x2 + 2

Mediante una tabla de valores x -2 -1 0 1 2 f(x) = x2 + 2 6 3 2 3 6

Mediante un gráfico

3.2 Representación gráfica de funciones

La representación gráfica de una función muestra la dependencia entre

las variables x e y lo cual ayuda a comprender sus propiedades y nos

da una imagen útil del comportamiento “la historia de vida” de una

función.

Puesto que una función no es más que un conjunto de pares de

números (x, y), su representación se reduce a dibujar cada uno de ellos

en el plano cartesiano. (ver figura 1)


º º

Figura 1

Ejemplo

Determinar el dominio y el recorrido de y = g(x) = , graficar.

Solución

Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real,

la expresión x- 2 debe ser no negativa.

Es decir ;

Para graficar construimos una tabla de valores

x 2 3 4 11

f(x) 0 1 2 3


Ejemplo 2

Determinar el dominio de

, graficar

Solución

Se debe cumplir que x + 1 > 0 , es decir x > -1

3.3 Combinación de funciones

Se pueden combinar las dos funciones f y g para formar las nuevas

funciones f + g, f – g; fg y f/g.

Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g,

f – g; fg y f/g. se define como sigue

(


Ejemplo1

Sea h(x) =

f g

Solución 1

Dom h = dom f dom g

a) Dom f

=>

(x + 5)(x + 2) =>

[(x + 5) ≥ 0 ( x + 2) ≥ 0] [(x + 5) ≤0 ( x + 2) ≤ 0] =>

[x ≥ -5 x ≥ -2] [x ≤ -5 x ≤ -2] =>

[ x ≥ -2] [ x ≤ -5] = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[ = Dom f

b) Dom g

x – 2 ≥ 0=>

x ≥ 2 = [ 2 , + ∞[

c) Dom h = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[ [ 2 , + ∞[ = [2, + ∞[ (Ver figura 2 )


Figura 2

Solución 2: Usando tablas

Dom h = dom f dom g

a) Dom f

=>

(x + 5)(x + 2) =>

Buscamos los valores para la cual cada factor se hace cero, es decir x = -

5 y x = -2 y luego los ubicamos en la recta real para formar los

intervalos .

- ∞ -5 -2 +∞

] - ∞, -5] [-5, -2 ] [-2 , + ∞[

(x +5) - + +

(x+2) - - +

(x+5)(x-2) + - +

Dom f = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[


b) Dom g

x – 2 ≥ 0=>

x ≥ 2 = [ 2 , + ∞[

c) Dom h = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[ [ 2 , + ∞[ = [2, + ∞[

3.3.1 Composición de funciones

Para la función f yg la función compuesta de g con f se representa por

g ◦f, tiene los valores del recorrido definidos por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) y su dominio son todas las x del

dominio de f para los cuales f(x) está en el dominio de g.

Ejemplo 1

Sea f(x) = x2 – 1 y g(x) = encontrar f ◦g y g ◦ f

Solución

(f ◦ g)(x) = f(3x + 5) = (3x + 5)2 – = 9x2+ 30x + 24


(g ◦ f)(x) = g(x2 -1) = 3(x2 -1) + 5 = 3x2 +2

Ejemplo 2

Un estudio del SESMA, ha determinado, que el nivel promedio diario

de monóxido de carbono en el aire, de cierta comuna de la región

metropolitana, será de C(p) = 0,5 p + 1 ppm(partes por millón) cuando

la población de la comuna sea de p(t) = 10 + 0,1 t2 mil habitantes.

a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una

función del tiempo.

b) En qué momento el nivel de monóxido de carbono alcanzará 6,8

ppm

Solución

a) Como el nivel de monóxido de carbono está relacionado con la

variable p mediante la ecuación

y la variable p está

relacionada con la variable t mediante la ecuación

Se deduce que la función compuesta

=

Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función

de la variable t.

b) 6 + 0,05t2 = 6,8

0,05t2 = 0,8


t2 = 0,8/0,05 = 16

t = 4

Es decir, dentro de 4 años el nivel de monóxido de carbono será 6,8

ppm.

3.4 Tipos de Funciones

3.4.1 Función inyectiva (uno a uno) Se dice que f : A → B es inyectiva si dos elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B

f inyectiva si y sólo si para cada x1, x2 lo que es equivalente a demostrar que si x1 =x2

Figura 3

En la figura 3, f es inyectiva y g no es inyectiva ya que 1 y 2 tienen la misma imagen 7


Ejemplo 2 f(x) = x2 no es inyectiva ya que , pero -

Figura 4

En la figura 4 podemos observar que si una recta horizontal corta

a la curva en más de un punto, la grafica no representa una

función inyectiva (Prueba de la recta horizontal).

Ejemplo 3

Demostrar que f(x) = x3 + 2 es inyectiva

Solución 1 (Estrategia algebraica)

Usando la definición x1 =x2

x13 + 2 = x2

3 + 2 /+(-2)

x13 = = x2

3 /

f es inyectiva


Solución 2 (Estrategia gráfica)

En la figura 5 podemos observar que las horizontales sólo cortan en un

punto a la curva, ya que la función es estrictamente creciente, por lo

tanto f(x) = x3 + 2 es inyectiva.

Figura 5

3.4.2 Función sobreyectiva ( epiyectiva) Una función f : A → B se dice que es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A. En otras palabras, f es sobreyectiva si Rec f = B Ejemplo

f(x) = x3 + 2


Figura 6

En la figura 6, f es sobreyectiva y g no lo es, ya que Rec g = {4,5,6 } = B

3.4.3 Función biyectiva: .(Biunívoca)

Una función es biyectiva, si y sólo sí, es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo 1

Para la función f de la figura 7 se tiene:

Figura 7

i) f es inyectiva, pues cada elemento del rango es imagen de un sólo elemento del dominio.

ii) f es sobreyectiva, ya que cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio.

f es biyectiva.


Ejemplo 2 Dada la función f: IR →IR definida por f(x) = x2. Analice porqué f no es biyectiva, y restrinja el conjunto de llegada, de manera que sea biyectiva. Solución

f no es biyectiva ya que no es inyectiva (como se probó anteriormente) ni sobreyectiva, ya que existen números en el conjunto de llegada que no están relacionados con ningún número en el dominio es decir Rec f = IR0

+ que es distinto al conjunto de llegada (IR).

Restringiendo el dominio y conjunto de llegada tenemos que f: IR0

+ → IR0+ , sí es biyectiva


3.5 Funciones inversas Sea f una función con dominio A y recorrido B, entonces su función inversa tiene dominio B y recorrido A y se define

Ejemplo De acuerdo a la figura 8 podemos observar:

Figura 8

Procedimiento para encontrar de una función biyectiva 1. Escribir y = f(x) 2. Despejar x en términos de y ( si es posible) 3. Para expresar en términos de x, intercambiar y por x. la

ecuación resultante es y = (x).


Ejemplo Encontrar la función inversa de Solución Demostraremos que f(x) es una función biyectiva Como f es una función con dominio IR y recorrido IR, basta demostrar que f es una función inyectiva, en efecto: i) Para todo x1, x2

3x1 – 2 = 3x2 – 2 /(+2)

3x1 = 3x2 /

x1 = x2

es inyectiva ii) Buscamos su inversa

– ( Escribimos )

(Despejamos x)

(Cambiamos y por x)

(Función inversa)

Figura 9


Observación

De la figura 9 podemos observar que f y son simétricas con respecto a la recta y = x Además se cumple

3.6 Función Lineal

Una función lineal es una función de la forma

donde m y b son constantes

Ejemplo

La función es una función lineal donde m = 3 y b = -1.

3.6.1 Rectas

La gráfica de una ecuación lineal es una recta. la pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la fórmula


La gráfica de la función lineal f(x) = mx + b, es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.

Ejemplo La recta de la figura 10 muestra la relación entre el precio p de un artículo (dólares) y la cantidad q de ese artículo ( en miles) que los consumidores comprarán a ese precio. Determine e interprete la pendiente.

Figura 10

Por cada unidad que aumente la cantidad, (un millar de artículos) corresponde una disminución de ½ dólar en el precio de cada artículo.


3.6.1.2 Ecuaciones de líneas rectas

Recta vertical: x = a

Recta horizontal: y = b

Forma punto pendiente: y – y1 = m ( x – x1)

Forma pendiente – ordenada al origen y = mx + b

Forma general: Ax +By + C = 0

Ejemplo 1

Trazar la recta representada por la ecuación – Solución Buscamos las intersecciones con los ejes

x y

0 -3 4 0


Ejemplo 2 Encuentre una fórmula para la función graficada en la figura 11

Figura 11

Solución

La recta que pasa por tiene pendiente m = 1 y su ordenada al origen b = 0 de forma que su ecuación es La recta que pasa por tiene pendiente m = -1 y su ecuación de la forma punto-pendiente

y – 0 = -1( x – 2) o y = 2 – x de forma que su ecuación es ) =2 - x ; f(x) = 0 si x> 2.


< Por lo tanto la función queda definida por partes como:


3.6.2 Aplicaciones de las funciones lineales a la Economía

3.6.2.1 Modelo costo, ingreso y utilidad

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de producir x artículos, y tiene la forma:

Costo = Costo variable + Costo fijo En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función

costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, representa el costo marginal y mide el costo incremental por artículo.

Una función ingreso I específica el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículos.

Una función utilidad U especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

U(x) = I(x) - C(x).

El equilibrio ocurre cuando

U(x) = 0

o, equivalentemente, cuando

I(x) = C(x).


Ejemplo

La Junta Nacional de Jardines Infantiles (JUNJI) licita a través del Portal Chile Compras, la compra internacional de textos escolares para el nivel Pre kinder y Kínder, para todos sus establecimientos del país. La Editorial Antares, que presentó su propuesta para los textos de Pre kinder, puede producirlos a un costo de 12 dólares cada uno. Sus costos fijos son de 720 dólares, y desea vender cada texto en 20

dólares. En base a lo anterior, determinar: a) Las gráficas de las ecuaciones que representan el costo-producción y el Ingreso-ventas. b) Punto de equilibrio, interprete su significado. c) ¿Cuántos textos de Pre kinder debe vender la editorial Antares, para obtener una ganancia diaria de 200 dólares?.

Solución

. a) C(x) = costo variable + costo fijo = ; x:

número de textos producidos; x ≥ 0


I(x) = 20x ; x: número de textos vendidos

b) C(x) = I(x)

12x + 720 = 20x

8x = 720

x = 90, y = 1800 pto.de equilibrio (90, 1800)

Cuando la cantidad vendida y producida corresponde a 90 textos, el

costo y el ingreso corresponden a 1800 dólares, por lo tanto la editorial

está en equilibrio, es decir no existe pérdida ni ganancia.

c) G(x) = I(x) – C(x) = 20x – ( 12x + 720) = 8x – 720 ; x : número de

textos vendidos ; x > 90

G(x) = 8x – 720 = 200

x = 115

Nº de textos vendidos o producidos

Dólares


Deben venderse 115 textos para obtener una ganancia de 200

dólares.

3.6.2.2 Ley de la oferta y demanda

La función de demanda para un artículo, D(x), relaciona el número de

unidades que se producen, con el precio unitario, p = D(x), para la cual

todas las x unidades serán demandadas (vendidas) en el merado. De

manera similar, la función de oferta, O(x), indica el precio

correspondiente p = O(x) al cual los productores están dispuestos a

ofertar x unidades.

La ley de oferta y demanda postula que, en un ambiente de mercado

competitivo, la oferta tiende a ser igual a la demanda, y cuando esto

ocurre, se dice que el mercado está en equilibrio y este ocurre en el

nivel de producción xe y el precio unitario pe se denomina el precio de

equilibrio.


Ejemplo

Para un artículo en particular, se da las funciones de oferta y demanda, , en términos del nivel de producción x

a) Encuentre el valor de xe, para el cual alcanza el equilibrio y el correspondiente precio de equilibrio pe

b) Dibuje las rectas de oferta y demanda, en la misma gráfica

c) ¿Para qué valores de x hay escasez y abundancia en el mercado?.

Solución

a) Igualamos O(x) = D(x)

3x + 150 = -2x + 275

5x = -125 => xe = 25

La cantidad de equilibrio es 25 unidades.

pe = 3(25) + 150 = 225 (precio de equlibrio)

b) Los gráficos de O(x) y D(x)


c) Cuando el nivel de producción es menor que 25 unidades, es mayor la demanda que la oferta, y resulta una escasez, y cuando el nivel de producción es mayor que 25 unidades es mayor la oferta que la demanda, resultando una abundancia en el mercado.

3.7 Función cuadrática

Son las funciones de la forma: f(x)= ax 2 + b x + c; . a, b, c ;

a Dom f: . Su gráfico es una curva llamada parábola.

<= Pto. de equilibrio (25, 225)


3.7.1 Raíces o ceros de la función:

Son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje

x. Para hallarlas, si es que existen, en la fórmula de la función se

reemplaza la variable y por 0 y se resuelve la ecuación.

a

acbbx

2

42

3.7.2 Discriminante: Tipo de soluciones:

= b 2 - 4 a c

Int. decrecimiento ) (

> 0 Dos raíces reales distintas

= 0 Una raíz real doble

< 0 No tiene raíces reales, es decir, la

gráfica no corta al eje x, las raíces son

números complejos conjugados

> 0 = 0 < 0


3.7.3 Construcción del gráfico

Se calcula Se marca en el gráfico

Se aplica la fórmula resolvente y

se obtienen las raíces x1 y x2

Si las raíces son reales se marcan

los puntos de contacto con el eje x

en x1 y x2

Coordenadas del vértice :

x0 = (x1 + x2 ) /2

o

x0= -b /2a

y0= f(y0 ) Se reemplaza en la

función x por x0 -

Vértice : V( x0, y0)

Eje de simetría: recta vertical que

pasa por x0 (se marca con línea

punteada).

Ordenada al origen : (0 ; c)

Punto de contacto con el eje y

Si a > 0

Si a < 0

Concavidad hacia arriba

Concavidad hacia abajo


Ejemplo

Graficar f(x) = -x² + 4x - 3

1. Vértice

x 0 = - 4/-2 = 2 ; y0 = -(2)² + 4· 2 - 3 = -1 V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX.(Igualamos f(x) a 0)

= -x² + 4x – 3= 0 /(-1)

x² - 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

Observación

La ecuación anterior, se puede resolver también factorizando.

(x - 3)(x -1 )= 0

=> x1 = 3 ; x2 = 1

3. Punto de corte con el eje OY.: (0, -3)

4. Concavidad

Como a < 0 la gráfica posee concavidad hacia abajo

5. Gráfico


Ejemplo (propuesto en prueba semestre otoño 2011)

La función de ingresos para cierto producto está dada por I(x)=4000x2 + 40x en dólares. Además la función de costos de este producto, también en dólares, está representada por C(x) = 400x +17.000 , donde x representa la cantidad de unidades producidas. Formule la función de Utilidades, grafíquela encontrando sus intersecciones con los ejes y encuentre la cantidad de unidades debe producirse para maximizar las utilidades. ¿Cuál es esa máxima utilidad?. Determine el dominio contextualizado a la situación. Solución

U(x) = I(x) – C(x) = 4000x - 40x2 – (400x +17.000) = - 40x2 +3600x- 17.000

1. Intersección eje x

- 40x2 + 3600x- 17000 = 0

80

)17000)(40(4)3600(3600 2 x

x1 = 5; x2 =85 (5,0); (85,0)


2. Intersección eje y : (0, -17.000)

3. Vértice

x0 = -3600/ -80 = 45

y0 = f( 45) = 64.000

4. Concavidad: hacia abajo

5. Gráfico

Dominio contextualizado a la situación: ]5, 85[


Bibliografía

Haeussler, F, Ernest , Matemática para la Administración y Economía, Pearson Educación, México. Miller, Charles et al, Matemática: Razonamiento y aplicaciones

Pearson Addison Wesley.

Stewart James, Precalculo, Thomson, 2007.

guia funciones mate 1

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